IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS 1 1. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) 1 2 ) ( = x x f función polinómica ℜ = → ) ( f Dom b) 8 ) ( 3 - - = x x x f función polinómica ℜ = → ) ( f Dom c) 1 ) ( 2 + + = x x x f función polinómica ℜ = → ) ( f Dom d) 9 6 ) ( 4 9 + - = x x x f función polinómica ℜ = → ) ( f Dom e) 6 2 ) ( 5 + - = x x x f función polinómica ℜ = → ) ( f Dom f) 3 ) 1 ( ) ( - = x x f función polinómica ℜ = → ) ( f Dom g) x x f 3 7 1 ) ( - = función racional - ℜ = = - - ℜ = → 3 7 } 0 3 7 / { ) ( x x f Dom 3 7 7 3 0 3 7 = ⇒ - = - ⇒ = - x x x h) 1 4 1 ) ( 2 - = x x f función racional - - ℜ = = - - ℜ = → 2 1 , 2 1 } 0 1 / { ) ( 2 x x f Dom 2 1 ò 2 1 4 1 1 4 0 1 4 2 2 = - = ⇔ ± = ⇔ = ⇔ = - x x x x x i) 3 4 2 ) ( 2 7 - - = x x x x f función racional { } 3 , 1 } 0 3 4 / { ) ( 2 - ℜ = = + - - ℜ = → x x x f Dom = = = ± = - ± = ⇔ = + - 1 3 2 2 4 2 12 16 4 0 3 4 2 x x x x x j) 3 1 ) ( x x f = función racional { } 0 } 0 / { ) ( 3 - ℜ = = - ℜ = → x x f Dom 0 0 0 3 3 = ⇔ = ⇔ = x x x k) 5 7 ) ( 2 - = x x f función racional { } 5 , 5 } 0 5 / { ) ( 2 - - ℜ = = - - ℜ = → x x f Dom 5 5 0 5 2 2 ± = ⇔ = ⇔ = - x x x l) 1 1 ) ( 4 - = x x f función racional { } 1 , 1 } 0 1 / { ) ( 4 - - ℜ = = - - ℜ = → x x f Dom 1 1 1 0 1 4 4 4 ± = ⇔ ± = ⇔ = ⇔ = - x x x x m) 1 1 ) ( 3 = x x f función racional { } 1 } 0 1 / { ) ( 3 - - ℜ = = + - ℜ = → x x f Dom 1 1 1 0 1 3 3 3 - = ⇔ - = ⇔ - = ⇔ = + x x x x n) 8 9 7 ) ( 3 = x x x f función racional { } 2 } 0 8 / { ) ( 3 - - ℜ = = + - ℜ = → x x f Dom 2 8 8 0 8 3 3 3 - = ⇔ - = ⇔ - = ⇔ = + x x x x o) 2 2 3 ) ( x x f - = función racional { } 2 , 2 } 0 2 / { ) ( 2 - - ℜ = = - - ℜ = → x x f Dom 2 2 0 2 2 2 ± = ⇔ = ⇔ = - x x x
121
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IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
1
1. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
43
3 -1
Observa que ),3[)( +∞=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni
respecto al origen de coordenadas. Es decir, no puede ser par ni impar.
Observa también que 13)( +−= xxf es la función xy = trasladada verticalmente 1 unidad hacia
arriba y 3 unidades a la derecha.
g) 12)( +−= xxf
� Función radical ),1[}01/{)( +∞−=≥+−ℜ=→ xxfDom
� Puntos de corte con el eje OX
=+−=
0
12
y
xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=+⇒=+−⇒ 21012 xx
3412)1( 22 =⇒=+⇒=+⇒ xxx
Luego, el punto de corte con el eje OX es )0,3(
� Puntos de corte con el eje OY
=+−=
0
12
x
xy(Utilizamos el método de sustitución) 11102 =⇒=+−=⇒ yy
Luego, el punto de corte con el eje OY es )1,0(
� Signo de la función
)0,1[)( −=fDom
0)( =xf ⇒=+⇒=+−⇒ 21012 xx 3412)1( 22 =⇒=+⇒=+ xxx
Por tanto,
),3( si 0)( +∞∈< xxf )3,1[ si 0)( −∈> xxf
SIGNO DE f(x) + −
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
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� Simetría de la función
conocidas simetríashay No
)(
)(
12)( ⇒
−≠+−−=−
xf
xf
xxf
Observa que ),1[)( +∞−=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni
respecto al origen de coordenadas. Es decir, no puede ser par ni impar.
