I NUMERI IRRAZIONALI

I NUMERI IRRAZIONALI

La matematica certamente non sarebbe nata, se si fosse saputo fin da principio che in natura non esiste nè una linea esattamente retta, nè un vero cerchio, nè un' assoluta misura di grandezza.

Friedrich Nietzsche

Argomenti trattati

- La scoperta e lo scandalo degli irrazionali, i Pitagorici e la loro dottrina.

- Le grandezze incommensurabili, la radice quadrata di 2.

- Il “pi greco” e la sua storia

- Rappresentazione geometrica dei numeri

LA SCOPERTA E LO SCANDALO DEGLI

IRRAZIONALI

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Cos’è un irrazionale?

Un numero irrazionale è in matematica un numero reale, illimitato, non periodico, che non può essere scritto sotto forma di frazione. I numeri irrazionali sono dunque i numeri la cui espressione decimale non termina mai e non forma una sequenza periodica.

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I PITAGORICI

La scoperta degli irrazionali viene attribuita a Pitagora e ai suoi allievi. Essi scoprirono numerose verità matematiche e studiarono in che modo esse si manifestavano nel mondo. Oggi non sappiamo molto su di loro e sulle loro ricerche, tanto che non sappiamo con certezza neanche quali scoperte attribuire a loro e quali ad altri studi Mesopotamici ed Egizi. Tuttavia ci sono arrivate, tramite scritti ed opere, alcune informazioni molto interessanti, caratteristiche ed anche curiose sul pensiero e sullo stile di vita dei Pitagorici

Volto di Pitagora

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Le regole dei pitagorici Sappiamo che tutti gli appartenenti alla setta

dovevano attenersi a una sorta di codice non scritto abbastanza restrittivo che ne regolava la vita pubblica e privata:

• fare ogni sera un esame di coscienza e ogni mattina un programma per il giorno che iniziava;

• rispettare gli dei;• non cibarsi di carne e fave; • non spezzare il pane o attizzare il fuoco con metallo; • non indossare panni di lana o anelli; • non raccogliere ciò caduto;• rispettare la regola del silenzio; • praticare la comunione dei beni;

• Non si era mai ammessi alla presenza del maestro (Pitagora), che parlava ai novizi nascosto dietro a una tenda.

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L’insegnamento L’insegnamento di Pitagora veniva appreso come una

rivelazione divina, in forma dogmatica, come attesta la formula rituale in uso nella setta “αυτός έφη” (“egli lo ha detto”).

La dottrina veniva impartita attraverso

un elenco di domande e di

risposte in forma di sentenza.

Pitagora nella Scuola d'Atene, di Raffaello

Sanzio

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La dottrina dei Pitagorici è bene espressa nel loro motto “tutto è numero”. Essi infatti credevano che tutto dipendesse dai numeri e dai loro rapporti, e che i numeri fossero la chiave per scoprire tutti i segreti dell’universo. Pensavano infatti di poter risalire attraverso la matematica persino all’esistenza di un essere divino superiore.

LA DOTTRINA

Pitagorici celebrano l’alba,

di Fyodor Bronnikov.

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Il numeroDai numeri derivano tutte le cose e le relazioni tra di esse

sono esprimibili attraverso determinazioni numeriche.

Constatando come l’armonia musicale si fondasse su rapporti numerici, i pitagorici conclusero che gli elementi e le proprietà fondamentali delle cose e che

l’universo fosse, sul modello della musica, numero e armonia.

La natura è ordinabile e misurabile attraverso la matematica.

Il pentagramma, una figura che rappresentava l’armonia.

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Essi videro nella scienza del numero la via per la conoscenza.

I pitagorici individuarono corrispondenze magico-religiose tra i numeri e i fenomeni della vita:

• il numero 1 esprime l’intelligenza, immobile e identica a se stessa;• il 2 la mobile opinione che oscilla incerta verso direzioni opposte;• il 4 o il 9 (il quadrato del primo numero pari e di quello dispari)

rappresentano la giustizia;• il 5 il matrimonio perché è l’unione del primo pari e del primo

dispari(dopo il numero 1); • il 7 è il tempo critico (kairòs) dei periodi cruciali della vita umana

(parto settimino, cambio dei denti a 7 anni, pubertà a 14, maturità a 21).

• Il 10 è, infine, il numero perfetto, rappresentato da un triangolo equilatero, su cui i pitagorici erano soliti giurare. Raffigurato come un “numero triangolare”, esso rappresenta la mistica dècade: formato dai primi quattro numeri contiene egualmente il pari (4 numeri pari: 2,4,6,8) i dispari (4 numeri dispari:3,5,7,9).

