I. Setyawan C discharge Untai Elektrik I filelainnya, arus dan tegangan dalam untai tersebut membutuhkan waktu untuk menyesuaikan diri. Keadaan ... Jika terminal kapasitor dihubungkan

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai Elektrik IUntai Orde 1

Dr. Iwan Setyawan

Fakultas TeknikUniversitas Kristen Satya Wacana

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Pendahuluan

• Setiap kali suatu untai berubah dari satu kondisi ke kondisilainnya, arus dan tegangan dalam untai tersebutmembutuhkan waktu untuk menyesuaikan diri. Keadaanini disebut keadaan transien.

• Setelah kondisi ini lewat, untai masuk ke dalam kondisisteady-state.

• Solusi persamaan diferensial yang mendefinisikan untai iniakan memiliki 2 bagian, yaitu complementary function(atau homogenous solution) dan particular solution.

• Complementary function berhubungan dengan kondisitransien, particular solution berhubungan dengan kondisisteady-state.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Pengosongan Kapasitor ke Resistor (1)

• Misalkan sebuah kapasitor memiliki beda potensial V0.Jika terminal kapasitor dihubungkan ke sebuah resistor R,muatan yang tersimpan akan mengalir berupa arus i .

• Jadi, beda tegangan pada kapasitor secara bertahapberkurang sampai nol. Pada saat itu, arus juga menjadinol.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Pengosongan Kapasitor ke Resistor (2)

• Misalkan pada untai berikut:

• Pada untai ini Ri = v dan i = −Cdv/dt, atau

dv

dt+

1

RCv = 0 (1)

• Satu-satunya fungsi yang kombinasi linearnya denganturunannya akan menghasilkan 0 adalah fungsieksponensial dengan bentuk Aest .

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Pengosongan Kapasitor ke Resistor (3)

• Dengan memasukkan v = Aest dan dv/dt = sAest , kitaperoleh

sAest +1

RCAest = A

(s +

1

RC

)est = 0

atau

s +1

RC= 0 atau s = − 1

RC(2)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Pengosongan Kapasitor ke Resistor (4)

• Jika v(0) = A = V0, kita peroleh v(t) dan i(t) sebagaiberikut:

v(t) = V0e−t/RC , t > 0 (3)

i(t) = −C dv

dt=

V0

Re−t/RC , t > 0 (4)

• Tegangan dan arus pada kapasitor merupakan fungsieksponensial dengan nilai awal masing-masing V0 danV0/R.

• Nilai tegangan dan arus akan turun dengan konstantawaktu τ = RC .

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Pengosongan Kapasitor ke Resistor (5)

• Plot tegangan dan arus adalah sebagai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Pengosongan Kapasitor ke Resistor (6)

Contoh soal 1:

Sebuah kapasitor 1 µFmemiliki tegangan 10 V untuk t < 0.Pada saat t = 0, sebuah resistor 1 MΩ dihubungkan kekapasitor tersebut. Carilah konstanta waktu τ , v(t) dan v(5).

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Pengosongan Kapasitor ke Resistor (7)

Jawab:

Dari pembahasan sebelumnya, kita peroleh

τ = RC = 106 × 10−6 = 1 s

v(t) = 10e−t V, t > 0

v(5) = 10e−5 = 0.067V

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Pengosongan Kapasitor ke Resistor (8)

Contoh soal 2:

Perhatikan untai berikut:

Pada untai ini tegangan awal kapasitor adalah 4 V. Carilaharus yang mengalir pada resistor 6 kΩ.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Pengosongan Kapasitor ke Resistor (9)

Jawab:

Resistor ekuivalen untuk untai ini adalah R = 2 kΩ. Konstantawaktu untai ini adalah RC = 10−2 s. Tegangan dan arus padaresistor 6 kΩ adalah

v = 4e−100t dan i = v/6000 = 0.67e−100t mA

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Tegangan DC pada kapasitor (1)

• Misalkan sebuah kapasitor yang tidak bermuatandihubungkan ke sebuah baterai dengan tegangan V0 padat = 0 seperti untai berikut

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Tegangan DC pada kapasitor (2)

• Untuk t > 0, analisis KVL memberikan Ri + v = V0. Jikadimasukkan i = C (dv/dt), kita peroleh:

dv

dt+

1

RCv =

1

RCV0 t > 0 (5a)

dengan kondisi awal

v(0+) = v(0−) = 0 (5b)

• Solusi yang dicari harus memenuhi (5a) dan (5b).

