-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 1
H PHNG TRNH (Phn II)
101.
22 1
2 3
x y y
x y x y y
102. 2 2 2 2
2
1 3
x y x y
x y x y
103.
2 22 2log 4 log 4 2
4 10 2 2 1
x x y y
xy x y x x
104.
1
1 13
xy xy x
y y yx x x
105.
3 2 2 3
2 2
1 2 30 0
1 11 0
x y y x y y xy
x y x y y y
106.
4 2 2
2 2
4 4 2
2 6 23
x x y y
x y x y
107.
2
2
2
11
1
y x xx
y x y xx
108.
3
4
2 1 27
2 1
x y x
x y
109.
2 2
2 3 2
816
2
8 3 3 4 2
xyx y
x y
x x x x y
y y
110.
4
4
212
4
211
4
x yx
x y
x yy
x y
111.
2 2
2 2
1 6 1
1 6 1
x y y x
y x x y
112. 3 2 3
3
4 12 9 6 5
xy x y
x x x y y
113.
2 2
2 2
11
3 3 17
x y xy x y xy
x y xy x y xy
114.
1
2
2 2 22 1 1 .2
log 2
y xxx
x y
115.
7 6 2
35 2 2
3
6 0y y x
xy x xy
y
116.
2 2
1 1
1 2 4 3
3 .2 7.2x y x y x y
x y y x y
x y
117. 2 2 22 3 ln 2 ln 0
2 3.6 4.3 0
x y
x y x
e e x y x y x xy y xy
118.
2
2 1 2 12
2 3 2 4
x yx y
x y x y x y
119.
3
2 4 3
1 1 2
9 9
x y
x y y x y y
120. 2 2 4 2
2
1
4 5 8 6
x x y y y
x y
121. 2 2
2 2
3
369
x xy xy y x y
x y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 2
122.
3 2
2 1 1
7
x y x y
x y
123. 2 2
1 0
2 0
x x y
y x y x y x
124. 2 2
2 2
1212 27
9
3 4 4 0
x
x x
x y xy x y
125.
3 3 2
4 4
8 4 1
2 8 2 0
x y xy
x y x y
126.
2 2 2 2 2
2 1 2 2 1 2 4 10 1
2 2 1 0
x x y y z
x y z zx yz x y
127.
4 3 3 2 2
3 3
9 9
7
x x y y y x x y x
x y x
128.
3
2
2 2 1 3 1
2 1 2 1
y x x x y
y x xy x
129.
2
3
2 22 3 2 1 11
yx x y
x y
x y x
130.
24 4 9 3
4 2 2 3 3
x x x y xy y
x y x x
131. 3 3 3 2
2 2 2 2
16 9 2 4 3
4 2 3
x y y xy y xy
x y xy y
132.
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
133. 2 2
2
4 5 2
x y
x y x y xy
134.
2 23 2 2 3 32
2 4
2 2 1 5
y yx x y xy x y
x y
135.
22
2
18
1 22 4 3 2
3 72
2 2
yx
x y
y x
x y
136.
3 33
3 2 2 2
2 1, ; 0
5 2 2 4 2 3 3
x y x y xy x y x yx y y
x x x y x x x y
137.
2 2 2 2
10 11
2 3
124 11
4 9
x y xy
x y x y
138.
2 2
log log log log
lg lg 8
x x y yy x
x y
139. 22 1 6 1
4 2
xy xy y y y
xy x y
140.
3 2 2
32
64
3 6
y x x y
x y
141.
3 3 3
2
2 3. 3 1
4 3 3 4 3 2 2 1
y x y
x x x x x
142.
3 2 3 2 2
3
3 5.6 2 0
2
x y x x y
x y y y x
143.
3 2 3
3
3 3 2
1 2log log 3
2 1x y
x x y y
y xx
x y
144.
2 6 3
4
x x y
x y x y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 3
145.
10 102
16 16 2 2
2 2
18 9
2 4 1 10
1 2 0
x yx y x y
y x
x y y x
146. 2
2 3 2 3 2
1 4 8 0
x y y x
y x x
147.
2 4 2 4 2 4
2 3 3 2
3 2 1 2
1 1 2
x y x y x x y
x y x x x y
148.
3
2
2 2 1 20 28
2 2 2
x y x y
x y x x
149.
2
2
2 1 2 2 2 2
4 1 17
x y x x x y
y x x
150.
7 3
2 3
2log 2 3 log 2 2 3
ln 4 1 3 3 7
x y x y
x x x y
151.
2 2
2 2
2
2 3 0
12 3 1 0
6
x y y x y
x yy y x
152.
2
2
22 2
13
2 22
2 2 1 4 0
y
x
x xy
x y x x y x
153.
3 4 1
6 2 1
2 2 16
2 2 16
x y
x x
154.
2 3
2
3
8 2 1 2
2 14 1
3
x y xy y
yx x
155.
3
2
59 3 6 0
3
2 2 2
x y y x
x x y
156. 33
2 2 2 2 1 1
3 1 8 2 1
0
x y x y xy
y x y
x
157.
3
32 3
2 3 3 1
32 29 12 2 4 3
x y x y
x y x x y
158. 2
2 2
4 32 100
x y x
y x y x y
159.
322 2
2 2
3 2
1 log3 2 log 1 log
2 7 8
xx y y
y x y y y x
160. 2 2 3 2 5 7
3 5 2 2 4 1
x y x y
x y x y
161. 4 2 2 4 2 21 1
5 5
1 log 1 log
2 1 1 2 2
x x y x y x y y
x y x y
162.
22
2
332012 ln 2012
2 5 4 5 4
y yx x x
y
x y y x
163.
1 1 6 2 20
3 2 3 2 2 2 18
x y x y x y
x y x y x y
164.
2 2
4 42 2 4
3 2
2 17
x xy y x
x xy y x
165.
2 1 2 1 5 5 9
3 1 3 1 8 3
x y x y x y
x y x y x y
166.
38 2 2 2
2 1 3
x y y y x
y x
167.
2 2 2 2
2 2 2 2
2
17
4
4 52
x x y x x y
x x y x x y
x x y x xy
168.
2
3 2 33
1616 4
2
2 3 3. 3 12 4
x yy x
x y
x x x y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 4
169.
2 2
3 3
4
24 2 2
92 2
xy y x y x y x y
x y x y
170.
2
2 2
2
2 2
1 3
5
1 4
5
x y
x y
y x
x y
171.
2
2
4 2
1 1 4 3
log 3 2 log 1 4
x y x y x y
x y x
172.
2 2 3
2
4 16 3 80 144.
6 12 8 1
y y x x
y y y x x
173.
22
1 4
xy x y xy x y y
x y xy x x
174.
3 2 3 1
53 2 2 2
2
x y x y
xy xy y
175.
2 21 1 1 2 11 1 2
1 1 1
x x y
x y xy
176.
51
2
32 3 1
4
x y
y x x
177. 2 2 2
2 2
3 2 6 3 3 7 7 2
3 4 3 3 1
y y y x x x
y x y x
178.
24 3 2 11 17
3 3 5 3 2
x y y y
y y x x
179.
2 2
3 3
3 1 9 6 2 1 4 16 1
227 227 log log 134 4x x
x y y y x x
y x xy
180.
3 2 2
2
2 6 7 3
92 3 2 1 4
4
y x x x y
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181. 2 2
sin
sin
3 8 3 1 6 2 2 1 8
, 0;4
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x y y y
x y
182.
1
2
1 1y x
x y
x yy x
183. 2
2 2
1 4 3 0
22 9 18 4 3 76
x x y y
x y x
184.
3 2 2
2 2 2
4 1 2 1 6
2 2 4 1 1
x y x x
x y y x x
185.
4 2 2 2 3 2 2
2 2 3312 2 . 7 7 2 7 5 11 10
x y x y y x y x
y x x y x x x
186. 4 2
2
2 6 7 2 9
12 2 5 0
2
x xy y y x
x y xy y
187.
2
3 2
2 0
3 2 1 2 4
x xy y
x xy y x x y
188.
2 3 2
22 2
1 2 2 1 4 7
1 1 5
x x y x y x
x xy x x y x
189.
2
3 2
3 1 2
2 1 2
x x y x y
x x y x y
190. 2 2
2 1 2 1 2 2
4 6 4 1 0
x y y x
x xy y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 5
191. 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 3 2 3
4
x x y y x y
x y xy
192.
3 3
2
2 2 2
31
1 2 1 1log 2 1 3log 2 2 log 1 2 2
2 3 2 2
xyx y
x y
xx y x x y x
x y x
193.
2 2
22 2
1 2 3 2 2 1 5
17 12 4 7 3 8 5
x x xy x y y x y y
x y x y x x y
194.
2
2 2
11 2 16 3 13 3 23 2
4 84
x y x y x y x y x y
x xx y
y
195.
2 23
2 2
1 1 6 2
3 1
x x y x y x x
x xy y
196.
2 2 22 2
1 1 3
6 2 35 6
x y y x
x y x yx y x y xy
xy y x
197.
2 2
2
2 4 2 34 1
1 3 2 5 2 3 3
x yx y
xy y x
x xy x y x x y x y
198.
