Matematika SMA 73 HITUNG INTEGRAL 1.Integral tak tentu (tanpa batas) a. Rumus-rumus b. Sifat-sifat Integral Contoh : 1. 2 7 (7 5) 5 2 x dx x x c 2. 2 2 2 2 ( 2) ( 4 4) x x dx x x x dx = 4 3 2 5 4 3 1 4 ( 4 ) 4 5 3 x x x dx x x x c 3. 3 1 2 1 3 5 2 2 2 1 2 . 3 5 1 2 x xdx x x dx x dx x c x c A. Pemakaian Integral tak tentu Contoh : Diketahui f(x) = 4x + 1 dan F(2) = 17 ; Tentukan fungsi F f(x) = 4x + 1 2 () () (4 1) 2 Fx f x dx x dx x x c F(2)=17 2 2(2) 2 17 c 10 17 7 c c Jadi F(x)= 2 2 7 x x b. Menentukan persamaan kurva y=f(x) jika diketahui dy dx dan sebuah titik pada kurva. Contoh : Gradien garis singgung dari y=f(x0 disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 dan grafik dari y = f(x) melalui titik ( 1 , 5 ). Tentukan persamaan dari fungsi tersebut. Gradien garis singgung dari y = f(x) disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 , berarti 2 4 atau (2 4) dy x dy x dx dx didapat bahwa y = f(x) = (2 4) dy x dx = 2 4 x x C grafik melalui titik (1,5) maka 2 5 1 4(1) 8 C C Jadi fungsi tersebut adalah 2 4 8 y x x BAB 14
23
Embed
HITUNG INTEGRAL BAB 14 - " Vidyagata" SMA Negeri 6 ... SMA 73 HITUNG INTEGRAL 1.Integral tak tentu (tanpa batas) a. Rumus-rumus 1) 1 1,1 1 x dx x c nnn n z ³ 3) ³adx ax c 2) . ,
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Matematika SMA 73
HITUNG INTEGRAL
1.Integral tak tentu (tanpa batas)
a. Rumus-rumus
1) 11, 1
1
n nx dx x c nn
3) adx ax c
2) 1. , 11
n naa x dx x c n
n
4) 1 1
lnx dx dx x cx
b. Sifat-sifat Integral
1) . ( ) . ( )k f x dx k f x dx 2) ( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
Contoh :
1. 27(7 5) 5
2x dx x x c
2. 2 2 2 2( 2) ( 4 4)x x dx x x x dx = 4 3 2 5 4 31 4( 4 ) 4
5 3x x x dx x x x c
3. 3
12
1 3 5
2 2 21 2
.3 5
12
x xdx x x dx x dx x c x c
A. Pemakaian Integral tak tentu
Contoh :
Diketahui f(x) = 4x + 1 dan F(2) = 17 ; Tentukan fungsi F
f(x) = 4x + 1
2( ) ( ) (4 1) 2F x f x dx x dx x x c
F(2)=17 22(2) 2 17c
10 17 7c c Jadi F(x)= 22 7x x
b. Menentukan persamaan kurva y=f(x) jika diketahui dy
dx dan sebuah titik pada kurva.
Contoh :
Gradien garis singgung dari y=f(x0 disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 dan grafik dari y = f(x)
melalui titik ( 1 , 5 ). Tentukan persamaan dari fungsi tersebut.
Gradien garis singgung dari y = f(x) disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 , berarti
2 4 atau (2 4)dy
x dy x dxdx
didapat bahwa y = f(x) = (2 4)dy x dx = 2 4x x C
grafik melalui titik (1,5) maka 25 1 4(1) 8C C
Jadi fungsi tersebut adalah 2 4 8y x x
BAB 14
Matematika SMA 74
c. Penerapan pada Fisika
Jika diketahui persamaan kecepatan yang merupakanfungsi dari waktu (v(t)), maka
persamaan jaraknya (s) diperoleh dengan : ds
v s vdtdt
Jika diketahui persamaan percepatan merupakan fugsi waktu (a(t)) maka persamaan
kecepatannya (v(t)) diperoeh dengan : dv
a v a dtdt
Contoh :
Sebuah partikel bergerak sepanjang s meter setelah t detikdan v adalah kecepatan partikel
pada t detik. Jika v = 3 – t dan s = 0 untuk t = 4. Tentukan panjang lintasan partikel itu.
