-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 1
H PHNG TRNH (Phn I)
1.
2 2
2 2 2
2
x y y x xy
x y
2.
2 2
ln 1 ln 1
12 20 0
x y x y
x xy y
3.
3 3 2
2 2
2 22 2
6 3 9 2 0
1 1log log 2 0
4 5 2 4 3
x y y x y
x x
y y y y
4.
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
5.
2 22
2
3 2
1
1
3log 2 6 2log 2 1
y x xey
x y x y
6.
2 8 16y x
x yx y
x y x y
7.
3
2 2
1 5
4 4 12
x y x y
x xy y xy
8.
2 3 4 6
2
2 2
2 1 1
x y y x x
x y x
9.
23
23
1 6 1
1 6 1
x y y
y x x
10.
4 2
2 2
698
81
3 4 4 0
x y
x y xy x y
11.
3
3
2 3 1
2 3
x y
x y
12.
2 1 2 2 1
3 2
1 4 .5 1 2
4 1 ln 2 0
x y x y x y
y x y x
13. 7 2 5
2 2
x y x y
x y x y
14. 2 2
3 2 16
2 4 33
xy x y
x y x y
15.
2 22 22 5 4 6 2 01
2 32
x y x y x y
x yx y
16.
2 2
2 2
3 4 1
3 2 9 8 3
x y x y
x y x y
17. 8
5
x x x y y y
x y
18.
2 2 5
5 22
2
x xy y
y x
x y xy
19.
2 2
2 2
2 3
10
y x y x
x x y y
20.
6 5
6 2
9
x x y
x y x
x y xy
21.
3 3
4 2
5 5
1
x y y x
x y
22.
24
4
32 3
32 6 24
x x y
x x y
23. 2 2
2
1 1 3 4 1
1
x y x y x x
xy x x
24.
2 2
2 2 2
6
1 5
y xy x
x y x
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 2
25. 2
2 2
5 4 4
5 4 16 8 16 0
y x x
y x xy x y
26.
2
2
1 4
1 2
x y x y y
x x y y
27. 3 3
2 2
2 9 2 3
3
x y x y xy
x xy y
28.
2 2
2
34 4 7
12 3
xy y xx y
xx y
29.
52 3 4
42
53 2
42
yy x
xy x
30.
2
3 2
2
23
2
2 9
2
2 9
xyx x y
x x
xyy y x
y y
31.
3
3
3 4
2 6 2
y x x
x y y
32. 2
2 1
2
log 3log 2
x yx y e e
x y
33.
3 2
3 2
1 2
1 2
x x x y
y y y x
34.
2 2
2
1 1 1
350
121
x x y y
yy
x
35.
2
4 2
3 9
4 2 3 48 48 155 0
x y
y x y y x
36.
2 2
5 3
1
125 125 6 15 0
x y
y y
37.
3 2
3 2
2000 0
500 0
x xy y
y yx x
38.
2 2 2
2 3
2 0
2 4 3 0
x y x y
x x y
39.
2 2
1 1 2
1 21 2 1 2
21 2 1 2
9
xyx y
x x y y
40.
3
3 2 2 2 1 0
2 2 2 1 1
x x y y
x y
41.
3 3
2 2
9
2 4 0
x y
x y x y
42.
3 3
2 2
8 2
3 3 1
x x y y
x y
43.
2 2
2
2 3 4 9
7 6 2 9
x y xy x y
y x x
44.
4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy
45.
4 2 2
2 2
4 6 9 0
2 22 0
x x y y
x y x y
46.
3 3 3
2 2
8 27 18
4 6
x y y
x y x y
47.
2 2
2 2
3
1 1 4
x y xy
x y
48. 2 1
1
x y x y
x y
e e x
e x y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 3
49.
1 2
2
1 4 .5 1 3
13 1 2
x y x y x y
x y y yx
50. 2 6 2
2 3 2
xy x y
y
x x y x y
51.
2
2 2
12 2
2 2
x xy
y y x y
52.
2 2
2 2
12
12
y x y
x y x y
53. 2
5 3
x y x y y
x y
54.
2 2
2 2
1 4
2 7 2
x y xy y
y x y x y
55.
2 2
3 3
2 1
2 2
y x
x y y x
56.
2
2
2
2
x x y
y y x
57. 2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x
58.
2 2
2
2 3 4 9
7 6 2 9
x y xy x y
y x x
59.
3 3 2
4 4
8 4 1
2 8 2 0
x y xy
x y x y
60.
2 2
3 3 3
6
1 19
y xy x
x y x
61.
32 2 1 2 1 2 3 2
4 2 2 4 6
x x y y
x y
62.
2 2
2
1
21
x y xy y
yx y
x
63.
4 3 3 2 2
2 2
9 9
7
x x y y y x x y x
x y x
64.
3 3
2 2
35
2 3 4 9
x y
x y x y
65.
2 2
1 22
1 1 3 3
y x
x yx
y x x
66.
121 2
3
121 6
3
xy x
yy x
67.
2 2
2 2
33
30
x yx
x y
y xy
x y
68.
4 2 4
3 3
4 2 5
2 2
xy x
x y
x x
y x
69.
11 10 22 12
4 4 236 3 2 2 . 5 2 8
x xy y y
y x y x x x
70.
2 2
2
1
5
574 3 3 1
25
x y
x x y x
71.
24
4
2 2 6 2 2
2 2 6 2 2 8 2
x x y
x x y
72.
2 2 2
2 3
2 0
2 4 3 0
x y x y
x x y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 4
73.
4 4
3 3 2 2
240
2 3 4 4 8
x y
x y x y x y
74.
3 3 2
2
3 4 2
1 2 1
y y x x x
x y y
75.
3 2
3 2
2 2 1 1
4 1 ln 2 0
x x y x y
y x y x
76.
3 2 2
2 33
2 2
2 2 1 14 2
x y x y xy
x y y x
77.
2 21 1 1
1 1 2
x y y x
x y
78.
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x
79. 2 2
2 2
72 1 2 1
2
7 6 14 0
xyx y
x y xy x y
80. 2
cos cos
3 18 0
x y x y
x y y
81.
2 2
4 2 2 2 4 2 2 2
18
208
x y y xy x xy
x y y x y x x y
82.
1
2 1
xy y y
xy y y
83.
3 2
3 2
4 3 7
6 7
x xy y
y x y
84.
3 2
2 2
3 49
8 8 17
x xy
x xy y x y
85.
3 2
2 2
2 12 0
8 12
x xy y
y x
86.
3 2
2
3 6 0
3
y y x x y
x xy
87.
3 3 2
4 4
1
4 4
x y xy
x y x y
88.
3 3 3
2 2
27 125 9
45 75 6
x y y
x y x y
89.
4 4
3 2 2
2
2 2
x y
x x x y
90.
2
4 2 2 2
2 0
4 3 0
x xy x y
x x y x y
91.
2 2 2 2
2 3
2 5 3 4 5 3
x y x xy yx y
x xy x xy x
92.
2 2
2
21
xyx y
x y
x y x y
93.
2
5 3 2 4 3
15 4 0
xy y xy y
y xyx
94.
2 3 2
4 2
5
4
51 2
4
x y x y xy xy
x y xy x
95.
23 1
8 9
y x y
x y x y
96.
2 2 3
22 2
5 4 3 2 0
2
x y xy y x y
xy x y x y
97.
9 2
4 2 4 2 41
x y x y
x x y y y
98. 2
2
2 2
4 3 1 3 2
x y x x y y y
x y x y
99.
2 2
2
2 1 3
1 2 3 0
x x y y y
x x y x y
100. 2 2 2
7 1
10 1
xy x y
x y y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 5
CC BI GII Bi 1. Ta c:
2 2
2 22 2
22 2 2
2 22
x y
x y
x yy x xy
y x xy x yx y
2 2 2 2
3 3 3 3
2 2
2 2 2 2x y x y
x y x y
y x x y
Xt hm s 32tf t t trn . Ta c: 2' 2 .ln2 3 0tf t t t nn f t l
hm
ng bin trn . Vy 3 32 2x yx y x y .
Nh vy h tng ng vi: 2 2
1
12
x y x y
x yx y
Vy h c cc nghim l ; 1;1 , 1; 1x y Bi 2: iu kin , 1x y . Ta
c:
2 22 10 0ln 1 ln 1
ln 1 ln 112 20 0
x y x yx y x y
x y x yx xy y
2 10
ln 1 ln 1
x y x y
x x y y
D thy rng ,x y cng du. Xt hm s ln 1f t t t trn 1; .
o hm: 1
' 11 1
tf t
t t
. Ta c: ' 0 0f t t . Vy hm s ng bin trn
1;0 v nghch bin trn 0; . +) Nu ,x y cng m (tc l cng thuc 1;0 )
th theo tnh cht ca hm s f t , ta c: x y . Thay vo h gii c nghim 0x
y (loi).
+) Nu ,x y cng dng, tng t ta cng loi nt.
+) 0x y tho mn h.
Vy nghim ca h l ; 0;0x y
Bi 3: Nhn xt: Chc chn khng th s dng php th hay nh gi. Nhn thy
phng trnh
th nht ca h cha cc hm ring bit vi ,x y (cha 3 ,x x v 3 2, ,y y y
m khng cha xy )
nn ta c th a phng trnh th nht v cng mt hm s ri s dng o hm
gii.
iu kin 1;1 , 1;3x y . T suy ra: 1 2;0x v 3 2;0y .
Khai thc phng trnh th nht ca h:
2 23 3 2 3 3 26 3 9 2 0 3 2 6 9 2 1 3x y y x y x x y y y x x y
y
2 2
1 3 1 3 3 3x x y y .
Xt hm s 2 3 23 3f t t t t t trn 2;0 . o hm: 2' 3 6 3 2f t t t t
t . Ta c: ' 0 0 2f t t t . Vy trn on 2;0 , hm s f t n iu. Vy, phng
trnh th nht ca h tng ng vi 1 3 2x y y x .
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 6
Thay vo phng trnh th hai, ta c:
2 2
2 22 2
1 1log log 2 0
4 5 2 4 3
x x
y y y y
2 2
22 2
1 1log 2
4 5 2 4 3
x x
y y y y
2 2
22 2
1 1log 2
2 4 2 5 2 4 2 2 3
x x
x x x x
2 2 2 2
22 2 2 2
1 1 1 11
log 2 *41 2 1 1 2 1
x x x x
x x x x
t 21 0;1x t t . Lc ny * tr thnh:
2
3 2 3 2 3 2
2
1 1 14 1 2 2 4 3 2 2 0
42 2
t tt t t t t t t t t
t t
2 1 73 2 2 0 03
t t t t t
(do iu kin nn loi nghim 1 7
3t
)
+) 21 3
0 1 01 1
x yt x
x y
+) 21 7 1 2 7
3 9t x
1 2 7 1 2 72
3 3
1 2 7 1 2 72
3 3
x y
x y
Nghim: 1 2 7 1 2 7 1 2 7 1 2 7
, 1;3 , 1;1 , ; 2 , ;23 3 3 3
x y
Bi 4: Phn tch: H cha n l hm hu t v hm s m, chng c tnh cht khc
nhau nn gn nh chc chn s phi s dng o hm. V cng lu lun, nhng h cha hm
c tnh cht khc nhau th gn nh 90% s dng o hm hoc phng php nh gi.
Cng cho v theo v v gi mt phng trnh ca h ta c h tng ng:
2 21 1
2 1
3 1 1 1 3 1 1 1 (*)
2 2 3 1
x y
y
x x y y
x x x
Xt hm s 23 1tf t t t trn .
Hm s c o hm: 2
2 2
1' 3 .ln3 1 3 .ln3
1 1
t tt t tf tt t
.
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 7
Ta c: 2 2 21 1 0t t t t t t t . T y suy ra ' 0f t t . Vy, f t ng
bin trn . Ta thy phng trnh (*) c dng 1 1f x f y . T suy ra 1 1x y x
y . Lc ny h s tng ng vi:
22 1 ln 1 1 1 1 .ln3 (**)1 1 3 1x
x yx y
x x xx x
Li tip tc xt hm s 2ln 1 ln3g t t t t trn .
Hm s ny c o hm 2
2 2
111
' ln3 ln31 1
t
tg t
t t t
.
D thy 2
1ln3 1
1t
nn ' 0g t t . Nh vy hm s g t nghch bin trn .
Mt khc ta li c 0 0g nn phng trnh (**) 1 0 1x x .