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L’inizio della Fine

Certamente i pitagorici avevano una concezione rivoluzionaria della matematica, interessante e basata su dei solidi princìpi.

Durante i loro studi i Pitagorici, per una semplice scoperta, vennero a conoscenza di una verità che avrebbe smentito del tutto la loro dottrina. Decisero di tenere nascosta

questa scoperta, ma un “traditore”, tale Ippaso da Metaponto, la divulgò …

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La crisi della Scuola Egli rese pubblica una dimostrazione,

in seguito anche attribuitagli, dell’irrazionalità di e l’esistenza di grandezze il cui rapporto non può essere espresso da una frazione con numeratore e denominatore interi.

Questa dimostrazione costituiva una “scandalosa eccezione” alla teoria dei Pitagorici, in grado di screditare la loro dottrina. Alla scoperta seguirono tentativi di smentirla, ma la dimostrazione di Ippaso era ormai di dominio pubblico.

Di lui non si sa quasi nulla, ma si racconta che morì in un naufragio, colpito dall’ira di Zeus adirato per la sua scomoda scoperta.

2

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Più credibilmente ci fu un complotto degli stessi pitagorici che punirono Ippaso per la sua tracotanza.

Fine

La crisi della Scuola

Scrive su Ippaso il filosofo greco Proclo:

“I pitagorici narrano che il primo divulgatore di questa teoria [degli irrazionali] fu vittima di un naufragio; e parimenti si riferivano alla credenza secondo la quale tutto ciò che è irrazionale, completamente inesprimibile e informe, ama rimanere nascosto; e se qualche anima si rivolge ad un tale aspetto della vita, rendendolo accessibile e manifesto, viene trasportata nel mare delle origini, ed ivi flagellata dalle onde senza pace”.

Il numero “Pi greco”

Il fascino di un numero trascendente

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3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318...

Approssimazione del π.

« Esplorare π è come esplorare l'Universo … »

[David Chudnovsky]

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Pi Greco Il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo

diametro è una delle costanti universali conosciute dall’uomo, a cui è stato dato il nome di “pi greco” o anche costante di Archimede.

Se potessimo prendere una circonferenza di un metro di

diametro costruita con un filo, tagliarlo e stenderlo per terra a formare un segmento, quest’ultimo avrebbe una lunghezza pari esattamente al valore di “pi greco”, che approssimato è 3,1415926535. Occorre riportare un’approssimazione in quanto il “pi greco” è un numero irrazionale, come dimostrò nel 1767 lo svizzero Lambert.

Il “pi greco” è inoltre un numero trascendente: non è il risultato di un’equazione con coefficienti razionali.

Diametro

nzaCirconfere

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I primi calcoli del “pi greco”

“Fece poi un bacino di metallo fuso di dieci cubiti da un orlo all’altro, rotondo; misurava dieci cubiti; la sua altezza era di cinque cubiti e la sua circonferenza di trenta cubiti”

(I Libro dei Re 7,23)

Questo brano biblico fa riferimento a un recipiente, contenente l’acqua per le abluzioni, che si trovava nel tempio del re Salomone (costruito nel 950 a.C. ). Di esso vengono date le misure del diametro e della lunghezza della circonferenza. Da questi dati si deduce che il valore biblico di “pi greco” è 3.

Quella biblica é la peggiore approssimazione del “pi greco” mai data nella storia, ancor più se si considera che nel papiro egizio di Rhind, che risale al 1650 a.C. circa, è già presente un valore di π pari a 3,16.

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Calcolo di Archimede

Fu Archimede ( 287-212 a.C. ) il primo a individuare un metodo matematico per determinare un valore approssimato di “pi greco”, consistente, sostanzialmente, nel costruire due poligoni, uno inscritto e l’altro circoscritto a una circonferenza di raggio 1. Il valore della lunghezza della circonferenza doveva trovarsi tra i valori delle lunghezze dei due poligoni. Considerando che, a quei tempi, per effettuare questo tipo di calcoli non si disponeva di due strumenti fondamentali, la notazione decimale e la trigonometria, il valore ottenuto da Archimede nell’espressione:

223/71 < π < 22/7

è davvero degno di elogio, poiché l’errore commesso è nell’ordine dei millesimi.

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La “corsa” per trovare il maggior numero possibile di decimali di “pi greco” ha inizio già nella più remota antichità. I risultati più significativi di questo periodo sono indicati nella seguente tabella:

Eccezion fatta per il matematico cinese Tsu Ch’ung Chi, di cui non si conosce il metodo applicato, tutti gli altri matematici usarono metodi sostanzialmente uguali a quello di Archimede. Si può affermare che lo studio del π non fece registrare progressi significativi per duemila anni.