• Particular solution (forced response), vp(t) = V0, dapatmemenuhi (5a) tapi tidak (5b).

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Tegangan DC pada kapasitor (3)

• Untuk menyelesaikan hal ini, kita tambahkan homogenoussolution (natural response) vh(t) = Ae−t/RC sebagaiberikut: (5a) dan (5b):

v(t) = vp(t) + vh(t) = V0 + Ae−t/RC (6a)

• Berdasarkan kondisi awal, diperoleh v(0+) = V0 + A = 0,atau A = −V0.

• Jadi solusi lengkap adalah:

v(t) = V0(1− e−t/RC )u(t) (6b)

i(t) =V0

Re−t/RCu(t) (6c)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Tegangan DC pada kapasitor (4)

• Plot tegangan dan arus ditunjukkan pada gambar-gambarberikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Tegangan DC pada kapasitor (5)

Contoh soal 3:

Sebuah kapasitor 4 µF dengan tegangan awal v(0−) = 2 Vdisambungkan ke baterai 12 V melalui resistor 5 kΩ pada saatt = 0. Cari tegangan dan arus pada kapasitor untuk t > 0.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Tegangan DC pada kapasitor (6)

Jawab:

Konstanta waktu untai adalah τ = RC = 0.02 s. Dari sinidapat diperoleh:

v(t) = 12 + Ae−50t

Berdasarkan kondisi awal, v(0−) = v(0+) = 12 + A atauA = −10. Jadi untuk t > 0:

v(t) = 12− 10e−50t V

i(t) = (12− v)/5000 = 2× 10−3e−50t = 2e−50t mA

Arus dapat juga dicari dari i = C (dv/dt).

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Tegangan DC pada kapasitor (7)

Jawab (cont.):

Jadi tegangan naik secara eksponensial dari 2 V ke 12 V, danarus turun dari 2 mA ke nol. Plot tegangan ditunjukkan padagambar berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Tegangan DC pada kapasitor (8)

Jawab (cont.):

Plot arus ditunjukkan pada gambar berikut

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai RL tanpa sumber (1)

• Perhatikan untai RL sebagai berikut:

• Misalkan pada t = 0 arus yang mengalir adalah I0.

• Untuk t > 0, arus i harus memenuhi persamaanRi + L(di/dt) = 0 yang memiliki solusi i = Aest .

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai RL tanpa sumber (2)

• Dengan melakukan substitusi, kita peroleh:

A(R + Ls)est = 0, R + Ls = 0, s = −R/L

• Karena kondisi awal i(0) = A = I0 maka

i(t) = I0e−Rt/L untuk t > 0 (7)

• Konstanta waktu untai ini adalah τ = L/R.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai RL tanpa sumber (3)

Contoh soal 4:

Baterai pada untai berikut dilepas pada waktu t = 0. Carilaharus dan tegangan pada induktor untuk semua t.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai RL tanpa sumber (4)

Jawab:

Jika diasumsikan bahwa switch S sudah tertutup cukup lama,maka arus induktor konstan dan tegangannya 0. Untaiekuivalen untuk t = 0− ditunjukkan sebagai berikut.

Dari sini terlihat bahwa i(0−) = 12/4 = 3 A.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai RL tanpa sumber (5)

Jawab (cont.):

Setelah baterai dilepas (t > 0), untai ekuivalen menjadi sebagaiberikut.

Pada saat t > 0, arus turun secara eksponensial dari 3 A ke 0.Konstanta waktu untai adalah L/R = 1/100 s.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai RL tanpa sumber (6)

Jawab (cont.):

Dengan menggunakan hasil yang diperoleh pada contoh soal 3,kita peroleh arus dan tegangan induktor sebagai berikut:

i(t) = 3e−100t A

v(t) = L(di/dt) = −30e−100t V

Plot arus adalah sebagai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai RL tanpa sumber (7)

Jawab (cont.):

Plot tegangan adalah sebagai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Arus DC pada Induktor (1)

• Misalkan sebuah untai sebagai berikut.