Vy nghim ca h l ; 1;1x y
Bi 5: Phng trnh th nht ca h tng ng vi: 2 22 21 1x yx e y e
Xt hm s 1 tf t t e trn 0; .
Hm s c o hm ' 1 0 0;t tf t e e t t . T suy ra f t ng bin trn 0;
. Vy phng trnh th nht ca h cho tng
ng vi: 2 2x y x y .
+) Nu x y . Thay vo phng trnh th hai ca h ta c:
13 2 33log 6 1 2log 2 3 log 6 1 6 3 3 3y y y y x . +) Nu x y .
Thay vo phng trnh th hai ca h ta c:
3 2 3 23log 3 6 2log 2 2 1 3 1 log 2 2 1 log 1 1y y y y 3 2 3
23log 2 2log 1 3log 2 2log 1 0 *y y y y .
Xt hm s 3 23log 2 2log 1g t t t trn 1; .
Hm s ny c o hm:
3 2'
2 ln3 1 ln 2g t
t t
.
Ta c:
3 2 3 2
ln3 ln 2 2 ln3 2 ln 2t t
m
2 2
2 ln 2 1 ln 2t t
nn ta c:
3 2
2 ln3 1 ln 2t t
, tc l ' 0g t .
Nh vy nn hm s nghch bin trn 1; . Ta li c 7 0g . Vy * c nghim 7
7y x .
Vy nghim ca h phng trnh l ; 7;7 , 3 ; 3x y Cch gii khc: Trong
trng hp x y , ta t 3 23log 2 2log 1 6x x u .
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 8
Lc ny ta c h:
23 2
3
2 3 1 81 2 3 1
9 91 2
u uuu u
u
x
x
.
Ta li thy hm s 1 8
9 9
u u
h u
l hm nghch bin m 1 1h nn 1u l nghim
duy nht ca h 7x y .
Bi 6: iu kin: 0; 0x x y .
i t phng trnh th hai ca h: x y x y x y x y x x (1) Xt hm s 2f t
t t trn 0; . ohm: ' 2 1 0f t t nn f t ng bin.
Mt khc (1) c dng f x y f x nn (1) x y x y x x . t 0t x t th 2y t
t . Thay vo phng trnh th nht ca h ta c:
222 2 4 3 2
2
816 2 2 8 24 0
t t tt t t t t t t
t
3 32 2 12 0 2 do 2 12 12t t t t t t . Vi 2 4,t x 2y .
Vy nghim ca h l ; 4;2x y
Cch gii khc: Ta t t x th phng trnh th nht ca h tng ng vi:
2 2 48
16 2 0 4 4 0ty t yty
t y ty t y t yt y t y
2 224 4 0 4 4 4 0tyt y t y t y t y t yt y
.
Bi 7: iu kin: 1 0x y . Khai thc phng trnh th nht: 31 5 1x y x
y
Ta t 3t x y (iu kin: 1t ) th 1 tr thnh: 3 1 5t t .
D thy rng hm s 3 1f t t t ng bin trn 1; (v khi t tng th f t
tng). Nh vy phng trnh vi n t trn s c nhiu nht mt nghim. Nhn thy t =
2 l mt nghim ca phng trnh. Vy, ta c: 2 8t x y . Phng trnh th hai ca
h tng ng vi:
4 4 12 8 4 8 4 12x x y y x y x y . H cho s tng ng vi h sau:
88
2 2 2 2 2 1 2 1 362 1 2 1 6
x yx y
x y x yx y
8 8 84
4 2 1 81 162 1 2 1 9
x y x y x yx y
xy x y xyx y
Vy nghim ca h l ; 4;4x y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 9
Bi 8: iu kin 1y . H cho:
2 3 4 6
2
2 2 (1)
2 1 1 (2)
x y y x x
x y x
Nu 0x th t (1) suy ra 0y , thay vo (2) khng tha mn 0x .
Chia hai v ca (1) cho 3 0x ta c: 3
3
3
22
y yx x
x x (3).
Xt hm s 32f t t t trn c o hm 2' 3 2 0f t t nn hm s ng bin trn
.
Mt khc (3) c dng 2y y
f f x x y xx x
. Thay vo (2), iu kin 2x :
2 2 42 2 22 1 1 2 1 1 3 3 3x x x x x x x x y
Vy nghim ca h l ; 3;3x y Bi 9: iu kin , 1x y . H cho tng ng
vi:
22 33
2 22 33 3
1 6 11 6 1I
6 1 6 1 11 6 1
x y yx y y
x x x y y yy x x
Xt hm s 2 3 6 1f t t t t trn 1; .
Hm s c o hm:
23
1 1' 2
2 13. 6
f t ttt
.
Ta s chng minh rng
23
12
3. 6
t
t
. Tht vy:
23
23
12 6 . 6 1
3. 6
t t t
t
.
iu ny hin nhin ng do t thuc on 1; . Nh vy, ' 0 1;f t t f t ng
bin trn 1; . V : 1 1x y .
23
I1 6 1 2
x y
x x x
Nhm c nghim ca (2) l 2x nn ta dng phng php nhn lin hp:
2 32 4 1 1 6 2 0x x x
2 33
2 22 2 0
1 1 6 2. 6 4
x xx x
x x x
2 33
1 12 2 0
1 1 6 2. 6 4
x xx x x
2 33
2
1 12 0 (3)
1 1 6 2. 6 4
x
xx x x
2x
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 10
(D thy phng trnh (3) v nghim do 1
11 1x
v
2 33
1 1
46 2. 6 4x x
)
Vy nghim ca h phng trnh l ; 2;2x y
Bi 10: Xem phng trnh th hai ca h l phng trnh bc hai n x, tham s
y :
2 23 4 4 0x y x y y
Phng trnh ny c nghim 2 2 20 3 4 4 4 0 3 10 7 0x y y y y y
27 49
1 13 9
y y (1)
Li xem phng trnh th hai l phng trnh bc hai n y, tham s x :
2 24 3 4 0y x y x x
Phng trnh ny c nghim 2 2 20 4 4 3 4 0 3 4 0y x x x x x
44 256
0 03 81
x x (2)
T (1) v (2) suy ra 4 249 256 697 698
9 81 81 81x y , mu thun vi phng trnh th nht.
T suy ra h cho v nghim
Bi 11: Nhn h s c 2 v 2 nn ta chia hai v ri cng li:
33
33 3
11 2 3 12 3
3 1 32 3 2
yyxx
y y yx x x
Xt hm s 3 3f t t t trn . o hm: 2' 3 3 0f t t t . T suy ra hm
s f t ng bin trn . iu ny cng c ngha l 1
2 yx
.
Thay vo phng trnh 1 ta c: 3 32 3 3 2 0y y y y
2
1 2 0 1 2y y y y .
+) Vi 1
1 1 1y xx
. +) Vi 1 1
2 22
y xx
.
Vy nghim ca h l 1
; 1;1 , ; 22
x y
Bi 12: t 2t x y th phng trnh th nht tr thnh: 14
5 5. 1 2 0 *5
t
t t
.
Xt hm s 14
5 5. 1 25
t
t tf t
trn .
Hm s c o hm: 1 14 4
' 5 .ln5 5.ln . 2 .ln 25 5
t
t tf t
. Do 4
ln 2 0,ln5 0,ln 05
nn ' 0f t t . Mt khc ta li c 1 0f nn * 1 2 1t x y .
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 11
Thay vo phng trnh th hai ca h ta c: 3 22 3 ln 1 0y y y y . Tip
tc xt hm s 3 22 3 ln 1g t t t t t trn .
Hm s ny c o hm
222 2 2
2 2 2
2 12 1 2 4 2' 3 2 3 3 0
1 1 1
tt t tg t t t t
t t t t t t
vi mi t nn g t nghch bin trn .
Mt khc 1 0g nn suy ra 1y 1
02
yx
.
Vy nghim ca h l ; 0 ; 1x y ( thi hc sinh gii quc gia 1998 1999)
Bi 13: iu kin 7 0, 2 0x y x y .
t 7 , 2 , 0a x y b x y a b 2 23 8
5 5a b x y . H tr thnh:
2 2
2 2 2
555
3 8 3 5 82 5 13 025 5 5 5
a ba ba b
b bb a b b bb
5 775
25 77
15 772
2
a b b
ba
(tho mn 0a )
(Ta loi nghim 5 77
2b
do iu kin 0b ).
Ta li c h sau:
2
2
15 77 151 15 777 10 772 2
11 775 77 51 5 77
222 2
x y x
yx y
Vy nghim ca h cho l 11 77
; 10 77;2
x y
Ch : Ngoi cch gii trn th ta cn c mt cch gii kh hay na, p dng c
rng ri hn cho nhiu bi ton h phng trnh dng ny cng nh phng trnh:
Ta c: 7 2
7 2 5 * 5 7 2 (**)7 2
x y x yx y x y x y x y x
x y x y
.
Ly (*) tr i (**) ta c 2 5x y x . n y ta th vo phng trnh th hai
ri rt x
theo y th li v gii phng trnh ban u.
Bi 14: Bin i h nh sau:
2 22 2
2 2 1 2 213 2 16
2 4 33 1 2 38
xy x y x yxy x y
x y x y x y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 12
2 2
1 2 1 2 21I
1 2 38
x y x y
x y
.
t 1 , 2a x b y th h I tr thnh:
2 22 2
21 2121
38 2 38 2 80 0
ab a b ab a bab a b
a b a b ab a b a b
3 410
2131 3 48
10138 3 4
813 3 4
aa bab a b
ab ba ba b
aba b aa b
ab b
(S d h 10
31
a b
ab
b loi do
2100 4 124a b ab ).
+) Vi 3 4 , 3 4a b th 3 3, 2 3x y .
+) Vi 3 4 , 3 4a b th 3 3 , 3 2x y .
Vy nghim ca h l ; 3 3; 2 3 , 3 3 ; 3 2x y Cch gii khc: Cch 1: Ly
phng trnh (1) nhn 2, sau cng vi phng trnh (2) c hng ng thc.
Cch 2: C th rt 16 2
3
yx
y
, thay vo phng trnh th hai gii phng trnh bc 4.
Bi 15: iu kin: 2 0x y . Vi iu kin ny h tng ng vi:
2
2 22 2 2 22 5 4 6 2 0 5 6 02 2
12 3 1
2 322
x y x yx y x y x y
x y x y
x yx yx y
x y
2 22 3 2 3
2 21
2 312 3 2
2
x y x yx y x y
x y x y
x yx y x y
x y
2
2
2
2 3
2 31 114 3 38 6 1 02 42
233
8 6 1 0841 3 3 1 03 3
x y
x yy y yy
y yy x
x yx yxxy y
y xyy
(D thy phng trnh 23 3 1 0x x c 0 , v nghim)
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 13
Vy nghim ca h l 3 1 3 1
; ; , ;4 2 8 4
x y
Bi 16: D dng nhn thy n ph:
2 22 2
2 2 2 2
3 4 13 4 1I
3 2 9 8 3 3 3 2 4 3
x x y yx y x y
x y x y x x y y
t 2 23 , 4a x x b y y th h I tr thnh: 1 1
3 2 3 0
a b a
a b b
.
+) 2 23 13
1 3 1 3 1 02
a x x x x x
.
+) 20 4 0 0 4b y y y y .
Vy h c 4 nghim 3 13 3 13
; ;0 , ; 42 2
x y
Bi 17: iu kin , 0x y . t , 0; 0a x b y a b th h cho tr thnh:
2 2
3 3 2 2
2 2 2 22 2 3 2 2 33 3
58 5
85 3 8 4 0
5 5
a ba a b b a b
a a b b a ba b b ab a b aa b
Do 0a nn ta c th chia hai v ca phng trnh th hai cho 3a , ta c: 2
2 2 2
3 2
5 5
32 1 2 03 8 4 0
a b a b
b b bb b b
a a aa a a
2 2 2 25 5 (1)
2 22 1 2
3 3
a b a b
b b bb a b a b a
a a a
+) Nu 2b a . Loi ngay do 0 , 0a b .
+) Nu b a . Lc ny 2 2 0a b , tri vi phng trnh (1) (loi).
+) Nu 2
3b a . Thay vo phng trnh (1) ta c 2 2
55 9 9
9a a x .
Lc ny 5 9 5 4y x .
