I. SISTEM KOORDINAT

Geometri Analit

I. SISTEM KOORDINAT

1. Letak Titik pada Garis (R1)

Letak sebuah titik pada suatu garis lurus ditentukan oleh

jarak titik tersebut terhadap sebuah titik yang disebut

sebagai titik nol atau titik asal/origin yang diberi notasi O

dan keberadaan titik di sebelah kiri atau sebelah kanan titik

O. Dengan kata lain garis lurus tersebut dipandang sebagai

garis bilangan. Sebuah titik dinyatakan dengan koordinat,

misalkan titik A(3) berarti titik A terletak 3 satuan

disebelah kanan titik O dan titik B(-4) berarti titik B

terletak 4 satuan di sebelah kiri titik O, seperti

direpresentasikan pada Gambar 1.

Dimisalkan dua buah titik A(x1) dan B(x2), maka jarak titik

A ke B adalah | x2- x1|. Pada Gambar 2 (a) x1< x2 dimana

titik A(-2) dan B(3), maka jarak AB = |3-(-2)| = 5, dan pada

Gambar 2 (b) x1> x2 dimana titik A(3) dan B(-4), maka jarak AB

= |-4-3| = 7.

LIN-FSM-UKSW/Geometri Analit

Gambar 1. Letak Titik pada Garis Lurus

Gambar 2. Jarak Dua Titik pada Garis

1

Geometri Analit

2. Letak Titik pada Bidang (R2)

Untuk menentukan letak titik pada bidang datar (R2),

digunakan sistem koordinat, diantaranya Sistem Koordinat

Kartesius, yang terdiri dari dua buah garis bilangan yang

saling berpotongan. Garis mendatar disebut sumbu-X dan garis

vertikal disebut sumbu-Y. Kedua sumbu berpotongan di sebuah

titik yang disebut sebagai titik asal atau titik origin yang

biasanya dinotasikan dengan O. Sistem Koordinat Kartesius

dengan sumbu-sumbu yang saling tegak lurus direpresentasikan

pada Gambar 3. Kedua sumbu koordinat ini membentuk bidang

koordinat XOY dan membagi bidang koordinat tersebut atas 4

bagian yang masing-masing disebut kuadran. Kuadran I dibatasi

oleh sumbu-X positif dan sumbu-Y positif; kuadran II

dibatasi oleh sumbu-X negatif dan sumbu-Y positif; kuadran

III dibatasi oleh sumbu-X negatif dan sumbu-Y negatif;

kuadran IV dibatasi oleh sumbu-X positif dan sumbu-Y negatif.

Letak titik pada bidang

koordinat dinyatakan dengan

koordinat yang dinotasikan

sebagai (x,y). Misalkan

titik A(x,y), x merupakan

koordinat pada sumbu-X dan

disebut absis atau

koordinat-x, y merupakan

koordinat pada sumbu-Y

LIN-FSM-UKSW/Geometri AnalitGambar 3. Bidang Koordinat Kartesius

2

Geometri Analit

disebut ordinat atau

koordinat-y. Titik O

mempunyai koordinat (0,0).

Pada Gambar 3. terlihat

beberapa contoh koordinat

titik yaitu A(4,3) di

kuadran I, B(-3,2) di

kuadran II, C(-2,-2) di

kuadran III dan D(2,-1) di

kuadran IV.

Jarak antara dua buah titik pada bidang koordinat adalah

panjang segmen garis yang terbentuk oleh kedua titik

tersebut. Misalkan diketahui titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2), maka

jarak titik P ke Q adalah panjang segmen garis PQ yang dapat

ditentukan berdasarkan teorema Pythagoras.

PQ=√(PQ')2+(QQ' )2

PQ=√(x2−x1 )2+(y2−y1)2

Jika T(xT,yT) adalah titik

tengah PQ, maka :

xT=x1+x2

2 dan yT=y1+y2

2

Jika titik R(xR,yR)

terletak pada PQ sehingga

PR : RQ = m : n, maka

koordinat R adalah :

xR=mx2+nx1

m+n dan

yR=my2+ny1

m+n


Gambar 4. Jarak Dua Titik

3

Geometri Analit

Jika mn=λ , maka koordinat R menjadi xR=

x1+λx21+λ dan

yR=y1+λy21+λ

Contoh:

Diketahui titik A(-3,1) dan B(5,7), maka panjang AB =

√ (5−(−3))2+(7−1 )2 = 10. Jika P terletak ditengah-tengan AB,

maka koordinat P yaitu xP=(-3+5)/2=1, yP=(1+7)/2=4 atau

P(1,4). Jika titik R terletak pada segmen garis AB sedemikian

sehingga AR:RB=2:3, maka koordinat R adalah

xR=(2.5+3.-3)/(2+3)=1/5, yP=(2.7+3.1)/(2+3)=32/5 atau R(1/5,

32/5).

3. Letak Titik pada Bidang (R3)

Letak titik pada ruang (R3) ditentukan berdasarkan jarak

titik tersebut pada 3 bidang koordinat yang saling

berpotongan di satu titik, yaitu titik asal O. Masing-masing

bidang koordinat terbentuk dari 2 garis bilangan atau sumbu

koordinat. Terdapat 3 buah sumbu koordinat yaitu sumbu-X,

sumbu-Y dan sumbu-Z. Dalam hal ini sistem koordinat ruang

yang digunakan adalah sistem koordinat dengan ketiga sumbu

koordinatnya saling berpotongan tegak lurus di titik O atau

bidang-bidang koordinatnya juga saling tegak lurus satu

dengan lainnya. Sistem koordinat ruang direpresentasikan pada

Gambar 5. Tiga bidang koordinatnya adalah bidang XOY,

terbentuk dari sumbu-X dan sumbu-Y, bidang XOZ terbentuk dari

sumbu-X dan sumbu-Z serta bidangYOZ terbentuk dari sumbu-Y


Gambar 6. Koordinat Titik dalam

4

Geometri Analit

dan sumbu-Z. Bidang-bidang koordinat ini membagi ruang atas 8

buah kuadran.

Pada Gambar 6. letak titik A dinyatakan dengan koordinat

(x,y,z). Proyeksikan titik A ke bidang-bidang koordinat.

Titik A1 adalah proyeksi

titik A ke YOZ, AA1 = x,

titik A2 adalah proyeksi

titik A ke XOZ, AA2 = y,

dan titik A3 adalah

proyeksi titik A ke XOY,

AA3 = z. Koordinat A(x,y,z) ,

x disebut absis titik A, y

disebut ordinat titik A dan

z disebut aplikat titik A.

Pada Gambar 7. terdapat

contoh koordinat beberapa

titik dalam ruang, yaitu


Gambar 6. Koordinat Titik dalam

Gambar 7. Contoh Koordinat Titikdalam Ruang

5

Geometri Analit

A(3,3,2), B(-3,-2,2) dan

C(-2,2,-2).

Diketahui 2 buah titik A(x1,y1,z1) dan B(x2,y2,z2), maka jarak

dari titik A ke B adalah panjang segmen garis AB.

Perhatikan Gambar 8. ∆ABB’

siku-siku di B’. A’B”

proyeksi AB dan AB’=A’B”.