Matematico Anno Approssimazione Nazionalità

Tsu Ch’ung Chi ( 430-501a.C.) 355/113 Cina

Tolomeo ( 150 circa ) 3,1416 Grecia

Al-Khwarizmi ( 800 circa ) 3,1416 Persia

Al-Kashi ( 1430 circa ) 14 cifre Persia

Viète ( 1540-1603 ) 9 cifre Francia

Van Roomen ( 1561-1615 ) 17 cifre Belgio

Van Ceulen ( 1600 circa ) 35 cifre Germania

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L’origine del simbolo π Il primo impiego di un simbolo per rappresentare il rapporto tra il

perimetro di un cerchio e il suo diametro risale al 1689, quando J. Christoph Sturm, nell’opera “Mathesis enucleata”, usò la lettera “e”.

Il primo ad utilizzare la lettera π fu William Jones nel suo libro “Synopsis palmariorum Matheosis”, pubblicato nel 1706.

La spiegazione di ciò era che la lettera “π” è l’iniziale di περιμετρον, che in greco significa “perimetro”.

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Recenti approssimazioni Nel giugno del 1949 il matematico ungherese Von Neumann ideò

un programma per il calcolo di π a cui avrebbe lavorato l’ENIAC, uno dei primi computer della storia. La macchina calcolò 2.037 cifre in 70 ore. Questo inaugurò l’epoca degli algoritmi computerizzati.

Oggi grazie al lavoro di più di 600 ore di Yanumasa Kanada con un supercomputer Hitachi SR8000, si è arrivati a conoscere 1.241.100.000.000 cifre decimali. Con esse si potrebbe riempire un libro di spessore pari a 135 volte l’altezza della torre Eiffel.

Yanumasa Kanada ed il suo computer.

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La passione per il π

Il fascino del π è tale che organizzazioni matematiche si dedichino esclusivamente al suo studio, a svelare ed arricchire la sua mistica.

Sono state formulate frasi che criptassero la sequenza di cifre di questo numero, ecco alcuni esempi:

“Ave o Roma o Madre gagliarda di latine virtù che tanto luminoso splendore prodiga spargesti con la tua saggezza.”

“Che n'ebbe d'utile Archimede da ustori vetri sua somma scoperta?”

Il numero di lettere di ogni parola corrisponde ad una cifra π.

Fine

Nel 1977 Simon Plouffe entrò nel Guinness dei primati per aver memorizzato le prime 4.096 cifre decimali di π; Eppure, solo con le prime 39 cifre decimali si potrebbe calcolare la circonferenza dell’universo conosciuto con un errore commesso minore del diametro di un atomo di idrogeno.

L’esigenza dei pitagorici di trovare la misura del lato di un quadrato con area doppia a quella di un quadrato dato dette origine alla scoperta ed al successivo studio dei numeri irrazionali.

La necessità di ampliare l’insieme Q

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E’ evidente ed anche di verifica sperimentale che la diagonale del quadrato dato sarà congruente al lato del quadrato con area doppia a quella del quadrato iniziale. Così bisognerà trovare la misura della diagonale per risolvere il problema di origine.

Misurare la diagonale

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Se il lato del primo quadrato misura 1,

l’area del quadrato di partenza misura

1^2=1

L’area del nuovo quadrato misurerà il doppio cioè 2 unità

Per trovare la misura del lato basterà

soltanto risolvere

?22 ddPagina iniziale

… Ma esiste un numero razionale che al quadrato faccia esattamente 2?

Per assurdo, supponiamo che ci sia una frazione, che elevata al la seconda sia 2:

22

n

m

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N.B.: m e n numeri interi, non nulli e primi tra loro.

Risolvendo l’equazione si avrà:

m e n, essendo primi tra loro, non possono essere entrambi pari.

Sono possibili 3 casi:

1. m è dispari, n è dispari.

2. m è dispari, n è pari.

Questi due casi sono tuttavia impossibili, in quanto, se m è dispari, anche è dispari e sicuramente disuguale da che sarà pari, che n sia dispari o che sia pari.

222

22

222 nmn

m

n

m

22n2m

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3. m è pari, n è dispari.

Anche questo caso è impossibile:

Dato che m è pari, è divisibile per 4 e non sarà uguale a che è divisibile solo per 2 (n infatti è dispari ed sarà anche dispari)

2m

2n22n

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Nessuno dei casi è possibile

CONCLUSIONE:Non c’è nessun numero razionale che, elevato al

quadrato sia uguale a 2.

Occorre ampliare, quindi, l’insieme Q dei numeri razionali.

Introduciamo l’insieme R dei numeri REALI, come unione dei numeri RAZIONALI e IRRAZIONALI.

