VILÁG-EGYETEMIan Steward

A TERMÉSZET SZÁMAIA matematikai képzelet irreális realitása

(Tartalom)

ELŐSZÓA virtuális valótlanság gép

Van egy álmom.Körülvesz – a semmi. Nem az üres tér, mert nincs tér, ami üres legyen. Nem feketeség, mert nincs,ami fekete legyen. Egyszerűen csak a hiány várja, hogy jelenlétté váljon. Parancsok jutnak eszembe:Legyen tér. De hát milyen tér? Választhatok: háromdimenziós, sokdimenziós vagy akár görbült.Választok.Újabb parancs, és a tér megtelik hullámzó, örvénylő folyadékkal – itt nyugodt hömpölygés, otttajtékzó örvény. Befestem a teret kékre, és fehér áramvonalakat rajzolok a folyadékba, hogykiemeljem a minták áradását.Kicsi, piros gömböt teszek a folyadékba. Lebeg, támasz nélkül, nem tudva a körülötte lévő káoszról,amíg jelt nem adok. Akkor elsiklik egy áramvonal mentén. Századrésznyire zsugorítva a gömbfelszínére bűvölöm magam, hogy madártávlatból figyelhessem az eseményeket. Néhánymásodpercenként zöld jelet rakok a folyadékba, hogy megjegyezzem a gömb útját. Mikor egy jeletmegérintek, kivirágzik, mint sivatagi kaktusz lassított felvételen, amikor jön az eső, és minden levélenképek, számok, szimbólumok. A gömböt is ki tudom virágoztatni, és mozgásával együtt változnak aképek, számok, szimbólumok.Nem vagyok elégedett a sorjázó szimbólumokkal, átpöccintem tehát a gömböt egy másik áramvonalba,helyzetét próbálgatom, míg megpillantom a keresett szingularitás félreérthetetlen nyomait. Pattintokegyet az ujjammal, mire a gömb saját jövőjébe extrapolálja magát és jelenti, mit talált. Ígéretes...Hirtelen egész felhőnyi vörös gömböt sodor elém a folyadék, halrajként spriccen szét, örvénylően,indákat növeszt, aztán ellapul. Egyre több gömbraj száll be a játékba – aranyszínű, bíbor, barna,ezüstös, rózsaszín... Még kifogyok a színekből!Sokszínű lapok metszik egymást bonyolult geometriai alakzatban. Kimerevítem, kisimítom, sávosankifestem. Egyetlen mozdulattal száműzöm a gömböket. Jelzőket hívok létre, megvizsgálom ki nem nyíltleveleiket, kihúzok egyet-egyet és átlátszó rácsozathoz érintem, ami úgy bontakozik ki, mint oszlóködből a táj.Igen!Új parancsot adok: „Kimentés. Cím: Újabb kaotikus jelenség a három-test-problémában. Dátum: ma.”A tér nemlétező ürességgé roskad. Ekkor, a reggeli kutatómunkát befejezve, elszakadok virtuálisvalótlanság gépemtől, és ebéd után nézek.Ez a különös álom csaknem igaz. Már vannak virtuális valóságrendszereink, amelyek szimulálják a„normális” térben zajló eseményeket. Azért hívom az álmom virtuális valótlanságnak, mert mindentképes szimulálni, amit a matematikus termékeny képzelete kiötöl. A virtuális valótlanság gépnek márszinte minden alkatrésze rendelkezésünkre áll.Van olyan grafikai software, amelyik „végigrepíti” önöket bármely geometriai alakzaton, olyandinamikus rendszerekhez tartozó software, amely bármely egyenletet le tud vezetni, szimbolikus

algebrai software, amely a legborzalmasabb számítások kínjaitól szabadít meg – s azokat helyesenelvégzi. Csak idő kérdése, és a matematikusok behatolnak saját alkotásaikba.De legyen bármilyen csodálatos az effajta technológia, nincs rá szükségünk az álmommegvalósításához. Ez az álom most is realitás, ott van minden matematikus fejében. Ilyen érzés fogjael alkotás közben. Hogy költőien fogalmazzak: az objektumokat, amelyeket a matematikus világábantalálunk, általában szimbolikus címkékkel vagy nevekkel különböztetik meg, nem pedig színekkel. Ámaz e világban otthonosan mozgó emberek számára az effajta címkék éppolyan elevenek, mint a színek.Sőt, tarka képei ellenére, álmom csak halovány árnyéka annak a fantáziavilágnak, amelyben mindenmatematikus él – olyan világban, ahol a görbült, több mint háromdimenziós tér a törvényszerű.Valószínűleg idegennek és furcsának találják ezeket a képeket, nagyon különbözőnek attól az algebraiszimbolikától, ami a „matematikus” szóról eszünkbe jut. A matematikusok rákényszerülnek, hogyírásos szimbólumokat és képeket használjanak világuk leírásakor – egymás számára is. De aszimbólumok úgy viszonyulnak ehhez a világhoz, mint a hangjegyek a muzsikához.Az évszázadok során a matematikusok kollektív tudata megalkotta saját univerzumát. Hogy ez hol van,nem tudom – s gondolom, a „hol” szó itt értelmét is veszti –, de biztosítom az olvasót: ez amatematikai univerzum nagyon is reális annak a számára, aki benne él. Az emberiség éppen amatematika révén hatolt be legmélyebben környező világa rejtelmeibe.A matematika birodalmába kalauzolom el az olvasót. Megpróbálom elérni, hogy a matematikusszemével lássanak. Akkor talán saját világukra is másképp néznek majd.

1. FEJEZETA természet rendje

Minták világában élünk.A csillagok minden éjjel körök mentén mozognak az égen. Az évszakok ciklikusan váltakoznak,évenkénti szakaszokban. Nincs két pontosan megegyező hópehely, de mindegyik hatszögszimmetriátmutat. A tigrisek és zebrák csíkosak, a leopárdokat és a hiénákat foltok díszítik. Bonyolulthullámsorok haladnak az óceánokon, hozzájuk nagyon hasonló homokdűnesorok vonulnak asivatagokon át. Színes szivárványok ékesítik az eget, és téli éjszakákon néha fényes udvar övezi aHoldat. A felhőkből majdnem gömb alakú vízcseppek hullanak.Az emberi értelem és kultúra egy formális gondolati rendszert dolgozott ki a minták felismerésére,osztályozására és hasznosítására. Ez a matematika. Segítségével szervezve és rendszerezvegondolatainkat, rájöttünk egy nagy titokra: a természet mintái nemcsak arra valók, hogy csodáljukőket, hanem egyben kulcsot is adnak a természeti folyamatokat megszabó törvények megfejtéséhez.Négyszáz éve Johannes Kepler német csillagász kis könyvet írt „A hatszögletű hópehely” címmel,újévi ajándékul egyik „szponzorának”. Ebben azt fejtegette, hogy a hópelyhek bizonyára parányi,azonos egységek egymás mellé kerülésével keletkeznek. Tette ezt jóval azelőtt, hogy az anyag atomosszerkezetének elmélete általánosan elfogadottá vált volna. Kepler nem végzett kísérleteket;egyszerűen csak mélyen belegondolt az addig ismert tények egy-egy morzsájába. Legfőbb érve ahópelyhek hatszögű szimmetriája volt, ami a szabályos elrendeződés természetes következménye. Hasok egyforma érmét rakunk az asztalra, és olyan szorosan próbáljuk elhelyezni őket, amennyire csaklehet, méhsejt-elrendezést kapunk, amelyben minden sejtet – kivéve a szélsőket – hat másik veszkörül, hatszög alakban.A csillagok szabályos éjszakai mozgása is kulcs, ezúttal ahhoz, hogy a Föld forog. A hullámok és adűnék kulcsot adnak a víz, homok és levegő áramlásának törvényeihez. A tigris csíkjai és a hiéna

foltjai a biológiai növekedés és forma matematikai szabályosságáról tanúskodnak. A szivárványok afény szóródásáról regélnek, s közvetve megerősítik, hogy a vízcseppek gömbök. A holdudvar ajégkristályok alakjának titkához vezet el. Sok szépség van a természet kódjaiban, amelyeket akármatematikai tudás nélkül felismerhetünk. Azokban a matematikai történetekben is van szépség,amelyek a mintákból indulnak ki, és a bennük rejlő törvényekhez, szabályszerűségekhez jutnak el, deez másfajta szépség, inkább ideák szépsége, mint dolgoké. A matematika úgy viszonyul atermészethez, mint Sherlock Holmes a bizonyítékhoz. Ha egy szivarcsikket adnak neki, a nagy detektívmeg tudja állapítani a tulajdonos korát, foglalkozását és anyagi helyzetét. Barátja, Dr. Watson, akinekérzékenysége az efféle dolgok iránt kisebb, csak ámuldozik, míg a Mester előadja kifogástalan logikailevezetését. Ha hatszögű hópelyheket adnak neki, a matematikus le tudja vezetni belőlük ajégkristályok atomjainak geometriai felépítését. Ha ön Watson, ez csak bámulatra méltó trükk, deszeretném önnek megmutatni, milyen érzés Sherlock Holmesnak lenni.A minták nemcsak szépek, hasznosak is. Mikor megismertünk egy háttérmintát, hirtelen kiütköznek akivételek. A sivatag csendes, de az oroszlán lopakodik. A körpályán haladó csillagok alkottaháttérhez képest felhívja magára a figyelmet néhány csillag, amely egészen másképp mozog. Agörögök planétáknak nevezték őket, ez „vándor”-t jelent, s mi is ezt a szót használjuk. Abolygómozgás sokkal később vált érthetővé, mint a csillagok éjszakai körmozgása. Az egyik nehézségaz, hogy a Naprendszeren belül vagyunk, vele együtt mozgunk, és a kívülről egyszerűnek látszódolgok gyakran sokkal bonyolultabbaknak bizonyulnak belülről. A bolygók a tömegvonzás és amozgás kapcsolatának megfejtését adták.Bizonyos újfajta mintákat csak most ismerünk meg. Csak az utóbbi harminc évben vettek tudomást kétmintáról, amelyeket ma fraktáloknak, ill. káosznak nevezünk. A fraktálok geometriai alakzatok,jellegzetességük, hogy bármilyen mérettartományban megtaláljuk ismétlődésüket (e fejezet végén mégszólok róluk). A káosz látszólagos véletlenszerűség, amelynek eredete tökéletesen meghatározott(ezzel részletesebben foglalkozom a 8. fejezetben). A természet több milliárd évvel ezelőtt is „tudott”ezekről a mintákról, mert például a felhő fraktál és az időjárás kaotikus. Az emberiségnek azonbanbeletelt egy kis időbe, míg mindezt felfogta.A legegyszerűbb matematikai objektumok a számok, és a legegyszerűbb természeti mintákszámszerűek. A Hold fázisai teljes ciklust alkotnak újholdtól teliholdig és vissza, huszonnyolcnaponként. Az év majdnem pontosan háromszázhatvanöt napból áll. Az embernek két lába van, amacskának négy, a rovaroknak hat, és a pókoknak nyolc. A tengeri csillagnak öt karja van (vagy tíz,tizenegy, esetleg tizenhét, fajtától függően). A lóhere általában három levelű: a babona, mely szerint anégylevelű lóhere szerencsét hoz, azt a mély meggyőződést tükrözi, hogy a minta alóli kivételekspeciális jelentőséggel bírnak. Valóban különös minta mutatkozik a virágszirmoknál. Majdnemminden virág szirmainak száma megtalálható a következő furcsa sorozatban: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89. Például, a liliom szirmainak száma 3, a boglárkáé 5, sok szarkalábé 8, a gólyahíré 13, azőszirózsáé 21 és a legtöbb százszorszépé 34, 55 vagy 89. Nem találunk semmilyen más számot ilyengyakorisággal. Ezekhez a számokhoz meghatározott minta rendelhető, és némi keresgélés utánrájövünk: minden szám az előző kettő összege. Például 3+5=8, 5+8=13 stb. Ugyanezeket a számokattaláljuk, ha megszámoljuk a napraforgó spirális minta szerint sorjázó magvait. Ezt a speciális mintátsok évszázaddal ezelőtt észrevették, és azóta alaposan tanulmányozzák, de valóban kielégítőmagyarázatot senki sem adott 1993-ig. Erről majd a 9. fejezetben olvashatnak.A numerológia a legkönnyebb – és egyben a legveszélyesebb – módszer a minták keresésére. Könnyű,mert bárki megpróbálkozhat vele, és veszélyes, ugyanezért. A nehézség abban rejlik, hogy a jelentősnumerikus mintákat megkülönböztessük az esetlegesektől. Íme egy példa. Kepler lelkesedett a

természetben fellelhető matematikai mintákért, és életének nagy részét arra áldozta, hogy a bolygókviselleedésében ilyeneket találjon. Egyszerű és takaros kis elméletet dolgozott ki arra, hogy pontosanhat bolygó van (az ő idejében csak a Merkúr, a Vénusz, a Föld, a Mars, a Jupiter és a Szaturnusz voltismert). Ugyancsak felfedezett egy igen furcsa mintát a bolygók ún. orbitális periódusa – az azidőtartam, amíg megkerülik a Napot – és a Naptól való távolságuk közti viszonyra. Itt emlékeztetekarra, hogy egy szám négyzete az a szám, amit úgy kapok, hogy önmagával megszorzom: például, a 4négyzete: 4×4=16. Hasonlóan, a köb úgy kapható, hogy a számot kétszer is megszorozzuk önmagával:például, 4 köbe: 4×4×4=64. Kepler úgy találta, hogy ha akármelyik bolygó Naptól való távolságánakköbét elosztjuk orbitális periódusának négyzetével, mindig ugyanazt a számot kapjuk. Ez nem volt egytúlságosan „elegáns” szám, de mind a hat bolygóra ugyanaz adódott.Melyik a jelentősebb e numerológiai észrevételek közül? Az utókor ítélete szerint a második, abonyolult és látszólag légből kapott számítás a négyzetekkel és köbökkel. Ez a numerikus minta voltaz egyik mérdföldkő Isaac Newton gravitációelmélete felé, amely aztán mindenfajta rejtélyt megoldotta csillagok és bolygók mozgásával kapcsolatban. Ezzel szemben Kepler csinos, takaros elméletét abolygók számáról nyomtalanul eltemette az idő. Először is, nem állja meg a helyét, ugyanis ma márkilenc planétát ismerünk, nem hatot. Talán több is van, még távolabb a Naptól, elég kicsi és gyengefényű, hogy ne lehessen felfedezni. Fontosabb azonban, hogy ma már nem is várunk semmilyen csinos,takaros elméletet a bolygókról. Úgy képzeljük, hogy a Naprendszer egy, a Napot körülvevőgázfelhőből sűrűsödött össze, a bolygók számát pedig feltehetően az határozza meg, hogy ebben agázfelhőben mekkora volt az anyag mennyisége, milyen volt az eloszlása, s hogy milyen sebességgelés mely irányokba mozgott. A lehetséges gázfelhők egyike nyolc, másika tizenegy bolygót adna ki; aszám esetleges, függ a gázfelhő kezdeti feltételeitől, nem pedig univerzális, ami egy általánostermészeti törvény tükre.Az igazi probléma a numerikus mintakereséssel az, hogy minden univerzális szám keresésekoresetleges számok millióit vizsgálja meg. És nem is mindig nyilvánvaló, melyik melyik. Például, vanhárom csillag, körülbelül egyenlő távolságban egy egyenes mentén az Orion csillagkép övében. Kulcsez valamilyen természeti törvényhez? Vagy vegyünk egy hasonló példát. Io, Európa és Ganümédesz –a Jupiter nagyobb holdjai közül három. A bolygót 1,77, 3,55, ill. 7,16 nap alatt kerülik meg.Mindegyik szám majdnem pontosan kétszerese az előzőnek. Jelentős minta ez? Három csillag egysorban, a pozíció értelmében; három mellékbolygó „egy sorban”, az orbitális periódus értelmében.Melyik minta fontos a kettő közül, ha egyáltalán elmondhatjuk valamelyikről? Most csakgondolkozzanak el ezen, és a következő fejezetben majd visszatérünk rá.A numerikus mintákon kívül vannak geometrikus minták is. Ennek a könyvnek valójában A természetszámai és formái címet kellet volna adnom. Két mentségem van, hogy mégsem ezt választottam.Először is, a cím jobban hangzik „és formái” nélkül. Másodszor, a matematikai formák mindigredukálhatók számokra – a számítógép is így kezeli a grafikai képet. Minden apró pontját úgy tároljaés kezeli, akár egy számpárt: milyen messze van a pont a képernyő jobb szélétől és milyen messze azaljától. Ez a két szám a pont koordinátái. Egy általános forma: pontok összessége, és így előállíthatószámpárok listájaként. Ugyanakkor persze gyakran jobb, ha a formákra mint formákra gondolunk, mertígy hatékony és intuitív vizuális képességeinket használhatjuk, míg a komplikált számlisták inkábbgyengébb és fáradságosabban működtethető szimbolikus képességeinket veszik igénybe.A matematikusokat érdeklő főbb formák a legutóbbi időkig nagyon egyszerűek voltak: háromszögek,négyzetek, ötszögek, hatszögek, körök, ellipszisek, spirálok, kockák, gömbök, kúpok, és így tovább.Ezek a formák mind megtalálhatók a természetben, bár nem mind egyformán megszokott vagykézenfekvő. A szivárvány például körökből áll, minden szín külön kört alkot. Általában nem látjuk az

egész kört, csak egy ívét; de nagy magasságból megfigyelt szivárvány teljes körökből is állhat. Körökláthatók a tavacskák fodrozódásakor, az emberi szemben és a pillangók szárnyain.Ha már fodrokról beszéltünk, a folyadékok áramlása kimeríthetetlen tárháza a természeti mintáknak.Sokfajta hullám van – a part felé párhuzamos sorokban áradó, a mozgó hajó mögött V alakbanszétterjedő, a tengermélyi földrengés körül szétsugárzó. A legtöbb hullám társas lény, de egyesek –így például a dagálykor a folyón végigvonuló, mivel a bejövő dagály energiája szűk csatornába szorul– egyedül járnak. Vannak tajtékzó spirális örvények és apró örvényecskék. S létezik a turbulensáramlás látszólag rendezetlen, véletlen kimerevülése, a matematika és fizika egyik nagy rejtélye. Alégkörben is akadnak hasonló minták, a legdrámaibb a hurrikán roppant spirálja, ahogy a Föld körülkeringő űrhajós látja.Előfordulnak hullámminták a szárazföldön is. A Földön a legmeghökkentőbben matematikai jellegűtájak az Arábiai-sivatag és a Szahara legnagyobb ergjeiben, azaz homokóceánjaiban találhatók. Mégakkor is alakulnak itt homokdűnék, amikor a szél mindig ugyanabba az irányba fúj. A legegyszerűbbmintát az ún. transzverzális dűnék alkotják, amelyek – akár az óceán hullámai – párhuzamos egyenessorokba rendeződnek, merőlegesen az uralkodó szélirányra. Néha maguk a sorok is hullámosak,ilyenkor barkánnak nevezzük őket; máskor megszámlálhatatlan pajzs alakú barkán dűnére törnek szét.Ha a homok kissé nedves, és van valami növényzet, ami összetartja, parabola aiakú dűnéket találunk,U alakúakat, kerek végükkel a szél irányában. Ezek olykor nyalábokban jelennek meg, és egy gereblyefogaihoz hasonlítanak. Ha a szélirány változó, más formák is lehetségesek. Például csillag alakúdűnék csoportjai alakulhatnak ki, mindegyik több szabálytalan karral, egy központi csúcsbólsugarasan szétágazva. Ezek a csillagok véletlenszerű foltmintákba rendeződnek.A természet vonzódása a csíkokhoz és foltokhoz tapasztalható a tigrisek és leopárdok, a zebrák észsiráfok esetében is. Az állatok és növények formái és mintái a matematikus hajlandóságúak kedvencvadászterülete. Például miért olyan sok kagyló alakja spirál? Miért szimmetrikus a tengeri csillagkarjainak elrendezése? Miért vesz fel sok vírus szabályos geometriai formát, melyek közül alegmeglepőbb az ikozaéder – ami szabályos merev test, húsz egyenlő oldalú háromszöglappal? Miértmutat oly sok állat tükrös szimmetriát? Miért tökéletlen ez a szimmetria oly gyaleran, miért tűnik el,amikor belemegyünk a részletekbe, lásd az emberi szív elhelyezkedését vagy a különbséget az emberiagy két féltekéje között? Miért vagyunk túlnyomórészt jobbkezesek, de nem mindannyian?A formai mintákon kívül mozdulatminták is léteznek. Az ember lába járás közben szabályos ritmusbanérinti a földet: bal-jobb-bal-jobb-bal-jobb. Egy négylábú lény, például a ló bonyolultabb, deugyancsak ritmikus minta szerint halad.A helyváltoztatásban uralkodó minta fellelhető a rovarok futásában, a madarak röptében, a medúzalüktetésében és a hal, a féreg, a kígyó hullámzó mozgásában. Az egyik sivatagi csörgőkígyófajta úgymozog, mint egyetlen tekercs rugó, testét S alakú görbék sorozataként tolja előre, hogy a lehetőlegkisebb felületen érintkezzék a forró homokkal. És a parányi baktériumok is mikroszkopikuscsavarszerű farkuk segítségével haladnak előre, amelyek folyamatosan forognak, mint a propeller.Végül van a természeti mintáknak egy csoportja, amelyet csak nemrég ismert fel az ember, ugyancsakmegdöbbenve. Ezek a minták ott találhatók, ahol mindent véletlenszerűnek és alaktalannak hittünk.Nézzük például egy felhő alakját. Igaz, a meteorológusok a felhőket morfológiai csoportokba osztják– cirrusz, sztrátusz, kumulusz stb. –, de ezek nagyon általános alaktípusok, nem felismerhetőgeometriai formák a hagyományos matematikai értelemben. Nem látunk gömb alalcú felhőket, semkocka vagy ikozaéder alakúakat. A felhők gomolygó, formátlan, zavaros halmok. Mégis van egymegkülönböztető minta a felhők számára, amely szorosan összefügg a felhőképződés fizikájával. Ezpedig lényegében a következő: ha megnézel egy felhőt, még nem tudhatod, mekkora. Ha megnézel egy

elefántot, meg tudod mondani, körülbelül mekkora: egy ház nagyságú elefánt összerogyna a sajátsúlya alatt, egy egér nagyságúnak pedig használhatatlanul vastag lenne a lába. A felhők egyáltalánnem ilyenek. Egy nagy felhőt távolról nézve és egy kis felhőt közelről akár össze is cserélhetnénk.Persze különböző alakúak, de alakjuk nem függ szisztematikusan a nagyságtól.Ezt a „skálafüggetlenséget” kísérletileg igazolták olyan felhőalakzatokra, amelyeknek a mérete egyezres faktoron belül tetszőlegesen variálódott. Az egy kilométer hosszú felhők éppen úgy festenek,mint az ezer kilométer hosszúságban elnyúlók. Ez a minta megint kulcs! A felhők akkor keletkeznek,amikor a víz „halmazállapot-változáson” megy át párából folyadékba. A fizikusok felfedezték, hogyugyanaz a skálainvariancia jár minden halmazállapot-változással. Valóban, ez a statisztikusönhasonlóság, ahogyan nevezik, sok más természeti formára érvényes. Egy svéd kollégám, aki azolajmezők geológiájával foglalkozik, előszeretettel mutogat egy vetített képet, amin egyik barátja állegy hajón, hanyagul egy sziklapárkányra támaszkodva, amely körülbelül a hónaljáig ér. A fotóteljesen meggyőző, a hajó nyilván egy kb. két méter mély sziklás vízmosás szélén horgonyzott le.Valójában a sziklapárkány egy távoli fjord oldala, néhány ezer méter magasan. A fotós számára a főgond az volt, hogy mind az előtérbeli figurát, mind a távoli tájat meggyőző képpé komponálja.Senki sem próbálta volna meg eljátszani ezt a trükköt egy elefánttal. Ugyanakkor játszhatjuk ezt atermészet sok formájával, hegyekkel, folyamrendszerekkel, fákkal és valószínűleg az egészuniverzumban is, mivel az anyag úgy oszlik el, hogy erre a játékra alkalmas struktúrát alkot. Amatematikus Benoit Mandelbrot által híressé tett kifejezéssel, ezek mind fraktálok. A szabálytalanságúj tudománya – a fraktálgeometria – az utóbbi tizenöt évben alakult ki. A fraktálokat létrehozódinamikus folyamatot, amely káosz néven ismert, részletesen tárgyalom majd.Az új matematikai elméletek kifejlődésének köszönhetően a természet eddig megfoghatatlan mintái iskezdik elárulni titkukat. Látszik már mind a gyakorlati, mind az intellektuális hatás. Friss értésünket atermészet rejtett szabályosságairól fel tudjuk használni arra, hogy mesterséges bolygókat indítsunk újcélok felé korábban elképzelhetetlenül kevés üzemanyaggal, csökkentsük a mozdonykerék vagy másforgó alkatrészek kopását, javítsuk a pacemakerek hatékonyságát, jobban működtessünk egy erdő-vagy halgazdaságot, sőt jobb mosogatógépeket gyártsunk. De a legfontosabb, hogy alaposabbanismerjük meg a világot, amelyben élünk, és többet tudjunk a benne elfoglalt helyünkről.

2. FEJEZETMire jó a matematika?

Megalapoztuk hát a vitathatatlan tételt: a természet tele van mintákkal. De mihez kezdünk ezzel afelismeréssel? Megtehetjük, hogy leülünk és csodáljuk őket. Beszélgetni a természettel, ezmindannyiunknak jót tesz: emlékeztet arra, miből vagyunk. A festő, a szobrász és a költő a világ ésönmagunk iránti érzéseket fejezik ki. A vállalkozót ösztöne a természet kiaknázására hajtja. Amérnököt a megváltoztatására. A tudóst a megértésére, működésének megismerésére. A matematikusta megértés folyamatának átstrukturálására, olyan általánosítások keresésére, amelyek átszabják avilág kézenfekvő felosztását. Mindegyik ösztönből van bennünk valami, s mindegyik ösztönnek van jóés rossz oldala.Meg szeretném mutatni önöknek, mit használt a matematikus ösztön az emberi értésnek, de előbb rászeretnék mutatni az emberi kultúrában játszott szerepére. Mielőtt megveszünk valamit, általábanmeglehetősen világos elképzelésünk van arról, hogy mire használjuk. Ha hűtőgép, akkor perszeélelem tartósítására, de valójában sokkal több dolgot végiggondolunk. Mennyi élelem tárolhatóbenne? Hova illik a lakásban? Ez nem mindig hasznosság kérdése: gondolhatunk mondjuk festmény

vásárlására is. Megkérdezzük magunktól, hová fogjuk akasztani, és vajon az esztétikai értéke arányos-e az árával. Ugyanez a helyzet a matematikával – és minden más intellektuális világszemlélettel,legyen az természettudományos, politikai vagy vallásos. Mielőtt megveszünk valamit, bölcs dologeldönteni, mire akarjuk használni.Tehát, mire jó a matematika?A természet minden mintája rejtvény, és majdnem mindig nehéz. A matematika ragyogóan tud segítenia rejtvényfejtésben. Többé-kevésbé szisztematikus módszer ez arra, hogy megtaláljuk a törvényeket ésstruktúrákat, amelyek egy megfigyelt minta vagy szabályosság mögött rejlenek, és ezek segítségévelmegmagyarázza a történéseket. Valóban, a matematika és a természet megértése egymás mellett,egymást erősítve fejlődtek. Említettem Kepler elemzését a hópelyhekről, de az ő leghíresebbfelfedezése a bolygópályák alakja volt. Miután matematikailag elemezte Tycho Brahe, a kortárs dáncsillagász megfigyeléseit, Kepler egyértelműen arra a következtetésre jutott, hogy a bolygókellipszispályán mozognak. Az ellipszis tojás alakú görbe, amelyet az ókori görögök sokattanulmányoztak, de a bolygópályák leírásához ők inkább köröket és körrendszereket használtak, ígyKepler modellje a maga korában gyökeresen újnak számított.Az emberek mindig annak fényében értelmezik az új felfedezéseket, hogy mit tartanak fontosnak.Amikor Kepler új ideájáról tudomást szereztek, a csillagászok számára ez azt jelentette: a göröggeometria sokáig elhanyagolt fogalmai segítségükre lehetnek a bolygómozgások előrejelzésében. Nemvolt szükségük nagy fantáziára ahhoz, hogy felmérjék, milyen óriási előrelépés Kepler felismerése.Mindenfajta csillagászati jelenség, napfogyatkozás, holdfogyatkozás, meteorhullás, üstökösök,ugyanolyan fajta matematikára vezetnek. Az üzenet a matematikusok számára ezzel szemben egészenmás volt. Mégpedig: az ellipszisek valóban érdekes görbék. Nekik sem volt nagy képzelőerőreszükségük, hogy felmérjék: a görbék általános elmélete még érdekesebb volna. Sikerült módosítaniukaz ellipszishez vezető geometriai szabályokat, hogy más görbéket is kapjanak.Hasonlóképpen, mikor Isaac Newton megtette diadalmas felfedezését, amely szerint valamely tárgymozgása leírható a testre ható erők és a gyorsulása közötti matematikai összefüggéssel, amatematikusok és a fizikusok megint csak más-más tanulságot vontak le. Mielőtt azonban ezekre atanulságokra rátérek, el kell magyaráznom, mi a gyorsulás. A gyorsulás ravasz fogalom: nemalapmennyiség, mint a hossz vagy a tömeg, hanem egy változás mértéke. Valójában egyváltozásmérték változásának mértéke. Valamely test sebessége – a gyorsaság, amivel adott iránybanhalad – változásmérték: annak mértéke, ahogyan a test adott ponttól vett távolsága változik. Ha egyautó óránként 90 km-es állandó sebességgel halad, akkor a kiindulópontjától mért távolsága mindenórában 90 km-rel változik. A gyorsulás a sebesség változásának mértéke. Ha a kocsi sebességeóránként 90 km-ről óránként 100 km-re nő, a kocsi meghatározott mértékben gyorsul. Ez a mértéknemcsak a kezdeti és végsebességtől függ, hanem attól is, milyen gyorsan következett be a változás.Ha a kocsinak egy órára volt szüksége, hogy sebességét óránként 10 km-rel növelje, a gyorsulásnagyon kicsi; ha ugyanez csak tíz másodpercet igényel, a gyorsulás sokkal nagyobb.Nem kívánom taglalni a gyorsulás mérését. Amit én itt meg szeretnék értetni, az általánosabb: agyorsulás egy változásmérték változásának mértéke. Távolságokat akár zsinórmértékkel iskiszámíthatunk, de sokkal nehezebb kiszámítani valamely távolság változási mértékének változásimértékét. Ezért volt szüksége az emberiségnek oly hosszú időre, no meg Newton zsenialitására, hogya mozgás alaptörvényét felfedezze. Ha a minta a távolságok egyszerű jellemzője lett volna,történelmünkben a mozgást sokkal korábban leírták volna.Hogy a változás mértékével kapcsolatos kérdéseket megoldják, Newton és tőle függetlenül GottfriedLeibniz német matematikus felfedezték a matematika új ágát, a kalkulust (vagyis a

differenciálszámítást). Ez megváltoztatta a Föld arculatát – szó szerint és átvitt értelemben egyaránt.De az ötletek, amiket ez a felfedezés csiholt, megint csak nagyon eltérőek voltak a különbözőfoglalkozásúak esetében. A fizikusok új természeti törvények keresésére indultak, amelyek atermészeti jelenségeket a változás mértékének nyelvén magyarázzák meg. Találtak is jócskán – a hő,hang, fény, folyadékdinamika, rugalmasság, elektromosság, mágnesesség területén. Még az elemirészecskék legmisztikusabb modern elméletei is a matematikának ezt a fajtáját aknázzák ki, habár azértelmezés – és bizonyos értelemben a mögöttes világszemlélet – más. Akárhogy is, a matematikusoktökéletesen más kérdéskomplexummal foglalkoztak. Mindenekelőtt hosszasan viaskodtak azzal, mit isjelent valójában a „változás mértéke”. Hogy egy mozgó tárgy sebességét kiszámítsuk, meg kellmérnünk, hol van, meg kell állapítanunk, hogy nagyon rövid idő elteltével hova kerül, és el kellosztanunk a távolságot az eltelt idővel. Ha viszont a test gyorsul, az eredmény függ a választottidőintervallumtól. A matematikusoknak és a fizikusoknak ugyanaz a sejtésük volt arról, hogyan kellmegoldani ezt a problémát: a választott intervallumnak a lehető legkisebbnek kell lennie. Mindentökéletesen rendben volna, ha használhatnánk zérus hosszúságú intervallumot, de sajnos ez nem megy,mivel mind a befutott távolság, mind az eltelt idő zérus, és a változás mértékét megadó hányados 0/0,ami értelmetlen. A nem zéró intervallumokkal az a baj, hogy bármelyiket választjuk, mindigválaszthatnánk nála kisebbet, hogy pontosabb eredményt kapjunk.Amire valójában kíváncsiak vagyunk, az a legkisebb nemzéró időintervallum – de ilyen nincs, mertbármely nemzéró számra a fele is nemzéró. Minden könnyen kiszámítható volna, ha létezne végtelenülkicsiny intervallum – „infinitezimális”. Sajnos nehéz logikai paradoxonok következnének azinfinitezimális fogalmából; speciálisan, a szó szokásos értelmében vett számok körében pedig ilyennincs is. Így idestova két évszázada az emberiség különös helyzetben van a kalkulus tekintetében. Afizikusok nagy sikerrel használták, hogy megértsék a természetet és megjósolják, hogyan fogviselkedni; a matematikusok még azt sem tisztázták, mit jelent ez a kalkulus, és hogyan építsék felhelyes matematikai elméletként; a filozófusok pedig kifejtették, hogy az egész zagyvaság.Gyakorlatilag minden megoldódott, ha a hozzáállásban erős különbségek is érezhetők.A kalkulus története két dolgot mindjárt megmutat, amire a matematika használható: eszközöket nyújt,amelyekkel a természettudósok kiszámítják, mi történik a természetben, és új kérdéseket szolgáltat amatematikusoknak, hogy kedvükre válogassanak belőle. Az imént vázoltak a matematika külső ésbelső szempontjai; gyakran úgy hivatkoznak rájuk, mint alkalmazott és elméleti matematikára (nemszeretem ezeket a jelzőket, a belőlük következő szétválasztást még kevésbé). Ebben az esetbenmegtörténhet, hogy a fizikusok kimondják: ha a kalkulus módszerei beválnak, kit érdekel, hogy miért?Hasonló felfogást vallanak, akik ma büszkén pragmatistának mondják magukat. Elismerem, soktekintetben igazuk van. A hídtervező mérnökök joggal alkalmaznak bizonyos szabványos matematikaimódszereket, ha nem is ismerik ezeknek a módszereknek a részletes és sokszor misztikusan hangzóigazolását. A magam részéről mégis kényelmetlenül érezném magam, ha végig kellene hajtanom egyilyen hídon, amennyiben tudomásomra jutna, hogy senki nem tudja, mi igazolja a fenti módszereket.Tehát egy bizonyos kulturális szint fölött megéri, hogy tartsanak néhány embert, aki tépelődik agyakorlati módszerek fölött és megpróbál rájönni, mitől válnak be. És ez többek között amatematikusok dolga. Élvezik, az emberiség többi része pedig élvezi munkájuk sokféle gyümölcsét,amint azt látni fogjuk.Röviden, nem sok múlik azon, vajon a matematikusok elégedettek-e a kalkulus logikai helyességévelvagy sem. Hosszú távon azonban azok az új ötletek, amelyekhez a matematikusok jutottak, miközbenezeken a belső nehézségeken törték a fejüket, a külvilág számára roppant hasznosnak bizonyultak.Newton idejében lehetetlen volt megjósolni, miben áll majd ez a haszon, de úgy gondolom, azt már

akkor tudni lehetett, hogy lesz ilyen. A matematika és a „való világ” közti kapcsolatban a legfurcsább,de egyben a legszilárdabb tény: a jó matematika, bármi legyen is a forrása, végül hasznosnak isbizonyul. Sokfajta elmélet született, hogy ezt megmagyarázza, az emberi elme felépítésénekboncolgatásától ama feltevésig, miszerint az univerzum kis matematikai morzsákból épül fel. Nekemaz az érzésem, hogy a válasz valószínűleg egészen egyszerű: a matematika a minták[1] tudománya, atermészet pedig kihasználja minden egyes mintájának létezését. Bevallom, sokkal nehezebben tudommegokolni miért viselkedik így a természet. Talán ezt a kérdést meg kellene fordítanunk: az ilyenkérdéseket feltevő lények csak ilyen univerzumban tudnak élni.[2]

