of 68

Ian Steward - A Termeszet Számai

Oct 23, 2016

ReportDownload

Documents

gabesz8

  • VILG-EGYETEMIan Steward

    A TERMSZET SZMAIA matematikai kpzelet irrelis realitsa

    (Tartalom)

    ELSZA virtulis valtlansg gp

    Van egy lmom.Krlvesz a semmi. Nem az res tr, mert nincs tr, ami res legyen. Nem feketesg, mert nincs,ami fekete legyen. Egyszeren csak a hiny vrja, hogy jelenltt vljon. Parancsok jutnak eszembe:Legyen tr. De ht milyen tr? Vlaszthatok: hromdimenzis, sokdimenzis vagy akr grblt.Vlasztok.jabb parancs, s a tr megtelik hullmz, rvnyl folyadkkal itt nyugodt hmplygs, otttajtkz rvny. Befestem a teret kkre, s fehr ramvonalakat rajzolok a folyadkba, hogykiemeljem a mintk radst.Kicsi, piros gmbt teszek a folyadkba. Lebeg, tmasz nlkl, nem tudva a krltte lv koszrl,amg jelt nem adok. Akkor elsiklik egy ramvonal mentn. Szzadrsznyire zsugortva a gmbfelsznre bvlm magam, hogy madrtvlatbl figyelhessem az esemnyeket. Nhnymsodpercenknt zld jelet rakok a folyadkba, hogy megjegyezzem a gmb tjt. Mikor egy jeletmegrintek, kivirgzik, mint sivatagi kaktusz lasstott felvtelen, amikor jn az es, s minden levlenkpek, szmok, szimblumok. A gmbt is ki tudom virgoztatni, s mozgsval egytt vltoznak akpek, szmok, szimblumok.Nem vagyok elgedett a sorjz szimblumokkal, tpccintem teht a gmbt egy msik ramvonalba,helyzett prblgatom, mg megpillantom a keresett szingularits flrerthetetlen nyomait. Pattintokegyet az ujjammal, mire a gmb sajt jvjbe extrapollja magt s jelenti, mit tallt. gretes...Hirtelen egsz felhnyi vrs gmbt sodor elm a folyadk, halrajknt spriccen szt, rvnylen,indkat nveszt, aztn ellapul. Egyre tbb gmbraj szll be a jtkba aranyszn, bbor, barna,ezsts, rzsaszn... Mg kifogyok a sznekbl!Sokszn lapok metszik egymst bonyolult geometriai alakzatban. Kimerevtem, kisimtom, svosankifestem. Egyetlen mozdulattal szmzm a gmbket. Jelzket hvok ltre, megvizsglom ki nem nyltleveleiket, kihzok egyet-egyet s tltsz rcsozathoz rintem, ami gy bontakozik ki, mint oszlkdbl a tj.Igen!j parancsot adok: Kiments. Cm: jabb kaotikus jelensg a hrom-test-problmban. Dtum: ma.A tr nemltez ressgg roskad. Ekkor, a reggeli kutatmunkt befejezve, elszakadok virtulisvaltlansg gpemtl, s ebd utn nzek.Ez a klns lom csaknem igaz. Mr vannak virtulis valsgrendszereink, amelyek szimulljk anormlis trben zajl esemnyeket. Azrt hvom az lmom virtulis valtlansgnak, mert mindentkpes szimullni, amit a matematikus termkeny kpzelete kitl. A virtulis valtlansg gpnek mrszinte minden alkatrsze rendelkezsnkre ll.Van olyan grafikai software, amelyik vgigrepti nket brmely geometriai alakzaton, olyandinamikus rendszerekhez tartoz software, amely brmely egyenletet le tud vezetni, szimbolikus

