Hydrostatika a hydrodynamika - Univerzita Pardubice a hydrodynamika.pdf · Rovnice kontinuity Bernoulliova rovnice Pitotova trubice Vodní vývěva Reálné kapaliny viskozita. Ideální

Hydrostatika a hydrodynamika

HS

Ideální tekutina

Hydrostatický tlak

Pascalův zákon

Archimédův zákon

A.z. - vážení

Zabýváme se kapalinami, ne tuhými tělesy

HD

Rovnice kontinuity

Bernoulliova rovnice

Pitotova trubice

Vodní vývěva

Reálné kapaliny viskozita

Ideální tekutina

1. Dokonale nestlačitelná

Reálné kapaliny se velmi blíží ideální pokud jde o nestlačitelnost

Pro H2O p = 10 Ncm-2 se zmenší objem jen o 5*10-5

2. Dokonale tekutá = neexistuje vnitřní tření

Pokud se pohybuje neztrácí energii třením, má nulovou viskozitu

ODVOZENÍ:

Objemový element dh3 je bez zrychlení

dF2 = dF1 + dG

dF2 - dF1 = g..dh3

(p+dp).dS – p.dS = g..dh3

dp.dS = g ..dh3

dp = g ..dh

Hydrostatický tlak• Hydrostatický tlak je důsledkem gravitačního pole = tíhy kapaliny,

popř. důsledkem setrvačných nebo vnějších sil

dS = dh2

dV = dh3

dh

dF2

0

Slim

dS

dFp

S

FpTlak = síla na plochu

p = g ..h + p0

způsobený gravitací

[Pa] = [N.m-2]

dF1

dG

HS

Aerostatický tlak - počasí• Aerostatický tlak je důsledkem gravitačního pole = tíhy vzduchu

Tlaková níže

Ochlazování, tvorba

mraků a déšť

HS

• Na tvorbě víru se podílí rotace

Země (Coriollisova síla)

Hydrostatický tlak - příklad

d h.b.h.g.d F

Síla působící na dno:

G = mg = ρVg =

ρ.a.b.c.g

1) Tlak na dno:

p = G/S = ρ.c.g

Tlak v hloubce h:

p = ρhg

S

c

h

dh

ba

2) Síla působící na stěnu b-c:

2

02

1gbcdhghbF

c

dF

HS

Pascalův zákonsilová rovnováha v kapalině

tlak se šíří v kapalinách rovnoměrně všemi směry

S1

S2

F1

G p1

p2

F2

p >> bp >> ρgh

2

2

1

1

S

F

S

F

(6)

1

1

22 F

S

SF

Princip

hydraulického lisu

nebo heveru:

W1 = W2 !!!

p1 = p2

HS

Archimédův zákon

v

Vztlaková síla FA je rovna

tíze kapaliny, jejíž objem

těleso zaujímá.

F2

F1

S

h1

h2

Síla působící na horní podstavu:

F1 = ρkgh1S

Tlak na místě spodní podstavy:

p2= ρkgh2

Tlak v místě horní podstavy:

p1= ρkgh1

Síla působící na spodní podstavu:

F2 = ρkgh2S

FA = F2 - F1 = ρkgS(h2 - h1)

FA = ρkgV

HS

Srovnej s odvozením hydrostatického tlaku

Archimédův zákon - Vážení ve vzduchu

F = Mg - VMρVg F = Zg - VZρVg

M = Z + Z(1/ρ – 1/ρZ) ρV

Homotnost redukovaná na vakuum

HS

Archimédův zákon - Vážení v kapalině

F = Mg - VMρKg F = Zg - VZρVg

Slouží k určování hustoty nepravidelných těles dvojím

vážením 1) na vzduchu

2) v kapalině o známé hustotě ρK

HS

Rovnice kontinuity

S1

S2

v1

v2

S1Δx1 = S2Δx2

Δx1

Δx2

S1v1Δt = S2v2Δt

S1v1= S2v2

V1 = V2 (nestlačitelná kapalina)

V1

V2

HD Hydrodynamika

• Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon zachování (hustoty)

energie :

• V praxi se vyjadřuje několika způsoby, například v

rozměrech délkových :