22 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
13 6 48 3 12
1 3 3 31 1
x y y xy x y y x y y x yy
y x y x y xy xy x x y y
199.
22 2 2
3 3
2 2
3
log 2 1 log 4 4 2 1 3 4 2 1
log 2 4 4 2 1 2
x x y x x x y x y x xy
x x x x y
200.
222 2
2 2 2
16 84 3 1 4 3 4 8 17
1 4 3 8 ln 3 3 0
x y yx x y y y
y x x x x x
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 6
CC BI GII Bi 101: iu kin 0 , 2 0x y x y .
t 2 2 2, 2 , 0 33
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2
2
2 2
2 2
0 12 1I3 3
2 4 7 3 3 9 0
a b a ba b a bb
a ab b a ba b a b a b a b
D thy nu 0a b th 3 0 0 0y a b y x , khng tha mn h cho. Nh vy
h I tr thnh:
2 22
1 1
2 8 02 1 4 1 . 7 3 1 3 9 0
a b a b
b bb b b b b b
1
2 (loai) 4
a b
b b
(tha mn)
55 25 22
4 2 16 32 4
x ya x y x
b x y yx y
Vy nghim ca h l , 22;3x y Lu : Xt 0y ri xt trng hp 0y . Vi 0y ,
thc hin php nhn lin hp:
32 3
2
yx y x y y
x y x y
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bnh
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t 2 2
2 2 2 2, 0 ,2
a ba x y b x y a b ab x y x y
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Lc ny h cho tr thnh:
22 2
2 42
2 2 23 3
2 2
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a b a b abab ab
2
2 42 4
4 16 16 2 28 9 33
2
a b aba b ab
ab ab abab ab abab
2 4 4
00
a b ab a
bab
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20
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x y
(tha mn)
Vy nghim ca h l , 2;2x y
Bi 103: iu kin 1
2y .
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 7
Ta thy 2 2 4x x x x nn 2 4 0x x . Tng t 2 4 0y y nn ta c th
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2
2 2 2 2
2
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4
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y y
2 2
2 2
2 24 4 0 0
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2 2
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x yx y x y x y
x y
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2 2 2 2
4 41 0
4 4 4 4
x x y yx y
x y x y
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2 2 2 26 6 0 2 3 0b a ab a ab b a b a b
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2x y .
(+) Nu 2
3 0 3 2 1 2 9 2 1 2a b x x x x (do 2 0x )
2 14 13 0 1 13x x x x (tha mn)
Vy nghim ca h l , 1;1 , 13;13x y Bi 104: iu kin 0, 0x y . H cho
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11
1 1 31 3
xy xy xxy xy x
xy xy x xyxy xy x x xy
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2 22 2
3 2 23 3 2
1 11 1
1 1 1 3 2 2 01 1 3 2 4 4 0
x t t x t tt t x x t t
t t t t t t tt x t t t t
2
22
11 1 1
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Vy nghim ca h l , 1;0x y
Bi 105: Rt gn a h v dng:
2 2 2 2 2 22 30 0
11 0
x y x y x y xy x y
xy x y xy x y
Ta t 2, 4u x y v xy u v th h trn li tr thnh:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 8
2 2 2 2 2 112 2 30 0 30
11 30 11111
u v uvv v u v u v u v uv
uv uvuv u vuv v u
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+) Nu 5 6uv u v . Gii h ny ta tm c cc nghim 5 21 5 21
, ;2 2
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, ;2 2
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Vy nghim ca h l 5 21 5 21 5 21 5 21
, ; , ; , 1;2 , 2;12 2 2 2
x y
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2 22
2
2 2 10
2 6 23
x y
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2 2 10
2 4 6 2 23
u v
u v v
2 2
2
19 410 4
34 19 2 19 4 10
uv u vu v u v
uvuv u v u v u v
12
67
u v
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+) Nu 12 , 67u v uv , khng tha mn 2
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+) Nu 4, 3u v uv th 3
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u
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1
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Vi 23 12 3
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Vy nghim ca h l , 1;3x y
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2
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x x xx x x
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-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 9
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1
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h c hai nghim l , 1;0x y Bi 108: iu kin 2, 1x y .
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1 2 1 2y x y x . Thay vo phng trnh th
nht ta c:
2 3 3 22 2 27 2 4 31 0 1x x x x x x x
Xt hm s 3 22 4 31f x x x x x trn 2; .
o hm: 21
' 3 2 4 0 2;2 2
f x x x xx
nn f x ng bin trn khong
2; . Nhn thy 3 0f nn 1 3 2x y .
Vy nghim ca h l , 3;2x y
Bi 109: iu kin 3 2
0, 0, 03 4
x xx y y
y .
Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
2 2 48
16 2 0 4 4 0xy x yxy
x y xy x y x yx y x y
2 224 4 0 4 4 4 0xyx y x y x y x y x yx y
2 2
4 0*
4 4 0
x y
x y x y
Khai thc phng trnh th hai ca h: +) Nu 0x , thay vo phng trnh th
hai tm c 0y . Cp s 0, 0x y khng tha
mn phng trnh th nht ca h (loi). +) Nu 0x th png trnh th hai ca h
tng ng vi:
2 2 1 2 1
. 18 3 3 4 2 8 3 3 4 2
x x x y x x yx
y y y y x
t 3
0,4
xt t t
y
th 1 tr thnh:
22 1 1 12
3 16 4 12 9 3 16 12 4 12 98 3 3 4 2
t tt t t t t t
t t
2
22 4 2 12 93 4 12 9 12 9 0 3 0 3 2 12 9
3 3
tt t t t t t t
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 10
20
6 6 69 4 12 9 0
t xt x y
yt t
m 0 0x y
Kt hp vi 2 2
624
4 0 7*
44 4 0
7, 0
x yx
x y
x y x yy
x y
+) Nu 0x th phng trnh th hai tng ng vi: 2 1
8 3 3 4 2
x x y
y y x 2
Tip tc t 3
0,4
xt t t
y
th 2 tr thnh:
22 1 1 12
3 16 4 12 9 3 16 12 4 12 98 3 3 4 2
t tt t t t t t
t t
2
22 4 2 12 93 4 12 9 12 9 0 3 0 3 2 12 9
3 3
tt t t t t t t
20 2 2 2
3 3 39 4 12 9 0
t x yt x
yt t
m 0 0x y
Kt hp vi 2 2
2
3
4 0 8*
124 4 0
0, 0
yx
x y x
yx y x y
x y
Vy h cho c hai nghim l 24 4
, 8; 12 , ;7 7
x y
Bi 110: iu kin , 0x y . a h v dng:
4
4
21 21
4
21 12
4
x y
x y x
x y
x y y
Cng v theo v 1 v 2 ta c: 4 4
2 1 13
2x y .
Ly 1 tr i 2 v theo v ta c:
4 4
2 22 14
x y
x yx y
.
Nhn 3 v 4 v theo v ta c:
24 1
4 2x y
y x x y x y xyx yx y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 11
2 2 4 0 2 2 0 2 (do 2 0)x x x y y x y y x y x y x y x y 4 42.x y
.
Thay vo 3 : 4 4
2 1 1272 192 2 1088 768 2
22.y x
y y .
Vy nghim ca h l , 1088 768 2 ;272 192 2x y Bi 111: Cng v theo v
hai phng trnh cho nhau v rt gn ta c:
2 25 5 1
2 2 2x y
(1)
Tr v theo v ca hai phng trnh cho:
6xy y x x y x y x y xy x y y x
2 7 02 7 0
x yx y x y xy
x y xy
+) Nu x y , thay vo (1) tm c , 2;2 , 3;3x y .
+) Nu 1 1 15
2 7 02 2 4
x y xy x y
.
t 5
2a x v
5
2b y th kt hp vi (1) ta c h:
22 2
2
11 122
42 2
1 115 12 22 2 2
4 24 4
ab a ba b a b ab
a b a ba b a b ab
0
1
4
a b
ab
(tha mn)
4
31
4
a b
ab
(loi do 2
4a b ab )
Vi
1 1, ;0
, 3;22 21
, 2;31 1, ;4
2 2
a ba bx y
ab x ya b
Vy h c cc nghim tha mn l , 2;2 , 3;3 , 2;3 , 3;2x y Bi 112: t 1t
x th h tng ng vi:
3 2 3 33
1 1 3 2 *
4 3 1 6 54 1 12 1 9 1 6 5
t y t y ty t
t t y yt t t y y
3 3
3 3
22
14 3 6 6 0
4 3 6 6 0
tty ty
t y t yt y t y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 12
n y ta s thy vi 2
1t
y
th
226 63 6 6 6 6 3
1 1
yt y y ty
y y
nn thay vo
phng trnh th hai ca h ta c:
3 3 2 3 2 2 3 2 24 3 0 4 4 4 4 0t y ty t t y ty y ty t y
2 2 2
2 2 0 2 02
y tt t y y t y t y t y
y t
(+) Nu y t , thay vo * : 2
2 1 72 02 4
t t t
, v l.