Bármi legyen is az oka, a matematika feltétlenül hasznos módszer a természetről való gondolkodásra.Mit várunk tőle: mit mondjon el nekünk a megfigyelt mintákról? Sokféle felelet van. Meg akarjukérteni mikéntjüket és miértjüket, ami nem ugyanaz; a legkielégítőbb módon rendszerbe foglalni azalapvető mintákat és szabályosságokat; megjósolni a természet viselkedését; saját céljainknakmegfelelően irányítani a természetet; valamint gyakorlati hasznot húzni abból, amit világunkrólmegtudtunk. A matematika mindehhez hozzásegít, sőt gyakran nélkülözhetetlen is ebben.Vegyük példának okáért a csigaház spirális alakját. Hogy a csiga hogyan készíti a házát, kémiai ésgenetikai kérdés. Anélkül, hogy a finom részletekbe belemennénk, a csiga génjei tartalmazzák arecepteket speciális vegyszerek előállítására, továbbá utasításokat, hogy azok hova kerüljenek. Itt amatematika molekuláris könyvelést készít, amely megadja a végbemenő kémiai reakciók értelmét;leírja a csigaház anyagának szilárdságát, illetve merevségét a csiga testének puhaságához, illetvehajlékonyságához viszonyítva, és így tovább. Valójában, matematika nélkül soha nem győződtünkvolna meg arról, hogy az anyag atomokból áll, és nem számíthattuk volna ki az atomokelrendeződését. A gének és később a DNS, az örökítőanyag molekuláris szerkezetének felfedezésenagymértékben matematikai kulcsok felismerésén múlott. Gregor Mendel szerzetes csinos számszerűösszefüggéseket vett észre abban, ahogyan a különböző jellemzőkkel, így például a más színű maggalbíró növények aránya változik keresztezéskor. Ez vezetett a genetika alapeszméjéhez – hogy mindenorganizmusban tényezők rejtélyes kombinációja fejti ki hatását, amely meghatározza fizikaifelépítésének számos jellemzőjét, és hogy ezek a tényezők valahogyan öszekeverednek éskicserélődnek, amikor a szülőkből az utódba jutnak. A matematikának több különböző ága is szerepetjátszott annak felfedezésében, hogy a DNS szerkezete a híres kettős spirál. Meglátásaik olyanegyszerűek voltak, mint Chargaff szabályai – az ausztriai születésű Erwin Chargaff biokémikusészrevette, hogy a DNS-molekula négy bázisának előfordulási aránya összefügg – és olyan magasszintűek, mint a diffrakciós törvények, amiket arra használtak, hogy a DNS-kristályok röntgenképébőlmegállapítsák molekuláris felépítésüket.A kérdés, hogy miért spirális a csigaház, egészen más jellegű. Többféle szempontból is felvethetjük –rövid távon, mondjuk a biológiai fejlődés szempontjából, vagy hosszú távon, az evolúciószemszögéből. A fejlődéstörténet számára a fő matematikai jellemző a spirál általános alakja.Alapjában véve a fejlődéstörténet egy olyan élőlény geometriájáról szól, amelyik lényegébenfolyamatosan egyformán viselkedik, miközben egyre nagyobb lesz. Képzeljünk el egy apró állatkát,apró hozzáilleszkedő ős-házzal. Majd az állat növekedni kezd. A legkönnyebben annak az iránynak amentén tud növekedni, amerre házának nyitott pereme mutat, minden más irányban akadályozza őt aház. Ha azonban kicsit már növekedett, a házát is meg kell növelnie, védelem céljából. Így persze aház újabb anyaggyűrűt növeszt a pereme körül. Ahogy ez a folyamat továbbhalad, az állat egyrenagyobb lesz, és a perem mérete is nő. A legegyszerűbb megoldás a problémára kúp alakú ház volna,amit a tengeri csigánál találunk. Ha viszont az egész rendszer kis csavarodással kezdődik, amifölöttébb valószínű, akkor a ház növekvő széle lassan el is fordul növekedés közben, és a

középponttól távolodva mindinkább elfordul. Az eredmény olyan kúp, amely folyton növekvő spirálalakban csavarodik. Használhatunk matematikát a fenti geometriai jelenség valamennyi változójának –mint a növekedési ráta, valamint a középponttól való távolság növekedése – leírására.Ha ehelyett evolúciós magyarázatot keresünk, inkább a ház szilárdságára kell figyelnünk, amely azevolúcióban előnyt jelent, s azt kell kiszámítanunk, vajon egy hosszú vékony kúp erősebb vagygyengébb-e, mint egy szorosan feltekert spirál. Ha nagyratörőbbek vagyunk, matematikai modelleketalkothatunk magáról az evolúciós folyamatról, a véletlen genetikai változással – azaz a mutációkkal –és a természetes kiválasztódással kombinálva.Figyelemre méltó példa ebből a fajtából a szem evolúciójának számítógépes szimulációja, amelyetDaniel Nilsson és Susanne Pelger végeztek el, és 1994-ben publikáltak. Emlékeztetünk arra, hogy ahagyományos evolúciós elmélet az állatok alakjában bekövetkezett változásokat véletlen mutációkeredményének tekinti. Ezt követi azoknak az egyedeknek a kiválasztódása, amelyek a leginkábbalkalmasak a túlélésre és fajtájuk szaporítására. Amikor Charles Darwin ezt az elméletet közzétette,az első fölmerülő ellenvetések azzal érveltek, hogy az összetett struktúrák (amilyen a szem) teljesenki kell, fejlődjenek, különben képtelenek valóban működni (a szem egyik fele semmire se jó), ámannak esélye, hogy a véletlen mutáció komplex változások megfelelő sorozatát hozza létre,elhanyagolható. Az evolúcionisták azzal vágtak vissza, hogy míg a szem egyik fele nem sokra jó, egyfélig kifejlődött szem annál inkább. Egy szem retinával, de mondjuk lencse nélkül, össze fogjagyűjteni a fényt, és így követni fogja a külső mozgást; s minden javulás a ragadozók észrevételébenevolúciós előnyt jelent az egyednek. Mindez szóbeli ellenvetés az elmélettel szemben, és szóbelifelelet rá. De a friss számítógépes elemzés sokkal tovább megy.Sejtekből alkotott sík felület matematikai modelljéből indul ki, és különféle „mutációkat” enged meg.Egyes sejtek érzékenyebbé válhatnak a fényre, vagy a sejtfelület hajlított alakot vehet fel. Amatematikai modellt számítógépes programként állították fel, amely elvégzi a fenti véletlenváltoztatásokat, és kiszámítja, mennyire alkalmas a kapott struktúra a fény követésére, illetve a„látott” minták felismerésére. Mindig azt a változást választja ki, amely növeli ezeket a képességeket.Egy szimuláció során, amely körülbelül négyszázezeréves periódusnak felel meg – evolúciósmértékkel mérve egyetlen szemvillanás –, a sejtfelület gömbbé hajlik, rajta apró,szivárványhártyaszerű nyílással, és ami a legdrámaibb, lencsével. Ráadásul, akár a mi szemünklencséinél, ennek a lencsének a törésmutatója – annak mértéke, amennyire megtöri a fényt – pontrólpontra változik. Mi több, a törésmutató változásának mintája, amit a számítógépes szimulációvalnyertek, hasonlít a miénkhez. A matematika tehát megmutatja, hogy a szem feltétlenül képesfokozatosan és természetes módon fejlődni, növekvő túlélési esélyt biztosítva minden fázisban. S amiennél több: Nilsson és Pelger munkája demonstrálja, hogy ha adottak bizonyos kulcsfontosságúbiológiai képességek, ez (úgymint a sejtek fényérzékenysége és mozgékonysága) a szemhezhatározottan hasonló struktúrák kialakulását vonja maga után – Darwin természetes kiválasztódásielméletével teljes összhangban. A matematikai modell sok további részletet is kiad, amit a darwiniérvelés csak sejtés formájában tartalmazott, és a modell révén sokkal nagyobb biztonsággalállíthatjuk, hogy az elmélet korrekt.

1. ábraA szem evolúciójának számítógépes modellje.

A számítás minden lépése kb. kétszáz év biológiai evolúciónak felel meg.Azt mondtam, a matematika további feladata, hogy az alapvető mintákat és szabályosságokat a

legkielégítőbb módon rendszerbe szervezze. Ennek megvilágítására térjünk vissza az első fejezetbenfölvetett kérdésre. Melyik minta jelentős (ha egyáltalán valamelyik az): az Orion-öv csillagainakhárom-egy-sorban mintája vagy a három-egy-sorban minta a Jupiter holdjainak keringésiperiódusában? Először foglalkozzunk az Orionnal. Az antik civilizációk az égen látható csillagokatállatok és mitikus hősök képeibe szervezték. Ezekben a képekben az Orion három csillagának egyvonalba esése fontos, különben a hősnek nem volna öve, amiből kardját előhúzza. Ha azonbanháromdimenziós geometriát használunk szervező elvként, és a három csillagot valódi pozíciójukbahelyezzük, azt találjuk, hogy a Földtől igencsak eltérő távolságban vannak. Hogy a Földről úgylátszanak, mint egymástól azonos távolságra levő pontok, csak véletlen, a nézőpont következménye.Maga a „konstelláció” (együttállás) szó is félrevezető tetszőleges nézőpont esetén.Az Io, Európa és Ganümédesz keringési periódusainak numerikus összefüggése ugyanígy lehetne anézőpont esetleges megválasztásának következménye. Honnan gondoljuk, hogy a „keringési periódus”a természetben bármiféle jelentőséggel bír? Ám ez a numerikus összefüggés egy bizonyos dinamikuskeretbe nagyon is beleillik. Példa ez az ún. rezonanciára, amely periodikusan mozgó testek köztfennálló viszonyrendszer, ebben ciklusaik szorosan összefüggnek, úgyhogy szabályosintervallumokban a testeknek ugyanazt az egymáshoz viszonyított pozíciót kell felvenniük. Ezt a közösciklusidőt a rendszer periódusidejének nevezzük. Az egyes testeknek lehet különböző, de egymássalösszefüggő periódusa. Ki tudjuk számítani a köztük fennálló összefüggést. Ahol a rezonanciajelensége fellép, a szóban forgó összes testnek megszabott viszonyítási pozícióba kell kerülnie,miután a ciklusok egész számú többszöröse letelt – de ezek az egész számok különbözők is lehetnek.Így van a rendszernek valamilyen közös periódusa, s minden egyes test periódusa ennek egész számúosztója. Ebben az esetben a Ganümédesz periódusa 7,16 nap. Az Európa periódusa nagyon közel vana Ganümédeszének a feléhez, az Io-é pedig az egynegyedéhez. Az Io négyszer kerüli meg a Jupitert,amíg az Európa kétszer, és a Ganümédesz egyszer, miután mindannyian az eredeti pozícióba kerülnekvissza. Ezt 4:2:1 rezonanciának nevezzük.A Naprendszer dinamikája tele van rezonanciákkal. A Hold forgási periódusa (bizonyos csekély

eltérésektől eltekintve, amit más testek perturbációja okoz) ugyanannyi, mint a Föld körüli keringésperiódusa – ez tehát 1:1 rezonancia a forgási és a keringési periódus között. Ezért mindig ugyanazt azoldalát látjuk a Holdnak, a „túlsó oldalát” soha. A Merkúr 58,65 nap alatt fordul meg a tengelyekörül, és a Napot 87,97 nap alatt kerüli meg. Mármost, 2×87,97=175,94 és 3×58,65=175,95, tehát aMerkúr forgási és keringési periódusai 2:3 arányú rezonanciában vannak. (Valójában hosszú ideigúgy hitték, hogy ez a rezonancia 1:1, és mindkét szám körülbelül 88, mivel nehéz egy bolygótmegfigyelni, ha ennyire közel kering a Naphoz. Ez okozta a hiedelmet, mely szerint a Merkúr egyikoldala hihetetlenül forró, és a másik hihetetlenül hideg, ami nem igaz. Rezonancia viszont mégiscsakvan – ráadásul érdekesebb, mint a puszta egyenlőség.)A Mars és a Jupiter között helyezkedik el a kisbolygók öve. Ez egy apró testek ezreit tartalmazószéles zóna, amelyben e testek nem egyenletesen oszlanak el. A Naptól bizonyos távolságokra„kisbolygó-övecskéket” találunk; más távolságokban alig. A magyarázat mindkét esetben a Jupiterrelvaló rezonancia. A Hilda kisbolygócsoport, az egyik övecske, 2:3 rezonanciában van a Jupiterrel.Azaz éppen olyan távolságban, hogy minden Hilda-beli kisbolygó háromszor kerüli meg a Napot,amíg a Jupiter kétszer. A legészrevehetőbb hézagok a 2:1, 3:1, 4:1 és 7:2 rezonanciáknál találhatók.Az olvasó fennakadhat rajta, hogy a rezonanciákkal magyarázzuk mind a besűrűsödés, mind a ritkulásjelenségét. Az ok: minden egyes rezonanciának sajátos dinamikája van; egyesek sűrűsödést okoznak,mások az ellenkezőjét. Minden a rezonancia pontos értékén múlik.A matematika további szerepe az előrejelzés. Az égitestek mozgásának megértése tette lehetővé ahold- és napfogyatkozások, valamint az üstösök visszatérésének előrejelzését. A csillagászok tudták,merre irányítsák távcsövüket, hogy megtaláljanak olyan kisbolygókat, amelyek a Nap mögé kerültek; samelyek megfigyelése különben lehetetlen volt. Mivel az árapály jelenségét lényegében a Napnak és aHoldnak a Földhöz viszonyított pozíciója vezérli, az apályt és dagályt sok évre előre tudták jelezni.(A fő bonyolító tényező ilyen jóslatoknál nem csillagászati jellegű; az egyik a kontinensek alakja, amásik az óceánok medrének terepviszonyai, ami késleltetni vagy siettetni tudja a dagályt. Ugyanakkorezek egy évszázad alatt nemigen változnak, így módosító hatásuk rutinszerűen beszámítható.) Ezzelszemben az időjárást sokkal nehezebb előre jelezni. Ugyanannyit tudunk az időjárás matematikájáról,mint az árapályéról, de az időjárás alapvetően jósolhatatlan. Ennek ellenére a meteorológusokhatékony rövid távú előrejelzéseket tudnak adni az időjárási mintákra – körülbelül három-négy napraelőre. Az időjárás jósolhatatlanságának ugyanakkor semmi köze a véletlenhez – ezt a témát a 8.fejezetben taglaljuk, amikor a káosz fogalmát tárgyaljuk.A matematika szerepe messze túlmegy a puszta előrejelzésen. Ha megértettük, hogy egy adott rendszerhogyan működik, nem kényszerülünk passzív megfigyelésre. Megkísérelhetjük vezérelni a rendszert,hogy az történjen benne, amit mi akarunk. Túl nagy ambíciókat nem érdemes táplálnunk: az időjárás-vezérlés például gyerekcipőben jár – nemigen tudunk esőt csinálni, még akkor sem, ha körös-körülesőfelhők vannak. A rendszerek vezérlésére példák széles skáláját hozhatjuk fel, a bojlervízhőmérsékletét szabályozó termosztáttól egészen az erdőirtásig. Bonyolult matematikai vezérlőrendszer nélkül az űrhajó úgy repülne, mint a tégla – hiszen annak is tekinthető mivel egy pilóta semképes elég gyorsan korrigálni szükségszerű instabilitási tényezőket. A szívbetegek elektronikuspacemakere a vezérlés egy másik példája.E példák mutatják meg a matematika legföldhözragadtabb aspektusát: a gyakorlatbanalkalmazhatósággal bizonyítja a matematika, hogy érdemes művelni. Világunk matematikai alaponnyugszik, és a matematika elválaszthatatlanul beleágyazódott egész kultúránkba. Azért nem vesszükmindig észre, mennyire erősen érinti életünket, mert – érthetően – lehetőleg minél jobban a színfalakmögött tartják. Amikor elmegyünk az utazási irodába és befizetünk egy útra, nem kell értenünk a

bonyolult matematikai és fizikai elméleteket, amelyek lehetővé teszik számítógépek és telefonvonalaktervezését, vagy az optimalizáló eljárásokat, amelyek segítségével a lehető legtöbb repülőjáratotütemezik be egy repülőtérre, vagy a jelfeldolgozási módszereket, amelyek pontos radarképeket adnaka pilótáknak. Amikor egy tv-műsort nézünk, nem kell értenünk a képernyőn speciális effektusoklétrehozására használt háromdimenziós geometriát, a mesterséges holdakkal televíziós jelektovábbításához alkalmazott kódolási módszereket, a mesterséges hold Föld körüli mozgását leíróegyenletek matematikáját és a matematika ezernyi különböző alkalmazását, melyeket a mesterségeshold pályára állításához használt űrhajó gyártásának minden egyes lépésekor találnánk. Amikor afarmer új burgonyafajtát ültet, nem kell ismernie a genetika statisztikus elméleteteit, amelyeksegítségével azonosították az adott fajtát a betegségekkel szemben ellenállóvá tevő géneket.Mindazonáltal egyszer a múltban valakinek meg kellett értenie mindezt, különben az utasszállítórepülőgépeket, a televíziót, az űrhajót, az ellenálló burgonyafajtát mind nem találták volna fel. Ésvalakinek most is kell értenie hozzájuk, különben nem üzemelnének tovább. Azután valakinek újmatematikát kell felfedeznie a jövőben, meg kell tudnia oldani eddig fel sem merült, vagymegoldhatatlannak tartott problémákat, különben társadalmunk lemarad, amikor a változás megoldástkövetel új problémákra, vagy új megoldást a régiekre. Ha a matematika és minden, ami rajta nyugszik,valahogyan hirtelen kivonódna világunkból, az emberi társadalom egy pillanat alatt összeomlana. Ésha a matematika befagyna, s egyetlen lépést sem haladna előre, civilizációnk elkezdenevisszafejlődni.Nem kívánhatjuk az új matematikától, hogy azonnal pénzben mérhető hasznot hozzon. Beváltani egymatematikai ötletet valamire, ami egy gyárban vagy egy lakásban hasznot hoz, ehhez időre vanszükség. Sok időre: nemritkán egy évszázadra is. Az 5. fejezetben látni fogjuk, hogy a hegedűhúrrezgésének vizsgálata a 17. században hogyan vezetett el háromszáz évvel később a rádióhullámokfelfedezéséhez, majd pedig a rádió, a radar és a televízió feltalálásához. Gyorsabban is elvezethetettvolna, de nem sokkal gyorsabban. Ha azt gondoljuk – ahogyan egyre inkább menedzser stílusúkultúránkban sokan gondolják –, hogy a tudományos kutatás folyamata felgyorsítható, ha azalkalmazásra koncentrálunk és mit sem törődünk a „kuriózumok felé forduló” kutatással, súlyosantévedünk.Valójában magát a „kuriózumok felé forduló kutatás” kifejezést nemrég találták ki fantáziaszegénybürokraták, az elméleti szakemberek szándékos elhallgattatása céljából. Vágyuk csinos kis projektekután, amelyek garantált és gyors profitot kínálnak, túlságosan is naiv, mert a célorientált kutatás csakmegjósolható eredményeket hoz. Látnunk kell a célt ahhoz, hogy megcélozhassuk. De amit látunk, azt aversenytársaink is látják. A biztos kutatás szorgalmazása mindannyiunkat egyszerre szegényít el. Avalóban fontos áttörések mindig megjósolhatatlanok. Éppen a megjósolhatatlanságuk teszi őketfontossá: olyan módon változtatják meg világunkat, ahogyan nem számítottunk rá.A célorientált kutatás ráadásul gyakran egyszer csak „falnak ütközik”, és nemcsak a matematikában.Például, hozzávetőleg nyolcvan évbe és intenzív mérnöki erőfeszítésbe került a fénymásoló gépkifejlesztése, miután a xeroxozás alapelvét a tudósok már felfedezték. Az első fax nagyjából egyévszázaddal ezelőtt elkészült, de nem működött elég gyorsan és megbízhatóan. A holográfia elvét(nézzük csak meg a háromdimenziós képet a hitelkártyákon) több mint egy évszázada felfedezték, desenki sem tudta, hogyan kell a hozzá szükséges koherens fénynyalábot előállítani – olyan fényt,amelyben a hullámok együtt haladnak. Az effajta késlekedés nem ritka az iparban, az intellektuálisabbkutatási területeket nem is említve, és a zsákutcából általában csak akkor jutnak ki, mikor váratlanulúj ötletek jelennek meg.Nincs semmi rossz a célorientált kutatásban, ha konkrét, elérhető célokért folyik. De az álmodozóknak

és különcöknek is kell adni valamennyi szabadságot.Világunk nem statikus: folyton új problémák merülnek fel, és a régi válaszok sokszor elavulnak.Ahogy Lewis Carroll Vörös Királynőjének, nekünk is nagyon gyorsan kell futnunk, hogy nyugodtanállhassunk.

3. FEJEZETMiről szól a matematika?

Amikor meghalljuk a „matematika” szót, elsőnek a számok jutnak eszünkbe. A számok alkotják amatematika szívét, hatásuk mindig érezhető, a számok az a nyersanyag, amelyből a matematika nagyrésze kikovácsolódik. Mégis, a számok önmagukban csak elenyésző részét alkotják a matematikának.Korábban már említettem, hogy matematikával teli világban élünk, de ahol csak lehet, a matematikát aszőnyeg alá söprik, hogy világunk „user-friendly” (vagyis „felhasználóbarát”, ahogyan a számítógép-forgalmazó cégek mondják) legyen. Ugyanakkor, bizonyos matematikai fogalmak annyira alapvetőek,hogy nem rejthetők el; a számok adják erre a legjobb példát. Például, ha nem lennénk képesek atojások megszámlálására és a visszajáró pénz kiszámítására, még élelmiszert sem tudnánk vásárolni.Ezért aztán oktatják is a számtant. Mégpedig mindenkinek. Ha valaki nem tud számolni, éppolyhátrányos helyzetű, mint az analfabéta. Ezért közkeletű a felfogás, mely szerint a matematika főleg aszámokkal kapcsolatos, pedig valójában nem erről van szó. A számolási trükkök, amelyeket azaritmetikában tanulunk, csak a jéghegy csúcsát alkotják. Élhetjük mindennapi életünket anélkül, hogysokkal többet tudnánk matematikából, kultúránk azonban nem tudja működtetni társadalmunkat, ha azeszközök közül ennyire keveset vesz igénybe. A számok csak egy fajtája az objektumoknak,amelyekről a matematikus gondolkozik. Ebben a fejezetben megpróbálok néhány mást is megmutatniés megmagyarázni, miért fontosak.Szükségszerűen magukból a számokból indulok ki. A matematika korai történetének zömeösszefoglalható, mint a rátalálás különböző civilizációkban azon dolgok egyre szélesebb skálájára,amelyeket számoknak nevezhetünk. A legegyszerűbbek a számlálásra használt számok. Valójában aszámlálás jóval megelőzte az 1, 2, 3 szimbólumok kialakulását – hiszen lehet számlálni számok nélkülis, például az ujjainkkal. Kiszámolhatjuk, hogy „két kéznyi és egy hüvelykujjnyi tevém van”, mindigkihajlítva egy-egy ujjunkat, s rápillantva egy-egy tevére. Nem szükséges, hogy fogalmunk legyen a„tizenegyes” számról annak nyomon követésére, vajon lopják-e a tevéinket. Csak azt kellészrevennünk, hogy legközelebb két kéznyi tevénk van – tehát egy hüvelykujjnyi teve hiányzik.A számlálást karcolásokkal is feljegyezhetjük fadarabon vagy csonton. Jeleket is használhatunkszámlálóként – agyagkorongokat juhok képeivel juhok számlálására, vagy tevék képével díszítettagyagkorongot tevék számlálására. Ahogy egy állat elhalad előttünk, bedobunk egy zsákba egykorongot.A szimbólumok használata számok jelzésére valószínűleg körülbelül ötezer évvel ezelőtt alakult ki,amikor ilyenfajta számlálókat raktak egy lezárt agyagtartóba. Túl bonyolultnak bizonyult, hogy amikora számvevők ellenőrizni akarták ennek tartalmát, az agyagedényt fel kellett törni, és az ellenőrzésvégeztével újat készíteni. Így aztán speciális jeleket helyeztek el a tartó külsejére, megjegyzendő,hogy mi van benne. Később rájöttek, hogy egyáltalán nem kell belerakni semmit: ugyanezeket a jeleketróhatják agyagtáblácskára is.Csodálatos, hogy mennyire hosszú időbe telik, mire meglátjuk a nyilvánvalót. Persze ez csak mostnyilvánvaló.A következő felfedezés a számok terén a tört volt – az a számfajta, amit ma úgy jelölünk: 2/3

(kétharmad) vagy 22/7 (huszonkét heted – vagy akár három egész egy heted). A törtekkel nem lehetszámolni – bár kétharmad teve megehető, de nem megszámlálható –, ehelyett sokkal érdekesebbdolgokat tehetünk velük. Például ha három testvér az örökségen, két tevén osztozik, úgy képzeljük,hogy mindegyiknek a tulajdona lesz kétharmad teve – ez a fikció teljesen törvényes, és annyirakényelmes, hogy elfelejtjük, milyen furcsa, ha szó szerint vesszük.Sokkal később, Kr. u. 400 és 1200 között a nulla fogalmát is felfedezték, és elfogadták, hogy számotjelöl. Ha úgy véljük, nagyon furcsa a nullának ez az igen kései törvényesítése, vegyük tekintetbe, hogyhosszú ideig az „egy”-et sem tekintették számnak, mert úgy gondolták, hogy csak több dolgot lehetmegszámolni. Sok történelemkönyvben olvasható: a nulla megjelenésében a kulcsidea az volt, hogyszimbólumot találtak a „semmire”. Ez az aritmetika gyakorlati szempontjából persze hasznos volt; amatematika számára viszont fontossága egy újfajta szám fogalmában rejlett, egy száméban, amelyreprezentálta a „semmi” konkrét ideáját. A matematika alkalmaz szimbólumokat, de ugyanúgy nemazonos velük, mint a zene a kottával vagy a nyelv az ábécé betűivel. Carl Friedrich Gauss, akit sokanminden matematikus legnagyobbikának tartanak, egyszer (latinul) ezt mondta: Mi lényeges amatematikában? Nem a jelölések, hanem a fogalmak. A latinban ez szójáték: „non notationes, sednotiones”.A számfogalom következő bővítése a negatív számok felfedezése volt. Ismét nem sok értelme vanmínusz két tevének, legalábbis szó szerint; de ha két tevével tartozunk valakinek, mégiscsak kettővelcsökken a tulajdonunkban lévő tevék száma. Tehát egy negatív szám úgy képzelhető el, mint amivalamilyen adósságot reprezentál. Sok más módja van, hogyan értelmezzük ezeket a valamivelmisztikusabb számokat; például a negatív hőmérséklet (Celsius fokban) a fagypont alatti hőmérséklet,és egy negatív sebességű tárgy visszafelé mozog. Tehát ugyanaz az elvont matematikai fogalom atermészet többféle nézőpontjához is kapcsolódhat.A törtek tökéletesen elegendőek a legtöbb kereskedelmi tevékenységhez, de nem a matematikához.Például, ahogy azt az ókori görögök, bánatukra, felfedezték, a kettő négyzetgyöke nem fejezhető kipontosan törtként. Vagyis, ha bármely törtet megszorzunk önmagával, nem kaphatunk pontosan kettőt.Egészen közel juthatunk hozzá – mondjuk, a 17/12 négyzete 289/144, és ha 288/144 volna, kettőtkapnánk. De nem annyi és akármilyen törttel próbálkozunk, nem kapunk kettőt. A kettő négyzetgyökét,amit általában jellel jelölünk, így „irracionálisnak” mondjuk. A legegyszerűbb mód a számokhalmazának kibővítésére, úgy, hogy az irracionálisak is beletartozzanak, az ún. valós számokbevezetése. Lélegzetelállítóan alkalmatlan név ez, mivel a valós számokat olyan tizedes törtekkelábrázoljuk, amelyek akármeddig folytatódnak, mint a 3,141599..., ahol a pontok végtelen soktizedesjegyet jelentenek. Hogyan lehet egy dolog valóságos, ha le sem tudjuk írni teljesen? Ez a névmégis megmaradt, bizonyára mert a valós számok sok vizuális érzetünket öntik formába ahosszúságokról és a távolságokról.A valós számok az emberi elme által alkotott elvonatkoztatások közül a legmerészebbek közé tartozik,ennek ellenére évszázadokig vidáman használták őket, anélkül, hogy bárki kétkedett volna a mögöttükmeghúzódó logikában. Paradox módon, az emberek nagyon sokat kételkedtek a számfogalom eztkövető kibővítésében, pedig az teljesen ártalmatlan volt. Ez, a negatív számok négyzetgyökénekbevezetése, az „imaginárius” és a „komplex” számokhoz vezetett. Egy vérbeli matematikus soha nemmegy el nélkülük otthonról, de szerencsére ebben a könyvben sehol nem lesz szükség a komplexszámok ismeretére, így hát a matematikai szőnyeg alá söpröm őket; remélem, nem fogják észrevenni.Ugyanakkor szeretném hangsúlyozni, hogy amíg egy végtelen tizedes törtet könnyen értelmezhetünk,valamilyen hosszúság vagy súly mérése egyre finomuló sorozatának végállomásaként, addig a mínuszegy négyzetgyökének egyszerű, szemléletes interpretációja nem kézenfekvő.