21(3 ) 3
2
dsv s vdt t dt t t c
dt
s = 0 untuk t = 4 210 3.4 .4
2c
c = - 4 Jadi , 213 4
2s t t
II. Integral Tertentu
Contoh :
Hitung integral tertentu 4
0
xdx
32
4
0
42
03xdx x
3 232
2 2 1(4 0 ) (8 0) 5
3 3 3
Jika diperhatikan bentuk ( ) ( )
b
a
bf x dx F x
a = F(b) – F(a)
= - F(a) – F(b) = ( )
a
b
f x dx
Untuk ( ) ( ) ( ) 0
a
a
f x dx F a F a
Sifat-sifat :
1. [ ( ) ( )] ( ) ( )b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
2. ( ) ( ) , k=konstanta
a a
b b
kf x dx k f x dx
3. ( ) ( ) ( ) , dengan a<c<b
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
Matematika SMA 75
y=f(x)
4. b
a
dx b a
Luas sebagai limit suatu jumlah
Secara umum Penggunaan integral sebagai berikut:
1. Menentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x0 dan sumbu X
a. Diatas sumbu X
b. Dibawah sumbu X
c. Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan y = g(x) ; pada interval x = a dan x =
b
Contoh :
Luas daerah dibatasi oleh parabola 2 2 dan 4y x y x adalah …
A. 8 2 B. 16 2
3 C. 4 2 D.
8 2
3 E. 2
Jawab :
Titik potong kedua parabola Cara cerdik :
2 2 24 2 4x x x 2
2; 4
6
D DL D b ac
a
2 2 2x x 2 24 2 4x x x
( )
b
a
L f x dx
a b
a b
y=f(x)
a
b
( ) atau L= ( )
b
a
L f x dx f x dx
a
1 ( )y f x
1 ( )y f x
2 ( )y g x
b
b
1 2
a
( ) atau L= { ( ) ( )}
b
a
L y y dx f x g x dx
Matematika SMA 76
22
2 323 2
2
(4 2 ) 4L x dx x x
D = 32 2
32 32 162
6.2 3L
8 163 3
8 2 2 2
Untuk bentuk :
4. .
3L p q
2. Volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi : y = f(x) , sumbu X , x = a dan
x = b yang diputar mengelilingi sumbu X atau sumbu Y
(i) Diputar mengelilingi sumbu X
(ii) Diputar mengelilingi sumbu Y
2
d
c
V x dy
2( ( ))
d
a
g y dy
3. Volume benda putar yang terjadi jika yang dibatasi oleh kurva 1 ( )y f x dan 2 ( )y g x
diputar mengelilingi sumbu X atau sumbu Y
(i) Diputar mengelilingi sumbu X
y
(ii) Diputar mengelilingi sumbu Y
a b
X
c
b
1 ( )y f x
2 ( )y g x
X
2 2
1 2( )
b
a
V y y dx 2 2{( ( )) ( ( ) }
b
a
V f x g x dx
2 2
1 2( )
d
c
V x x dy 2 ( )x g y
1 ( )x f y
= 2 2(( ( )) ( ( ))
d
c
f y g y dy
2
b
a
V y dx
2( ( ))
b
a
f x dx
(p,q)
Matematika SMA 77
Contoh :
2 3y x diputar 360 o mengelilingi Tentukan volume benda putar jika
sumbu X
Cara cerdik : 3
. .
30.
D DV
a
2
3
.9 . 9 81
1030.1V
III. Aturan Rantai untuk mencari Turunan Fungsi
Ingat kembali rumus Deferensial fungsi
1. 1( ) '( )n nf x ax f x anx 5. ( ) sin '( ) cosf x x f x x
2. ( ) ( ). ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x u x v x f x u x v x u x V x 6. ( ) cos '( ) sinf x x f x x
3.2
( ) '( ) ( ) ( ) '( )( ) '( )
( ) ( ( ))
u x u x v x u x v xf x f x
v x v x
7.