(+) Nu 2y t , thay vo * :
2
1 17 17 3 1 17, ;
4 4 22 2 0
1 17 3 17 1 17, ;
4 4 2
t x y
t t
t x y
Vy h c hai nghim l 17 3 1 17 3 17 1 17
, ; , ;4 2 4 2
x y
Cch gii khc: Bin i tng ng a v h ng cp ngay t u:
33 33
1 31 3
4 1 3 2 1 04 1 3 2 3 0
y x xy x x
x y y y xx y y x
3 33 3 2
1 3 1 3
4 1 3 3 0 4 1 3 1 0 (*)
y x x y x x
x y y x x y y x
n y ta c (*) l phng trnh ng cp bc ba c th gii c d dng!
Bi 113: Bin i h v dng:
1 12 1 1 12
3 1 18 1 3 1 18 1
xy x y x y xy xy x y
xy x y x y xy xy x y
5 1
18 1 12 3 13
yx y x y x
. Thay tr li phng trnh 1 ta c:
2 3 25 1. 1 5 1 1 18 5 3 4 2 54 10 7 7 24 0
3
yy y y y y y y y y
21 10 17 24 0 1 0 1 2y y y y y x (d thy 210 17 24 0y y ) Vy
nghim ca h l , 2;1x y
Bi 114: iu kin 1
22
x .
Phng trnh th hai ca h tng ng vi: 2 12
2 2y yxx
.
Thay vo phng trnh th nht ta c:
2 2 2 22 1 1 . 2 1 1 1 2 2 1 2 2xx x x x xx x
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 13
1 2 2 1 2 4 2 2 1 2 3x x x x x x
2
4 2 1 2 3x x x (do iu kin) 2
2
1 2 log 1 2
17 172 log
9 9
x y
x y
Vy nghim ca h l 217 17
, 1;2 , ; 2 log9 9
x y
Bi 115: Vi iu kin 0y th phng trnh th hai ca h tng ng vi:
8 3 2 3 5 5 2 3 3 5 20y x x y xy y x x y x y y x (+) Nu 3x y ,
thay vo phng trnh th nht ta c:
7 6 6 6 36 0 5 0 5 0 (do 0) 5 5 125y y y y y y y y x
(+) Nu 2 5x y , thay vo phng trnh th nht ta c: 5 2
7 6 5 2
5 2
2 2 4 26 0 6 0
3 3 , v l, loai
y x xy y y y y
y x
Vy nghim ca h l , 125 ; 5 , 4 2 ;2x y
Bi 116: Xt hm s 3
2. 4 72
t
f t t
trn .
Hm s c o hm 3 3
' 2. .ln 4 02 2
t
f t x
(do 3
ln 02 ) nn hm s f x ng
bin trn phng trnh 0f t c nhiu nht mt nghim. Thy rng phng trnh th
hai tng ng vi:
1
1 1
3 2. 7 0 2.3 4 7 0 *
2 2
x y x yx y
x y x yx y x y
Thy rng * c dng 0f x y m 1 0f nn * 1 1x y x y . Phng trnh th nht
vit li thnh:
2 2 2 21 1 3 1 2 1 3 2 **x y x y x x x x
t 2 2
2 21, 3 22 2
a ba x b x x x nn (**) vit li thnh:
2 2
210
2 2 2
a bab a b a b
2
22
11 3 1 1 0
3 1
xx x x y x
x x
Vy h c mt nghim l , 1;0x y Bi 117: iu kin 2x xy y .
Xt ba trng hp sau:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 14
(+) Nu
2
2 22 2 3 0
ln 2 ln
x ye e
x y x y x y
x y xy xy
2 2 22 3 ln 2 ln 0x ye e x y x y x xy y xy , mu thun vi phng
trnh th nht ca h, loi. (+) Nu 2x y tng t cng mu thun vi h, loi.
(+) Nu 2x y th tha mn h. Thay vo phng trnh th hai ta c:
2
2 2 2 2 2 22 3.6 4.3 3. 4 0 4 . 1 03 3 3 3
y y y y
y y y
2 2
3 3
2 24 (do 1 1) log 4 2 log 16
3 3
y y
y x y
.
Vy h c duy nht mt nghim l 2 23 3
, log 16 ; log 4x y
Bi 118: Ta thng chn cch khai thc phng trnh th hai. Nhn xt thm
phng trnh th hai l bc hai vi ,x y nn ta s a n v phng trnh bc hai vi
mt n v s ch c hai
trng hp xy ra: mt l l mt bnh phng ca mt a thc, cn nu n khng l
bnh
phng ca mt a thc m li c h s trc 2x m (nu l phng trnh n y tham s
x ) (v
ngc li) th hai l ta s nhn c nh gi ,x y lt vo mt khong no nh iu
kin
0 , sau kt hp vi iu kin xc nh ,x y phng trnh th nht suy ra gi tr
c
th ca x (hoc y ). Vi bi ton ny th ri vo trng hp th nht.
iu kin 1
,2
x y
. Phng trnh th hai ca h tng ng vi:
2 2 2 22 3 3 2 4 3 1 2 2 4 0x y xy x y x y x y y Xem y l phng
trnh n x , tham s y c bit thc:
2 22 29 1 4 2 2 4 10 25 5y y y y y y
Nn phng trnh c hai nghim l 3 1 5
1 2 42
y yx x y x y
.
+) Nu 1 7
2 42 4
x y y
, khng tha mn iu kin xc nh, loi.
+) Nu 1 3
12 2
x y y
. Kt hp iu kin xc nh suy ra 1 3
2 2y
.
Thay vo phng trnh th nht ta c:
2 21 2 1 2
2 1 1 2 1 3 2 2 12 2
y yy y y y
22 3 2 2 1 4 4 1y y y y (*) t 3 2 2 1t y y .
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 15
Vi 1 3
2 2y
th 2; 2 2t
(c th dng iu kin yu hn l 0t ) v
2
2 2 24 2 3 2 2 1 4 4 3 2 2 1 4 4 4 3t y y t y y y y
2
2 2 42
4 84 4 1 4
4 4
t t ty y
. Phng trnh (*) c vit li thnh:
2 4
4 2 282 8 8 0 2 2 4 0 24
t tt t t t t t t t t
(do 2;2 2t
)
Quay li bc t ta c 1 3
3 2 2 1 22 2
y y y y
.
+) Vi 1 3
2 2y x
. +) Vi
3 1
2 2y x
.
Vy nghim ca h l 1 3 3 1
, ; , ;2 2 2 2
x y
Bi 119: iu kin 1y .
Phng trnh th hai ca h tng ng vi:
2 3 4 3 39 9 0 9 0 9 0x xy xy y x y x y y y x y y y Thy rng 1y
th 3 9 0y y nn suy ra x y . Thay vo phng trnh th nht:
3 1 1 2x x
n y ta t 33 1 , 1 2 , 0a x b x a b th ta c:
23 2 3 2
22 2
1 2 2 02 4 4 2
b aa b b a
a a aa b a a a
2
1 1 3 1 3
b a
a a a
(tha mn)
+) Nu 31 1 1 1 0 1a x a x y .
+) Nu 3
31 3 1 3 1 1 11 6 3 11 6 3a x a x y .
+) Nu 3
31 3 1 3 1 1 11 6 3 11 6 3a x a x y .
Vy h c ba nghim l , 0;0 , 11 6 3 ; 11 6 3 , 11 6 3 ; 11 6 3x
y
Bi 120: iu kin 5
4x
.
Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
3 6 2 4 2 2 2 4 2 20 0x y xy y x y x xy y y x y
2
2 2 4 2
2 2 40
0
x yx y x xy y y
x y xy y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 16
+) Nu
2 22 2 4 430 0 0
2 4
y yx y xy y x y x y
.
Cp s ny khng tha mn phng trnh th hai ca h.
+) Nu 2 0x y , thay vo phng trnh th hai ta c:
4 5 8 6 4 5 8 2 4 5 8 36x x x x x x
2 2
23 230 0
5 52 4 5 8 23 5
42 41 04 4 5 8 23 5
x xx x x
x xx x x
21 1 1x y y .
Vy nghim ca h l , 1; 1x y Bi 121: iu kin 0x y .
Dng php t n ph
2 2 2 22
22 22, 0
u v x yu x xyu v
u v x y u vv xy y
H cho tr thnh 2 2 22 2
2 22 2 2 2
4 5 093
369369 369
u v u vu v u vu v u v
u vu v u v
2 2
4 5 0
369
u v
u v
(do 0u v th 0u v , khng tha mn)
15
12
u
v
(tha mn)
Vi
22 2
22 2 22
2251515 225
12 144 15 12 8112
x xyx xyu x xy
v xy y x yxy y
2 25225
169 (do 0)
xx xy
yx y x y
Vy h c mt nghim l , 25;16x y Ch : Nu cha tinh trong vic t n ph
th trong bi ny c th gii theo hng sau: Thy rng phng trnh th nht l
phng trnh ng cp vi ,x y nn ta bnh phng hai v
phng trnh th nht ln kh cn, sau ta c mt kt qu kh p:
2
2 9 2 9x x y y x y x y xy x y x y xy x y
Dng nh kt qu ny p hn nhiu so vi li gii trn (phng trnh trn l phng
trnh
ng cp vi ,x y )!