• Jika switch S ditutup secara mendadak, arus pada untainaik secara eksponensial dari 0 ke sebuah nilai konstan,dengan konstanta waktu L/R.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Arus DC pada Induktor (2)

• Dengan menerapkan KVL pada untai, kita peroleh

Ri + Ldi

dt= V0 untuk t > 0, i(0+) = 0 (8)

• Karena i = ih(t) + ip(t), dengan ih(t) = Ae−Rt/L danip(t) = V0/R, maka

i = Ae−Rt/L + V0/R

• Koefisien A dicari dari i(0+) = A + V0/R atauA = −V0/R.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Arus DC pada Induktor (3)

• Arus pada induktor adalah:

i(t) =V0

R

(1− e−Rt/L

)untuk t > 0 (9)

• Plot arus adalah sebagai berikut.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Arus DC pada Induktor (4)

• Tegangan pada induktor adalah:

v(t) = Ldi

dt= V0e

−Rt/L untuk t > 0 (10)

• Plot tegangan adalah sebagai berikut.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Fungsi Eksponensial (1)

• Fungsi peluruhan eksponensial (exponential decayfunction) dapat dituliskan dalam bentuk e−t/τ , dengan τmeerupakan konstanta waktu (dalam detik).

• Untuk sebuah untai RC, τ = RC . Untuk sebuah untai RL,τ = L/R.

• Secara umum, fungsi ini bisa ditulis

f (t) = Ae−t/τ (t > 0)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Fungsi Eksponensial (2)

• Plot fungsi ini adalah sebagai berikut.

• Dapat dilihat bahwa f (τ) = Ae−1 = 0.368A. Dengan katalain, pada saat t = τ nilai fungsi tinggal kurang dari 37%nilai awal.

• Pada t = 5τ , nilai fungsi adalah 0.0067A atau kurang dari1% nilai awal. Oleh karena itu, pada prakteknya padat = 5τ masa transien sudah dianggap selesai.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Fungsi Eksponensial (3)

• Garis yang tangensial terhadap kurva eksponensial padatitik t = 0+ dapat digunakan untuk mengestimasi τ ,karena

slope = f ′(0+) = −A

τ

sehingga garis ini harus memotong sumbu t pada t = τseperti pada gambar berikut

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Fungsi Eksponensial (4)

• Secara lebih umum, garis tangensial pada t = t0 akanmemotong sumbu t pada t0 + τ .

• Jadi, jika nilai f (t0) dan f ′(t0) diketahui, kurva dapatdibuat.

• Pada prakteknya, terkadang nilai-nilai diatas tidak dapatdiketahui.

• Dalam kondisi seperti ini, dapat digunakan 2 buah titikdata untuk melakukan perhitungan.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Fungsi Eksponensial (5)

• Misalkan kita memiliki grafik sebagai berikut:

• Dari grafik ini kita peroleh 2 titik data, yaitu

f1 = Ae−t1/τ f2 = Ae−t2/τ

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Fungsi Eksponensial (6)

• Persamaan diatas dapat diselesaikan sehingga memberikan

τ =t2 − t1

ln f1 − ln f2

• Kemudian, A dapat dicari dalam τ dan f1 atau f2.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai RL & RC Kompleks (1)

• Sebuah untai yang lebih kompleks—terdiri atas sumber,resistor dan sebuah elemen penyimpan energi—dapatdiubah menjadi untai ekuivalen Thevenin/Norton.

• Dengan cara ini, untai kompleks ini dapat disederhanakanmenjadi untai RL/RC.

• Jika sumber pada untai secara tiba-tiba diubah ke sebuahnilai DC, untai dan tegangan merupakan eksponensialdengan τ sama tapi mungkin nilai awal dan akhir yangberbeda.

• Nilai τ adalah RC atau R/L, dengan R = RTh.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai RL & RC Kompleks (2)

Contoh soal 5:

Carilah i , v dan i1 pada untai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai RL & RC Kompleks (3)

Jawab:

Untai ekuivalen Thevenin untai diatas adalah sebagai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai RL & RC Kompleks (4)

Jawab (cont.):

Konstanta waktu untai ini adalah:

τ = L/RTh =5× 10−3

4= 1.25ms

Nilai awal arus induktor nol, nilai akhirnya adalah

i(∞) =vThRTh

=3

4= 0.75A

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai RL & RC Kompleks (5)

Jawab (cont.):