A jelenleg érvényes szóhasználat szerint a 0, 1, 2, 3... számokat természetes számoknak mondják. Hanegatív egész számok is megengedettek, egész számokról beszélünk. A pozitív és negatív törteketracionális számoknak hívjuk. A valós számok fogalma ennél általánosabb, a komplexeké mégáltalánosabb. Így öt számhalmazunk van, mindegyik nagyobb, mint az előző: természetes számok,egészek, racionálisak, valós számok és komplex számok. Ebben a könyvben az egészek és a valósakhalmaza lesz fontos. Ugyanilyen gyakran kell majd beszélnünk a racionális számokról; és, mintemlítettem, a komplex számokat teljesen ki tudjuk kerülni. Remélem azonban, mostantól megértik,hogy ennek a szónak: „szám”, nincs semmilyen istenadta, változtathatatlan jelentése. Többször iskitágult ennek a szónak a jelentése, ami elvileg akármikor újra bekövetkezhet.Ugyanakkor a matematika nem szűkíthető le a számokra. Futólag már találkoztunk egy másfajtamatematikai fogalommal, a művelettel; példa rá az összeadás, kivonás, szorzás, osztás. Általában aművelet két (néha több) matematikai objektumra alkalmazható, hogy segítségével egy harmadikobjektumot kapjunk. Céloztam már egy harmadik fajta matematikai objektumra is, amikor anégyzetgyököket említettem. Ha kiindulunk egy számból és a négyzetgyökét képezzük, új számotkapunk. Az ilyen „objektum” neve függvény. Egy függvényt úgy kell elképzelnünk, mint egymatematikai szabályt, amely kiindul valamely matematikai objektumból – általában egy számból –, ésegy másik objektumot rendel hozzá speciális módon. A függvényeket gyakran definiálják algebraiképletekkel, amelyek rövid formái a szabály magyarázatának, de bármilyen más alkalmas módon isdefiniálhatók. Egy másik kifejezés, ami ugyanazt jelenti, mint a függvény, a transzformáció: a szabályaz első objektumot a másodikba transzformálja. Ezt a kifejezést általában akkor használják, amikor aszabályok geometriai jellegűek. A 6. fejezetben alkalmazunk majd transzformációkat, hogymegragadjuk a szimmetria matematikai lényegét.A műveletek és a függvények nagyon hasonló fogalmak. Valójában az általánosság megfelelő szintjénnem szükséges már őket megkülönböztetnünk. Mindkettő inkább folyamat, mint dolog. S most itt apillanat, hogy kinyissuk Pandóra szelencéjét és bemutassuk az egyik leghatásosabb fegyvert amatematikus fegyvertárából, amit így hívhatnánk: a folyamatok „dolgokká tétele”. A matematika„dolgai” nem léteznek a való világban; absztrakciók. Csakhogy a matematikai folyamatok isabsztrakciók, tehát a folyamatok nem kevésbé „dolgok”, mint azok a „dolgok”, amelyekre alkalmazzukőket. Kézenfekvő ezért a folyamatok „dolgokká tétele”. Valójában tudok olyan esetet, amikor a„kettes” szám éppen hogy nem dolog, hanem folyamat – az a folyamat, amikor éppen számláljuk atevéket és a juhokat, s ellátjuk őket az „1, 2” címkékkel. A szám olyan folyamat, amelyet nagyon régendologgá tettünk, és mindenki dologként gondol rájuk. Ugyanennyire megengedhető – bár legtöbbünkszámára kevésbé természetes –, hogy egy műveletre vagy egy függvényre úgy gondoljunk, mint egydologra. Például beszélhetünk a „négyzetgyökről”, mintha dolog volna és itt most nem egy bizonyosszám négyzetgyökére gondolok. Ebben a képben a négyzetgyök függvény valamilyen hurkatöltő gép:az egyik végén betöltünk egy számot, a négyzetgyöke pedig kijön a másikon.A 6. fejezetben a sík és a tér mozgatásait úgy tekintem majd, mintha dolgok lennének. Már mostfigyelmeztetem az olvasót, mert lehet, hogy zavarni fogja majd. De nem a matematikusok azegyedüliek, akik a „dologgá tevés” vagy „dologiasítás” játékot játsszák. A törvénykezés a „lopásról”úgy beszél, mint dologról; mi több, pontosan be is határolja – bűncselekmény. Olyan mondatokban,mint „a nyugati társadalom két fő rákfenéje a kábítószer és a lopás”, találunk egy igazi dolgot és egydologgá tevésből származó dolgot, miközben úgy kezelik őket, mintha ugyanazon a szinten lennének.Mert a lopás folyamat, amelynek során tulajdonom máshoz kerül át az én beleegyezésem nélkül, de akábítószer valóságosan létező tárgy.A számítógéptudósoknak van egy jó kifejezésük azokra a képződményekre, amelyek számokból

dologiasítási eljárásokkal építhetők fel: adatstruktúráknak hívják őket. Jól ismert példák aszámítógéptudományban a listák (számok sorozatai) és a tömbök (számtáblázatok több sorral ésoszloppal). Említettem már, hogy a számítógép képernyője számpárok listájaként is felfogható; ez egybonyolultabb, de egészen szemléletes adatstruktúra. Elképzelhetők sokkal bonyolultabb lehetőségek is– tömbök, amelyek számok helyett listákból álló táblázatok; tömbök listái; tömbök tömbjei; listáktömbjeinek listáinak listái... A matematika hasonló módon építi gondolati objektumait. Amikor amatematika logikai alapjai még éppen csak kialakulóban voltak, Bertrand Russell és Alfred NorthWhitehead írtak egy hatalmas háromkötetetes művet, a Principia Mathematicát, s ez a lehetőlegegyszerűbb logikai egységgel kezdődött, a halmaz fogalmával. A halmaz dolgok gyűjteménye. Aszerzők fő célja a matematika logikai struktúrájának elemzése volt, de erőfeszítéseik zöme arrairányult, hogy megfelelő adatstruktúrákat tervezzenek a matematikai gondolkodás fontos objektumaiszámára.A matematika képe alapvető objektumainak ebben a leírásában egy fához hasonlít, amelynek gyökerei– a számok –, egyre ravaszabb adatstruktúrákba ágaznak el, ahogy a törzstől az ágak felé, ágaktól azágacskákhoz, ágacskáktól a gallyakhoz... haladunk. Ebből a képből mégis hiányzik egy lényegesösszetevő. Figyelmen kívül hagyja, hogyan hatnak egymásra a matematikai fogalmak. A matematikanem egymástól elszigetelt tények gyűjteménye: nem puszta táj; sajátos földrajza van, amit felhasználóiés alkotói jól ismernek, miközben keresztülnavigálnak rajta. E sajátos geográfia nélkül áthatolhatatlandzsungel lenne ez a táj. Például van valamiféle képletes távolságérzék. Bármelyik matematikai tényközelében ott találunk más hozzá kapcsolódó tényeket. Például a tény, hogy a kör kerülete azátmérőjének π szerese, szorosan összefügg azzal, hogy a kerület a sugár két π szerese. A két tényközött közvetlen a kapcsolat: az átmérő a sugár duplája. Ezzel szemben nem egymáshoz kapcsolódófogalmaknak nagyobb a távolságuk; például az a tény, miszerint pontosan hatféle módon rendezhetünksorba három tárgyat, igen távol áll a fenti, körökkel kapcsolatos tényektől. Van valamiféle képletesérzékünk a magaslatokról is. „A magasba törő csúcsok kilyukasztják az eget” – a fontos, széleskörben használható ideák messziről láthatók, mint a Pitagorasz-tétel a derékszögű háromszögekről,vagy a differenciálszámítás alapvető technikái. Minden kanyarban új látkép rajzolódik ki – váratlanfolyó, amit csak köveken lépkedve tudunk átszelni, hatalmas, nyugodt tó, átjárhatatlangleccserszakadék. A matematika alkalmazója csak a vidék jól kitaposott ösvényein jár. Az alkotómatematikus felkutatja ismeretlen titkait, feltérképezi azokat, és utakat épít rajtuk keresztül, hogymindenki számára hozzáférhetők legyenek.E táj egybekapcsolására a bizonyítás szolgál. A bizonyítás jelöli ki az utat az egyik ténytől a másikig.Hivatásos matematikus nem tekint érvényesnek semmilyen állítást mindaddig, amíg az be nincsbizonyítva logikai hiba nélkül. Ám vannak határok: mit bizonyíthatunk be és hogyan. A filozófia és amatematika megalapozásának tudománya igen nagy munkát fordított arra, hogy megmutassa: nembizonyíthatunk bármit, mert valahonnét ki kell indulnunk; s ha már eldöntöttük, honnan induljunk,bizonyos állítások bizonyíthatatlanok vagy cáfolhatatlanok lehetnek. Nem kívánok ebben az iránybantovábbhaladni; ehelyett gyakorlatiasan szemügyre veszem, mik a bizonyítások és miért szükségesek.A matematikai logika tankönyvei szerint a bizonyítás állítások sorozata, ezek mindegyike vagy előzőállításokból következik, vagy axiómákból – bizonyíthatatlan, de explicite feltételezett állításokból,amelyek végső soron meg is határozzák a matematika éppen vizsgált területét. Ez így körülbelülannyit mond számunkra, mintha egy regényt mondatok sorozataként jellemeznénk, mely mondatokmindegyike vagy utal egy ismert szövegre, vagy hihetően következik az előző mondatokból. Mindkétmeghatározásból csak a lényeg hiányzik: hogy akár a bizonyításnak, akár a regénynek érdekesnek kelllennie. Másodlagos szempontot ragadnak meg, ti. a sztori meggyőző voltát, és a használandó

formátumot is megjelölik, de a legfontosabb jellemző, valljuk be, mégiscsak egy lendületes jó sztorivolna.Nagyon kevés tankönyv beszél erről.Legtöbbünket felbosszant egy logikai bakugrással teli film, legyen mégoly fényes a technikai kivitele.Nemrég láttam egy ilyet, ebben egy repülőteret gerillák foglalnak el, és az irányítótorony elektronikusberendezését a sajátjukkal helyettesítik. A személyzet és a főhős aztán a filmből másfél órát vagy mégtöbbet (sztori-időben mérve több órát) töltenek el azzal, hogy képtelenek kommunikálni a közeledőrepülőgépekkel, amelyek egyre jobban összetorlódnak a magasban, és az üzemanyaguk is kifogy.Senkinek nem tűnik fel, hogy van egy tökéletesen működő repülőtér alig 50 kilométernyire, és eszükbese jut, hogy telefonáljanak a legközelebbi légibázisra. A sztorit ragyogóan és fényűzően vitték filmre –és bután.Ettől még sokan élvezhetik a filmet, a kritikai szintjük, úgy látszik, alacsonyabb, mint az enyém. Demindannyiunknak vannak korlátai, meddig fogadunk el valamit hihetőnek. Ha egy amúgy realisztikusfilmben egy gyerek azzal szórakozna, hogy felkap egy házat, és odébbviszi, legtöbbünk elvesztené azérdeklődését. Hasonlóan, a matematikai bizonyítás maga is történet a működő matematikáról. Nemfontos, hogy minden i-re kitegye a pontot és áthúzza minden t szárát; az olvasók maguk is elvégezhetika rutinlépéseket – ahogy a film szereplői is felbukkanhatnak váratlanul új körülmények között anélkül,hogy tudnánk, hogyan kerültek oda. De a sztoriban nem lehetnek hézagok, és a cselekménynekbizonyosan hihetőnek kell lennie. A szabályok szigorúak: a matematikában egyetlen rés is végzetes.Sőt, egy nemnyilvánvaló logikai rés ugyanúgy, mint egy nyilvánvaló.Vegyünk egy példát. Egyszerűt választottam, hogy elkerüljük a technikai nehézségeket; ezért aztán abizonyítás egyszerű és nem túlságosan jelentős sztorit mesél el. Egy kollégámtól loptam, akiSHIP/DOCK Tételnek nevezi. Bizonyára ismeri az olvasó azt a rejtvényt, amiben adott egy szó(SHIP), amit át kell alakítani egy másikká (DOCK), mindig csak egy betűt változtatva, és végigértelmes szavakon haladva. Megpróbálhatná az olvasó is megfejteni a rejtvényt még most, mielőtttovább olvasna: akkor talán könnyebben megértené a tételt és a bizonyítását. Íme egy megoldás:

[3]Számtalan lehetőség van, és némelyik még kevesebb szóval is megoldható. De ha eljátszadozunk

ezzel a problémával, észre fogjuk venni, hogy minden megoldásban van valami közös: legalább azegyik közbülső szó tartalmazni fog két magánhangzót.Rendben van, bizonyítsuk be!Nem fogadok el semmiféle kísérleti bizonyítékot. Hiába hoz valaki száz megoldást, és mindben akadegy-egy szó két magánhangzóval. Egy ilyen bizonyíték nem felel meg nekünk, egyrészt, mert valamiazt súgja, hátha elnéztünk egy jó megoldást, ami ilyen szót nem tartalmaz. Másrészt bizonyára azt isérezzük: „ez nyilvánvaló”. Egyetértek: de miért nyilvánvaló?Most önök olyan lelkiállapotba kerültek, amiben a matematikusok idejük nagy részét töltik: ez afrusztráció. Már tudják, mit akarnak bizonyítani, hisznek benne, de nem látják, milyen meggyőzősztori-ív alkalmas a bizonyításra. Ez azt jelenti, hogy hiányzik valami kulcsötletük, ami az egész

problémát feltárná önök előtt. Hadd adjak önöknek ilyen ötletet. Gondolkozzanak el rajta néhánypercig, és megtapasztalhatják a matematikus sokkalta kellemesebb lelkiállapotát: a megvilágosodást.Az ötlet a következő: Minden, az angol nyelvben valóban létező szó tartalmaz legalább egymagánhangzót.Egész egyszerű kis állítás. Először is, győződjenek meg róla, hogy igaz. (Itt elfogadható egy szótárbantörténő keresés, feltéve, hogy nagy szótárról van szó.) Akkor hát tekintsük az állítás következményeit!Rendben, akár megcsinálták, akár föladták. Mindkét esetben ugyanezt tette számos matematikaiproblémájával minden hivatásos matematikus. És most jön a trükk. Arra kell koncentrálniuk, mitörténik a magánhangzókkal. Ezek a hegycsúcsok a SHIP/DOCK tájon, azok az útjelzők, amelyekkörül a bizonyítás ösvénye kanyarog.A SHIP kezdőszó csak egy magánhangzót tartalmaz, a harmadik helyen. A DOCK végszó is egyet, amásodik helyen. Hogyan válthat helyet a magánhangzó? Három lehetőség van. Átugorhat az egyikhelyről a másikra; teljesen eltűnhet és újra megjelenhet később; vagy pedig többlet magánhangzó vagymagánhangzók keletkezhetnek, majd később eltűnhetnek.A harmadik lehetőség egyenesen a tételhez vezet. Mivel egyszerre csak egy betű változhat, egybizonyos fázisban a szónak egymagánhangzósból kétmagánhangzósba kell átmennie. Nem ugorhatpéldául egyből háromba. De mi a helyzet a másik két lehetőséggel? Ötletem az, hogy a SHIP szóegyetlen magánhangzója nem tűnhet el. Így már csak az első lehetőség marad, ahol mindig pontosanegy magánhangzó van, de az a harmadik helyről valamikor átugrik a másodikba. Ám ez egyetlen betűmegváltoztatásával lehetetlen. Egy lépésben egy harmadik helyen lévő magánhangzóból és egymásodik helyen lévő mássalhangzóból kellene egy harmadik helyen lévő mássalhangzót és egymásodik helyen lévő magánhangzót faragni. Két betűnek kellene változnia egyszerre, ami nemmegengedett. Q.E.D.[4]

Egy matematikus sokkal formálisabban írná le ezt a bizonyítást, kicsit a tankönyvbeli modellhezhasonlóan, de a fontos az, hogy a sztori meggyőző legyen. Mint minden jó sztori, van eleje és vanvége, és egy íve, amely eljuttatja az olvasót az elejétől a végéig, logikai hézag nélkül. Bár az előbbinagyon egyszerű példa volt, és egyáltalán nem standard matematika, a lényeget láttatni engedi; többekközött az óriási különbséget a természetes módon meggyőző érv és az „integetős” érv között, amelyelfogadható, mégsem átütő. Remélem, sikerült elérni, hogy az olvasó átélje az alkotó matematikusnéhány lelkiállapotát: a frusztrációt amiatt, hogy nem sikerült még kezelni azt, aminek egész könnyűkérdésnek kellene lennie, a lelkesültséget, amikor földereng a fény, a gyanakvást, amikor ellenőrizzükaz érvelést, nincs-e benne logikai hézag, az esztétikai örömöt, amikor eldöntöttük, hogy az ideavalóban helyes, és látjuk, milyen elegánsan vágta keresztül a gordiuszi csomót. Az alkotó matematikaéppen ilyen – csak komolyabb a tárgya.A bizonyításoknak meggyőzőeknek kell lenniük, ahhoz, hogy a matematikusok elfogadják őket. Sokolyan eset fordult elő, amikor igen nagy numerikus adathalmaz rossz megoldást sugallt. Egy közismertpélda a prímszámokkal kapcsolatos ezek azok a számok, amelyeknek két osztója van: önmaguk és az1. A prímszámok sorozata a 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sorozattal kezdődik, és akármeddig folytatódik.A 2-től eltekintve mindegyik páratlan; a páratlan prímek kétfélék: azok, amelyek eggyel kisebbek,mint a négy többszöröse (3, 7, 11, 19) és amelyek eggyel nagyobbak, mint a négy többszöröse (5, 13,17). Ha a prímek sorozatán haladva mindig megszámoljuk, hány prím esik az egyik, illetve a másikosztályba, megfigyelhetjük, hogy mindig több van az „eggyel kisebb”, mint az „eggyel nagyobb”osztályban. Például a fenti hét prím közül négy esik az első, és három a második osztályba. Ez a mintakitart legalább egybillióig, és teljesen indokolt volna azt sejteni, hogy mindig érvényes.De mégsem ez a helyzet.

A számelmélet szakemberei indirekt módszerekkel kimutatták, hogy amikor elég nagy prímeketvizsgálunk, a szituáció megváltozik, és az „eggyel nagyobb” osztály kezd vezetni. Ennek a ténynek azelső bizonyítása csak 10'10'10'10'46-nál nagyobb számokra működött. Hogy a nyomtatómacskakörmeit elkerüljem, a ' jelet használtam a hatványozás jelölésére. Ez csillagászatian nagyszám. Ha teljesen kiirnánk, tömérdek nullát kellene a végére írni. Ha a kozmoszban minden papírráváltozna, és minden elektronra ráírnánk egy nullát, még úgy is csak apró töredékét tudnánk leírni aszükséges nulláknak.Nincs a kísérleti tapasztalatoknak olyan mennyisége, ami szavatolná, hogy kivételek ne merüljenek fela megsejtett szabály alól, még ha ezek a kivételek csak a fenti nagyságrendű számoknál jelentkeznekis. Sajnos a matematikában a ritka kivételek is számítanak. A hétköznapi életben nem szoktunkaggódni olyan események miatt, amelyek billió esetből egyszer következnek be. Szokott ön aggódni,hogy eltalálja egy meteorit? Ennek az esélye kb. egy a trillióhoz. A matematika azonban a logikaikövetkeztetéseket sorra egymásra rakja, és ha csak egy lépés hibás, az egész épület összedőlhet. Haazt állítottuk, hogy minden szám egy bizonyos módon viselkedik, és akár csak egy szám mégsem így,akkor tévedtünk, és mindennek az érvényessége, amit erre a hamis állításra építettünk, bizonytalannáválik.Még a legjobb matematikusokkal is előfordult: kijelentették valamiről, hogy bebizonyították, későbbazonban kiderült, hogy állításuk nem állja meg a helyét, volt a bizonyításukban egy megbúvó rés, vagya számításaikban valami egyszerű hiba, esetleg figyelmetlenségből feltételeztek valamit, ami mégsemvolt olyan sziklaszilárdan igaz, mint képzelték. Ezért aztán az évszázadok során a matematikusokmegtanulták, hogy nagyon kritikusak legyenek a bizonyításokkal szemben. A bizonyítások tartják összea matematika szövetét, ha csak egy cérnaszál is gyenge, az egész szövet szétbomolhat.

4. FEJEZETA változás állandói

Az emberi gondolkodás a természetről évszázadok óta két szélsőséges nézet között ingadozik. Azegyik szerint az univerzum rögzített, változatlan törvényeknek engedelmeskedik, és minden egy jóldefiniált, objektív valóságban létezik. Az ezzel ellentétes vélekedés szerint ilyen objektív realitásnincs; minden áramlás, minden változás. Ahogy Hérakleitosz, a görög filozófus kifejezte: „Nemléphetsz kétszer ugyanabba a folyóba”. A természettudományban kialakulásakor nagyrészt az elsőnézőpont uralkodott.Egyre több jel utal azonban arra, hogy az élenjáró kulturális irányzatok a második nézőpont feléfordulnak – egészen különböző áramlatok, amilyen a posztmodernizmus, a kibernetika vagy a káoszelmélete tették bizonytalanabbá a hitet a valóság objektivitásában, és indították újra az örök vitát amerev törvényekről, valamint a rugalmas változásról.Nem tehetünk mást, mint hogy mindenestől kilépjünk ebből a hiábavaló játékból. Meg kellenetalálnunk az utat visszafelé a két ellentétes világnézetből – nem annyira szintézist keresve, mint inkábbúgy látva mindkét nézetet, mint a valóság valamely magasabb rendjének árnyékát, olyan árnyékokat,amelyek csak azért különböznek, mert ezt a magasabb rendet két különböző irányból szemlélik.De létezik-e ilyen magasabb rend, és ha igen, elérhető-e? Sokak számára mind a mai napig – többekközött természettudósok számána is – Isaac Newton képviseli a racionalizmus diadalát a miszticizmusfelett. Maynard Keynes, a híres közgazdász Newton, the Man (Newton, az ember) című esszéjébenmásként vélekedik:„A 18. században és azóta is Newtonról úgy gondolkodnak, mint a modern kor természettudósai közül

az elsőről és a legnagyobbról, a racionalistáról, aki megtanított minket arra, hogy hideg ésrendíthetetlen ésszel gondolkodjunk. Én nem így látom őt. Nem hiszem, hogy aki figyelmet szenteltannak a ládának a töredékesen ránk maradt tartalmára, amelybe Newton becsomagolt, mikor végül1696-ban elhagyta Cambridgeet, ilyennek láthatná őt. Newton nem az első embere volt az észkorának. Az utolsó varázsló volt, az utolsó a babiloniak, a sumérok közül, az utolsó nagy elme, akiugyanazzal a szemmel nézett a látható és az intellektuális világra, mint akik nem egészen 10.000 évvelezelőtt elkezdték építeni a mi szellemi örökségünket. Isaac Newton, az 1642 karácsonyán árvánszületett gyermek volt az utolsó csodagyerek, akit megillethetne a Háromkirályok őszinte és illőalázata.”Keynes itt Newton személyiségére gondolt, valamint érdeklődésére, ami az alkímia és a vallás irántéppúgy megmutatkozott, mint a matematika és a fizika iránt. De mi is megtaláljuk Newtonmatematikájában az első jelentős lépést afelé a világnézet felé, amely meghaladja és egyesíti a merevtörvényt és a változékony áramlást. Az univerzum tűnhet a változás vihar korbácsolta óceánjának, ámNewton, s előtte pedig Galilei és Kepler, az óriások, akiknek ő a vállára állt, megértették, hogy eváltozás törvényeknek engedelmeskedik. Nemcsak együtt léteznek törvény és áramlás, hanem atörvény hozza létre az áramlást.A káosz, illetve a komplexitás napjainkban kifejlődő tudománya térképezi fel a fentiek hiányzóellentétét: az áramlás törvényt hoz létre. De ez már egy másik történet, amit az utolsó fejezetretartogatunk.Newton előtt a matematika a természetnek egy lényegében statikus modelljét fogalmazta meg. Kevéskivétellel a legnyilvánvalóbb Ptolemaiosz elmélete a bolygók mozgásáról, amely nagyon pontosanrögzítette a megfigyelt változásokat körök egy rendszerének használatával, ezek a körök középpontokkörül forogtak, s a középpontok maguk is forgó körökhöz tartoztak – kerékben-kerékben-kerék.Csakhogy akkor a matematika feladata a természet által használt „ideális formák” katalógusánakelkészítése volt. A kört tartották a lehető legtökéletesebb formának, annak a demokratikusfelismerésnek a nyomán, hogy a kör kerületének minden pontja ugyanolyan távol van a középponttól.A természet, mely magasabb rendű lények alkotása, már meghatározása szerint is tökéletes, és azideális formák matematikai tökéletességek, a kettő tehát természetszerűleg összeillik. Atökéletességről pedig úgy gondolták, hogy nem csúfítja el semmilyen változás.Kepler szembeszállt ezzel a felfogással, amikor a bonyolult körrendszerek helyébe ellipsziseketképzelt. Végül Newton teljesen elvetette ezt a felfogást, és a formákat az őket létrehozó törvényekkelhelyettesítette.Bár következményei beláthatatlanok, a mozgás Newton-féle megközelítése valójában egyszerű.Szemléltethető egy lövedék, például egy bizonyos szögben kilőtt ágyúgolyó mozgásával. Galileikísérletei során felfedezte, hogy egy ilyen lövedék pályája ún. parabola, az ókori görögök által márismert görbe, s kapcsolatos az ellipszissel. Ebben az esetben fordított U betűt formáz.A parabolapálya úgy érthető meg a legjobban, ha a lövedék mozgását két független komponensrebontjuk: vízszintes irányú és függőleges irányú mozgásra. Ha külön-külön foglalkozunk e kétfajtamozgással, és csak akkor rakjuk össze őket újra, ha külön-külön már megértettük, látni fogjuk, miértlesz a pálya parabola.Az ágyúgolyó vízszintes irányú mozgása nagyon egyszerű: állandó sebességgel történik. Függőlegesirányú mozgása az érdekesebb. Egészen gyorsan kezd felfelé mozogni, aztán lelassul, míg egyszercsak egy pillanatra mintha megállna a levegőben, aztán elkezd lefelé esni, először lassan, majdgyorsan növekvő sebességgel.Newton felismerése az volt, hogy bár az ágyúgolyó helyzete egészen bonyolult módon változik,

sebessége sokkal egyszerűbben, gyorsulása pedig már egészen egyszerűen alakul. A következőoldalon lévő 2. ábra együtt mutatja a három függvényt és a köztük fennálló kapcsolatot az alábbipéldában.

2. ábraA kalkulus dióhéjban.

Három matematikai minta, amelyeket az ágyúgolyó határoz meg: magasság, sebesség, gyorsulás. Amagasság mintája, amit közvetlenül megfigyelünk, bonyolult. Newton rájött, hogy a sebesség

mintája egyszerűbb, a gyorsulásé pedig még ennél is egyszerűbb. A kalkulus két fő operációja, adifferenciálás és az integrálás, lehetővé teszi, hogy akármelyik mintáról akármelyik másikra

térjünk át. Tehát dolgozhatunk e legegyszerűbbel, a gyorsulással, s belőle levezethetjük –amelyikre valóban kiváncsiak voltunk – a magasságot.

A szemléletesség kedvéért tegyük fel, hogy a kezdeti sebesség felfelé ötven métermásodpercenként (50 m/sec). Akkor az ágyúgolyó magassága a föld felett, egymásodpercesidőközökben:

0, 45, 80, 105, 120, 125, 120, 105, 80, 45, 0.Láthatjuk ezekből a számokból, hogy a golyó felszáll, a csúcsnál megáll, majd leszáll. Az adatsor

általános mintája azonban nem teljesen nyilvánvaló. A nehézséget Galilei és még inkább Newtonidejében fogalmazták meg, tudniillik, nehéz volt ezeknek a számoknak a közvetlen mérése. Galileigolyót görgetett fel egy enyhe lejtőn, hogy az egész folyamatot lelassítsa. A legnagyobb nehézséget azidő pontos mérése jelentette: Stillmann Drake történész hipotézise szerint Galilei talán dúdoltmagában, és a zenei ütemet fejben felosztotta, ahogyan a zenészek.A távolságok adatsorának mintája rejtvényszerű, de a sebességeké sokkal világosabb. A golyó 50m/sec-os felfelé irányuló sebességgel indul. Egy másodperccel később a sebesség (nagyjából) 40

m/sec; újabb másodperc elteltével 30 m/sec; aztán 20 m/sec, 10 m/sec, végül 0 m/sec (a golyó egypillanatra mozdulatlanná válik). Újabb másodperc elteltével a sebesség 10 m/sec lefelé. Negatívszámokat használva ezt úgy tekinthetjük, mint egy felfelé irányuló -10 m/sec-os sebességet. A továbbimásodpercekben a minta így folytatódik: -20 m/sec, -30 m/sec, -40 m/sec, -50 m/sec. Ezen a pontonaz ágyúgolyó eléri a talajt. A sebességek sorozata tehát, egymásodpercenként mérve:

50, 40, 30, 20, 10, 0, -10, -20, -30, -40, -50.Mármost itt a mintát nehéz nem észrevenni, de menjünk egy lépéssel tovább, és nézzük meg a

gyorsulásokat. Az ágyúgolyó gyorsulásának megfelelő sorozat, ismét negatív számokat használva alefelé tartó mozgáshoz:

-10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10.Azt hiszem, egyetértenek abban, hogy ez egy fokozhatatlanul egyszerű sorozat. A golyó lefelé

irányuló állandó 10 m/s2 gyorsulással halad. (A valóságos érték 9,81 m/s2 körül ingadozik, attólfüggően, hogy a kísérletet a Földnek mely pontján hajtjuk végre. De a 10-es számmal könnyebbdolgozni.)Hogyan tudjuk megmagyarázni ezt az állandót, amely megbúvik a mozgás változói között? Miértmarad állandó a gyorsulás, mikor minden más változik? Az egyik meggyőző magyarázatnak két elemevan. Az első, hogy a Föld húzza lefelé a golyót; vagyis a gravitációs erő hat a golyóra. Indokoltfeltételeznünk, hogy ez az erő különböző magasságokban ugyanakkora. Valóban, azért érezzük, hogysúlyunk van, mert a gravitáció lefelé húzza testünket, és akkor is ugyanannyit nyomunk, ha egy magasépület tetején állunk. Persze, ebből a mindennapi megfigyeléshez folyamodó hivatkozásból nem derülki, mi történik, ha a távolság meglehetősen nagy – mondjuk a Hold és a Föld távolsága. Ez megint egymásik történet, amire később röviden visszatérünk.A magyarázat második eleme az igazi áttörés. Adott egy test, amire állandó lefelé irányuló erő hat, ésazt tapasztaljuk, hogy lefelé irányuló gyorsulása állandó. Tegyük fel az érvelés kedvéért, hogy agravitációs erő sokkal nagyobb: ekkor elvárhatjuk, hogy a lefelé való gyorsulás is sokkal nagyobblegyen. Anélkül, hogy átmennénk egy nehéz bolygóra, például a Jupiterre, nem tudjuk kipróbálni ezt azötletet, mégis indokoltnak látszik; s ugyanilyen indokolt feltennünk, hogy a Jupiteren a lefelé tartógyorsulás ismét állandó lenne – persze az ittenitől különböző állandó. A legegyszerűbb elmélet, ami avalódi és a gondolatkísérleteknek e vegyülékével összhangban áll, úgy szól, hogy ha erő hat egytestre, akkor a test gyorsulása egyenesen arányos az erővel. És ez Newton mozgástörvényéneklényege. Most már csupán az a feltevés hiányzik, hogy ez mindig igaz, minden testre és minden erőre,függetlenül attól, hogy az erő állandó marad-e vagy sem; valamint az arányossági tényező azonosításaa test tömegével. Hogy pontosak legyünk, Newton mozgástörvénye kimondja:

tömeg × gyorsulás = erő.Hát ez az. Nagy erénye, hogy érvényes minden erő- és tömegrendszerre, beleértve az időben

változókat is. Nem sejthettük ezt az univerzális alkalmazhatóságot abból az érvelésből, ami atörvényhez vezetett, mégis így alakult.Newton három mozgástörvényt mondott ki, de a modern megközelítés ugyanazon matematikai egyenlethárom aspektusának tekinti ezeket. A „Newton mozgástörvénye” mondattal ezért a továbbiakban azegész hármas csomagra utalok.A hegy lábánál álló hegymászót természetes ösztöne arra bírja, hogy megmássza a hegyet; amatematikust, ki leül egy egyenlethez, természetes ösztöne arra bírja, hogy megoldja azt. De hogyan?Ha adott egy test tömege és a rá ható erők, könnyen meg tudjuk oldani az egyenletet, hogy megkapjuk agyorsulást. Csakhogy ezt a választ rossz kérdésre adtuk. Ha tudjuk, hogy egy ágyúgolyó gyorsulása 10m/s2, ez még nem ad kézenfekvő információt pályájának alakjáról. Itt jön be a kalkulusnak

(differenciál- és integrálszámításnak) nevezett matematikai ágazat; Newton (és Leibniz) voltaképpenezért találták fel. A kalkulus egy manapság integrálásnak nevezett technikát szolgáltat, ami lehetővéteszi, hogy a gyorsulást minden pillanatban ismerve kiszámítsuk a sebességet minden pillanatra. Haugyanezt a trükköt megismételjük, megkapjuk a helyet is minden pillanatban. Ez hát a válasz a jókérdésre.Ahogy korábban már mondtam, a sebesség a helyváltoztatás mértéke, míg a gyorsulás asebességváltozásé. A kalkulus egy abból a célból kifejlesztett matematikai módszer, hogy aváltozásmértékekkel kapcsolatos kérdéseket megoldja. Pontosabban technikát szolgáltat arra is, hogyváltozásmértékeket megállapítsunk – ez a differenciálásnak nevezett technika. Az integrálás„visszacsinálja”, amit a differenciálás elvégzett; kétszeri integrálás pedig visszacsinálja, amit akétszeri differenciálás elvégzett. Mint Janus, a római isten ikerarcai, a kalkulusnak ezek azikertechnikái két ellentétes irányba mutatnak. Közben megmondják, hogy akármelyik függvénytismerve – a hely, a sebesség vagy a gyorsulás közül – minden pillanatban, hogyan számítsuk ki amásik kettőt.Newton mozgástörvénye fontos leckére tanít: az út a természet törvényeitől a természet viselkedéséignem okvetlenül közvetlen és nyilvánvaló. A megfigyelt viselkedés és a belőle következő törvényközött szakadék tátong, amit az emberi elme csak matematikai számításokkal tud áthidalni. Ezzel nemazt sugalljuk, hogy a természet nem más, mint matematika – hogy (mint azt Paul Dirac fizikus mondta)„Isten matematikus”. Lehet, hogy a természet mintáinak és szabályosságainak más az eredete; de,végtére is, a matematika nagyon hatékony módszer az ember számára, hogy megértse ezeket amintákat.A fizikának minden törvénye, amit Newton alapvető felismerése nyomán fedeztek fel – tudniillik,hogy a változás a természetben leírható matematikai eljárásokkal, csakúgy, ahogyan a természetiforma is leírható matematikával –, hasonló jelleget ölt. Ezek a törvények olyan egyenletekkelfogalmazhatók meg, amelyek nem elsősorban a fizikai mennyiségekhez kapcsolódnak, hanem azokidőbeli változásának mértékéhez. Például a „hővezetési egyenlet”, amely megadja, hogyan terjed a hőegy hővezető testben, nem másról szól, mint a test hőmérsékletének változásmértékéről; a„hullámegyenlet” pedig, amely leírja a hullámok mozgását a vízben, levegőben és más anyagokban, ahullámamplitúdó változásmértékének változásmértékét követi nyomon. A fény, hang, elektromosság,mágnesesség, anyagok rugalmas hajlítása, folyadékok áramlása vagy kémiai reakciók lefolyása, mindkülönböző változásmértékekre vonatkozó egyenletek.Mivel a változásmérték egy mennyiség jelenlegi és későbbi értéke közti különbség, az ilyenegyenleteket differenciálegyenleteknek hívjuk. A „differenciálás” kifejezés eredete ugyanez. Newtonóta a matematikai fizika arra törekszik, hogy az univerzumot differenciálegyenletekkel írja le, és aztánmegoldja azokat.Ugyanakkor, ahogy nyomon követtük ezt a törekvést bonyolultabb régiókban, a „megoldani” szójelentése sok változáson ment keresztül. Először azt jelentette: pontos matematikai képletet találni,ami minden időpillanatban leírja, mi történik egy adott rendszerben. Newton felfedezése egy másiktermészeti mintáról, a gravitációs törvény, ilyenfajta megoldás volt. Kepler felfedezéséből indult ki,amely szerint a bolygók ellipszispályán mozognak, valamint Keplernek két másik észrevételéből.Newton azt kérdezte, milyen, a bolygóra ható erő szükséges ahhoz, hogy megkapjuk a Kepler általfeltételezett ellipszismintát. Valójában Newton megpróbált fordított irányban dolgozni, indukcióvaldedukció helyett. És nagyon szép eredményre jutott. A szükséges erő mindig a Nap irányába mutat;ezenkívül csökken, ha a Naptól mért távolság nő. Továbbá, e csökkenés egyszerű matematikaitörvénynek tesz eleget, a távolság négyzetével fordított arányosság törvényének. Ez azt jelenti, hogy

egy kétszer akkora távolságban elhelyezkedő bolygóra negyedakkora erő hat, egy háromszor akkoratávolságban levőre kilencedakkora, és így tovább. Ezt a felfedezést, ami olyan szép volt, hogy tudnilehetett: mély igazságot rejt a világról – már csak egy lépés választotta el annak megértéséig, hogy afenti erő okozója elsősorban a Nap. A Nap vonzza a bolygót, de a vonzás gyengébb, ha a bolygótávolabb helyezkedik el. Csábító volt az ötlet, és Newton óriási szellemi ugrásra vállalkozott:feltételezte, hogy ugyanez a vonzóerő lép fel bármely két test között, bárhol a világegyetemben.Most, hogy „indukálta” az erőtörvényt, Newtonnak sikerült körbeérnie érvelésével, dedukálva abolygómozgás geometriáját. Megoldotta a mozgás- és gravitációs törvényekből nyert egyenleteket kétegymást kölcsönösen vonzó testre, amelyek eleget tesznek a távolság négyzetével fordítottarányosság törvényének. Akkoriban a „megoldotta” annyit jelentett: talált egy matematikai képletet amozgásuk leírására. A képlet kiadta, hogy ellipszispályákon kell mozogniuk közös tömegközéppontjukkörül. Ahogy a Mars a Nap körül óriási ellipszispályán kering, a Nap annyira kicsiny ellipszispályánmozog, hogy mozgása érzékelhetetlen. Valóban, a Nap tömege a Marshoz képest oly nagy, hogy aközös tömegközéppont mélyen a Nap felszíne alatt helyezkedik el, ami megmagyarázza, miért hitteKepler, hogy a Mars a mozdulatlan Nap körüli ellipszispályán halad.Ám amikor Newton és követői megpróbáltak erre az eredményre támaszkodni három vagy még többtest – például a Hold/Föld/Nap vagy akár az egész Naprendszer – által alkotott rendszeregyenleteinek megoldásakor, komoly technikai nehézségekbe ütköztek, és csak úgy tudták ezeketkikerülni, hogy megváltoztatták a „megoldani” szó jelentését. Nem találtak semmilyen képletet, amelyaz egyenleteket megoldaná, így feladták az ez irányú próbálkozásokat. Ehelyett megpróbáltakmódszereket találni közelítő értékek kiszámítására. Például 1860 körül Charles-Eugčne Delaunayfrancia csillagász egy teljes könyvet töltött meg egyetlen közelítő számítással, amely a Föld és Napgravitációs vonzása által befolyásolt Hold mozgását írja le. Igen pontos számítások voltak ezek –ezért is töltöttek meg egy könyvet –, és húszévi munkájába kerültek. Amikor 1970-benvégigellenőrizték egy szimbolikus algebrai számítógépes programmal, a számítás csupán húsz órátigényelt: mindössze három hibát találtak Delaunay művében, és azok sem voltak komolyak.A Hold/Föld/Nap mozgásának problémáját három-testproblémának hívjuk. Annyira más, mint atakaros két-testprobléma, amit Newton megoldott, mintha valami más bolygón egy másik galaxisbantalálták volna ki, vagy egy másik univerzumban. A három-test-probléma megoldást keres három tömegmozgását leíró egyenletekre, ha ezek eleget tesznek a távolság négyzetével fordított arányosságtörvényének. A matematikusok évszázadok óta próbáltak erre megoldást találni, de megdöbbentőenkevés sikerrel, ha eltekintünk az olyan közelítésektől, mint Delaunay munkája, ami ráadásul csak aHold/Föld/Nap speciális esetével foglalkozott. Kezelhetetlennek bizonyult továbbá az ún. leszűkítetthárom-test-probléma is, ahol az egyik test tömege annyira kicsi, hogy úgy tekinthetjük, mintha nemgyakorolna erőt a másik kettőre. Ez volt az első intő jel arra nézve, hogy a törvények ismerete nemmindig elegendő egy rendszer viselkedésének megértéséhez; hogy a szakadék törvények és viselkedésközött nem mindig hidalható át.A komoly erőfeszítések ellenére több mint háromszáz évvel Newton után máig sem ismerjük a teljesmegoldást a három-test-problémára. Tudjuk viszont, hogy miért olyan nehéz ez a kérdés. A két-test-probléma „integrálható” – az energia és az impulzus megmaradásának törvénye annyira leszűkíti alehetséges megoldások halmazát, hogy ez egyszerű matematikai formát kényszerít ki. 1994-ben ZhiongXia, a Georgia Institute of Technology (USA) munkatársa bebizonyította, amit a matematikusokhosszú ideje gyanítottak: hogy egy három testből álló rendszer nem integrálható. Sőt, sokkal többetbizonyított be; kimutatta, hogy egy ilyen rendszer produkálni tudja az Arnold-diffúziónak nevezettkülönös jelenséget. Ezt először 1964-ben fedezte fel a Moszkvai Állami Egyetemen dolgozó

Vlagyimir Arnold. Az Arnold-diffúzió a testek egymáshoz viszonyított helyzetének igen lassú,„véletlen” ingadozása. Az ingadozás valójában nem véletlenszerű: ez is egy példa a manapságkáoszként ismert viselkedésre – amely látszólag véletlen, de valójában tökéletesen meghatározottfolyamat.Vegyük észre, hogy ez a megközelítés megint csak megváltoztatja az „oldd meg” jelentését. Először ezazt jelentette: „találj képletet”. Később pedig azt: „találj közelítő megoldást”. Végül nem várt mást,mint: „mondd meg, milyen a megoldás”. Mennyiségi válaszok helyett minőségi válaszokat keresünk.Bizonyos értelemben ez visszavonulásnak látszik: ha túl nehéz képletet találni, keress közelítést; hamég ezt se lehet, kísérelj meg minőségi leírást. Azonban tévedés ezt a fejleményt visszavonulásnaktekintenünk, mert a fenti jelentésváltozás arra tanított meg minket, hogy a három-test-problémáhozhasonló kérdések esetében egyáltalán nincs képlet. Be tudjuk bizonyítani, hogy vannak olyanminőségi szempontok, amelyeket egy képlet nem tudna figyelembe venni. Az ilyen kérdésekben képletkeresése légvárépítés volt.Miért akartak a tudósok elsősorban képletet találni? Azért, mert a dinamika korai szakaszában ez voltaz egyetlen módja annak, hogy kiszámítsák, milyenfajta mozgás léphet fel. Később ugyanez azinformáció közelítő számításokból is megkapható volt. Napjainkban olyan elméletekből jutunk hozzá,amelyek közvetlenül és pontosan kezelik a mozgás minőségi aspektusait. Ahogy a következő néhányfejezetben látni fogjuk, ez a lépés a kimondottan kvalitatív elmélet felé nem visszalépés, hanemkomoly fejlődés. Először azzal kezdjük, hogy a természet mintáit a saját formájukban próbáljukmegérteni.