Bi 122: iu kin 3 7x (suy ra t phng trnh th hai) v 1 0y .
d nhn, ta t , 1a x b y 6 7 , 0a b th phng trnh th nht ca h c vit
li thnh: 2 22 0 2 0 0a ab b a b a b a b (do 2 0a b ).
Suy ra 1 1 1x y x y y x . Thay vo phng trnh th hai ta c:
23 3 2 21 7 2 8 0 2 4 0 2 1 1x x x x x x x x x y x
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 17
(d thy rng
2
2 1 154 02 4
x x x
)
Vy nghim ca h l , 2;1x y Bi 123: iu kin 0, 1x x y .
Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
1 1 1 2 1 1 2 1x x y x x y x y y x y
22
002 2
4 1 2 4
yyy x
y x y y x
Phng trnh th hai ca h tng ng vi: 2
2y x y x y x y x (do 0y )
Lc ny ta c h:
2
12 2 22 2 2 2
142 2 2 2 0
4
yy x yx y y x
xxy y y y y yy x y x
Th li thy hai nghim ny u tha mn h.
Vy nghim ca h l 1
, 4;2 , ; 14
x y
Bi 124: Xem phng trnh th hai ca h nh phng trnh n y, tham s x
:
2 22 3 4 0y x y x x
Phng trnh ny c nghim 24
0 3 4 0 03
x x x .
Vi iu kin ny ta c nh gi sau:
22
2 324 8 121
2 27 273 3 9
x
x x
nn suy ra 4
3x ,
thay vo phng trnh th hai ca h:
2 24 16 8 16 42 4 4 0 . 03 9 3 9 3
y y y y y
Vy nghim duy nht ca h cho l 4 4
, ;3 3
x y
Bi 125: t 2t y th h tng ng vi:
3 2 23 3 2
4 4 3 3
11 1
4 4 0 4 1 1 0
t x t xx t xt
x t x t x x t t
3 2 2
3 3 2 3 3 2
0 04 1 0
4 1 0 4 4
x xx x xt t x
x t tx x t tx
Thy rng 0x khng tha mn h phng trnh nn 3 3 24 4 2x t tx .
Mt khc 3 3 21 4 4 4 4x t xt , kt hp vi 2 ta suy ra
3 2 2 2 23 4 0 3 4 0 03
xt xt tx t t xt x t t x t
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 18
TH1: Nu 0 0t y , khng tha mn h ban u.
TH2: Nu t x , thay vo 1 ta c: 3 3 3 31
1 1 12 2
tx x x x x y .
TH3: Nu 3
xt , thay vo 1 ta c:
3 3 33
3 3
25 3 11 1
27 9 27 25 200
x x xx x y .
Vy h c cc nghim l 3 3
3 1, 1;2 , ;
25 200x y
Bi 126: iu kin 10 1 0z .
Bin i phng trnh th hai ca h:
2 22 2 2 2 22 2 2 2 1 0 1 0x y z xy yz zx x y xy x y z xy
1
0
11
yx y z x
xyz x y x
x
Thay vo phng trnh th nht ca h thnh:
2 2
2
4 1 42 1 2 1 12 1 2 4 1 10 4 1 10
x xx xx x x x
x x x xx
22
1 14 17 4 1 10 *x x
xx
t 1
2t x tx
(do 2 v 1 10 0t t ) th 2 22
12t x
x nn * tr thnh:
2
22
24 2
54 25 v 224 25 4 1 10
4 25 16 1 1016 200 160 609 0
t t tt t
t tx t t
2
57 1 7 7 332
2 2 42 7 2 3 4 20 29 0
tt x x
xt t t t
+) Nu 7 33 1 7 33 7
4 4 2x y z x y
x
.
+) Nu 7 33 1 7 33 7
4 4 2x y z x y
x
.
Vy nghim ca h l 7 33 7 33 7 7 33 7 33 7
, , ; ; , ; ;4 4 2 4 4 2
x y z
Bi 127: Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
24 3 3 2 229 0 9 0
9
x yx xy x y x y x y x y x x y
x x y
+) Nu x y , thy ngay khng tha mn phng trnh th hai, loi.
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 19
+) Nu 2
9 * 0x x y x . Bin i phng trnh th hai:
3 3 3 3 337 77x y x y x y xx x
Thay vo * ta c 2 2
3 2 3 333 37 7 7
9 2 9x x x x x x x xx x x
2
33 6 2 432 . 7 7 9x x x x x x
Ta thy v tri ca phng trnh ny l mt hm s ng bin trn 0; nn phng
trnh ny c nhiu nht mt nghim. Thy rng 1x l mt nghim ca phng trnh. Vi
1 2x y .
Vy h c duy nht mt nghim l , 1;2x y
Bi 128: iu kin 1 1x .
t 1 0 2a x a th 2 1a x . Thay vo phng trnh th nht ca h: 3 2 3 3
2 22 2 1 3 2 0 2 2 2 1 0y a a a y y a y a y a y ya a
y a (do
2 22 2 32 2 2 1 2 1 0
2 2
a ay ya a y
)
Vy 1y x . Thay vo phng trnh th hai ca h c: 2 21 2 1 2 1x x x x
.
t cos 0;x t t th phng trnh trn tr thnh:
2 2 21 cos 2cos 1 2cos . 1 cos 2sin cos2 sin 22
tt t t t t t
2 sin 2 sin 2 sin sin 22 4 2 4
t tt t
42 2
6 34 2
3 42 2
4 2 10 5
tt kt k
kt
t k t k
m 3
0;10
t t
3 3 3cos 1 cos 2 sin
10 10 20x y
.
Vy h phng trnh c nghim l 3 3
, cos ; 2 sin10 20
x y
Bi 129: y l mt phng trnh kh v n phi s dng phng php nh gi. u tin
ta
hy tm iu kin xc nh: 21
; 0 ;2
x x y x y x .
By gi ta s i khai thc iu kin ny kt hp vi cc phng trnh cho:
+) Nu 0y th h s tr thnh 2 3
22
1. 0
2 3 2 1 112 3 2 1 11
xx x x
x xx x
(v l).
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 20
+) Nu 23
0 0 0y
y x x yx y
. C hai trng hp xy ra:
TH1: Nu 3
0 00
00
y yx y
x yx y
, khng tha mn iu kin xc nh.
TH2: Nu 3
00
0
yx y
x y
. Khi phng trnh th nht tng ng vi:
32 22
23 3
111
y x yx y x yx x y y y
x y x yx x y y
32 3
11 y x yx y x y
x yx x y y
(1).
n y, ta thy rng nu 1x y th VT(1) dng, VP(1) m, khng tha mn. Tng
t vi
trng hp 0 1x y cng khng tha mn.
Thy rng 1x y tha mn. Thay vo phng trnh th hai ta c:
22 22 1 3 2 1 11 4 4 3 2 1 9 0x x x x x x
2 5 24 4 15 3 2 2 1 0 2 5 2 3 3. 02 1 2
xx x x x x
x
3 5 3
2 5 2 3 0 2 5 0 12 22 1 2
x x x x y xx
(D thy 3 3
2 3 1 3 332 1 2
xx
do 1
2x )
Vy nghim ca h l 5 3
, ;2 2
x y
Bi 130: iu kin 24 4 9 0, 0x x x y xy v 2 2 0x y x . T phng trnh
th nht ta c nhn xt 0y .
Nu 0y thay vo h:
2 904 4 9 08
4 2 2 3 3 4 2 2 3 3
x xx x x
x x x x x x
(v nghim)
Vy ta phi c 0y . Kt hp vi iu kin ta suy ra 0x .
p dng bt ng thc Cauchy ta c:
3 3 4 2 2 2 2 2 6 4 10 8 4 10x x y x x y x x y x y Phng trnh th
nht ca h tng ng vi:
24 4 9 2 0x x x y y xy y
2 2 2
2
4 4 90
4 4 9
x y x x y xy y
xy yx x x y y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 21
2
4 4 4 90
4 4 9
x y x y x y x y
xy yx x x y y
28 4 9
04 4 9
x y yx y
xy yx x x y y
Vi 8 4 10x y v 0y th 28 4 9
04 4 9
x y y
xy yx x x y y
nn phng trnh trn
tng ng vi x y .
Thay vo phng trnh th hai ta c:
2 24 3 2 3 3 48 2 9 3 39 42 81 0x x x x x x x x
27 (khng TM) 1 (TM) 1
13x x y
.
Vy nghim ca h l , 1;1x y Bi 131: Nhn thy 0y khng tha mn h nn ta
chia hai v ca phng trnh th nht cho
3y v chia hai v ca phng trnh th hai cho 2y ta c:
32
22
3 22
2
3 316 9 2 1 4 4 2 1
316 9 2 1 4 2 14 2 1
x x x x xy y
x x x xx xy
2
2
23 3
3 14 2 1 1
33 1
16 9 8 1
xx x x
yy
yx x
Vy nghim ca h l , 1; 1x y
Bi 132: Xem phng trnh th hai nh l phng trnh n x, tham s y :
2 2 1 02
x x y y
Phng trnh c nghim 2 21
1 4 0 4 4 3 02
x y y y y
3 1
;2 2
y
.
