Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 89 HITUNG INTEGRAL 1.Integral tak tentu (tanpa batas) a. Rumus-rumus b. Sifat-sifat Integral Contoh : 1. 2 7 (7 5) 5 2 x dx x x c 2. 2 2 2 2 ( 2) ( 4 4) x x dx x x x dx = 4 3 2 5 4 3 1 4 ( 4 ) 4 5 3 x x x dx x x x c 3. 3 1 2 1 3 5 2 2 2 1 2 . 3 5 1 2 x xdx xx dx x dx x c x c A. Pemakaian Integral tak tentu Contoh : Diketahui f(x) = 4x + 1 dan F(2) = 17 ; Tentukan fungsi F f(x) = 4x + 1 2 ( ) ( ) (4 1) 2 F x f x dx x dx x x c F(2)=17 2 2(2) 2 17 c 10 17 7 c c Jadi F(x)= 2 2 7 x x b. Menentukan persamaan kurva y=f(x) jika diketahui dy dx dan sebuah titik pada kurva. Contoh : Gradien garis singgung dari y=f(x0 disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 dan grafik dari y = f(x) melalui titik ( 1 , 5 ). Tentukan persamaan dari fungsi tersebut. Gradien garis singgung dari y = f(x) disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 , berarti 2 4 atau (2 4) dy x dy x dx dx didapat bahwa y = f(x) = (2 4) dy x dx = 2 4 x x C grafik melalui titik (1,5) maka 2 5 1 4(1) 8 C C Jadi fungsi tersebut adalah 2 4 8 y x x BAB 15
19
Embed
HITUNG INTEGRAL BAB 15 - vidyagata.files.wordpress.com fileMatematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 89 HITUNG INTEGRAL 1.Integral tak tentu (tanpa batas) a. Rumus-rumus 1) 1 1,1 1 x
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 89
HITUNG INTEGRAL
1.Integral tak tentu (tanpa batas)
a. Rumus-rumus
1) 11, 1
1
n nx dx x c n
n 3) adx ax c
2) 1. , 1
1
n naa x dx x c n
n 4) 1 1
lnx dx dx x cx
b. Sifat-sifat Integral
1) . ( ) . ( )k f x dx k f x dx 2) ( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
Contoh :
1. 27(7 5) 5
2x dx x x c
2. 2 2 2 2( 2) ( 4 4)x x dx x x x dx = 4 3 2 5 4 31 4
( 4 ) 45 3
x x x dx x x x c
3. 3
12
1 3 5
2 2 21 2
.3 5
12
x xdx x x dx x dx x c x c
A. Pemakaian Integral tak tentu
Contoh :
Diketahui f(x) = 4x + 1 dan F(2) = 17 ; Tentukan fungsi F
f(x) = 4x + 1
2( ) ( ) (4 1) 2F x f x dx x dx x x c
F(2)=17 22(2) 2 17c
10 17 7c c Jadi F(x)= 22 7x x
b. Menentukan persamaan kurva y=f(x) jika diketahui d y
d x dan sebuah titik pada kurva.
Contoh :
Gradien garis singgung dari y=f(x0 disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 dan grafik dari y = f(x)
melalui titik ( 1 , 5 ). Tentukan persamaan dari fungsi tersebut.
Gradien garis singgung dari y = f(x) disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 , berarti
2 4 atau (2 4)dy
x dy x dxdx
didapat bahwa y = f(x) = (2 4)dy x dx = 24x x C
grafik melalui titik (1,5) maka 25 1 4(1) 8C C
Jadi fungsi tersebut adalah 24 8y x x
BAB 15
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 90
c. Penerapan pada Fisika
Jika diketahui persamaan kecepatan yang merupakanfungsi dari waktu (v(t)), maka
persamaan jaraknya (s) diperoleh dengan : ds
v s vdtdt
Jika diketahui persamaan percepatan merupakan fugsi waktu (a(t)) maka persamaan
kecepatannya (v(t)) diperoeh dengan : dv
a v a dtdt
Contoh :
Sebuah partikel bergerak sepanjang s meter setelah t detikdan v adalah kecepatan partikel
pada t detik. Jika v = 3 – t dan s = 0 untuk t = 4. Tentukan panjang lintasan partikel itu.