Vy nghim ca h l ; 9;4x y
Bi 18: iu kin: , 0x y . Bin i h v h ng cp bc hai:
2 22 2 2 2
2 2 2 2
55 4 4 4 20
5 22 2 4 5 4 20 25 10 20
2
x xy yx xy y x xy y
y xy x xy x xy y
x y xy
2 2
2 2 2 2
2 16 3 016 29 6 0
5 5
x y x yx xy y
x xy y x xy y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 14
2 2
2 2
33
22 1616 I II
5 5 55 5
8
yy x
x yx y x
y yx xy y
D thy (II) v l. Gii h (I): 2
2 1 1I
2 25 5
x y y y
x xy
Vy nghim ca h l ; 2;1 , 2; 1x y
Bi 19: Nhn xt rng 0x khi v ch khi 0y . Vy h c mt nghim l 0;0
.
Trng hp , 0x y . Nhn cho v theo v nh sau:
2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4
2 22 2 2 2
2 3 20 3 3 17 20 0
2 310 2 3
y x y x y x y x x y x x y y
y x y xx x y y y x y x
2 2
2 22 2 2 2
2 22 2
2 2
4 0I
2 34 3 5 0
3 5 02 3II
2 3
x y
y x y xx y x y
x yy x y x
y x y x
Gii h th nht:
2 2 3
2 2
4 2I
2 3 2
x y y x
y x y x x y
2
3 2
2
3
2 1 1
2 21
2 121
22
x y y y
y y x y xy
x y yx yy
xy y x y
Gii h th hai:
2 2 2 2
32 2 3
55 533 3II
42 3 4 99
x yx y x y
yy x y x y x x
4 4
2 4 4
5 3 5 3 5. .
3 2 3 2 3
4 5 3 125 3 125. .
9 3 2 27 2 27
x y y y
y x x
Vy nghim ca h l 4 4 4 43 125 3 5 3 125 3 5
; 0;0 , 2;1 , 2; 1 , . ; . , . ; .2 27 2 3 2 27 2 3
x y
Bi 20: iu kin 0x x y .
t 6
0x
a ax y
th phng trnh th nht tr thnh:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 15
21 5 12 5 2 22 2
a a a a aa
(tho mn).
+) 6
2 2 2x
a x yx y
. Thay vo phng trnh th hai, ta c:
2 23 2 9 2 3 9 0y y y y , v nghim do 63 0 .
+) 1 6 1
232 2
xa y x
x y
. Thay vo phng trnh th hai ta c:
2 224 23 9 23 24 9 0x x x x , v nghim do ' 63 0 .
Vy h phng trnh cho v nghim
Bi 21: T phng trnh th hai ca h, ta nh gi c , 1;1x y . Ta c:
3 3 2 23 34 2 4 2 4 2
5 0 5 05 5
1 1 1
x y x y x y x y xy x yx x y y
x y x y x y
2 2 2 24 2 4 2
5 0 do , 1;1 5 0
1 1
x y x xy y x y x y x y xy
x y x y
4 2 2 21 5 5 1 5 11 02 2 2
x yx y x yx y
x x x x x
Vy nghim ca h l 5 1 5 1 5 1 5 1
; ; , ;2 2 2 2
x y
Bi 22: iu kin 0 32x . Cng v theo v hai phng trnh ca h cho, ta c:
24 432 32 6 21x x x x y y .
nh gi hai v ca phng trnh ny nh sau:
+) 22VP 6 21 3 12 12 1y y y . Du bng xy ra khi 3y .
+) nh gi v tri bng bt ng thc Cauchy Schwart (Bunhiacpxki) nh
sau:
2 2
2 24 4
32 1 1 32 8
VT 12 2
32 1 1 32 2.8 4
x x x x
x x x x
Du bng 2 xy ra 0;32
1632
xx
x x
.
T 1 , 2 VT = VP 12 16, 3x y .
Vy nghim ca h l ; 16;3x y
Bi 23: Thay 0x vo h thy khng tho mn 0x .
T phng trnh th hai ca h ta rt: 2 1
1x
yx
(*).
Th vo phng trnh th nht ca h ta c:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 16
2 2 2 22 2 2 21 1 1 2 13 4 1 . . 3 4 1
x x x xx x x x x x x
x x x x
2 2 2 4 2 2 4 21 2 1 3 4 1 2 3 1 3 4 1 2 6 4 0x x x x x x x x x
x x
2 2
2 1 2 0 1 2 0 1 2x x x x x x x .
Quay li th vo (*), ta c:
+) Vi 1x th 1 0 1y y . +) Vi 2x th 3 5
12 2
y y
.
Vy nghim ca h l 5
; 1; 1 , 2;2
x y
Bi 24: Thay 0x vo phng trnh th hai thy khng tho mn nn suy ra 0x
.
Vi iu kin ny, h tng ng vi:
2
2
22
2
166
1 1 25 5
yy y yx xxx
yy y
x x x
I
t 1
,y
a y bx x
th h I tr thnh:
222
2 223
5 556 2 222 5 5
3 3 4 05 12 0. 62
a aab bba b
a b aa a aa aa
2
2
2
5
2 3
23 73 3 4 0
2 4
ab
a
ba do a a a
Vi 3 , 2a b , thay tr li bc t:
2
123
21
2 3 2 3 1 02
y xyy xx
y x x xx
x
21
112
21 12
y x
x xx
yyx
Vy nghim ca h l 1
; 1;2 , ;12
x y
Bi 25: H cho tng ng vi:
2 2 2 2
2 2 2
5 16 16 5 16 16
5 16 16 8 4 0 2 8 4 0
y x x y x x
y x x y xy y y xy
2 2 2 25 16 16 5 16 16
2 4 2 0 0 2 4
y x x y x x
y y x y y x
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 17
2 2
2 40I II
5 4 4 0 2 4 5 16 16
y xy
x x x x x
Gii h I ta c 4
; 4;0 , ;05
x y
.
Gii h 2
2 4 0II
49 0
y x x
yx
.
Vy nghim ca h l 4
; 4;0 , ;0 , 0;45
x y
Bi 26: Ta thy gi tr 0y khng tho mn phng trnh th nht ca h 0y
.
Lc ny h cho tng ng vi:
2
2
14
21
xx y
y
yx y
x
.
t 2 1
, 0x
x y a b by
th h tr thnh:
2
4 44 1
1 132 2 4 0 2 1 0
a b a ba b b
aa b b bb b
(tho mn)
Tr li bc t:
2 2
2
2 2
31 1 1 2
12 51 1 3 2 0
x yy x y x x x
xy yx x x x
y
Vy nghim ca h l ; 1;2 , 2;5x y
Bi 27: Dng php th:
3 3 2 2 3 3 2 22 2 2 2
2 9 2 2 9
3 3
x y x y xy x y xy x y x y x xy y
x xy y x xy y
3 3 3 3 3 3
2 2 2 22 3 2 2
2 22 9 8
4 2 3 13 3
x y x yx y x y x y
y y y yx xy y x xy y
1 1
2 2
y y
x x
Vy nghim ca h l ; 2;1 , 2; 1x y Bi 28: Bin i h t n ph:
2 22 2 2 2
2 2
3 33 2 2 7 3 7
1 13 3
x xy y x xy y x y x yx y x y
x y x y x y x yx y x y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 18
t
22
2
1 1; 2 2a x y b x y a a x y
x y x y
. H tr thnh:
2 2
2 22
3 33 13
3 4 6 4 03 3 13
b a b aa b
a b a aa a
3
12 22 TM khng TM 2
21 1 1
32
xa x ya a
b x yb a y
Vy nghim ca h l 3 1
; ;2 2
x y
Bi 29: iu kin , 0x y . t , 2 , 0a x b y a b th h tr thnh:
2 2 2 2
2 22 22 22 2
10 10 4 4 23 4 23
84 8410 2
10 210 2 310333 2 84
848484
b b ab a b b ab a
a ab aaa b ab ab a
2 2 2
22 2 2
10 2 5 1 2 1 2 1 1 6613 . 3 0 5. 132 0
4488 5
b ab a b a b a
a a aa a a a
1 6612
1325
0 1 6611 661
66
b a a
a ab
2
2
1 661 331 661132 8712
331 6611 1 66143562 66
x x
yy
Vy nghim ca h l 331 661 331 661
; ;8712 4356
x y
Bi 30: Cng v theo v hai phng trnh: 2 23 2 23
1 12
2 9 2 9xy x y
x x y y
nh gi hai v ca phng trnh ny:
+)
3 32 23 3
1 1 1 1VT 2 2 2
8 81 8 1 8
xy xy xy
x y
.
+) 22 2VP 2 do 0x y xy x y . M ta li c VT= VP nn du bng cc ng
thc trn phi xy ra, tc l:
1 1 01
x yx y
x y
.
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 19
Th li, ta thy rng 1;1 l nghim ca h cho.
Vy nghim ca h l ; 1;1x y
Bi 31: Bi ton ny chng ta s dng phng php nh gi:
233
33 2
2 3 2 2 1 2 13 4I
2 2 3 22 6 2 2 2 1 2 2
y x x y x xy x x
x y yx y y x y y
+) Nu 2x th t 1 2 0y v t 2 2y , mu thun nn loi. +) Nu 2x th t 1
2 0y v t 2 2y , mu thun nn cng loi nt. +) Nu 2x th thay vo ( I ) tm
c 2y .
Vy nghim ca h l ; 2;2x y Lu : Nu s dng php th y t phng trnh th
nht xung phng trnh th hai ta c:
8 7 6 5 4 3 22 2 4 10 44 34 76 188 160 51 0x x x x x x x x x .
Phng trnh bc 8 kia rt l kh nhai! Dng o hm chng minh n v nghim cng
rt kh. Nhng khi dng bin i tng ng n th ta s thu c:
2
4 3 21 2 2 6 16 10 2 02
x x x x .
Phng trnh ny r rng v nghim! Vy l bi ton c gii quyt. Bi 32: T
phng trnh th hai ta t iu kin , 0x y .
Phng trnh th nht ca h tng ng vi: x ye x e y 1 .
Xt hm s tf t e t trn 0; . o hm: 0' 1 1 0tf t e e nn hm s ng bin
trn 0; . Ta li c 1 c dng f x f y x y . Thay vo phng trnh th hai ca
h ta c:
22 22 1 2 2
22
log 1 2log 3log 2 log 3log 2 0
log 2 4
x xx x x x
x x
Vy nghim ca h l ; 2;2 , 4;4x y
Bi 33: Tr v theo v hai phng trnh ca h cho ta c:
3 3 2 2 2 22 2 2 2 2x y x y x y x y x xy y x y x y
2 2 2 2 4 0 0x y x y xy x y x y x y
(do 2 2 22 2 1 12 2 4 2 2 0
2 2x y xy x y x y x y )
Thay x y tr li h ta c:
23 2 3 2 1 51 1 01 2 2 1 0 12
x yx yx y x y
y y yy y y y y y
Vy nghim ca h l 1 5 1 5 1 5 1 5
; 1;1 , ; , ;2 2 2 2
x y
Bi 34: iu kin 2 1x . Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 20
2 2
2 2 2
2
11 . 1 1 1 1
1
y yx x x x y y
y y
(do 2 21y y y nn 2 1 0y y ). Tng t: 2 21 1 2y y x x . Kt hp 1 ,
2 ta c h:
2 22 2 2 2
2 22 2 2 2
1 1 2 1 2 1
1 11 1 1 1
x yx x y y y x
x x y yy y x x x x y y
2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1
x y x y x y x y
x x y y x x x x x x x x
0
0
x y x yx y x y
x x y
(loi 0x y do 2 1x ).
Vy x y . Thay vo phng trnh th nht ca h thy tho mn v thay vo phng
trnh
th hai ca h ta c 2
350 3
121
yy
y
. D thy rng 0y (v nu 0y th v tri
dng nn n v l). Kt hp vi iu kin cn thc ta c y < 1.
2 22
2 2
22
35 35 353 1
12 12 1211
y yy y y y y
yy
SUY RA
2 2 2
2 2 2 235 35 35 35 1225. 212 12 12 6 144
y y y y y y y y
2 2
2 2 235 1369 37 35 37 35 371 1 1 012 144 12 12 12 12 12
y y y y y y
2 235 49 35 25 5 5 35 3577012 12 12 12 4 3 12
y y y y y y y
.
(T tng trong u phi xc nh rng: khng s gii phng trnh bc 4, n c cch
gii m)
Thay li vo phng trnh 1 ta thy ch c cc nghim 5 5
,4 3
y y
tho mn 1 .