Observa también que 12)( +−= xxf es la función xy −= trasladada verticalmente 2 unidades
hacia arriba y 1 unidades a la izquierda.
h) x
xxf
3 2 5)(
−=
� Dominio
⇒=)(
)()(
xh
xgxf
(Valores de x en los que g y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se
anula)
ℜ=−==→−= )5(Dominio5 23 2 xyDomxy
}0{−ℜ→= xy Eliminamos el 0 porque el denominador no puede anularse
}0{)( Por tanto, −ℜ=fDom
� Puntos de corte con el eje OX
=
−=
0
53 2
yx
xy (Utilizamos el método de igualación) 05050
5 23 23 2
=−⇒=−⇒=−⇒ xx
x
x
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5 0 5− 0
552 ±=⇒=⇒ xx
Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,5(− y )0,5(
� Puntos de corte con el eje OY
=
−=
0
53 2
xx
xy OY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom
� Signo de la función
• }0{)( −ℜ=fDom
• 50)( ±=⇔= xxf
Por tanto,
)5,0()5,( si 0)( ∪−−∞∈< xxf ),5()0,5( si 0)( +∞∪−∈> xxf
� Simetría de la función
⇒−=
−−=−
−−=− )(
55)()(
3 23 2
xfx
x
x
xxf La función es IMPAR (su gráfica es simétrica respecto
al origen de coordenadas)
SIGNO DE f(x) − + − +
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0 ∞− 1 1− ∞+
i) 1
)(2
24
+−=
x
xxxf
� Dominio
Función radical con índice par
≥+
−ℜ∈=→ 01
/)( 2
24
x
xxxfDom
01
)1)(1(0
1 :inecuación laresolver que Tenemos
2
2
2
24
≥+
+−⇔≥+−
x
xxx
x
xx
Ceros
1 o 00)1(0 2224 −±==⇔=−⇔=− xxxxxx
Polos
realsolución tieneno 101 22 ⇒−=⇔=+ xx
),1[}0{]1,()( Por tanto, +∞∪∪−−∞=fDom
� Puntos de corte con el eje OX
=+
−=
012
24
yx
xxy
01
01 2
24
2
24
=+
−⇒=
+−
⇒x
xx
x
xx1 o 00)1(0 2224 −±==⇒=−⇒=−⇒ xxxxxx
Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,0( )0,1(− y )0,1(
� Puntos de corte con el eje OY
=+
−=
012
24
xx
xxy
001000
2
22
=⇒=+
−=⇒ yy
Luego, el punto de corte con el eje OY es )0,0(
� Signo de la función
• ),1[}0{]1,()( +∞∪∪−−∞=fDom
• 1 o 00)( −±==⇔= xxxf
)( 0)( Por tanto, fDomxxf ∈∀≥
SIGNO DE f(x) + +
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∞− 1 -1
� Simetría de la función
⇒=+
−=+−−−−=− )(
11)(
)()()(
2
24
2
24
xfx
xx
x
xxxf La función es PAR (su gráfica es simétrica respecto al
eje OY)
j) 1)( 12
−= −xexf
� ℜ=)( fDom
� Puntos de corte con el eje OX
=−= −
0
112
y
ey x
(Utilizamos el método de igualación) 101 11 22
=⇒=− −− xx ee 1012 ±=⇒=−⇒ xx
Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,1( )0,1(−
� Puntos de corte con el eje OY
=−= −
0
112
x
ey x
(Utilizamos el método de sustitución) 11
11
11 1102
−=⇒−=−=−= −−
ey
eeey
Luego, el punto de corte con el eje OY es
−11
,0e
� Signo de la función
ℜ=)( fDom
0)( =xf 1±=⇔ x
Por tanto,
)1,1( si 0)( −∈< xxf
),1()1,( si 0)( +∞∪−−∞∈> xxf
SIGNO DE f(x) + − +
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� Simetría de la función
⇒=−=−=− −−− )(11)( 11)( 22
xfeexf xx La función es PAR (su gráfica es simétrica respecto al eje OY)
k) xxxf −=3
5)(
� ℜ=−== )()( 3 xxyDomfDom
� Puntos de corte con el eje OX
== −
0
53
y
y xx
053
=⇒ −xx xa x 0 puessolución tieneNo ∀>⇒
Por tanto no hay puntos de corte con el eje de abscisas.
� Puntos de corte con el eje OY
== −
0
53
x
y xx
1150 =⇒==⇒ yy
Luego, el punto de corte con el eje OY es )1,0(
� Signo de la función
ℜ∈∀>⇒ℜ∈∀> xxfba b 0)( 0
� Simetría de la función
conocidas simetríashay No
)(
)(
55)(33 )()( ⇒
−≠==− +−−−−
xf
xf
xf xxxx
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5 0 5− -2 2
l) )4log()( 2 −= xxf
� ),2()2,(}04/{)( 2 +∞∪−−∞=>−−ℜ= xxfDom
� Puntos de corte con el eje OX
=−=
0
)4log( 2
y
xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=−⇒=−⇒ 140)4log( 22 xx
552 ±=⇒=⇒ xx
Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,5(− y )0,5(
� Puntos de corte con el eje OY
=−=
0
)4log( 2
x
xyOY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom
� Signo de la función
• ),2()2,()( +∞∪−−∞=fDom
• 0)( =xf ⇒=−⇒=−⇒ 140)4log( 22 xx 552 ±=⇒= xx
Por tanto,
)5,2()2,5( si 0)( ∪−−∈< xxf
),5()5,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf
SIGNO DE f(x) + − − +
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50
� Simetría de la función
OY) eje al respecto simétrica es gráfica(su PAR es )( )()4log()4)log(()( 22 xfxfxxxf ⇒=−=−−=−
m) 6log)( 2 −= xxf
� ),6(}06/{)( +∞=>−−ℜ= xxfDom
� Puntos de corte con el eje OX
=−=
0
6log2
y
xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=−⇒=−⇒ 1606log2 xx 7=x
Luego, el punto de corte con el eje OX es )0,7(
� Puntos de corte con el eje OY
=−=
0
6log2
x
xyOY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom
� Signo de la función
• ),6()( +∞=fDom
• 0)( =xf 7=⇒ x
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7 6
•
Por tanto,
)7,6( si 0)( ∈< xxf
),7( si 0)( +∞∈> xxf
� Simetría de la función
),6()( +∞=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni respecto al
origen de coordenas. Es decir, no puede ser par ni impar.