Tng t, ta c c 1 3
;2 2
x
.
Kt hp hai iu trn ta suy ra: 3 1
1 ;2 2
x
v
1 31 ;
2 2y
.
Phng trnh th nht tng ng vi: 3 2
1 12 1 1 12 1x x y y (1).
Xt hm s 3 12f t t t trn 3 3
D ;2 2
.
o hm 2' 3 12 0f t t vi mi Dt . Nh vy hm s f t nghch bin trn D, m
phng trnh li c dng 1 1 1 1 2f x f y x y x y .
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 22
Thay vo phng trnh th hai ca h ta c:
2 2 2
1 3
1 3 2 22 2 2 4 0
3 12 2
2 2
y x
y y y y y y
y x
Vy h phng trnh c hai nghim l 3 1 1 3
, ; , ;2 2 2 2
x y
( thi i hc Khi A nm 2012) Cch gii khc: T p n ca B Gio dc o to,
ta c th rt ra mt kinh nghim nh
gi x , y mt cch nhanh hn l nhm ht 2 2, , ,x x y y cho hng ng thc
ri sau
nh gi (nu cha s hng xy th khng lm nh th ny). Lm nh th s rt ngn c
thi gian trnh by cng nh s gp t sai st hn. C th nh sau:
Vi phng trnh th hai ta bin i thnh:
2 21 1
12 2
x y
.
T y ta c 1
1 12
x
v 1
1 12
y
.
Mt vn t ra l lm sao c th bit c x 1 = y + 1. chnh l dng phng php
h s bt nh, c th ta t x = y + a v bin i v tri phng trnh th nht
v:
3 2 3 2 2 3 23 9 22 3 3 3 6 9 3 9 22y a y a y a y a y a y y a a
a n y ta phi c v tri bng v phi, iu ny xy ra khi v ch khi:
2
3 2
1 1
3 3 32
3 6 9 9
3 9 22 0
aa
a a
a a a
.
Nh vy nn a = 2, tc l x = y + 2. T y c th bin i x 1 = y + 1 hoc x
+ 1 = y + 3, a phng trnh th nht v cc hm s khc nhau. Ta cng c th gii
h trn bng cch a v h i xng bng n ph t = x. Khi a c h v h i xng loi
I, t n ph S = y + t v P = yt.
Bi 133: iu kin 0
, 00
x yx y
xy
.
Lc ny nhn thy hai v c phng trnh th hai ng bc nn ta s phn tch n
thnh nhn
t. V thun tin trong qua trnh bin i, ta t , , 0a x b y a b . Phng
trnh th hai ca h tr thnh:
4 4 2 2 4 3 3 44 5 2 4 10 5 0a b a b ab a a b ab b (*). Nu b =
0, thay vo phng trnh trn ta c a = 0. Vy tc l x = y = 0, mu thun
phng trnh th nht.
Vy b 0. Ta chia hai v ca (*) cho 4 0b ta c:
4 3
4. 10. 5. 1 0a a a
b b b
.
t 0a
t tb
th phng trnh trn li tr thnh:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 23
4 3 24 10 5 1 0 1 2 1 2 4 1 0t t t t t t t 2 6 2 6
1 (TM) 2 (kTM) (TM) (kTM)2 2
t t t t
.
+) Vi 1 1 1a x
t x yb y
.
Thay vo phng trnh th nht: 2 1 1x x x y .
+) Vi 2 6 2 6 2 6 5 2 6
2 2 2 2
a xt x y
b y
.
Thay vo phng trnh th nht: 5 2 6 28 8 6 4 6 6
22 25 25
y y y x
.
Vy h c hai nghim l 4 6 28 8 6
, 1;1 , ;25 25
x y
Bi 134: iu kin: 2x v 2 1y . Phng trnh th nht tng ng vi:
3 2 2 2 2 32 0x x y xy x xy y y
3 3 3 2 2 2 2 0x y x x y xy x xy y 2 2 2 2 2 2 0x y x y xy x x y
xy x y xy 2 22 1 0x y x y xy
2 2
2 1 0 2 1
00
x y y x
x yx y xy
Thy rng 0x y khng tha mn iu kin xc nh, loi.
Thay 2 1y x vo phng trnh th hai ta c: 2 4 1 5x x (1)
+) Nu 3
24
x
th 2 2x v 4 1 3 2 4 1 5x x x , mu thun (1).
+) 2x tha mn (1).
+) Nu 2x th 2 2x v 4 1 3 2 4 1 5x x x , mu thun (1), loi.
Nh vy (1) c mt nghim l x = 2 5y .
H c duy nht mt nghim , 2;5x y Bi 135: iu kin , 0x y .
Xt hm s 2 3
22
t tf t trn 0; . Nhn thy rng khi t tng th c 2
2t v 3
2
t u
tng, v th nn f t ng bin trn 0; .
Mt khc phng trnh th hai ca h c dng 72
f x y m ta li c 7
12
f , tc l
phng trnh th hai tng ng vi 1 1x y x y (1).
Vit li phng trnh th nht ca h nh sau:
2
2 2 21
81 1 16 122 3 4 3 2 2 3 2 3 2
yx x yx y x y
(*)
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 24
Xt hm s 2 12 3tg t t trn 0; . Mt ln na ta thy khi t tng th c
2 12t v 3 t
u tng, v vy nn g t ng bin trn 0; . Mt khc (*) c dng:
2 2 4g x g y x y x y (2).
Gii h (1) v (2) cho ta nghim
4
5
1
5
x
y
, tha mn iu kin.
Vy nghim ca h l 4 1
, ;5 5
x y
Bi 136: y l mt h phng trnh kh!
iu kin 3 3 2 0x y xy x y .
(+) Nu 0x th 3 3 0, 2 0x y xy x y 3 3 2 0x y xy x y , khng tha
mn iu kin. (+) Nu 0x . Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
3 33 1 2 0x y x y xy x y x y
23 3
2 3 33 3
210
21
x y xy x y x yx y
x y xy x y x yx y x y
2 2 2 2
2 3 33 3
10
21
x y x y x yx y
x y xy x y x yx y x y
2 2
2 3 33 3
11 0 *
21
x yx y
x y xy x y x yx y x y
D thy rng vi , 0x y th
2 2
2 3 33 3
10
21
x y
x y xy x y x yx y x y
nn * 1 0 1x y y x . Do 0y nn 1x . Thay vo phng trnh th hai ca h
ta c:
3 2 2 25 2 2 1 4 2 3 1 3x x x x x x x x
3 2 2 25 4 2 2 3 2x x x x x x x (1)
2
3 2 2 25 4 2 2 2 3x x x x x x x (do hai v u dng)
6 5 4 3 2 6 5 4 3 210 33 44 36 16 4 5 16 30 41 33 18x x x x x x
x x x x x x 5 4 3 25 17 14 5 17 14 0x x x x x (**)
n y c th nhm c ba nghim p ca phng trnh l 1x , 2x v 7
5x
ri
dng s Hoc-ne chia a thc, th nhng ta c nh gi sau:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 25
Vi 1x th 5 25 5x x ; 417 17x x v 414 14x nn v tri ca phng trnh
(**) lun khng m. V vy (**) c mt nghim l 1 0x y . Th li nghim ny tha
mn h.
Vy nghim ca h l , 1;0x y
Bi 137: t 2 3a x y v 2 24b xy a b th h phng trnh tr thnh:
22
2 22
10 1101
124 11 2124 1 121
12 10 10
ab
aa b
a aaa b b a a
2 2 2 2
3 2 2 4 3 2
124 1240 10 12 20 100124 10 102 1 1
10 12 10 12
a a a a a aa a
a a a a a a a
4 3 2
4 3 2
4 3 2
30 164 480 12001 20 76 240 600 0
10 12
a a a aa a a a
a a a
(*)
n y ta bt u p dng cch gii phng trnh bc 4. Cch gii ph hp vi bi
ton ny
l a phng trnh cho v phng trnh trng phng, tc l t 20
54.1
t a a t
.
Thay vo (*) v rt gn ta c: 4 274 625 0t t 31 6 5 31 6t a .
(+) Nu 5 31 6
5 31 65 31 6
a b
th 2x v 3y l nghim ca phng trnh:
2 26 5 31 6
6 0 5 31 6 05 31 6
t at b t
.