Vy nghim ca h l 5 5 5 5
; ; , ;4 4 3 3
x y
Cc em c th tm hiu mt cch chi tit nht v phng trnh bc 4 trong cun
sch Chinh phc phng trnh, bt phng trnh i s. Ch cn nm c cch gii phng
trnh bc 4 phi hp vi mt s k nng s dng my tnh c gii thiu trong cun
sch l cc em s hon ton t tin x l c c mt lp bi ton phng trnh v t hay
gp! Cch gii khc: C th x l phng trnh (1) bng phng php o hm.
Xt hm s 2 1f t t t trn .
Hm s c o hm 2
2 2 2
1' 1 0
1 1 1
t tt t tf t
t t t
nn f t ng bin trn .
Phng trnh (1) li c dng f x f y x y .
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 21
Phng trnh (3) c vit li thnh:
2
1 350
1211
y
y
.
Vi iu kin y < 1, ta c th t 1
cos ;2
t ty
th phng trnh trn tr thnh:
2
1 1 35 1 1 35 350 0 sin cos sin cos 0
cos 12 cos sin 12 121 cost t t t
t t tt
.
n y c th t sin cost t t gii tip.
Bi 35: Nhn thy rng phng trnh th hai ca h c nhm h s ca 2y nn ta
c
tng a phng trnh th hai ca h thnh bc hai vi n l 2y .
T phng trnh th nht suy ra: 2 23 9 48 16 144y x y x .
Thay vo phng trnh th hai ca h ta c: 4 2 24 2 3 16 48 11 0y x y x
x .
Xem nh y l mt phng trnh bc hai vi n l 2y v tham s l x , ta
c:
22 2' 4 2 3 16 48 11 25 0
yx x x nn phng trnh c hai nghim l:
2 2 2 3 5y x hay chnh l 2 1 4y x hoc 2 11 4y x .
+) Nu 2
2 11 44
yy x x
. Th vo phng trnh th nht ta c:
22 4 2
4 21 2 13 9 3 9 2 48 1434 16
y y yy y y y y
2 22 2 21 2 12 1 2 12 1 2 12 0y y y y y y
22
2
2 11 0 1 2 3 3 32 11 0
2 13 0 (VN) 1 2 3 3 3
y y y xy y
y y y x
(tho mn)
+) Nu 2
2 1111 44
yy x x
. Th vo phng trnh th nht ta c:
22 4 2
4 211 22 1213 9 3 9 22 48 234 16
y y yy y y y y
22
2 2 21 2 6 2 6 2 6 1 2 6 2 6 1 2 6 0y y y y y y
2
2
2 6 1 2 6 0 *
2 6 1 2 6 0 **
y y
y y
Gii tng phng trnh:
211 6 2 3 3 26 2 3
4 2*6 2 3 3 2
6 2 32
yy x
y x
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 22
211 3 2 2 3 66 3 2
4 2**2 3 6 3 2
6 3 22
yy x
y x
Vy nghim ca h l
; 3 3 ;2 3 1 , 3 3 ; 2 3 1 ,
6 2 3 3 2 6 2 3 3 2; 2 3 6 , ; 2 3 6 ,
2 2
3 2 2 3 6 2 3 3 2 6; 6 3 2 , ; 6 2 3 .
2 2
x y
Bi 36: t 15
5
ty . T phng trnh th nht suy ra
15 151;1 ;
3 3y t
.
Phng trnh th hai ca h tr thnh: 5 3
5 315 15125 125 6 15 0 3 5 2 05 5
t tt t
2 3 2
3 2
11 3 6 4 2 0
3 6 4 2 0 1
tt t t t
t t t
Xt hm s 3 23 6 4 2f t t t t trn on 15 15
;3 3
. Hm s c o hm
22' 9 12 4 3 2 0f t t t x nn hm s ng bin on
15 15;
3 3
.
Suy ra 3 215
3 6 4 2 12 3 15 03
t t t f
, nn 1 v nghim.
Vy 15
15
t y . Thay vo phng trnh th nht ca h ta tm c 10
5x .
Vy cc nghim ca h l 10 15
; ;5 5
x y
Bi 37: Bin i h nh sau:
3 23 2
3 23 2
20002000 0
500 *500 0
x xy yx xy y
y yx xy yx x
+) Nu 0x , thay vo phng trnh th hai ta c 0y , tho mn h.
+) Nu 3 20 0 0x y yx y . Lc ny ta nhn cho hai v ca h nh sau:
3 2 3 2 4 2 2 4 2 2500 2000 4 4x x xy y y yx x x y y x y
4 2 2 4 2 2 2 25 4 0 4 0x x y y x y x y 2 2x y x y x y x y .
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 23
Nu x y . Thay vo (*) ta c: 3 3 500 0x x x x , loi.
Nu x y . Thay vo (*) ta c: 3 2 500 0x x x x x , loi nt.
Nu 2x y . Thay vo ta c: 3 3 3 24 1000 1000 0 1000 0y y y y y y y
. iu ny khng th xy ra do 20 , 1000 0y y .
Nu 2x y . Thay vo (*) ta c:
3 3 2 24 1000 3 1000 0 3 1000y y y y y y 10 30 20 30
3 3
10 30 20 30
3 3
y x
y x
Vy h c cc nghim l 20 30 10 30 20 30 10 30
; 0;0 , ; , ;3 3 3 3
x y
Bi 38: Thay 0y vo h thy khng tha mn nn h tng ng vi:
2 42 2
2 2 2
2 3 2 3
1 1 1 12 1
2 2 1 1 2 1 1 2
yxy x y xyy y y y
x x y x y
T (1) 4 41 0 1 1 1y y y .
T (2) 3 31 0 1 1y y y .
V vy y ch c th bng 1 1x .
Vy nghim ca h l ; 1; 1x y
Bi 39: iu kin 1
, 0;2
x y
. Vi iu kin ny suy ra
10
4xy .
Khai thc phng trnh th nht ca h. p dng bt ng thc Cauchy Schwart
ta c:
2
2 2
2 2 2 22 2
1 1 1 1 1 11 1 2
1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 x y x yx y
*
n y ta s chng minh: 2 2
1 1 42 1
1 21 2 1 2 xyx y
(vi
10
4xy ).
Tht vy
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 21 1 2 1 1 2 1 2
1 21 2 1 2
x yxy x y x y
xyx y
2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 1 2 2 4x y xy x y xy y x x y
2 22 2 2 22 2 2 0 2 0x y xy xy xy x y x y xy x y
2
1 2 0x y xy , iu ny ng do 2 1 1
0 ; 1 2 1 2. 04 2
x y xy .
Vy, 1 ng. Kt hp vi * suy ra
2
2 2
1 1 4
1 21 2 1 2 xyx y
.
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 24
Ly cn hai v ta c :2 2
1 1 2
1 21 2 1 2 xyx y
.
Trong bi ny, du bng xy ra, tc l 1
0;2
x y x . Nh vy h cho tr thnh:
2 2 1
1 2 1 2 2 1 2 1 29 9 81
x y x y x y
x x y y x x x x
273
1 9 7312 0 9
81 364
x yx yx y
x x xx
(tha mn)
Vy nghim ca h l 9 73 9 73 9 73 9 73
, ; , ;36 36 36 36
x y
Bi 40: iu kin 1
1 ,2
x y . Vit h li nh sau:
3 3
1 2 2 1 2 1 2 13 2 2 2 1 0
2 2 2 1 1 2 2 2 1 1
x x y yx x y y
x y x y
Ta t 2 , 2 1 , 0a x b y a b th h trn tr thnh:
2 2 2 23 333 3
1 1 1 0
2 12 1 2 1
a a b b a b a b aba a b b
a ba b a b
2 2
233
0 do 1 0
1 1 02 12 1
a ba b a b ab a b
a a aa aa b
1 51
2
a b
a a
(do 0a nn ta loi nghim
1 5
2a
)
+) Nu 1 2 2 1 1 1; 1a b x y x y .
+) Nu 5 1 5 1 1 5 5 5
2 2 1 ,2 2 2 4
a b x y x y
.
Vy nghim ca h l 1 5 5 5
; 1;1 , ;2 4
x y
Lu : C th dng phng php hm s kt lun 2 2 1x y .
Bi 41: Bin i h nh sau: 3 3 3 3 3 2 3 2
2 2 2 2 2 2
9 1 8 3 3 1 6 12 8
2 4 0 6 12 3 3 2 4 0
x y x y x x x y y y
x y x y y y x x x y x y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 25
3 3
2 222 2
1 2 31 2
3 9 6 03 2 3 4 02 4 0
x y x yx y
y yy y y yx y x y
3 2 1
1 2 1 2
x y x x
y y y y
Vy nghim ca h l ; 2; 1 , 1; 2x y
Bi 42: Chuyn s 3 t v tri ca phng trnh th hai sang v phi:
23 2 23 3 3
2 2 2 22 2 2 2
8 2 8 08 2 8 .33
3 3 1 3 2 3 2 3 2
xyxx x y y x xx x y y x x y
x y x y x y x y
222
2
2 222 22 2
2 2
0
03 240 3 2 ( ) 3 24 0
3 24 03 23 24 0
3 6 03 23 2
x
xxy loai x xy y
x xy xx yx xy
y xx yx y
22
2
22
24 22 2 2 4
3 243 24 3 24
3 2426 426 1728 03 6 0 3 3 24 6 0
xxy xyx y
x xx
x xx x x xx
2
2 2
4 78 4 783 243 3 13 13
1 196 78 789
13 13 13
xx xy
x xx
y yx x y y
Vy nghim ca h l 4 78 78 4 78 78
; 3;1 , 3; 1 , ; , ;13 13 13 13
x y
Cch gii khc: Cch 1: a phng trnh th nht v dng 3 3 2 8x y y x v a
phng
trnh th hai v 2 23 6x y , sau nhn hai v a v phng trnh ng cp bc
3.
Cch 2: Bnh phng h:
2 2 2 2
3 3 3 3 2 2 2 28 2 8 2 8 2x x y y x x y y x x y y .
Vic cn li ca chng ta l rt 2y t phng trnh th hai v th vo phng
trnh trn.
Bi 43: Rt y t phng trnh th hai v nhn hai v ca phng trnh th nht
cho 7 ta c:
22
2 2 2 22 2
7 2 9 67 2 9 6
2 3 2 9 6 28 9 2 9 67 .2 7 .3 28 7 .9
y x xy x x
x x x x x x xy x y y x y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 26
22
24 3 2
7 2 9 67 2 9 6
2 2 1 2 9 27 04 24 31 99 54 0
y x xy x x
x x x xx x x x
22 9 6 12 9 3 33
7 216 4
11 9 3 33372
72 4
x xxy x
x
yy yx x x
Vy h c 4 nghim 16 1 1 9 3 33
; 2; , ; , ;37 2 7 4
x y
Bi 44: Bin i v t n ph gii h:
24 3 2 2 3 2 34 3 2 2
3 2 3 2 3 2
2 1 11
1 1 1
x x y x y x y x xy x yx x y x y
x y x xy x y x xy x y x xy
t 2 3,a x xy b x y th h ny tr thnh:
2
2 2
1 1 0 11
1 01 11 0
b a b a a aa b
b ba ab a a a
+) Nu
2 2
3 4
0 1 10, 1
1 11 1
x xy xy x x xa b
y yx y x
+) Nu
2 2
3
1 11, 0
0 00
x xy x xya b
x yx y
n y d thy h ny v nghim.
Vy nghim ca h l ; 1;1 , 1; 1x y
Bi 45: Bin i h v t n ph:
4 2 24 2 2
2 2 2 2
4 4 6 9 44 6 9 0
2 22 0 2 3 4 2 4 3 8 0
x x y yx x y y
x y x y x y x y
t 2 2 , 3 2a x b y a th h tr thnh:
22 2
2
8 42 44
4 4 8 0 8 4 8 20 0
ab a ba b aba b
ab a b ab a b a b a b
8 4 2 100 482 10
ab a b a b a b
ab aba b a b
Loi 10, 48a b ab do 2
4 100 4.48 0a b ab .
Vi 2 0 2
0 2 0
a b a a
ab b b
-
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H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 27
Quay tr li bc t:
2
2
2 0 2
3 2 5
22 2
33 0
x x
y y
xx
yy
Vy nghim ca h l 2;5 , 2;3x y Cch gii khc: T phng trnh th hai rt
2x theo y ri th vo phng trnh th nht c phng trnh bc 4 c nghim p. Bi
46: Nhn thy 0y khng tho mn h 0y .
