Idő-frekvencia transzformációk – waveletek Pokol Gergő BME NTI Üzemi mérések és diagnosztika 2013. áprils 17.
Idő-frekvencia transzformációk –
waveletek
Pokol Gergő
BME NTI
Üzemi mérések és diagnosztika
2013. áprils 17.
2
Vázlat
• Alapfogalmak az idő-frekvencia síkon
• Rövid idejű Fourier-transzformáció –
spektrogram
• Folytonos wavelet transzformáció – skálagram
• Spektrogram, skálagram alkalmazások
• Folytonos vagy diszkrét?
• Többfelbontású analízis
• Ortogonális wavelet transzformáció alapú
eljárások
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
3
Alapfogalmak:
Idő-frekvencia sík
Idő-frekvencia atom
• Energiasűrűség az idő-frekvencia síkon - peremeloszlások
• Idő-frekvencia atom:
Olyan függvény, aminek
energiája időben és
frekvenciában is lokalizált.
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
dff
dttfutf
dff
dttftf
u
t
22
2
2
22
2
2
2
2
2
2
)(2
1
)(1
)(2
1
)(1
4
Határozatlansági reláció
• Alsó korlát az idő-frekvencia atom kiterjedésére
• Egyenlőség Gábor-atomra (Gábor Dénes, 1946):
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
2
1 t
2)()( utbti eaetf
5
Heisenberg-doboz
• Idő-frekvencia atom kiterjedése az idő-frekvencia síkon
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
6
Rövid idejű Fourier-transzformáció 1.
• STFT: short-time Fourier-transform
• folytonos ablakozott Fourier-transzformáció
• Az idő-frekvencia atom:
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
, ( )i t
ug e g t u
1|||| g
7
Rövid idejű Fourier-transzformáció 2.
• A transzformáció:
• Invertálható, a jel teljes energiája megmarad.
• Energiasűrűség-eloszlás az idő-frekvencia síkon
(spektrogram):
• Egyenletes lefedés:
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
2|),(|),( uSfufPS
,( , ) , ( ) ( ) i t
uSf u f g f t g u t e dt
8
Példa spektrogram alkalmazására
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
Frekvencia (kHz)
0
2
4
6
8
Idő (s) 10 20 40 50
9
Wavelet definíció
• Wavelet: időben jól lokalizált, nullközepű függvény.
• Komplex, analitikus wavelet: frekvenciában is jól
lokalizált!
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
10
Folytonos wavelet transzformáció 1.
• CWT: continuous wavelet transform
• Komplex, analitikus wavelet
• Az idő-frekvencia atom:
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
s
ut
ssu
1, 1||||
11
Folytonos wavelet transzformáció 2.
• A transzformáció:
• Invertálható, a jel teljes energiája megmarad.
• Energiasűrűség-eloszlás az idő-frekvencia síkon
(skálagram):
• Lefedés változó
alakú atomokkal:
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
2|),(|),( suWfsufPW
dt
s
ut
stffsuWf su
1)(,),( ,
12
Példa skálagram alkalmazására
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
Frekvencia (Hz)
7400
5300
4100
1800
830
180
Idő (s) 7,7 7,8 7,9 8,0 8,1 8,2
13
Példa skálagram alkalmazására
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
Frekvencia (Hz)
7400 5300 4100
1800
830
180
Idő (s) 7,7 7,8 7,9 8,0 8,1 8,2
14
Példa skálagram alkalmazására
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
Frekvencia (Hz)
7500
1300 - 2550 830 - 1260
140
50
15 - 35
1
Idő (s) 0,0 0,5 1,0 2,0 2,5 8,2 3,0
15
A két módszer összehasonlítása
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
16
Idő-frekvencia atomok kiválasztása
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
• Komplex, analitikus atomok (STFT esetén automatikusan)
• Az atom típusa függ a jeltől, de általában a Gábor-atom jó
(Gauss-ablak, Morlet-wavelet)
• Az atom paramétereit a fizikai modell határozza meg:
– STFT esetén az ablakhosszt
– CWT esetén a wavelet rendjét (~hullámok számát)
• A „jó” paraméterezést a fizikai kép határozza meg
(lásd: lebegés)
17
Lebegés
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
f1=300 Hz
f2=303 Hz
ttAtAtA
2cos
2cos2coscos 1212
21
R=600
R=60 R=200 R=300
300 Hz 303 Hz
300 Hz 303 Hz
301,5 Hz
0,66 s 1,5 Hz
t
t
t
t
18
Lebegés példa
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
Fre
kven
cia
(kH
z)
1
10
Idő (s) 4 6 8 10 12 14
19
Vibrafon
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
20
Vibrafon
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
21
Folytonos vagy diszkrét
Alapvető tulajdonságok
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
• A folytonos transzformáció:
– idő-eltolás invariáns
– frekvencia-eltolás invariáns (vagy skálainvariáns)
– a transzformált értékek összefüggnek
– redundáns ábrázolás
• A diszkrét transzformáció (ortogonális bázissal):
– nem idő-eltolás invariáns
– nem frekvencia-eltolás invariáns
– a transzformált értékek függetlenek
– nem redundáns ábrázolás
22
Folytonos vagy diszkrét
Melyiket használjuk?