∆A’CB” siku-siku, maka

(A’B”)2 = (A’C)2 + (B”C)2

Pada ∆ABB’ berlakulah :

(AB)2 = (AB’)2 + (B’B)2

(AB)2 = (A’C)2 + (B”C)2 +

(B’B)2

(AB)2 = (x2-x1)2 + (y2-y1)2 +

(z2-z1)2

Jadi jarak dari A ke B

adalah :

AB=√ (x2−x1)2+(y2−y1 )2+(z2−z1)2

Jika titik P(xP,yP,zP) terletak pada garis AB sehingga AP:PB =

m: n, maka koordinat titik P adalah :

xP=mx2+nx1

m+n,yP=

my2+ny1m+n

,zP=mz2+nz1

m+nContoh :

Diketahui titik A(-3,2,5) dan B(1,-3,2) maka panjang AB =

√ (1−(−3))2+(−3−2 )2+(2−5)2 = 5√2. Jika P terletak ditengah-tengan AB, maka koordinat P yaitu xP=(-3+1)/2=-1, yP=(2-3)/2=-


Gambar 8. Jarak dua Titik

6

Geometri Analit

½, zP=(5-2)/2=1½ atau P(-1, -½, 1½). Jika titik R terletak

pada segmen garis AB sedemikian sehingga AR:RB=2:3, maka

koordinat R adalah xR=(2.1+3.-3)/(2+3)= -12/5,

yP=(2.-3+3.2)/(2+3)=0, zP=(2.2+3.5)/(2+3) = 34/5 atau R(-12/5,

0, 34/5).

4. Transformasi Koordinat

4.1 Translasi sumbu koordinat

Translasi sumbu koordinat merupakan penggeseran sumbu-

sumbu koordinat (bidang koordinat) dengan besar dan arak

tertentu. Dimisalkan terdapat titik P(x,y) dan O’(α,β)

pada bidang koordinat XOY.

Perhatikan Gambar 9.

sumbu-sumbu koordinat

ditranslasikan sedemikian

sehingga titik O(0,0)

berimpit dengan titik

O’(α,β). Jadi sumbu-X

berpindah menjadi sumbu-

X’ dan sumbu-Y menjadi

sumbu-Y’, dan terbentuk

bidang koordinat yang

baru (hasil translasi)

yaitu X’O’Y’. Misalkan

titik P(x,y) pada bidang

koordinat X’O’Y’ diberi

nama menjadi P’(x’,y’),


Gambar 9. Translasi Sumbu Koordinat

7

Geometri Analit

maka koordinat P’

adalah :

x’ = x – α dan y’ = y –

β

Contoh :

Titik P(6,8) pada sistem XOY.

Jika O digeser menjadi O’(2,1), maka koordinat P pada

sistem koordinat yang baru adalah x’ = x – α = 6 -2 =

4

y’ = y – β = 8 -1 = 7

jadi : P’(4,7)

Jika O digeser menjadi O`(-3,-5), maka koordinat P

pada sistem koordinat yang baru adalah : x’ = 6 – (-

3) = 9

y’ = 8 – (-5) = 13

jadi : P’(9,13)

4.2 Rotasi sumbu koordinat

Rotasi sumbu koordinat adalah pemutaran sumbu-sumbu

koordinat pada titik asal O dengan sudut putar sebesar θ.

Andaikan P(x,y) adalah sembarang titik pada bidang

koordinat XOY. Setelah sumbu-sumbu koordinat dirotasi

terhadap O dan sudut putar sebesar θ, maka koordinat P

terhadap sumb-sumbu koordinat yang baru adalah x’ dan y’.

Perhatikan Gambar 10, akan ditentukan x dan y dalam

kaitannya dengan x’ , y’ dan θ.

x = OQ’ = OR’ – QR’

x = OR cos θ – PR sin θ

LIN-FSM-UKSW/Geometri Analit 8

Geometri Analit

x = x’cos θ – y’sin θ

y = Q’P = Q’Q + QP = R’R

+ QP

y = OR sin θ + PR cos θ

y = x’sin θ + y’cos θ

Contoh : Koordinat P(3,5)

pada bidang koordinat

hasil perputaran sumbu-

sumbu koordinat terhadap

O sebesar θ =450, adalah :

x = x’cos θ – y’sin θ y = x’sin θ + y’cos θ

3 = x’cos 450 – y’sin 450 5 = x’sin 450 + y’cos 450

3= ½√2 x’ - ½√2 y’ …(1) 5= ½√2 x’ + ½√2 y’ …(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh (x’,y’) = (4√2, √2).

Jadi titik P pada bidang koordinat yang baru mempunyai

koordinat P(4√2, √2).


Y

O

P(x1,y1)

X

Gambar 6.

L2P2P1garis kuasaCL2BML1AP1P2Garis kuasag2L1L3L2Sg3g1Garis kuasakO

Geometri Analit

II. GARIS LURUS

1. Garis Lurus

Sebuah garis lurus dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan

yang menyatakan hubungan tetap antara koordinat-koordinat

semua titik yang terletak pada garis tersebut. Hubungan

tersebut dinyatakan dalam bentuk fungsi linear, dimana y

sebagai peubah tak bebas dan x sebagai peubah bebas. Dengan

kata lain bahwa setiap koordinat titik pada garis tersebut

harus memenuhi persamaan garisnya.

Persamaan garis dapat dinyatakan dalam bentuk

eksplisit, yaitu : y = mx

+ n

implisit, yaitu : Ax +

By + C = 0

Persamaan garis bentuk eksplisit dapat diubah ke bentuk

implisit dan sebaliknya, dengan memperhatikan hubungan :

m=−AB

dan n=−CB

1.1 Koefisien arah

Setiap bagian dari

garis mempunyai arah

yang tetap, sehingga

membentuk sudut

terhadap sumbu-x.

Misalkan garis l : y =

mx + n membentuk sudut

dengan sumbu-x


y = mx


Y

O

P(x,y)

X

Gambar 6.

Geometri Analit

positif. m disebut koefisien arah atau gradient dari garis l,

dimana

m = tg

diukur dari sumbu-x positif berlawanan dengan arah jarum

jam ke garis l (0o<=<180o)

Jika titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) terletak pada garis l maka

koefisien arahnya :

m = tg α =

y2−y1x2−x1

1.2 Persamaan garis melalui O(0,0)

Ambil sembarang titik P(x,y) pada l

tg α=

yx

⇔

y = tg α . x tg α= m

Maka :

Adalah persamaan garis lurus melalui O dengan koefisien arah m


x

x

O’= P(x1,y1)

OGambar 7.