Lc ny h cho tng ng vi:
3 33 3
22
22
27 278 18 8 18
3 94 64 . 2 . 31
x xy y
x xx x
y yy y
n y t 3
2 ,a x by
th h li tr thnh:
33 3 3 3 2 2
3 32 2 3 3 3 3
318 3 3 27 27
183 18 18
a ba b a b a b ab a b
a ba b ab a b a b
3 2 3 2
3 5 3 53 3 2 2
27 27 9 18 3 1 0 3 5 3 5
2 2
a ab a b a
a a a a a ab b
+) Vi 3 5 3 5 3 5 3 9 3 5
; ,2 2 2 4 2
aa b x y
b
.
+) Vi 3 5 3 5 3 5 9 3 5
; ,2 2 4 2
a b x y
.
Vy nghim ca h l 3 5 9 3 5 3 5 9 3 5
; ; , ;4 2 4 2
x y
Bi 47: Bin i tng ng h nh sau:
2 22 2
2 2 2 22 2
33
2 2 1 1 161 1 4
xy x yx y xy
x y x yx y
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 3
5 2 1 16 2 4 11
xy x y xy x y
xy x y x y x y xy xy
(iu kin 11xy )
2 22 2 2 2
22 2 2 2
33 335
4 4 11 33 26 105 03
xy x yxy x y xy x y
x y xy xy xy xyx y xy
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 28
2 2
3
6
xy
x y
(tho mn)
2 2
35
3
35 263 0
3 3
xy
x y
(loi)
Vy 2 2
2 4 2 2
2
33 3
3 3 3
96 3 36 6 9 0 3
yxy y y x xx
x xx y y yx x x x
x
Nghim ca h l ; 3; 3 , 3; 3x y Bi 48: Gii h bng phng php hm
s:
2 1 1 2 1 1
11 1
x y x y x y x y
x yx y x y
e e x e x y x e x y
x y ee x y e x y
Cng v theo v ca hai phng trnh vi nhau ta c: x y x ye x y e x y *
.
Xt hm s tf t e t trn . Hm s c o hm ' 1 0tf t e nn f t ng bin trn
. Mt khc * c dng f x y f x y nn 0x y x y y .
Thay y = 0 vo hai phng trnh ca h ta c: 1 1 0x xe x e x (**).
Kho st hm s 1xg x e x trn . o hm ' 1xg x e .
' 0 1 0xg x e x . y chnh l im cc tiu ca hm s. Lp bng bin thin,
thy rng 0g x x . Du bng xy ra khi v ch khi 0x , tc l (**) 0x .
Vy nghim ca h l ; 0;1x y
Bi 49: iu kin 1
, 0y xx
. t t x y th phng trnh th nht ca h tr thnh:
1 2 1 241 4 .5 1 3 5 5. 3 1 0 15
t
t t t t t
.
Xt hm s 1 24
5 5. 3 1 05
t
t tf t
trn .
Hm s c o hm 1 24 4
' 5 .ln5 5. .ln 3 .ln3 05 5
t
t tf t t
(d thy iu ny
do 1 24
5 .ln5 0, ln 0, 3 .ln3 05
t t ).
Mt khc ta c 0 0f nn 1 0 0t x y x y .
Th y x vo phng trnh th hai ca h ta c: 21
3 1 2x x x xx
.
D thy rng 0x khng tho mn nn ta c th chia hai v ca phng trnh ny
cho x:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 29
1 1 1 1 1 13 2 3 2 0 1 2 0x x x x x x
x x x x x x
2
2
1 11 1 51
1 02
1 4 1 01 4 2 52
x xx x xx x
x xx xxxx
Nghim 1 5 1 5 1 5 1 5; ; , ; , 2 5;2 5 , 2 5;2 52 2 2 2
x y
Bi 50: Vi iu kin 2 , 0x y y th phng trnh th nht ca h tng ng vi:
2 22 6 2 ( 2 ) 2 6 0y y x y x y x y y x y y
Xem y l phng trnh bc hai vi n l 2x y . Ta c: 2 2 224 25y y y nn
phng
trnh ny c hai nghim l 2 3x y y v 2 2x y y (y l phng trnh ng
bc).
+) Nu 2
02 3
9 2
yx y y
x y y
Thay vo phng trnh th hai ca h ta c:
2 2 2 29 2 3 9 2 3 2 9 5 9 5 2 0y y y y y y y y y y 29 5 1y y
(loi) 29 5 2y y (tha mn) 29 5 4 0y y
1y (loi) 4
9y (tha mn). Vi
4 8
9 3y x .
+) Nu 2
02 2
4 2
yx y y
x y y
Thay vo phng trnh th hai ca h ta c:
2 2 2 24 2 2 4 2 3 2 4 4 5 2y y y y y y y y y 22 4 5 2y y y (do
0y ) 2
14 7 2 0
4y y y (loi) 2y (tha mn).
Vi 2 12y x .
Vy nghim ca h l 8 4
; ; , 12; 23 9
x y
Bi 51: iu kin y khc 0.
H cho tng ng vi:
2
2
12 2
1 22
x xy
xy y
t 1
0a ay
th h trn tr thnh:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 30
2 222 22
2 2 0 1 02 2
2 2 2 22 2
x a x a x a x ax x a
a x a x x ax x a
2
2 2
(I)2 2 1
1 1(II)
2 2 1 02 1 2 1 2
x a x a
a a
x a x a
a aa a
1 1(I)
1 1
a a
x x
1 3 1 3
2 2(II)
1 3 1 3
2 2
a a
x x
+) Vi 1a th 1y . +) Vi 1a th 1y .
+) Vi 1 3
2a
th 1 3y . +) Vi
1 3
2a
th 1 3y .
Vy nghim ca h l 1 3 1 3
; 1;1 , 1; 1 , ;1 3 , ;1 32 2
x y
Bi 52: iu kin 2 2x y .
t 2 2 , 0, 0a x y b x y a b th 2 2 2a x y x y x y .
Suy ra 2 2a a
x yx y b
.
Ta li c 21 1
2 2
ay x y x y b
b
.
Lc ny h tr thnh:
22 2
2 2
1 1212 242
144 24 24 121212
a b ab a b a a bb
a a a a ab ab a
2
12 3 4
9 824 168 288 0
b a a a
b ba a
(tho mn).
+) Nu 2 2 2
913 59
9 499
x ya xx y ax y
b yx yx y
+) Nu 2 2 24 2 54 16
8 8 38
a x y xx y
b x y yx y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 31
Vy nghim ca h l ; 5;4 , 5;3x y Bi 53: iu kin 0, 0, 0x y x y y .
Thay 0y vo h thy v l 0y .
Chia hai v ca phng trnh th nht ca h cho 0y ta c: 1 1 2x x
y y .
t 1, 1 0x x
a b a by y
, ta c h sau: 2 2
32 2
12
2
aa b
a bb
Thay tr li bc t ta tm c 5 5
4 4
x yx
y .
Thay vo phng trnh th hai ca h: 5 4 5 4
5 3 . 14 5 4 5
yy y x .
Vy nghim ca h l 4
; 1;5
x y
Bi 54: Thay 0y vo phng trnh th nht ca h ta c 2 1 0x , v l nn 0y
.
Chia cc v ca h cho 0y ta c:
2
22
14
2 27
xx y
y y
xx y
y y
(1)
n y ta t 2 1
,x
a b x yy
th h (1) tr thnh:
22 244 4 3 5
1 92 4 7 02 7 2 15 0
a ba b a b b b
a ab bb a b b
+) Vi
2
2 2
13 31 1 21
3 2 51 3 2 03
xy x y xa x x
yb y yx x x x
x y
.
+) Vi
2
2 2
15 59 9
5 1 9 5 9 46 05
xy x y xa
yb x x x x
x y
(v nghim)
Vy nghim ca h l ; 1;2 , 2;5x y Bi 55: Thay 0y vo phng trnh th
nht thy ngay n khng tho mn 0y .
Phng trnh th hai ca h tng ng vi:
3 3 3 3 2 2 3 2 2 32 1. 2 2 2 2 2 2 3 0x y y x x y y x y x x x y
xy y 3 2 2
2
32 2 5 0 1 5 0 1
x x x x x x xx y
y y y y y yy
.
Thay x y tr li h ta c:
1x .
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 32
Vy nghim ca h l ; 1;1 , 1; 1x y
Bi 56: Cng cho v theo v hai phng trnh ca h: 2 22 2x x x y y y
(1)
Xt hm s 2 2f t t t t trn 0 ; . o hm 1
' 2 2 02
f t tt
nn f t
ng bin trn 0; . Phng trnh (1) c dng f x f y x y . Thay x y tr li
h ta c phng trnh
2 32 2 1 0 1 1 0x x x x x x x x x x 1 5
1 02
x x x
(loi 1 5
02
x
, v n r rng v l).
3 5
0 12
x x x
.
Vy nghim ca h l 3 5 3 5
; 0;0 , 1;1 , ;2 2
x y
Bi 57: a phng trnh th nht ca h v 22 4 1 5 2 6 2x x y y (1). Xt
hm s 2 1f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 1 0f t t t nn hm
s ng bin trn . Phng trnh (1) c dng 2 5 2f x f y nn ta c:
22
02 0
2 5 2 5 44 5 2
2
xx
x y xx y y
Th vo phng trnh th hai ca h ta c:
22
2 5 44 2 3 4 72
xx x
(2).
Nhn thy 3
0,4
x x khng l nghim ca phng trnh (2).
Xt hm s 2
22 5 44 2 3 4
2
xg x x x
trn
30;
4
. o hm:
2
25 4 4 4' 8 2. . 4 4 4 3 02 3 4 3 4
xg x x x x x
x x
vi mi
30;
4x
Suy ra hm s g x nghch bin trn 3
0;4
. Ta li c 1
02
g
nn (2) c nghim 1
2x .
Vi 1
2x th 2y (tha mn).
Vy nghim ca h l 1
; ;22
x y
( thi i hc khi A nm 2010)
Bi 58: Rt y t phng trnh th hai 22 9 6
7
x xy
v th vo phng trnh th nht:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 33
2 2 22 22 9 6 2 9 6 2 9 62 . 3 . 4 9.
7 7 7
x x x x x xx x x
4 3 24 24 31 99 54 0x x x x 22 2 1 2 9 27 0x x x x .
Phng trnh ny c 4 nghim nh sau:
+) 16
27
x y
. +) 1 1
2 7x y
.
+) 9 297
34
x y
. +) 9 297
34
x y
.
Vy h c cc nghim l 16 1 1 9 297
; 2; , ; , ;37 2 7 4
x y
Bi 59: D dng thy y l mt h cha phng trnh ng cp.
Nu 0y , thay vo h thy khng tho mn nn suy ra 0y . Tng t, ta c 0x
.
Th phng trnh th nht vo phng trnh th hai ta c:
4 4 3 3 2 3 2 2 32 8 2 8 4 0 12 8 0x y x y x y xy xy x y yx 6 2
0 6 2 0 6 2xy x y x y x y x y x y x y .
+) Nu 6x y , thay vo phng trnh th nht ca h: 33 3
1 6200 1
200 200y y x .
+) Nu 2x y , thay vo phng trnh th nht ca h: 31
8 1 12
y y x .
Vy nghim ca h l 3 3
1 6 1; 1 ; , ;
2 200 200x y
Bi 60: Nu 0x , thay vo phng trnh th hai thy khng tho mn 0x .
Thc hin php chia a h v dng:
2
2
3
3
6
119
y y
x x
yx
. t 1
0z zx th h li tr thnh:
33 3 2 22 2
3 33 3 3 33 3
13 16 1
1 1919 1919
y zz y z y zyyz y z y z
y yz y z yz y
2
1 3 2
2 33 3 18 0
z y y y
z zy y
+) Vi 1
22
z x
. +) Vi 1
33
z x .
Vy nghim ca h l 1 1
; ;3 , ; 22 3
x y
Bi 61: iu kin 2 1 0, 2x y . a phng trnh th nht v dng sau:
2
2 1 2 2 1 1 2 2 2 1x x y y (1).
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 34
Xt hm s 22 1f t t t trn 0; . Hm s c o hm 2' 6 1 0f t t nn f
t
ng bin trn 0; . Mt khc (1) c dng 2 1 2f x f y nn n tng ng vi 22
1 2 4 4 3x y y x x . Thay vo phng trnh th hai ta c:
24 2 8 8 14 6x x x (2).
Dng my tnh nhm ngay c nghim 1
2x . n y c hai cch gii quyt: dng o hm
(v thy n ng bin) hoc nhn lin hp (p dng cch ny i vi bi ton ny v n
cho kt qu nhanh hn m khng cn l lun qu phc tp nh o hm).