8. Obtener toda la información posible de las siguientes funciones:
1) }2,2{)( −−ℜ=fDom
2) ),1[)0,()(Re +∞∪−∞=fc
3) }2,2{dcontinuida de Dominio −−ℜ=
2−=x discontinuidad asintótica o de salto infinito
2=x discontinuidad asintótica o de salto infinito
SIGNO DE f(x) − +
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4) Puntos de corte con el eje OX: No hay
Puntos de corte con el eje OY: )1,0(
5) Signo de )(xf
),2()2,( si 0)( +∞∪−−∞∈< xxf
)2,2( si 0)( −∈> xxf
6) Es Par (simétrica respecto al eje OY)
7) No es periódica
8) Asíntotas verticales: 2y 2 =−= xx
Asíntota horizontal: 0=y
9) )0,2()2,( si decrece )( −∪−−∞∈xxf
),2()2,0( si crece )( +∞∪∈xxf
10) Mínimos relativos: )1,0(
Máximos relativos: No hay
No tiene extremos absolutos
11) No está acotada.
1) ),2()2,5[)( +∞∪−=fDom
2) ℜ=)(Re fc
3) }2,0,2{dcontinuida de Dominio −−ℜ=
2−=x discontinuidad de salto finito
0=x discontinuidad eviatable
2=x discontinuidad asintótica o de salto infinito
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4) Puntos de corte con el eje OX: )0,4(−
Puntos de corte con el eje OY: )3,0(
5) Signo de )(xf
),2()4,,5[ si 0)( +∞∪−−∈< xxf
)2,4( si 0)( −∈> xxf
6) No es simétrica
7) No es periódica
8) Asíntota vertical: 2=x
Asíntota horizontal por la derecha: 0=y
9) )0,2( si decrece )( −∈xxf
),2()2,0()2,5( si crece )( +∞∪∪−−∈xxf
10) Mínimos relativos: No hay
Máximos relativos: No hay
No tiene extremos absolutos
11) No está acotada.
1) }0{)( −ℜ=fDom
2) ),2()2,()(Re +∞∪−−∞=fc
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3) }0{dcontinuida de Dominio −ℜ=
0=x discontinuidad asintótica o de salto infinito
4) Puntos de corte con el eje OX: No hay
Puntos de corte con el eje OY: No hay
5) Signo de )(xf
)0,( si 0)( −∞∈< xxf
),0( si 0)( +∞∈> xxf
6) Es impar (simétrica respecto al origen de coordenadas)
7) No es periódica
8) Asíntotas verticales: 0=x
Asíntota horizontal: No hay
Asíntota oblicua: xy =
9) )1,0()0,1( si decrece )( ∪−∈xxf
),1()1,( si crece )( +∞∪−−∞∈xxf
10) Mínimos relativos: )2,1(
Máximos relativos: )2,1( −−
No tiene extremos absolutos
11) No está acotada.
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1) }1{)( −ℜ=fDom
2) ℜ=)(Re fc
3) }1{dcontinuida de Dominio −ℜ=
1=x discontinuidad asintótica o de salto infinito
4) Puntos de corte con el eje OX: )0,0(
Puntos de corte con el eje OY: )0,0(
5) Signo de )(xf
)0,( si 0)( −∞∈< xxf
),1()1,0( si 0)( +∞∪∈> xxf
6) No es simétrica
7) No es periódica
8) Asíntotas verticales: 1=x
Asíntota horizontal: No tiene
Asíntota oblicua: 2+= xy
9) )3,1( si decrece )( ∈xxf
),3()1,0(),( si crece )( +∞∪∪−∞∈xxf
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Mínimos relativos:
4
27,3
Máximos relativos: No hay
No tiene extremos absolutos
10) No está acotada.