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Numeri Irrazionali Sono numeri decimali illimitati non periodici:

avranno infinite cifre dopo la virgola senza che queste si ripetano in maniera regolare.

Molti di questi numeri si possono esprimere in maniera esatta solo con il simbolo di radice, in questo modo:

n mOgni tentativo di esprimere numeri irrazionali con numeri decimali è un approssimazione

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Grandezze incommensurabili

Sappiamo ora che il rapporto tra diagonale e lato è , un numero irrazionale.

E’ impossibile, quindi, scrivere una delle due grandezze come prodotto dell’altra e

di un numero razionale.

2

Due grandezze con questa caratteristica, si dicono

incommensurabili.

Stima della

La misura della diagonale del quadrato di lato 1 è quindi e sarà uguale ad un numero x tale che =2.

Per trovare x occorre procedere per tentativi e trovare numeri i cui quadrati approssimino il 2 per difetto e per eccesso.

2

22x

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AVVICINARSI IL PIU’ POSSIBILE

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0 101 22

1 2

21.4 1.5

1.4 1.51.41 1.422

1.41 1.421.414 1.4152

Prima approssimazione: Si inizi dai numeri naturali :Seconda approssimazione: si calcolino tutti i

quadrati dei numeri con una cifra decimale compresi tra 1 e 2 e si controlli tra quali di questi è presente il 2. Si avra’:

Terza approssimazione: con un procedimento analogo calcoliamo i quadrati dei numeri con due cifre decimali compresi tra 1,4 e 1,5 controllando di nuovo tra quali di essi si trova il 2.

Si avrà: Ulteriori approssimazioni: Questo procedimento

puo’ continuare per la terza, la quarta cifra decimale e cosi’ via.

22 )2(2)1(

22 )5,1(2)4,1(

22 )42,1(2)41,1(

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Tutte le approssimazioni per difetto e tutte le approssimazioni per eccesso generano due insiemi di numeri A e B che chiameremo classi.

N.B.: La misura della si puo’ rappresentare sulla retta facilmente, riportando la lunghezza della diagonale del quadrato di lato 1 con il compasso

2

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Osservazioni

1. Ogni elemento di A è minore di mentre ogni elemento di B è maggiore. Per

questo le due classi sono separate: nessun elemento di A puo’ appartenere anche a B.

2. La differenza tra i due valori trovati diminuisce

ad ogni passaggio all’infinito, infatti il numero di A ad ogni passaggio aumenta, mentre il numero di B diminuisce: le due classi si dicono percio’ indefinitamente ravvicinate.

3. Due classi di numeri razionali con queste due caratteristiche sono dette CLASSI CONTIGUE e l’elemento che le separa sarà proprio .

2

2Fine

Come per la , si possono rappresentare graficamente con squadra e compasso tutte le radici dei numeri naturali mediante la cosiddetta “chiocciola delle radici” o “spirale di Teodoro”, sfruttando il teorema di Pitagora.

Costruzione delle radici dei numeri naturali

2

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Si costruisca un triangolo rettangolo isoscele con entrambi i cateti di misura 1 unità. L’ipotenusa (OB) sarà uguale a per il teorema di Pitagora:2

22 )()( BAAOOB

211 22

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Si costruiscano, dopo il primo, altri triangoli rettangoli aventi come cateti l’ipotenusa del triangolo precedente, ed un segmento di misura 1, in questo modo:

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A

B

O

Sempre per il teorema di Pitagora, il secondo triangolo (OBC) avente cateti di misura 1 e , avrà come ipotenusa , infatti:

2

E di conseguenza, il triangolo successivo (OCD), di Cateti 1 e , avrà come ipotenusa . Proseguendo in questo modo si potranno rappresentare graficamente tutte le radici dei numeri naturali, costruendo la “spirale di Teodoro”.

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Un’altra rappresentazione grafica di radici quadrate di numeri naturali, è il cosiddetto “scorpione degli irrazionali”:

Il lato di un quadrato di misura 1 sia il cateto di un triangolo isoscele rettangolo. Sull’ipotenusa di quest’ultimo si costruisca un altro quadrato. Si ripeta il processo costruendo alternativamente un triangolo isoscele rettangolo ed un quadrato.Si noti che le ipotenuse di ogni triangolo e quindi i lati di ogni quadrato misureranno per il teorema di Pitagora nell’ordine:

Ovvero la radice del numero naturale doppio al radicando precedente.

....32,16,8,4,2

Fine

Lavoro realizzato da: Antonio De Marzo,

Federico Fusco,

Riccardo Giorgino,

Antonio Liguori,

Federico Maiorano.

Liceo Classico “Socrate”

Anno scolastico 2008/2009