Jadi diperoleh

i = 0.75(1− e−800t)u(t) A

v = Ldi

dt= 3e−800tu(t) V

i1 =9− v

12=

1

4(3− e−800t)u(t) A

Tegangan, v , dapat juga dicari dari nilai awalnya,v(0+) = (9× 6)/(12 + 6) = 3V, nilai akhirnya, v(∞) = 0 dankonstanta waktu untai.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai RL & RC Kompleks (6)

Contoh soal 6:

Perhatikan untai berikut:

Kapasitor dihubungkan ke untai pada t = 0. Pada saat itu,tegangan pada kapasitor adalah v0 = 17 V. CarilahvA, vB , vC , iAB , iACdaniBC untuk t > 0.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai RL & RC Kompleks (7)

Jawab:

KCL pada node A:(1

2+

1

3+

1

6

)vA −

1

2vB −

1

6vC = 0

6vA − 3vB − vC = 0 (11)

KCL pada node B:

−1

2vA +

(1

2+

1

4

)vB − 103i − 1

4vC = 0

−2vA + 3vB − vC = (4× 103)i (12)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai RL & RC Kompleks (8)

Jawab:

KCL pada node C :

−1

6vA −

1

4vB +

(1

4+

1

6+

1

23

)vC = 0

−2vA − 3vB + 6vC = 0 (13)

Dengan menyelesaikan Persamaan (11), (12) dan (13) kitaperoleh:

vA =

(7

3× 103

)i vB =

(34

9× 103

)i vC =

(8

3× 103

)i

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai RL & RC Kompleks (9)

Jawab (cont.):

Dari sudut pandang kapasitor, untai terdiri atas sumber dansebuah resistor R = vB/i = 34/9 kΩ. Kapasitor mengeluarkantegangan awal V0 dalam bentuk eksponensial denganτ = RC = 34

9 × 103 × 9× 10−6 = 0.034 s. Untuk t > 0,tegangan dan arus adalah

vB = V0e−t/τ = 17e−1000t/34V

i = −C dvBdt

= (9×17×10−3/34)e−1000t/34 = 4.5e−1000t/34mA

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai RL & RC Kompleks (10)

Jawab (cont.):

vA =7

3× 103i = 10.5e−1000t/34V

vC =8

3× 103i = 12e−1000t/34V

vAB = vA − vB = −6.5e−1000t/34V

iAB = vAB/2000 = −3.25e−1000t/34mA

vAC = vA − vC = −1.5e−1000t/34V

iAC = vAC/6000 = −0.25e−1000t/34mA

vBC = vB − vC = 5e−1000t/34V

iBC = vBC/4000 = 1.25e−1000t/34mA

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

DC Steady-State pada L & C (1)

• Komponen eksponensial respon suatu untai RL dan RCakan meluruh sesuai waktu.

• Pada t =∞, untai mencapai steady-state dan responhanya terdiri atas komponen DC.

• Secara teoretis, suatu untai membutuhkan waktu takhingga untuk mencapai steady-state. Akan tetapi, padaprakteknya steady state sudah dianggap selesai padawaktu t = 5τ .

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

DC Steady-State pada L & C (2)

• Pada saat untai mencapai DC steady-state, semua arusdan tegangan dalam untai bernilai konstan.

• Jika tegangan pada suatu kapasitor bernilai konstan, makaarus yang mengalir pada kapasitor tersebut 0. Jadi padakondisi DC steady-state semua kapasitor dianggapopen-circuit.

• Jika arus pada induktor bernilai konstan, tegangannyabernilai 0. Jadi pada kondisi DC steady-state semuainduktor dianggap short-circuit.

• Oleh karena itu, pada kondisi DC steady-state untai dapatdianggap sebagai sebuah untai resistif (hanya mengandungsumber dan resistor).