21(3 ) 3
2
dsv s vdt t dt t t c
dt
s = 0 untuk t = 4 210 3.4 .4
2c
c = - 4 Jadi , 213 4
2s t t
II. Integral Tertentu
Contoh :
Hitung integral tertentu 4
0
x dx
3
2
4
0
42
03x dx x
3 2
322 2 1
(4 0 ) (8 0) 53 3 3
Jika diperhatikan bentuk ( ) ( )
b
a
bf x dx F x
a= F(b) – F(a)
= - F(a) – F(b) = ( )
a
b
f x dx
Untuk ( ) ( ) ( ) 0
a
a
f x dx F a F a
Sifat-sifat :
1. [ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
2. ( ) ( ) , k=konstanta
a a
b b
kf x dx k f x dx
3. ( ) ( ) ( ) , dengan a<c<b
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
4. b
a
dx b a
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 91
y=f(x)
Luas sebagai limit suatu jumlah
Secara umum Penggunaan integral sebagai berikut:
1. Menentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x0 dan sumbu X
a. Diatas sumbu X
b. Dibawah sumbu X
c. Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan y = g(x) ; pada interval x = a dan x =
b
Contoh :
Luas daerah dibatasi oleh parabola 2 2
dan 4y x y x adalah …
A. 8 2 B. 16 2
3 C. 4 2 D.
8 2
3 E. 2
Jawab :
Titik potong kedua parabola Cara cerdik :
2 2 24 2 4x x x 2
2; 4
6
D DL D b ac
a
22 2x x 2 2
4 2 4x x x
( )
b
a
L f x dx
a b
a b
y=f(x)
a
b
( ) atau L= ( )
b
a
L f x dx f x dx
a
1( )y f x
1( )y f x
2( )y g x
b
b
1 2
a
( ) atau L= { ( ) ( )}
b
a
L y y dx f x g x dx
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 92
22
2 32
32
2
(4 2 ) 4L x dx x x D = 32 2
32 32 162
6.2 3L
8 16
3 38 2 2 2
Untuk bentuk :
4. .
3L p q
2. Volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi : y = f(x) , sumbu X , x = a dan
x = b yang diputar mengelilingi sumbu X atau sumbu Y
(i) Diputar mengelilingi sumbu X
(ii) Diputar mengelilingi sumbu Y
2
d
c
V x dy
2( ( ))
d
a
g y dy
3. Volume benda putar yang terjadi jika yang dibatasi oleh kurva 1
( )y f x dan 2
( )y g x
diputar mengelilingi sumbu X atau sumbu Y
(i) Diputar mengelilingi sumbu X
y
(ii) Diputar mengelilingi sumbu Y
a b
X
c
b
1( )y f x
2( )y g x
X
2 2
1 2( )
b
a
V y y dx2 2
{( ( )) ( ( ) }
b
a
V f x g x dx
2 2
1 2( )
d
c
V x x dy 2
( )x g y 1
( )x f y
= 2 2(( ( )) ( ( ))
d
c
f y g y dy
2
b
a
V y dx
2( ( ))
b
a
f x dx
(p,q)
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 93
Contoh :
23y x diputar 360 o mengelilingi Tentukan volume benda putar jika
sumbu X
Cara cerdik : 3
. .
30.
D DV
a
2
3
.9 . 9 81
1030. 1V
III. Aturan Rantai untuk mencari Turunan Fungsi
Ingat kembali rumus Deferensial fungsi
1. 1( ) '( )
n nf x ax f x anx 5. ( ) sin '( ) cosf x x f x x
2. ( ) ( ). ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x u x v x f x u x v x u x V x 6. ( ) cos '( ) sinf x x f x x
3.2
( ) '( ) ( ) ( ) '( )( ) '( )
( ) ( ( ))
u x u x v x u x v xf x f x
v x v x 7.
2
1( ) tan '( )
cosf x x f x
x
4. ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( )f x u x v x f x u x v x
Untuk mencari turunan/deferensial untuk fungsi yang lebih rumit (majemuk) tetapi dapat
dipandang sebagai hasil dari komposisi beberapa fungsi digunakan aturan rantai turunan
fungsi.
1. Jika F(x)=(fog)(x) dengan f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang dapat diturunkan , berlaku
F'(x)=f'(g(x)).g'(x)
2. Jika F(x)= (fogoho….), berlaku F'(x)=f'(h(h…..)).g'(h(..)).h'(…).
3. a. dalam notasi Leibniz:
Jika y = F(x)=fog)(x) dengan v = g(x); berlaku : .dy dy dv
dx dv dx
b. y = F(x) = (fogoho…), maka : ...
' . . .........
dy dy dv dwy
dx dv dw dx ( Dalil Rantai)
Pengertian fungsi komposisi ( majemuk ).