Geometri Analit

1.3 Persamaan garis melalui (0,n) dan koefisien arah m

Translasikan sumbu koordinat XOY hingga titik O(0,0) berimpitdengan O`(0,n), maka persamaan garis melalui O’ pada sistem koordinat yang baru adalah :

y= m xsedang x= x−0= x dan y= y− n . Substitusikan x dan y paday= m x .Diperoleh y−n= mx atau y=mx+n

Jadi y = mx + n adalah persamaan garis yang melalui (memotong sumbu-y di ) titik (0,n) dan memotong sumbu-x di (–n/m,0)

1.4 Persamaan garis melalui ( x1, y1 ) dan koefisien arah m

Translasikan sumbu koordinat XOY hingga titik O(0,0) berimpit dengantitik P(x1,y1) . Titik P atau O’ sebagai titik asal dari sistem koordinat yang baru. Persamaan garis yang melalui O’ (pada sistem koord. baru) adalahy= m x , sedang x= x− x1 dan y= y− y1

d isubstitusikan pada y= m x , sehingga diperoleh persamaany−y1= m (x−x1)Ini merupakan persamaan garis yang melalui titik (x1,y1) dan berkoefisien arah m


ℓ

12

),( 22 yx

),( 11 yx 12 yy

12 xx

Gambar 8O

21

1

12

2

Gambar 9O

Geometri Analit

a. Persamaan garis melalui (x1,y1) dan (x2,y2)

Persamaan garis melalui (x1,y1) dan berkoefisien arah m adalah

:y−y1= m (x−x1 )Koefisien arah dari garis yang melalui (x1,y1) dan (x2,y2) adalah

:

m = tg α =

y2−y1x2−x1

Jadi y−y1 =

y2−y1x2−x1

( x−x1)

atau

Syarat (x1,y1) , (x2,y2) dan (x3,y3) terletak segaris adalah :

y3−y1y2−y1

=x3−x1x2−x1

2. Sudut Antara Dua Garis

Buat garis ℓ1 // ℓ1 dan ℓ2 // ℓ2 yang melalui O, sehingga diperoleh α1 : sudut antara ℓ1 dengan sumbu-xpositifα2 : sudut antara ℓ2 dengan sumbu-x positif ϕ : sudut antara ℓ1 dan ℓ2 ,ϕ= α1−α2 Koefisien arah ℓ1= m1=tg α1

Koefisien arah ℓ2= m2=tg α2


ℓ

y−y1y2−y1

=x−x1x2−x1

13

Geometri Analit

Karena ϕ= α1−α2 , maka tg ϕ= tg (α1−α2)=

tgα1−tgα21+tgα1 tgα2

atau tg ϕ=

m1−m21+m1 m2

Jika ℓ1 // ℓ2 → α1= α2 , ϕ = 0o

tg 00=m1−m21 + m1 m2

0=m1−m21 + m1 m2

⇒ m1= m2

Jika ℓ1 ⊥ ℓ2 → ϕ = 90∘

tg 90∘=m1−m21 + m1 m2

∞ =m1−m21 + m1 m2

1 +m1 m2 = 0m1 m2 =− 1

3. Titik-potong Dua Garis

Misalkan diketahui dua buah garis k dan l, akan ditentukantitik potong kedua garis tersebut. Titik potong kedua garis kdan l berarti suatu titik yang terletak pada garis k dansekalugus terletak pada garis l atau dengan kata lainmerupakan titik persekutuan antara garis k dan l atauhimpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear daripersamaan garis k dan l

k : ax + by + c = 0 ⇔ ax + by = - cl : px + qy + r = 0 ⇔ px + qy = - r

x=|−c b−r q|

|a bp q |

=−cq + braq − bp

y=|a −cp −r|

|a bp q |

=−ar + cpaq− bp


Geometri Analit

Contoh : 2x + y – 4 = 0 x + 3y + 5 = 0

x=|4 1−5 3

|

|2 11 3 |

=12 + 56− 1 =

175

y=|2 41 −5

|

|2 11 3

|=−10−46− 1

=−145


b

O

B(0,b)

aA(a,0)

t

Gambar 10

Geometri Analit

4. Bentuk lain Persamaan garis

4.1 Persamaan Normal Hesse

Persamaan garis yang melalui A(a,0)dan B(0,b) adalah :

y−0b−0 =

x−a0−a

yb

=x−a−a

yb =−

xa +1

yb+xa= 1

Jika t adalah jarak garis AB ke O , maka

cos α =ta ⇔ a=

tcos α

sin α =tb

⇔ b=tsin α

yt /sin α +

yt /cos α = 1 ⇔

y sin αt +

y cos αt =1

Jadi x cos α + y sin α = t (t= 0 atau positif ) Adalah persamaan garis dalam bentuk Normal Hesse

Bagaimanakah persamaan garis ax + by + c = 0 dalam bentuk normal ?


b

a

Q(x,y)

t

),( 11 yxP

X


Y

Geometri Analit

ax + by + c = 0 → x cos α + y sin α − t= 0akx + bky + ck = 0ak = cos α → cos2 α = a2k2

bk = sin α sin2 α = b2k2sin2 α + cos2 α = k2 (a2 + b2)

1 = k2 (a2 + b2)k2= 1

a2 + b2atau k =

1±√a2 + b2

, sehingga

a±√a2 + b2

x +b±√a2 + b2

y +c±√a2 + b2

= 0

atau ax + by + c±√a2 + b2

= 0 ⇒ Persamaan garis lurus bentuk Normal Hesse

Tanda + atau – dipilih dengan mengingat bahwa suku ke-3harus negatif sebab t = -kc dan t ≥ 0

Contoh :

1) Ubah persamaan berikut ke dalam bentuk Normal Hesse : 3x – 4y + 7 = 0

k =1±√9 + 16

=1±√25

=1± 5

dipilih k negatif agar t positif

3x−5

−4y−5

+7−5

= 0 atau −3x5

+4y5

−75= 0

2) 2x + 5y – 6 = 0 k =

1±√4 + 25

=1±√29

2x√29

+4y√29

−7√29

= 0

4.2 Bentuk Parameter

Diketahui titik P(x1,y1 ) pada garis l .

Ambil sembarang titik Q(x,y) padaℓ .Jika PQ = t , maka :



O

),( 11 yxP

t

d

'

Y

X

Geometri Analit

a= t cos αb= t sin α

sehingga

x=x1+a =x1+t cos αy=y1+b =y1+t sin α

Didapat Persamaan parameter garis l adalah :

:{x=x1+t cos αy=y1+t sin α

5. Jarak Titik ke Garis

Mencari jarak titik P(x1,y1) ke garis l. (d)

Buatlah garis l’ melalui P sejajar l, maka

t : jarak l ke O dan pers.ℓ : x cos α + y sin α − t= 0

t + d ; jarak l’ ke O dan pers. ℓ' : x cos α + y sin α −(t+d) = 0atau x cos α + y sin α−t−d=0

Titik P terletak pada garis l’ , maka P(x1,y1) memenuhi persamaan l’

x1 cos α + y 1 sin α−t−d=0 atau d = |x1 cos α + y 1 sin α−t| adalah jarak dari titik

P(x1,y1) ke garis l

Garis l dalam bentuk umum ax + by + c = 0, maka dalam bentuk normal adalahax + by + c± √a2 + b2

=0

Persamaan garis l’ :

ax + by + c± √a2 + b2

−d= 0


Gambar 12

18

L2L1

O

P

X

Y

Geometri Analit

P(x1,y1 ) pada l', makaax1 + by1 + c

± √a2 + b2−d= 0 , sehingga

d=|ax1 + by1 + c

± √a2 + b2|

Contoh :2x+5y−6=0 → P(−1,2)

d=|2 . (−1) + 5 .2−6±√4+25

|=|2±√29

|=2√29

6. Dua Garis Lurus

Diketahui 2 garis lurus : l1≡A1x + B1y + C1= 0l2≡A2x + B2y +C2= 0

Jika

A1A2

≠B1B2 , maka ada satu harga (x,y) yang memenuhi

kedua persamaan garis l1 dan l2. Dengan kata lain garis l1 dan l2 berpotongan di satu titik.