2
2
2
4 2 8 8 62 4 2 2 8 8 10 4 0 0
4 2 2 8 8 10 4
x x xx x x
x x x
2
1 2 3 14 2 0 4 2 0 6
24 2 2 8 8 10 4
xx x x y
x x x
.
(D thy vi 1
2x
th
2
1 2 32 3 0 0
4 2 2 8 8 10 4
xx
x x x
).
Vy h c mt nghim 1
; ;62
x y
Bi 62: Nu 0y th thay vo phng trnh th nht : 2 1 0x , v l 0y .
D dng nhn thy n ph trong bi ton:
2
2 2
2
2
111
221
1
xx yx y xy y
yy
x y yx yx
x
t 2 1
, 0x
a x y b by
th h tr thnh:
2
1 11 1
(VN)1 11 . 2 12 1 2 1 0
a b a ba b a b
b b ba b b bb b
Vy, h cho v nghim
Bi 63: Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
4 3 3 2 27 7 7 7 9.7 0x x y y x x y y x
3 2 3 2 2 27 9 0x x x y y xy x y x y x (th s 2 27 x y x )
22 27 9 0x x y x xy y xy x y x x y x y
2
7 9 0x x y x y x y x y
16 2 0 0 8x x y x y x y x x y x y y x . Loi ngay 0x , x y v x y
v khi v tri ca phng trnh th hai s bng 0 nn
khng tho mn. Vy ta c 8y x .
Thay vo phng trnh th hai ta c:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 35
3 3
2 2 3 1 3 8. 364 7 89 3 3
x x x x x y x .
Vy nghim ca h l 3 33 8. 3
; ;3 3
x y
Bi 64: Bin i t hai phng trnh ca h nh sau:
3 3 2 2 3 2 3 23 2 3 35 3 4 9 6 12 8 9 27 27x y x y x y x x x y
y y
3 3
2 3 2 3 5x y x y x y .
V vy h cho tng ng vi:
2 22 2
55
2 10 25 3 4 5 9 02 3 4 9 0
x yx y
y y y y yx y x y
2
5 2 3
3 25 25 30 0
x y y y
x xy y
.
Vy nghim ca h l ; 3; 2 , 2; 3x y Bi 65: iu kin: 0, 0x y .
Phng trnh th nht 2 0
2
x yx y x y
x y y x
+) Nu y x , thay vo phng trnh th hai: 2 21 1 3 3x x x . Nhn thy
v tri khng dng, cn v phi th dng nn phng trnh ny v nghim. +) Nu 2y x
, thay vo phng trnh th hai:
2 2 22 1 1 3 3 2 3 1 2x x x x x x
2 2 2 4 3 22 3 2 3
1 4 4 3 3 4 4 4 3 3 4 3 3 0
x x
x x x x x x x x
Dng my tnh nhm nghim c 3x nn ta nhm nh sau:
4 3 2 2 34 4 3 4 4 3 3 0 4 4 3 3 0x x x x x x x x x
33 TM
4 3 3 0 1
x
x x
By gi ta gii phng trnh (1). Dng my tnh gii phng trnh bc 3, ta
thy rng c hai
nghim phc v mt nghim 3
0,453222
nn phng trnh ny s khng c nghim thuc
3;
2
. V vy min gi tr ca hm s cha x s khng c gi tr bng 0 nn dng
phng php hm s chng minh phng trnh v nghim:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 36
Xt hm s 34 3 3f x x x trn 3
D ;2
. o hm: 2' 12 3 0f x x nn
f x ng bin trn D 33
4 3 3 2 3 02
x x f
nn (1) v nghim.
Vy 3 2 3x y .
Nh vy nghim ca h l ; 3;2 3x y
Cch gii khc: Khi bin i n 2y x , ta a phng trnh th hai v: 22
12 3
xx
x
m hm s 2 1f x x ng bin, 2
2 3
xg x
x
nghch bin vi x dng nn phng
trnh (1) c nhiu nht mt nghim. V nghim l x = 3 .
Bi 66: iu kin: , 0; 3 0x y y x . Bin i h nh sau:
12 21
3
12 61
3
y x x
y x y
Cng hai v ta c: 1 3
1x y (1). Tr v theo v ta c:
1 3 12
3y xx y
(2)
Nhn v theo v ca (1) vi (2) ta c: 1 9 12 9 12
3 3
y x
x y y x xy y x
2
2 26 27 0 6. 27 0 3 (TM) 9y y y y
y xy xx x x x
(loi) (do x, y > 0)
Vi 3y x , thay vo 1 ta c: 1 3
1 1 33
xx x
4 2 3 12 6 3x y .
Vy nghim ca h l ; 4 2 3;12 6 3x y ( thi hc sinh gii Quc gia 2007
2008 )
Cch gii khc: ng dng s phc: t 3 , , 0a x b y a b th h tr thnh
2 2 2 2
2 22 2
12 121 2 3 2 3 1
12126 21 6
aa a
a b a b
bbb
a ba b
Nhn phng trnh (2) vi i (n v o s phc), sau cng vi phng trnh (1)
ta c:
2 2
122 3 6
a bia bi i
a b
.
t z a bi z a bi v 2 2.z z a b , t phng trnh trn tr thnh:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 37
212. 122 3 6 2 3 6 2 3 6 12 0.
zz i z i z i z
zz z .
Ta c: 2
2 3 6 4.12 24 24 3.i i . Mt cn bc hai ca l 6 2 3i nn phng
trnh c hai nghim l
12
2 3 6 6 2 3
2
i iz
hay chnh l:
1 3 3 3 3z i (tha mn) v 2 3 3 3 3z i (khng tha mn 0a ) 2
2
4 2 33 3 3
12 6 3
ax
a b
y b
Cch gii ny rt l v kh th v, th nhng so vi cch trn th dng nh cch
ny vn cha pht huy c hiu qu lm nhanh!
Bi 67: iu kin: ,x y khng ng thi bng 0. H cho:
2 2
2 2
33 1
30 2
x yx
x y
y xy
x y
+) Nu 0x , thay vo (1) ta c 1y . Thay 1y vo (2) thy tho mn.
+) Nu 0x . Chia lm hai trng hp:
(+) Nu y = 0. Thay vo (2) ta c 2
30
x
x
, r rng iu ny v l.
(+) Nu 0y . Thc hin cc php nhn:
Nhn (1) vi y : 2
2 2
33
xy yxy y
x y
(3). Nhn (2) vi x :
2
2 2
30
xy xxy
x y
(4)
Cng (3) vi (4) c mt kt qu rt p: 2 2
2 2
3 3 3 32 3 2 3 3
2
x y yxy y xy y x
x y y
n y chng ta s phi chu kh mt cht i gii phng trnh bc 4. Thay vo
(2):
2
2
2
2
9 9
3 3 9 920 0
2 23 3
2
yy
y yyy y y y
y yyy
y
.
Nhn hai v vi 4 0y ta c:
2 4 2 4 2 2 29
3 3 4 4 18 18 0 4 5 9 0 kTM 14
y y y y y y y y
3 31 0 (kTM)
2
1 3
yy x
y
y x
Vy h c hai nghim l ; 0;1 , 3; 1x y
Bi 68: Phng trnh th hai ca h tng ng vi: 3 32 2x yx y (1)
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 38
Xt hm s 32tf t t trn c o hm 2' 2 .ln2 3 0tf t t nn f t ng bin.
Ta li c 1 f x f y x y .
Thay y x vo phng trnh th nht ta c: 24 2 44 2 5x xx x (2).
Tip tc s dng o hm. Xt hm s 24 2 44 2x xg x x x trn .
o hm: 2 23 2 4 2 2 4' 4 4 2 1 .2 .ln 2 2 1 2 2 2 2 .ln 2x x x xg
x x x x x x .
Ta c: ' 0 1g x x (do 22 2 42 2 2 2 .ln2 0x xx x ) m 1 5g nn (2)
ch c 1
nghim 1x .
Vy nghim ca h l ; 1;1x y Bi 69: Nu 0y th t phng trnh th nht suy
ra 0x , thay vo phng trnh th hai thy
khng tho mn nn suy ra 0y .
Chia 2 v ca phng trnh th nht cho 11 0y : 11
11x x y yy y
(1).
Xt hm s 11f t t t trn c o hm 10' 11 1 0f t t nn ( )f t ng bin
trn .
Mt khc (1) 2 0x x
f f y y x yy y
. Thay vo phng trnh th hai ta c:
2 2 2 23 3213 8
6 13 8 2 . 5 2 8 6 2. 5 2 8 0x x x x x x x x xx x
(2)
Xt hm s 23213 8
6 2. 5 2 8f x x x xx x
trn 0; .
o hm: 2
2 3 2 32 3
13 16 1' 2. . 15 4 8 . 5 2 8 0 0;
3f x x x x x x x
x x
nn
hm f x nghch bin trn 0; .
Mt khc ta li c 2 0f nn (2) 2x (tho mn) 2y .
Vy nghim ca h l ; 2; 2x y Bi 70: Nhn xt: h cha y cc hng t 2 2, ,
, ,x y xy y x nn ta ngh ngay n hng ng
thc 2
ax by c . By gi ta nhn h s vo hai phng trnh mt cch thch hp a
v
hng ng thc ny. S dng phng php h s bt nh ta nhn cc h s nh
sau:
2 2
2
25 25 5
200 150 114 50 3 1
x y
x x y x
2 2225 25 150 114 5 150 50x y x xy y (cng hai phng trnh li vi
nhau)
2 2 215 5 2.15 .5 2.15 .5 2.5 .5 5 144x y x x y y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 39
2 2
73
15 5 5 12 515 5 5 12
15 5 5 12 173
5
y xx y
x yx y
y x
+) Nu 7
35
y x , thay vo phng trnh th nht ca h:
2
2 2
11 2
7 1 42 44 25 253 10 0
2 15 5 5 25
5 5
x y
x x x x
x y
+) Nu 17
35
y x
, thay vo phng trnh th nht ca h:
2
2 217 1 102 2843 10 05 5 5 25
x x x x
, phng trnh ny v nghim
Nghim ca h l 11 2 2 1
; ; , ;25 25 5 5
x y
( thi chn hc sinh gii Quc gia tnh Ngh An 2010 2011) Cch gii khc
v lu : Phng php h s bt nh vi h phng trnh hai n bc hai nh th ny chng
ta s trnh by Bi 258 ca tp H PHNG TRNH (Phn III). Ta cng
phng trnh th hai vi K ln phng trnh th hai th tm c K = 1
2 v K = 4 .
Bi gii trn ta s dng K = 1
2.
Vi K = 4 th ta cng hai phng trnh nh sau:
22
2 257 14100 25 3
3 3 1 42
7
75 15 5x x y xx x
yy
y
y
.
By gi ta th tr li vo phng trnh th nht ca h:
22 4 3 2
2
2
100 25 37 1 15625 6250 12525 4100 2440
75 1 5 75 75
y y y y y yy
y y
2
2
25 2 5 1 125 85 1220
75 1
y y y y
y
.
n y th mi vic tr nn n gin hn rt nhiu!
Bi 71: iu kin 0 6x .
Tng t Bi 22, ta cng hai v ca h li ta c: 24 42 2 6 2 2 6 2 2 8 3
2x x x x y y .
nh gi hai v ca phng trnh ny:
+) 2
VP 2 6 3 2 6 3 2y .
+) nh gi v phi:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 40
Nhn xt rng v phi bng 6 3 2 2x , v vy dng im ri trong bt ng
thc
Cauchy, ta c:
22.
2
xx
4 6 102. 6
2 2
x xx
4 4
4
1 1 2 2 2 62 . 2.2.2. .
42 4 22.2
x xx x
4 44
2 1 6 4 4 4 182 6 . 6 .4.4.4 .
44.4.4 2 4 2
x xx x
2 10 8 18VT 6 3 2 VP
2 2 4 2 4 2
x x x x
2
2
22 0
26 4
x
xy
yx
Vy nghim ca h l ; 2; 2x y Bi 72: Nhn thy 0y khng th tho mn h 0y
.
T phng trnh th nht ca h: 2 2 22 0y x x y . Xem y l phng trnh bc
hai vi n
x th phng trnh ny c nghim 4 2' 1 0 1 1;1y y y (1).
T phng trnh th hai ca h, ta suy ra: 3 3' 4 2 3 0 1 1y y y
(2).