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

DC Steady-State pada L & C (3)

Contoh soal 7:

Carilah iL, vC1 dan vC2 pada untai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

DC Steady-State pada L & C (4)

Jawab:

Pada saat DC steady-state, untai menjadi sebagai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

DC Steady-State pada L & C (5)

Jawab (cont.):

Untuk menyelesaikan soal ini, kita terapkan KCL pada node Adan B:

vA3

+vA − vB

6+

vA + 18− vB6

= 3 atau 2vA − vB = 0

vB12

+vB − vA

6+

vB − 18− vA6

= 0 atau − 4vA + 5vB = 36

Dengan menyelesaikan kedua persamaan tersebut, diperolehvA = 6 V dan vB = 12 V. Dari sini dapat diperoleh iL = 2 mA,vC1 = 8 V dan vC2 = 6 V.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

DC Steady-State pada L & C (6)

Contoh soal 8:

Carilah i dan v pada untai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

DC Steady-State pada L & C (7)

Jawab:

Pada saat t = 0, tegangan pada kapasitor 0. Dari analisis DC,dapat diperoleh bahwa nilai akhir tegangan kapasitor adalah−2 V. Konstanta waktu untai ini adalah τ = 0.034 s (lihatContoh soal 6). Dari sini diperoleh

v = −2(1− e−1000t/34)u(t)V

i = Cdv

dt

= −(9× 10−6)(2× 103)

34e−1000t/34u(t)

= −0.53e−1000t/34u(t)mA

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Transition at Switching Time (1)

• Jika sebuah sumber pada untai dinyalakan secaramendadak, atau jika amplitudo sebuah sumber berubahsecara mendadak, arus dan tegangan pada untai jugadapat berubah secara mendadak.

• Perubahan tegangan pada kapasitor membutuhkan arusberupa impulse.

• Perubahan arus pada induktor membutuhkan teganganberupa impulse.

• Tanpa adanya impulse tersebut tegangan pada kapasitoratau arus pada induktor akan tetap konstan.

• Keadaan induktor dan kapasitor setelah peristiwaswitching berlalu dapat dicari dari keadaan sebelum terjadiswitching.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Transition at Switching Time (2)

Contoh soal 9:

Perhatikan untai berikut. Pada untai ini, switch ditutup padasaat t = 0. Carilah i dan v untuk semua t.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Transition at Switching Time (3)

Jawab:

Pada t = 0− untai adalah sebagai berikut:

Dari untai ini, dapat diperoleh arus pada induktor adalahi(0−) = 2 A.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Transition at Switching Time (4)

Jawab (cont.):

Setelah switch ditutup, untai adalah sebagai berikut:

Untuk t > 0, arus merupakan sebuah eksponensial denganτ = L/R = 1/30 s, dan dengan nilai awal i(0+) = i(0−) = 2 Adan nilai akhir 12/3 = 4 A.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Transition at Switching Time (5)

Jawab (cont.):

Arus dan tegangan induktor adalah:

i = 2A v = 0, t < 0

i = 4− 2e−30t A v = Ldi

dt= 6e−30t V t > 0

Plot arus adalah sebagai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Transition at Switching Time (6)

Jawab (cont.):

Plot tegangan adalah sebagai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Transition at Switching Time (7)

Contoh soal 10:

Carilah i dan v untuk t = 0− dan t = 0+ pada untai berikut,jika R = 5 Ω dan L = 10 mH dan

vs =

5V t < 0

5 sinωt V t > 0

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Transition at Switching Time (8)

Jawab:

Pada t = 0−, i(0−) = 5/5 = 1 A dan v(0−) = 0. Selama masatransisi antara t = 0− dan t = 0+, arus induktor konstankarena tidak ada diskontinuitas tegangan. Jadi,i(0−) = i(0+) = 1 A.Untuk mencari v(0+), kita gunakan KVL: vs = RI + v dankarena vs(0+) = 0, maka v(0+) = vs(0+)− Ri(0+) = −5 V.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Respon terhadap Pulsa (1)

• Pada bagian ini akan diturunkan respon untai orde 1terhadap pulsa kotak.

• Penurunan berlaku untuk untai RC dan RL dengan inputarus atau tegangan.

• Sebagai contoh, digunakan untai sebagai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Respon terhadap Pulsa (2)

• Sumber memberikan pulsa kotak selama T detik denganamplitude V0.

