Brojevi · Aksiom: Broj 1 je prirodan broj. • LEMA –pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji. Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji

BROJEVIBROJEVIBROJEVIBROJEVI

Matematički pojmovi• DEFINICIJA – određivanje nekog matematičkog pojma pomoću pojmova koji se

smatraju poznatima.

Definicija: Kvadrat je četverokut kojemu su stranice jednake, a kutovi pravi.

• AKSIOMI (praistina) – osnovna tvrdnja u nekoj teoriji koje se smatra istinitom i

ne dokazuje se.

Aksiom: Broj 1 je prirodan broj.

• LEMA – pomoćna tvrdnja koja služi za dokazivanje drugih tvrdnji.

Lema: Težište trokuta jest točka u kojoj se sijeku pravci koji spajaju vrhove

trokuta sa središtem suprotne stranice.

• TEOREM (poučak) – izjava čija se istinitost može utvrditi dokazom.

Teorem:

• KOROLAR (posljedica) – tvrdanja čija se istinitost utvrđuje iz istinitosti tvrdnje

nekog teorema.

Korolar: Zbroj kutova trokuta jest 180°.

• DOKAZ – utvrđivanje istinitosti neke matematičke činjenice iz nekih drugih

matematičkih činjenica, rasuđivanjem po određenim pravilima.

Tri vrste dokazivanja:

– Izravni dokaz

– Neizravni dokaz

– Dokaz potpunom indukcijom.

– (Konstruktivni dokaz)

Matematičke oznake

Skup• Georg Cantor (1845.-1918.) osnivač teorije skupova.

• Skup se ne definira, to je osnovni pojam.

• Skupove označavamo slovima A, B, …, N, …, X, Y, Z.

• Relaciju ‘’biti element’’ označavamo oznakom ∈∈∈∈.

• Vennovi dijagrami – metoda grafičkog prikaza skupovnih operacija.

Prirodni brojevi (skup N)• skup N = {1, 2, 3, ...} (lat. naturalis)

• Peanovi aksiomi:

I. 1 ∈∈∈∈ N

II. ako je n ∈∈∈∈ N , onda je i n + 1 ∈∈∈∈ N

III. ako je n +1 = m + 1, onda je m = n

IV. nema prirodnog broja da je 1 = n + 1

V. ako je M ⊆⊆⊆⊆ N i ako vrijedi:

i. 1 ⊆⊆⊆⊆ M

ii. ako je n ∈∈∈∈ M, onda je n + 1 ∈∈∈∈ M. Tada je M = N .

• Skup N je beskonačan.

• Temelj za izgradnju svih ostalih brojeva.

• Prosti (prim) brojevi su brojevi koji maju samo dva djelitelja, broj 1 i sebe

samoga (2, 3, 5,7, …).

• Osnovni teorem aritmetike:

– Svaki se prirodan broj može jednoznačno napisati kao umnožak prostih brojeva.

• Euklid, Eratosten, Fermat, Merssenne…

• Skup N je zatvoren na operacije zbrajanja i množenja i vrijede svojstva:

– komutativnost zbrajanja:

– asocijativnost zbrajanja:

– komutativnost množenja:

– asocijativnost množenja:

– neutralni element za množenje:

– distributivnost množenja prema zbrajanju:

• Skup N je uređen skup.

xyyx +=+

xyyx ⋅=⋅

zyxzyx ⋅⋅=⋅⋅ )()(

xxx =⋅=⋅ 11

zxyxzyx ⋅+⋅=+⋅ )(

zyxzyx ++=++ )()(

Cijeli brojevi (skup Z)•

• skup Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

• Cijeli broj – prirodan broj, broj suprotan prirodnom broju ili nula.

• Apsolutna vrijednost:

• Oduzimanje:

• Skup Z je zatvoren na operacije zbrajanje i množenje, vrijede sva svojstva kao i u skupu N te još dva svojstva:

• Neutralni element za zbrajanje:

• Postojanje suprotnog broja za zbrajanje:

Nmnxmnx ∈∀=+ ,,,

<−

≥=

0:

,0:

xx

xxx

xxx =+=+ 00

0)()( =+−=−+ xxxx

)(: xyxy −+=−

Racionalni brojevi (skup Q)•

• Racionalan broj – količnik cijelog broja m (brojnik) i prirodnog broja n (nazivnik).