Jika

A1A2

=B1B2

≠C1C2 , kedua persamaan tidak mempunyai

penyelesaian atau tidak ada titik persekutuan, berarti garis l1 dan l2 sejajar

Jika

A1A2

=B1B2

=C1C2 , maka kedua garis berimpit.

Jika

l1+λ l2 = 0 , λ adalah suatu parameter , disebut sebagai berkas garis l1+λ l2= 0A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2) =0(A1+λ A2 ) x+ (B1+λ B2)y+(C1+C2)=0merupakan persamaan garis lurus yang disebut : persamaan berkas garis atau kipas garis dengan anggota


Geometri Analit

utama l1 & l2 dan semua anggota berkas melalui titik potong P


Y

P(x,y)

XO

Ry

x

(a,b)

O X

YP(x,y)

Geometri Analit

III. LINGKARAN

1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0)

Diketahui lingkaran berpusat di O dan

berjari-jari R.

Untuk setiap titik P(x,y) pada

lingkaran, maka menurut teorema

Pythagoras berlakulah :

x2+y2=R2 . …….

(2.1)

Persamaan 2.1 disebut sebagai persamaan lingkaran berpusat di

O(0,0) dan berjari-jari R

2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a,b)

Sebuah lingkaran berpusat di (a,b) dan

berjari-jari R. Untuk menentukan

persamaan lingkar tersebut, maka

dilakukan translasi koordinat dari O

ke (a,b), dengan absis dan ordinat pada

sistem koordinat yang baru adalah :

x=x−ay=y−b

Pada sistem koordinat yang baru, persamaan lingkarannya

adalah :

x2+y2=R2


y

M(a,b) p

O x

P(x,y)

qR

Geometri Analit

Persamaan lingkaran tersebut pada sistem XOY menjadi :

(x−a)2+(y−b)2=R2 ……. (2.2)

Jadi persamaan 2.2 merupakan persamaan lingkaran yang

berpusat di (a,b) dann berjari-jari R.

3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran :

x2+y2+Ax+By+C=0 ………. (1)

(x−a)2+(y−b)2=R2x2−2ax+a2+y2−2by+b2−R2=0x2+y2−2ax−2by+a2+b2−R2=0

……. (2) Dari (1) dan (2) maka :

A= -2a atau a = -½A ; B = -2b atau b = -½B

C= a2+ b2- R2 atau R=√14A2+14B2−Csehingga x2+y2+Ax+By+C=0 , adalah persamaan Lingkaran dengan

Pusat (-½A, -½B) dan berjari-jariR=√14A2+14B2−C

Contoh : Persamaan lingkaran :3x2+3y2−18x+36y+6=0x2+ y2−6x+12y+2=0

Jadi lingkaran ini berpusat di P(3,-6) dan berjari-jariR=√9+36−2=√43

4. Persamaan Lingkaran Bentuk Parameter

Untuk setiap P(x,y) pada lingkaran yangberjari-jari R dan berpusat di M(a,b), berlakulah :

p=R cos αq=R sin α

Dimana α dihitung dari arah sumbu-x positif mengelilingi M sampai 3600 : x = a + p dan y = b + q


Geometri Analit

maka :

x=a+R cos αy=b+R sin α

adalah persamaan parameter lingkaran dengan α sebagai parameter

5. Garis dan Lingkaran

Jika terdapat sebuah garis dan sebuah lingkaran, maka kedudukan garis terhadap lingkaran dapat terjadi seperti kondisi berikut: Garis memotong lingkaran di satu titik (menyinggung) Garis memotong lingkaran di dua titik Garis tidak memotong lingkaran

Misalkan garis g dan lingkaran L ;Garis g≡y=ax+bLingkaran L ≡ x2+y2=R2 dipotongkan, makax2+(ax+b)2=R2x2+a2x2+2abx+b2−R2=0(1+a2)x2+2abx+b2−R2=0

→ merupakan persamaan kuadrat dalam xsehingga :

Jika D < 0 , maka tidak ada nilai x yang memenuhi berarti garis g tidak memotong lingkaran

Jika D > 0 , maka terdapat dua nilai x yang memenuhi persamaan berarti garis g memotonglingkaran di 2 titik

Jika D = 0 , maka terdapat tepat satu nilai x yang memenuhi persamaan berarti garis g memotong lingkaran di satu titik atau garisg menyinggung lingkaran

6. Garis Singgung pada Lingkaran

Untuk D = 0


y=ax±R√1+a2

y

P(x1,y1)

O x

Geometri Analit

4a2b2−4 (1+a2) (b2−R2)=0a2b2−b2+R2−a2 b2+a2R2=0−b2+(1+a2) R2=0b2=(1+a2 ) R2

b =±√(1+a2 ) R2

y=ax+by=ax±R√1+a2

Persamaangaris singgung yang berkoefisien arah a pada lingkaran berpusat di O dan berjari-jari R.

Persamaan garis singgung lingkaran di P(x1,y1 )

Diketahui lingkaran x2+y2=R2 dan titik P(x1,y1)

mop=y1x1

mℓ x mop=−1

mℓ xy1x1

=−1

mℓ =−x1y1

Jadi persamaan garis singgung ℓ melalui P(x1,y1) dan mℓ=−x1y1

y−y1=−x1y1

(x−x1)

y y1−y12=−x x1+x12

x x1+y y1 =y12+x1

2

P(x1,y1 ) pada lingkaran ⇒ y12+x1

2=R2


),( 33 yxR

),( 22 yxQ

), 11 yx

k

Garis kutub/polarg

Geometri Analitx x1+y y1=R

2 adalah persamaan garis singgung pada

lingkaran berpusat di O berjari-jari R dan melalui P(x1,y1 )

Contoh :

Persamaan garis singgung yang melalui (2,-3) pada x2 + y2 = 9, adalah :

x(2) + y(-3) = 9 2x – 3y – 9 = 0

Soal-soal :

1) Tentukan persamaan lingkaran yang melalui (1,3); (6,-2) dan (-3,-5). Tentukan pusat dan jari-jarinya.

2) Tentukan persamaan lingkaran yang memotong sumbu x+ suatu segmen garis sepanjang 6 dan sumbu y+ suatu segmen garis sepanjang 8 dan juga melalui titik O.

3) Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik pangkal berjari-jari √5 dan pusatnya pada garis x – y = 1.

4) Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2+y2=25dititik (-4,3) juga persamaan garis singgung yang // garis singgung tadi.

7. Garis Kutub/Polar

Diketahui lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari R :x2+y2=R2 , titik Q dan R terletak pada lingkaran, titik P berada di luar lingkaran, maka

Persamaan garis singgung PQ≡x x2+y y2=R2

Persamaan garis singgung PR≡x x3+y y3=R2

P(x1,y1) terletak pada PQ, makax1x2+y1y2=R

2 …… (1)

P(x1,y1) terletak pada PR , makax1x3+y1y3=R

2 …… (2)


(a,b)A

B

Q

B’

A’

),( 11 yxP

222 )()( Rbyax

R

Geometri Analit

Perhatikan persamaan garis x x1+y y1=R

2 …… (3) , maka

1. x1x2+y1y2=R2dapat diartikan bahwa koordinat Q(x2,y2)

memenuhi persamaan garis 3)Jadi titik Q terletak pada garis x x1+y y1=R

2

2. x1x3+y1y3=R2dapat diartikan bahwa koordinat R(x3,y3)

memenuhi persamaan garis 3) Jadi titik R terletak pada garis x x1+y y1=R

2

Kesimpulan :Garis x x1+y y1=R

2 adalah garis yang dilalui oleh titik Q

& R dan disebut sebagai garis kutub / garis polar.