2
1( ) tan '( )
cosf x x f x
x
4. ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( )f x u x v x f x u x v x
Untuk mencari turunan/deferensial untuk fungsi yang lebih rumit (majemuk) tetapi dapat
dipandang sebagai hasil dari komposisi beberapa fungsi digunakan aturan rantai turunan
fungsi.
1. Jika F(x)=(fog)(x) dengan f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang dapat diturunkan , berlaku
F'(x)=f'(g(x)).g'(x)
2. Jika F(x)= (fogoho….), berlaku F'(x)=f'(h(h…..)).g'(h(..)).h'(…).
3. a. dalam notasi Leibniz:
Jika y = F(x)=fog)(x) dengan v = g(x); berlaku : .dy dy dv
dx dv dx
b. y = F(x) = (fogoho…), maka : ...
' . . .........
dy dy dv dwy
dx dv dw dx ( Dalil Rantai)
Pengertian fungsi komposisi ( majemuk ).
Jika fungsi f : A B dan g : B C maka fungsi F: A C yang melalui dua fungsi f dan g
dapat dinyatakan sebagai fungsi komposisi F : a ( )( ) ( ( ))g f a g f a
Contoh : 2( ) 3 2 dan ( ) cosf x x g x x maka :
2 2: ( )( ) ( ( )) (3 2) cos(3 2)F g f x g f x g f x g x x
X
g(f(a))
a F(a
)
A B C
Matematika SMA 78
Contoh :
Tentukan F'(x) jika diketahui F(x) = 31((2 3) )
2 3x
x
Jika F(x) = f(g(h(x))) = 3 31((2 3) ) maka ( )
2 3x f x x
x
,
1( )g x x
x , dan
( ) 2 3h x x
Sehingga F'(x) = f'(g(h(x))).g'(h(x)).h'(x)
= 2
2
1 13((2 3) ) .(1 .(2)
2 3 (2 3) ).x
x x
= 2
2
1 16((2 3) ) .(1
2 3 (2 3) )x
x x
Catatan :
Dalil rantai sering digunakan untuk menentukan nilai stasioner suatu fungsi.
Nilai stasioner y = F(x) dicari dengan memperhatikan hal-hal sebagai berikut:
F(a) adalah nilai balik maksimum jika F'(a) = 0 dan F''(a) < 0
F(a) adalah nilai balik minimum jika F'(a) = 0 dan F''(a) > 0
F(a) adalah nilai balik horizontal jika F'(a) = 0 dan F''(a) = 0, dan F''(a) 0
Contoh :
Tentukan nilai stasioner dari 3( ) (2 1) 3 (2 1)f x x x dan sifatnya.
3 1
2 2( ) (2 1) 3(2 1)f x x x
1 1
2 23 1
'( ) (2 1) .2 3. (2 1) .22 2
f x x x
= 1 1
2 23(2 1) 3(2 1)x x
= 1
2
3(2 1) 3
(2 1)
x
x
f" (x) = 1 1
2 21 1
3. (2 1) .2 3( )(2 1) .22 2
x x
= 12
1
23(2 1) 3(2 1)x x
Syarat stasioner f'(x) = 0
Jadi , 3(2 2)
0 2 2 0(2 1)
xx
x
1x
Untuk x =1 maka :
F(1) = -2
F"(x) = 6 (positip)
Jadi , f(1) = -2 adalah nilai balik minimum
Matematika SMA 79
IV. Integral Fungsi Trigonometri
Rumus Integral Trigonometri
1. sin cosxdx x c
1sin( ) cos( )ax b dx ax b c
a
2. cos sinxdx x c 4. 2cos cotec xdx anx c
1cos( ) sin( )ax b dx ax b c
a 2 1
cos ( ) cot( )ec ax b dx ax b ca
3. 2sec tanxdx x c 5. tan sec secx xdx x c
2 1sec ( ) tan( )ax b dx ax b c
a 6. cot cos cosx ecxdx ecx c
Contoh :
3sin .cosx xdx
A. 414sin x c B. 41
2sin x c C. 21
4cos x c D. 1
3sin x c E. 41
3sin x c
Jawab :
3sin .cosx xdx 3cos (sin )x x dx Cara cerdik :
Misal : y = sin x 3 3sin .cos sin (sin )x xdx xd x
coscos
dy dy
dx xx dx 41
4sin x c
3
coscos ( )