1) ℜ=)( fDom
2) ]2,0[)(Re =fc
3) ℜ=dcontinuida de Dominio
4) Puntos de corte con el eje OX: )0,1(
Puntos de corte con el eje OY: )1,0(
5) Signo de )(xf
xxf 0)( ∀≥
1 si 0)( == xxf
),1()1,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf
6) No es simétrica
7) No es periódica
8) Asíntotas verticales: No tiene
Asíntota horizontal: 1=y
Asíntota oblicua: No tiene
9) )1,1( si decrece )( −∈xxf
),1()1,( si crece )( +∞∪−−∞∈xxf
Mínimo relativo y absoluto: )0,1(
Máximo relativo y absoluto: )2,1(−
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10)
• Acotada superiormente
Conjunto de cotas superiores: ),2[ +∞
Supremo = 2 Máximo absoluto = 2 y lo alcanza en 0=x
• Acotada inferiormente
Conjunto de cotas superiores: ]0,(−∞
Ínfimo = 0 Máximo absoluto = 0 y lo alcanza en 1=x
9. Representa gráficamente las siguientes parábolas:
a) 32)( 2 ++= xxxf
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría: 12
2
2−=⇒
−=⇒−= xx
a
bx
3) Vértice )2,1( 23213)1(2)1()1(
12
−⇒
=+−=+−⋅+−=−=
−=V
fy
x
v
v
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=++=
0
322
y
xxy
realsolución tieneno2
12420322 ⇒
−±−=⇒=++ xxx ⇒No hay puntos de corte con el eje OX
Eje OY: 30
322
=⇒
=++=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )3,0(
5) Tabla de valores
x 4− 3− 2− 1− 0 1 2
y 11 6 3 2 3 6 11
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b) 34)( 2 +−= xxxf
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría: 22
4
2=⇒=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )1,2( 13843)2(4)2()2(
22
−⇒
−=+−=+⋅−==
=V
fy
x
v
v
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=+−=
0
342
y
xxy
==
=−±=⇒=+−1
3
2
121640342
x
xxxx ⇒PC con eje OX: )0,3( y )0,1(
Eje OY: 30
342
=⇒
=+−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )3,0(
5) Tabla de valores
x 1− 0 1 2 3 4 5
y 8 3 0 1− 0 3 8
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c) xxxf 5)( 2 −−=
1) ∩⇒<−= convexa01a
2) Eje de simetría 2
5
2
5
2−=⇒
−=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice
−⇒
==+−=
−⋅−
−−=
−=
−=−=
4
25,
2
5
25,64
25
2
25
4
25
2
55
2
5
2
5
5,22
5
2 V
fy
x
v
v
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=−−=
0
52
y
xxy
−==
⇔=−−⋅⇔=−−5
00)5(052
x
xxxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,0( y )0,5(−
Eje OY: 00
52
=⇒
=−−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )0,0(
5) Tabla de valores
x 6− 5− 4− 3− 2
5− 2− 1− 0 1
y 6− 0 4 6 4
25 6 4 0 6−
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60
d) 5)( 2 += xxf
� )(xf es la función 2xy = trasladada verticalmente 5 unidades hacia arriba.
2xy =
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría: 002
0
2=⇒==⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )0,0( 0
0V
y
x
v
v⇒
==
4) Tabla de valores
x 2− 1− 0 1 2
y 4 1 0 1 4
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61
e) 6)( 2 +−= xxf
� )(xf es la función 2xy −= trasladada verticalmente 6 unidades hacia arriba.
2xy −=
1) ∩⇒<−= convexa01a
2) Eje de simetría: 002
0
2=⇒=
−=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )0,0( 0
0V
y
x
v
v⇒
==
4) Tabla de valores
x 2− 1− 0 1 2
y 4− 1− 0 1− 4−
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62
f) 2)1(3)( −= xxf
� )(xf es la función 23xy = trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha.
23xy =
1) ∪⇒>= cóncava03a
2) Eje de simetría: 006
0
2=⇒==⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )0,0( 0
0V
y
x
v
v⇒
==
4) Tabla de valores
x 2− 1− 0 1 2
y 12 3 0 3 12
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63
g) 96)( 2 −+−= xxxf
1) ∩⇒<−= convexa01a
2) Eje de simetría: 32
6
2=⇒
−−=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )0,3( 091899)3(6)3()3(
32
Vfy
x
v
v⇒
=−+−=−⋅+−==
=
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=−+−=
0
962
y
xxy
3
3
2
06
2
363660962
=
==
−±−=
−−±−=⇒=−+−
x
x
xxx ⇒ El punto de corte con el eje OX es )0,3(
Eje OY: 90
962
−=⇒
=−+−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )9,0(−
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64
5) Tabla de valores
x 0 1 2 3 4 5 6
y 9− 4 1 0 1− 4− 9−
h) 2)3()( 2 +−= xxf
� )(xf es la función 2xy = trasladada verticalmente 2 unidades hacia arriba y horizontalmente 3
unidades a la derecha
2xy =
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría: 002
0
2=⇒==⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )0,0( 0
0V
y
x
v
v⇒
==
4) Tabla de valores
x 2− 1− 0 1 2
y 4 1 0 1 4
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65
i) 2)1()( 2 −+−= xxf
� )(xf es la función 2xy −= trasladada verticalmente 6 unidades hacia arriba.
2xy −=
1) ∩⇒<−= convexa01a
2) Eje de simetría: 002
0
2=⇒=
−=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )0,0( 0
0V
y
x
v
v⇒
==
4) Tabla de valores
x 2− 1− 0 1 2
y 4− 1− 0 1− 4−
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66
10. Representa gráficamente las siguientes funciones racionales:
a) x
xf3
)( =
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
3lim
3lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
03
lim
03
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6
y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0
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67
b) x
xf3
)( −=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
−∞=−
+∞=−
+
−
→
→
x
x
x
x
3lim
3lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=−
=−
−
+∞→
+
−∞→
03
lim
03
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6
y 5,0 1 5,1 3 6 6− 3− 5,1− 1− 5,0−
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68
c) 23
)( −=x
xf )(xf→ es la función x
y3= trasladada verticalmente 2 unidad abajo.