Persamaan garis kutub / polar : x x1+y y1=R2

8. Kuasa

Diketahui lingkaran yang berjari-jari R. Dari suatu titikP(x1,y1) di luar lingkaran dapat ditarik banyak sekali garis-garis yang memotong lingkaran, misal : di A dan A’, B dan B’

dan menyinggung lingkaran di RSecara geometri dapat dibuktikan bahwa : PA x PA'=PB x PB'=(PQ )2Hasil kali yang tetap ini (PQ2) disebut Kuasa titik P terhadap lingkaran

Jika P diluar lingkaran maka kuasanya positif.Jika P pada lingkaran maka kuasanya = 0Jika P didalam lingkaran maka kuasanya negative.


Geometri Analit

Bila lingkaran berpusat di M(a,b) L≡ (x−a)2+(y−b)2=R2 danP(x1,y1) di luar lingkaran, maka kuasanya P terhadap lingkaranL adalah

PR2=PM2−R 2

PR2=(x1−a)2+(y1−b)

2−R2


(-A,-B)

Garis sentral

L1L2

(-M,-N)

),( 11 yxP



Geometri Analit

9. Garis Kuasa

Diketahui dua buah lingkaran L1 dan L2 :L1≡ x2+y2+2A x+2B y+c1=0L2≡ x2+y2+2Mx+2Ny+c2=0P(x1,y1 ) mempunyai kuasa yang sama terhadap L1 & L2.

Kuasa P terhadap L1≡x2+y2+2A x+2B y+c1

Kuasa P terhadap L2≡x2+y2+2M x+2N y+c2

Kuasa P terhadap L1 = Kuasa P terhadap L2x2+y2+2A x+2B y+c1=x

2+y2+2M x+2N y+c2(2A−2M)x1+(2B−2N)y1+(c1−c2)=0

Bila P(x1,y1) kita jalankan , maka(2A−2M)x1+(2B−2N)y1+(c1−c2)=0 atau L1−L2=0 Disebut persamaan garis kuasa terhadap dua buah lingkaran

Garis yang menghubungkan pusat dua lingkaran disebut garis sentral. Garis kuasa dan garis sentral saling tegak lurus.

mℓ=−B+N−A+M

=−(B−N)−(A−M

mk=−(2A−2M)(2B−2N)

=2(A−M)2(B−N)

ml . mk=(B−N)(A−M) .

(A−M)(B−N) =−1

∴ k⊥ℓ




L2P2P1garis kuasaCL2BML1AP1P2Garis kuasag2L1L3L2Sg3g1Garis kuasak

O


O


O


O


O











O


O


O

L1

Geometri Analit

10. Titik Kuasa

Diketahui 3 buah lingkaranyaitu :L1 , L2 dan L3 , makag1≡L1−L2=0g2≡L2−L3=0g3≡L1−L3=0Bentuk persamaan berkas garis g1+λ g2=0(L1−L2)+λ (L2−L3)=0Bila λ=1

→ L1−L2+L2−L3=0L1−L3=0⇒ g3

Jadi g3 melalui S

Titik S mempunyai kuasa yang sama terhadap L1 , L2 dan L3. Tititk S disebut titik kuasa

11. Menggambar Garis Kuasa

1. L1 berpotongan dengan L2

Garis kuasanyaadalah talibusurpersekutuannya

2. L1 & L2 bersinggungan.













O


O


O

P3L3

L2

P2P1

L1

Sg1

g2

Geometri Analit

Garis kuasanya adalahgaris singgungpersekututannya

3. L1 & L2 tidak berpotongan

Gunakan bantuan L3 yangmemotong L1 & L2. Gambargaris kuasa L1 & L3 dan L2 &L3 yaitu g1 dan g2 dimanag1 & g2 berpotongan di Syang merupakan titikkuasa sehingga gariskuasa L1 & L2 dapatdigambar melalui S tegaklurus pada P1P2

12. Berkas Lingkaran

Berkas lingkaran dapat ditulis dalam bentuk

L1+λ L2=0


Geometri Analit

L1 & L2 disebut lingkaran dasar, 2 titik potongnya disebuttitik-titik dasarλ adalah suatu parameter, untuk setiap harga λ terdapatsebuah lingkaran pada berkas yang disebut anggota berkas.Setiap anggota berkas lingkaran selalu melalui titik-titikdasar , sehingga berlaku :

1. Jika L1 & L2 berpotongan, maka semua anggota berkasberpotongan dititik dasarnya. Anggota berkas terkeciladalah lingkaran yang panjang garis tengahnya adalahjarak 2 titik dasar tersebut.

2. Jika L1 & L2 bersinggungan, maka titik dasarnya berimpit,yaitu titik singgung L1 & L2 . Jadi semua anggota berkaspasti juga melalui titik singgung tersebut. Anggotaberkas terkecil adalah sebuah lingkaran yang berjari-jari nol.


Geometri Analit

3. Jika L1 & L2 tidak berpotongan dan tidak bersinggungan,maka titik dasarnya tidak nyata (imajiner), sehinggasemua anggota berkas juga tidak berpotongan. Dalamberkas akan terdapat 2 buah lingkaran nol.


Geometri Analit

IV.TEMPAT KEDUDUKAN

Dalam geometri analit tempat kedudukan mempunyai arti yangsangat penting. Metode ini sangat sistematis yang penguraiannyadisusun dari bawah ke atas, menuju ke penyelesaianmasalah.Permasalahan menentukan tempat kedudukan dapat dibagimenjadi 3 golongan :

1. Menjalankan Koordinato Ambil sembarang titik (x0,y0) , misalkan titik tersebut

pada kedudukan. o Diskripsikan syarat-syarat yang harus dipenuhi agar

titik berada pada tempat kedudukan.o Berdasarkan syarat yang ditentukan carilah hubungan

antara x0 dan y0. o Jalankan titik (x0,y0) yang memenuhi hubungan yang

diperoleh pada langkah sebelumnya, dengan menghilangkanpenunjuknya (angka 0 pada x0) . Ini berarti bahwa setiaptitik yang memenuhi hubungan tersebut berada pada tempatkedudukan atau tempat kedudukan yang dicari sudahdiperoleh.

Contoh :

1) Tentukan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak samaterhadap titik P(1,3) & Q(2,1)Misalkan titik R(x0,y0) terletak pada tempat kedudukan yangdicari, maka harus dipenuhi syarat bahwa PR= QRBerdasarkan syarat tsb. Dicari hubungan antara x0 dan y0,

sbb :√(1−x0)2+(3−y0 )2=√(2−x0 )2+(1−y0 )21−2x0+x0

2+9−6y0+y02=4−4x0+x0

2+1−2y0+y02

10−2x0−6y0=5−4x0−2y02x0−4y0+5=0 (x0,y0) dijalankan , akan diperoleh 2x – 4y + 5=0 (adalahtempat kedudukan yang dicari)

2) Diketahui titik P(-3,4) dan Q(3,-2). Tentukan tempatkedudukan titik yang jaraknya terhadap P dan terhadap Qberbanding 2 : 1.