Phng trnh ny c hai nghim l 6 186 5 6
5 31 6t
. T tm c hai nghim ca h l:
6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6
, ; , ;10 2 31 2 6 15 3 31 3 6 10 2 31 2 6 15 3 31 3 6
x y
(+) Nu 5 31 6
5 31 65 31 6
a b
. Tng t ta cng tm c hai nghim l:
6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6
, ; , ;10 2 31 2 6 15 3 31 3 6 10 2 31 2 6 15 3 31 3 6
x y
(+) Nu 31 6 5
5 31 65 31 6
a b
. H c thm hai nghim l:
6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6
, ; , ;10 2 31 2 6 15 3 31 3 6 10 2 31 2 6 15 3 31 3 6
x y
(+) Nu 5 31 6
5 31 66 31 5
a b
. H c thm hai nghim:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 26
186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6 6
, ; , ;10 2 31 2 6 15 3 31 3 6 10 2 31 2 6 15 3 31 3 6
x y
Vy h c tt c 8 nghim l:
6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6
, ; , ; ,10 2 31 2 6 15 3 31 3 6 10 2 31 2 6 15 3 31 3 6
6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6; , ; ,
10 2 31 2 6 15 3 31 3 6 10 2 31 2 6 15 3 31 3 6
6 186 5 6
10 2 31
x y
6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6; , ; ,
2 6 15 3 31 3 6 10 2 31 2 6 15 3 31 3 6
186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6 6 186 5 6 6; , ;
10 2 31 2 6 15 3 31 3 6 10 2 31 2 6 15 3 31 3 6
Cch gii khc: Qua qu trnh bin i trn th chng ta thy rt phc tp nu c
s dng mt cch gii mang sc l a v tng v tch S, P. Cch gii sau y s gip
tit kim c thi gian hn: Nhn hai v ca phng trnh th nht vi (2x + 3y) v
nhn hai v ca phng trnh th hai
vi ( 2 24 9x y ) ta c:
2 2 2 2
2 2 2 2
2 3 3 210 2 3 2 3 10
*4 9 9 4
124 4 9 4 9 124
x y x yy x x y
x y x yy x x x
t 3
2a xx
v 2
3b yy
th h (*) tr thnh:
2 210
12 12 124
a b
a b
H phng trnh ny d tm c nghim a, b v d th tr li tm x, y. Bi 138:
Trc tin ta i tm iu kin xc nh h phng trnh. H ny khng kh,yu cu lm c h
phng trnh ny l cn phi nm vng kin thc v logarit.
iu kin 0 , 1 , 0 , 1 , log 0xx x y y y v log 0y x .
Khai thc iu kin log 0x y v log 0y x ta c
, 0;1
, 1;
x y
x y
Xt phng trnh th nht: Thy rng vi x = y th tha mn phng trnh cho.
By gi ta s xt x khc y, c th l ta s gi s x < y (do vai tr ca x v
y l bnh ng) d trnh by.
(+) Nu 0 < x < y < 1. Lc ny ta c:
0 log 1 log log 0
log 1 log log 0
x x x
y y y
y y
x x
, iu ny mu thun
vi phng trnh th nht ca h. (+) Tng t cho trng hp 1 < x < y,
ta cng c iu mu thun.
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 27
Nh vy phng trnh th nht ca h tng ng vi x = y.
Th vo phng trnh th hai ta c: 2100 100
lg 4 lg 2 1 1
100 100
x y
x xx y
.
Vy nghim ca h l 1 1
, 100;100 , ;100 100
x y
Bi 139: Ta rt x t phng trnh th hai: (v r rng
khng tha mn phng trnh th hai ca h nn ta c th chia c). Th vo phng
trnh th nht ta c:
2 4 3 24 2 4 2
. . . 2 1 6 1 18 19 1 01 1
y yy y y y y y y y y
y y
21 1
1 2 1 9 4 1 0 1 2 1 0 10
2
y x
y y y y y yy x
(tha mn)
Vy h c hai nghim l 1
, 1;1 , 0;2
x y
Bi 140: iu kin 2 64x y . T phng trnh th hai ta rt:
2
2 6 4 23 6 9 27 21y x x x x . Thay vo phng trnh th nht ta c:
2 2
6 4 2 2 2 6 4 29 27 21 64 9 27 21x x x x x x x x (*)
Nhn thy khi 2x tng v tri ca (*) th cng tng (bin 2x ), ngc li v
phi ca (*) gim
nn phng trnh (*) c nhiu nht 1 nghim. Mt khc ta thy 2 0x l mt
nghim ca (*)
nn (*) 2 0 0x x . Vi x = 0, thay vo h tm c y = 2. Nghim ny tha
mn h.
Vy nghim ca h l , 0;2x y Bi 141: iu kin 2 1x . Phng trnh th hai
ca h tng ng vi:
24 4 3 3 2 1 2 2 1 1 0x x x x x x
2 2
2 3 2 1 1 0x x x
2 3 0 2 3 01
12 1 1 0
x x x xx
xx
.
Thay x = 1 vo phng trnh th nht ta c: 3 31 3 . 3 1y y .
t 33 3 1 1 3t y t y . Ta c h:
33 3
2 23 3 3
1 31 3 1 3
31 3 3 3
y ty t y t
y t y yt t t yt y y t t y
4 2
1 4 21
yx y y x
y
1y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 28
3
32 2
1 3
1 3 *3 0
y t y t
y yy t y yt t
(d thy 2 2 3 0y yt t )
Ta i gii phng trnh (*) 3 3 1y y . Ta c nhn xt sau:
Nu 3 22 3 . 3 2.1 2y y y y y , tc l iu ny mu thun (*). Vy nn 2y
.
Vi iu kin trn th ta c th t 2cos 0;y z z . Lc ny (*) tr thnh:
3 31 1 2 2
8cos 6cos 1 4cos 3cos cos32 2 9 3
kz z z z z z k
Vi iu kin 0;z ta tm c 12
9z
v 2
4
9z
.
T suy ra c 2
cos9
y
hoc 4
cos9
y
.
Vy h c hai nghim l 2 4
, 1;cos , 1;cos9 9
x y
Bi 142: Vi h phng trnh dng ny, s c hai hng tip cn chng: * Hng th
nht: t phng trnh th nht rt ra lin h gia x v y ri th vo phng trnh th
hai c phng trnh ng cp. * Hng th hai: h cha nhiu cn nn ta ngh ngay n
vic nhn lin hp. C th vi h phng trnh ny ta s dng hng th hai (nu i
theo hng th nht th s khng c kt qu!). iu kin: 0x y .
(+) Nu y = 0, thay vo phng trnh th hai ta tm c x = 0. Cp s ny
khng tha mn phng trnh th nht, loi. (+) Nu y > 0 th phng trnh th
hai ca h tng ng vi:
2
2 2 0y x y y x y x
22 2
. 2 02
y x y xy x
y x y y x
2
212 0
2
y xy x
y x y y x
2x y (d thy biu thc trong du ngoc vung lun dng vi y > 0)
Thay vo phng trnh th nht ta c: 2
2 2 2 3 3 3 33 5.6 2 0 5. 4 0 4 12 2 2 2
x x x x
x x x
.
+) Nu 3 3
2 2
34 log 4 log 2
2 2
xx
x y
.
+) Nu 3
1 0 02
x
x y
, khng tha mn, loi.
Vy h c duy nht mt nghim l 3 32 2
, log 4 ; log 2x y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 29
Bi 143: Hng gii dng h phng trnh ny qu quen thuc. l a hai v phng
trnh th nht v cng mt hm v o hm rt ra quan h gia x v y. Ngay t u bi
cho ta mt gi : x 2 = y 1 1x y (bi v nu 2 1x y th biu thc trong cc
php
ly logarit s l mt biu thc theo bin x, sau ta phi dng o hm rt phc
tp, phc tp ngay c trong php ly o hm).
iu kin . 2
1 2 0; 0; 01
xy x x y
y
hoc
0 2 , 1
0 1
x x
y
.
a phng trnh th nht ca h v dng: 3 23 23 1 3 1x x y y (1).
Xt hm s 3 23f t t t trn 0 ;2 2; . o hm: ' 3 2f t t t . D thy hm
s ng bin trn 2; v nghch bin trn 0 ;2 .
(+) Nu 2 2
1 1 2
x x
y y
. Lc ny (1) c dng 1f x f y vi ; 1 2;x y v
hm s f t ng bin trn 2; nn (1) 1x y .
(+) Tng t cho trng hp 0 2 , 1
0 1
x x
y
, ta cng c 1x y .
Tm li ta c x = y + 1. Th vo phng trnh th hai ta c:
3
3 0 3 1 2x x y x , tha mn iu kin.
Vy nghim ca h l , 3;2x y
Bi 144: iu kin 20; 0; 6 6 0x y x y x x .
Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
2 2 2233 3
6 15 6 156 6 3
yy y
x y x y x y x y x yx x y
H lc ny tr thnh: (I)
6 15
34
x y x y x yy
x y x y
.
Ta t ; , 0a x y b x y a b th (I) l tr thnh:
2 2 2
2 4 3 22 2
4 46 15
4 8 22 15 04 6 15
a b a ba b b
a b b b bb b b
3 2 3 24 4
1 7 15 15 0 1 0 7 15 15 0
a b b a
b b b b b b b b
+) Vi
2
2
9 51 0 1 3
41
x y a xb b a
yx y b
, tha mn h.
+) Vi 0;b , ta xt hm s 3 27 15 15f b b b b . Hm s c o hm: 2' 3
14 15f b b b .
5
' 0 33
f b b b .
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 30
Ta c: 5 680
0 15 0 , , 3 243 27
f f f
v limx
f b
nn vi 0;b th ta
lun c 3 27 15 15 0b b b . n y ta khng cn xt trng hp ny na.
