1 1 Dinamika materijalne toke D´Alembertov princip Zakoni dinamike Oscilacije 13. dio: 2 Newtonovi aksiomi: • I. aksiom: Zakon inercije • II. aksiom: Zakon gibanja • III. aksiom: Zakon akcije i reakcije (ponavljanje iz statike) 3 I. Aksiom: Zakon inercije Materijalno tijelo ili toka bez djelovanja vanjskih sila zadržava stanje mirovanja ili jednolikog pravocrtnog gibanja sve dok ga vanjske sile ne prisile da takvo stanje promijeni. Gibanje materijalnog tijela bez djelovanja vanjskih sila naziva se gibanje po inerciji. 4 II. Aksiom: Osnovni zakon dinamike Produkt mase i ubrzanja materijalnog tijela ili toke kojeg tijelo (toka) dobiva djelovanjem sile jednak je po intenzitetu toj sili. Pravac i smjer ubrzanja podudara se s pravcem i smjerom sile. → → → → ⋅ = ⋅ = ⋅ = a m dt v d m dt v m d F 5 III. Aksiom: Zakon akcije i reakcije Dva materijalna tijela (toke) djeluju jedan na drugi silama istih intenziteta, na istom pravcu djelovanja, ali suprotnog smjera. 6 Zadaci dinamike: Prvi zadatak dinamike: Poznat je zakon gibanja materijalne toke potrebno je odrediti silu koja djeluje na materijalnu toku (F=?; D´Alembertov princip) Drugi zadatak dinamike: Poznate su sile koje djeluju na materijalnu toku, potrebno je odrediti zakon gibanja materijalne toke [s=f(t) =?].
14
Embed
I. Aksiom: IZakon inercije. A ks i om: O nv za dinamikergn.hr/~lfrgic/nids_lfrgic/PDF_Print_Opca mehanika_Rudar/Print_PDF... · Zakoni dinamike Oscilacije 13. dio: 2 Newtonovi aksiomi:
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
1
Dinamika materijalne toke
D´Alembertov principZakoni dinamike
Oscilacije
13. dio:
2
Newtonovi aksiomi:
• I. aksiom: Zakon inercije
• II. aksiom: Zakon gibanja
• III. aksiom: Zakon akcije i reakcije
(ponavljanje iz statike)
3
I. Aksiom: Zakon inercije
Materijalno tijelo ili toka bez djelovanja vanjskih sila zadržava stanje mirovanja ili jednolikog pravocrtnog gibanja sve dok ga vanjske sile ne prisile da takvo stanje promijeni.
Gibanje materijalnog tijela bez djelovanja vanjskih sila naziva se gibanje po inerciji. 4
II. Aksiom: Osnovni zakon dinamike
Produkt mase i ubrzanja materijalnog tijela ili toke
kojeg tijelo (toka) dobiva djelovanjem sile jednak je
po intenzitetu toj sili. Pravac i smjer ubrzanja
podudara se s pravcem i smjerom sile.
→→
→
→⋅=⋅=
⋅= am
dtv d
mdt
vm dF
5
III. Aksiom: Zakon akcije i reakcije
Dva materijalna tijela (toke) djeluju jedan na drugi silama istih intenziteta, na istom pravcu djelovanja, ali suprotnog smjera.
6
Zadaci dinamike:
Prvi zadatak dinamike:Poznat je zakon gibanja materijalne toke potrebno je odrediti silu koja djeluje na materijalnu toku (F=?; D´Alembertov princip)
Drugi zadatak dinamike:Poznate su sile koje djeluju na materijalnu toku, potrebno je odrediti zakon gibanja materijalne toke [s=f(t) =?].
2
7
D’Alembertov principD’Alembert je uveo u mehaniku pojam
sile inercije Fin t.j. sile kojom se tijelo
odupire promjeni gibanja.
8
Sila inercije
jednaka je produktu mase m i ubrzanja
i usmjerena je u suprotnom smjeru od
smjera ubrzanja a materijalne toke.
)a(mF in→→
−⋅=
inF
→a
9
( ) 0amam
0FF
)a(mF
aksiom) Newtonov (II. amF
in
in
=−⋅+⋅
=+
−⋅=
⋅=
→→
→→
→→
→→
10
D’Alembertov princip
• Dodamo li nekom sustavu sila i silu inerciju, sustav e biti u ravnoteži.
• Time zadatak dinamike možemo rješavati pomou statikih uvjeta ravnoteže.
11
D’Alembertov principSlobodna toka:
• Vanjske sile koje djeluju na materijalnu toku u ravnoteži su sa silom inercije.
Neslobodna toka:
• Vanjske sile (aktivne i reaktivne-sile veza ) koje djeluju na materijalnu toku u ravnoteži su sa silama inercije.