Jika fungsi f : A B dan g : B C maka fungsi F: A C yang melalui dua fungsi f dan g
dapat dinyatakan sebagai fungsi komposisi F : a ( )( ) ( ( ))g f a g f a
Contoh : 2( ) 3 2 dan ( ) cosf x x g x x maka :
2 2: ( )( ) ( ( )) (3 2) cos(3 2)F g f x g f x g f x g x x
X
g(f(a))
a F(a
)
A B C
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 94
Contoh :
Tentukan F'(x) jika diketahui F(x) = 31((2 3) )
2 3x
x
Jika F(x) = f(g(h(x))) = 3 31((2 3) ) maka ( )
2 3x f x x
x,
1( )g x x
x , dan
( ) 2 3h x x
Sehingga F'(x) = f'(g(h(x))).g'(h(x)).h'(x)
= 2
2
1 13((2 3) ) .(1 .(2)
2 3 (2 3) ).x
x x
= 2
2
1 16((2 3) ) .(1
2 3 (2 3) )x
x x
Catatan :
Dalil rantai sering digunakan untuk menentukan nilai stasioner suatu fungsi.
Nilai stasioner y = F(x) dicari dengan memperhatikan hal-hal sebagai berikut:
F(a) adalah nilai balik maksimum jika F'(a) = 0 dan F''(a) < 0
F(a) adalah nilai balik minimum jika F'(a) = 0 dan F''(a) > 0
F(a) adalah nilai balik horizontal jika F'(a) = 0 dan F''(a) = 0, dan F''(a) 0
Contoh :
Tentukan nilai stasioner dari 3( ) (2 1) 3 (2 1)f x x x dan sifatnya.
3 1
2 2( ) (2 1) 3(2 1)f x x x
1 1
2 23 1
'( ) (2 1) .2 3. (2 1) .22 2
f x x x = 1 1
2 23(2 1) 3(2 1)x x = 1
2
3(2 1) 3
(2 1)
x
x
f" (x) = 1 1
2 21 1
3. (2 1) .2 3( )(2 1) .22 2
x x
= 1
2
1
23(2 1) 3(2 1)x x
Syarat stasioner f'(x) = 0
Jadi , 3(2 2)
0 2 2 0(2 1)
xx
x 1x
Untuk x =1 maka :
F(1) = -2
F"(x) = 6 (positip)
Jadi , f(1) = -2 adalah nilai balik minimum
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 95
IV. Integral Fungsi Trigonometri
Rumus Integral Trigonometri
1. sin cosxdx x c
1sin( ) cos( )ax b dx ax b c
a
2. cos sinxdx x c 4. 2cos cotec xdx anx c
1cos( ) sin( )ax b dx ax b c
a 2 1
cos ( ) cot( )ec ax b dx ax b ca
3. 2sec tanxdx x c 5. tan sec secx xdx x c
2 1sec ( ) tan( )ax b dx ax b c
a 6. cot cos cosx ecxdx ecx c
Contoh :
3sin .cosx xdx
A. 41
4sin x c B.
41
2sin x c C.
21
4cos x c D. 1
3sin x c E.
41
3sin x c
Jawab :
3sin .cosx xdx
3cos (sin )x x dx Cara cerdik :
Misal : y = sin x 3 3sin .cos sin (sin )x xdx xd x
coscos
dy dy
dx xx dx
41
4sin x c
3
coscos ( )
dy
xx y
3 4 41 1
4 4siny dy y c x c
V. Integral Substtitusi dan Integral parsial.
a. Integral Substitusi
a. 11
1
n nx dx x c
n
11 dengan u=f(x),n -1
1
n nu du u c
n
11( ) ( ) , 1
( 1)
n nax b dx ax b c n
a n
b. cos sinxdx x c
cos sin dengan ( )udu u c u f x
c. 11. .
' 1
n nvv u dx u c
u n , u = f(x)
d. sin cos'
vv udx u c
u
cos ( ( )) ( ( ))'
nvv udx f x d f x
u
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 96
= 11( ( ))
1
nf x c
n
Contoh :
Tentukan 2 5
dx
x……misal u = 2x + 5 2
du
dx du = 2 dx dx =
1
2du
2 5
dx
x1
2
1 11
2 2 21 1
.2.2 2
cduu du u
u
= 1
2 2 5u c x c
Catatan : Ciri suatu integral substitusi adalah jika integral tersebut merupakan integral hasil
kali dua fungsi yang satu merupakan kelipatan/turunan dari fungsi yang lain.
Contoh :
2 3 32 (4 1)x x dx
A. 3 41
2(4 1)x c B. 3 21
8(4 1)x c C. 3 31
4(4 1)x c D. 51
16(4 1)x c E. 3 41
24(4 1)x c
Jawab :
Misal : 34 1y x Cara cerdik :
2
212
12
dy dyx dx
dx x 1
( ) , 1'( )( 1)
n naaf x dx f syarat n
f x n
2 3 3 2 3
22 (4 1) 2 ( )
12
dyx x dx x y
x 2 3
2 , ( ) 4 1, 3a x f x x n
= 3 41 1
6 24y dy y c Hasil =
3 41(4 1)
24x c
2
3 4
2
3 4
2(4 1)
12 (3 1)
1(4 1)
24
xx c
x
x c
1( ) ln ( )
'( )
aaf x f x c
f x
b. Integral Substitusi Trigonometri.