• Untuk t < 0, v dan i nol. Selama ada pulsa kotak, kitaperoleh

v = V0(1− e−t/RC ) 0 < t < T (14a)

i =V0

Re−t/RC 0 < t < T (14b)

• Pada saat pulsa berakhir, untai menjadi untai tanpasumber dengan kapasitor memiliki tegangan awal

VT = V0(1− e−T/RC ) (14c)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Respon terhadap Pulsa (3)

• Dengan menggunakan Persamaan (3) dan (4) sambilmengingat pergeseran waktu sebesar T , kita peroleh:

v = VT e−(t−T )/RC t > T (15a)

i = −VT

Re−(t−T )/RC t > T (15b)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Respon terhadap Pulsa (4)

• Tegangan dan arus kapasitor digambarkan sebagai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Respon terhadap Pulsa (5)

Contoh soal 11:

Misalkan pada untai diatas R = 1 kΩ dan C = 1 µF, sertasumber tegangan merupakan pulsa dengan amplitude V0

selama selang waktu T . Carilah i dan v untuk:

a. V0 = 1 V dan T = 1 ms.

b. V0 = 10 V dan T = 0.1 ms.

c. V0 = 100 V dan T = 0.01 ms.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Respon terhadap Pulsa (6)

Jawab (a.):

Dalam kasus ini τ = 1 ms. Dengan menggunakan Persamaan(14) dan (15) diperoleh:Untuk 0 < t < 1:

v = (1− e−t), i = e−t , VT = (1− e−1) = 0.632V

Untuk t > 1:

v = 0.632e−(t−1) = 1.72e−t , i = −1.72e−t

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Respon terhadap Pulsa (7)

Jawab (b.):

Untuk 0 < t < 0.1:

v = 10(1− e−t), i = 10e−t , VT = 10(1− e−0.1) = 0.95V

Untuk t > 0.1:

v = 0.95e−(t−0.1) = 1.05e−t , i = −1.05e−t

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Respon terhadap Pulsa (8)

Jawab (c.):

Untuk 0 < t < 0.01:

v = 100(1− e−t) ≈ 100t, i = 100e−t ≈ 100(1− t),

VT = 100(1− e−0.01) = 0.995V

Untuk t > 0.01:

v = 0.995e−(t−0.01) = 1.01e−t , i = −1.01e−t

Pada kasus ini, kita gunakan pendekatan e−t = 1− t karenat 1. Kita lihat juga bahwa jika tegangan pemicu mendekatibentuk sebuah impulse, tegangan dan arus kapasitor mendekativ = e−tu(t) dan i = δ(t)− e−tu(t).

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Impulse Response untai RC & RL (1)

• Sebuah pulsa sempit dapat dimodelkan sebagai sebuahimpulse. Luasan impulse menunjukkan kekuatannya.

• Respon impulse merupakan alat penting dalam analisisuntai.

• Respon impulse dapat diturunkan dengan cara:• Mencari limit respon terhadap pulsa sempit (limit

approach).• Penurunan respon step.• Penyelesaian persamaan diferensial.

• Respon impulse biasanya dinyatakan sebagai h(t).

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Impulse Response untai RC & RL (2)

Contoh soal 12:

Carilah limit i dan v pada untai soal sebelumnya, untuk sebuahtegangan berbentuk pulsa dengan luasan 1 jika lebar pulsamendekati 0.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Impulse Response untai RC & RL (3)

Jawab:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita gunakan respon pulsa padaPersamaan (14) dan (15) dengan V0 = 1/T kemudian mencarilimit T → 0. Dari Persamaan (14c) kita peroleh:

limT→0

VT = limT→0

(1− e−T/RC

)/T = 1/RC

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Impulse Response untai RC & RL (4)

Jawab (cont.):

Dari Persamaan (15) kita peroleh:

hv = 0 dan hi = 0, t < 0

0 ≤ hv ≤1

RCdan hi =

1

Rδ(t), 0− < t < 0+

hv (t) =1

RCe−t/RC dan hi (t) = − 1

R2Ce−t/RC , t > 0

Sehingga

hv (t) =1

RCe−t/RCu(t)

hi (t) =1

Rδ(t)− 1

R2Ce−t/RCu(t)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Impulse Response untai RC & RL (5)

Contoh soal 13:

Carilah respon impulse untai soal diatas, dengan cara mencariturunan respon unit step-nya.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Impulse Response untai RC & RL (6)

Jawab:

Sebuah unit-impulse dapat dipandang sebagai turunan suatuunit-step. Respon step sebuah untai RC sudah diturunkan padaPersamaan (6) sebagai berikut:

v(t) = (1− e−t/RC )u(t) dan i(t) = (1/R)e−t/RCu(t)