dy
xx y
3 4 41 14 4
siny dy y c x c
V. Integral Substtitusi dan Integral parsial.
a. Integral Substitusi
a. 11
1
n nx dx x cn
11 dengan u=f(x),n -1
1
n nu du u cn
11( ) ( ) , 1
( 1)
n nax b dx ax b c na n
b. cos sinxdx x c
cos sin dengan ( )udu u c u f x
c. 11. .
' 1
n nvv u dx u c
u n
, u = f(x)
d. sin cos'
vv udx u c
u
cos ( ( )) ( ( ))'
nvv udx f x d f x
u
Matematika SMA 80
= 11( ( ))
1
nf x cn
Contoh :
Tentukan 2 5
dx
x
……misal u = 2x + 5 2
du
dx du = 2 dx dx =
1
2du
2 5
dx
x
12
1 112 2 2
1 1.2.
2 2
cduu du u
u
= 1
2 2 5u c x c
Catatan : Ciri suatu integral substitusi adalah jika integral tersebut merupakan integral hasil
kali dua fungsi yang satu merupakan kelipatan/turunan dari fungsi yang lain.
Contoh :
2 3 32 (4 1)x x dx
A. 3 412(4 1)x c B. 3 21
8(4 1)x c C. 3 31
4(4 1)x c D. 51
16(4 1)x c E. 3 41
24(4 1)x c
Jawab :
Misal : 34 1y x Cara cerdik :
2
212
12
dy dyx dx
dx x 1( ) , 1
'( )( 1)
n naaf x dx f syarat n
f x n
2 3 3 2 3
22 (4 1) 2 ( )
12
dyx x dx x y
x 2 32 , ( ) 4 1, 3a x f x x n
= 3 41 1
6 24y dy y c Hasil = 3 41
(4 1)24
x c
23 4
2
3 4
2(4 1)
12 (3 1)
1(4 1)
24
xx c
x
x c
1( ) ln ( )'( )
aaf x f x c
f x
b. Integral Substitusi Trigonometri.
Suatu integral yang variabelnya memuat bentuk 2 2 2 2 2 2, atau a x a x x a diselesaikan
dengan merasionalkan dengan menggunakan substitusi variable trigonometri.
FUNGSI INTEGRAN SUBSTITUSI DENGAN HASIL SUBSTITUSI
2 2a x x = a sin t 21 sin cosa t a t
2 2a x x = a tan t 21 seca tg t a t
2 2x a x = a sec t 2sec 1 tana t a t
Matematika SMA 81
Contoh :
216 x
Misal x = 4 sin t 2 216sinx t
Jadi 2 2 2 216 16 16sin 16(1 sin ) 4 cos 4cosx t t t t
4sin 4cosx t dx tdt
2 2 1 116 4cos .4cos 16 cos 16 ( cos2 ) 8 8 cos2
2 2x t tdt tdt t dt dt tdt
= (2 )
8 8 cos2 8 4sin 2 8 8sin cos2
d tt t t t c t t t c
c. Integral Parsial
Jika dalam mengintegralkan dengan substitusi tidak membuahkan hasil maka digunakanlah
integral ganda/bagian demi bagian atau integral Parsial.