  • algebrai software, amely a legborzalmasabb szmtsok knjaitl szabadt meg s azokat helyesenelvgzi. Csak id krdse, s a matematikusok behatolnak sajt alkotsaikba.De legyen brmilyen csodlatos az effajta technolgia, nincs r szksgnk az lmommegvalstshoz. Ez az lom most is realits, ott van minden matematikus fejben. Ilyen rzs fogjael alkots kzben. Hogy kltien fogalmazzak: az objektumokat, amelyeket a matematikus vilgbantallunk, ltalban szimbolikus cmkkkel vagy nevekkel klnbztetik meg, nem pedig sznekkel. maz e vilgban otthonosan mozg emberek szmra az effajta cmkk ppolyan elevenek, mint a sznek.St, tarka kpei ellenre, lmom csak halovny rnyka annak a fantziavilgnak, amelyben mindenmatematikus l olyan vilgban, ahol a grblt, tbb mint hromdimenzis tr a trvnyszer.Valsznleg idegennek s furcsnak talljk ezeket a kpeket, nagyon klnbznek attl az algebraiszimboliktl, ami a matematikus szrl esznkbe jut. A matematikusok rknyszerlnek, hogyrsos szimblumokat s kpeket hasznljanak vilguk lersakor egyms szmra is. De aszimblumok gy viszonyulnak ehhez a vilghoz, mint a hangjegyek a muzsikhoz.Az vszzadok sorn a matematikusok kollektv tudata megalkotta sajt univerzumt. Hogy ez hol van,nem tudom s gondolom, a hol sz itt rtelmt is veszti , de biztostom az olvast: ez amatematikai univerzum nagyon is relis annak a szmra, aki benne l. Az emberisg ppen amatematika rvn hatolt be legmlyebben krnyez vilga rejtelmeibe.A matematika birodalmba kalauzolom el az olvast. Megprblom elrni, hogy a matematikusszemvel lssanak. Akkor taln sajt vilgukra is mskpp nznek majd.

    1. FEJEZETA termszet rendje

    Mintk vilgban lnk.A csillagok minden jjel krk mentn mozognak az gen. Az vszakok ciklikusan vltakoznak,venknti szakaszokban. Nincs kt pontosan megegyez hpehely, de mindegyik hatszgszimmetritmutat. A tigrisek s zebrk cskosak, a leoprdokat s a hinkat foltok dsztik. Bonyolulthullmsorok haladnak az cenokon, hozzjuk nagyon hasonl homokdnesorok vonulnak asivatagokon t. Sznes szivrvnyok kestik az eget, s tli jszakkon nha fnyes udvar vezi aHoldat. A felhkbl majdnem gmb alak vzcseppek hullanak.Az emberi rtelem s kultra egy formlis gondolati rendszert dolgozott ki a mintk felismersre,osztlyozsra s hasznostsra. Ez a matematika. Segtsgvel szervezve s rendszerezvegondolatainkat, rjttnk egy nagy titokra: a termszet minti nemcsak arra valk, hogy csodljukket, hanem egyben kulcsot is adnak a termszeti folyamatokat megszab trvnyek megfejtshez.Ngyszz ve Johannes Kepler nmet csillagsz kis knyvet rt A hatszglet hpehely cmmel,jvi ajndkul egyik szponzornak. Ebben azt fejtegette, hogy a hpelyhek bizonyra parnyi,azonos egysgek egyms mell kerlsvel keletkeznek. Tette ezt jval azeltt, hogy az anyag atomosszerkezetnek elmlete ltalnosan elfogadott vlt volna. Kepler nem vgzett ksrleteket;egyszeren csak mlyen belegondolt az addig ismert tnyek egy-egy morzsjba. Legfbb rve ahpelyhek hatszg szimmetrija volt, ami a szablyos elrendezds termszetes kvetkezmnye. Hasok egyforma rmt rakunk az asztalra, s olyan szorosan prbljuk elhelyezni ket, amennyire csaklehet, mhsejt-elrendezst kapunk, amelyben minden sejtet kivve a szlsket hat msik veszkrl, hatszg alakban.A csillagok szablyos jszakai mozgsa is kulcs, ezttal ahhoz, hogy a Fld forog. A hullmok s adnk kulcsot adnak a vz, homok s leveg ramlsnak trvnyeihez. A tigris cskjai s a hina