Geometri Analit

Misal : R(x0,y0) sembarang titik pada tempatkedudukan yang dicari.Syarat : PR : RQ = 2 : 1 atau PR = 2RQ

√(−3−x0 )2+(4−y0)2=2 √(3−x0 )2+(−2−y0 )29−6x0+x0

2+16−8y0+y02=4(9−6x0+x0

2+4+4y0+y02 )

3y02+3x0

2−30 x0−24y0+27=0x02+y0

2−10 x0−8y0+9=0

(x0,y0) dijalankan, maka x2+y2−10 x−8y+9=0 adalahtempat kedudukan yang dicari, berbentuk lingkaran denganpusat (5,4) dan berjari-jari : √25+16−9=√32=4√2

2. Menggunakan Parametero Tentukan sebuah atau lebih parametero Diskripsikan syarat-syarat yang harus dipenuhi agar

titik berada pada tempat kedudukan.o Berdasarkan syarat yang ditentukan carilah hubungan

antara x , y dan parameter o Eliminasilah parameter tsb, diperlukan 2 persamaan jika

ada 1 parameter atau diperlukan 3 persamaan jika ada 2parameter, dst.

o Didapatkan tempat kedudukan yang dicari.

Contoh :

Tentukanlah tempat kedudukan titik-titik sudut P sehinggasudut APB = 90∘ . Titik A & B diketahui.Penyelesaiaan :Dalam soal diatas koordinat A & B tidak diketahui. Olehkarenannya sangat praktis jika AB diambil sebagai sumbu-xdan sumbu AB adalah sumbu-y. Misal : AB = 2a, jadi A(-a, 0) & B(a, 0)(1). Persamaan garis AP≡y=m(x+a) , m sebagai parameter

(2) Persamaaan garis BP≡y=−

1m(x−a) ,karena BP⊥AP

Parameter m dieliminasi :


Geometri Analit

(1) m=yx+a

(2) m=−(x−a)y

yx+a =−

(x−a)y

y2=−(x−a) (x+a)y2=−x2+a2x2+y2=a2

Jadi x2+y2=a2 adalah tempat kedudukan yang dicari, yaituberbentuk lingkaran dengan pusat (0,0) dan berjari-jari 4satuan.

3. Kombinasi 1 dan 2

Contoh : 1. Diketahui sebuah lingkaran x2+y2=a2 dan garis y = ax.

Tentukan tempat kedudukan tengah-tengah tali busur yangmemotong lingkaran tersebut dan sejajar dengan y = axMisal : persamaan garis yang sejajar y = ax adalahy=ax+n ( n = parameter ) Garis ini memotong x2+y2=a2 (talibusur) , sehingga

x2+(ax+n)2=a2

x2+a2x2+2anx+n2−a2=0(1+a2 )x2+2anx+(n2−a2 )=0 .......∗)

Misal : T(x0,y0 ) adalah titik tengah y=ax+nAbsis T adalah akar-akar dari persamaan *)dimana :

x0=−12 (2an1+a2 )=−an1+a2

y0=−a . 12 (2an1+a2 )+n=−a

2n1+a2

+n

n=x0 (1+a

2 )−a

............ (1)

y0=−a2n+n (1+a2 )1+a2

=n (−a2+1+a2 )1+a2

=n1+a2

n=yo (1+a2) ............. (2)

Dari (1) dan (2)

x0=−a y0 (1+a2)(1+a2)

y0 (1+a2)=

x0 (1+a2)−a

−a y0=x0y0=−

1ax0


Geometri Analit

(x0,y0) dijalankan, maka tempat kedudukan yang dicari

adalah, y=−1

ax, berbentuk garis lurus yang melalui (0,0)

& ¿ y=ax

2. Diketahui lingkaran x2+y2=r2 dan titik P(a,b). Tentukantempat kedudukan tengah-tengah semua tali busur lingkaranyang melalui P.Misalkan persamaan garis yang melalui P(a,b) :y−a=m(x−a)Garis tersebur memotong lingkaran x2+y2=r2 (sebagaitalibusur), maka didapat

x2+(m(x−a)+b)2−r2=0x2+m2(x2−2ax+a2)+2mb(x−a)+b2−r2=0x2+m2x2−2am2x+a2m2+2mbx−2mba+b2−r2=0(1+m)x2−2(am2−mb)x+(a2m2+b2−2abm−r2)=0 ......... (∗)

Misal T(x0,y0 ) tengah-tengah tali busurAbsis T adalah akar-akar persamaan (*)

x0=12 .

2(am2−mb )1+m2

=(am2−mb )1+m2

=−m(b−am )

1+m2 ……. (1)

y0=m (am2−mb1+m2

−a)+b = m(am2−mb−a−am2)

1+m2+b

= m (−mb−a1+m2 )+b =−m2b−am+b+bm2

1+m2

y0=b−am1+m2

....... (2)

Dari (1) dan (2), diperoleh

x0=−m y0 , jadi m=−x0y0

…….. (3)Substitusikan (3) ke (2) :


Geometri Analit

y0=b +a(

x0y0

)

1+ (x0

y0)2 =

by0 +ax0y0

y02+x0

2

y02

=y0 (b y0+a x0)x02+y02

⇔ 1=a x0+b y0x02+y0

2

x02+y0

2=a x0+b y0x02+y0

2−a x0−b y0=0

T(x0,y0 ) dijalankan, maka tempat kedudukan yang dicariadalah, merupakan sebuah lingkaran dengan pusat P( 12a, 1

2 b)

dan jari-jari r=√ 14 a

2+ 14b

2 = 12 √a2+b2


g

Geometri Analit

V. PARABOLA

Definisi : Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yangberjarak sama terhadap sebuah titik dan sebuah garistertentu. Titik tertentu itu disebut fokusGaris tertentu itu disebut garis direktriks

Melukis Parabola :Diketahui : garis g dan titik F

Lukis : parabola yang berfokus di F dan mempunyaidirektriks g.Penyelesaian :

1. Tarik FS tegak lurus g. (pandang garis FS danperpanjangannya sebagai sumbu-x)

2. Tentukan O(0,0) pada pertengahan FS3. Lukis lingkaran yang berpusat di F dan berjari-

jari d ( d sembarang ).4. Tarik garis g’ // g pada jarak d dan memotong

lingkaran di dua titik 5. Kedua titik potong tersebut adalah titik pada

parabola (memenuhi definisi parabola)6. Ulangi langkah 3, 4 & 5, untuk panjang d yang berbeda,

sehingga diperoleh beberapa titik yang lain.7. Hubungkan titik-titik tersebut maka akan terbentuk parabola

yang diinginkan

Persamaan Parabola :

1. Misalkan P (x1,y1 ) terletak pada parabola dan R pada garisdirektriks, jarak antara fokus F dan direktriks adalah p

maka R(−12p,y1) dan F(12p,0) dan PR2=PF2sehingga : (x1+ 1

2 p)2+(y1−y1)=(x1− 1

2p)2+(y1−0)