5. FEJEZETA hegedűktől a videókig

Immár hagyomány lett, ahogy megfigyeltem, szétválasztani a matematikát két különbözőrészágazatra, amelyeket a tiszta matematika és alkalmazott matematika címkével látnak el. Ez aszétválasztás zavarba ejtette volna a klasszikus idők nagy matematikusait. Carl Friedrich Gausspéldául legboldogabb a számelmélet elefántcsottornyában volt, ahol egyszerűen azért lelte élvezetétaz absztrakt numerikus mintákban, mert szépek voltak és kihívást jelentettek. A számelméletet a„matematika királynőjének” nevezte, és nem állt tőle távol a poétikus eszménykép, amelyben akirálynők finom szépségek, akik nem szennyezik be a kezüket semmi hasznossal. Ugyanakkorkiszámította a Ceresnek, az első felfedezett kisbolygónak a pályáját. Felfedezése után hamarosan aCeres a Nap mögé került, és nem lehetett megfigyelni. Hacsak a pályáját nem számítják ki pontosan, acsillagászok nem találták volna meg, amikor megint látható lett hónapokkal később. Azonban amegfigyelések száma a kisbolygóra vonatkozóan olyan csekély volt, hogy a pálya kiszámításárahasznált szabvány módszerek nem szolgáltatták a kívánt pontosságot. Így aztán Gauss néhány komolyújítást vezetett be, közülük egyesek ma is használatosak. Virtuózhoz méltó teljesítmény volt, ésmegalapozta jó hírét a nyilvánosság előtt. És nem is ez volt az egyetlen gyakorlati alkalmazása az őmatematikai munkásságának: többek közt hozzájárult a fejlődéshez a geodéziai felmérő munkában, atávíró kifejlesztésében és a mágnesesség megértésében.Gauss idejében lehetséges volt egyetlen személy számára, hogy az egész matematikát elég jól értse.Mivel azonban a tudomány összes klasszikus ága olyan hatalmasat fejlődött, hogy egyetlen elmeképtelen akár csak az egyiket is átfogni, ma a specialisták korát éljük. A matematika megszervezésehatékonyabb, ha mindenki specializálja magát vagy témájának elméleti részére, vagy éppen agyakorlatira. Mivel a matematikusok legtöbbje az egyikben dolgozik sokkal szívesebben, vagy a

másikban, ezek az egyéni hajlamok tovább erősítik a fenti szétválasztást. Sajnos így a külvilágszámára nagyon indokoltnak látszik a feltevés: a kettő közül csak az alkalmazott matematikahasználható; még a név is ezt sugallja. A feltevés helyes, ha létrehozott matematikai technikákravonatkozik: végső soron hasznosat elkerülhetetlenül „alkalmazott”-nak tekintenek, függetlenül attól,hogy mi az eredete. Nagyon torz képet ad viszont a gyakorlati jelentőségű új matematika eredetéről. Ajó ötletek ritkák, de ugyanolyan gyakran fakadnak a matematika belső struktúrájáról szőtt képzeletdúsábrándokból, mint egy konkrét gyakorlati probléma megoldására irányuló próbálkozásokból. Ez afejezet éppen egy ilyen fejlesztés esettanulmányával foglalkozik, amelynek leghatékonyabbalkalmazása a televízió – ez a felfedezés jobban megváltoztatta életünket, mint bármi más. Ebben atörténetben a matematika tiszta és alkalmazott aspektusai úgy ötvöződnek össze, hogy amitlétrehoznak, sokkal hathatósabb és nagyobb kényszerítő erővel bír, mint akármelyikük egyedül.Történetünk a 16. században kezdődik a rezgő hegedűhúr problémájával. Bár ez gyakorlati kérdésnektűnhet, főleg úgy tanulmányozták, mint egy differenciálegyenletet; a munkának nem volt célja ahangszerek minőségének javítása.Képzeljünk el egy ideális hegedűhúrt, egyenesre kifeszítve két rögzített tartó között. Mi történik, ha ahúrt megrántjuk, elhúzzuk eredeti helyzetéből, és aztán elengedjük? Ahogy elhúzzuk, rugalmasfeszültsége növekszik, s a keletkező erő a húrt visszahúzza eredeti helyzetébe. Amikor elengedjük,gyorsulni kezd ennek az erőnek a hatására, Newton mozgástörvényének megfelelően. Ám ekkorgyorsan mozog, hiszen végig gyorsult – így túlhaladja az egyenes vonalat és tovább mozog. E ponton afeszültség az ellenkező irányba húzza, lelassítja, míg végül megáll. S kezdődik az egész elölről. Hanem lenne súrlódás, a húr a végtelenségig ide-oda rezegne.Mindez elfogadható szóbeli leírás; a matematikai elmélet számára az egyik feladat megállapítani,vajon a fenti forgatókönyv helyes-e, s ha igen, kiszámítani a részleteket, például a húr alakját, amit azegyes időpillanatokban felvesz. Ami bonyolult probléma, mert ugyanaz a húr sokféle módon rezeghet,attól függően, hogyan pendítették meg. Az ókori görögök tudták ezt, mert kísérleteik megmutatták,hogy a rezgő húr sok különböző zenei hangot képes kiadni. Későbbi nemzedékek rájöttek, hogy a hangmagasságát a rezgés frekvenciája – a húr ide-oda-mozgásának gyorsasága – határozza meg, tehát agörögök felfedezése azt árulja el számunkra, hogy ugyanaz a húr sok különböző frekvenciával tudrezegni. Minden egyes frekvencia a mozgó húr egy bizonyos alakjának felel meg, és ugyanaz a húrtöbbféle alakot vehet fel.A húrok túl gyorsan mozognak ahhoz, hogy szabad szemmel akármilyen pillanatnyi alakjukatészlelhessük, de a görögök fontos bizonyítékot találtak arra nézve, hogy a húr sok különbözőfrekvenciával rezeghet. Kimutatták, hogy a hangmagasság a csomópontok elhelyezkedésétől függ –ezek azok a pontok a húr mentén, amelyek mozdulatlanok maradnak. Kipróbálhatjuk ezt egy hegedűn,bendzsón vagy gitáron. Mikor a húr az „alapfrekvenciáján” rezeg – vagyis a lehető legmélyebb hangotadja –, csak a végpontok vannak nyugalomban. Ha ujjunkat a húr közepére tesszük, s így csomópontotképezünk, majd megpendítjük a húrt, egy oktávval magasabb hangot fog adni. Ha ujjunkat az egyikharmadolópontra helyezzük, ezzel két csomópontot hozunk létre (a másik a másik harmadolópontlesz), ekkor még magasabb hangot kapunk. Minél több csomópont van, annál nagyobb lesz afrekvencia. Általában azt mondhatjuk, a csomópontok száma egész szám, és egyenlő távolságbanhelyezkednek el.A megfelelő rezgések állóhullámok, olyan hullámok, amelyek föl-le mozognak, de nem vándorolnak ahúr mentén. Eme föl-le mozgás méretét a hullám amplitúdójának hívják, ez határozza meg a hangerősségét. A hullámok szinuszhullámok olyan alakúak, mint egy szinuszgörbe, ami ismétlődő, elegánsalakú hullámvonal; bizonyára emlékeznek még rá a trigonometriából.

1714-ben Brook Taylor angol matematikus írta le a rezgés alapfrekvenciáit a húr hosszának,feszültségének és sűrűségének függvényében. 1746-ban Jean Le Rond d'Alembert kimutatta, hogy ahegedűhúr sok rezgése nem álló szinuszhullám. Egyúttal azt is megmutatta, hogy a hullám pillanatnyialakja bármilyen lehet. 1748-ban, válaszképpen d'Alembert munkájára, a termékeny svájcimatematikus, Leonhard Euler felállította a húr „hullámegyenletét”. Ez a húr alakjánakváltozásmértékét leíró, Isaac Newton szellemében fogant, differenciálegyenlet. Valójában „parciálisdifferenciálegyenlet”, ami azt jelenti, hogy nemcsak az időre vonatkozó változásmértéket, hanem atérre vonatkozót is tartalmazza – ez a húr irányát jelenti. Azt fejezi ki a matematika nyelvén, hogy ahúr minden egyes kis szakaszának gyorsulása arányos a szakaszra ható feszítőerővel, ami Newtonmozgástörvényéből adódik.Euler nemcsak felállította a hullámegyenletet, meg is oldotta. Megoldása elmagyarázható szavakbanis. Először, deformáljuk a húrt olyan alakra, amilyenre csak akarjuk – lehet ez parabola, háromszögvagy valamilyen ide-oda tekergőző, magunk kieszelte alakzat. Ezután képzeljük el, hogy ez az alaktovaterjed a húr mentén jobb felé. Nevezzük ezt jobb felé utazó hullámnak. Majd „állítsuk fejetetejére” az eredeti alakot, és képzeljük el, hogy a másik irányba terjed tova, és bal felé utazóhullámot alkot. Végül rakjuk egymásra („szuperponáljuk”) a két hullámalakot. Ez a folyamat elvezet ahullámegyenlet összes olyan megoldásához, amiben a húr két végpontja rögzített.Röviddel ezután Euler vitába keveredett Daniel Bernoullival, akinek családja Antwerpenbőlszármazott, de Németországba, aztán Svájcba települt át, a vallási üldöztetés elől. Bernoulliugyancsak megoldotta a hullámegyenletet, de teljesen más módszerrel. Szerinte a legáltalánosabbmegoldás úgy állítható elő, mint végtelen sok álló szinuszhullám szuperpozíciója. Ez a látszólagosegyet nem értés egy évszázadig tartó polémia leezdete volt, ami úgy oldódott fel, hogy kiderült: mindEulernek, mind Bernoullinak igaza volt. Ennek magyarázata, hogy minden periodikusan változó alakelőállítható végtelen sok szinuszgörbe szuperpozíciójaként. Euler azt hitte, hogy az ő megközelítése azalakzatok nagyobb bőségéhez vezet, mert nem ismerte fel periodicitásukat. A matematikai analízisazonban végtelen hosszú görbékkel dolgozik. Mivel csak a görbe két végpont közötti része fontos,periodikusan ismételhető akármeddig egy végtelen húr mentén, lényeges változás nélkül. Euleraggodalmai tehát alaptalannak bizonyultak.Ennek az egész munkának az a tanulsága, hogy a szinuszhullámok az alapvető rezgési komponensek. Arezgési lehetőségek teljessége megkapható úgy is, hogy az összes lehetséges véges és végtelenösszegét képezzük az öszes lehetséges frekvenciájú szinuszhullámnak. Ahogyan Daniel Bernoullimindig is hangoztatta: „minden d'Alembert és Euler által adott új görbe csak a Taylor-féle rezgésekkombinációja”.Ennek a polémiának a feloldásával a hegedűhúr rezgései elvesztették rejtélyességüket, ezért amatematikusok nagyobb vadat kerestek. A hegedűhúr egy görbe – egydimenziós objektum –, detöbbdimenziós objektumok is rezeghetnek. A legközönségesebb hangszer, amely kétdimenziós rezgéstprodukál, a dob, mert a dob bőre felület, nem pedig egyenes vonal. A matematikusok tehátfigyelmüket a dobok felé fordították, élükön Eulerrel. Euler 1759-ben megint levezetett egyhullámegyenletet, amely ezúttal leírta, hogyan változik a dob-bőr egyes pontjainak magassága azidőben. Fizikai interpretációja szerint a dob valamely kis részletének gyorsulása egyenesen arányos akörnyező részek által rá gyakorolt átlagos húzóerővel: szimbolikusan ez nagyon hasonlít azegydimenziós hullámegyenletre; csak most térbeli (másodrendű) változásmértékek is szerepelnek kétfüggetlen irányban az időre vonatkozó változásmérték mellett.A hegedűhúrok végei rögzítettek. Ez a „peremfeltétel” igen fontos: meghatározza, hogy ahullámegyenletnek milyen fizikai megoldásai lehetségesek a hegedűhúrra nézve. Ebben az egész

tárgykörben perdöntőek a határok. A dobok nemcsak dimenziójukban különböznek a hegedűhúroktól,hanem a határuk is sokkal érdekesebb, a dob határa zárt görbe: kör. Ugyanakkor, éppúgy, mint ahúrnál, a dob határa is rögzített: a dob bőrének többi része mozoghat, de a peremre rá van feszítve. Aperem feltétel leszűkíti a dob-bőr mozgási lehetőségeit. A hegedűhúr két elszigetelt végpontja nem adolyan érdekes és változatos peremfeltételt, mint egy zárt görbe; a határ igazi szerepe csak két és többdimenzióban válik nyilvánvalóvá.Ahogy a 18. század matematikusai egyre jobban értették a hullámegyenletet, meg tudták oldani akülönböző alakú dobok mozgására. Ekkor azonban a hullámegyenlet kilépett a zene területéről és amatematikai fizika központi kérdése lett. A valaha kidolgozott matematikai képletek közülvalószínűleg ez lett a legfontosabb – Einstein híres tömeg-energia relációjával is dacolva. Amitörtént, igen jellemző példa arra, hogyan bontja ki a matematika a természet rejtett egységét. Ugyanazaz egyenlet bukkant fel mindenütt. Feltűnt a folyadékok dinamikájában, ahol leírta a víz hullámainakkiformálódását és mozgását. Megjelent a hangtanban, ahol leírta, hogyan terjednek a hanghullámok – alégrezgések, melyek során a levegő molekulái hol közelednek egymáshoz, hol szétválnak. Ésjelentkezett az elektromosság, valamint a mágnesesség elméletében, miközben örökre megváltoztattaaz emberi kultúrát.Az elektromosságnak és a mágnesességnek hosszú és bonyolult a története, sokkal bonyolultabb, minta hullámegyenletnek; véletlen felfedezések, kuksszerepet játszó kísérletek és matematikai, illetvefizikai elméletek tarkítják. E történet William Gilberttel, I. Erzsébet fizikusával kezdődik, aki gigászimágnesként írta le a Földet, és megfigyelte, hogy az elektromosan feltöltött testek vonzzák vagytaszítják egymást. Folytatását olyan nevek fémjelzik, mint Benjamin Franklin, aki 1752-ben,zivatarban papírsárkányt föleresztve bebizonyította, hogy a villámlás az elektromosság egyik formája;meg Luigi Galvani, aki észrevette, hogy az élettelen béka combizmai összehúzódnak villamos szikrahatására; valamint Alessandro Volta, aki feltalálta az első elektromos telepet. E korai fejlődés idejénaz elektromosságot és a mágnesességet végig két teljesen különböző természeti jelenségnektekintették.Aki egységben kezdte látni a kettőt, az Michael Faraday angol fizikus és kémikus volt. Faraday alondoni Royal Institutionnál állt alkalmazásban, feladata többek között az volt, hogy az intézettermészettudományos érdeklődésű tagjait minden héten kísérletekkel szórakoztassa. Az új ötleteknekez a folytonos kényszere Faradayt minden idők egyik legnagyobb kísérleti fizikusává tette. Különösenlelkesedett az elektromosságért és a mágnesességért, mert tudta, hogy az elektromos áram mágneseserőt kelt. Tíz évet töltött azzal, hogy bebizonyítsa: fordítva is igaz, a mágnes képes elektromos áramotkelteni, és 1831-ben sikerült is neki. Megmutatta, hogy a mágnesesség és az elektromosság csak kétaspektusa ugyanannak a dolognak – az elektromágnesességnek. Állítólag IV. Vilmos király egyszermegkérdezte Faradayt, milyen hasznuk van az ő tudományos műhelyében előadott trükköknek, és ezt aválaszt kapta: „Nem tudom, Felség, de azt tudom, hogy Ön egyszer adót fog kivetni rájuk.” Valóban, agyakorlati alkalmazás nem váratott magára sokáig, nevezetesen az elektromotor (az elektromosságmágnesességet kelt, ez pedig mozgást) és a generátor (a mozgás mágnesességet kelt, ez pedigelektromosságot).De Faraday az elektromágnesesség elméletét is kifejlesztette. Nem volt matematikus, így fogalmaitfizikai szóképek, hasonlatok formájába öltöztette, ezek közül a fogalmak közül az erővonal volt alegfontosabb. Ha egy darab papír alá mágnest helyezünk, rá pedig vasreszeléket szórunk, a reszelékjól meghatározott görbe vonalakba rendeződik. Faraday ezeket úgy magyarázta, hogy a mágneses erőnem hat minden továbbító közeg nélkül, nincs „távolhatás”, hanem a téren keresztül görbe vonalakmentén halad. Ugyanez érvényes az elektromos erőre is. Faraday szellemi utódja James Clerk

Maxwell volt. Faraday ideáját az erővonalakról Maxwell matematikai egyenletekben fejezte ki. Ezeka mágneses és elektromos erőterekről szóltak – olyan jelenségekről, amelyeket a mágneses éselektromos töltés térbeli eloszlása határoz meg.Maxwell addig finomította elméletét, míg 1864 körül négy differenciálegyenletből álló rendszertkapott, amelyek összefüggésbe hozták a mágneses és az elektromos mező változásait. Az egyenletekelegánsak, és különös szimmetriát tesznek láthatóvá az elektromosság, valamint a mágnesesség között,amelyek hasonló módon hatnak egymásra.Itt, Maxwell egyenleteinek elegáns szimbolizmusában érhetjük tetten azt az óriási ugrást a hegedűktőla videókig, amit az emberiség megtett: egyszerű algebrai jellegű manipulációkkal sikerült a Maxwell-egyenleteket hullámegyenletté alakítani, s ebből már egyértelműen következett az elektromágneseshullámok létezése. Ráadásul a hullámegyenlet azt is kiadta, hogy az elektromágneses hullámok a fénysebességével terjednek. Közvetlen követleezményként adódott, hogy a fény is elektromágneses hullám– elvégre a legkézenfekvőbb dolog, ami fénysebességgel terjed, maga a fény. Viszont éppúgy, ahogy ahegedűhúr sokféle frekvenciával rezeghet – a hullámegyenletnek megfelelően –, az elektromágnesesmezővel is ez a helyzet. Az emberi szemmel látható hullámoknál a frekvenciának a szín felel meg.Más frekvenciájú húrok más hangot adnak; más fekvenciájú látható elektromágneses hullámoknak aszíne lesz más. Ha a frekvencia a látható tartományon kívül van, a hullám nem fény, hanem valamimás.De micsoda? Amikor Maxwell felállította egyenleteit, senki nem tudta. Az egész puszta feltételezésvolt, ami arra alapozódott, hogy Maxwell egyenletei tényleg alkalmazhatók a fizikai világra. Ahhoz,hogy ezeket a hullámokat valóságosnak fogadják el, a Maxwell-egyenleteket valahogyan tesztelnikellett. Maxwell eszméi élveztek valamennyi rokonszenvet Angliában, de külföldön majdnem teljesenismeretlenek voltak 1886-ig, amikor Heinrich Hertz, a német fizikus elektromágneses hullámokatkeltett – olyan frekvenciával, amit ma rádiófrekvenciának nevezünk –, és kísérletileg is kimutattaőket.A saga végső epizódja Guglielmo Marconi nevéhez fűződik, aki 1895-ben sikerrel kivitelezte az elsődrótnélküli távírót, majd 1901-ben pedig az Atlanti-óceánon keresztül adott le és vett rádiójeleket.A többi, ahogy mondani szokás, történelem. Ezután már jött a radar, a televízió és a videó.Persze mindez csupán vázlata a matematika, a fizika, a mérnöki munka és a pénzvilág közöttihosszadalmas és bonyolult együttműködésnek. Ki tudna hitelt igényelni a rádió feltalálásához?Elképzelhető, hogy amennyiben a matematikusok nem tudtak volna már eleve sokat ahullámegyenletről, Maxwell vagy követői mégis kidolgozzák valahogyan a következményeket. De azötleteknek el kell érniük bizonyos kritikus tömeget ahhoz, hogy robbanjanak, és egy feltalálónak sincsideje vagy képzelőereje, hogy megalkossa az eszközöket ahhoz, hogy megalkossa az eszközöket ahhoz,hogy megalkossa..., akkor sem, ha ezek intellektuális eszközök. Tagadhatatlan, hogy történelmilegfolytonos vonal húzódik a hegedűktől a videókig. Talán egy másik bolygón a dolgok máskéntalakultak volna; ám a miénken ez történt.Meglehet, azon a másik bolygón sem lett volna másként – jó, nem nagyon másként. Maxwellhullámegyenlete nagyon komplikált: egyszerre ír le elektromos és mágneses mezőben végbemenőváltozásokat a háromdimenziós térben. A hegedűhúr egyenlete sokkal egyszerűbb, egyetlenmennyiséget – a húr egy pontjának helyét, illetve annak változását írja le egy egydimenziós vonalmentén.A matematikai kutatás általában az egyszerűtől az összetett felé halad. Az egyszerű rendszerekről, ígya rezgő húrokról szerzett tapasztalatok nélkül egy „célorientált” nekirugaszkodás a drótnélküli távírófeltalálásához (üzenetek küldése vezeték nélkül, innen a kissé divatjamúlt elnevezés) nem járt volna

több sikerrel, mint amivel ma az antigravitáció vagy a fénynél sebesebb hajtóművek feltalálásakecsegtet. Senki sem tudná, hogy induljon el.Persze a hegedűk az emberi és főleg az európai kultúra véletlen velejárói. De egy vonalszerű tárgyrezgései bárhol előfordulnak ilyen vagy olyan álruhában. Betelgeuse II pókjainak világában talán egypókhálófonal rezgése lenne – melyet egy küszködő rovar kelt – az elektromágneses hullámokfelfedezésének kiváltó oka.Ám kell néhány világos gondolatmenet ama speciális kísérletsorozat kidolgozásához, amely HeinrichHertzet korszakalkotó találmányához elvezette, és ez a gondolatmenet szükségszerűen valamiegyszerűvel kezdődik.A matematika képes láthatóvá tenni a természet egyszerűségét, ez teszi lehetővé az általánosítást azegyszerű példákból a valóságos világ összetett jelenségei felé. Többek közreműködése kellett sokféleterületről, hogy egy-egy hasznos termék matematikai háttere megteremtődjön. De legközelebb, ha azolvasó walkmannel a fülén kocog, vagy bekapcsolja a tévét, nézi a videót, jusson eszébe, hogymatematikusok nélkül egyik csodát sem fedezték volna fel.

6. FEJEZETA sérült szimmetria

Az ember valami oknál fogva vonzódik a szimmetriához. A szimmetria csábítja vizuálisérzékünket is, és így szépérzékünkben is szerepet játszik. Ugyanakkor a tökéletes szimmetriaismétlődő és megjósolható, és tudatunk a meglepetéseket is szereti, ezért aztán gyakran jobbankedveljük a tökéletlen szimmetriát a pontos matematikai szimmetriánál. Úgy látszik, hogy a természetis vonzódik a szimmetriához, mivel a természeti világ legfeltűnőbb mintái szimmetrikusak. Sugyancsak úgy látszik, hogy a természet nem elégedett a túl erős szimmetriával, mert a természetbenmajdnem minden szimmetrikus minta kevésbé szimmetrikus, mint az őt létrehozó okok.Talán furcsán hangzik, amit mondtunk. Emlékezhetünk rá, hogy Pierre Curie, a nagy fizikus, akifeleségével együtt felfedezte a radioaktivitást, vallotta: „az okozatok ugyanolyan szimmetrikusak, mintaz okok”. Ám a világ tele van olyan okozatokkal, amelyek nem olyan szimmetrikusak, mint okaik, ésennek a magyarázata a „spontán szimmetriasértés” néven ismert jelenség.A szimmetria egyszerre matematikai és esztétikai fogalom, amely lehetővé teszi, hogy osztályozzunkés megkülönböztessünk különböző típusú szabályos mintákat. A szimmetria sérülése márdinamikusabb fogalom, egy minta megváltozását írja le. Ahhoz, hogy megértsük, honnan származnak atermészet mintái, és hogyan változnak, nyelvet kell találnunk a leírásukra.Mi a szimmetria?Haladjunk a speciálistól az általános felé! Az egyik legismertebb szimmetrikus forma, amelybenegész életünket töltjük: az emberi test „kétoldali szimmetriát” mutat, azaz a bal fele (majdnem)ugyanolyan, mint a jobb. Az emberi alak kétoldali szimmetriája csak hozzávetőleges: a szív nemközépen van, és az arc két fele sem azonos. De ez a forma mégiscsak nagyon közel áll a tökéletesszimmetriához, és a matematikai szimmetria leírása céljából elképzelhetünk egy idealizált emberialakot, amelynek bal és jobb oldala pontosan megegyezik. Valóban pontosan? Nem egészen. Az ábrakét fele különböző területű, és bal oldala a jobb fordítottja – tükörképe.Amint olyan szavakat használunk, mint „kép”, azonnal arra gondolunk, hogyan felel meg az egyikforma a másiknak hogy tudnánk elmozgatni az egyik formát, hogy fedésbe kerüljön a másikkal. Akétoldali szimmetria azt jelenti, hogy a bal oldalt egy tükörrel tükrözve a jobb oldalt kapjuk. Atükrözés matematikai fogalom, de nem forma vagy szám, nem is képlet. Transzformáció – vagyis

szabály arra, hogyan mozgassuk el a dolgokat.[5]

Sokféle lehetséges transzformáció létezik, de a legtöbb nem szimmetria. Hogy helyesen rendeljükegymáshoz a két felet, a tükröt a szimmetriatengelyre kell helyeznünk, ami az ábrát két félre osztja.Ekkor a tükrözésre az emberi alak invariáns, azaz változatlan marad. Tehát pontos matematikaijellemzést találtunk a kétoldali szimmetriára – egy forma akkor rendelkezik kétoldali szimmetriával,ha tükrözésre invariáns. Általánosabban, egy objektum vagy rendszer szimmetriája olyantranszformáció, amelyre az invariáns. Ez a leírás gyönyörű példa arra, amit korábban„dologiasításnak” hívtam: a „mozgasd így” eljárás dologgá válik – szimmetriává. Ez az egyszerű, deelegáns jellemzés óriási matematikai területre nyit kaput.Sok különböző típusú szimmetria van. A legfontosabbak a tükrözések, forgatások és az eltolások.Nézzünk egy síkbeli tárgyat, kapjuk fel, és dobjuk vissza fordítva, ugyanazt a hatást érjük el így,mintha megfelelő tükörrel tükröztük volna. Hogy tudjuk, hova kell tenni a tükröt, figyeljük meg a tárgyegy pontját, és keressük meg, melyik pontba került a visszadobás után. A tükörnek félúton kell lenniea pont és képe közt, a két pontot összekötő szakaszra merőlegesen (lásd 3. ábra). A háromdimenzióstérben is végezhetünk tükrözést, ám ekkor a tükör ismerősebb – sík felület.

3. ábraHol a tükör?

Adott egy tátgy és a tükörképe, válasszuk ki a tárgy tetszőleges pontját és a képét. Kössük összeőket egy egyenessel. A tükör merőleges lesz az egyenesre, és átmegy a két pont távolságának

felezőpontján.Hogy egy síkbeli tárgyat elforgassunk, válasszunk egy pontot, nevezzük középpontnak, és

forgassuk el a középpont körül, mint a kereket a kerékagy körül. A forgatás „mértékét” az határozzameg, hogy hány fokkal forgattuk el a tárgyat. Például képzeljünk el egy virágot négy ugyanolyanszirommal. Ha a virágot elforgatjuk 90°-kal, változatlan marad, tehát a „forgasd el derékszöggel”transzformáció a virágnak szimmetriája lesz. A forgatások három dimenzióban is megjelenhetnek,csakhogy ott egy egyenest kell választanunk, a tengelyt, hogy a tárgyakat körülötte forgassuk el, mint aFöldet a tengelye körül. Persze elforgathatjuk a tárgyakat leülönböző szöggel is ugyanazon tengelykörül.Az eltolások olyan transzformációk, amelyek elcsúsztatják a tárgyakat, anélkül, hogy elforgatnák őket.Gondoljunk egy kicsempézett fürdőszobafalra. Ha veszünk egy csempét, és képzeletben vízszintesenelcsúsztatjuk megfelelő távolságra, éppen illeszkedni fog a szomszédos csempére. Ez a távolság egycsempe szélessége lesz. Ha két szélességnyire csúsztatjuk el, vagy háromra, vagy akármilyen egészszámúra, mindig bele fog illeni a mintába. Ugyanez a helyzet, ha függőlegesen mozgatjuk el, vagyvízszintes és függőleges elcsúsztatások egy kombinációját alkalmazzuk. Sőt, egyetlen csempeelcsúsztatása helyett az egész mintát is elcsúsztathatjuk. Megint csak a minta csupán akkor illik rá azeredetire, ha a szélességnek egész számú többszöröse volt mind a vízszintes, mind a függőlegeselmozdulás.A tükrözések azokat a szimmetriákat ragadják meg, ahol a bal oldal ugyanolyan, mint a jobb, akár az

emberi testben. A forgatások pedig azokat a szimmetriákat, ahol ugyanazok az egységek ismétlődnekegy kör mentén, mint a virág szirmai. Az eltolások azokkal a szimmetriákkal foglalkoznak, ahol azegységek úgy ismétlődnek, mint egy szabályos csempesor; a méhsejt hatszögletű „csempéivel”egészen kitűnő természeti példa erre.Honnan származnak a természet mintáinak szimmetriái? Gondoljunk egy csendes tavacskára, legyen ezolyan sima, hogy akár matematikai síknak is gondolhatjuk, és legyen elég nagy, hogy a szélei sezavarjanak. Dobjunk egy kavicsot a tavacskába! Mintákat látunk, fodrozódást, körkörös hullámokat akörül a pont körül, ahova a kavicsot bedobtuk. Mindenki látott ilyet, senki sincs túlságosan meglepve.Végtére is, láttuk az okot: a kavics volt az. Ha nem dobjuk be a kavicsot, vagy másképp nem zavarjukmeg a víz felszínét, nem keletkeznek hullámok. Csak csendes, sima, síkszerű tó.A tavacska fodrai példát szolgáltatnak a megsértett szimmetriára. Egy ideális matematikai síknakhatalmas mennyiségű szimmetriája van: minden része azonos minden részével. Eltolhatjuk akármilyentávolságra, akármilyen irányban, elforgathatjuk akármilyen szöggel akármilyen középpont körül,tükrözhetjük akármilyen tükörtengelyre, ugyanolyan lesz. Ezzel szemben a körkörös hullámok mintájakevesebb szimmetriát mutat. Csak a kavics beesési pontja körüli forgatásokra nézve szimmetrikus,valamint az ezen a ponton átmenő tükörtengelyekre. Semmilyen eltolásra, semmilyen más forgatásravagy tükrözésre. A kavics megtöri a sík szimmetriáját, abban az értelemben, hogy ha megzavarja avizet, annak sok szimmetriája elvész. De nem mind, ezért látunk mintát.Ám ezek egyike sem meglepő, a kavics miatt. Valóban, a kavics beesésével kijelöl egy pontot, és akeletkező hullámok szimmetriái éppen azok, amiket vártunk. Éppen azok a szimmetriák, amelyek ezt apontot helyben hagyják. Tehát a tavacska szimmetriája nem spontán módon sérült meg, amikor akavics belekerült, mivel megtalálhatjuk a követ, ami az eltolási szimmetriákat megszüntette.Jobban meglepődnénk – sokkal jobban –, ha a tökéletesen sima tóban hirtelen hullámok jelennénekmeg koncentrikus körökben, minden ok nélkül. Azt képzelnénk, hogy talán egy hal zavarta meg a vizet,vagy valami beleesett, és azért nem láttuk, mert túl gyorsan mozgott. Annyira erős bennünk amegrögzött feltételezés, miszerint a mintáknak oka kell legyen, hogy amikor B. P. Belouszov oroszkémikus 1958-ban felfedezett egy kémiai reakciót, amely spontán módon hozott létre mintákat,látszólag a semmiből, kollégái nem hittek neki. Feltételezték, hogy valamilyen hibát követett el. Nemis bajlódtak vele, hogy munkáját ellenőrizzék: annyira nyilvánvaló volt, tévedett, hogy az ellenőrzéstidőpocsékolásnak tartották.Kár volt, ugyanis neki volt igaza.A Belouszov felfedezte minta nem térbeli volt, hanem időbeli, reakciója kémiai változásokperiodikus sorozatán oszcillált végig. 1963 körül egy másik orosz vegyész, A. M. Zabotinszkij, úgymódosította Belouszov reakcióját, hogy az térbeli mintákat is mutatott. Tiszteletükre minden hasonlókémiai reakciónak a „Belouszov-Zabotinszkij [vagy B-Z] reakció” fajtanevet adják. Napjainkban azilyen reakciókhoz használt kemikáliák már mások és egyszerűbbek, néhány finomításnakköszönhetően, amit az angol szaporodásbiológus, Jack Cohen és az amerikai matematikai biológus,Arthur Winfree eszközölt, és a kísérlet annyira egyszerű, hogy elvégezheti bárki, ha hozzájut aszükséges vegyszerekhez. Ezek elég speciálisak, de összesen négyféle kell belőlük.[6]

Mivel nincsenek kéznél a szükséges kísérleti eszközök, elmesélem, mi történne, ha elvégeznénk akísérletet. Mindegyik vegyszer folyadék: összekeverjük őket a helyes sorrendben, és egy laposedénybe öntjük. A keverék kék színű lesz, majd vörös: hagyjuk állni egy ideig. Tíz, vagy néha akárhúsz percig nem történik semmi: mintha egy jellegtelen sima tavacskát bámulnánk – leszámítva, hogymég a színe is jellegtelen, egyformán vörös. Ez az egyformaság nem meglepő, hisz végtére isösszekevertük a folyadékokat. Ekkor apró kék foltokat vehetünk észre – és ez már meglepetés.