� x
y3=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
3lim
3lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
03
lim
03
lim
x
x
x
x
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69
• Tabla valores
x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6
y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0
d) 1
3)(
−=
xxf )(xf→ es la función
xy
3= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha.
� x
y3=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
3lim
3lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
03
lim
03
lim
x
x
x
x
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70
• Tabla valores
x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6
y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0
e) 42
3)( +
−=
xxf )(xf→ es la función
xy
3= trasladada horizontalmente 2 unidades a la derecha y 4
unidades hacia arriba
� x
y3=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
3lim
3lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
03
lim
03
lim
x
x
x
x
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71
• Tabla valores
x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6
y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0
f) 5
3)(
+=
xxf )(xf→ es la función
xy
3= trasladada horizontalmente 5 unidades a la izquierda.
El estudio de la función x
y3= lo hemos hecho en el apartado a)
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72
2 −x
2
1+x
1
g) ⇒++
−=⇒+−= 2
1
3)(
1
12)(
xxf
x
xxf )(xf es la función
xy
3 −=
izquierda la a unidad 1 T.H.
arriba unidades 2 T.V.
3
22
12
−−−−
x
x
La función x
y3
−= la hemos representado en el apartado b)
h) ⇒+−
=⇒−+= 1
2
6)(
2
4)(
xxf
x
xxf )(xf es la función
xy
6 =
derecha la a unidades 2 T.H.
arriba unidad 1 T.V.
6
2
4
+−+
x
x
� x
y6=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
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73
• 0=x es asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
6lim
6lim
0
0 0=y es asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
06
lim
06
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6
y 1− 2− 3− 6− 12− 12 6 3 2 1
11. Representa gráficamente las siguientes funciones radicales:
a) 21)(12)( −−=⇒−+−= xxfxxf )(xf→ es la función xy = trasladada horizontalmente 1
unidad a la derecha y verticalmente 2 unidades hacia abajo
� xy =
• ),0[)( +∞=fDom
• Tabla de valores x 0 1 4 9
y 0 1 2 3
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74
b) 42)( ++−= xxf )(xf→ es la función xy −= trasladada horizontalmente 2 unidades a la izquierda
y verticalmente 4 unidades hacia arriba
� xy −=
• ),0[)( +∞=fDom
• Tabla de valores x 0 1 4 9
y 0 1− 2− 3−
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75
c) 71)( +−= xxf )(xf→ es la función xy = trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha y
verticalmente 7 unidades hacia arriba
� xy =
• ),0[)( +∞=fDom
• Tabla de valores x 0 1 4 9
y 0 1 2 3
12. Representa gráficamente las siguientes funciones exponenciales:
a) x
xf
=3
1)(
• ℜ=)(xDomf
• ),0()((Re +∞== xfyc
• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +
+∞→= 0)(lim xf
x)
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 27 9 3 1 3
1
9
1
27
1
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76
b) x
xf−
=3
1)( )(xf→ es la simétrica de
x
y
=3
1 respecto al eje OY
� x
y
=3
1
• ℜ=
= )31
(x
yDom
• ),0()3
1(Re +∞=
=x
yc
• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +
+∞→= 0)(lim xf
x)
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 27 9 3 1 3
1
9
1
27
1
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77
c) 1
3
1)(
+
=x
xf )(xf→ es la función x
y
=3
1 trasladada horizontalmente 1 unidad a la izquierda.
� x
y
=3
1
• ℜ=
= )3
1(
x
yDom
• ),0()3
1(Re +∞=
=x
yc
• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +
+∞→= 0)(lim xf
x)
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 27 9 3 1 3
1
9
1
27
1
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
78
d) 23
1)( −
=x
xf )(xf→ es la función x
y
=3
1 trasladada verticalmente 2 unidades hacia abajo.
� x
y
=3
1
• ℜ=
= )3
1(
x
yDom
• ),0()3
1(Re +∞=
=x
yc
• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +
+∞→= 0)(lim xf
x)
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 27 9 3 1 3
1
9
1
27
1
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79
e) xxf 2)( −= )(xf→ es la simétrica de xy 2= respecto al eje OX
� xy 2=
• ℜ== )2( xyDom
• ),0()2(Re +∞== xyc
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +
−∞→= 0)(lim xf
x)
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
80
f) 12)( −= xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha
� xy 2=
• ℜ== )2( xyDom
• ),0()2(Re +∞== xyc
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +
−∞→= 0)(lim xf
x)
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
81
g) 32)( 1 −= +xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la izquierda y
verticalmente 3 unidades abajo.
� xy 2=
• ℜ== )2( xyDom ),0()2(Re +∞== xyc
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +
−∞→= 0)(lim xf
x)
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
82
h) 22)( 1 += −xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha y
verticalmente 2 unidades arriba.