0FF in =+→→
0FRF inreakakc =++
12
Opi zakoni dinamike materijalne toke:
• Zakon o promjeni koliine gibanja
• Zakon o promjeni kinetike energije
• Zakon o ouvanju mehanike energije
• Zakon o promjeni momenta koliine gibanja
3
13
Opi zakoni dinamike materijalne toke:
1. Zakon o promjeni koliine gibanja
Promjena koliine gibanja jednaka jeimpulsu sile.
tFIvmvm 01 ⋅==⋅−⋅→→→→
14
Izvod:
? vmvm
? vmvm
01
01
=⋅−⋅
+⋅=⋅→→
→→
15
=⋅−⋅ ⋅=
⋅=⋅−⋅⋅=
⋅ =−==⋅
⋅ ==⋅
=⋅
→→→→→
→→→→→
→→→→→→
→→→→
→→
i01
t
0i
1
0
t
0i01i
t
0i0
1i
t
0i
10i
i
Ivmvm dtFKd
dtFvmvm dtFKd
dtFKK FdtKd
dt)vm( d
dtF K Fdt
vdm
Fam
16
Opi zakoni dinamike materijalne toke:
2. Zakon o promjeni kinetike energije
Promjena kinetike energije jednaka je radu sila.
→→⋅==⋅−⋅
sFA2vm
2vm 2
021
17
Izvod: Pravac sile F i puta s se podudaraju
→→
=⋅ iFam
1 cos 0 =α→=α
18
dsFvdvm
Fvdsdv
m
sFvm21
vm21
Fdtds
dsdv
m
sF2v
m Fdtvd
m
dsFdvvm Fam
i
i
20
21i
si
vv
2
i
s
0i
v
vi
0
1
0
1
0
⋅=⋅⋅
=⋅⋅
⋅=⋅−⋅=⋅⋅
⋅=⋅=⋅
⋅ =⋅⋅=⋅
→→
→→
4
19
sFEEE AE 0k1kkk ⋅=−=∆=∆
sRsFEEE t0k1kk ⋅−⋅=−=∆20
Opi zakoni dinamike materijalne toke:
3. Zakon o ouvanju mehanike energije
Suma kinetike i potencijalne energije pri gibanjumaterijalne toke pod djelovanje konzervativnih sila
(bez trenja) je konstantna.
konstantan E E pk =+
0
20
1
21 hgm
2vm
hgm 2vm ⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅
21
2
vm
2
vm0EEE
22
kp00 ⋅
=⋅
+=+=
vm 21
0 hgmEEE 20kp ⋅=+⋅⋅=+=
2vm
2vm
sgmEEE20
2s
kp⋅=⋅+⋅⋅=+=
Iz kinematike vertikalan hitac: g
vh
⋅=
2
20
22
Opi zakoni dinamike materijalne toke:
4. Zakon o promjeni momenta koliine gibanja
Promjena momenta koliine gibanja u vremenu
obzirom na neku toku jednaka je statikom
momentu sile obzirom na tu istu toku.
→→
→→
→→
×=
⋅×= Fr
dt
vmr d M
dtLd
OO
23
→→→⋅×= vmrLO
24
4. Zakon o promjeni momenta koliine gibanja
Primjer 1: Gibanje planeta oko Sunca i sila kojom Sunce privlai planete
• Putanja planeta je elipsa a Sunce se nalazi u fokusu elipse – to je gibanje pod djelovanjem centralne sile kod koje pravac sile za cijelo vrijeme gibanja prolazi kroz jednu te istu toku O.
5
25Keplerov zakon 26
.konstvdvdvd.konstvd
.konstmvd
.konstsinmvrL
.konstvmrL
0dt
vmrd
dtLd
0FrM
BBAA
0
0
O
O
=⋅=⋅=⋅=⋅
=⋅=α⋅⋅=
=⋅×=
=
⋅×=
=×=
→→→
→→→
→→→
Toka O – Sunce
Toka M – Zemlja
masa Zemlje m = konstanta
27
Površine moraju biti jednake !
brzina najveav
brzina najmanja- v
N
A
−
.konstvd =⋅
28
Primjer 2: Prandtlov stolac
• Piruete kod klizanja.konstL
dtLd O ==
→→
0
konst. v mrL =⋅=
konst. v r =⋅
29
Primjer 3:
• Kuglica Mprivezana na nit koja se namotava na tanki vertikalni štap.