Terjednek, kör alakú kék lemezeket alkotva. Minden egyes lemez belsejében megjelenik egy vörösfolt, s így a lemezből vörös közepű kék gyűrű lesz. Mindkettő növekszik, és mikor a vörös lemez elégnagy lesz, megjelenik benne egy kék folt. A folyamat folytatódik, „célminták” folyton bővülő sorozatajön létre – koncentrikus vörös és kék gyűrűk. Ezek a cél-minták ugyanazokat a szimmetriákat mutatják,mint a tavacska gyűrűi; de ezúttal nem látjuk a kavicsot. Furcsa és rejtélyes folyamat, amiben a minta– a rend –, úgy tűnik, magától jelenik meg a rendezetlen, véletlen módon összekevert folyadékban.Nem csoda, hogy a vegyészek nem hittek Belouszovnak.S ez még nem az utolsó bűvészmutatvány a B-Z-reakciókkal. Ha az edényt enyhén megbillentjük ésvisszatesszük a helyére, vagy egy forró drótdarabot mártunk bele, meg tudjuk szakítani a gyűrűket ésforgó vörös-kék spirálokká alakítani őket. Ha Belouszov ezt mutatta volna be, kollégái haja az égnekmered.Ez a viselkedésfajta nem pusztán bűvésztrükk. Szívünk szabályos dobogása ugyanezeken a mintákonalapul, csak ott az elektromos aktivitás hullámainak mintájáról van szó. Szívünk nem egy halomdifferenciálatlan izomszövet, és nem automatikusan húzódik össze az egész. Millió parányiizomrostból áll, ezek mindegyike egyetlen sejt. A rostok elektromos és kémiai jelek hatásárahúzódnak össze, és a jelet továbbítják szomszédjuknak. A probléma: biztosítani, hogy a rostoknagyjából összehangoltan húzódjanak össze, s ezáltal a szív úgy dobogjon, mint valami egész. Azösszhang szükséges mértékét biztosítandó, agyunk elektromos jeleket küld a szívnek. Ezek a jelekelektromos változásokra ingerelnek bizonyos izomrostokat, azok pedig a szomszéd rostokra hatnak –így aztán aktivitási hullámok terjednek, éppúgy, ahogy a tavacska hullámai vagy a kék lemezek a B-Z-reakcióban. Amíg a hullámok teljes gyűrűket alkotnak, a szívizomrostok egyszerre húzódnak össze, ésa szív normálisan dobog. Ha azonban a hullámokból spirálok lesznek – ahogy ez elő is fordulhat abeteg szívben –, az eredmény sok helyi, koordinálatlan összehúzódás, és a szív rostosodik. Ez afibrilláció. Ha a rostosodás néhány percen keresztül ellenőrizetlenül folytatódik, beáll a halál. Ígyaztán mindannyian öröklötten érdekeltek vagyunk a körkörös és a spirális mintákban.Ugyanakkor a szívben, csakúgy, mint a tóban, konkrét okot látunk a hullámmintákra: az agybólszármazó jeleket. A B-Z-reakciónál nem látunk ilyet: a szimmetria spontán módon borul fel;„önszántából”, külső hatás nélkül. A „spontán” kifejezés azonban nem jelenti, hogy nincs ok: csak azt,hogy akármilyen csekély lehet. Matematikailag a döntő pont, hogy a vegyszerek egyenletes eloszlása –a jellegtelen vörös folyadék instabil. Ha az alkotórészek eloszlása már nem egyenletes, a kényesegyensúly, amely az oldatot vörösen tartotta, felborul, és a meginduló kémiai változások kiváltják egykék folt megjelenését. Ettől kezdve az egész folyamat sokkal érthetőbb, mert most már a kék folt úgyhat, mint egy kémiai „kavics”, s egymás utáni kémiai gyűrűződéseket okoz. Ám – legalábbismatematikai szempontból – a folyadék szimmetriájának tökéletlensége, ami kiváltja a kék foltot, lehethatártalanul kicsi is, csak ne legyen zérus. Egy folyadékban mindig vannak apró porszemek,buborékok – vagy akár csak molekulák erősebb hőrezgéssel –, s máris megzavarják a tökéletesszimmetriát. Ennyi elég. Egy határtalanul kicsiny ok nagymértékű változást eredményez, és azeredmény egy szimmetrikus minta.A természet szimmetriái minden méretben megtalálhatók, az atomnál kisebb részecskéktől az egészuniverzumig. Sok molekula szimmetrikus. A metán molekulája tetraéder – olyan piramis, aminekminden oldala háromszög –, a középpontban egy szénatommal és négy hidrogénatommal acsúcsokban. A benzol szimmetriája egy szabályos hatszög hatszoros szimmetriája. A divatosmolekula, a buckminsterfullerén csonkított ikozaéder alakú kalitka, hatvan szénatomból. (Azikozaéder szabályos test, húsz háromszög alakú lappal; azért „csonkított”, mert a sarkai le vannakvágva.) Szimmetriája figyelemre méltó stabilitást kölcsönöz neki, amely új lehetőségeket nyitott a

szerves kémiában.A molekuláris tartománynál valamivel nagyobb méretekben a sejtstruktúra mutat szimmetriát; asejtszaporodás lelke bizonyos értelemben gépészmérnöki jellegű. Minden élő sejt belsejében van egymeglehetősen alaktalan struktúra, amelyet centroszóma néven ismerünk, s amelyből hosszúcsövecskék csíráznak széjjel, mint egy parányi tengeri sünből. Ezek a csövecskék a sejt„csontvázának” legfontosabb komponensei. A centroszómákat először 1887-ben fedezték fel. Fontosszerepet játszanak a sejtosztódás szervezésében. Bizonyos szempontból a centroszóma szerkezetebámulatra méltóan szimmetrikus. Belsejében két, centriólum nevű struktúra van, egymásramerőlegesen. Mindkettő henger alakú, huszonhét csövecskéből áll, ezek hosszában hármasávalkapcsolódnak össze, a hármasok pedig tökéletes kilencszög-szimmetriában helyezkednek el. A külsőcsövecskék maguk is bámulatos szimmetriával rendelkeznek. Homorú csövek, amelyek teljesenszabályos sakktáblamintába rendeződött egységekből állnak, s az egységek két különböző proteinttartalmaznak, alfa- és bétatubulint. Egy nap meg fogjuk érteni, hogy a természet miért választja aszimmetrikus formákat. Mindenesetre elbűvölő látni az élő sejt szimmetrikus struktúráit.A vírusok gyakran szimmetrikusak, a legáltalánosabb két forma a csigavonal és az ikozaéder. Acsigavonal például az influenzavírus alakja. A természet az ikozaédert kedveli a legjobban: példa rá aherpesz, a bárányhimlő, a szemölcs, a mandulagyulladás vírusa, és sok más. A mandulagyulladásvírusa újabb megdöbbentő példa a molekuláris mérnöki munka művészi voltára. 252 darab látszólagegyforma részegységből áll, ebből 21 darab van az ikozaéder minden háromszöglapján, amelyek úgyilleszkednek egymáshoz, mint a biliárdgolyók a játék kezdetén. (Az élek mentén elhelyezkedőrészegységek két laphoz is tartoznak, a csúcsnál levők pedig háromhoz is. Ezért nem kell a 20×21részegység, csak 252.)A természet nagyobb léptékben is mutat szimmetriát. Egy fejlődő békaembrió gömb alakú sejtkéntkezdi életét, ekkor szimmetriáját lépésenként veszti el, míg hólyagcsíra lesz belőle, amely apró sejtekezreiből áll, de az egész alakzat formája megint csak gömb. Ekkor a hólyagcsíra bekebeleziönmagának egy részét a bélcsíraképződés folyamatában. Az összecsuklás korai fázisában azembriónak forgási szimmetriája van egy olyan tengely körül, arnelynek az elhelyezkedését gyakran apete kezdeti helyzete határozza meg, néha meg a sperma behatolási pontja. Később ez a szimmetriamegtörik, és csak egy tükörszimmetria marad, ami a kifejlett állat kétoldali szimmetriájához vezet.A vulkánok kúp-, a csillagok gömb-, a galaxisok spirális vagy ellipszis alakúak. Egyes kozmológusokszerint az univerzum maga gigantikus táguló gömbhöz hasonlít. Ha a természetet meg akarjuk érteni,meg kell értenünk ezeket az uralkodó mintákat is. Meg kellene magyarázni, miért olyan általánosakezek, és miért mutatja a természetnek annyi különböző aspektusa ugyanazt a mintát. Az esőcseppek ésa csillagok gömb alakúak, az örvények és a galaxisok spirálisak, a méhsejtek és az ördögszekérhatszögsorok. Kell lennie valamilyen általános elvnek ezek mögött a minták mögött; nem elég mindenegyes példát csak önmagában tanulmányozni és saját belső mechanizmusa segítségével magyarázni.A szimmetriasértés épp egy ilyen elv.Ám ahhoz, hogy a szimmetria megtörjön, először jelen kell lennie. Első látásra úgy tűnik, hogy azegyik mintaproblémát másikkal helyettesítettük: mielőtt meg tudnánk magyarázni a körkörös gyűrűketa tavon, meg kellene magyaráznunk a tavat. Döntő különbség van azonban a gyűrűk és a tó között. A tószimmetriája az egész felszínre kiterjed – ugyanis a felszínén minden pont egyenértékű minden ponttal–, így aztán nem ismerjük fel, hogy mintáról van szó. Ehelyett úgy tekintünk rá, mint valami szelídegyformaságra. Nagyon könnyű megmagyarázni a szelíd egyformaságot: egy rendszerben akkor állelő, mikor nincs ok rá, hogy komponensei különbözzenek egymástól. Ez, hogy úgy mondjuk, atermészetben az alapértelmezés.[7]

Ha valami szimmetrikus, komponensei pótolhatók egymással, vagyis kicserélhetők. A négyzet egyikcsúcsa megszólalásig ugyanúgy fest, mint a másik, tehát a csúcsokat felcserélhetjük anélkül, hogy anégyzet külalakja megváltozna. A metán egyik hidrogénatomja megszólalásig hasonlít a másikhoz,ezeket az atomokat tehát felcserélhetjük. Egy galaxisban az egyik csillagtartomány tökéletesenugyanolyan, mint a másik, a két különböző spiráliskar részeit tehát jelentős változás nélkülfelcserélhetjük.Röviden, a természet azért szimmetrikus, mert egy tömeggyártásra berendezett univerzumban élünk –ami bizonyos szemszögből nézve hasonlít egy tó felületéhez. Minden elektron pontosan ugyanolyan,mint bármelyik másik elektron, minden proton mása minden protonnak, az üres térnek mindentartománya egyenértékű minden egyéb tartománnyal, minden időpillanat pontosan ugyanolyan, mintbármely más időpillanat. És nemcsak a tér, az idő és az anyag szerkezete ugyanolyan mindenütt: azőket vezérlő törvények is. Albert Einstein ezeket az „invarianciaelveket” fizikájának sarokkövévétette; arra alapozta érveléseit, hogy a téridőben nincs kitüntetett pont. Többek között ez vezette őt arelativitás elvéhez, az egyik legnagyobb fizikai felfedezéshez, amit valaha is tettek.Ez mind nagyon szép, ám egy mély paradoxonhoz vezet. Ha a fizika törvényei ugyanazok mindenütt ésmindenhol, miért van egyáltalán az univerzumban „érdekes” struktúra? Nem homogénnek ésváltozatlannak kellene lennie? Ha az univerzumban minden pont felcserélhető minden más ponttal,akkor ezek a pontok nem különböztethetők meg egymástól; és ugyanez állna minden időpontra is. Denem így van. S a problémát csak növeli a kozmológiai elmélet, miszerint az univerzum kezdetbenegyetlen pont volt, amely milliárd évekkel ezelőtt kirobbant a semmiségből (ez volt a Big Bang, azősrobbanás vagy Nagy Bumm). Az univerzum alakulásának pillanatában a térbeli pontok és azidőpontok nemcsak hogy nem voltak megkülönböztethetőek, hanem azonosak is voltak. Akkor mostmiért különbözőek?A felelet az, hogy Curie-nek a fejezet elején említett elve hibás. Bár ez az elv körülbástyázza magátóvatos fenntartásokkal a tetszőlegesen csekély okokról, félrevezető abban a tekintetben, hogyankellene viselkednie egy szimmetrikus rendszernek. Jóslata arról, hogy a kifejlett békákszükségszerűen kétoldalian szimmetrikusak (mert a békaembriók azok, és a Curie-elv szerint aszimmetria nem változhat), első ránézésre beválik; ám ugyanez az érvelés a hólyagcsíra-állapotraalkalmazva arra a következtetésre sarkallna, hogy a kifejlett békának gömb alakúnak kell lennie.Sokkal jobb elv az előbbi egyenes ellentéte, a spontán szimmetriasértés. Szimmetrikus okok gyakrankeltenek kevésbé szimmetrikus hatást. A fejlődő univerzum megtörheti az ősrobbanás kezdetiszimmetriáit. A gömb alakú hólyagcsírából kifejlődhet egy kétoldalian szimmetrikus béka. Amandulagyulladás-vírus 252 darab egymással felcserélhető egysége ikozaéderbe rendeződhet – aholbizonyos egységek speciális pontokat foglalhatnak el, például a csúcsokat; huszonhét közönségescsövecske összerendeződhet úgy, hogy egy centriólát alkosson.Szép, de miért éppen mintákat? Miért nem egy struktúrálatlan masszát, amiben minden szimmetriafelborult? Az egyik vezérfonal, ami végighúzódik a szimmetriasértésről szóló minden tanulmányon: amatematika nem így dolgozik. A szimmetriák kelletlenül sérülnek meg. Tömeggyártásra berendezettuniverzumunkban oly sok szimmetria hever szerteszét, hogy ritkán sérülhet meg mind. Egész soktovább él. Még az éppen sérült szimmetriák is jelen vannak valamilyen értelemben, most azonbaninkább potenciális, mint aktuális formában. Például amikor a mandulagyulladás-vírus elkezdettösszekapcsolódni, akármelyikük kerülhetett volna egy csúcsba. Ebben az értelemben felcserélhetőkegymással. Ám közülük valóban csak egy kerül oda, és ebben az értelemben a szimmetria megsérült:már nem teljesen felcserélhetők. De a szimmetria egy része megmarad, és egy ikozaédert látunk.Ebben a felfogásban a természetben megfigyelhető szimmetriák csak tömegtermeléses

világegyetemünk nagy, univerzális szimmeriáinak letört darabjai. Potenciálisan az univerzumlétezhetne a lehetséges állapotok gigászi szimmetrikus rendszerének bármelyikében, de aktuálisanegyet ki kell választania. Ekkor valamelyik meglévő szimmetriáját megfigyelhetetlen, potenciálisszimmetriává kell tennie. De a meglévő szimmetriák némelyike megmaradhat, s ha megmarad,észlelünk is egy mintát. A természet szimmetrikus mintáinak legtöbbje ezen általános mechanizmusrévén áll elő.Negatív módon ez rehabilitálja a Curie-elvet: ha megengedünk parányi aszimmetrikus zavarokat, amikinstabilitást válthatnak ki egy teljesen szimmetrikus állapotban, akkor matematikai rendszerünk márnem tökéletesen szimmetrikus. A legfontosabb viszont az, hogy a legparányibb eltérés az okban teljesszimmetriavesztéshez vezethet az eredő hatásban – és mindig vannak parányi eltérések. Emiatt Curieelve használhatatlan a szimmmetriák előrejelzésére. Sokkal informatívabb egy valódi rendszert egytökéletes szimmetriájú rendszerrel modellezni és emlékezetben tartani, hogy az ilyen rendszernek soklehetséges állapota van, csak éppen közülük egyetlenegy valósul meg a gyakorlatban. Apró zavarokhatására a valódi rendszer az állapotoknak arról a skálájáról választ, amiről az idealizált tökéletesrendszer. Ma a szimmetrikus rendszerek viselkedésének megközelítései közül ez segít hozzálegjobban a mintaképződés általános elveinek megértéséhez.Speciálisan, a szimmetriasértés matematikája magában foglal első látásra ettől egészen függetlenjelenségeket is. Például, gondoljunk az első fejezetben említett, homokdűnékben előforduló mintákra.A sivatag modellezhető, mint homokrészecskékből álló lapos síkfelület, a szél pedig, mint a síkonkeresztülfolyó folyadék. Vizsgálva az ilyen rendszer szimmetriáit és azt, hogyan sérülhetnek meg ezeka szimmetriák, a megfigyelt dűneminták közül sok levezethető. Például, tegyük fel, hogy a szélstabilan ugyanabba az irányba fúj, tehát az egész rendszer invariáns a széllel párhuzamos eltolásokra.Az egyik módja ezen eltolási szimmetriák megsértésének a szélirányra merőleges párhuzamos csíkokperiodikus mintájának a létrehozása. E mintát a geológusok transzverzális dűnéknek hívják. Ha aminta a csíkok irányában is periodikussá válik, még több szimmetria sérül, és a hullárnos barkán tűnikfel. És így tovább.De a szimmetriasértés matematikai elvei nemcsak a homokdűnékre alkalmazhatók. Működnek mindenilyen szimmetriájú rendszerben – ahol folyadék folyik egy sík felületen, mintákat alkotva.Alkalmazhatjuk ugyanazt az alapmodellt lejtős síkságon áthaladó iszapos folyóra, amely üledéket rakle, vagy egy sekély tengernek az árapállyal a tengerfenéken keresztül folyó vizére – ezek ageológiában fontos jelenségek, mert millió évekkel később a kialakuló minták a sziklába vésődtek,ami a tengerfenék homokjából, és az iszapos deltából lett. A lehetséges minták ugyanazok, mint adűnék esetében.Vagy a folyadék lehet akár folyadékkristály is, ami a digitális órák kijelzőjén található, sok hosszúvékony molekulából áll, amelyek mágneses vagy elektromos mező hatására rendeződnek mintákba.Megint csak ugyanazokat a mintákat találjuk itt is. De az sem szükséges, hogy folyadékról legyen szó:lehet a mozgó közeg az állati szöveten áthatoló vegyület, amely genetikai utasításokat rak le a fejlődőállat bőrének mintáiról. Mármost a transzverzális dűnék analógiája a tigris vagy a zebra csíkozata, abarkánoké pedig a leopárd vagy a hiéna foltjai.Ugyanaz az absztrakt matematika; különböző fizikai és biológiai realizációk. A technológiaátvitelbena matematika az alapvető, de szellemi technológia, vagyis gondolkodásmód segítségével, nem pediggépekkel. A szimmetriasértésnek ez az univerzális volta magyarázza, hogy élő és élettelenrendszerekben sok a közös minta. Maga az élet is szimmetriateremtő folyamat – az ismétlődés miatt; abiológiai univerzum éppúgy tömegtermelésre van berendezve, mint a fizikai, és a szerves világ sokolyan mintát mutat, amely a szervetlen világban is megtalálható. Az élő szervezetek legnyilvánvalóbb

mintái a formaiak – ikozaéder alakú vírusok, a Nautilus spirális kagylója, a gazellák csigavonalúszarvai, a tengeri csillag, a medúza és a virágok figyelemre méltó forgási szimmetriái. De azélővilágban a szimmetria nemcsak a formákban, hanem a viselkedésben is megnyilvánul, ahelyváltoztatás szimmetrikus ritmusain túl is, amiket korábban említettem. A Huron-tó halainak sajátterritóriumai ugyanolyan elrendezésűek, mint a lép sejtjei – és ugyanazon okból. A területek, akár améhsejtek, nem lehetnek egy helyen – amit a tökéletes szimmetria eredményezne. Ehelyett olyanszorosan helyezkednek el egymás mellett, ahogy csak tudnak, egyik sem különbözik a másiktól, és aviselkedési feltételek már önmagukban megszabják a hatszögű szimmetriát. Ez hasonlít a matematikaitechnológiaátvitel egy másik megdöbbentő példájára, tudniillik a szimmetriasértési mechanizmus egykristály atomjait szabályos rácsba rendezi – ez a fizikai folyamat végső soron alátámasztja Keplerelméletét a hópelyhekről.A természet rejtélyesebb szimmetriafajtáinak egyike a tükörszimmetria. A háromdimenziós tárgyaktükrözése nem valósítható meg térbeli átforgatással – nem tudjuk a ballábas cipőt átforgatni ajobblábasba. Ugyanakkor a fizikai törvények túlnyomórészt tükörszimmetrikusak, a kivételekbizonyos kölcsönhatások az atomnál kisebb részecskék közt. Így aztán, minden olyan molekula,amelyik nem tükörszimmetrikus, potenciálisan két különböző formában létezik – balkezes ésjobbkezes formában, hogy szemléletesen fogalmazzunk. A Földön az élet a molekulák kétfélekörüljárása közül („balkezes” és „jobbkezes”) mindig kiválasztott egy speciálisat: például azaminosavaknál. Honnan származik a földi életnek ez a speciális körüljárási rendszere? Akár véletlenis lehetne – valamilyen ősi véletlen alakulat, amit aztán a tömegtermelés felszaporított. Ha így van,elképzelhető, hogy egy távoli bolygón olyan lények élnek, akiknek a molekulái tükörképei a miénknek.Másfelől, lehet valamely mély oka az életnek arra, hogy mindig ugyanazt a körüljárást válassza.Jelenleg a fizikusok négy alapvető erőt különböztetnek meg a természetben: a gravitációt, azelektromágnesességet és az erős, valamint a gyenge nukleáris köllcsönhatásokat. Ismeretes, hogy azutóbbi gyenge erő megsérti a tükörszimmetriát – azaz másképp viselkedik egy fizikai problémabalkezes és jobbkezes változatában. Ahogy Wolfgang Pauli, az osztrák születésű fizikus kifejezte: „AzIsten enyhén balkezes.” A tükörszimmetria eme sérülésének egyik figyelemre méltó következménye,hogy a molekuláknak és tükörképüknek az energiaszintjei nem azonosak. Igen kicsiny a különbség: egybizonyos aminosav és tükörképe között kb. az egyik energiájának 1017-ed része. Ez csak látszólagkevés, de láttuk, hogy a szimmetriafelboruláshoz elég egy egészen csekély eltérés. Általában amolekulák alacsonyabb energiaszintjét kedveli jobban a természet. Erre az aminosavra nézvekiszámítható, hogy százezeréves periódus alatt 98% valószínűséggel az alacsonyabb energiájú formaválik dominánssá. És valóban, az élő szervezetekben ez az aminosav található.Az 5. fejezetben említettem a Maxwell-egyenletek különös szimmetriáját az elektromosságra és amágnesességre nézve. Durván szólva, ha felcseréljük az elektromos mezőre vonatkozó szimbólumokatés a mágneses mező szimbólumait, újra ugyanazt a két egyenletet kapjuk. Ez a szimmetria indokolja,hogy Maxwell közös néven, elektromágneses erőtér elnevezéssel egyesítette az elektromos és amágneses erőteret. Hasonló szimmetria van – bár nem tökéletes – a négy alapvető kölcsönhatásravonatkozó egyenletekben, egy grandiózusabb egyesítést sugallva. Tudniillik, hogy mind a négy erőugyanannak a dolognak más-más vonatkozása. A fizikusoknak már sikerült egyesíteniük a gyenge és azelektromágneses kölcsönhatást. A jelenleg uralkodó elméletek szerint mind a négy kölcsönhatásegyesíthető – vagyis szimmetrikus viszonyban áll – a korai univerzum igen nagy energiáin. A miuniverzumunkban ez a szimmetria megsérült. Röviden van egy matematikai univerzum, amelyben minda négy alapvető kölcsönhatás tökéletesen szimmetrikus viszonyban áll – de mi nem abban azuniverzumban lakunk.

Ez azt jelenti, hogy Világegyetemünk más is lehetett volna; bármelyik másik világegyetem is lehetettvolna, ami potenciálisan más szimmetriasérülés által jött volna létre. Ez csak egy feltevés. De ennélármányosabb feltevés is létezik: ugyanaz a mintaalkotó alapstílus és ugyanaz a szimmetriatörésimechanizmus vezérli a kozmoszt, az atomot és minket.

7. FEJEZETAz élet ritmusa

A természet nagyon ritmikus, sok és sokféle ritmus található benne. Szívünk és tüdőnk ritmikusciklusokat jár be, amelyek időbeosztása alkalmazkodik testünk szükségleteihez. A természetnek sokritmusa olyan, mint a szívverés: fenntartják önmagukat, mintegy „a háttérben” működnek. Mások alélegzéshez hasonlóak: az egyszerű „alapértelmezés”-szerű minta, mindaddig működik, amíg nemtörténik semmi szokatlan, de van egy bonyolultabb vezérlő mechanizmus is, amelyik bekapcsol, haszüleséges, és a ritmust a pillanatnyi szükséglethez igazítja. Az ilyenfajta vezérelhető ritmusokkülönösen elterjedtek – és különösen érdekesek – a helyváltoztatásban. A lábon helyváltoztató állatoktudatos kontrolltól mentes mozgási alapmintáit járásmódoknak nevezzük.A gyors fényképezés kifejlesztése előtt lényegében lehetetlen volt megállapítani, hogy egy állat lábafutás vagy vágta közben hogyan mozog: ez a mozgás az emberi szemnek túl gyors. A legenda szerint afotótechnika egy lóversenyen történő fogadás nyomán fejlődött ki. Az 1870-es években LelandStanford vasútmágnás huszonötezer dollárban fogadott, hogy van olyan pillanat, amikor az ügetőlónak mind a négy lába elválik a talajtól. A vitát eldöntendő egy fényképész, akinek eredeti neveEdward Muggeridge volt, de Eadweard Muybridge-re változtatta, lefényképezte a ló mozgásánakkülönböző fázisait, több fényképezőgépet helyezve el drótakadály mellett, amelyen a ló átugrott.Stanford állítólag megnyerte a fogadást. Igaz a történet vagy sem, Muybridge a járásmódoktudományos vizsgálatának úttörőjeként folytatta. Egy zoetrop nevű mechanikus szerkezetet is feltalált,és „mozgóképek” néven mutogatta őket, s ez az út hamarosan Hollywoodba vezetett. Muybridge tehátegyszerre alapított meg egy tudományt és egy művészetet.Ennek a fejezetnek a legnagyobb része járáselemzés, a matematikai biológiának egy ága, amely ekérdések nyomán fejlődött ki: „Hogyan mozognak az állatok?” és „Miért úgy mozognak?”. Aváltozatosság kedvéért a fejezet folytatása azokról a ritmikus mintákról szól, amelyek teljesállatpopulációknál találhatók, erre egy megdöbbentő példa egyes szentjánosbogárfajták összehangoltfénykibocsátása, ami a Távol-Kelet egyes területein figyelhető meg, többek közt Thaiföldön. Bár abiológiai kölcsönhatások, amelyek az egyes állatok szervezetében mennek végbe, nagyon különböznekattól, amelyek állatpopulációkra jellemzőek, mégis létezik egy háttérben meghúzódó matematikaiegység. Ennek a fejezetnek egyik tanulsága, hogy ugyanazok a matematikai fogalmak alkalmazhatóksok különböző szinten és sok különböző dologra. A természet tiszteli az egységet, és ebből nagyhaszna származik.Sok biológiai ciklus mögött a szervező elv az oszcillátor matematikai fogalma – ez olyan egység,amely természetes dinamikája révén újra és újra elismétli ugyanazt a viselkedési ciklust. A biológiahatalmas „oszcillátorhálózatokat” épít fel, amelyek egymással is együttműködnek, s összetettviselkedési mintákat alkotnak. Az ilyen „összepárosított oszcillátorhálózatok” foglalják egybe ezt afejezetet.Miért oszcillálnak a rendszerek egyáltalán? Azért, mert ez a legegyszerűbb, amit tehetünk, ha nemakarunk, vagy nem engednek minket nyugton maradni. Miért jár föl és alá a ketrecbe zárt tigris?Mozgását két kényszerfeltétel kombinációja határozza meg. Először is nyugtalan, és nem akar

nyugodtan ülni. Másrészt mozgása korlátozott a ketrecben, és nem tud egyszerűen eltűnni alegközelebbi domb mögött. A legegyszerűbb dolog, amit tehetünk, ha mozognunk kell, de elmenekülninem tudunk, hogy oszcillálunk. Persze semmi sem kényszeríti az oszcillációt szabályos ritmusismétlésére; a tigris szabálytalanul is járkálhatna a ketrecében. Mégis a legegyszerűbb lehetőség – ésígy a legvalószínűbben alakul ki mind a matematikában, mind a természetben –, hogy találjunkvalamilyen elvégezhető mozgássorozatot, és azt ismételjük újra meg újra. Ezt nevezzük periodikusoszcillációnak. Az 5. fejezetben leírtam a hegedűhúr rezgését. Az is periodikus oszcillációval mozog,éspedig ugyanazon okokból, mint a tigris. Nem tud veszteg maradni, mert megpendítették, és nem tudelszabadulni, mert a végeit leszorították, és teljes energiája nem tud növekedni.Sok oszcilláció stacionárius állapotból alakul ki. A feltételek változásával a stacionárius állapotbanlévő rendszer kikerülhet ebből az állapotból, és periodikus ingadozásba kezdhet. 1942-ben EberhardHopf német matematikus általános matematikai feltételt talált, amely ilyen viselkedést garantál:tiszteletére ezt a forgatókönyvet Hopf-bifurkációnak nevezték el. Az ötlet: approximáljuk, vagyisközelítsük az eredeti rendszer dinamikáját egy különösen egyszerű módon, és nézzük meg, vajon aleegyszerűsített rendszerben létrejön-e periodikus ingadozás. Hopf bebizonyította, hogy ha azegyszerű rendszer ingadozik, akkor a bonyolult is. Ennek a módszernek nagy előnye, hogy amatematikai számításokat csak a leegyszerűsített rendszeren kell végezni, s az eredménybőlmegtudható, hogyan viselkedik az eredeti rendszer. Közvetlenül az eredeti rendszerrel nehéz volnamegbirkózni, és Hopf megközelítése igen hatékony módon kerüli ki a nehézségeket.A „bifurkáció” (kettéválás) szó a folyamatról alkotott képből származik – a periodikus oszcilláció„kinő” a kezdeti stacionárius állapotból, mint a gyűrűződés a középpontjából. Ennek a képnek afizikai interpretációjában az oszcillációk először elég kicsik, majd egyre nagyobbá válnak. Hogymilyen gyorsan nőnek, az itt most lényegtelen.Például a klarinét hangja a Hopf féle bifurkációtól függ. Amint a klarinétos levegőt fúj a hangszerbe,az addig mozdulatlan nád rezegni kezd. Ha a levegő gyengén áramlik, a rezgés kicsi, és halk hangoteredményez. Ha a muzsikus erősebben fújja, a rezgés megnő, és a hang erősebb lesz. Csak az a fontos,hogy a muzsikus ne oszcillálóan fújjon (vagyis ne pöfögjön a hangszerbe gyors egymásutánban), hogya nádat oszcilláltassa. Ez tipikus a Hopf-bifurkációnál: ha az egyszerű rendszer megfelel a Hopf-félematematikai teszten, a valóságos rendszer magától oszcillálni kezd. Ebben az esetben az egyszerűrendszer úgy értelmezhető, mint fiktív matematikai klarinét egy nagyon 85 egyszerű náddal, bár amatematikai számítások elvégzéséhez erre az értelmezésre az adott esetben nincs szükség.A Hopf-bifurkáció speciális szimmetriasértésként fogható fel. Az előző fejezetben tárgyaltszimmetriasértésekkel ellentétben az itteni szimmetriák nem a térrel, hanem az idővel kapcsolatosak.Az idő egyetlen változó, tehát matematikailag egy egyenesnek felel meg – az időtengelynek. Azegyenesnek csak kétféle szimmetriája van: az eltolások és a tükrözések. Mit jelent, ha egy rendszeridőeltolásra szimmetrikus? Ha megfigyeljük a rendszer mozgását, aztán meghatározott ideig várunk,és megint megfigyeljük a rendszert, ugyanazt a viselkedést tapasztaljuk. Ez a periodikus oszcillációegy leírása: ha periódusnyi ideig várunk, ugyanazt látjuk. A periodikus oszcillációnak tehátidőeltolási szimmetriája van.Mi a helyzet az idő tükrözési szimmetriáival? Ezek annak a változtatásnak felelnek meg, amikorelérjük, hogy az idő visszafelé teljen, ami ravaszabb és filozófiailag nehezebb fogalom. Az időmegfordítása a fejezet szempontjából mellékes jelentőségű, mégis igen érdekes kérdés, amimegérdemli, hogy valahol tárgyaljuk. Miért ne éppen itt? A mozgástörvény invariáns az időmegfordítására. Ha lefilmezünk akármilyen „megengedett” (a törvényeknek megfelelő) fizikaimozgást, és visszafelé forgatjuk le a filmet, megint egy megengedett mozgást fogunk látni. Ugyanakkor

a világunkban a szokásos megengedett mozgások bizarr hatást keltenek, ha visszafelé játsszuk le őket.Az égből zuhogó, tócsákat alkotó esőcseppek mindennapi látványt nyújtanak; tócsák, amint magukbólesőcseppeket köpködnek, majd megszűnnek, kevésbé mindennapiak. A különbség a kezdetifeltételekben van. A legtöbb kezdeti feltétel megsérti az időtükrözési szimmetriát. Tegyük fel, hogylefelé eső esőcseppekkel kezdjük. Ez nem időszimmetrikus állapot: az időben való megfordítottjafelfelé eső esőcseppeket jelentene. Bár a törvények időben megfordíthatók, a belőlük következőmozgás nem feltétlenül, mert ha egyszer megsérült az időtükrözési szimmetria a kezdeti feltételekmiatt, sérült is marad.Térjünk vissza az oszcillátorokhoz! Az imént magyaráztam el, hogy a periodikus oszcillációkidőeltolási szimmetriával rendelkeznek, de nem mondtam meg, hogy ezt a mintát milyen szimmetriamegsértésével kapjuk. A válasz: „az összes időeltolás”. Egy állapot, amelyik az összes ilyenszimmetriára invariáns, minden időpillanatban változatlan legyen – nem csak egy eltolásra nézve.Vagyis stacionárius állapotnak kell lennie. Ha tehát egy rendszer, amelynek állapota stacionárius,periodikusan oszcillálni kezd, időeltolási szimmetriái lecsökkennek az összes eltolásból egyetlenperiódussal való eltolásba.Mindez nagyon elméletien hangzik. Ugyanakkor a felismerés, miszerint a Hopf-féle bifurkációvalójában az időbeli szimmetria megsértésének egy esete, elvezetett a Hopf-bifurkáció széles körűelméletéhez olyan rendszerekben, amelyekben más szimmetriák is fellépnek – konkrétan térbeliek. Amatematikai apparátus nem függ a speciális értelmezésektől, és több különböző fajta szimmetriát iskönnyedén tud kezelni egyszerre. Ennek a megközelítésnek egyik sikertörténete az olyan mintákáltalános osztályozása, amelyek tipikusan akkor lépnek fel, ha oszcillátorok egy szimmetrikushálózatára egy Hopf-bifurkáció hat, és az egyik alkalmazás az állatok mozgása.A mozgásban két, biológiai szempontból különböző, de matematikailag hasonló oszcillátortípusjátszik szerepet. A legnyilvánvalóbb oszcillátorok az állatok végtagjai, amelyek mechanikairendszereknek tekinthetők – az ízületek körül forgó, összekapcsolódó csontszerkezetek, amelyeket azösszehúzódó izmok mozgatnak. De a fő oszcillátorok, amelyek minket igazán érdekelnek, a lényidegrendszerében találhatók, az ideghálózatban, amely a végtagok aktivitását kiváltó és vezérlőritmikus elektromos jeleket kibocsátja. A biológusok az ilyen hálózatot CPG-nek nevezik, ami a„central pattern generator” (központi mintageneráló) rövidítése. Ennek megfelelően egyik hallgatóm avégtagra a LEG mozaikszóval kezdett hivatkozni, állítólag „locomotive excitation generator”(mozgásgerjesztő generátor) rövidítéséül.[8]