� xy 2=
• ℜ== )2( xyDom ),0()2(Re +∞== xyc
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +
−∞→= 0)(lim xf
x)
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
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83
13. Representa gráficamente las siguientes funciones logarítmicas: a) )3(log)( 2 −= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 3 unidad a la derecha
� xy 2log=
• ),0()log( 2 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re 2 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
b) xxf 2log)( −= )(xf→ es la simétrica de la función xy 2log= respecto al eje OX
� xy 2log=
• ),0()log( 2 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re 2 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
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84
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
c) )(log)( 2 xxf −= )(xf→ es la simétrica de la función xy 2log= respecto al eje OY
� xy 2log=
),0()log( 2 +∞== xyDom
ℜ== )log(Re 2 xyc
Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
85
d) 1)2(log)( 2 −−= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada verticalmente 1 unidades hacia abajo
y horizontalmente 2 unidades a la derecha
� xy 2log=
• ),0()log( 2 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re 2 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
86
e) 1log)(3
1 −= xxf )(xf→ es la función xy3
1log= trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo
� xy3
1log=
• ),0()log(3
1 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re3
1 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x +∞=+→
)(lim0
xfx
x 9
1
3
1 1 3 9
y 2 1 0 1− 2−
f) )1(log)( 2 −= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha
� xy 2log=
• ),0()log( 2 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re 2 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
87
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
g) 1)1(log)(3
1 −+= xxf )(xf→ es la función xy3
1log= trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo y
horizontalmente 1 unidad a la izquierda
� xy3
1log=
• ),0()log(3
1 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re3
1 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x +∞=+→
)(lim0
xfx
x 9
1
3
1 1 3 9
y 2 1 0 1− 2−
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
88
h) 2)3(log)(2
1 −+= xxf )(xf→ es la función xy2
1log= trasladada verticalmente 2 unidad hacia abajo y
3 unidades a la izquierda
� xy2
1log=
• ),0()log(2
1 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re2
1 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x +∞=+→
)(lim0
xfx
• Tabla de valores
x 8 4 2 1 2
1
4
1
8
1
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
89
i) 3)1(log)( 2 +−= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha
y verticalmente 3 unidades hacia arriba
� xy 2log=
• ),0()log( 2 +∞== xyDom ℜ== )log(Re 2 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1( No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
90
14. Representa gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos:
a) ]2,0()0,()(
20 1
02 1
2 13
)(2
∪−∞=⇒
≤≤+<<−−
−≤−= fDom
xsix
xsix
xsix
xf
• linealfunción 13 →−= xy
x •− 2 3− 4− y 7− 10− 11−
• linealfunción 1 →−= xy
x Ο− 2 1− Ο0 y 3 2 1
• (parábola) cuadráticafunción 2 →= xy
cóncava01 →>=a (0,0)Vértice→
x •0 1 •2 y 0 1 4
b) ),3()0,()(
3 1
04 32
4 5
)( 2 +∞∪−∞=⇒
><≤−+−−
−<−
= fDom
xsi
xsixx
xsi
xf
• constantefunción 4 si 5 →−<−= xy
• (parábola) cuadráticafunción 322 →+−−= xxy
convexa01 →<−=a
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91
)4,1(
43213)1(2)1(
12
2
2Vértice2
−⇒
=++−=+−⋅−−−=
−=−
=−=→ V
y
a
bx
x •− 4 3− 2− 1− Ο0 y 5− 0 3 4 3
• constantefunción 3 si 1 →>= xy
c) )(
4 1
42
20 1
0
)(2
ℜ=⇒
≥<≤−<≤−
<
= fDom
xsi
xsix
xsix
xsix
xf
• linealfunción →= xy
x Ο0 1− 2− y 0 1− 2−
• (parábola) cuadráticafunción 12 →−= xy
cóncava01 →>=a
)1,0( 1
02
0
2Vértice −⇒
−=
==−=→
ya
bx
• linealfunción →−= xy
x •2 3 Ο4 y 2− 3− 4−
• constantefunción 4 si 1 →≥= xy
x •0 1 Ο2 y 1− 0 3
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
92
d) ℜ=⇒
>
≤= )(
0 1
0 1)( fDom
xsix
xsixf
• constantefunción 0 si 1 →≤= xy
• hipérbola 1 →=x
y
}0{)( −ℜ=fDom
No corta a los ejes coordenados
0=x asíntota vertical
0=y asíntota horizontal
x 5,0 1 2 4
y 2 1 5,0 25,0
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
93
e) }2{)(
1 42
12
2 2