Dengan memisalkan bahwa u = f(x) dan v = g(x)
Didapat du = f'(x) dx dan dv = g'(x) dx
Sehingga didapat rumus integral Parsial : .udv uv vdu
Atau : ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) ( ). '( )f x g x d x f x g x g x f x dx
Jika f(x) mempunyai turunan ke-n=0, maka beraku :
( ). ( ) ( ) integral I ( )f x g x dx f x g x turunan I f(x) x integral II g(x) turunan II f(x) x
integral III g(x) …… (tanda selalu berselang-seling)
Contoh :
cos2 ...x x dx
u x du dx
1 12 2
cos2 sin 2 sin 2x x dx x x xdx
= 1 12 4
sin2 cos2x x x c
contoh :
Tentukan 2 cos2 ..x xdx
Turunan integral
2x cos 2x
2x 12sin 2x
2 1
cos24
x
1
sin 28
x
2 2 1 1 12 4 8
cos2 . sin 2 (2 . cos2 ) 2( sin 2 )x xdx x x x x x c
1cos2 sin 2
2dv xdx v x
Matematika SMA 82
= 21 1 12 2 4
sin 2 cos2 sin 2x x x x x c
Soal Latihan :
1.
2
4
( 2)xdx
x
adalah …
a. 43
2 3
1 2x x x
c d. 43
2 3
1 2x x x
c
b. 42
2 3
1 2x x x
c e. 43
2 3
1 2x x x
c
c. 43
2 3
1 2x x x
c
2. 21
2
2
x x xdx
x x
a. ln x x c d. ln 2x x c
b. ln x x c e. ln x x c
c. lnx x c
3. Persamaan kurva yang memenuhi persyaratan 2
26
d y
dx kurva melalui ( 1 , 2 ) san sejajar
8x – y + 10 = 0 adalah …
a. 2( ) 3 14 9f x x x d. 2( ) 4 3f x x x x
b. 2( ) 3 3 1f x x x e. 3( ) 2 4f x x
c. 2( ) 2f x x x x
4. Luas daerah yang dibatasi oleh grafik 29y x dan y = x + 3 adalah …
a. 9 b. 8 c. 34
d. 92
e. 83
5. 4
2
1
1...
xdx
x
a. 3 4 b. 1 4 c. 1 2 d. 4 5 e. 4 6
6. Luas daerah yang dibatasi oeh grafik 4 2 24 dan 5y x x y x adalah
a. 34
64 b. 54
21 c. 56
20 d. 56
50 e. 65
56
7. Volume daerah yang dibatasi oleh 2 2 dan 2y x y x diputar pada sumbu x adalah
a. 12
25 b. 34
20 c. 25
23 d. 35
6 e. 13
5
8. Gradien garis singgung kurva dititik (x,y) sama dengan 2x – 5. Jika kurva melalui ( 4 , 7 )
memotong sumbu y di :
a. ( 0 , 11 ) b. ( 0 , 10 ) c. ( 0 , 9 ) d. ( 0 , 8 ) e. ( 0 , 7 )
9. 8cos(2 )x dx
a. 8 (2 )tg x c d. 4sin(2 )x c
b. 8cos(2 )x c e. 4cos(2 )x c
Matematika SMA 83
c. 8sin(4 )x c
10. 3 sec3 cot(2 )cos (2 ) ..tg x x x ec x dx
a. 4
cot(3 ) sin(2 )3
x x c d. 1 1
(3 ) ( ) (2 )3 2
tg x tg x c
b. 1 1
cos 3 ( )cos (2 )3 2
ec x ec x c e. 2 1
sec(3 ) ( )cos (2 )3 2
x x ec x c
c. 1 1
sec(3 ) ( )cos(2 )3 2
x x c
11. 28sin 7 .sin ...x xdx
a. 1 2
sin8 sin 64 3
x x c d. 1 2
sin8 sin 62 3
x x c
b. 1 2
sin8 sin 62 3
x x c e. 1 2
sin8 sin 62 3
x x c
c. 1 2
sin8 sin 62 3
x x c
12. 6sin cos ,x xdx adalah
a. 1
sin 78
x c b. 1
sin 76
x c c. 1
cos77
x c d. 1
sin 77
x c e. 1
sin 75
x c
13. 2/3(2 1) , ...x dx adalah
a. 33(2 1) 2 1
10x x c d. 32
(2 1) 2 110
x x c
b. 32(2 1) 2 1