Vy nghim ca h l , 5;4x y Bi 145: Nhn thy rng h ny c cha s m kh
cao v hn na phng trnh th nht ca
h i xng vi x , y v xut hin cc tng nh 10 10
16 16
2 2,
x yx y
y x
v cc tch xy nn ta
ngh n vic dng bt ng thc. iu kin 0x v 1y .
Vit li phng trnh th nht: 10 10
16 16 4 4 2 2
2 22 6 4 8
x yx y x y x y
y x
(1).
p dng bt ng thc Cauchy:
10 10 10 104 4
2 2 2 22 2.2 4
x y x yx y
y x x y
.
16 16 16 16 2 281 1 1 1 1 1 8 8x y x y x y .
Cng hai bt ng thc cng chiu trn ta c: 10 10
16 16 4 4 2 2
2 22 6 4 8
x yx y x y x y
y x
.
Nh vy VT(1) VP(1), th nn c (1) th ta phi c ng thc hai bt ng thc
trn xy ra:
(1)
10 10
2 2 2
16 16
1
1
x y
y x x y
x y
(do 1y ) 1 1
1 1
x x
y y
Th li ta ch thy 1;1 tha mn h. y cng chnh l nghim duy nht ca
h.
Vy nghim ca h l , 1;1x y Bi 146: iu kin 1y v 2 4x . Khng kh pht
hin phng trnh th nht ca h
l phng trnh ng bc. Tht vy, phng trnh th nht vit li thnh:
2
2 2 3 2 3 4 2 3 2 3x y x y x y x y
4 2 12 2 9 6 2 3 2 6 2. 3 0x y x y y x x x y y
2
3 2 0 2 2x y x y y x . Do 1y nn 1x .
Thay vo phng trnh th hai ca h ta c: 21 4 8 0x x x (*).
Phng trnh ny chng ta khng th x theo kiu t n ph. Nhn thy rng x =
3 l mt nghim ca phng trnh, ta s dng nhn lin hp chng minh l nghim
duy nht.
(*) 21 2 9 1 4 0x x x
3 3
3 3 01 2 4 1
x xx x
x x
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 31
1 1
3 3 01 2 4 1
x xx x
(**)
Vi 1 4x th 1 1 1 1 1
3 1 3 02 2 21 2 4 1
xx x
nn (**) c
nghim duy nht l x = 3, suy ra y = 5.
Vy nghim duy nht ca h l
Bi 147: iu kin .
Ly phng trnh th nht tr i phng trnh th hai v theo v ta c:
22 4 4 2 4 3 3 23 2 1 2 1 1 2x y x y x x x y y x x x y
2 222 3 24 1 1 1x y x y x y .
Ta c:
22
2 222 3 2
22 3 2
4 1 24 1 1 1
1 1
x yx y x y x y
x y x y
.
Nh vy du ng thc phi xy ra, tc l:
2
3 2
2
1 0
1
0
x y
x y x y
x y
.
Th li thy 1;1 tha mn h phng trnh.
Vy nghim ca h l , 1;1x y Bi 148: iu kin 2 0x y .
Khng kh a phng trnh th hai v dng:
2 2
2 1 1x y x (cng thm vo hai v mt lng l 1x )
2
2 1 12 2
x y xx y x
x y x
(+) Nu 2
02
2
xx y x
y x x
. Thay vo phng trnh th nht ta c:
2 3 2 22 1
2 1 10 28 13 11 30 0 150 (KTM)
13
x y
x x x x x x x xx
(+) Nu 2
22 2
2 3 4
xx y x
y x x
. Thay vo phng trnh th nht ta c:
2 3 2 23 2
2 3 3 10 3 4 28 9 33 18 0 22 (KTM)
3
x y
x x x x x x x xx
Nh vy h c hai nghim l , 2;1 , 3;2x y Bi 149: iu kin 1x .
, 3 ;5x y 2 4 23 2 0x y x y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 32
Vi mi s thc ,a b ta c: 2 22a b a b a b . Du ng thc xy ra 0a b
.
Ta thy phng trnh th nht c dng: 22
2 1 2 2 1x y x x y x
nn n
tng ng vi 2 1 2 1x y x y x x .
Thay vo phng trnh th hai ta c:
2
22 1 4 1 17 4 4 1 1 4 1 17x x x x x x x x x x .
24 18 0 2x x x (tha mn) 9
4x
(loi).
Vi 2x th 3y , tha mn h cho.
Nh vy nghim ca h l , 2;3x y
Bi 150: iu kin 2 3 0x y .
Xt hm s 3 7log 2 2logf t t t trn 0; .
o hm:
ln7 ln9 ln811 2' 0 0
2 ln3 ln7 2 ln 21
tf t t
t t t t
(do ln7 ln9 0 v
ln81 0 ).
Ta vit phng trnh (1) li thnh: 3 7log 2 2 3 2log 2 3 0x y x y
(*). (*) c dng 2 3 0f x y m 2 3f x y ng bin v 7 0f nn (*) 2 3 7x y
. Thay vo phng trnh th hai ta c:
2 3 3 2ln 4 1 3. 2 6 ln 4 1 0x x x x x x x x (**) Xt hm s 3 26
ln 4 1g x x x x x trn .
o hm:
2
22 2 2
22 2
7 11924
8 1 24 14 7 24 24' 3 6 3 3 0
4 1 4 1 1 154
8 16
xx x x
g x x x xx x x x
x
nn g x ng bin trn . Mt khc 0 0g nn (**) 7
03
x y .
Vy nghim duy nht ca h l 7
, 0;3
x y
Bi 151: iu kin 23 0x y .
Khng kh nhn ra phng trnh th nht l phng trnh ng cp:
2
2 2 2 2 2
2
3 23 0 3 3 2 0
3
x y yx y y x y x y y x y y
x y y
(+) Nu 22 2 2
0 03 2
3 4
y yx y y
x y y x y
.
Th vo phng trnh th hai ca h ta c:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 33
4 2
2 2 4 2 212 3 1 0 2 18 6 66
y yy y y y y y y
2 2
2 4 3 24 2 2
18 6 6 0 3 1 0
35 216 395 216 35 02 18 6 6
y y y y
y y y yy y y y
22
2 2
3 1 03 1 0
25 429 13 697 25 7 5 13 5 0
14 10
y yy y
y y y y y y
13 69 119 13 69
10 50
13 69 119 13 69
10 50
y x
y x
(+) Nu 22
03
2
yx y y
x y
. Th vo phng trnh th hai ta c:
24 2 4 2
2 2 4 1 4 13 72 3 2 1 0 4 06 8 16 6
y y y yy y y y
, v l.
Vy h c hai nghim l 119 13 69 13 69 119 13 69 13 69
, ; , ;50 10 50 10
x y
Bi 152: iu kin 0x . Vi iu kin ny th phng trnh th hai ca h tng ng
vi:
2 2
2 2 2 2
2
1 22 2 2 1 0 2 1 0 2 1 0
xx y x x y x x y x x y x y
x
.
Thay vo phng trnh th nht ca h ta c:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 1 1 2 1 1 2
2
1 2 3 1 1 1 12 2 2 2 2 2
2 2 2
x x x x x x
x x x x x xx x
x xx
2 2
2 2 2 2
1 1 2 1 1 22
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 22 2 2 2
22 2 2
x x x x
x x x xx x
xx x x x
(*)
Xt hm s 22
t tf t trn .
Hm s c o hm 1
' 2 ln 2 02
tf t t nn f t ng bin trn . Mt khc (*)
c dng 2
2 2
1 1 2x xf f
x x
nn (*)
2
2 2
1 1 22
x xx
x x
(do 0x )
3
4y
.
Vy nghim ca h l 3
, 2;4
x y
Bi 153: t 22 , 2 , 0x ya b a b . Ta c nhn xt sau: 3 316 2. 2a a
.
H phng trnh tr thnh:
3 2
3 2
2 16 1
2 16 2
a b
b a
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 34
Ly (1) tr i (2) v theo v ta c:
3 3 2 2 2 22 0 2 2 0a b a b a b a b ab a b
2 2 2 2 0
a b
a b ab a b
(+) Nu a b , thay tr li (1) ta c:
3 2 2 21
2 16 2 4 8 0 2 2 2 2 1
2
x y
x
a b a a a ay
(+) Nu 2 2 2 22 2 0 2 2 0a b ab a b a b a b b . a tn ti th ta
phi c
2 22
2 4 2 0 23
a b b b b
. Tng t ta c 2
23
a
.
Nh vy 3 3
3 2
2 2
2 8, 0;2 2 16
2 2.2 8
aa b a b
b
(*).
Mt khc bi ra li cho du bng (*) xy ra, tc l 2a b ( gii trn).
Vy nghim ca h l 1
, 1;2
x y
Bi 154: iu kin 3 4 0 0x x x . Bin i phng trnh th nht ca h:
2 2 3 2 22 4 8 0 2 4 2 0 2 0x xy xy y x x y y x y x y x y 2x y
(do 2 0x y ).