Suatu integral yang variabelnya memuat bentuk 2 2 2 2 2 2, atau a x a x x a diselesaikan
dengan merasionalkan dengan menggunakan substitusi variable trigonometri.
FUNGSI INTEGRAN SUBSTITUSI DENGAN HASIL SUBSTITUSI
2 2a x x = a sin t 2
1 sin cosa t a t
2 2a x x = a tan t 2
1 seca tg t a t
2 2x a x = a sec t 2
sec 1 tana t a t
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 97
Contoh :
216 x
Misal x = 4 sin t 2 216 sinx t
Jadi 2 2 2 216 16 16 sin 16(1 sin ) 4 cos 4 cosx t t t t
4 sin 4 cosx t dx tdt
2 2 1 116 4 cos .4 cos 16 cos 16 ( cos 2 ) 8 8 cos 2
2 2x t tdt tdt t dt dt tdt
= (2 )
8 8 cos 2 8 4 sin 2 8 8 sin cos2
d tt t t t c t t t c
c. Integral Parsial
Jika dalam mengintegralkan dengan substitusi tidak membuahkan hasil maka digunakanlah
integral ganda/bagian demi bagian atau integral Parsial.
Dengan memisalkan bahwa u = f(x) dan v = g(x)
Didapat du = f'(x) dx dan dv = g'(x) dx
Sehingga didapat rumus integral Parsial : .udv uv vdu
Atau : ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) ( ). '( )f x g x d x f x g x g x f x dx
Jika f(x) mempunyai turunan ke-n=0, maka beraku :
( ). ( ) ( ) integral I ( )f x g x dx f x g x turunan I f(x) x integral II g(x) turunan II f(x) x
integral III g(x) …… (tanda selalu berselang-seling)
Contoh :
cos 2 ...x x dx
u x du dx
1 1
2 2 cos 2 sin 2 sin 2x x dx x x xdx
= 1 1
2 4sin 2 cos 2x x x c
contoh :
Tentukan 2cos 2 ..x xdx
Turunan integral
2x cos 2x
2x 1
2sin 2 x
2 1
cos 24
x
1
sin 28
x
2 2 1 1 1
2 4 8cos 2 . sin 2 (2 . cos 2 ) 2( sin 2 )x xdx x x x x x c
1cos 2 sin 2
2dv xdx v x
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 98
= 21 1 1
2 2 4sin 2 cos 2 sin 2x x x x x c
Soal Latihan :
1.
2
4
( 2)xdx
x adalah …
a. 4
3
2 3
1 2
x x xc d.
4
3
2 3
1 2
x x xc
b. 4
2
2 3
1 2
x x xc e.
4
3
2 3
1 2
x x xc
c. 4
3
2 3
1 2
x x xc
2. 21
2
2
x x xdx
x x
a. ln x x c d. ln 2x x c
b. ln x x c e. ln x x c
c. lnx x c
3. Persamaan kurva yang memenuhi persyaratan 2
26
d y
dx kurva melalui ( 1 , 2 ) san sejajar
8x – y + 10 = 0 adalah …
a. 2( ) 3 14 9f x x x d. 2
( ) 4 3f x x x x
b. 2( ) 3 3 1f x x x e. 3
( ) 2 4f x x
c. 2( ) 2f x x x x
4. Luas daerah yang dibatasi oleh grafik 29y x dan y = x + 3 adalah …
a. 9 b. 8 c. 3
4 d. 9
2 e. 8
3
5. 4
2
1
1...
xdx
x
a. 3 4 b. 1 4 c. 1 2 d. 4 5 e. 4 6
6. Luas daerah yang dibatasi oeh grafik 4 2 24 dan 5y x x y x adalah
a. 3
464 b. 5
421 c. 5
620 d. 5
650 e. 6
556
7. Volume daerah yang dibatasi oleh 2 2
dan 2y x y x diputar pada sumbu x adalah
a. 1
225 b. 3
420 c. 2
523 d. 3
56 e. 1
35
8. Gradien garis singgung kurva dititik (x,y) sama dengan 2x – 5. Jika kurva melalui ( 4 , 7 )
memotong sumbu y di :
a. ( 0 , 11 ) b. ( 0 , 10 ) c. ( 0 , 9 ) d. ( 0 , 8 ) e. ( 0 , 7 )