10x x c e. 32
(2 1) 2 110
x x c c. 33(2 1) 2 1
10x x c
14. sin ...x xdx
a. –x cos x + sin x + c d. –x tg x - sin x + c
b. x sin x - sin x + c e. –x cos x + tg x + c
c. –x cos x + sin x + c
15. 1 ...x x dx
a. 22 4( 1) 1 ( 1) 1
3 15x x x x x c
b. 23 4( 1) 1 ( 1) 1
2 15x x x x x c
c. 22 4( 1) 1 ( 1) 1
3 15x x x x x c
d. 22 4( 1) 1 ( 1) 1
3 15x x x x x c
e. 22 4( 1) 1 ( 1) 1
3 15x x x x x c
Matematika SMA 84
Soal – soal Integral Ujian Nasional
Materi pokok : Integral tentu dan Teknik pengintegralan
1. Diketahui
3
2 .25)123(a
dxxx Nilai a2
1
=…. a. – 4 b. – 2 c. – 1 d. 1 e. 2
2. Nilai
0
.... dx cos.2sin xx
a. 3
4
b. 3
1
c. 3
1
d. 3
2
e. 3
4
3. Hasil dari
1
0
2 .... dx 13.3 xx
a. 2
7
b. 3
8
c. 3
7
d. 3
4
e. 3
2
4. Hasil dari ....cos5 xdx
a. Cxx sin.cos6
1 6
b. Cxx sin.cos6
1 6
c. Cxxx 53 sin5
1sin
3
2sin
d. Cxxx 53 sin5
1sin
3
2sin
e. Cxxx 53 sin5
1sin
3
2sin
5. Hasil dari ....cos).1( 2 xdxx
a. x2 sin x + 2x cos x + C b. ( x2 – 1 )sin x + 2x cos x + C c. ( x2 + 3 )sin x – 2x cos x + C d. 2x2 cos x + 2x2 sin x + C e. 2x sin x – ( x2 – 1 )cos x + C
6. Diketahui
3
2 .40)223(p
dxxx Nilai p2
1
=…. a. 2 b. 1 c. – 1
d. – 2 e. – 4
7. Hasil dari 2
0
....5cos.3sin
xdxx
a. 16
10
b. 16
8
c. 16
5
d. 16
4
e. 0
8.
0
....sin. xdxx
a. 4
b. 3
c. 2
d.
e. 2
3
9. Nilai
2
1
0
.....sin2 dxxx
a. 14
1 2
b. 2
4
1
c. 14
1 2
d. 12
1 2
e. 12
1 2
10. Nilai ....)1sin(. 2 dxxx
a. – cos ( x2 + 1 ) + C b. cos ( x2 + 1 ) + C c. –½ cos ( x2 + 1 ) + C d. ½ cos ( x2 + 1 ) + C e. – 2cos ( x2 + 1 ) + C
11. ....2sin. xdxx
a. Cxxx 2cos2
12sin
4
1
b. Cxxx 2cos2
12sin
4
1
c. Cxx 2cos2
12sin
4
1
d. Cxxx 2sin2
12cos
4
1
e. Cxxx 2sin2
12cos
4
1
Matematika SMA 90
12. 2
0
22 ....)cos(sin
dxxx
a. –½
b. 2
1
c. 0 d. ½
e. 2
1
13. Hasil ....2
1cos.2 xdxx
a. 4x sin ½ x + 8 cos ½ x + C b. 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C c. 4x sin ½ x + 4 cos ½ x + C d. 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C e. 4x sin ½ x + 2 cos ½ x + C
14. Hasil ....9 2 dxxx
a. Cxx 22 9)9(3
1
b. Cxx 22 9)9(3
2
c. Cxx 22 9)9(3
2
d. Cxxxx 2222 9)9(9
29)9(
3
2
e. Cxxx 222 99
19)9(
3
1
15. Nilai
1
0
6 ....)1(5 dxxx
a. 56
75
b. 56
10
c. 56
5
d. 56
7
e. 56
10
16. Hasil dari .....4cos.cos dxxx
a. Cxx 3sin3
15sin
5
1
b. Cxx 3sin6
15sin
10
1
c. Cxx 3sin3
25sin
5
2
d. Cxx 3cos2
15cos
2
1
e. Cxx 3sin2
15sin
2
1
Materi pokok : Luas Daerah 17. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2
dan garis x + y = 6 adalah …satuan luas. a. 54 b. 32
c. 6
520
d. 18
e. 3
210
18. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.