.2

2

konstV

Epgh

v

.2

2

konstg

ph

g

v

Bernoulliova rovnice

(pro dokonalou tekutinu)

HD

mghE p

S2

S1

v1F1

F2

p1

p2

Δx2

za čas Δt

Δx1

za čas Δt

h1h2

v2 > v1 (Ek roste)

h2 > h1 (Ep roste)

tlak koná práci W

V

m

V

m

F2 = S2p2

F1 = S1p1

v2

HDBernoulliova rovnice - odvození

Bernoulliova rovnice - odvození

Práce tlaku kapaliny:

2

2

22

1

2

11

21

mghmv2

1E

mghmv2

1E

EEE

tvFtvFW 2211

tvFtvFmghmv2

1mghmv

2

1

WE

22111

2

12

2

2

tvpStvpSmghmv2

1mghmv

2

12221111

2

12

2

2

Změna kinetické a potenciální

energie elementu m:

Změna energie = vykonané práci:

HD

Výkon kapaliny v místě 1 Výkon kapaliny v místě 2

tvpStvpSmghmv2

1mghmv

2

12221111

2

12

2

2 VtvStvS 2211

Vpmghmv2

1Vpmghmv

2

111

2

122

2

2

VpVpmghmv2

1mghmv

2

1211

2

12

2

2

11

2

122

2

2 pghv2

1pghv

2

1

Bernoulliova rovnice

V:

HD

Energetická bilance na 1 m3.

Bernoulliova rovnice - Pitotova trubice -

rychlost proudění

ghghv

ppv

21

2

1

21

2

1

2

1

2

1

11

2

122

2

22

1

2

1pghvpghv //

122 hhgv h1

h2

HD

// hh 12

1 2

Vodní vývěva

2

1

2

212 vv2

1pp

p1,v1,

p2,v2,

11

2

122

2

22

1

2

1pghvpghv

Tlak p2 může být nižší, než tlak atmosférický

HD

Doplnit vztlak křídla letadla

S1 S2 !!

Děravá trubka s proudící kapalinou

Reálné tekutiny - viskozita ηlaminární proudění

y

m

smsPaPa

dy

dv

dS

dF 1

v

x

viskozita η je projevem vnitřního tření reálné tekutiny

- kinetická energie se mění na teplo

Třením se tvoří rychlostní profil

HD

NEWTON:

Tečné napětí τ je úměrné

gradientu rychlosti kolmo na

směr pohybu

a pro nenewtonské kapaliny také: η = f(v,t)

Tf

dy

v

v+dv

dSdF

Viskozita

• Dynamická viskozita některých kapalin při pokojové teplotě:

[Pa s]

• EtOH 1.2 10-3

• benzín 2.9 10-4

• rtuť 1.5 10-3

• olej 0.26

• voda 1.005 10-3

• glycerin 0.97

dy

dv

“Pozor na dlouhé hadice“

Ideální kapalina

Reálná kapalina

HD

Nenewtonské kapaliny

vf

a) Pseudoplasticita (strukturní viskozita)

1) Závislost viskozity na rychlosti v deformace

dy

dv t,vf

v

b) Dilatační viskozita

vf

v

bažina

škrob a voda

penetrační nátěrové

hmoty (obtížné zpracování)

nátěrové hmoty

neztékají.

Nenewtonské kapaliny

tf

a) Tixotropie

1) Závislost viskozity na době deformace tdy

dv t,vf

t

b) Rheopexie

tf

t

nátěrové hmoty

neztékají.

k ničemu

1) Za jak dlouho vyteče polovina vody z plné nádoby o poloměru R = 2 m otvorem

ve dně o ploše S2 = 10 cm2, je-li výška nádoby H = 3 m? Nádoba stojí na

vodorovné rovině.

[2878 s]

2) Na mořské hladině plave ledovec. Jaká objemová část vyčnívá nad hladinu?

(ledu=920kg , vody=1030kg) [0,106]

3) Na rovnoramenných vahách jsou zavěšena dvě tělesa: 1.strana Al (m=182g, =

2800kgm-3), 2.strana Fe (m=81g, = 7800kgm-3). Rovnováhy dosáhneme, když

obě tělesa ponoříme do téže kapaliny neznámé hustoty = ? [1849 kg m-3]

Příklady