2

y12=x1

2+px1+14 p

2−x12+px1−

14 p

2

y12=2px1

Hubungan ini berlaku untuk setiap titik (x,y) yang terletakpada parabola. Dengan demikian persamaan parabola adalah :

y2=2px , dimana p adalah parameter parabola


Geometri Analit

Parabola ini mempunyai : - puncak : O(0,0) - sumbu simetri : sumbu-x (y =0)- fokus : F ( 12 p,0) - direktriks : x=−

12p


Geometri Analit

2. Dengan translasi sumbu koordinat dapat diperoleh persamaanparabola yang berpuncak di (a,b) adalah :

(y−b)2=2p(x−a) , dimana p adalah parameterparabola

Parabola yang mempunyai : - puncak : P(a,b) - sumbu simetri : y = b- focus : F (a+ 1

2p,b) - direktriks : x=a−12 p

Bukti :

T : O(0,0) P(a,b)Maka : x'=x−a dan y'=y−b

pada X'0'Y' : pada X0Y :

persamaan : y' 2=2px' (y−a)2=2p(x−a)puncak : O’ (0,0) P (a,b)focus : F’ ( 12 p,0) F (a+ 1

2p,b)

direktriks : x'=− 1

2 p

(x−a)=− 12p atau x=a−1

2 p

3. Bentuk parameter :x=2pt2y=2pt

Bukti : y=2pt → t=y /2px=2p(y /2p)2 → x=2y2/4p → y2=2px

Contoh : 1. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0),

mempunyai sumbu simetri sumbu-x dan melalui titik T(1,2).Penyelesaian : Misalkan persamaan parabola y2=2px . T(1,2) terletak padaparabola, maka terpenuhi 4 = 2.p.1 atau p = 2Jadi persamaan parabolanya : y2=4x

2. Tentukan puncak, fokus, sumbu simetri dan direktriks dariparabola y2−4x−4y+16=0


Geometri Analit

Penyelesaian : y2−4x−4y+16=0 (y−.......)2=.....(x−......)

Puncak :Sumbu simetri :Direktriks :


O

T(x1,y1)

xg

Geometri Analit

Garis Singgung Parabola

Persamaan parabola : y2 = 2px …. (1) Garis g : y = mx + n …. (2)

Garis g dipotongkan pada parabola :(mx+n)2=2pxm2x2+2mnx+n2−2px=0m2x2+2(mn−p)x+n2=0

D=4(mn−p)2−4m2n2=4p2−8mnp

D < 0 , maka garis g tidak memotong parabola D > 0 , maka garis g memotong parabola d 2 titik D = 0 , maka garis g menyinggung parabola

D = 0 4p2−8 mnp=0p−2mn=0 , n=p /2m

y=mx+p /2m adalah persamaan garis singgung yangbergradien m pada parabola y2 = 2px

Bila persamaan parabolanya adalah (y−b)2=2p(x−a), maka persamaangaris singgung yang bergradien m adalah :

(y−b)=m(x−a)+p/2m

Persamaan garis singgung parabola di T(x1,y1)

Garis g menyinggung parabolay2=2px di titik T(x1,y1).

Persamaan garis g :


Geometri Analit

(y – y1) = m(x – x1)y = m(x – x1) + y1

Garis g dipotongkan pada parabola :

(m(x−x1)+y1)2=2px

m2(x2−2x1x+x12)+2my1 (x−x1 )+y1

2−2px=0m2x2−(2m2x1−2my1+2p)x+m

2x12+2mx1y1+y1

2=0

2x1=2m2x1−2my1+2pm2

x+m2x1

2+2mx1y1+y12

m2=0

2x1=2m2x1−2my1+2pm2

m2x1=m2x1−my1+p

m y1 =pm =p /y1

INGAT : ax2+bx+c=0x2+b /a x+c /a=0akar−akar PK : x1 ∧ y1x1+x2=−b /a

D=0 → x1=x2, jadi 2x1=−b /a

Garis g : (y−y1)=p/y1 (x−x1 )

y1y−y12=px−px1 , T(x1,y1) terletak pada parabola

maka y12=2px1

sehingga y1y - 2px1 = px – px1

y1y = px - px1

y1y=p (x+x1 ) adalah persamaan garis singgung

parabola di T(x1,y1)

Bila persamaan parabola (y−b)2=2p(x−a) , maka persamaan garissinggung parabola di T(x1,y1) adalah

(y1−b) (y−b)=p (x+x1−2a)


Geometri Analit

Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung di titik A(2 , 9) padaparabola y2 = 36xPenyelesaian :


O

A(x2,y2)

x

g1

g2

B(x3,y3)

P(x1,y1)

y

O xR

y

F S Q

T P

Geometri Analit

Garis Polar

Dari P(x1,y1) di luar parabola dapatditarik dua buah garis (g1 dan g2)yang menyinggung parabola di titikA (x2,y2) dan B (x3,y3)

AB disebut garis polar Titik P disebut titik polar

Persamaan garis polar tersebut :

y1y=p(x+x1)

Bukti : Persamaan garis singgung di A(x2,y2), g1 : yy2 = p (x + x2)Persamaan garis singgung di B(x3,y3), g2 : yy3 = p(x + x3)P(x1,y1) terletak pada g1 y1y2 = p (x1 + x2)P(x1,y1) terletak pada g2 y1y3 = p (x1 + x3)Ternyata titik A dan B memenuhi persamaan garis y1y = p(x + x1) Jadi persamaan garis yang melalui A dan B (garis polar)adalah yy1 = p(x + x1)

Jika g adalah garis singgungparabola di titik P dang memotong sumbu-x di R , maka

PQ tegak lurus PR, PQdisebut garis normalPS tegak lurus sumbu-x, RSdisebut subtangen dan SQdisebut subnormal

Sifat garis singgung :Garis singgung di suatu titik pada parabola, membagi dua samabesar sudut yang dibentuk oleh garis yang melalui titiksinggung dan sejajar sumbu simetri dengan garis yang


Geometri Analit

menghubungkan titik singgung tersebut dan fokus parabola.(pada gambar di atas garis singgung PR membagi sudut TPF atas2 bagian yang sama atau ∠ TPR = ∠ RPF )

Bukti : (akan dibuktikan bahwa ∠ TPR = ∠ RPF )

Persamaan garis singgung yang melalui P(x1,y1) : yy1 = p (x + x1) Titik potong dengan sumbu-x, y = 0 R (- x1, 0)

∠ TPF = ∠ PFQ = α , tan α=y1 /(x1−1 /2 p)

∠ PRF = θ tan θ=y1 /2 x1P(x1,y1) pada parabola

y12=2px1

y1=(2p /y1 ) x1y1/2x1=p /y1 tan θ=p /y1

tan (α−θ)=tan α−tan θ1+tan α . tanθ=

y1 /(x−1 /2p)−p/y11+y1 /(x−1/2p) . p /y1

=y12−p(x1−1 /2p)/y1 (x1−1 /2p)y1 (x1−1 /2p)+py1 /y1(x1−1 /2p)

=y12−px1+1 /2p

2

x1y1−1 /2py1+py1

=2px1−px1+1 /2p

2

x1y1+1 /2py2 =

p(x1+1 /2p)y1 (x1+1/2p)