a. 2/3 b. 3
c. 3
15
d. 3
26
e. 9 19. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah
…satuan luas.
a.
2
14
b. 6
15
c. 6
55
d. 6
113
e. 6
130
20. Luas daerah arsiran pada gambar di bawah ini adalah …satuan luas.
a. 5
Matematika SMA 91
b. 3
27
c. 8
d. 3
19
e. 3
110
21. Jika f(x) = ( x – 2 )2 – 4 dan g(x) = –f (x) , maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah … satuan luas.
a. 3
210
b. 3
121
c. 3
222
d. 3
242
e. 3
145
22. Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola y = x2 dikuadran I, garis x + y = 2, dan garis y = 4 adalah …satuan luas
a. 6
14
b. 5 c. 6
d. 6
16
e. 2
17
23. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x3 – 1, sumbu x , x = –1 , dan x = 2 adalah … satuan luas.
a. 4
3
b. 2
c. 4
32
d. 4
13
e. 4
34
Materi pokok : Volume Benda Putar 24. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi
kurva y = – x2 + 4 dan y = – 2x + 4 diputar 3600 mengelilingi sumbu y adalah … satuan volume. a. 8
b. 2
13
c. 4
d. 3
8
e. 4
5
25. Volume benda putar yang terjadi, jika daerah antara kurva y = x2 + 1 dan y = x + 3, diputar mengelilingi sumbu x adalah …satuan volum.
a. 5
67
b. 5
107
c. 5
117
d. 5
133
e. 5
183
26. Volume benda putar yang terjadi jika daerah
yang dibatasi oleh kurva y = 2
1
2x , garis y =
x2
1 dan garis x = 4 diputar 3600 terhadap
sumbu x adalah ….satuan volume.
a. 3
123
b. 3
224
c. 3
226
d. 3
127
e. 3
227
27. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan x + y – 2 = 0, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600. Volume benda putar yang terjadi adalah …satuan volum.
a. 3
215
b. 5
215
c. 5
314
d. 5
214
e. 5
310
28. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 2x2 + 1, x = 1 , sumbu x, dan sumbu y diputar 3600 mengelilingi sumbu x adalah … satuan volum.
a. 15
12
b. 2
c. 15
27
d. 15
47
e. 4
29. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = 9 – x2 dan y = 5 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 3600 adalah …. a. 4
b. 3
16
c. 8
d. 16
e. 3
92
Matematika SMA 92
30. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 1 dan sumbu x dari x=1, x = –1, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 adalah ….
a. 15
4
b. 15
8
c. 15
16
d. 15
24
e. 15
32
31. Volume benda putar yang terjadi bila daerah pada kuadran pertama yang
dibatasi oleh kurva 4
12x
y , sumbu x,
sumbu y diputar mengelilingi sumbu x adalah … satuan volume.
a. 15
52
b. 12
16
c. 15
16
d.