Az állatoknak kettő, négy, hat, nyolc vagy több LEG-jük van, de az őket vezérlő CPG-kről közvetlenülnagyon keveset tudunk, aminek okait röviden kifejtem. Sok minden, amit tu dunk, annak a gyümölcse,hogy visszafelé – vagy ha akarom, előre – dolgoztunk a matematikai modellekből.Bizonyos állatoknak csak egy járásmódjuk van: egyfajta ritmikus alapminta a végtagjaik mozgatására.Az elefánt például csak sétálni tud. Ha gyorsabban akar haladni, baktat – de a baktatás egyszerűengyors séta, a lábmozgások mintája ugyanaz. Más állatoknak sok járásmódja van; vegyük például alovat. Kis sebességnél a lovak sétálnak, nagyobb sebességnél ügetnek, és a legnagyobb sebbességnélvágtatnak. Van, aki még további mozgástípust is beiktat, a könnyű vágtát az ügetés és a galopp között.A különbségek alapvetőek: az ügetés nem egyszerűen csak gyorsabb séta, hanem egy egészen másfajtamozgás.1965-ben Milton Hildebrand amerikai zoológus észrevette, hogy a legtöbb járásmódban van bizonyosfokú szimmetria. Más szóval, amikor egy állat ugrik, a két mellső lába egyszerre mozog, és a két hátsóis; az ugró járásmód megőrzi az állat kétoldali szimmetriáját. Más szimmetriák ravaszabbak: példáula teve bal fele követi ugyan a jobb által leírt mozgássorozatot, de fél periódusnyi késéssel. Tehát

ennek a járásformának sajátos szimmetriája van: „tükrözd a balt és a jobbat, majd told el a fázist félperiódussal”. Mi is ezt a fajta szimmetriasértést használjuk, amikor előrehaladunk: kétoldaliszimmetriánk ellenére nem mozgatjuk egyszerre a lábunkat! Ennek vannak előnyei a kétlábúakszámára: ha lassan mindkét lábunkat ugyanabba az irányba mozgatnánk, elesnénk.A négylábúak hét legelterjedtebb járásmódja az ügetés, a poroszkálás, az ugrás, a séta, a forgóvágta,a keresztvágta és a könnyű vágta. Az ügetésnél a lábak valójában átlósan vannak párban. Először abal első és a jobb hátsó láb éri a talajt egyszerre, majd a jobb első és a bal hátsó. Az ugrásnál amellső lábak egyszerre érik a talajt, aztán a hátsók. A poroszkálás az azonos oldali lábakat kapcsoljaössze: a két balláb éri a talajt, majd a két jobb. A séta bonyolultabb, de ugyancsak ritmikus mintátjelent: bal első, jobb hátsó, jobb első, bal hátsó, majd kezdődik az egész elölről. A forgóvágtában amellső lábak érik a talajt majdnem egyszerre, de (mondjuk) a jobb egész kicsit később; aztán a hátsólábak majdnem egyszerre, de ezúttal a bal egész kicsit később. A keresztvágta hasonló, de a hátsólábak sorrendje fordított. A könnyű vágta még különösebb: először a bal első, aztán a jobb hátsó,végül a másik két láb lép egyszerre. Van még egy ritkább járásmód, a pronk, ahol mind a négy lábegyszerre mozog.A pronk nem túl elterjedt, karikatúráktól eltekintve, de néha látható a fiatal szarvasnál. A poroszkálása tevékre, az ugrás a kutyákra jellemző; a vadászleopárdok a forgóvágtát veszik igénybe a legnagyobbsebességű haladáshoz. A lovak a sokoldalúbb négylábúak közé tartoznak, használják a sétát, azügetést, a keresztvágtát és a könnyű vágtát, a körülményektől függően.A képesség a járásmódváltásra a CPG-k dinamikájából származik. A CPG-modellek mögöttmeghúzódó fő idea az, hogy az állatok járásmódjainak ritmusát és fázisviszonyait viszonylag egyszerűideghálózatok természetes oszcillációs mintái határozzák meg. Vajon milyen lehet egy ilyen hálózat?Az ideghálózat egy konkrét darabját lokalizálni egy állat testében annyi, mint egy bizonyos porszemetkeresni a sivatagban: a legegyszerűbb állatok idegrendszerének a feltérképezése is messzemeghaladja a mai tudomány lehetőségeit. Így hát kevésbé direkt módszerrel kell körülszimatolnunk aCPG szerkezetének problémáját.Az egyik megközelítés, hogy kidolgozzuk a legegyszerűbb olyan hálózatot, amely a járásmódok összesszóba jövő szimmetriamintáit szolgáltatja. Első ránézésre ez nagy feladatnak tűnik, és megbocsáthatóvolna részünkről, ha megpróbálnánk kiagyalni valamilyen komplikált struktúrát kapcsolókkal,amelyek lehetővé teszik az átkapcsolást egyik járásmódról a másikra, mint amilyen az autósebességváltója. De a Hopf-bifurkáció elmélete azt sugallja, hogy van egyszerűbb és természetesebbút is. Kiderül, hogy a járásmódoknál megfigyelt szimmetriaminták erősen emlékeztetnek azokra,amelyeket oszcillátorok szimmetrikus hálózataiban találunk. Az ilyen hálózatok természetes módonegész repertoárt tartalmaznak szimmetriasértő oszcillációkból, és természetes módon képesekátkapcsolni köztük. Nincs szükség komplikált sebességváltóra.Például egy kétlábú CPG-jét reprezentáló hálózat összesen két oszcillátort igényel, egyet-egyet a kétlábhoz. A matematika szerint ha két azonos oszcillátort párosítunk össze – vagyis kötünk össze úgy,hogy az egyik állapota hat a másikra –, akkor két tipikus oszcillációs mintát kapunk. Az egyik afázisban minta, ahol a két oszcillátor azonos módon viselkedik. A másik a nem-fázisban minta, ahol akét oszcillátor majdnem azonosan viselkedik, eltekintve attól, hogy félperiódusnyi fáziskülönbség vanköztük. Tegyük fel, hogy ez a CPG-ből érkező jel vezérli egy kétlábú lábizmait, amennyiben mindkétoszcillátorhoz egy-egy lábat rendelünk. A kapott járásmódok öröklik ugyanazt a két mintát. A hálózatfázisban való oszcillációja esetén a két láb együtt mozog: az állat két lábon szökdécsel, mint akenguru. Ezzel ellentétben a CPG nem-fázisban történő mozgása az ember járásához hasonlójárásmódot eredményez. Ez a két járásmód figyelhető meg leggyakrabban a kétlábúaknál. (A kétlábú

persze mást is tehet; például szökdécselhet egy lábon – ebben az esetben azonban valójában egylábúállatnak tekinthető.)Mi a helyzet a négylábúakkal? Itt a modell négy összekapcsolt oszcillátor – mind a négy lábhoz egy.A matematika ez esetben a minták nagyobb választékát jósolja, és majdnem mindegyikhez tartozikvalamilyen megfigyelt járásmód. A legszimmetrikusabb járásmód, a pronk, négy teljesen szinkronizáltoszcillátor mintájához tartozik – vagyis a sértetlen szimmetriához. A következő legszimmetrikusabbjárásmódok – az ugrálás, a poroszkálás és az ügetés – azt jelentik, hogy két nem-fázisban levő pártkapcsoltunk össze: mellsőt/hátsót, balt/jobbat vagy átlósan. A séta cirkuláló nyolcfigurás minta, amatematikában természetes módon jelenik meg. A kétféle vágta ravaszabb. A forgóvágta aporoszkálásnak és az ugrálásnak a keveréke, a keresztvágta az ugrálásé és az ügetésé. A könnyű vágtamég ennél is ravaszabb, és még nem is értjük elég jól.Az elmélet könnyen kiterjeszthető a hatlábú teremtményekre is, mint a rovarok. Például a svábbogártipikus járásmódja tripod, ahol az egyik oldalon levő középső láb egy fázisban van a másik oldalonlevő elülső és hátsó lábbal, és a másik három láb is együtt mozog, félperiódusnyi fáziseltéréssel azelőző hármashoz képest. Ez az egyik természetes minta hat, egy gyűrűbe összekapcsolt oszcillátorra.A szimmetriasértési elmélet megmagyarázza azt is, hogyan tudnak az állatok járásmódot váltanisebességváltó nélkül: egyetlen oszcillátorhálózat más körülmények között más mintát tud felvenni. Ajárásmódok közti átmenetet ugyancsak a szimmetria szervezi. Minél gyorsabban mozog az állat, annálkevesebb a szimmetria a járásmódjában: több sebesség több szimmetriát sért meg. Ám annakmagyarázata, hogy miért váltanak járásmódot, részletesebb információt, fiziológiai ismereteketigényel. 1981-ben D. F. Hoyt és R. C. Taylor felfedezte, hogy amikor a lovak maguk választhatjákmeg sebességüket a talajtól függően, mindig azt a járásmódot választják, amelyik a lehető legkisebboxigénfogyasztással jár.Azért tárgyaltam ennyire részletesen a járásmódok matematikáját, mert ez a modern matematikaitechnikáknak egy szokatlan alkalmazása olyan területen, amelynek első látásra semmi köze sincshozzájuk. A fejezet befejezéseképp ugyanezeknek az általános fogalmaknak egy további alkalmazásátszeretném bemutatni, itt azonban biológiai szempontból éppen az lesz a fontos, hogy a szimmetria nesérüljön meg.Az egész természetben a leglátványosabb bemutató Délkelet-Ázsiában látható, ahol szentjánosbogarakhatalmas rajai szinkronban villognak. A Science folyóiratban 1935-ben publikált, a SynchronousFlashing of Fireflies (Szentjánosbogarak szinkronvillogása) című cikkében Hugh Smith amerikaibiológus lebilincselően írja le a jelenséget: „Képzeljünk el egy 10-12 méter magas fát, mindenlevelén egy-egy szentjánosbogárral, ahogy az összes bogár tökéletesen egyszerre villog, körülbelülháromszor kétmásodpercenként, s a villogások közti szünetekben a fa teljes sötétségbe borul.Képzeljük el a folyópart 160 méternyi szakaszát, végig mangrove-fákkal, minden levelükön egyszentjánosbogárral, amint szinkronban villognak, a két szélen és köztük tökéletes összhangban. Akinekelég élénk a fantáziája, fogalmat alkothat erről az elbűvölő látványosságról.”Miért villognak szinkronban a szentjánosbogarak? 1990-ben Renato Mirollo és Steven Strogatzrámutatott arra, hogy a szinkronizmus a szabály azokban a matematikai modellekben, amelyekbenminden szentjánosbogár minden másikkal kölcsönhatásban áll. Az ötlet: a rovarokat modellezzükezúttal vizuális jelek segítségével csatolt oszcillátorok egy populációjával. A kémiai ciklust, amelyvégbemegy a szentjánosbogárban, amikor lead egy fényjelet, oszcillátorként képzeljük el. A bogarakpopulációját ilyen oszcillátorok hálózatának tekintjük, teljesen szimmetrikus kapcsolatban, azazminden oszcillátor az összes többire ugyanúgy hat. A legszokatlanabb jellemzője ennek a CharlesPeskin amerikai biológus által 1975-ben bevezetett modellnek, hogy az oszcillátorokat maga a

lüktetés kapcsolja össze. Ezt úgy kell értenünk, hogy egy oszcillátor csak abban a pillanatban hat aszomszédaira, amikor leadja a fényjelet.A matematikai nehézség az, hogy mindezeket a kölcsönhatásokat szétválasszuk, úgy, hogy aztánegyüttes hatásuk világosan kirajzolódjék. Mirollo és Strogatz bebizonyította, hogy, a kezdetifeltételektől függetlenül, végül az összes oszcillátor szinkronba kerül. A bizonyítás az abszorpciófogalmán alapul, ami annyit jelent, hogy két különböző fázisban levő oszcillátor „felzárkózikegymáshoz”, és ettől kezdve azonos fázisban lesznek. Mivel az összekapcsolódás teljesenszimmetrikus, ha egy csoport oszcillátor felzárkózott egymáshoz, ezek már nem válnak szét újra.Geometriai és analitikus bizonyítás tanúsítja, hogy ezeknek az abszorpcióknak szükségszerűenkialakul a sorozata, ami végül az összes oszcillátor felzárkózásával jár.Mind a mozgás, mind a szinkronizáció esetében az a nagy tanulság, hogy a természet ritmusai gyakranfüggnek össze a szimmetriával, és hogy a fellépő minták osztályozhatók a szimmetriasértés általánoselvei segítségével. Ezek az elvek nem válaszolnak meg minden kérdést a természet világából, deegységes keretet nyújtanak, és gyakran sugallnak érdekes új kérdéseket. Például mindkét esetbenfelvetődött és választ kapott a kérdés: miért ezek a minták, és nem mások? A másik tanulság az, hogya matematika néha képes megvilágítani a természetnek olyan aspektusait is, amelyeket általában nemtekintünk matematikainak. Ezt a tanulságot először D'Arcy Thompson skót zoológus vonta le, akinekklasszikus, de külön utakon járó, 1917-ben megjelent könyve, az On Growth and Form(Növekedésről és formákról), többé-kevésbé kézenfekvő bizonyítékok óriási választéka arról, milyenszerepet játszik a matematika a biológiai forma és viselkedés alakulásában. Egy olyan korban, mikora legtöbb biológus szerint egy állatban az egyetlen érdekes a DNS lánca, ezt a tanulságot gyakran éshangosan kell ismételnünk.

8. FEJEZETA kockák Istent játszanak?

Isaac Newton intellektuális öröksége látomás volt az óraműszerű univerzumról, amelyet ateremtés pillanatában hoztak mozgásba, de attól fogva az előírt kerékvágásban haladt tovább, mint egyjól olajozott szerkezet. Egy tökéletesen determinisztikus világ képe volt ez, amelyben nincs lehetőséga véletlen számára, s amelynek jövőjét jelene egyértelműen meghatározza. Ahogy a nagy matematikus-csillagász, Pierre-Simon de Laplace ékesszólóan fejezte ki 1812-ben „A valószínűség analitikuselmélete” című műben: „Egy értelmes lény, aki minden adott pillanatban ismerné az összes, aTermészetet elevenen tartó erőt és a benne lévő lények köksönös helyzetét, ha elég hatalmasértelemmel bírna, hogy adatait elemzésnek vesse alá, képes lenne egyetlen formulába sűríteni azuniverzum legnagyobb testjeitől egészen a legkönnyebb atomokig mindennek a mozgását: egy ilyenértelmes lény számára semmi sem volna bizonytalan, és a jövő éppúgy, mint a múlt, jelen volnaszemei előtt.”Ugyanez a totálisan megjósolható jövőjű világról való látomás húzódik meg az egyiklegemlékezetesebb jelenet mögött Douglas Adams 1979-es The Hitchhiker's Guide to the Galaxy(Galaxis útikalauz stopposoknak) című tudományos-fantasztikus regényében, mikor is a két filozófus,Majikthise és Vroomfondel a „Deep Thought” (Mély gondolat) nevű szuperszámítógépnek azt azutasítást adják, számítsa ki a választ az Élet, az Univerzum és a Minden nagy kérdésére. Ötmillióévvel később a számítógép azt felelte: „Negyvenkettő”, s ezen a ponton a filozófusok megértették,hogy a válasz ugyan világos és precíz, ám a kérdés nem. Hasonlóan, Laplace látomásának hibája nema feleletében van – hogy tudniillik a világegyetem elvileg jósolható, ami nem tesz mást, csak pontosan

fogalmazza meg Newton mozgástörvényének egy speciális matematikai aspektusát –, ennek a tényneknála szereplő interpretációja azonban alapvető félreértés, ami abból származik, hogy a kérdést tettefel rosszul. Miután sikerült feltenniük az ideillő kérdést, a matematikusok és fizikusok mára eljutottakodáig, hogy értik: determinizmus és jósolhatóság nem szinonimák.Hétköznapi életünkben számtalan esettel találkozunk, amikor Laplace determinizmusa teljesenalkalmatlan modellnek bizonyul. Ezerszer megyünk le biztoságosan a lépcsőn, míg egyik nap kifordula bokánk, és eltörik. Elmegyünk egy teniszmeccsre, de váratlanul elmossa az eső. A favoritrafogadunk a lóversenyen, és az elesik az utolsó sövénynél, hat hosszal a cél előtt. Ez nem az azuniverzum, amelyben – ahogy Albert Einstein emlékezetesen megtagadta, hogy higgyen – Istenkockákkal játszik: inkább hasonlít egy olyan univerzumra, amelyben a kockák Istent játszanak.Determinisztikus lenne világunk, ahogy Laplace állította, vagy a véletlen kormányozza, ahogy olygyakran látni véljük? És ha Laplace-nak tényleg igaza van, miért jelzi annyi tapasztalatunk, hogy nincsigaza? Az új matematikai ágak közül az egyik legizgalmasabb, a nemlineáris dinamika – népszerűnevén a káosz elmélete – állítja magáról, hogy sok efféle kérdésre megvan a válasza. Akár így van,akár nem, mindenképpen forradalmat hozott ez az elmélet gondolkodásmódunkban rendről ésrendetlenségről, törvényről és szerencséről, jósolhatóságról és véletlenről.A modern fizika szerint a természeten a véletlen uralkodik a tér és idő legapróbb méreteiben is.Például, hogy egy radioaktív atom – mondjuk uránium – elbomlik-e adott időpillanatban, ez tisztán avéletlen műve. Nincs fizikai különbség a végül elbomló és a végül nem elbomló urániumatom közt.Nincs. Egyáltalán nincs.Legalább két szövegösszefüggésben tárgyalhatjuk ezeket a kérdéseket: kvantummechanikával ésklasszikus mechanikával. Ennek a fejezetnek a legnagyobb része klasszikus mechanikáról szól, de egypillanatra vegyük szemügyre a kvantummechanikai kontextust is. A kvantum-indeterminizmusnak ez anézete provokálta ki Einsteinnek fent idézett híres mondatát (egy kollégájának, Max Bornnak írottlevelében): „Ön egy olyan Istenben hisz, aki kockázik, én pedig a tökéletes törvényben és rendbenhiszek.” Azt gondolom, van valami gyanús a kvantum-indeterminizmus ortodox fizikai nézetében, ésvéleményemmel nem állok egyedül, mert egyre több fizikus kezd eltűnődni, vajon nem volt-emindvégig igaza Einsteinnek, és nem hiányzik-e valami a hagyományos kvantummechanikából – talán„rejtett változók”, amelyek értéke megmondja az atomnak, mikor bomoljon el. (Sietek hozzátenni,hogy ez nem a hagyományos nézet.) Közülük a legismertebb, David Bohm, a University of Princetonfizikusa, felépítette a kvantummechanikának egy olyan módosítását, amelyik teljesen determinisztikus,egyúttal tökéletesen összeegyeztethető minden rejtélyes jelenséggel, melyeket a hagyományoskvantum-indeterminizmus alátámasztására használtak. Bohm rendszerének megvannak a maga belsőproblémái, például egy bizonyos „távolhatás”, ami nem kevésbé zavaró, mint a kvantum-indeterminizmus maga.Jóllehet a kvantummechanika érvényes a legkisebb méretekben, a tér és idő makroszkopikusméreteiben a világegyetem determinisztikus törvényeknek engedelmeskedik. Ez egy olyan jelenségbőlkövetkezik, amit inkoherenciának neveznek, és hatására elég nagy kvantumrendszerek elvesztikcsaknem teljes indetermináltságukat, és sokkal inkább newtoni rendszerekként működnek. Valójábanígy újra érvényes lesz a klasszikus mechanika a legtöbb emberi nagyságrendű problémára nézve. Alovak, az időjárás és Einstein híres kockái nem a kvantummechanika miatt jósolhatatlanok.Ellenkezőleg, a newtoni modellen belül is azok! Ez talán nem olyan meglepő, ha lovakról van szó –az élőlényeknek megvannak a maguk rejtett változói, például hogy aznap milyen szénát reggeliztek.Viszont igen nagy meglepetés érte azokat a meteorológusokat, akik komoly számítógépes időjárás-szimulációs programokat fejlesztettek ki, hogy hónapokra előre jelezzék az időt. És bizony riasztó,

mikor a kockák felbukkannak, pedig az emberiség makacsul a kockát használja a szerencselegkedveltebb szimbólumaként. A kocka végtére is kocka alakú, és egy feldobott kockának semmivelsem kevésbé volna szabad jósolhatónak lennie, mint egy pályáján keringő bolygónak: hiszen mindkétobjektum ugyanazoknak a mechanikai mozgástörvényeknek tesz eleget. Alakjuk különböző, deugyanolyan szabályos és matematikai jellegű.Hogy lássuk, miként békíthető ki jósolhatatlanság és determinizmus, gondoljunk egy, avilágegyetemnél sokkal kevésbé ambíciózus rendszerre – nevezetesen a csapból csöpögővízcseppekre. Ez egy determinisztikus rendszer: elvileg a vízfolyás állandó és egyenletes, s márkialakulása is tökéletesen leírható a folyadékáramlás törvényeivel. Mégis egy egyszerű, de látványoskísérlet megmutatja, ez a végeredményben determinisztikus rendszer rávehető, hogy jósolhatatlanulviselkedjék. Ez matematikai töprengésre késztet minket, amelynek során magyarázatot találunk, vajonmiért lehetséges egy ilyen paradoxon.Ha egy csapot nagyon finoman megnyitunk, és várunk néhány másodpercet, hogy a vízfolyás nyugodttáváljon, általában vízcseppek szabályos sorozatát kapjuk, amelyek szabályos ritmusban csöpögnek le.Nehéz ennél megjósolhatóbbat találnunk. Ha azonban lassan elforgatjuk a csapot, hogy a vízfolyáserősségét növeljük, be tudjuk úgy állítani, hogy a vízcseppek sorozata valami egészen szabálytalanritmusban essen le, úgy, hogy már véletlenszerűnek lehessen hallani. Belekerül egy kis kísérletezésbe,hogy ez valóban sikerüljön, és jó, ha a csap simán forog. Ne fordítsuk el annyira, hogy a víz folytonosáramban jöjjön; közepes sebességű csepegésre van szükségünk. Ha jól állítottuk be, percekighallgathatjuk, anélkül, hogy bármilyen minta kivehető volna.1978-ban egy csapat tekintélyromboló fiatal, a kaliforniai egyetemen végzett hallgató Santa Cruzbanmegalapította a Dínamikus Rendszerek Kollektíváját. Amikor elkezdtek ezen a vízcsepprendszerengondolkozni, rájöttek, hogy nem is olyan véletlenszerű, mint amilyennek látszik. Mikrofonnalrögzítették a csepegés zajait, és elemezték az egymást követő cseppek közti intervallumok sorozatát.Rövid távú jósolhatóságot tapasztaltak. Ha elmondom az időket négy egymás utáni cseppre, önök ismeg tudják mondani, mikor esik le a következő csepp. Például, ha az utolsó három intervallum 0,63,1,17 és 0,44 másodperc volt, biztosak lehetünk benne, hogy a következő csepp 0,82 másodperccelkésőbb esik le. (Ezek a számok csak illusztrációul szolgálnak.) Valójában ha pontosan ismerjük azelső négy csepp időadatait, a rendszer egész jövőjét előre jelezni tudjuk.Akkor hát miért is nincs igaza Laplace-nak? A lényeg az, hogy egy rendszer kezdeti állapotát sosemtudjuk pontosan megmérni! A legprecízebb mérések, amelyeket bármilyen fizikai rendszerben valahais végeztek, körülbelül tíz-tizenkét tizedesjegy pontosságot értek el. De Laplace állítása csak úgykorrekt, ha végtelen nagy pontossággal tudunk mérni – és ez persze lehetetlen. Tudtak a mérésihibának erről a problémájáról Laplace korában is, de általában feltételezték, hogy ha a kezdetimérések mondjuk tíz jegyre pontosak, akkor az ebből levezetett előrejelzések is ugyanilyenek lesznek.Vagyis azt hitték, hogy bár a hiba nem tűnik el, sohasem növekszik.Sajnos növekszik. Ez pedig megakadályoz minket abban, hogy rövid távú előrejelzések egy sorozatáthosszú távú előrejelzéssé fűzzük össze. Tegyük fel például, hogy az első négy vízcsepp időadatait tízjegy pontossággal ismerem. Ekkor a következő csepp leesésének időpontját kilenc jegy pontossággaltudom meghatározni, a következőét nyolc jegy pontossággal, és így tovább. Minden lépésben a hibahozzávetőleg egy tizes faktorral nő, a megbízhatóságból tehát egy további tizedeshelyet veszítek. Ígyaztán tíz lépés után már sejtelmem sincs, mikor érkezik a következő vízcsepp. (Ismét meg kelljegyezzük, hogy a valódi adatok bizonyára mások: lehet, hogy féltucat csepp is kell, hogy egytizedesnyi pontosságot veszítsünk, de még ekkor is elég hatvan csepp, hogy a fenti problémaelőálljon.)

A hibának ez a felerősödése kelti azt a logikai rést, amin át Laplace tökéletes determinizmusa eltűnik.A mérésnek semmilyen tökéletesítése sem lesz elgendő. Ha az időbeli viszonyokat száz tizedesjegyigtudnánk mérni, már mindössze száz csepp után a jóslatunk hibás lesz (vagy hatszáz csepp után, egyoptimistább becslés mellett). Ennek a jelenségnek a neve „érzékenység a kezdeti feltételekre” vagy a„pillangó effektus”. (Amikor egy pillangó Tokióban meglebegteti a szárnyát, az eredmény esetleg egyhurrikán Floridában egy hónappal később.) Mindez szorosan összefügg a viselkedés nagyfokúszabálytalanságával. Minden, ami valóban szabályos, definíciója szerint jósolható, míg azérzékenység a kezdeti feltételekre jósolhatatlan viselkedéssel jár – következésképp szabálytalan. Ezaz oka, hogy egy rendszert, amelyik érzékeny a kezdeti feltételekre, kaotikusnak hívunk. A kaotikusviselkedés determinisztikus törvényeknek tesz eleget, de annyira szabálytalan, hogy a gyakorlatlanszem egészen véletlenszerűnek látja. A káosz nem egyszerűen komplikált, minta nélküli viselkedés:ravaszabb annál. A káosz látszólag komplikált, látszólag minta nélküli viselkedés, aminek valójábanvan egy egyszerű, determinisztikus magyarázata.A káosz felfedezése túl sok ember nevéhez fűződik, ahhoz, hogy itt felsoroljuk őket. Nagyjából aztmondhatjuk, hogy három külön fejlemény összekapcsolódásának köszönhetjük. Az egyik a tudományosfigyelem elfordulása volt az egyszerű mintáktól (amilyenek az ismétlődő ciklusok) az összetettebbviselkedésfajták felé. A második a számítógép, amely lehetővé tette, hogy könnyen és gyorsanközelítő megoldást találjanak dinamikai egyenletekre. A harmadik pedig a dinamika egy matematikaifelfogása volt – a numerikus helyett inkább geometriai felfogás. Az első motivációt szolgáltatott, amásodik technikát, a harmadik a dolgok jobb megértését.A dinamika geometrizálása körülbelül egy évszázada kezdődött el, amikor Henri Poincaré franciamatematikus – a legkülöncebb különc, de olyan ragyogó elme, hogy nézetei általában majdnem egyiknapról a másikra kötelezővé váltak – bevezette a fázistér fogalmát. Ez képzeletbeli matematikai tér,amely reprezentálja egy adott dinamikai rendszer összes lehetséges mozgását. Hogy egynemmechanikai példát vegyünk, nézzük meg egy ragadozó-zsákmány típusú ökológiai rendszerdinamikáját. A ragadozók vaddisznók, a zsákmány pedig egy bizonyos csípős gombafajta, aszarvasgomba. A számunkra fontos változók a két populáció mérete – a vaddisznók száma(valamilyen referenciaértékhez képest, mondjuk egymillióhoz) és a szarvasgombák száma (ugyanígy).Ez a választás lényegében folytonossá teszi a változókat – azaz felvehetnek valós számértékeket istizedesjegyekkel, nemcsak egészeket. Például ha a vaddisznók referenciaértéke egymillió, akkor egy17.439 állatból álló populáció a 0,017439 értéknek fog megfelelni. Mármost, a szarvasgombákszámának növekedése attól függ, hány gomba van, és hogy a vaddisznók milyen gyorsan eszik agombát; a vaddisznó-populáció növekedése attól függ, mennyi vaddisznó van, és hogy mennyi gombátesznek. Eszerint mindegyik változó változásmértéke függ mindkét változótól, s ezt az észrevételt egydifferenciálegyenlet-rendszer felírására használhatjuk fel, amely a populáció dinamikáját írja le. Nemfogom itt tárgyalni az egyenleteket, mert a mi szempontunkból nem érdekesek: csak az, hogy mihezkezdünk velük.Ezek az egyenletek határozzák meg – elvileg –, hogy miképp változik bármilyen kezdeti populáció azidőben. Például ha 17.439 vaddisznóval és 788.444 gombával indulunk, akkor a 0,017439 és a0,788444 értékeket írjuk fel a két változó kezdeti értékeként, és az egyenletek implicit módonmegmondják, hogyan változnak ezek a számok. A nehézség abban áll, hogy az implicitet explicitté kelltenni : meg kell oldani az egyenleteket. De milyen értelemben? Egy klasszikus matematikustermészetes reflexe az volna, hogy képletet keres, amely pontosan leírja, adott időpillanatban hánydisznó és hány gomba van. Sajnos, ilyen „explicit megoldások” annyira ritkán adódnak, hogy alig érimeg a fáradságot keresni őket, hacsak az egyenletek nem nagyon speciális alakúak. Egy másik

lehetőség számítógép segítségével közelítő megoldásokat keresni; azonban ebből csak azt tudjuk meg,hogy mi a helyzet a konkrét kezdeti értékekre, mi viszont ezt sok kezdeti értékre szeretnénk tudni.Poincaré ötlete a következő: rajzoljunk egy ábrát, amely megmutatja, mi történik bármilyen kezdetiértékek mellett. A rendszer állapota – a két populáció mérete valamilyen időpillanatban – ábrázolhatóegy síkbeli ponttal, a régi koordinátás trükköt használva. Például a vaddisznópopulációtreprezentálhatjuk a vízszintes, a gombapopulációt függőleges koordinátával. A fent leírt kezdetiállapot a 0,017439 vízszintes koordinátájú és a 0,788444 függőleges koordinátájú pontnak felel meg.Az idő múlásával két koordináta pillanatról pillanatra változik, a differenciálegyenlet által kifejezettszabály szerint, így a megfelelő pont mozog. Egy mozgó pont görbét ír le; és ez görbe az egészrendszer jövőbeli viselkedésének vizuális ábrázolása. Valóban, megnézve a görbét, a dinamika fontosjellemzőit „láthatjuk”, anélkül, hogy a koordináták aktuális értékével kellene törődnünk.Például ha a görbe hurokká záródik, akkor a két populáció periodikus ciklust ír le, s újra és újraugyanazokat az értékeket ismétli – ahogy egy kocsi a lóversenypályán minden futamban ugyanazokelőtt a nézők előtt megy el. Ha a görbe meglátogat néhány pontot, és aztán megáll, akkor a populációkmegállapodnak egy stabil állapotban, amiben semmi sem változik mint az autó, ha kifogyott belőle abenzin. Szerencsés egybeesés miatt a ciklusoknak és a stabil állapotoknak van ökológiai jelentőségük– többek között mindkettő felső és alsó korlátokat állít be a populációk méretére: Így azok a jellegek,amelyeket a szem könnyedén leolvas az ábráról, pontosan megegyeznek a folyamat valóságosjellegével. Továbbá, sok lényegtelen részletet figyelmen kívül hagyhatunk: például, látjuk, hogy zárthurok alakult ki, anélkül, hogy alakját pontosan kiszámítanánk (ami a két populációs ciklusösszekombinált „hullámformája”).Mi történik, ha kipróbálunk egy másik kezdeti-érték párt? Kapunk egy második görbét. Mindenkezdeti-érték pár definiál egy új görbét; és átfoghatjuk a rendszer összes lehetséges viselkedését azösszes kezdeti értékre, ha az ilyen görbék teljes halmazát felrajzoljuk. Ez a görbehalmaz hasonlít egyképzeletbeli matematikai folyadék áramvonalaira, amely a síkon örvénylik mindenfele. A síkot arendszer fázisterének hívjuk, az összes örvénylő görbe halmazát fázisportrénak. Ahelyett, hogy lenneegy szimbólum alapú fogalmunk a differenciálegyenletről különböző kezdeti feltételek mellett, vanegy geometriai, vizuális sémánk pontokról, amelyek a vaddisznó/gomba téren végigáramlanak. Azeredeti síktól csak abban különbözik, hogy sok pontja inkább potenciális, mint aktuális: koordinátáikolyan számoknak felelnek meg, amelyek megjelenhetnek, megfelelő kezdeti feltételek mellett, de adottesetben hiányozhatnak is. Tehát, a szimbólumoktól a geometria felé való tudati eltolódáshozhasonlóan, létezik egy filozófiai eltolódás is, az aktuálistól a potenciális felé.Ugyanilyen geometriai ábra képzelhető el bármely dinamikus rendszerre. Van egy fázistér, amelynekkoordinátái az összes változók értékei; és van egy fázisportré, örvénylő görbék rendszere, amely azösszes lehetséges viselkedést képviseli lehetséges kezdeti feltétel mellett, és amelyet adifferenciálegyenletek írnak le. Ez az idea nagy előnnyel jár, mert ahelyett, hogy az egyenletekmegoldásainak pontos számszerű részleteivel bajlódnánk, figyelmünket a fázisportré szélesspektrumára irányíthatjuk, s így értékesíteni tudjuk az emberiség legnagyobb kincsét, varázslatosképalkotó képességét. A fázistér képe, mint a lehetséges viselkedések teljes skálájának szervezésimódja, amely skálából a természet választja ki az aktuálisat, a tudományban igen elterjedtté vált.Poincaré nagy újításának eredménye, hogy a dinamika láthatóvá tehető az attraktoroknak nevezettgeometriai alakzatok segítségével. Ha elindítunk egy dinamikus rendszert valamilyen kezdőpontból,és megfigyeljük, mi történik vele hosszú távon, gyakran tapasztaljuk: végül valamilyen jólmeghatározott alakzat mentén vándorol körbe a fázistérben. Például a görbe egyszer csak rákerülhetegy zárt hurokra, és attól kezdve e hurok mentén megy körbe-körbe. Továbbá, különböző kezdeti

feltételek vezethetnek ugyanahhoz a végső alakzathoz. Ebben az esetben az alakzatot attraktornakhívjuk. Egy rendszer hosszú távú dinamikáját az attraktorai irányítják, és az attraktor alakja határozzameg, milyen fajta dinamika érvényesül.Például, ha egy rendszer végül megmarad stacionárius (állandósult) állapotban, attraktora egy pont.Ha a rendszer végül periodikusan ugyanazt a viselkedést ismétli, attraktora valamilyen zárt hurok.Vagyis a zárt hurok alakú attraktorok az oszcillátoroknak felelnek meg. Emlékezzünk a rezgőhegedűhúr leírására az 5. fejezetből; a húr mozgások egy olyan sorozatán megy keresztül, ami végülvisszaviszi oda, ahonnét elindult, s innen kezdve akárhányszor kész megismételni a sorozatot. Nem aztállítottam, hogy a hegedűhúr fizikailag hurok mentén mozog. Hanem a róla szóló leírásom olyan, mintegy zárt hurok képletes értelemben: a mozgás körutazást tesz egy fázistér dinamikai tájképén.A káosznak megvan a maga meglehetősen különös geometriája: különös attraktorok nevű furcsafraktál-alakzatokhoz kapcsolódik. A pillangó-effektusból következik, hogy egy furcsa attraktoron amozgást részletesen nem tudjuk előre meghatározni. Ez azonban nem változtat a tényen, hogy ez egyattraktor. Képzeljük el, hogy beleengedünk egy pingponglabdát a viharos tengerbe. Akár a levegőbőldobjuk be, akár a víz alól engedjük fel, a labda a felszín irányába mozog. Ha már elérte a felszínt,nagyon bonyolult utat jár be a dagadó hullámokon, de bármilyen bonyolult is ez az út, a labda ottmarad a felszínen – vagy legalábbis nagyon közel hozzá. Ebben a képben a tenger felszíne azattraktor. Így aztán, a káosz ellenére, a kezdőponttól függetlenül, a rendszer az attraktorához igenközel végzi majd.A káosz, mint matematikai fogalom, jól megalapozott, de hogy vegyük észre a valóságos világban?Kísérleteket kell végeznünk – van azonban itt egy probléma. A kísérletek hagyományos szerepe atermészettudományban az elméleti előrejelzések tesztelése, de ha éppen működik a pillangó-effektus –ahogy működik minden kaotikus rendszerben –, hogyan remélhetjük, hogy teszteljünk egy előrejelzést?Nem eredendően tesztelhetetlen a káosz, s így tudománytalan?A válasz határozott nem, mivel az előrejelzés szónak két jelentése van.Az egyik „előre megmondani a jövőt”, és a pillangó-effektus ezt megakadályozza, ha káoszról vanszó. De a másik jelentés „előre leírni, mi lesz egy kísérlet kimenetele”. Gondoljunk arra, amikorszázszor dobunk fel egy érmét. Hogy előre jelezzük – az első értelemben –, mi történik, előre fel kénesorolnunk minden dobás eredményét. De olyan tudományos előrejelzéseket is tehetünk, mint „adobásoknak kb. a fele fej lesz”, anélkül, hogy előre részletesen megmondanánk a jövőt – még akkoris, ha, mint itt, a rendszer véletlenszerű. Senki sem állítja, hogy a statisztika tudománytalan, csak mertrészletesen előre meg nem mondható eseményekkel foglalkozik, tehát a káoszt is ugyanígy kellkezelnünk. Mindenféle előrejelzést adhatunk egy kaotikus rendszerről: valójában annyit is, hogy ígymegkülönböztessük a determinisztikus káoszt a valódi véletlentől. Az egyik dolog, amit gyakran előrejelezhetünk, az attraktor alakja, amin a pillangó-effektus nem változtat. A pillangó-effektus mindösszeazt befolyásolja, hogy a rendszer az attraktoron belül hogyan mozogjon. Emiatt az attraktor általánosalakja gyakran kikövetkeztethető kísérleti megfigyelésekből.A káosz felfedezése rávilágított egy alapvető félreértésünkre arról az összefüggésről, ami fennáll aszabályok és az általuk kiváltott viselkedés – ok és okozat – között. Addig úgy hittük, hogydeterminisztikus okok mindig szabályos okozatokat hoznak létre, most azonban azt látjuk, hogylétrehozhatnak egészen szabálytalan okozatokat is, amelyek könnyen összetéveszthetők a véletlennel.Úgy hittük, hogy egyszerű okok egyszerű okozatokat vonnak maguk után (ami azt is jelenti, hogyösszetett okozatoknak komplex oka van), most azonban már tudjuk, hogy az egyszerű okok maguk utánvonhatnak összetett okozatokat is. Most értjük meg, hogy a szabályok ismerete még nem elegendő azeljövendő viselkedés megjóslásához.