  • foltjai a biolgiai nvekeds s forma matematikai szablyossgrl tanskodnak. A szivrvnyok afny szrdsrl reglnek, s kzvetve megerstik, hogy a vzcseppek gmbk. A holdudvar ajgkristlyok alakjnak titkhoz vezet el. Sok szpsg van a termszet kdjaiban, amelyeket akrmatematikai tuds nlkl felismerhetnk. Azokban a matematikai trtnetekben is van szpsg,amelyek a mintkbl indulnak ki, s a bennk rejl trvnyekhez, szablyszersgekhez jutnak el, deez msfajta szpsg, inkbb idek szpsge, mint dolgok. A matematika gy viszonyul atermszethez, mint Sherlock Holmes a bizonytkhoz. Ha egy szivarcsikket adnak neki, a nagy detektvmeg tudja llaptani a tulajdonos kort, foglalkozst s anyagi helyzett. Bartja, Dr. Watson, akinekrzkenysge az effle dolgok irnt kisebb, csak muldozik, mg a Mester eladja kifogstalan logikailevezetst. Ha hatszg hpelyheket adnak neki, a matematikus le tudja vezetni bellk ajgkristlyok atomjainak geometriai felptst. Ha n Watson, ez csak bmulatra mlt trkk, deszeretnm nnek megmutatni, milyen rzs Sherlock Holmesnak lenni.A mintk nemcsak szpek, hasznosak is. Mikor megismertnk egy httrmintt, hirtelen kitkznek akivtelek. A sivatag csendes, de az oroszln lopakodik. A krplyn halad csillagok alkottahttrhez kpest felhvja magra a figyelmet nhny csillag, amely egszen mskpp mozog. Agrgk plantknak neveztk ket, ez vndor-t jelent, s mi is ezt a szt hasznljuk. Abolygmozgs sokkal ksbb vlt rthetv, mint a csillagok jszakai krmozgsa. Az egyik nehzsgaz, hogy a Naprendszeren bell vagyunk, vele egytt mozgunk, s a kvlrl egyszernek ltszdolgok gyakran sokkal bonyolultabbaknak bizonyulnak bellrl. A bolygk a tmegvonzs s amozgs kapcsolatnak megfejtst adtk.Bizonyos jfajta mintkat csak most ismernk meg. Csak az utbbi harminc vben vettek tudomst ktmintrl, amelyeket ma fraktloknak, ill. kosznak neveznk. A fraktlok geometriai alakzatok,jellegzetessgk, hogy brmilyen mrettartomnyban megtalljuk ismtldsket (e fejezet vgn mgszlok rluk). A kosz ltszlagos vletlenszersg, amelynek eredete tkletesen meghatrozott(ezzel rszletesebben foglalkozom a 8. fejezetben). A termszet tbb millird vvel ezeltt is tudottezekrl a mintkrl, mert pldul a felh fraktl s az idjrs kaotikus. Az emberisgnek azonbanbeletelt egy kis idbe, mg mindezt felfogta.A legegyszerbb matematikai objektumok a szmok, s a legegyszerbb termszeti mintkszmszerek. A Hold fzisai teljes ciklust alkotnak jholdtl teliholdig s vissza, huszonnyolcnaponknt. Az v majdnem pontosan hromszzhatvant napbl ll. Az embernek kt lba van, amacsknak ngy, a rovaroknak hat, s a pkoknak nyolc. A tengeri csillagnak t karja van (vagy tz,tizenegy, esetleg tizenht, fajttl fggen). A lhere ltalban hrom level: a babona, mely szerint angylevel lhere szerencst hoz, azt a mly meggyzdst tkrzi, hogy a minta alli kivtelekspecilis jelentsggel brnak. Valban klns minta mutatkozik a virgszirmoknl. Majdnemminden virg szirmainak szma megtallhat a kvetkez furcsa sorozatban: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89. Pldul, a liliom szirmainak szma 3, a boglrk 5, sok szarkalb 8, a glyahr 13, azszirzs 21 s a legtbb szzszorszp 34, 55 vagy 89. Nem tallunk semmilyen ms szmot ilyengyakorisggal. Ezekhez a szmokhoz meghatrozott minta rendelhet, s nmi keresgls utnrjvnk: minden szm az elz kett sszege. Pldul 3+5=8, 5+8=13 stb. Ugyanezeket a szmokattalljuk, ha megszmoljuk a napraforg spirlis minta szerint sorjz magvait. Ezt a specilis minttsok vszzaddal ezeltt szrevettk, s azta alaposan tanulmnyozzk, de valban kielgtmagyarzatot senki sem adott 1993-ig. Errl majd a 9. fejezetben olvashatnak.A numerolgia a legknnyebb s egyben a legveszlyesebb mdszer a mintk keressre. Knny,mert brki megprblkozhat vele, s veszlyes, ugyanezrt. A nehzsg abban rejlik, hogy a jelentsnumerikus mintkat megklnbztessk az esetlegesektl. me egy plda. Kepler lelkesedett a

  • termszetben fellelhet matematikai mintkrt, s letnek nagy rszt arra ldozta, hogy a bolygkviselleedsben ilyeneket talljon. Egyszer s takaros kis elmletet dolgozott ki arra, hogy pontosanhat bolyg van (az idejben csak a Merkr, a Vnusz, a Fld, a Mars, a Jupiter s a Szaturnusz voltismert). Ugyancsak felfedezett egy ig