Turunan v(t) dan i(t) adalah

hv (t) =1

RCe−t/RCu(t)

hi (t) =1

Rδ(t)− 1

R2Ce−t/RCu(t)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Impulse Response untai RC & RL (7)

Contoh soal 14:

Carilah respon impulse hi (t), hv (t) dan hi1(t) pada untaiberikut dengan cara penurunan respon unit step.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Impulse Response untai RC & RL (8)

Jawab:

Respon untai untuk fungsi step dengan amplitudo 9 sudahditurunkan pada contoh soal 5. Dengan cara mencari turunanrespon step tersebut dan memberi faktor penskalaan 1/9, kitaperoleh respon unit impulse sebagai berikut:

hi (t) =1

9

d

dt

[0.75

(1− e−800t

)u(t)

]=

200

3e−800tu(t)

hv (t) =1

9

d

dt

[3e−800tu(t)

]= −800

3e−800tu(t) +

1

3δ(t)

hi1(t) =1

9

d

dt

[1

4(3− e−800t)u(t)

]=

200

9e−800tu(t) +

1

18δ(t)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Impulse Response untai RC & RL (9)

Ringkasan respon untai RL dan RC untuk input step danimpulse disajikan pada Tabel 7-1 buku acuan.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Exponential Response untai RC & RL (1)

• Misalkan sebuah untai RL seri dengan sumbervs = V0e

stu(t) seperti pada gambar berikut:

• Untai dalam keadaan diam (tidak ada arus dan tegangan)untuk t < 0. Dengan menggunakan KVL, kita peroleh

Ri + Ldi

dt= V0e

stu(t) (16)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Exponential Response untai RC & RL (2)

• Untuk t > 0, solusi persamaan ini adalah:

i(t) = ih(t) + ip(t) dan i(0+) = 0 (17a)

• Bagian ih(t) adalah solusi jika tidak vs = 0, yang memilikibentuk:

ih(t) = Ae−Rt/L (17b)

• Bagian ip(t) harus memenuhi Persamaan (16), sehinggamemiliki bentuk:

ip(t) = I0est (17c)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Exponential Response untai RC & RL (3)

• Dengan mensubstitusikan ip ke Persamaan (16), diperolehI0 = V0/(R + Ls).

• Dengan memilih A = −V0/(R + Ls), syarat batasi(0+) = 0 dapat dipenuhi sehingga

i(t) =V0

R + Ls

(est − e−Rt/L

)u(t) (17d)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Exponential Response untai RC & RL (4)

• Terdapat kasus khusus jika sumber memiliki eksponensialyang sama dengan natural response (s = −R/L).

• Dalam kasus ini, ip(t) = I0te−Rt/L.

• Respon untai secara keseluruhan adalah

i(t) = ip(t) + ih(t) = (I0t + A)e−Rt/L

• Karena i(0−) = i(0+) = 0 maka A = 0 atau

i(t) = I0te−Rt/Lu(t), I0 = V0/L

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Sinusoid Response untai RC & RL (1)

• Misalkan sebuah untai RL seri dihubungkan dengansumber vs = V0 cosωt seperti pada gambar berikut:

• Dalam kasus ini kita peroleh:

Ri + Ldi

dt= V0(cosωt)u(t) (18)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Sinusoid Response untai RC & RL (2)

• Solusi persamaan tersebut adalah i(t) = ip(t) + ih(t),dengan:

ih(t) = Ae−Rt/L

ip(t) = I0 cos(ωt − θ)

• Dengan memasukkan ip ke Persamaan (18) kita peroleh:

I0 =V0√

R2 + L2ω2

θ = tan−1Lω

R

• Sehingga diperoleh:

i(t) = Ae−Rt/L + I0 cos(ωt − θ) t > 0

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Sinusoid Response untai RC & RL (3)

• Dari syarat batas i(0+) = 0, kita peroleh A = −I0 cos θ.Jadi kita peroleh:

i(t) = I0[cos(ωt − θ)− cos θ

(e−Rt/L

)]• Secara umum, suatu persamaan diferensial dengan bentuk

sebagai berikut:

dv

dt(t) + av(t) = f (t) (19)

memiliki forced response, vp(t), yang bergantung padaf (t).

• Pada tabel 7-2 buku referensi, disajikan beberapapasangan f (t) dan vp(t) yang sering dijumpai.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai Aktif Orde 1 (1)

• Untai aktif yang menggunakan op-amp lebih tidak rentanterhadap efek pembebanan jika dihubungkan dengan untailain.