T (1) v (2) suy ra 1y . Thay tr li h ta c:
2
2
2 1 01
2 4 2 0
x xx
x x
.
Vy nghim ca h l ; 1; 1x y
Bi 73: T h, ta nhn thy c 4 3 2, , ,x x x x v 4 3 2, , ,y y y y
nn ta s tm cch a h v dng:
4 4
x a y b . Khi khai trin hng ng thc 4 4 3 2 2 3 44 6 4a b a a b a
b ab b ,
thy rng h ny c iu kin nhm c hng ng thc bc 4:
4 4 4 4
3 2 3 2 3 2 3 2
240 240
3 4 2 12 32 8 24 32 16 96 256
x y x y
x x x y y y x x x y y y
4 3 2 4 3 28 24 32 16 96 256 240x x x x y y y y
4 44 3 2 4 3 28 24 32 16 16 96 256 256 2 4x x x x y y y y x
y
2 4 2 4x y x y 2 6x y x y
+) Nu 2x y , thay vo phng trnh th nht ca h ta c:
4 4 3 2 22 240 8 24 32 224 0 2 5 14 0 2 4y y y y y y y y y x +)
Nu 6x y , thay vo phng trnh th nht ca h ta c:
4 4 2 3 3 26 240 1296 864 216 24 240 9 36 44 0y y y y y y y
y
22 7 22 0 2 4y y y y x . Vy nghim ca h l ; 4;2 , 4; 2x y ( thi
hc sinh gii Quc gia 2010 2011)
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 41
Bi 74: iu kin 1 1, 0 2x y .
Phng trnh th nht ca h tng ng vi: 22 1 1 1 1y y x x (1).
Xt hm s 2 1f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 1 0f t t t nn f t ng
bin trn . Mt khc (1) c dng 1 1f y f x y x . Thay vo phng trnh th
hai ca h ta c:
2 21 1 2 1 2 2 1y y y y y y y (iu kin 0 2y )
22 2 1 0y y y y . t 2 22 2 2 2a y y a y y ( 2a )
Phng trnh lc ny tr thnh: 2
22 1 0 2 0 0 kTM 2 TM2
aa a a a a
Vi 2 2 2 22 2 2 2 2 2 1 2 1 0 1 0a y y a y y y y y x
Vy nghim ca h l ; 0;1x y ( thi chn hc sinh gii tnh Ngh An 2010
2011)
Bi 75: Bin i phng trnh th nht ca h xut hin nhn t chung:
3 2 2 22 2 1 1 2 2 2 1 1 0x x y x y x x y x y
2 22 2 1 0 2 1 0 do 2 0 2 1x x y x y x x y . Thay vo phng trnh
th hai ca h ta c: 3 22 3 ln 1 0y y y y . Tng t Bi 12, ta gii tm c 1
0y x .
Vy nghim ca h l ; 0; 1x y
Bi 76: iu kin 2 2 1 0x y .
Nhn lt qua ta thy ngay phng trnh th nht c nhn t chung x y :
3 2 2 2 22 0 2 0 2 0x x y y xy x x y y x y x y x y . +) Nu 2 2
0x y khng tha mn iu kin.
+) Nu x y , thay vo phng trnh th hai ca h ta c:
2 3 2 332 2 1 14 2 2 2 1 2 14x x x x x x x x
3 3
2
22 3 333
2 142 2 1
2 14 2 . 14
x xx x
x x x x
22
22 3 333
6 12 62 2 1
2 14 2 . 14
x xx x
x x x x
2
2
22 3 333
6 2 12 2 1 0
2 14 2 . 14
x xx x
x x x x
22
22 3 333
3 2 12 1 1 0
2 14 2 . 14
x xx x
x x x x
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 42
2 2 1 0 1 2x x x .
Nghim ca h l ; 1 2 ;1 2 , 1 2;1 2x y Bi 77: iu kin , 1;1x y
.
T nhng iu hin nhin ng sau:
22 2 2 2
2 2
22 2 2 2
1 0 1 2 1
1 1 1
1 0 1 2 1
x y x y x y
x y y x
y x y x y x
.
Vy nn phng trnh th nht ca h tng ng vi:
2
2
1, 0;1
1
x yx y
y x
0 1 1
0 1 1 21 1 2
xx y
y
.
Vy ta li c phng trnh th hai ca h phi tng ng vi 1 1 0
1 2 1
x x
y y
Thay tr li h ta thy tho mn. Vy nghim ca h l ; 0;1x y
Cch gii khc: Cch gii trn dng cho nhng bn kh tinh trong vic nhn
nhn bt ng thc. Cch gii sau s mang tnh h thng hn:
t 2 2
2 2
1 sin sincos , cos , 0; (do , 0; )
1 sin sin
x a ax a y b a b a b
y b b
.
H tr thnh:
sin 1cos .sin sin .cos 1 (do , 0;2
1 cos 1 cos 2 1 cos 1 cos 21 cos 1 sin 2 2
a ba b a b a b a b
a b a ba a
Gii phng trnh 2 vi 0;2
a
: 2 sin cos sin .cos 1 0a a a a .
t 21
sin cos 2 sin .cos2
tt a a t a a
, phng trnh trn tr thnh:
221 1 0 2 3 0 1 (TM) 3
2
tt t t t t
(loi).
Vi 2
1 4 41 sin cos 1 sin
34 22
4 4
a k
t a a a k
a k
.
Vi iu kin 0;2
a
th h thng trn ch c mt nghim l 0
2 2a b a
.
Vy cos cos 0, cos cos0 12
x a y b
.
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 43
* Nhn thy rng , 1;1x y , ta ngh ngay n vic i bin v hm sin,
cos.
Bi 78: Rt xy t phng trnh th hai: 26 6
2
x xxy
. Thay vo phng trnh th nht:
42 2
4 2 4 3 26 6 6 62 . 2 9 12 48 64 02 2
x x x xx x x x x x x
3
4 0 0 4x x x x .
+) Nu 0x , khng tho mn. +) Nu 4x , thay vo h tm c 17
4y .
Vy nghim ca h l 17
; 4;4
x y
( thi i hc Khi B nm 2008 2009 )
Bi 79: Xem phng trnh th hai ca h nh l phng trnh bc hai n x, tham
s y :
2 27 6 14 0x y x y y (*).
(*) c nghim 2 2 20 7 4 6 14 0 3 10 7 0x y y y y y 7
13
y .
Tng t xem phng trnh l phng trnh bc hai n y, tham s x :
2 26 7 14 0y x y x x (**).
(**) c nghim 2 2 20 6 4 7 14 0 3 16 20 0y x x x x x 10
23
x .
Vy ta c 7
1;3
y
v
102;
3x
. Phng trnh th nht ca h 1 1 7
2 22
x yx y
.
Xt hm s 1
2f x xx
trn 10
2;3
c o hm 21
' 2 0f xx
nn f x ng bin
trn 10 1 10
2; 2 23 3
f x fx
hay chnh l
7 1 1912
2 30x
x
(1).
Tng t, ta c 1 7
1 23
f y fy
hay chnh l
1 891 2
21y
y
(2).
T (1) v (2) 1 1 7
2 22
x yx y
. Vy nn phng trnh th hai ca h tng ng vi:
; 2;1x y . Thay tr li vo h thy khng tho mn.
Vy h cho v nghim
Bi 80: Phng trnh th nht: cos cos cos cosx y x y x x y y (1).
Xt hm s cosf t t t trn . o hm ' 1 sin 0f t t nn f t ng bin trn
.
Mt khc (1) c dng f x f y x y . Thay vo phng trnh th hai ta
c:
3 23 18 0 3 3 6 0 3x x x x x x (d thy 2 3 6 0x x ).
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 44
Vy nghim ca h l ; 3;3x y
Bi 81: Nu 0x th 0y v ngc li nn 0;0 l mt nghim ca h.
Vi 0, 0x y . Thc hin php chia cho xy v 2 2x y ta c:
222 2
2 2
1 11 1 1818
I1 1 1 1
208 212
x yx yx yx y
x y x yx y x y
t 1 1
, 2, 2a x b y a bx y
th h I tr thnh:
22 2 22
1818 18
212 18 56 018 212
b aa b b a
a b a aa a
4 14
14 4
a a
b b
+) Nu 4
14
a
b
2
2
14
4 1 0 2 31 14 1 0 7 4 314
xx x xx
y y yyy
+) Tng t, nu 14 7 4 3
4 2 3
a x
b y
Vy h c 9 nghim l ; 0;0 , 2 3;7 4 3 , 7 4 3;2 3x y Bi 82: iu kin:
0 1; 0 ; 0y xy xy y .
Phng trnh th hai ca h tng ng vi: 1 2 1 1y xy y y y . Kt hp
vi iu kin ta phi c 1y .
Thay vo h ta c: 1
12 1 1 1
xx
x
. Th li thy 1;1 l nghim ca h.
Vy nghim ca h l ; 1;1x y
Bi 83: Bin i a h v:
2 2
2 2
4 3 7 (1)
6 7 (2)
x x y y
y y x
T (2) suy ra 0y (do 2 26 0y x ) 7 0 0y x .
a h v dng sau:
2 23 2 3 2 2 3
3 2 3 2 3 2
4 2 7 14 3 7 4 6 3 7 7
6 7 6 7 6 7 3
x y x xy y yx xy y x x y xy y y
y x y y x y y x y
D thy 22 2 24 2 3 0x xy y x x y (do , 0x y )
+) Nu 1 7 1 0 0 1y y x y x y x .
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 45
Vi 1, 1x y th ta li c 3 26 1 6 7y x y , tri vi (3), loi.
+) Tng t vi 1y , loi nt.
+) Vi 1y , thay vo phng trnh th nht ca h trn ta c 1x .
Th li, ta thy 1;1 l nghim ca h phng trnh.
Vy nghim ca h l ; 1;1x y
Bi 84: Nhn hai v ca phng trnh th hai vi 3 ri cng vi phng trnh th
nht ta c:
3 2 2 23 3 24 3 49 24 51x xy x xy y y x
3 2 2 23 51 49 3 3 24 24 0x x x xy y xy y
2 21 2 49 3 1 24 1 0x x x y x y x
2 22 21 2 1 3 24 48 0 1 1 3 4 0x x x y y x x y
1 ; 1;4x x y .
Thy rng (1; 4) l mt nghim ca h nn ta xt trng hp cn li 1x :
Thay 1x tr li h ta c: 2
2
2
1 3 4916 4
1 8 8 17
yy y
y y y
.
Vy h c hai nghim ; 1; 4x y ( thi hc sinh gii Quc gia 2004
2005)
Cch gii khc: t , ,2 2
u v u vu x y v x y x y
, thay vo h ta a v h
phng trnh mi. Sau cng hai v a v hng ng thc bc 3 (s hi phc tp vi
nhng bn cha quen bin i phc tp ).
Bi 85: Dng qu quen thuc: mt phng trnh ng cp. Th s 12 phng trnh
th nht:
3 2 2 2 3 2 2 32 8 0 2 8 0x xy y x y x x y xy y (1) D thy 0y
khng tho mn h 0y . Chia hai v ca (1) cho 3 0y :
3 2 2
22 8 0 2 4 0 2 2
x x x x x x xx y
y y y y y y y
(thy rng
22
2
1 154 0
2 4
x x x
y y y
)
Thay 2x y vo phng trnh th hai ca h ban u:
2 2 21 2
8 4 12 11 2
y xy y y
y x
Vy h c hai nghim l ; 1; 2 , 1;2x y
Bi 86: Li l h cha phng trnh ng cp. Qu quen ri nh .
Nghim ca h l 6 6 6 6
; ; , ;2 2 2 2
x y
Bi 87: Thm mt h cha phng trnh ng cp na.