)( 2 −−ℜ=⇒
≥+−<<−
−<
= fDom
xsix
xsix
xsi
xf
• constantefunción 2 si 2 →−<= xy
• (parábola) cuadráticafunción 2 →= xy
cóncava01 →>=a
)0,0( 1
02
0
2Vértice ⇒
−=
==−=→
ya
bx
• linealfunción 42 →+−= xy
x •1 2 3
y 2 0 2−
f) }0{)( 0
1
0 1)( −ℜ=⇒
<
>−= fDom
xsix
xsixxf
• linealfunción 1→−= xy
x Ο0 1 2
y 1− 0 1
• hipérbola 1 →=x
y
}0{)( −ℜ=fDom
x Ο− 2 0 Ο1 y 4− 0 1
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
94
0=x asíntota vertical
+∞==
−∞==
+→
−→
+
−
0
1)(lim
0
1)(lim
0
0
xf
xf
x
x 0=y asíntota horizontal
=∞+
=
=∞−
=
+
+∞→
−
−∞→
01
)(lim
01
)(lim
xf
xf
x
x
g) }2{)(
5 1
51 2
1
1 1
)(
2
−ℜ=⇒
≥+
<<−
≤+−
= fDom
xsix
xsix
xsix
xf
• (parábola) cuadráticafunción 12 →+−= xy
convexa01 →<−=a
)1,0( 1
02
0
2Vértice ⇒
=
=−
=−=→
ya
bx
x
5,0−
1− 2− 4−
y 2− 1−
5,0−
25,0−
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
95
x •1 0 1− 2−
y 0 1 0 3−
• hipérbola 2
1 →−
=x
y
}2{)( −ℜ=fDom
2=x asíntota vertical
+∞==
−∞==
+→
−→
+
−
0
1)(lim
0
1)(lim
2
2
xf
xf
x
x
0=y asíntota horizontal
=∞+
=
=∞−
=
+
+∞→
−
−∞→
01
)(lim
01
)(lim
xf
xf
x
x
• linealfunción 1→+= xy
x •5 6 7
y 6 7 8
x Ο1 5,1 5,2 3 4 Ο5
y 1− 2− 2 1 5,0 3
1
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96
h) }2{)( 0
2
1
0 1)( −−ℜ=⇒
<+
>−= fDom
xsix
xsixxf
• linealfunción 1→−= xy
x Ο0 1 2 y 1− 0 1
• hipérbola 2
1 →+
=x
y
}2{)( −−ℜ=fDom
2−=x asíntota vertical
+∞==
−∞==
+−→
−−→
+
−
01
)(lim
01
)(lim
2
2
xf
xf
x
x
0=y asíntota horizontal
=∞+
=
=∞−
=
+
+∞→
−
−∞→
01
)(lim
01
)(lim
xf
xf
x
x
x Ο0 1− 5,1− 5,2− 3− 4−
y 5,0 1 2 2− 1− 5,0
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
97
i) ),5(]4,()(
5 o 4 2
40 3
0 2
)( +∞∪−∞=
>=−<<−
≤=
−
fDom
xxsix
xsix
xsi
xf
x
• lexponenciafunción 2 →= − xy
x •0 1− 2− 3−
y 1 2 4 8
• linealfunción 3 →−= xy
x Ο0 1 Ο4 y 3 2 1−
• linealfunción 2 →−= xy
x 4 Ο5 6 7
y 2 3 4 5
j) 34)( 2 −+−= xxxf
1º) Representamos la parábola: 342 −+−= xxy
1) ∩⇒<−= convexa01a
2) Eje de simetría 222
4
2=⇒=
−−=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )1,2( 13843)2(4)2()2(
22
Vfy
x
v
v⇒
=−+−=−⋅+−==
=
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=−+−=
0
342
y
xxy
==
⇔−
±−=−
−±−=⇔=−+−3
1
2
24
2
121640342
x
xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son
)0,1( y )0,3(
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
98
Eje OY: 30
342
−=⇒
=−+−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )3,0( −
5) Tabla de valores
x 1− 0 1 2 3 4 5
y 8− 3− 0 1 0 3− 8−
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
99
k)
≥−−
<−+=−−=
0 si 2
0 si 22)(
2
22
xxx
xxxxxxf
• 22 −+= xxy
1) ∪⇒>= cóncva01a
2) Eje de simetría 5,05,02
1
2−=⇒−=−=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice
−−⇒
−=−=−
−+
−=
−=
−=
4
9,
2
1
25,24
92
2
1
2
1
2
1
2
1
2 V
fy
x
v
v
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=−+=
0
22
y
xxy
−==
⇔±−=+±−=⇔=−+2
1
2
31
2
811022
x
xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,1( y
)0,2(−
Eje OY: 20
22
−=⇒
=−+=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )2,0(−
5) Tabla de valores
x 3− 2− 1− 2
1− 0 1 2
y 4 0 2− 4
9− 2− 0 4
• 22 −−= xxy
1) ∪⇒>= cóncva01a
2) Eje de simetría 5,02
1
2==⇒
−= xa
bx
3) Vértice
−⇒
−=−=−
−
=
=
=
4
9,
2
1
25,24
92
2
1
2
1
2
1
2
1
2 V
fy
x
v
v
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
100
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=−−=
0
22
y
xxy
−==
⇔±=+±=⇔=−−1
2
2
31
2
811022
x
xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,1(− y
)0,2(
Eje OY: 20
22
−=⇒
=−−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )2,0(−
5) Tabla de valores
x 2− 1− 0 2
1 1 2 3
y 4 0 2− 4
9− 2− 0 4
l) 45)( 2 −−= xxxf
1º) Representamos la parábola: 452 −−= xxy
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría 5,22
5
2==⇒
−= xa
bx
3) Vértice
−⇒
−=−=−
⋅−
=
=
=
4
41,
2
5
25,104
414
2
55
2
5
2
5
5,22 V
fy
x
v
v
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101
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=−−=
0
452
y
xxy
−≅−=
≅+=⇔±=
−+±=⇔=−−
7,02
415
7,52
415
2
415
2
162550452
x
xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje
OX son
+0,
2
415 y
−0,
2
415
Eje OY: 40
452
−=⇒
=−−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )4,0( −
5) Tabla de valores
x 0 1 2 2
5 3 4 5
y 4− 8− 10− 4
41− 10− 8− 4−
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
102
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
m) xxf ln)( =