• Pada bagian ini akan dibahas beberapa buah untai aktiforde 1.

• Dalam semua untai berikut, diasumsikan op-amp yangdigunakan merupakan op-amp ideal.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai Aktif Orde 1 (2)

Contoh soal 15 (HPF):

Perhatikan untai berikut. Pada untai ini, diasumsikan op-ampideal. Cari respon untai terhadap input step.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai Aktif Orde 1 (3)

Jawab:

Terminal inverting op-amp memiliki tegangan 0 dan kapasitorjuga memiliki tegangan 0 pada t = 0+. Oleh karena itu, inputstep akan menghasilkan arus i yang meluruh menurut waktumelalui R1C (dengan arah dari kiri ke kanan, τ = R1C dan nilaiawal 1/R1):

i =1

R1e−t/(R1C)u(t)

Karena op-amp tidak menarik arus, semua arus mengalir ke R2

sehingga menghasilkan v2 = R2i . Jadi respon step untai adalah

v2 = −R2

R1e−t/(R1C)u(t)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai Aktif Orde 1 (4)

Contoh soal 16:

Untuk untai pada soal sebelumnya, carilah persamaandiferensial yang menghubungkan v1 dan v2. Cari responunit-step dan bandingkan dengan hasil contoh soal 15.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai Aktif Orde 1 (5)

Jawab:

Karena op-amp tidak menarik arus, arus yang mengalir melaluiC , R1 dan R2 dari kiri ke kanan adalah −v2/R2. Misalkan vAadalah tegangan pada node yang menghubungkan R1 dan C .Maka tegangan kapasitor adalah v1 − vA. Arus dan tegangankapasitor adalah

− v2R2

= Cd(v1 − vA)

dt

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai Aktif Orde 1 (6)

Jawab (cont.):

Untuk mengeliminasi vA perhatikan bahwa bagian yang terdiriatas R1, R2 dan op-amp membentuk sebuah untai invertingdengan v2 = −(R2/R1)vA atau vA = −(R2/R1)v2. Jadi dapatdiperoleh

v2 + R1Cdv2dt

= −R2Cdv1dt

Untuk mendapatkan respon step, kita harus mencari solusipersamaan berikut:

v2 + R1Cdv2dt

=

−R2C t > 0

0 t < 0

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai Aktif Orde 1 (7)

Jawab (cont.):

Solusi persamaan diatas adalah −R2C (1− e−t/(R1C)u(t).Respon step untai adalah turunan solusi ini terhadap waktu,atau

v2(t) = −R2

R1e−t/(R1C)u(t)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai Aktif Orde 1 (8)

Contoh soal 17 (Penggeser fase pasif):

Carilah hubungan v2 dan v1 pada untai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai Aktif Orde 1 (9)

Jawab:

Kita gunakan node D sebagai referensi. Dengan menggunakanKCL pada node A dan B kita peroleh:

CdvAdt

+(vA − v1)

R= 0

Cd(vB − v1)

R+

vBR

= 0

Dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaanpertama dan karena v2 = vA − vB kita peroleh:

v2 + RCdv2dt

= v1 − RCdv1dt

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai Aktif Orde 1 (10)

Contoh soal 18 (Penggeser fase aktif):

Tunjukkan bahwa hubungan v2 dan v1 pada untai dibawah inisama dengan hubungan pada soal sebelumnya.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

C discharge

Teg. DCkapasitor

Source-free RL

Arus DCInduktor

FungsiEksponensial

RL & RCKompleks

DC tunak

Transition

Pulse Resp.

Impulse Resp.

ExponentialResp.

Sinusoid Resp.

Untai aktif

Untai Aktif Orde 1 (11)

Jawab:

Dengan menerapkan KCL pada terminal inverting (node A) dannon-inverting (node B) kita peroleh:

(vA − v1)

R1+

(vA − v2)

R1= 0

(vB − v1)

R+ C

dvBdt

= 0

Karena op-amp ideal, kita peroleh vA = vB . Dari persamaanKCL node A, kita peroleh vA = (v1 + v2)/2. Oleh karena itukita peroleh:

v2 + RCdv2dt

= v1 − RCdv1dt