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
• A folytonos transzformáció:
– tranziens jeleknél fontos az invariancia
– vizualizálásnál hasznos a sima (összefüggő) kép
– az atomok szabadon választhatók
• A diszkrét transzformáció (ortogonális bázissal):
– sztochasztikus stacioner jeleknél nem fontos az invariancia,
további statisztikus feldolgozás esetén hasznos a függetlenség
– ha a további használat előtt inverz transzformáljuk (szűrés,
tömötítés)
– speciális ortogonális bázisok (atomok) kellenek (keret elmélet)
• Kevert tulajdonságú transzformációk
– pl. csúszóablakos FFT
23
Ortogonális wavelet transzformáció
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
• FWT (fast wavelet transform), gyors wavelet
transzformáció
• Diszkrét transzformáció ortogonális waveletekre
• Speciális wavelet-ek: keret elmélet (frame theory)
– Morlet-wavelet nem jó.
• Diadikus skálázás, mintavétel:
24
Ortogonális wavelet Példa
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
• Egy lépésben waveletekte és azokra ortogonális
skálafüggvényekre bontunk (Példa: Haar-wavelet, 1909)
25
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
MRA (Multiresolution analysis), többfelbontású analízis
26
MRA
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
• MRA (Multiresolution analysis), többfelbontású analízis:
felbontás különböző skálaparaméterű közelítésekre és azt
kiegészítő jelrészletekre
Emlékeztető
27
Szűrő csoportok
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
• Minden diszkrét waveletnek megfelel egy digitális szűrő.
• Wavelet felüláteresztő szűrő
• Skálafüggvény aluláteresztő szűrő
• Analízis (dekompozíció):
FWT: szűrők és lemintavételezések ciklikus alkalmazása
Lemintavételezés: minden második pontot kihagyjuk
28
Gyors wavelet transzformáció
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
• Szintézis (rekonstrukció):
Az analízis inverze
felmintavételezéssel, duális (tükrözött) szűrőkkel
(Felmintavételezés: minden pont közé beszúrunk egy 0-t)
29
Gyors wavelet transzformáció
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
30
Különböző wavelet családok
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
– Haar (legegyszerűbb)
– Daubechies (legtöbb eltűnő momentum adott hosszra, N/2)
– Symlet (hasonló a Daubechies-hez, csak szimmetrikusabb)
– …
db4 db8
31
FWT alapú zajszűrés
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
• FWT szűrés Inverz FWT
• Fontos a diszkrét ortogonális transzformáció
függetlenül megváltoztatható komponensek
• Kemény küszöb: adott érték alatt elhagyjuk
• Puha küszöb: adott értékkel csökkentjük az összest
• Küszöb számolható különböző zajtípusokra
• A wavelet kiválasztása kritikus
• Hasonló elven működnek a tömörítő eljárások
32
FWT alapú tömörítés
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
• 2D waveletek (pl. JPEG2000)
• Mozgóképekben is alkalmazzák (pl. ZRLE)
Piecewise-Linear Haar (PLHaar) wavelet
33
Egyéb,
avagy
Mit szokás még wavelet módszerként
emlegetni?
• Mindent, ahol egy skálainvariáns bázis szerepet játszik:
– Speciális waveletek korlátos jelekre
– Biortogonális waveletek
– Bármiféle wavelet transzformáción alapuló adatfeldolgozási eljárást
– Skálainvariáns bázis szerinti kifejtésen alapuló analitikus közelítő
megoldásokat
– Skálainvariáns bázisfüggvényeket használó numerikus módszereket
– Skálainvarianciát kihasználó tömörítési eljárásokat
– Mintázatfelismerő eljárásokat
– ...
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
34
Irodalom
• Stéphane Mallat: A wavelet tour of signal processing
(Academic Press)
• http://cas.ensmp.fr/~chaplais/wavetour_presentation/
• Alfred Mertins: Signal analysis
(John Willey & Sons Ltd.)
• ...
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
Előadás: www.reak.bme.hu/pokol
35
Wigner-Ville eloszlás 1.
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
• Definíció:
• Interferencia:
deufufufP i
V
2
*
2),(
36
Wigner-Ville eloszlás 2.
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
• Elemi idő-frekvencia atomokra pontos idő-frekvencia
energiasűrűség-eloszlás
• Paraméterezést nem igényel
• Összetett jelre negatív értéket is felvehet
Nem értelmezhető energiasűrűség-eloszlásként
• Lényeges jelkomponensek is elveszhetnek az
interferenciában
37
Cohen-osztály
Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek
Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.
• Interferencia csökkentése simítással:
• Simító kernelt megfelelően kell megválasztani
• Csökken az idő-frekvencia felbontás
• Paraméterezést igényel
• Speciális esete a lineáris transzformáció (STFT, CWT),
mikor az interferencia teljesen eltűnik.
• Lin. tr. esetén simítás az atomok Wigner-Ville eloszlásával
duduuufPufP V ),,,(),(),(