Hogyan áll elő ez a meg nem egyezés ok és okozat között? Miért hoznak létre ugyanazok az okok néhakézenfekvő mintákat, néha pedig káoszt? A felelet megtalálható minden konyhában, egy egyszerűmechanikus eszköz, a habverő használatában. A két verőrész mozgása egyszerű és előrejelezhető, éppahogy Laplace elvárta: mindkét verőrész folyamatosan forog. Viszont a cukor és a tojásfehérjemozgása a tálban jóval bonyolultabb.A két anyag összekeveredik – ezért van a habverő. De a két verőrész nem keveredik össze – nem kellőket szétválasztani, mikor végeztünk. Miért olyan különböző a hab mozgása a habverőkétől? Akeverés sokkal bonyolultabb, dinamikusabb folyamat, mint hinnénk. Képzeljük el, hogymegpróbálnánk egy adott cukorszemecskéről előre megmondani, hol lesz a keverés végén! Ahogy akeverék a két verőrész között elmegy, széthúzódik, balra és jobbra, és két cukorszemecske, amelyekegymáshoz nagyon közel indultak el, hamarosan távol kerülnek egymástól, és független utakat járnakbe. Valójában ezt is a pillangó-effektus működése okozza – apró változások a kezdeti feltételekbennagy hatásokkal járnak. A keverés tehát kaotikus folyamat.Megfordítva, minden kaotikus folyamat együtt jár egyfajta matematikai keveréssel Poincaréképzeletbeli fázisterében. Emiatt van, hogy az ár előrejelezhető, míg az időjárás nem. Ugyanolyanfajta matematika kell hozzájuk, de az ár dinamikája nem keveri össze a fázisteret, az időjárásé igen.Nem az a fontos, mit csinálunk, hanem hogy hogyan csináljuk.A káosz felborítja kényelmes feltevéseinket arról, hogyan működik a világ. Arról tudósít, hogy azuniverzum sokkal különösebb, mint hisszük. Kételyeket ébreszt sok hagyományos tudományosmódszer iránt: nem elég többé pusztán ismerni a természet törvényeit. Másrészt arról is tudósít, hogybizonyos véletlenszerűnek hitt dolgok esetleg egyszerű törvényeknek engedelmeskednek. A természetkáoszát törvények szabják meg. A múltban a tudomány hajlott arra, hogy ne vegyen tudomást avéletlenszerűnek tűnő eseményekről vagy jelenségekről, olyan kiindulásból, hogy nincs kézenfekvőminta, s így bizonyára nem egyszerű törvények irányítják őket. Ez nem így van. Akadnak egyszerűtörvények, épp az orrunk előtt – azok a törvények, amelyek befolyásolják a járványos betegségeketvagy a szívrohamot, esetleg a sáskajárást. Ha megismerjük e törvényeket, talán meg tudjukakadályozni az őket követő katasztrófákat.Már maga a káosz is megmutatott nekünk új törvényeket, egész új törvénytípusokat. A káosz újuniverzális minták egy sajátos fajtáját tartalmazza. Az első ilyen mindjárt a csepegő csappalkapcsolatos. Emlékezzünk rá, hogy a csap csöpöghet ritmikusan és kaotikusan, a folyás sebességétőlfüggően. Valójában a szabályos csöpögés és a „véletlen” ugyanazon matematikai előírás két csekélymértékben különböző variánsa. De ahogy a folyás sebessége nő, a dinamika típusa megváltozik. Azattraktor a dinamikát képviselő fázistérben folyamatosan változik – mégpedig előrejelezhető, denagyon bonyolult módon.Kezdjük egy szabályosan csepegő csappal: ismétlődő csöpp-csöpp-csöpp-csöpp ritmus, mindencsepp szakasztott, mint az előző. Nyissuk ezek után kicsit erősebbre a csapot, hogy a cseppekvalamivel gyorsabban jöjjenek. Most a ritmus csöpp-CSÖPP-csöpp-CSÖPP, és minden másodikcseppnél megismétlődik. Nemcsak a cseppméret változik, ami a csepp hangját befolyásolja, hanemvalamennyire a két csepp között eltelt idő is.Ha még egy kicsit gyorsabb vízfolyást engedünk meg, négycseppes ritmust kapunk: csöpp-CSÖPP-csöpp-CSÖPP. Legyen kicsit még gyorsabb, és nyolc cseppes ritmus alakul ki: csöpp-CSÖPP-csöpp-CSÖPP-csöpp-CSÖPP-csöpp-CSÖPP. Az ismétlődő cseppsorozatok hosszatovábbra is megkettőződik. Matematikailag ez a folyamat a végtelenségig folytatódik, 16, 32, 64cseppből álló csoportok, és így tovább. Viszont a folyási sebességnek egyre parányibb változtatásafogja eredényezni ezt a kettőződést, míg végül olyan folyási sebességhez jutunk, aminél a csoport

mérete végtelenszer duplázódott. Ekkor nincs cseppsorozat, ami ugyanazt a mintát ismételné. Ez akáosz.A történteket ki tudjuk fejezni Poincaré geometriai nyelvén. A csap attraktora zárt hurokkal kezdődik,ami egy periodikus ciklust képvisel. Képzeljük a hurkot ujjunk köré tekert rugalmas szalagnak. Ahogya folyási sebesség megnő, ez a hurok két szomszédos hurokká osztódik, mintha rugalmas szalagottekertünk volna az ujjunk köré. A szalag kétszer olyan hosszú, mint az eredeti, ezért lesz a perióduskétszer olyan hosszú. Ekkor, pontosan úgy, mint az előbb, ez a már megkettőződött hurok újramegkettőződik, végig a hossza mentén, hogy négyperiódusú kört alkosson, és így tovább. Végtelen sokkettőződés után ujjunk ki van dekorálva rugalmas spagettivel, egy kaotikus attraktorral.A forgatókönyvet a káosz előállítására periódus-kettőző kaszkádnak hívják. 1975-ben MitchellFeigenbaum fizikus fedezte fel, hogy van egy speciális, kísérletileg megmérhető szám, amelykapcsolatos e kaszkádokkal. Ez a szám körülbelül 4,669, és egy sorba helyezhető a (Pi)-vel, mintazok a különös számok, amelyek rendkívüli jelentőségűnek látszanak mind a matematikában, mind atermészeti világhoz való viszonyukban. A Feigenbaum-féle számra egy szimbólumot is használ nak: agörög (delta) betűt. A (Pi) azt mondja meg, hogyan aránylik a kör kerülete az átmérőjéhez. Analógmódon, Feigenbaum (delta) száma azt mondja meg, hogyan aránylik a cseppek periódusa a vízfolyássebességéhez. Hogy pontosak legyünk, a tényező, ami azt mutatja meg, hogy hányszor kell gyorsabbraállítanunk a vízfolyást, minden perióduskettőzéskor egy 4,669 faktorral csökken.A (Pi) szám mennyiségi jellemzője mindennek, ami körökkel kapcsolatos. Ugyanígy, a Feigenbaumféle (delta) szám mennyiségi jellemzője minden periódus-kettőző kaszkádnak, függetlenül attól, hogymiképp állítható elő, vagy kísérletileg hogyan realizálható. Ugyanez a szám mutatkozik meg azokban akísérletekben is, amelyeket cseppfolyós héliummal, vízzel, elektromos áramkörökkel, ingákkal,mágnesekkel és rezgő vonatkerekekkel végeztek.Ez egy új univerzális minta a természetben, amelyet csak a káosz szemüvegén keresztül vehetünkészre, mennyiségi jellemző, egy szám, amely egy minőségi jellegű folyamatból származik. Valóban atermészet számainak egyike. A Feigenbaum-féle szám új matematikai világra nyitott kaput, amit csakmost kezdtünk el kutatni.A Feigenbaum által megtalált pontos minta és más hasonló minták a finom részleteken múlnak. Alényeg, hogy még ha a természeti törvények következményei minta nélkülinek látszanak is, ezek atörvények léteznek, és a minták is. A káosz nem véletlenszerű: látszólag véletlen viselkedésforma,ami pontos szabályok eredménye. A káosz a rend egy rejtélyes formája.A tudomány mindig is értékelte a rendet, de kezdjük észrevenni, hogy a káosz a tudománynak máselőnyöket képes kölcsönözni. A káosz könnyebbé teszi a gyors választ a külső ingerekre. Gondoljunkcsak a teniszjátékosra, aki épp egy szervára vár. Nyugodtan áll? Szabályosan egyik oldalról a másikramozog? Természetesen nem. Hanem szabálytalanul táncol egyik lábáról a másikra. Részbenmegpróbálja megzavarni ellenfelét, de egyben arra is fel van készülve, hogy akármilyen neki küldöttszervát visszaadjon. Hogy bármilyen irányba gyorsan el tudjon mozdulni, gyors mozdulatokat tesz sokkülönböző irányba. Egy kaotikus rendszer sokkal gyorsabban és kevesebb erőfeszítéssel tudválaszolni a külső eseményekre, mint egy nemkaotikus. Ez fontos a műszaki vezérlés problémáinál.Például ma már tudjuk, hogy bizonyos fajta turbulenciák a káoszból származnak – emiatt látszik aturbulencia véletlenszerűnek. Lehetségesnek mutatkozik, hogy a repülőgép felületét elhagyó légáramotsokkal kevésbé turbulenssé, s így a mozgást kevésbé akadályozóvá tegyük, ha olyan vezérlőmechanizmusokat szerelünk föl, amelyek igen gyorsan válaszolnak bármilyen kezdődő kicsiturbulenciára, kiiktatva azt. Az élőlényeknek is kaotikusan kell viselkedniük ahhoz, hogy gyorsanválaszoljanak egy változó környezet ingereire.

Ezt a gondolatot nagyon hasznos gyakorlati technikára váltotta be mateinatikusok és fizikusok egycsoportja, többek közt William Ditto, Alan Garfinkel és Jim Yorke. A módszert kaotikus vezérlésneknevezték el. Az ötlet lényegében az, hogy a pillangó-effektust a magunk hasznára fordítjuk. A tény,miszerint kicsi változások a kezdeti feltételekben nagy változásokat eredményeznek a továbbiviselkedésben, előny lehet; csak annyit kell tennünk, hogy biztosítjuk: elérjük azt a nagy változást,amit akartunk. A kaotikus dinamika működésének megértése lehetővé teszi, hogy vezérlési stratégiákatdolgozzunk ki, amelyek épp ezt teszik. A módszer sok sikert ért el. Az űrjárművek egy hidrazin nevűüzemanyagot használnak a pályakorrekcióhoz. A kaotikus vezérlés egyik legkorábbi sikere volt, hogyegy lerobbant mesterséges holdat pályájáról letérítettek, és elérték, hogy találkozzék egykisbolygóval, s mindezt annak a csekély mennyiségű hidrazinnak a segítségével, ami a fedélzetenmegmaradt. A NASA ötször „lengette meg” a Hold körül, úgy, hogy mindig egy egész kicsihidrazinadagot használt, s finoman odébblökte. Több ilyen találkozást valósítottak meg, egy olyanművelet révén, amely ügyesen aknázta ki a káosz fellépését a három-test problémában (ittFöld/Hold/mesterséges hold), valamint az ezzel kapcsolatos pillangó-effektust.Ugyanezt a matematikai ötletet használták, hogy mágnesszalagot vezéreljenek egy turbulensfolyadékban – ami mintául szolgált tengeralattjárót és repülőgépet elhagyó turbulens folyadékvezérléséhez. Kaotikus vezérlést használtak, hogy egy szabálytalanul verő szívet visszatérítsenek aszabályos ritmusra, előrevetítve az intelligens pacemaker felfedezését. Nemrég arra alkalmazták,hogy az elektromos aktivitás ritmikus hullámait fölkeltse, illetve megakadályozza az agyszövetben, sezzel lehetőség nyílt az epileptikus rohamok megelőzésére.A káosz fejlődő ipar. Ma már minden héten adódnak új felfedezések a káosz matematikai alapjairólvagy a káosz új hozzájárulásai a természeti világ jobb megértéséhez, avagy a káosz új technológiaialkalmazásai, beleértve a kaotikus edénymosogatót is, egy japán találmányt, amelynek két forgó karjavan, ezek pörögnek is, méghozzá kaotikusan, hogy az edényt tisztábbra mossák, kevesebb energiával;és egy angol gép, amely káosz-elméleti alapú adatelemzést végez, hogy egy rugógyárban jobbá tegye aminőség-ellenőrzést.De még sok a teendő. A káosznak talán a legutolsó megoldatlan problémája a kvantumok furcsavilága, ahol Szerencse Asszony uralkodik. A radioaktív atomok „véletlenszerűen” bomlanak el;minden szabályosságuk csak statisztikai jellegű. Nagy mennyiségű radioaktív atom egy jólmeghatározott felezési idővel jellemezhető – ez egy olyan időperiódus, ami alatt az atomok fele el fogbomlani. Csakhogy nem tudjuk előre megmondani, melyik fele. Albert Einstein fent említetttiltakozása éppen erre a kérdésre vonatkozott. Tényleg egyáltalán nem lenne különbség a végül el nembomló és a végül elbomló radioaktív atom között? Akkor honnan tudja az atom, hogy mit tegyen?Lehet a kvantummechanika látszólagos véletlenszerűsége csalóka? Tényleg nem más, mintdeterminisztikus káosz? Képzeljük el az atomot kozmikus folyadék egy rezgő cseppjének. Aradioaktív atomok nagyon erősen rezegnek, és könnyen leválhat egy kisebb csepp – elbomolhat. Azatomok olyan gyorsan rezegnek, hogy nem tudjuk külön-külön megmérni a sebességüket: csakkiátlagolt mennyiségeket tudunk mérni, például energiaszinteket. Mármost, a klasszikus mechanikaarra tanít, hogy valódi folyadék egy cseppje rezeghet kaotikusan. Ilyenkor mozgása determinisztikus,de nem előre jelezhető. Alkalmanként, „véletlenül”, a rezgések összefognak és leválasztanak egy aprócseppecskét. A pillangó-effektus lehetetlenné teszi, hogy előre megmondjuk, mikor válik le a csepp;de ennek az eseménynek pontos statisztikai jellemzői vannak, beleértve egy jól meghatározott felezésiidőt is.Lehetne a radioaktív atomok látszólag véletlenszerű elbomlása valami hasonló, csak mikrokozmikusméretekben? És különben is, miért vannak statisztikai szabálytalanságok egyáltalán? Talán nyomai

egy mélyenfekvő determinizmusnak? Milyen egyéb helyről származhatnának a statisztikaiszabályosságok? Sajnos ezt a csábító ötletet még senki sem próbálta kidolgozni – pedig szellemébenrokon a „szuperhúrok” divatos elméletével, amelyben az atomnál kisebb részecske egyfajta felhangoltrezgő sokdimenziós húr. Itt a legfőbb közös jellemvonás, hogy mind a rezgő húr, mind a rezgő cseppbehoz egy új „belső változót” a fizikai modellbe. A jelentős különbség a két megközelítés közt abbanáll, ahogy a kvantumindeterminációt kezelik. A szuperhúr-elmélet, mint a hagyományoskvantummechanika is, az indeterminációt eredendően a véletlenből származónak tekinti. Ugyanakkoregy olyan rendszerben, mint a csepp, a látszólagos indetermináció valójában egy determinisztikus, bárkaotikus dinamika eredménye. A trükk – ha sejtenénk, hogyan kellene nyélbe ütni – az lenne, hogykeresnénk egy struktúrát, amely a szuperhúr-elmélet kedvező tulajdonságait megőrzi, míg egyes belsőváltozók viselkedését kaotikussá teszi. Csábító módja lenne ez annak, hogy az Istenség kockájátdeterminisztikussá varázsoljuk és Einstein szellemét boldoggá tegyük.

9. FEJEZETCseppek, dinamika és százszorszépek

A káosz megtanít minket arra, hogy egyszerű szabályoknak engedelmeskedő rendszerek isviselkedhetnek meglepően bonyolultan. Van itt megszívlelendő lecke mindenkinek – igazgatóknak,akik úgy képzelik, egy szorosan ellenőrzött társaság magától simán működik, politikusoknak, akik úgygondolják, hogy ha egy problémáról törvényt hoznak, ezzel meg is szüntették és tudósoknak, akik aztképzelik, ha már modellt adtak egy rendszerre, művük teljes. Azonban a világ tökéletesen kaotikussem lehet, különben nem tudnánk benne élni. Az egyik oka, hogy a káoszt nem fedezték föl előbb,éppen az, hogy világunk sok szempontból egyszerű. Az egyszerűség általában eltűnik, mikor a felszínmögé pillantunk, de a felszínen még egyszerű. Nyelvhasználatunk világunk leírására az alapvetőegyszerűség létén nyugszik. Például, „a rókák nyúlra vadásznak” állításnak csak azért van értelme,mert megragadja az állatok közti interakciók egy általános mintáját. A rókák tényleg vadásznaknyúlra, abban az értelemben, hogy ha egy éhes róka meglát egy nyulat, valószínűleg utánafut.Ugyanakkor, ha jobban megnézzük a részleteket, rögtön olyan bonyolultakká válnak, hogy mindenegyszerűség elvész. Például, hogy ezt a szimpla cselekedetet végrehajtsa, a rókának fel kell ismerniea nyúlban a nyulat. Aztán lábait mozgásba kell hoznia, hogy utánafusson. Hogy megértsük ezeket azeseményeket, meg kell értenünk magát a látást, a mintafelismerést az agyban és a mozgást. A 7.fejezetben már vizsgáltuk a harmadik tételt, a mozgást, és ott érintettük a fiziológia és neurológiabonyodalmait – a csontokat, az izmokat, az idegeket és az agyat. Az izmok tevékenysége asejtbiológiától és a kémiától függ; a kémia a kvantummechanikától; a kvantummechanika pedig a sokatkeresett „Mindenség Elméleté”-től (Theory of Everything)[9], ahol egyetlen egészben egyesül a fizikaöszes törvénye. Ha a mozgás helyett azt az ösvényt követjük, amit a látás vagy a mintafelismerés jelölki, megint ugyanazt a mindenfelé szerteágazó komplexitást látjuk.A feladat reménytelennek tűnik – kivéve, ha az egyszerűségek, amelyekből kiindultunk, valóbanléteznek, így vagy használja a természet ok és okozat eme gigászian komplex hálózatát, vagy úgyrendezi a dolgokat, hogy a bonyodalmak nagy része nem fontos. A legutóbbi időkig a tudományban akutatás természetes útja mind mélyebbre és mélyebbre vezetett a komplexitás fájában – amit JackCohen és én a „redukcionista rémálmának” neveztünk. Sokat tanultunk a természetről ezen az úton –mindig azt nézve, hogy tudjuk a magunk céljaira fordítani. De szem elől tévesztettük a nagyegyszerűségeket, mert már nem is láttuk őket egyszerűnek. Nemrég egy ettől radikálisan különbözőmegközelítés kapott hangot, komplexitáselmélet néven. Központi tétele, hogy a nagyfokú

egyszerűsítések nagyszámú komponens összetett kölcsönhatásából jönnek létre.Ebben az utolsó fejezetben három példát szeretnék mutatni a bonyolultságból kialakuló egyszerűségre.Nem a komplexitáselmélet teoretikusainak írásaiból vettem őket; ehelyett a modern alkalmazottmatematika egyik legfontosabb irányzatából választottam, a dinamikus rendszerek elméletéből. Kétokom volt erre. Az egyik: meg szeretném mutatni, hogy a komplexitáselmélet központi filozófiája azegész tudományban mindenütt függetlenül fel-felbukkan, anélkül, hogy bármilyen direkt mozgalomelősegítené. Csendes forradalom indult el, mint egy kis zümmögő forrás, és a buborékok már kezdikáttörni a felszínt. A másik ok, hogy mindegyik példa egy-egy régi-régi rejtvény megoldását mutatja bea matematikai mintákról a természet világában – és ezáltal a természetnek olyan jellegzetességeirenyitja rá a szemünket, amelyeket másképp nem vettünk volna észre. A három téma: a vízcseppekalakja, az állatpopulációk dinamikus viselkedése és végül a különös minták a virágsziromnumerológiájában, amelynek megoldását a nyitó fejezetben ígértem.Először térjünk vissza a csapból lassan csepegő víz kérdéséhez. Ez egyszerű mindennapi jelenség –mégis a káoszról tanulhattunk a példáján. Most a komplexitásról fogunk tanulni – ugyanezen példakapcsán.Most nem az egymás utáni cseppek közt eltelt időre figyelünk. Ehelyett megnézzük a csaptól elválócsepp alakját.Ez aztán igazán egyszerű, nem? Nyilván a klasszikus „könnycsepp” alak, inkább, mint egy ebihal;gömbölyű a fejénél, és bekanyarodik, hogy hegyes farokban végződjön. Végül is ezért hívjukkönnycsepp alaknak.Mégsem egyszerű. Sőt, nem is igaz.Mikor először hallottam erről a problémáról, főleg az lepett meg, hogy a választ nem találták meg márrégóta. Szó szerint könyvtárpolcok kilométereit tölti meg a folyadékok mozgásának tanulmányozása.Valaki csak vette ezek után a fáradságot, hogy megnézze, milyen alakú a vízcsepp?! Mégis, a koraiirodalom egyetlen korrekt ábrát tartalmaz, több mint száz éve Lord Rayleigh fizikustól, s az is olyanparányi, hogy alig lehet észrevenni. 1990-ben Howell Peregrine matematikus és munkatársai abristoli egyetemről lefényképezték a folyamatot, és rájöttek, hogy sokkal bonyolultabb – de sokkalérdekesebb is –, mint akárki hitte volna.Az elváló csepp kialakulása egy kiduzzadó csepp-pel kezdődik, amely a csap vége alkotta felületrőllóg. Dereka lesz, amely elkeskenyedik, és a cseppecske alsó része, úgy tűnik, a klasszikus könnycseppalakot veszi fel. Ám ahelyett, hogy lecsípődne és rövid, hegyes farkot alkotna, a derék hosszú,vékony, hengerszerű fonállá nyúlik, aminek végéről egy majdnem gömb alahú csepp lóg. Ekkor afonál elkezd vékonyodni, éppen ott, ahol a gömbbel találkozik, míg egyetlen pontot alakít ki. Ebben afázisban egy kötőtűt látunk, ami egy narancsot éppen hogy érint. Majd a narancs leesik a tűről, senyhén pulzál esés közben. De ez csak a sztori első fele. Ekkor a tű hegyes vége gömbölyödni kezd, ésenyhe hullámok haladnak benne fölfelé, a gyökeréhez, s így olyan lesz, mint egy gyöngyfüzér, agyöngyök pedig egyre kisebbek és kisebbek. Végül, a függő vízfonál a felső végénél egyetlen ponttákeskenyedik, és ez is leválik. Ahogy esik, felső vége kigömbölyödik, és hullámok bonyolult sorozatahalad a hossza mentén.

4. ábraA leeső vízcsepp alakjai, miközben leválik.

Remélem, az olvasó is olyan csodálatosnak tartja ezt, mint én. Sose hittem volna, hogy a hullóvízcseppek ilyen serények.Ezek a megfigyelések megmagyarázzák, miért nem vizsgálta senki korábban a problémát matematikairészletességgel. Túl nehéz. Amikor a csepp leválik, van egy szingularitás a problémában – ezen ahelyen a matematika nagyon csúnya szokott lenni. A szingularitás a „tű” hegye. De miért van ottszingularitás egyáltalán? 1994-ben J. Eggers és T. F. Dupont megmutatta, hogy a forgatókönyv afolyadékmozgás egyenleteinek következménye. Számítógépen szimulálták az egyenleteket, ésmegkapták ugyanazt a forgatókönyvet, mint Peregrine.Brilliáns munka volt. Valamilyen szempontból mégsem adja meg a teljes választ a kérdésemre.Megnyugtató, hogy a folyadékáramlás egyenletei előre jelezték az egész forgatókönyvet, de ezönmagában nem segít, hogy megértsem: miért ez a forgatókönyv, és nem más. Nagy különbség, ha csakkiszámítjuk a természet számait, vagy hogy törjük rajta a fejünket – ahogy Majikthise és Vroomfondel,mikor kijött: „negyvenkettő”.A további bepillantás a leváló csepp mechanizmusába X. D. Shi, Michael Brenner és Sidney Nagel(University of Chicago) munkája révén vált lehetővé. A megközelítés jellege már Peregririemunkájában is hasonló volt: speciális fajta, „hasonlósági megoldás” nevű megoldás afolyadékáramlási egyenletekre. Az ilyen megoldásnak van egy bizonyos szimmetriája, amelymatematikailag kezelhetővé teszi: struktúráját rövid idő elteltével megismétli kisebb méretekben. Shicsoportja továbbment, s megvizsgálta, hogyan függ a leváló csepp alakja a folyadék viszkozitásától.Víz és glicerin keverékeivel kísérleteztek, hogy különböző viszkozitásokat kapjanak. Számítógépesszimulációt is végeztek, és továbbfejlesztették az elméleti megközelítést is a hasonlóságimegoldásokkal. Azt kapták, hogy viszkózabb folyadékokra a fonál második szakasza előbbmegjelenik, mint ahogy a szingularitás kialakul, és a csepp leválik. Ekkor inkább valami olyat kapunk,mint egy narancs, felfüggesztve egy húrral egy kötőtű hegyére. Még nagyobb viszkozitásokra van egyharmadik szakasz – egy narancs, felfüggesztve egy gyapjúszállal egy húrra, az pedig egy kötőtűhegyére. S ahogy a viszkozitás nő, az elvékonyodások száma határtalanul növekszik – legalábbis haeltekintünk az anyag atomi struktúrájából következő korlátoktól.Csodálatos!A második példa a populációk dinamikájáról szól. Ennek a kifejezésnek a használata a matematikaimodellezésnek egy régi hagyományát tükrözi, ahol az egymással kölcsönhatásban levő lényekpopulációjának változását differenciálegyenletekkel reprezentálják. Példa volt erre az énvaddisznó/szarvasgomba rendszerem. Ugyanakkor nem teljes az ilyen modell biológiai realitása – ésnem is a szereplő élőlények megválasztása miatt. A valóságban a populációk méretét megszabómechanizmus nem egy Newton mozgástörvényével rokon „populációs törvény”. Nagyon sok más hatásis érvényesül, például véletlenszerűek (ki tudja ásni a vaddisznó a gombát, vagy egy szikla útját

állja?) vagy az egyenletekbe be nem vett változások (egyes nőstény vaddisznók több malacot ellenek,mint a többi).1994-ben Jackie McGlade, David Rand és Howard Wilson (University of Warvick) élvezetestanulmányt írtak, amely foglalkozik a biológiai szempontból reálisabb modellek és a hagyományosegyenletek viszonyával. Egy, a komplexitás-elméletben szokásos stratégiát követ: olyan számítógépesszimulációt folytat, ahol „ágensek” nagy tömege lép egymással kölcsönhatásba biológiai szempontbólkézenfekvő (bár erősen leegyszerűsített) szabályok szerint, és valamilyen nagyvonalú mintára próbálkövetkeztetni a szimulációból. Ebben az esetben a szimulációt a „sejtautomata” módszerével hajtottákvégre, amit úgy képzelhetünk, mint valamilyen számítógépes játékot. McGlade, Rand és Wilson,mivel hiányzott belőlük az én nagy szimpátiám a disznók iránt, a hagyományosabb róka-nyúl esetetvizsgálták. A számítógép képernyője négyzetekre oszlik, és minden négyzetnek van színe – mondjuk, avörös a rókát, a szürke a nyulat, a zöld a füvet, a fekete a csupasz sziklát jelenti. Felállítanak egyszabályrendszert is, hogy a főbb működő biológiai hatásokat modellezzék. Példák ilyen szabályokra:

• Ha egy nyúl egy fű mellett van, rálép és megeszi.• Ha egy róka egy nyúl mellett van, a pozíciójára lép, és megeszi.• A játék minden fázisában egy nyúl új nyulakat szül valamilyen valószínűséggel.• Ha egy róka bizonyos számú lépés eltelte után még nem evett, elpusztul.McGlade csoportja persze ennél bonyolultabb játékot játszott, de ebből a példából talán képet

lehet alkotni róla. A játék minden lépésében a gép veszi az aktuális konfigurációt (nyulak, rókák, fű,szikla), és a szabályokat alkalmazva generálja az új konfigurációt – feldobja a számítógép „kockáját”,ha véletlen választásokra van szükség. A folyamat több ezer lépésig folytatódik, egy „mesterségesökológia” ez, amely az életjátékot játssza egy képernyőn. Ez a mesterséges ökológia hasonlít egydinamikus rendszerhez, amennyiben ismételten ugyanazt a szabályegyüttest alkalmazza, de véletleneffektusokat is tartalmaz, ezért a modell egészen más matematikai kategóriába kerül: sztochasztikussejtautomaták – véletlen számítógépes játékok.Éppen mert az ökológia mesterséges, előfordulhat, hogy olyan kísérleteket végzünk, amelyeklehetetlenek vagy túl költségesek az ökológiai megvalósításhoz. Vizsgálhatjuk, hogyan változik azidőben a nyúlpopuláció egy adott területen, hogy megkapjuk a pontos számokat. Ez az, amibenMcGlade csoportja drámai és meglepő felfedezést tett. Azt vették észre, hogy ha egy területettúlságosan kicsinek választunk, véletlenszerű képet kapunk. Például, mi történik egyetlen négyzeten?Ez túlságosan bonyolult. Másrészt, ha túl nagy területet nézünk, csak egy kiátlagoltpopulációstatisztikát látunk, semmi mást. A kettő között valami kevésbé unalmasat kapunk.Kifejlesztettek hát egy technikát, hogy megtalálják azt a területméretet, ami a legtöbb érdekesinformációt szolgáltatja. Aztán egy ilyen méretű területet megfigyeltek, és feljegyezték a változónyúlpopulációt. A káoszelméletben kidolgozott módszerekkel azt nézték meg, vajon az adott sorozatdeterminisztikus vagy véletlenszerű, és ha determinisztikusnak találták, megvizsgálták az attraktorát.Ez elég furcsa ötletnek látszik, hiszen, amennyire tudjuk, a szimuláció szabályaiba nagyfokúvéletlenszerűség épül, mindenesetre ők ezt csinálták.Amit találtak, igen meglepő volt. A nyúlpopuláció dinamikájának 94%-a ebben a köztesnagyságrendben úgy tekinthető, mint determinisztikus mozgás egy kaotikus attraktoron anégydimenziós térben. Röviden, egy differenciálegyenlet mindössze négy változóban már megragadjaa nyúlpopuláció dinamikájának legfontosabb jellemzőit, összesen 6%-os hibával – a számítógépesjátékmodell jóval nagyobb bonyolultsága ellenére. Ez a felfedezés azt mutatja, hogy bizonyoskevésváltozós modellek reálisabbak lehetnek, mint ahogy azt eddig sok biológus feltételezte. Ennélmélyebb következmény, hogy a komplex ökológiai játékok finom struktúrájából adódhatnak egyszerű

jellemzések nagyméretű rendszerekre.Harmadik és egyben utolsó példám a természet matematikai szabályosságára, amely inkábbkomplexitásból, mint „a beépített szabályokból” következik, a virágok szirmainak száma. Az elsőfejezetben említettem, hogy a virágok többségénél a szirmok száma a 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89sorozat egy tagja. A konzervatív biológusok úgy vélik, hogy a virágok génjei tartalmaznak mindenilyen információt, és másról nincs is szó. Azonban, éppen mivel az élő szervezetekben bonyolult aDNS-láncnak az a része, amely meghatározza, hogy mely proteinekből épüljenek fel, és így tovább, agének mégsem határoznak meg mindent. S még ha meghatároznak is, nem közvetlenül. Például a génekmegmondják a növényeknek, hogyan készítsenek klorofillt, de nem mondják meg, milyen színűt. Haklorofill, akkor zöld – nincs választás. Így az élőlények néhány morfológiai jellemzője genetikaieredetű, mások a fizika, kémia és a növekedésdinamika következményei. A megkülönböztetésre azegyik fogódzó, hogy a genetikai hatások rugalmassága óriási, míg a fizika, kémia ésnövekedésdinamika matematikai szabályosságokat produkál.A növényeknél előforduló számok – nemcsak szirmok számai, hanem mindenféle más jellemzőké is –matematikai szabályosságot mutatnak. Az ún. Fibonacci-sorozat elejét alkotják, ebben a sorozatbanminden szám az előző kettőnek az összege. De nem csak a szirmok esetében találunk Fibonacci-számokat. Ha megnézünk egy óriási napraforgót, virágocskák egy figyelemre méltó mintáját látjukrajta – apró virágok, ezek amelyekből a végén mag lesz – a fejben. A virágocskák két, egymástátmetsző spirálcsaládba rendeződnek, az egyik az óramutató járásával egyező, a másik ellenkezőirányba. Egyes fajtáknál az első fajta spirálok száma 34, a másik fajtáé 55. Ez két egymás utániFibonacci-szám. A pontos számok a napraforgó fajtájától függnek, de gyakran találunk 34-et és 55-ötvagy 55-öt és 89-et, akár 89-et és 144-et, a következő Fibonacci-számot. Az ananásznak 8 sorpikkelye – gyémánt alakú dísze van –, ezek a sorok bal fele lejtenek, 13 pedig jobb fele.Leonardo Fibonacci 1200 körül fedezte fel sorozatát egy nyúlpopuláció növekedésével kapcsolatosprobléma vizsgálatakor. Nem annyira realisztikus modell volt ez, mint az „életjáték”-modell, amitfent tárgyaltam, de nagyon érdekes részeit jelentette a matematikának, mert ez volt az első ilyenfajtamodell és mert a matematikusok a Fibonacci-számokat elragadónak és önmagukért szépnek találják.Az erre a fejezetre szánt fő kérdés: ha a genetika akármilyen számú szirommal is elláthatja avirágokat, vagy az ananászt akármilyen számú pikkellyel, akkor miért tapasztaljuk a Fibonacci-számoknak ezt a túlsúlyát?A válasz feltehetően az, hogy a számokat egy olyan mechanizmus hozza létre, amely inkábbmatematikai, mint tetszőleges genetikai utasítás. A legesélyesebb egyfajta dinamikus feltétel anövényfejlődésre, ami természetes módon vezet a Fibonacci-számokhoz. Persze a jelenségekfélrevezetőek is lehetnek, lehet az egész is gének által vezérelt folyamat. Ha így van, szeretném tudni,hogyan kerültek a Fibonacci-számok a DNS-kódba, és miért éppen ezek. Lehetséges, hogy azevolúció eleve a természetes módon előadódó matematikai mintákkal kezdte, és a természeteskiválasztódás segítségével hangolta be őket. Úgy sejtem, sok ilyen történt – a tigris csíkjai, a lepkeszárnyai. Ez megmagyarázná, miért vannak a genetikusok meggyőződve arról, hogy a minták genetikaieredetűek, míg a matematikusok az ellenkezőjéről.A levelek, szirmok és a növények hasonló részeinek elrendeződéséről hatalmas irodalommalrendelkezünk. Azonban a korai megközelítések pusztán leíróak – nem magyarázzák meg, hogyanfüggnek össze a számok a növény fejlődésével, csak osztályozzák az elrendeződések geometriáját. Alegdrámaibb betekintést egy meglehetősen friss munka adja, Stéphane Douady és Yves Couder franciamatematikai fizikusoktól. Felállítottak egy elméletet a növényfejlődés dinamikájáról, és számítógépesmodelleket, valamint laboratóriumi kísérleteket használtak, hogy megmutassák: az elmélet

megmagyarázza a Fibonacci-mintát.