100 mvr mvr 1 ⋅=⋅
30
Primjer 4: Matematiko njihalo
lg
0lg
sin kut mali za 0sinlg
mgsin l dtd
l m
dinamike)zakon (4. MdtLd
mgsin l mgd Mdtd
l mdtd
lmlL
dtd
lr v;lr
Fr M vmrL
2
22
OO
O
2O
OO
=ω→=ϕ⋅+ϕ
ϕ≅ϕϕ=ϕ⋅+ϕ
⋅ϕ−=ϕ
=
⋅ϕ−=⋅−=
ϕ=ϕ⋅=
ϕ=ω⋅==
×=×=
••
••
→→
→→→→→→
6
31
Diferencijalna jednadžba (oscilacijskog) gibanja matematikog njihala:
0 2 =ϕ⋅ω+ϕ••
ti tr2
titr1
21
22
rtrt2rt2
2
rt2
ee ee
i r ir :Rješenja 0r
e:/ 0eer
0
er
21 ⋅ω−⋅ω
••
••
==ϕ==ϕ
⋅ω−=⋅ω==ω+
=⋅ω+⋅
=ϕ⋅ω+ϕ
⋅=ϕ
Rješenje u obliku:rte=ϕ
32
Ope rješenje diferencijalne jednadžbe sastoji se od zbrojapojedinanih rješenja pomnoženih konstantama:
• Ako se sustav sa sposobnošu osciliranja – oscilatoruje frekvencijom ΩΩΩΩ koja odgovara vlastitoj frekvenciji oscilatora ωωωω, javljaju se velike amplitude koje dovode do razaranja oscilatora (prisilne oscilacije, pojava rezonance – Tacoma bridge).
74
Prisilne oscilacijes otporom - opi sluaj• Vlastite oscilacije se vrlo brzo
prigušuju pa e nakon nekog vremena preostati samo prisilne oscilacije u užem smislu.
75
Diferencijalna jednadžba oscilacija:
( )−−⋅−⋅
−⋅
Ω
•
••
tFx k xb
xm
( )tFxkxbxm Ω
•••=⋅+⋅+⋅
sila inercije
sila prigušenja
elastina sila opruge (restitucijska)
sila prisile – poremeajna sila 76
Prisilne oscilacije s otporom
t [s]
x [m]
77
Primjer 1: Slobodne oscilacijeOpruga oscilira jer je optereena trenutno silom od 0,12 kN. Odredite zakon slobodnih oscilacija ako krutost opruge iznosi 2000 N/m.
Zadano:G = 0,12 kNk = 2000 N/m.
0x v0t
x x0t
0
st0
===
==•
( )
t sinBt cosAvt cosBt sinAx
t sinRx
ω⋅ω⋅−ω⋅ω⋅=ω⋅+ω⋅=
α+ω⋅=
78
x st
0
k
G
x
( )
Hz 08,249,01
T1
f
s 49,08,12
22T
t 8,12 cos60,0 x
(1/s) 8,12120
9,812000G
gkmk
0A 0B1A0 0x v0t
0,06 B 1B0A 60,0 0,06 x x0t
m 06,0NmN
2000120
kG
x
tsinBtcosAxv
tcosBtsinAx
0
st0
st
===
=π=ωπ=
⋅⋅−=
=⋅=⋅==ω
=→⋅ω⋅−⋅ω⋅====
−=→⋅+⋅=−−===
=
==
ω⋅ω⋅−ω⋅ω⋅==
ω⋅+ω⋅=
•
•
14
79
• Primjer 2:Odredite trenutne vrijednosti pomaka, brzina i ubrzanja slobodnih harmonijskih oscilacija bez poetne faze za t = 2 sekunde i t = 4 sekunde, ako amplituda oscilacija iznosi 50 cm a period osciliranja je 8 sekundi.Zadano: a = 0
R = 50 cm = 0,5 mT = 8 s
• za t = 4 s x = ?; v = ?; a = ? 80
( )
222
2
m/s 4
5,0 24
sin4
5,0 x
m/s 0 24
cos4
5,0x
m 0,5 24
sin5,0x s 2t
t4
sin4
5,0 x
t4
cos4
5,0x
t4
sin5,0x
48
2T2
2
T tsinRx
π⋅−=
⋅π⋅
π⋅−=
=
⋅π⋅π⋅=
=
⋅π⋅==
⋅π⋅
π⋅−=
⋅π⋅π⋅=
⋅π⋅=
π=π=π=ω→ωπ=α+⋅ω⋅=
••
•
••
•
81
( )
004
5,0 44
sin4
5,0 x
m/s 8
14
5,044
cos4
5,0x
005,044
sin5,0x s 4 t
22
=⋅
π⋅−=
⋅π⋅
π⋅−=
π−=−π⋅=
⋅π⋅π⋅=
=⋅=
⋅π⋅==
••
•
82t
2sin
2xa
t2
cosxv
2 π⋅π−==
π⋅π==
••
•
• Primjer 3:Amplituda slobodnih harmonijskih oscilacija iznosi 2 metra, a period 4 sekunde bez poetne faze. Izraunajte za vrijeme t = 2 sekunde trenutne vrijednosti pomaka, brzine i ubrzanja.( )
t2
sin2x
24
2T
0 4T 2Rt sinRx
π⋅=
π=ω→=ωπ=
=α==α+ω⋅=
0a-πv0x2t
83
Primjer 4: Odredite trenutne vrijednosti pomaka, brzina i ubrzanja slobodnih harmonijskih oscilacija bez poetne faze za t = 1 sekunda, ako amplituda oscilacija iznosi 30 cm a period osciliranja 6 sekundi.