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 46
Nghim ca h l ; 0;1 , 1;0x y
Bi 88: Cch gii phng trnh ny rt quen thuc: Thy 0y khng tho mn h
0y . Vi 0y th h tng ng vi:
3 3
3 33
3
2 2 2
2 22
5 51253 9 3 927. 9
5 5 5 545. 75. 6 3 . 3 . 6 3. 3 . 3.3 . 18
x xxy yy
x xx x x xy y y y y y
2 2 3
3 2
33 333 3
55 5 5 53 33 3. 3 . 3.3 . 27 3 27
125125 125 27 927 9 27 9
xx x x xyy y y y
xx xyy y
3 23
15 5 23 3 3 3 33
552 9 9 027 3 3 9
2
xx x xy y
y yx xx x
Vy nghim ca h l 2 1 5
; ;5 , ;3 3 2
x y
Bi 89: Phn tch: Trong cc phng php gii h ta tng gp, nu ta s dng
php th y 4 phng trnh th nht bng x 3 2x 2 + 2x th ta s nhn c mt phng
trnh bc 6. Vn c th nhm c mt s nghim ca h ny, th nhng dng s Hocne
chia a thc th ( lm gim bc ca phng trnh) c l rng hi phc tp (cha th
lm nhng c l s phc
tp). Cn nu ta dng cc php nhn c lng a v dng 4 4
x a y b th s khng
lm c do h s ca 4x v 4y l dng m chng li cng mt v, th nn khi chuyn
v
th s khng a c v dng ny. o hm? Nu th th ch dng c phng trnh th
hai. Th nhng vic ny khng thc hin c do bn v phi ch c 2y , m v phi
khng th
a v dng ny. Vy ch dng c phng php nh gi. a h v:
2 2 2 24 4
3 2 2 2 2
1 1 1 1 (1)1 1
2 2 1 1 1 1 1 (2)
x x y yx y
x x x y x x x y
+) Nu 2 1y th t (2) suy ra 1x v t (1) suy ra 2 1 0 1 1x x , mu
thun.
+) Tng t 2 1y , ta cng nhn c iu mu thun.
+) Nu 2 1 1y y , thay vo h tm c 1x .
Vy nghim ca h l ; 1; 1x y Bi 90: Kh khn khi gii phng trnh ny bi
v ta khng s dng c php th. Dng th iu kin c nghim ca phng trnh bc hai
cng khng nh gi c. Khng th dng hm
s v cha xy ( phng trnh th nht) v 2x y ( phng trnh th hai). Chng
ta cn bin i
kho lo c th t c n ph: +) Nu 0x th 0y .
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 47
+) Nu 0x . Ta chia hai v ln lt 2 phng trnh ca h cho 2,x x , ta
c:
2 22
2 12 1 0
4 3 0 6 3 0
yyy xx y
xx
y yx y x y
x x
Gii h ny ta c cc nghim:
+)
10 0
2
1 1
2 2
yx x
x x
y y
, v l do 1
2xx
.
+) 2
24 1 23
223 3 2 0
2
y yy x xx
xyx x x
y x
Vy nghim ca h l ; 0;0 , 1;2 , 2;2x y Bi 91: Phn tch: Nhn xt phng
trnh th nht ca h cha cn bc hai ca cc hm tm
gi l hm ng cp bc hai (hay hm ng bc) i vi ,x y (hm s ch cha 2 2,
,x y xy m
khng cha h s t do v ,x y ). M cn ca mt hm bc ng cp hai ta coi nh
l hm bc
nht. Bn v phi l hm bc nht. Vy hai v ca phng trnh ng bc. V vy ta
p dng cch gii phng trnh ng bc. Cha th chia ngay hai v cho x (hay
cho y) v khng bit xm hay dng m a vo du cn.V vy ta bnh phng vi iu
kin 0x y , ta c:
2 2 2 2 2 2
2 25
2 26 3 6
x y x y x xy yxyx y xy
2 2 2 22 2 10 12
6
x y x xy yx y xy
(1).
Tip tc bnh phng cng c, th trc ht nhng ta nn a v mt n d nhn. D
thy
0x khng tho mn h nn chia hai v ca (1) cho 2x ( 2x c th a vo du
cn) ta c: 2 22
2
10 121 . 1 1
6
y y y y y
x x x x x
t y
tx , th phng trnh trn tr thnh:
2
2 2 2 2 2 2121 10 1 1 (*) 1 10 24 1 16
t t t t t t t t t t
4 3 2 2 3 420 102 20 1 24 1 2t t t t t t t t
24 3 2 225 4 6
23 4 54 4 23 0 1 23 50 23 0 123
t t t t t t t t t
.
Th li thy ch 1t tho mn phng trnh (*). Vi 1t x y .
Thay vo phng trnh th hai ca h ta c: 2 22 5 3 4 5 3x x x x x .
Tip tc dng bin i h qu:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 48
2
2 2 2 4 3 2 4 2 3 22 5 3 4 5 3 2 5 3 16 25 9 40 24 30x x x x x x
x x x x x x x
4 3 2 214 45 2 30 9 0 3 2 1 7 5 3 0x x x x x x x x 1 5 109
32 14
x x x
. Th li thy ch 3x h ban u 3y .
Vy nghim ca h l ; 3;3x y Cch gii khc: C th thc hin php nhn lin
hp sau vi x khc y :
2 2 2 2
02 2 3 2
x y x y x xy y x y
22 2 22 2
2 2 2 2
3 42 4 0
2 2 3 2
x yx y x xy yx y
x y x y x xy y x y
2 2
2 2 2 20
2 2 3 3
x y x y
x y x y x xy y x y
.
Vi x khc y th hai mu thc trn u dng!
Mt cch khc ngn gn hn nhiu l dng bt ng thc:
2 2
2 2
x y x y v
2 2
3 2
x xy y x y .
Hn na, vic nhn nhn phng trnh ng cp cng kh quan trng tm c li gii
nhanh v hay nht. Ta thy:
2 2 2 2 22 5 3 4 5 3 6 . 2 5 3 2 5 3 0x x x x x x x x x x x . y
l mt phng trnh ng cp rt d gii! Bi 92: iu kin 0x y . Vi iu kin ny
phng trnh th nht ca h tng ng vi:
22 2 2 2 2 22 0x y x y xy x y x y x y x y x y x y
2 2 2 21 1 0 1 0x y x y x y x y x y x y x y 1x y (do 0x y nn
2 2 0x y x y ) (tha mn).
Thay vo phng trnh th hai ta c:
2 21 1 2 0 1 2x x x x x x () Nu 1 1 0x y x . () Nu 2 1x y .
Vy nghim ca h l ; 1;0 , 2; 1x y
Bi 93: t 1 y
t xyx t
. Lc ny h tr thnh:
2
5 3 2 4 3
5 4 0 *
t y t y
yy t
t
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 49
Cng hai v ca h ny li ta c: 2
2 21. 1 3 3 2 0y y t tt
1
+) Nu 1t th 1 tr thnh 2 0 , v l. +) Nu 1t . Xem nh y l phng trnh
n y tham s t c bit thc:
2
2 22 19 1 8 . 1 1y t t tt
nn phng trnh c nghim
2
3 3 1
12 1
t ty
t
hay chnh l 22
1
ty
t
hoc
2
1
ty
t
.
(+) Nu 22
1
ty
t
, thay vo * ta c: 24 5 4 0t t , v nghim.
(+) Nu 2
1
ty
t
, thay vo * ta c: 2
11 2
25 4 0
16 54
5 4
t xy y x
t t
t xy y x
Vy nghim ca h l 1 5 16
, 2; , ;2 4 5
x y
( thi th i hc mn ton trng THPT Thi Lo nm hc 2011 2012)
Bi 94: H cho vit li thnh
2 2
22
5
4
5
4
x y xy x y xy
x y xy
t 2 ,u x y v xy th h trn c tr thnh:
2
222
5 10 10
04 255
5 5 344
4 2
u u vu v uv uu u uvu
vu vu vu v v
(*) Nu
2 2 3
3
3
50
0 45 5
5 254 4
16
xx y y xu
v xy xy
(*) Nu
22
2
1 1 1 12 2 2 33 3
1 2 2 3 0 22 2
xu x y y x
yx x xv xy
Vy nghim ca h l 3 33 5 25
; 1; , ;2 4 16
x y
Bi 95: u tin tm iu kin xc nh ca h phng trnh: 9x y .
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 50
T phng trnh th nht ca h suy ra 3x y x y 9.
Vy nn ta phi c 9x y .
Th 9 9x y x y vo phng trnh th hai ca h ta c: 9 8 0 1y y y .
Nu 1 8y x . Th li thy nghim ny tho mn h ban u.
Vy nghim ca h l ; 8; 1x y Bi 96: Phng trnh th hai ca h tng ng
vi:
2 2 2 2 2 22 2 0 1 2 1 0xy x y x y xy x y xy xy 2 2 2 21 2 0 1
2xy x y xy x y .
* Nu 1xy , thay vo phng trnh th nht ta c:
2 2 3 2 2 25 4 3 2 0 5 4 3 2 2 0x y xy y xy x y y x xy y x
xy
22 23 6 3 0 3 0 0y x xy y y x y y x y . (+) Thy rng 0y khng tha
mn 1xy .
(+) Nu 2 1 1x y xy x x .
Th hai nghim 1;1 , 1; 1 ta thy u tha mn.
* Nu 2 2 2 *x y , ta th vo s 2 phng trnh th nht c:
2 2 3 2 2 3 2 2 35 4 3 0 2 5 4 0x y xy y x y x y y xy x y x
2
2 0 2y x y x x y x y ( xt).
Vi 2x y , thay vo * ta c 210 2 10
5 55 2
2 10 2 10
5 5
y x
y
y x
Vy h c 4 nghim 10 2 10 10 2 10
; 1;1 , 1; 1 , ; , ;5 5 5 5
x y
Bi 97: iu kin x y .
Chuyn h v dng sau:
2
9 2
2 2 41
x y x y
x y x y
n y ta t , 2 , 0a x y b x y a b th h trn tr thnh:
2 22 2 2
99 9
2 18 81 412 41 36 203 0
a ba b a b
b b bb a b b
7
2
b
a
(tha mn)
29
20 0
b
a
(khng tha mn)
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 51
Vi
11422 1 3
3 4 77 5 12 7
3
yx yx ya y
yb xx yx
Vy nghim ca h l 1 11
, 5;1 , ;3 3
x y
Bi 98: iu kin 22
, 0, 4 3 03
x y x y .
Ta thy rng kh m khai thc c nhn t chung phng trnh th hai m ch c
th phng trnh th nht. Phng trnh th nht tng ng vi:
2 22 2 22
x yx y y y xy x y x y x
x y y
(do 2 0x y y )
1
2 02
x y y x x yx y y
(d thy 1
2 02
y xx y y
).
Thay vo phng trnh th hai ta c:
2 24 3 1 3 2 4 3 3 2 1x x x x x x x x .
n y ta t 1
3 2 , 1 0,3
u x v x u v
th phng trnh trn tr thnh:
2 2
2 2 2 2
0 0 02
2 0 0 22 2
u v u v u vu v u v
u u v u u vu v u v uv
(*) Nu 2 1
03 3
u x v
, khng tha mn 0u v , loi.
(*) Nu
22 2 2
1 00 102
2 4 4 11 6 03 2 4 1
xv xu vx
u v u v x xx x
.
Vy nghim ca h l , 2;2x y
Bi 99: Vit li h di dng ng cp:
2 2
2 2
2 3(I)
3 2
x xy y y x
x xy y x y
thay i cch gii mt cht, ta s gii theo cch sau: TH1: Nu 0x , thay
vo h ( I) ta tm c 0y .
TH2: Nu 0x , ta t y t x t , thay vo h ( I) ta c:
2 2
2 2
2 2
2 3 1II 3 1 1 3 1 2 2 *
1 3 1 2
x t t x tt t t t t t
x t t x t
.
(d thy 1
3t khng tha mn h v
222 2 1 1 0t t t nn ta c th nhn cho)
3 2 3 2 3 2* 9 6 2 1 2 3 5 2 7 3 7 3 0t t t t t t t t t
3
1 1 7 3 0 1 17
t t t t t t .
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 52
(+) Nu 1t , thay vo h (II) tm c 1 1x y .
(+) Nu 1t , thay vo h (II) tm c 1 1x y .
(+) Nu 3
7t , thay vo h tm c
7 3
43 43x y .
Vy h c 4 nghim l 7 3
, 0;0 , 1;1 , 1; 1 , ;43 43
x y
Bi 100: Thy rng 0x th hai phng trnh ca h mu thun. Do 0x .
Lc ny h tng ng vi:
2 22 2 22
2
7 1 1 77 11 1
7 21 1 2 1 10
10 10
y yxy x yy y
x x x xy y y
y y yy y x x x
x x x xx
2
7 1 0 7 1 07 1 0
1 11613 339 1 0
13 3
xy x y xy x yxy x y
y yy yx y x y
x xx x
2 2
13 3 1, 1; , 3; 1
313 6 1 0 (VN) 3 4 1 0
x y x yx y
y y y y
.
Vy h c hai nghim l 1
, 1; , 3; 13
x y
Cc em c th tho lun thm v phng trnh, bt phng trnh, h phng trnh ti
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