•

• Racionalni brojevi zapisuju se kao i decimalni brojevi:

– konačni

– čisto periodički

– mješovito periodični

• Skup Q je uređen, prebrojiv i gust.

n

m

24

353

1

∈Ζ∈= Nnmn

mQ ,:

Zmnxmnx ∈∀=⋅ ,,,

2

1

Aksiomi:

1. asocijativnost zbrajanja

2. postojanje neutralnog elementa za zbrajanje

3. postojanje inverznog elementa za zbrajanje

4. komutativnost zbrajanja

Qzyxzyxzyx ∈∀++=++ ,,);()(

xxxQQx =+=+∈∃∈∀ 00:0!

0)()(:)(! =+−=−+∈−∃∈∀ xxxxQxQx

Qyxxyyx ∈∀+=+ ,;

5. asocijativnost množenja

6. postojanje neutralnog elementa za množenje

7. postojanje inverznog elementa za množenje

8. komutativnost množenja

9. distributivnost množenja prema zbrajanju

• Skup Q čini polje.

Qzyxzyxzyx ∈∀⋅⋅=⋅⋅ ,,);()(

xxxQQx =⋅=⋅∈∃∈∀ 11:1!,

1:}0{\!111

=⋅=⋅∈∃∈∀−−− xxxxQxQx

Qyxyxxy ∈∀= ,,

( ) Qzyxxzxyzyx ∈∀+=+⋅ ,,,

10. x ≤ y ili y ≤ x, ∀ x,y ∈ Q

11. x ≤ y i y ≤ x ⇔ x = y, ∀ x,y ∈ Q

12. ako je x ≤ y i y ≤ z ⇒ x ≤ z, ∀ x,y,z ∈ Q

13. ako je x ≤ y, onda ∀ z ∈ R ⇒ x + z ≤ y + z

14. ako je 0 ≤ x i 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ xy

• Skup Q čini uređeno polje.

Iracionalni brojevi (skup I)

•

• Volovi ne vole matematiku!

• skup I

•

• Uređen skup

• Gust skup

• Neprebrojiv skup (ima više iracionalnih nego racionalnih brojeva!)

• Beskonačni neperiodski decimalni zapis

,...,,2,3,22

eπ

Definicija1:

Skup svih realnih brojeva x za koje vrijedi nejednakost gdje su

zove se otvoreni (zatvoreni) interval i označava se ili , odnosno .

Definicija2:

Poluotvorenim (poluzatvorenim) intervalom nazivamo skup svih

realnih brojeva x za koje vrijedi:

( )bxabxa ≤≤<<

R∈ba, ( )ba, ba, [ ]ba,

( )bxabxa <≤≤<

] [( )baba ,,

Neki jednostavni skupovi

Definicija3:

Beskonačnim intervalima nazivamo skupove:

{ }

{ }

{ } ]

{ } [

{ } RRR

RR

RR

RR

RR

=+∞∞−=∈∞<<−∞∈

∞+=∈≥∈

∞−=∈≤∈

+∞=∈>∈

∞−=∈<∈

,,:

,,:

,,:

,,:

,,:

axx

aaaxx

aaaxx

aaaxx

aaaxx

Primjer1:

Skupovi: <1, 5>, [1, 5], <1, 5] i [1, 5> su ograničeni.

Primjer2:

Skup [2, +∞> je neograničen jer nije ograničen odozgo.

Primjer3:

Skup je ograničen jer je

= ,...1

,...3

1,

2

1,1

nS [ ]1,0⊂S

• Skup S ⊂ R je odozgo omeđen (ograničen) ako postoji realan broj M takav da je

x ≤ M, ∀ x ∈ S. M je gornja međa (ograda) ili majoranta.

• Skup S ⊂ R je odozdo omeđen (ograničen) ako postoji realan broj m takav da je

m ≤ x, ∀ x ∈ S. m je donja međa(ograda) ili minoranta.

• Najmanja gornja(najveća donja) međa skupa S zove se supremum (infimum) i

označava se sup S (inf S).

• Primjer4:

• Primjer5:

• Primjer6:

Supremum i infimum

{ }20: <≤∈= xxS R

{ }5,7,3,1=S

{ }4:2

<∈= xxS R

Realni brojevi (skup R)

• Skup R = Q U I

• Vrijedi svih 14 aksioma skupa Q, i aksiom neprekidnosti (Dedekindov aksiom):

15. Ako je S neprazan podskup realnih brojeva, ograničen odozgo (odozdo), onda S ima

supremum (infimum) u R.