1º) Representamos la función logarítmica: xy ln=
• ),0()ln( +∞== xyDom
• Corta al eje OX en el punto )0,1(
• No corta al eje OY
• 0=x es asíntota vertical por la derecha ))(lim(0
−∞=+→
xfx
• Tabla de valores
x +0 1 e 2e
y ∞− 0 1 2
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103
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
n) 42)( −= xxf
1º) Representamos la función exponencial: 42 −= xy (que, a su vez, es la función xy 2= trasladada
verticalmente 4 unidades hacia abajo)
� xy 2=
• ℜ== )2( xyDom
• ),0()2(Re +∞== xyc
• No corta al eje OX Punto ce corte con el eje OY )1,0(
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +
−∞→= 0)(lim xf
x)
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
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104
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
o) )2ln()( −= xxf
1º) Representamos la función logarítmica: )2ln( −= xy (que, a su vez, es la función xy ln= trasladada
horizontalmente 2 unidades a la derecha)
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105
� xy ln=
• ),0()ln( +∞== xyDom
• Corta al eje OX en el punto )0,1(
• No corta al eje OY
• 0=x es asíntota vertical por la derecha ))(lim(0
−∞=+→
xfx
• Tabla de valores
x +0 1 e 2e
y ∞− 0 1 2
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
106
p) 1
2)(
−=
xxf
1º) Representamos la función 1
2
−=
xy , que a su vez, es la función
xy
2= trasladada horizontalmente 1
unidad a la derecha
� x
y2=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
2lim
2lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
02
lim
02
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4
y 5,0− 1− 2− 4− 4 2 1 5,0
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107
1 −
1+x
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
q) 1
1)(
+−=
x
xxf
1º) Representamos la función 1
1
1
1
++−=
−−=
x
x
x
xy
⇒−+
=⇒++−= 1
1
2
1
1
xy
x
xy Es la función
xy
2 =
izquierda la a unidad 1 T.H.
abajo unidad 1 T.V.
2
1
1
+++−
x
x
� x
y2=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
2lim
2lim
0
0
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
108
• 0=y asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
02
lim
02
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4
y 5,0− 1− 2− 4− 4 2 1 5,0
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
109
r) x
xf−
=3
2)(
1º) Representamos la función 3
2
3
2
−−=
−=
xxy , que es la función
xy
2−= trasladada horizontalmente 3
unidades a la derecha
� x
y2−=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
−∞=−
+∞=−
+
−
→
→
x
x
x
x
2lim
2lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=−
=−
−
+∞→
+
−∞→
02
lim
02
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4
y 5,0 1 2 4− 4− 2− 1− 5,0−
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
110
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
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111
15. Representa gráficamente las siguientes funciones:
Todas las funciones de este ejercicio se obtienen efectuando transformaciones a las funciones senxy = ,
xy cos= ò tgxy = .
� senxy =
• ℜ== )( senxyDom
• ]1,1[)(Re −== senxyc
• Periódica de periodo π2=T
x 0 2
π π
2
3π π2
y 0 1 0 1− 0
� xy cos=
• ℜ== )cos( xyDom
• ]1,1[)cos(Re −== xyc
• Periódica de periodo π2=T
x 0 2
π π
2
3π π2
y 1 0 1− 0 1
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
112
� tgxy =
•
Ζ∈+−ℜ== kktgxyDom ;
2)12()(π
• ℜ== )(Re tgxyc
• Periódica de periodo π=T
• 2
π−=x es asíntota vertical
−∞=
+∞=
+
−
−→
−→
tgx
tgx
x
x
2
2
lim
lim
π
π
2
π=x es asíntota vertical
−∞=
+∞=
+
−
→
→
tgx
tgx
x
x
2
2
lim
lim
π
π
x +
−2
π
4
π− 0 4
π
−
2
π
y ∞− 1− 0 1 ∞+
a) )()( π+= xsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente π unidades a la izquierda.
c) 4)()( −+= πxsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente π unidades a la izquierda y verticalmente
4 unidades hacia abajo.
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113
g) →−= )()( xsenxf es la simétrica de senxy = respecto al eje OX
b)
−−=2
)(π
xsenxf senxy −=→ trasladada horizontalmente 2
π a la derecha.
senxy −= es la simétrica de senxy = respecto al eje OX
h) →−= )()( xsenxf es la simétrica de senxy = respecto al eje OY. Pero, recuerda que αα sensen −=− )( ,
por tanto, en este caso también es la simétrica de senxy = respecto al eje OX.
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