5. ábraPontok sorakoznak egymás után, 137,5°-os szögben egymáshoz képest egy szorosan megcsavartspirál mentén (amelyet nem ábrázoltunk), és természetes módon lazán megcsavart spirálok két

családjára oszlanak szét, amelyek szabad szemmel jól láthatók. Itt 8 spirál látszik az egyik, 13 amásik irányban – ezek egymást követő Fibonacci-számok.

Az alapgondolat régi. Ha megnézzük egy fejlődő növény friss hajtásának a csúcsát, már láthatjukazokat az apró darabkákat, amelyekből a növény összes fő tartozéka – levelek, szirmok,csészelevelek, virágocskák és minden más – kifejlődik majd. A csúcs közepén van egy kör alakúszövetterület, minden különösebb jelleg nélkül, neve csúcs (apex). A csúcs körül egyenként aprókidudorodások alakulnak ki, nevük primordium. Minden primordium elvándorol a csúcstól –pontosabban a csúcs növekedés közben eltávolodik a kidudorodástól és végül a kidudorodás levéllé,szirommá vagy hasonlóvá fejlődik. Továbbá, ezeknek a tartozékoknak az elrendeződése eldől már akezdetben, amikor a primordium kialakul. Nincs más hátra tehát, mint megmagyarázni, hogy magukbana primordiumokban miért látunk spirálokat és Fibonacci-számokat.Az első, amit meg kell értenünk, hogy a legszembeszökőbb spirálok nem alapvetőek. A legfontosabbspirál úgy keletkezik, hogy vesszük a primordiumokat megjelenési sorrendjükben. Az előbb megjelentprimordiumok távolabbra vándorolnak, így megjelenési sorrendjüket megállapíthatjuk a csúcstól valótávolságuk alapján. Azt találjuk, hogy az egymás utáni primordiumok elég ritkásan helyezkednek elegy szorosra tekert spirál mentén, aminek neve generatív spirál. Az emberi szem azért szúrja ki aFibonacci-spirálokat, mert olyan primordiumokból alakultak ki, amelyek egymás mellett jelennek mega térben. De csak az időbeli sorozat érdekes.A lényeges mennyiségi jellemző a szög az egymás utáni primordiumok közt. Képzeljük el, hogyfelrajzoljuk a vonalakat az egymás utáni primordiumok középpontjaiból az apex középpontjához. Azegymás utáni szögek majdnem egyenlőek; közös értéküket divergenciaszögnek nevezzük. Más szóval aprimordiumok egyenletesen helyezkednek el – ha a szögeket tekintjük – a generatív spirál mentén.Továbbá a szögek divergenciája általában nagyon közel van a 137,5°-hoz, amit először AugusteBravais kristallográfus és testvére, Louis hangsúlyoztak. Hogy lássuk, miért jelentős ez a szám,vegyünk két egymás utáni számot a Fibonacci-sorozatban: például a 34-et és az 55-öt. Mármostvegyük a megfelelő törtet, 34/55. Szorozzuk meg 360°-kal, és 222,5-öt kapunk. Mivel ez több 180°-nál, ellenkező irányban kell felmérnünk, vagy ki kell vonnunk 360-ból. Az eredmény 137,5°, aBravais-testvérek által megfigyelt érték.Az egymás utáni Fibonacci-számok aránya egyre közelebb kerül 0,618034-hez. Például34/55=0,6182, ami már igen közeli. A határérték (négyzetgyök alatt 5-1)/2, az ún. aranymetszésiszám, gyakran jelölik a görög (fi) betűvel. A természet hagyott egy rejtvényt a matematikusdetektíveknek: a szög az egymás utáni primordiumok között az aranyszög 360(1-fi)°=137,5°. 1907-

ben G. Van Iterson felkapta ezt a rejtvényt, és kiszámította, mi történik, ha egy szorosan összecsavartspirálra rátervezünk egymás utáni pontokat, 137,5°-os szögben. Ahogy a szomszédos pontok egymásután sorakoznak, az emberi szem kiválasztja egymáson áthatoló spirálok két családját – az egyiket azóramutató járása szerint, a másikat fordítva. A Fibonacci-számok és az aranymetszési szám köztiösszefüggés miatt a spirálok száma két családban két egymás utáni Fibonacci-szám. Hogy melyik, azta spirál szorossága dönti el. Hogy magyarázza ez a szirmok számát? Alapjában, vegyünk ugyanis egyszirmot a spirál széléről, éppen az egyik családból.Mindenesetre, csak azt kell megmagyaráznunk, miért zárnak be az egymás utáni primordiumokaranyszöget, ebből minden más következik.Douady és Couder dinamikus magyarázatot talált az aranyszögre. Ötleteiket H. Vogel 1979-es fontosmeglátására építették. Az ő elmélete is leíró – inkább az elrendezés geometriájára koncentrál, mint adinamikára, ami azt okozta. Számszerű kísérleteket végzett, amelyek erősen azt sugallták, hogy akkorrendezzük el a primordiumokat a leghatékonyabban, ha az egymás utáni primordiumok a generatívspirál mentén helyezkednek el aranyszögben. Például tegyük fel, hogy aranyszög helyett 90°-osszöggel próbálkozunk, ami osztója 360°-nak. Akkor az egymás utáni primordiumok négy sugárirányában helyezkednek el, amelyek keresztet alkotnak. Valójában, ha a divergenciaszög egész számútöbbszöröse a 360°-nak, akkor mindig sugár irányú vonalakat kapunk. Tehát nagy szakadások vannaka vonalak között, és nem rendeztünk elég hatékonyan. A konklúzió: hogy hatékonyan töltsük be a teret,olyan divergenciaszögre van szükség, ami 360°-nak irracionális többszöröse – hányadosuk nem kétegész szám hányadosa. De melyik irracionális szám? A számok vagy racionálisak, vagy nem –amilyen az egyenlőség George Orwell Állatfarmjában –, egyes számok irracionálisabbak, mint atöbbi. A számelmélet mesterei hoszú ideje tudják, hogy a legirracionálisabb szám az aranymetszésiszám. „Rosszul approximálható” racionális számokkal, és ha mérjük, mennyire rosszul, hát ez alegrosszabbul. Ebből, ha az okoskodást a feje tetejére állítjuk, következik, hogy az aranyszögben valóelrendezés a leghatékonyabb. Vogel számítógépes kísérletei ezt erősítik meg, de nem bizonyítják.A legfigyelemreméltóbb, amit Douady és Couder tett, hogy az aranyszöget az egyszerű dinamikakövetkezményeként kapták meg, nem pedig közvetlenül a hatékony elrendezésből. Feltételezték, hogybizonyos egymás utáni elemek – amelyek a primordiumokat képviselik – egyenlő időintervallumokbankeletkéznek valahol egy kis kör peremén, ami a csúcsot képviseli, és hogy ezek az elemek aztánelvándorolnak sugár irányban egy bizonyos kezdősebességgel. Ráadásul taszítják egymást – mintelektromos töltések vagy azonos polaritású mágnesek. Ez biztosítja, hogy a sugár irányú mozgásfennmarad, és hogy minden új elem olyan távol jelenik meg a közvetlen követőjétől, amennyire csaklehet. Fogadhatnánk, hogy egy ilyen rendszer teljesíteni fogja Vogel kritériumát a hatékonyelrendezésről, és azt várhatjuk, hogy az aranyszög magától előbukkan. És valóban előbukkan.Douady és Couder egy kísérletet végzett el – nem növényekkel, hanem egy kör alakú edénysegítségével, ami tele volt szilikonolajjal, s ezt függőleges mágneses mezőbe helyezték. Kicsicsöppeket csöpögtettek mágneses folyadékból szabályos időintervallumokban az edény közepére. Acseppek polarizálódtak a mágneses mezőtől és taszították egymást. Erősítést kaptak sugáriránybólúgy, hogy erősebbé tették a mágneses mezőt az edény szélén, mint a közepén. A megjelenő mintákattól függtek, hogy a cseppek közti intervallumok milyenek voltak. De az igazán kiugró mintában azegymás utáni cseppek spirál alakban helyezkednek el, olyan divergenciaszögben, ami az aranyszöghözvan közel, s összefűzött spirálok napraforgómagszerű mintáját adják. Douady és Couder ugyancsakvégzett komputeres számításokat, hasonló eredménnyel. Mind a két módszerrel azt találták, hogy adivergenciaszög a cseppek közti intervallumoktól valamilyen tekergőző görbék komplikált elágazásimintája szerint függ. A görbe minden két tekergőzés közti szakasza megfelel spirálszámok egy

speciális párjának. A főág nagyon közel van a 137,5°-os divergenciaszöghöz, és a mentén mindenlehetséges párt megtalálunk, ami egymás utáni Fibonacci-számokból képezhető az eredeti sorrendben.Az ágak közti szakadások „bifurkációkat” képviselnek, ahol a dinamika jelentős változásokon megyát.Persze, senki sem állítja, hogy a botanika annyira matematikai jellegű, mint ez a modell. Speciálisan,sok növényben a primordiumok előfordulásának aránya meg tud nőni vagy le tud csökkenni.Valójában a változások a morfológiában – például, hogy egy adott primordiumból levél lesz vagyszirom – gyakran járnak együtt az ilyen variációkkal. Így, amit a gének csinálnak, hat arra, hogymilyen lesz a primordiumok megjelenésének időbelisége. De a növényeknek nincs szükségük arra,hogy a génjeik megmondják nekik, hogyan helyezzék el a primordiumaikat: ezt megteszi a dinamika.Partnerkapcsolat ez a fizika és a genetika között, és nekünk mindkettőre szükségünk van ahhoz, hogymegértsük, miről van szó.Három példa, a tudománynak igen különböző területeiről. Mindhárom, a maga módján, csak felnyitjaa szemet. Mindegyik egy-egy esettanulmány a természet számainak eredete körül – mély matematikaiszabályosságok ezek, amelyeket a természet formáiban megtalálhatunk. És van egy közös fonál, egymélyebb tanulság bennük. Nem az, hogy a természet bonyolult. Nem, a természet, a maga ravaszmódján, egyszerű. Csakhogy éppen ezek az egyszerűségek nem mutatkoznak meg nekünk közvetlenül.Ehelyett a természet rejtvényeket hagy a matematikus-detektíveknek, hogy megfejtsék azokat.Élvezetes játék ez, a nézőnek is. És teljesen ellenállhatatlan egy matematikus Sherlock Holmesszámára.

EPILÓGUSMorfomatika

Van egy másik álmom. Első alkalommal a virtuális valótlanság gépről álmodtam, amely nem más,mint csupán technikai eszköz. Hozzásegíthet ahhoz, hogy láthatóvá tegyük a matematikaiabsztrakciókat, bátoríthat, hogy új intuícióhoz jussunk velük kapcsolatban, és félretegyük amatematikai kutatás fárasztó könyvelés-részét. Legfőképpen könnyebbé teszi a matematikusoknakszellemi tájuk feltérképezését. De mivel néha egy morzsányi újat is hozzátesznek ehhez a tájhoz,ahogy vándorolnak benne, a virtuális valótlanság gép alkotó szerepet is játszhatna. Biztos, hogy –legalábbis hasonlót – előbb-utóbb létrehoznak.A második álmomat „morfomatikának” hívom. Ez nem technika; ez gondolkodásmód. A kreatívjelentősége hatalmas volna. De nem tudom, hogy valaha is megvalósul-e, egyáltalán lehetséges-e.Remélem, hogy igen, mert szükségünk volna rá.A három példa az előző fejezetben – folyadékcseppek, rókák és nyulak, valamint szirmok –részleteikben nagyon különbözőek, de ugyanazt a filozófiai alapállást illusztrálják a világműködéséről. A gondolkodásnak ez a módja nem közvetlenül indul ki az olyan egyszerű törvényekből,mint a mozgástörvények, az olyan egyszerű minták felé, mint a bolygók ellipszis alakú pályája.Ehelyett az elágazó komplexitás hatalmas fáján halad végig, s ez a fa egy bizonyos szinten viszonylagegyszerű mintákká húzódik össze. Ez az egyszerű állítás: „a csepp leesik a csapról”, átmenetekelbűvölően összetett és meglepő sorozatán keresztül valósul meg. Még nem tudjuk, miért következneka folyadékáramlás törvényeiből ezek az átmenetek, bár van rá számítógépes bizonyítékunk, hogyléteznek. A hatás egyszerű, az ok nem. A rókák, a nyulak, a fű matematikai számítógépes játékotjátszanak bonyolult és valószínűségi jellegű szabályokkal. Mesterséges ökológiájuk fontos jellemzői94%-os pontossággal reprezentálhatók egy négyváltozós dinamikus rendszerben. És a szirmok száma

egy növényen komplex dinamikus kölcsönhatások következménye az összes primordium között, amitörténetesen, az aranyszögön keresztül, a Fibonacci-számokhoz vezet. A Fibonacci-számok megfejtenivaló rejtvények a matematikus Sherlock Holmesok számára – nem ezek a legfőbb gonosztevők. Ebbenaz esetben Moriarty a dinamika, nem pedig a Fibonacci-számok – a természet mechanizmusai, nem aszámai.Van egy közös tanulság ebben a három matematikai mesében: a természet mintái „keletkezőben lévő”jelenségek. A komplexitás óceánjából keletkeznek, mint Botticelli Vénusza a maga félkagylójából –előhírnök nélkül, meghaladva eredetüket. Nem közvetlen következményei a természeti törvények mélyegyszerűségeinek; ezek a törvények nem a megfelelő szinten hatnak ehhez. Kétségtelenül közvetettkövetkezményei a természet mély egyszerűségeinek, de az út októl okozatig olyan bonyolult, hogysenki sem tudná minden lépését bejárni.Ha tényleg meg akarjuk ragadni a minta keletkezését, új tudományos megközelítésre van szükségünk,amely össze tud fogni a hagyományos módszerekkel, ezek a törvényekre és egyenletekre helyezik ahangsúlyt. Ilyenek a számítógépes szimulációk, de többre is szükségünk van. Nem elégedhetünk megazzal, hogy egy minta előfordul, mert a számítógép ezt állítja. Akarjuk tudni, miért. Ez pedig aztjelenti, hogy ki kell fejlesztenünk egy új matematikát, ami a mintákkal mint mintákkal foglalkozik, ésnem csupán mint mikroszkopikus kölcsönhatások eredőjével.Nem azt akarom, hogy helyettesítsük az aktuális tudományos gondolkodást, amely hosszú-hosszú útonkísért minket. Valami olyat szeretnék kifejleszteni, ami kiegészíti. A jelenlegi matematikalegfontosabb jellemzője az általános elvek és absztrakt struktúrák előtérbe helyezése – a minőségi, amennyiségi helyett. Ernest Rutherford, a nagy fizikus egyszer megjegyezte, hogy „a minőségi csakelszegényített mennyiségi”, ez az attitűd elavult. Rutherford mondását feje tetejére állítva, amennyiségi csak elszegényített minőségi. A szám csak egy a matematikai minőségek hatalmassokaságából, amelyek segítenek megérteni és leírni a természetet. Soha nem fogjuk megérteni egy fanövekedését vagy a dűnéket a sivatagban, ha megpróbáljuk a természet szabadságát numerikussémákra egyszerűsíteni.Megérett az idő egy újfajta matematika kifejlesztésére, amely rendelkezik a megfelelő intellektuálisszigorral, hisz ez húzódott meg Rutherford kritikája mögött is a felületes minőségi érvelések ellen, deaminek sokkal több a rugalmassága a koncepciók tekintetében. Szükségünk van egy effektívmatematikai formaelméletre, ezért hívom az álmom „morfomatikának”. Sajnos a tudománynak sok ágaéppen az ellenkező irányban indult el. Például gyakran a DNS-programot tekintik az élőlényekben aforma és minta egyetlen kulcsának. Ugyanakkor a biológiai fejlődésről szóló jelenlegi elméletek nemmagyarázzák meg, miért van jelen annyi minta a szerves és a szervetlen világban. A DNS talándinamikus szabályokat kódol a fejlődés számára, de nem kódolja a végső formákat. Ha így van, azaktuális elméletek nem vesznek tudomást a fejlődési folyamat lényeges elemeiről.A gondolat, miszerint a matematika mélyen szerepet játszik a természeti formákban, D'ArcyThompsonig nyúlik vissza; sőt az ókori görögökhöz, vagy még inkább a babiloniakhoz. Viszont csaknemrégen kezdtük el a megfelelő matematikafajta kifejlesztését. Eredeti matematikai sémáinktúlságosan rugalmatlanok voltak, a ceruza és a papír feltételeihez szabottak. Például D'ArcyThompson hasonlóságokat vett észre különböző élőlények alakja és a folyadékok áramlási mintáiközt, de a folyadékdinamika a jelenlegi szinten olyan egyenleteket használ, amelyek túl egyszerűek azélőlények modellezésére.Ha egy egysejtűt figyelünk mikroszkópon, a legcsodálatosabb benne a cél látható érzéke amozgásában. Valóban úgy fest, mintha tudná, merre megy. Nagyon konkrét módon válaszolkörnyezetének hatásaira és belső állapotára. A biológusok most kezdik megfejteni a sejtmozgás

mechanizmusait, és ezek a mechanizmusok sokkal összetettebbek, mint a klasszikus folyadékdinamika.Egy sejt legfontosabb tartozéka egy úgynevezett citoszkeleton (sejtcsontváz), csövek gubancoshálózata, amely szalmabálára emlékeztet, és merev belső állványzatot biztosít a sejt számára. Acitoszkeleton elbűvölően rugalmas és dinamikus. Teljesen el tud tűnni valamilyen vegyianyaghatására, és meg tud növekedni ott, ahol támasztékra van szükség. A sejt úgy mozog, hogy letépimagáról a citoszkeletont, és valahol másutt újra fölveszi.A citoszkeleton fő komponense a tubulin, amit korábban a szimmetriával kapcsolatban említettem.Ahogy ott mondtam, ez a figyelemre méltó molekula két egységből álló hosszú cső, alfa- és béta-tubulinból, a sakktábla fekete-fehér kockáihoz hasonló elrendezésben. A tubulinmolekula újabbegységek felvételével növekszik, illetve a csúcsról lehasított egységekkel kisebbedik. Sokkalgyorsabban kisebbedik, mint ahogy nő, de mindkét tendencia stimulálható megfelelő vegyianyagokkal.A sejt úgy változtatja struktúráját, hogy horgászni megy a tubulinból készült pecabotokkal a biokémiaitengerbe. Maguk a pecabotok a vegyianyagoknak felelnek meg, amelyek kitágítják, összehúzzák vagykörkörös hullámzó mozgásra késztetik őket. Amikor a sejt osztódik, széthúzza magát egy sajátkészítésű tubulinhálón.Ez persze nem hagyományos folyadékdinamika. De tagadhatatlanul bizonyos fajta dinamika. A sejtbenlevő DNS tartalmazhat utasítást arra, hogyan készítsen tubulint, arra viszont nem, miképp viselkedjena tubulin, ha találkozik egy speciális vegyianyaggal. E viselkedésforma a kémia törvényeinekengedelmeskedik – nem tudjuk jobban megváltoztatni új DNS-utasításokkal, mint arra késztetni egyelefántot DNS-utasításokkal, hogy a füleit lebegtetve repüljön. Mi a folyadékdinamikai analógia akémiai tengerben úszó tubulinhálózatra? Senki sem tudja még, s ez nyilván kérdés mind a matematika,mind a biológia számára. Ez a probléma nem példa nélkül álló: a folyadékkristályok dinamikája, ahosszú molekulák formamintáinak elmélete ad fel hasonló rejtvényeket. A citoszkeleton dinamikájaazonban sokkal bonyolultabb, mert a molekulák tudják változtatni méretüket, és teljesen szét is tudnakesni. Egy jó dinamikai elmélet a citoszkeletonra nagy segítség lenne a morfomatikának, ha aleghalványabb sejtelmünk volna, hogyan értsük meg matematikailag a citoszkeletont. Valószínűtlen,hogy a differenciálegyenletek lennének a megfelelő eszköz, tehát a matematikának teljesen újterületeire van szükség.Nagy feladat. De mindig így fejlődött a matematika. Amikor Newton meg akarta érteni a bolygókmozgását, nem volt kalkulus, ő megalkotta. A káosz elmélete nem létezett, amíg a matematikusok éstermészettudósok nem kezdtek el érdeklődni ilyenfajta kérdések iránt. A morfomatika ma nem létezik;de hiszem, hogy kis morzsái és darabkái már igen – dinamikus rendszerek, káosz, szimmetriatörés,fraktálok, sejtautomaták, hogy csak néhányat említsek.Itt az ideje, hogy összerakjuk a morzsákat. Mert csak ekkor értjük meg igazán a természet számait – segyben a természet formáit, struktúráit, viselkedésformáit, interakcióit, folyamatait, fejlődését,metamorfózisait, evolúcióját, forradalmait...Talán sohasem jutunk el idáig. Ám jó mulatság lesz megpróbálni.

Bibliográfia és további olvasmányok1. FEJEZETStewart, Ian – Golubitsky, Martin: Fearful Symmetry, Blackwell, Oxford, 1992.Thompson, D'Arcy: On Growth and Form, Cambridge University Press, Cambridge, 1972. 2. FEJEZET

Dawkins, Richard: The Eye in a Twinkling, Nature, 368, 1994, 690-691.Kline, Morris: Mathematics In Western Culture, Oxford University Press, Oxford, 1953.Nilsson, Daniel E. – Pelger, Suzanne: A Pessimistic Estimate of the Time Required for an Eye to

Evolve, Proceedings of the Royal Society of London, B 256, 1994, 53-58. 3. FEJEZETMcLeish, John: Number, Bloomsbury, London, 1991.Schmandt-Besserat, Denise: From Couting to Cuneiform, 1. kötet, Before Writing, University of

Texas Press, Austin, 1992.Stewart, Ian: The Problems of Mathematics, 2. kiadás, Oxford University Press, Oxford, 1992. 4. FEJEZETDrake, Stillman: The Role of Music in Galileo's Experiments, Scientific American, 1975/június,

98-104.Keynes, John Maynard: Newton, the Man, in: The World of Mathematics, 1. kötet, James R.

Newman (szerk.): Simon & Schuster, New York, 1956, 277-285.Stewart, Ian: The Electronic Mathematician, Analog, 1987/január, 73-89.Westfall, Richard S.: Never at Rest: A Biography of Isaac Newton, Cambridge University Press,

Cambridge, 1980. 5. FEJEZETKline, Morris: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press,

Oxford, 1972. 6. FEJEZETCohen, Jack – Stewart, Ian: Let T Equal Tiger..., New Scientist, 1993/november 6., 40-44.Field, Michael J. – Golubitsky, Martin: Symmetry in Chaos, Oxford University Press, Oxford,

1992.Stewart, Ian – Golubitsky, Martin: Fearful Symmetry, Blackwell, Oxford, 1992. 7. FEJEZETBuck, John – Buck, Elisabeth: Synchronous Fireflies, Scientific American, 1976/május, 74-85.Gambaryan, P. P.: How Mammals Run: Anatomical Adaptations, Wiley, New York, 1974.Mirollo, Renato – Strogatz, Steven: Synchronization of Pulse-Coupled Biological Oscillators,

Siam Journal of Applied Mathematics, 50, 1990, 1645-1662.Smith, Hugh: Synchronous Flashing of Fireflies, Science, 82, 1935, 51.Stewart, Ian – Golubitsky, Martin: Fearful Symmetry, Blackwell, Oxford, 1992.Strogatz, Steven – Stewart, Ian: Coupled Oscillators and Biological Synchronization, Scientific

American, 1993/december, 102-109. 8. FEJEZETAlbert, David Z.: Bohm's Alternative to Quantum Mechanics, Scientific American, 270,

1994/május, 32-39.Garfinkel, Alan – Spano, Mark L. – Ditto, William L. – Weiss, James N.: Controlling Cardiac

Chaos, Science, 257, 1992, 1230-1235.

Gleick, James: Chaos: Making a New Science, Viking Penguin, New York, 1987.Shinbrot, Troy – Grebogi, Celso – Ott, Edward – Yorke, James, A.: Using Small Perturbations

to Control Chaos, Nature, 363, 1993, 411-417.Stewart, Ian: Does God Play Dice?, Blackwell, Oxford, 1989. 9. FEJEZETCohen, Jack – Stewart, Ian: The Collapse of Chaos, Viking, New York, 1994.Douady, Stéphane – Couder, Yves: Phyllotaxis as a Physical Self Organized Growth Process,

Physical Review Letters, 68, 1992, 2098-2101.Peregrine, D. H. – Shoker, G. – Symon A.: The Bifurcation of Liquid Bridges, Journal of Fluid

Mechanics, 212, 1990, 25-39.Shi, X. D. – Brenner Michael P. – Nagel Sidney R.: A Cascade Structure in a Drop Falling from

a Faucet, Science, 265, 1994, 219-222.Waldrop, M. Mitchell: Complexity: The Emerging Science at the Edge of Order and Chaos,

Simon & Schuster, New York, 1992.Wilson, Howard B.: Applications of Dynamical Systems in Ecology, doktori értekezés,

Unniversity of Warwick, 1993. EPILÓGUSCohen, Jack – Stewart, Ian: Our Gerces Aren't Us, Discover, 1994/április, 78-83.Goodwin, Brian: How the Leopard Changed Its Spots, Weidenfeld & Nicolson, London, 1994.

Magyar nyelvű ajánlott irodalom1. FEJEZETLánczos Kornél: Számok mindenütt, Gondolat Kiadó, Budapest, 1977.Rényi Alfréd: Dialógusok a matematikáról, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1969.Rényi Alfréd: Levelek a valószínűségről, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1967.Stewart, Ian: Matematikai problémák, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1991. 2. FEJEZETSain Márton: Nincs királyi út! Gondolat Kiadó, Budapest, 1986.Simonyi Károly: A fizika kultúrtörténete, Gondolat Kiadó, Budapest, 1986. 3. FEJEZETWaerden, B. L. van der: Egy tudomány ébredése, Gondolat Kiadó, Budapest, 1977.Neugebauer Ottó: Egzakt tudományok az ókorban, Gondolat Kiadó, Budapest, 1984.Szabó Árpád: A görög matematika kibontakozása, Magvető, Budapest, 1978. 4. FEJEZETStauffer, D. – Stanley, H. E.: Newtontól Mandelbrotig (Bevezetés az elméleti fizikába), Springer

Hungarica, Budapest, 1994.Vekerdi László: Így élt Newton, Móra Könyvkiadó, Budapest, 1972.Jauch, Joseph M.: Galileo Galilei pere, in: Fizika '77, Gondolat Kiadó, Budapest, 1977.Tímár László: Galileo Galilei, Galilei Társaság, Budapest, 1991.

5. FEJEZETStruik D. J.: A matematika rövid története, Gondolat Kiadó, Budapest, 1958. 6. FEJEZETWeyl, Hermann: Szimmetria, Gondolat Kiadó, Budapest, 1982.Hargittai Magdolna – Hargittai István: Fedezzük föl a szimmetriát! Tankönyvkiadó, Budapest,

1989.Wigner Jenő: Csoportelméleti módszer a kvantummechanikában, Akadémiai Kiadó, Budapest,

1980.Wigner Jenő: Szimmetriák és reflexiók, Gondolat Kiadó, Budapest, 1972.Vicsek Tamás: Fraktálnövekedés, in: A szilárdtestkutatás újabb eredményei, No. 22. Akadémiai

Kiadó, Budapest, 1990. 7. FEJEZETWeisskopf, Victor R: Az egyszerűség nyomában, Természet Vikíga, Budapest, 1989.Eigen, Manfred – Winkler, Ruthild: A játék – Természeti erők irányítják a véletlent , Gondolat

Kiadó, Budapest, 1981. 8. FEJEZETNeumann János: A kvantummechanika matematikai alapjai, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1980.Blohincev, D. I.: A kvantummechanika elvi kérdései – Kvantummechanikai méréselmélet,

Gondolat Kiadó, Budapest, 1987.Marx György: Életrevaló atomok, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1978.Broglie, Louis de: Válogatott tanulmányok, Gondolat Kiadó, Budapest, 1968.Bröckner, Bernhard: Atomfizika, SH-Atlasz, Springer Hungarica, Budapest, 1995. 9. FEJEZETArnold, V I.: A mechanika matematikai módszerei, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1985.Haken, Hermann: Szinergetika (bevezető tankönyv), Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1984.Szépfalusy Péter – Tél Tamás (szerk.): Káosz, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1982.

Jegyzetek1 Az alakulóban lévő magyar terminológia miatt a „minta” és „mintázat” egyaránt használható. (A

szaklektor megj.)2 Ezt a magyarázatot és egyebeket a Jack Cohennel közösen írt, The Collapse of Chaos (A káosz

összeomlása) című könyvben tárgyaljuk (Viking, New York, 1994).3 A játék szellemének érzékeltetésére magyarul is készítettünk egy változatot – miként lesz a

NAPOS-ból BORÚS. (A szaklektor megj.)4 Quod erat demonstrandum (latin) = amit bizonyítani kellett, ahogy az Eukleidész latin

forrásaiból közkinccsé vált. (A szaklektor megj.)5 Vegyük ezt leszűkítő szóhasználatnak, ugyanis sok transzformáció nem helyettesíthető

mozgatással. (A szaklektor megj.)6 A pontos recept megtalálható Jack Cohen – Ian Stewart The Collapse of Chaos című könyvének

jegyzetei között.7 A számítástechnikában használt fogalom. Addig van érvényben, amíg további utasítás nem

érkezik. (A szaklektor megj.)8 Egyben szellemes szójáték, ugyanis leg (angol) = láb. (A szaklektor megj.)9 A modern természettudomány és a modern ismeretelmélet közös törekvése, hogy megtalálja azt a

legátfogóbb elméletet, amely minden létező lényegét meg tudja ragadni. Ez természetesen nem azonosa világmindenség elméletével, márcsak azért sem, mert ez utóbbi a minden létezőnek végső soronotthont nyújtó „valami” absztrakciójának és nem a „lakók” absztrakciójának az elmélete. E törekvésekrészben a matematika (differenciálgeometria, topológia stb.), részben a kozmológia spekulációibólnőttek ki. Más kérdés, hogy milyen sikerekben reménykedhetünk. (A szaklektor megj.)

TartalomELŐSZÓA természet rendjeMire jó a matematika?Miről szól a matematika?A változás állandóiA hegedűktől a videókigA sérült szimmetriaAz élet ritmusaA kockák Istent játszanak?Cseppek, dinamika és százszorszépekEPILÓGUSBibliográfia és további olvasmányokMagyar nyelvű ajánlott irodalomJegyzetek