e. 15
12
Kunci Jawaban Integral
1. D 2. E 3. C 4. D 5. B 6. C 7. D 8. D 9. C 10. C 11. A 12. A
13. A 14. A 15. C 16. B 17. C 18. D 19. C 20. D 21. B 22. A 23. E 24. D
25. B 26. C 27. D 28. D 29. D 30. C 31. C
Matematika SMA 90
1. Diketahui
3
2 25123a
dxxx , nilai a2
1
3
23
2
2
3
3
a
xxx
=25
252
2
3
333
2
23
3
3 2323
aaa
253927 23 aaa
2539 23 aaa
1423 aaa
01423 aaa
2 1 1 1 -14 2a
2 6 14 1
2
1a
1 3 7 0 ( D )
2. Nilai
2
0
cos.2sin xx dx=
=
0
sin3sin2
1xx dx
0
cos2
13cos
6
1
xx
0cos
2
103cos
6
1cos
2
13cos
6
1
0000 0cos
2
10cos
6
1180cos
2
1540cos
6
1
1
2
11
6
11
2
11
6
1
2
1
6
1
2
1
6
1
3
4
6
8
6
3131
( E )
3. Hasil x5cos dx
= 4cos.cos x dx
= 22cos.cos xx dx
= 22sin1.cos xx dx
= dxxxx sinsin21cos 2
= xxxxx 42 sincossincos2cos
= xxx 53 sin5
1sin
3
2sin C
Matematika SMA 91
= xxx 53 sin5
1sin
3
2sin C ( D )
4. xx cos12 dx
)(
2 1 x xcos
x2 xsin
2(+) xcos
0 xsin
= xxxxxx sin2cos2sinsin2 +C
= Cxxxxx cos2sinsin2
= Cxxxx cos2sin12 ( B )
5.
3
2 40223p
dxxx
4022332 dxxx p
4022
2
3
33
23
dxxxx
p
40232332323
ppp
4026927 23 ppp
40224 23 ppp
016223 ppp
-2 -1 1 -2 -16 2 p
2 -6 16
-1 3 -8 0 12
1p
( C )
6.
Hasil dari 2
5cos.3sin
o
xdxx …
2
0
53sin53sin2
1dx
2
0
2sin8sin2
1dxxx
2
0
2sin2
18sin
2
1xdxx
90
0
2cos4
18cos
16
1xx
0cos
4
10cos
16
1180cos
4
1720cos
16
1
1
4
11
16
11
4
11
16
1
16
41
16
41
16
55
Matematika SMA 92
16
10 ( A )
7. Nilai
21
0
...sin2 xdxx
2
1
2
1
0 0
sin2 xdxxdx
xx cos0
2 21
0cos090cos2
1 2
2
14
1 2 ( C )
8. Nilai ...1sin 2 dxxx
x
xdxx
2
11sin
22
11sin2
1 22 xdx
cx 1cos2
1 2 ( C )
9. ...2sin xdxx
x
x
xx
2sin4
10
2cos2
11
2sin
cxxxjadi 2cos2
12sin
4
1 ( C )
10.
2
0
22 ...cossin dxxx
2
0
2cos xdx
2
02
)2(2cos
xdx
2
0
)2(2cos2
1xxd
90
0
2sin2
1
x
0.2sin
2
190.2sin
2
1
0
0.2
10.
2
1
( C )
Matematika SMA 93
11. Hasil ...
2
1cos2 xdxx
x2 x
2
1cos
2 x
2
1sin2
0 x
2
1cos4
cxxx
2
1cos8
2
1sin4 ( A )
12. Hasil ...9 2 dxxx
dxxx 2
129
x
xdxx
2
99
22 2
1
22 992
12
1
xdx
2
329
3
2.
2
1x
cxx 22 993
1 ( A )
13. Nilai
1
0
6...15 dxxx
5x 61 x
5 717
1x
0 81
56
1x
1
0
871
56
51
7
5
xxx
878701
56
5010
7
511
56
5111
7
5
6
5000
56
5 ( C )
14. Hasil dari ...4coscos xdxx
dxxx 3cos5cos2
1
xdxx 3cos2
15cos
2
1
cxx 3sin6
15sin
10
1 ( B )
15. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva2xy dan garis 6 yx adalah . . satuan
luas.
Jawab:
Matematika SMA 94
xyyx 66
2xy
26 xx
6,1,1
60 2
cba
xx
25
6.1.41
4
2
2
D
D
acbD
6
520
6
125
6
5.25
1.6
2525
6 2
L
L
L
L
a
DDL
( C )
16. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.