=py1

=tan θ

tan (α−θ)=tanθ α−θ=θ atau α=2θ

∠ TPF = 2 ∠ PRF dan ∠ PRF = ∠ TPR ∠ TPF = 2∠ TPR

∵ ∠ TPR = ∠ RPF


· P(x0,y0)

O F2(c,0)F1(-c,0)

Geometri Analit

VI. ELLIPS

Definisi : Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yangjumlah jaraknya terhadap 2 titik tertentu adalah tetap Catatan : Jumlah jarak harus lebih besar dari jarakkedua titik tetap tersebut

1. Persamaan ellips yang berpusat di (0,0)

Andaikan titik tetap tersebut : F1 & F2, sumbu-x diambilmelalui F1 & F2 dan sumbu-y adalah garis sumbu F1 & F2. Kalaujarak F1 & F2 = 2c maka F1(-c,0) & F2(c,0). Kalau jumlah jarakterhadap titik tetap = 2a dan P(x0,y0) terletak pada tempatkedudukan maka kita dapatkan.

Bila :

a2−c2=b2(a2−c2)x0

2+a2y02=a2(a2−c2)

b2x02+a2y0

2=a2b2 : a2b2

x02

a2+y02

b2=1

(x0,y0) dijalankan : x2

a2+y2

b2=1

adalah persamaan ellipsdengan pusat (0,0), dengan

sumbu panjang 2a sumbu pendek 2bF1 & F2 fokus


C(0,b)

OF1(-C,0) F2(C,0)

y

xA(a,0)B(-a,0)

D(0,-b)

Geometri Analit

2. Melukis Ellip

ca disebut eksentrisitas numericca=e

< 1 sebab 2a > 2c

2c2a

< 1

3. Persamaan ellip yang berpusat di (p,q)

Dengan translasi koordinat dari O(0,0) ke (p,q), makadiperoleh

x=x−py=y−q x2

a2+y2

b2=1

(x−p)2

a2+(y−q)2

b2=1

adalah persamaan ellips yangberpusat di (p,q)

4. Persamaan garis singgung dengan koefisien arah m

Misal : y=mx+nx2a2

+y2b2

=1

x2

a2+(mx+n)2

b2=1


Geometri Analit

b2x2+a2(m2x2+2mnx+n2)=a2b2b2x2+a2(m2x2+2mnx+n2)−a2b2=0(a2m2+b2)x2+2a2mnx+(a2n2−a2b2 )=0D=0 → (2a2mn )2−4 (a2m2+b2) (a2n2−a2b2)=0

4 a4m2n2−4 (a4m2n2−a4b2m2+a2b2n2−a2b4)=0a4b2m2−a2b2n2+a2b4=0a2b2 (a2m2−n2+b2)=0n2=a2m2+b2

n =± √a2m2+b2

y=mx±√a2m2+b2

5. Persamaan garis singgung ellips yang berpusat di (p,q)dengan koefisien arah m

x=x−py=y−q

y=m x±√a2m2+b2(y−q)=m(x−p)±√a2m2+b2

Buktikan :

1. Persamaan garis singgung di P(x1,y1) pada ellip x2

a2+y2

b2=1

adalah xx1

a2+yy1

b2=1

2. Persamaan garis singgung di P(x1,y1) pada ellip(x−p)2

a2+(y−q)2

b2=1

adalah (x−p) (x1−p)

a2+(y−q) (y1−q)

b2=1


y

n

m

Q(x2,y3)

P(x2,y2)

T(x1,y1)

Geometri Analit

6. Persamaan Garis Kutub (R)

Persamaan garis singgung di P (m)xx1

a2+yy1

b2=1

Persamaan garis singgung di Q (n)xx3

a2+yy3b2

=1

T(x1,y1 ) →x1x2a2

+y1y2b2

=1 ...... ∗)

T(x1,y1 ) →x1x3a2

+y1y3b2

=1 ......∗∗)

Dari *) dan ** )t ernyata :

Garis singgung persamaaan xx1a2

+yy1b2

=1 , dipenuhi oleh titik P &

Q

Titik P & Q melalui garis : xx1

a2+yy1

b2=1

yang disebut gariskutub.

7. Garis Arah/direktriks


F2(c,0)

P(x2,y2)

F1(-c,0)

d2 d1

Geometri Analit

PF2 : d1

2=(x1−c)

2+y1

2=x1

2−2cx1+c

2+y1

2¿d2

2=(x1−c)

2+y1

2=x1

2+2cx1+c

2+y1

2¿ −

d12−d2

2=− 4 cx1(d1+d2) (d1−d2)=− 4 cx12a ( d1−d2)=−4 cx1

d1−d2=−2cx1a

d2−d1 =2cx1

a¿d2+d1 = 2a ¿

+

2d2=2cx1a

+2a

d2=cx1a

+a

d2=2a (a2c +x1)

d1=2a−d2

=2a−cx1a

−a=a−cx1a

d1=ca (a2c −x1)

Dapat dibuktikan bahwa :

d1 adalah ca kali jarak dari P(x1,y1) ke garis

c=a2c


F2

y = mx

F1

TK

Geometri Analit

d2 adalah ca kali jarak dari P(x1,y1) ke garis

c=−a2

c

⇒ x=±a2

c disebut garis arah / direktrikBukti :F2Q1=F2R1+R1Q1=2a (dibuat)F2R1+R1F1=2a (ketentuan)

R1Q1=R1F1 ¿ }PF1=PQ (jari−jari ) ¿}¿¿ Δ PF1R1 ≃ Δ PR1Q1¿ ⇒ ∠ R1I= ∠ R1II

8. Garis Tengah Sekawan

Apakah tempat kedudukan titik-titik tengah dari garis yang //y = mx ?

{y=mx → persamaan garis yang // y=mx ¿¿¿¿x2

a2+(mx+n)2

b2=1

b2x2+a2 (m2x2+2 mnx+n2)=a2b2(b2+a2m2 )x2+2 mna2x+a2n2−a2b2=0

Misal : (x0,y0) pada TK, maka


Geometri Analit

x0=12⋅−2 mna2

b2+a2m2=−

mna2

b2+a2m2

n=x0 (b2+a2m2)−ma2

⋅¿⋅¿ 1)

y0=m . −mna2

b2+a2m2+n =

−m2na2

b2+a2m2+n= n (−m2a2+b2+a2m2b2+a2m2 )

n =y0 (b2+a2m2 )b2

....... 2)

Dari 1) dan 2) diperoleh

x0 (b2+a2m2 )−ma2

=y0 (b2+a2m2 )b2

x0y0

=−ma2

b2 atau y0=−

b2

ma2x0

(x0,y0) dijalankan : y=− b2

ma2x adalah persamaan

garis tengah

Garis tengah-tengah y=mx & y=− b2

ma2x disebut garis tengah

sekawan dengan

m1=m ¿}¿¿¿

m1 x m2=mx . −b2

ma2

m1 m2=−b2

a2

Tampak bahwa : m1 m2 < 0 ; m1 & m2 berlawanan tanda , sehinggagaris tengah sekawan tersebut dipisahkan oleh sumbu-sumbukoordinat.


I. SISTEM KOORDINAT

Documents