Thay vo phng trnh th hai ca h ta c phng trnh n x :
2
23 3 2 21
4 1 1 3 3 4 0 4 3 4. 2 03
xx x x x x x x x x
2 24 4 2 0x x x x 2 2
2 2
22
4 44 4 4 4 0 2 1
4 44 2
x x x xx x x x x y
x xx x
.
Vy nghim ca h l , 2;1x y Bi 155: iu kin 2y .
Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
3 25
9 3 6 3 9 1 3 6. 3 53
x x y y x x y y
(*).
Xt hm s 2 1f t t t trn . o hm 2' 3 1 0f t t t nn hm s ng bin
trn . Mt khc (*) li c dng 3 3 6f x f y nn n tng ng vi:
2 2
0 03 3 6
9 3 6 3 2
x xx y
x y y x
Th vo phng trnh th hai ra c:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 35
2
2 2 2 2 3 22 3 4 2 3 4 2 2 4 0x x x x x x x x x x (**).
Vi 0x th 3 22 2 4 0x x x nn (**) 0 2x y . Vy, h cho c mt nghim l
, 0;2x y Bi 156: Biu thc trong cn vit li thnh 2 1 1 0x y m 0x nn 1
0y . Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
2 1 2 1. 1 2 1 0 2 1 1 2 1 2 1 0x x y y x y x y 2 1 1 0x y (v 0x
nn 2 1 2 1 0x y ) 2y x (1).
Phng trnh th hai tng ng vi: 3 33 33 1 3 1 8 3 1 3 1 8 2y y x y y
y x x (*).
Xt hm s 3f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 1 0f t t t nn f t
ng bin trn . Mt khc phng trnh (*) li c dng 3 3 1 2f y f x nn
phng trnh (*) 3 3 1 2y x (2).
Kt hp (1) v (2) ta c h
3
33
222 3 1
8 6 1 32 6 12
y xy xx y
x xx xy x
By gi ta i gii phng trnh (3). Nhn xt rng nu 1x th 3 28 6 8 6 2x
x x x , mu thun vi phng trnh (3). Vy ta phi c 0 1x .
Vi iu kin trn th ta c th t cos 0;2
x t t
. Lc ny (3) tr thnh:
3 31 1 1
8cos 6cos 1 4cos 3cos cos3 22 2 3 3
t t t t t t k k
Vi 0;2
t
th ta tm c cos 2cos
9 9 9t x y
.
Vy nghim ca h l , cos ; 2cos9 9
x y
Bi 157: iu kin 2x + 3y 1 v 3 3 0x y .
Vi iu kin trn th phng trnh th nht ca h ta s dng php nhn lin
hp:
32 3 3 1x y x y (1)
33
2 3 31
2 3 3
x y x y
x y x y
3 32 3 3 2x y x y x x (2).
Ly (2) tr i (1) v theo v ta c: 3 3 3 32 3 2 1 4 3 4 2 2x y x x x
y x x (3).
Ly (1) cng vi (2) v theo v:
3
3
6 4 3 2
2 1 *2 2 3 2 1
4 2 3 4 2 4 4 1
x xx y x x
x y x x x x x
(4).
Bin i phng trnh th hai ca h thnh:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 36
3
2 324 29 4 2 3 2 4 3x x y x x y (5).
Th (3), (4) vo (5) ta c phng trnh:
3
6 4 3 2 2 324 29 4 2 4 4 1 2 4 2 2x x x x x x x x x
4 2 22 8 24 18 0 2 1 3 2 3 0x x x x x x x 1 3x x (tha mn
(*))
+) Nu x = 1, thay vo (4) ta c: 1
4 2 3 43
y y
. Th li thy cp s ny tha mn.
+) Nu x = 3, thay vo (4) ta c: 127
4 3 6 4843
y y . Cp s ny cng l nghim
ca h phng trnh.
Vy h c hai nghim l 1 127
, 1; , 3;3 3
x y
Bi 158: iu kin xc nh x y v 2x .
Vi bi ton ny chng ta s ng dng mnh php nhn lin hp. u tin ta xt:
TH1: 2 2x y x y . Thay vo phng trnh th nht tm c 3x . Vy nhng vi
cp s x = 3, y = 2 li khng tha mn phng trnh th hai, loi. TH2: Vi
2 2x y x y . Thc hin php nhn lin hp phng trnh th nht:
2 22 2 (1) 2 2 (2)
22
x y x yx y x x y x
x y x
Ly (1) tr i (2) v theo v ta c:
2
2
222
2 2 232 2 4 362 4 2
2
yyy
x yx y yx
(3).
Ly (1) cng vi (2) v theo v ta c: 6
2 4 62
yx y x y y
(4).
Th (3) v (4) vo phng trnh th hai ca h:
2 26 2 4 36 44 14 72 100 2y y y y y y y (tha mn). Vi y = 2, thay
tr li (3) ta c 3x . Th li thy , 3;2x y l nghim ca h.
Vy nghim ca h l , 3;2x y Bi 159: iu kin , 0x y .
Vi iu kin ny th phng trnh th nht ca h tng ng: 2
2 3
2
13 2 log
yx x
y
.
Ta thy v phi ca phng trnh ny VP 2 2
2log log 2 1
y
y
nn ta cng phi c v phi
ln hn hoc bng 1, tc l:
2 22 3 3 23 2 1 2 3 1 0 2 1 1 0 1 0 1x x x x x x x x (do x >
0).
Thay tr li phng trnh th nht ta c:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 37
2 2
2
2
1 1log 1 2 1 0 1
y yy y
y y
.
Th li thy 1;1 l nghim ca h.
Vy nghim ca h l , 1;1x y Bi 160: iu kin 2 3 2 , 5 , 2 4x y x y x
y .
Bi ton ny mt ln na li s dng ng dng ca php nhn lin hp. Trc ht, ta
thy rng mun php nhn lin hp c ngha th ta phi c iu kin sau:
2 2 3 2 5 0x y x y . Vy nn ta i xt hai trng hp:
TH1: Nu 2 2 3 2 5x y x y . Kt hp vi phng trnh th nht ca h ta
c:
4298172 32 2 3 2
16162
7 313295
2 164
xx yx y
x y yx y
, khng tha mn 2 4x y , loi.
TH2: Nu 2 2 3 2 5 0x y x y . Lc ny ta thc hin nhn lin hp:
2 2 3 2 5 7x y x y (1)
4 2 3 2 5 9 13 137 2 2 3 2 5
72 2 3 2 5
x y x y x yx y x y
x y x y
(2).
Ly (1) tr i (2) v theo v ri rt gn ta c: 62 9 13
514
x yx y
(*).
Phng trnh th hai ca h:
3 5 2 2 4 1x y x y (3)
9 5 4 2 41 3 5 2 2 4 17 13 61
3 5 2 2 4
x y x yx y x y x y
x y x y
(4).
Ly (4) cng vi (3) v theo v v rt gn ta c: 17 13 62
56
x yx y
(**).
T (*) v (**) ta suy ra 62 9 13 17 13 62 62 23
14 6 13
x y x y xy
.
Thay vo (3) ta c phng trnh n x nh sau:
3 10 3 10
3 . 2. 1 3 10 3 2 3 10 1313 13
x xx x
9 10 3 4 3 10 13 4 13 3 10 39 13 2 13 3 10x x x x x
2 2
39 13 0 3 11 3
117 90 27 039 13 4.13. 3 10
x xx y
x xx x
.
Th li thy x = 1 v y = 3 tha mn h.
Vy nghim ca h l , 1;3x y Bi 161: iu kin , 0x y v 2 2x y .
Phng trnh th nht ca h vit li thnh:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 38
4 4 2 2 1 15 5
1 log logx y x y x y
(*).
+) Nu 0x y th suy ra
4 4
1 1
5 5
log log
x y
x y
VT(*) > 0, VP(*) < 0, khng tha mn.
+) Nu 0y x , tng t trn ta cng c iu mu thun.
+) Thy rng x = y tha mn (*) (lc ny VT = VP = 0). Vy, (*) tng ng
vi x = y. Thay vo phng trnh th hai ta c:
2 1 1 2 2 1 2 1 2 2x x x x x x x (**).
Xt hm s 2f t t t trn 0; . Hm s c o hm ' 2 1 0 0;f t t t nn f t
ng bin trn 0; . Mt
khc phng trnh (**) c dng 2 1 2f x f x nn n tng ng vi: 2 1 2 2 1
2 1 1x x x x x y .
Vy h c nghim duy nht l , 1;1x y
Bi 162: iu kin 5
, 04
x y .
Phng trnh th nht ca h tng ng vi: 22 332012 ln 2012 ln
y yx x x y (*).
Xt hm s 2 32012 lnt tf t t trn 0; .
Hm s c o hm: 2 3 1' 2 3 .2012 .ln 2012 0 0t tf t t t
t
. Vy nn f t ng
bin trn 0; . Mt khc (*) c dng 5
4f x f y x y .
Thay vo phng trnh th hai ca h ta c:
2
2 22 5 4 5 4 2 5 4 5 4 0x x x x x x x x
5 4 2 5 4 0 5 4 0x x x x x x (do 2 5 4 0x x ) 2
1 15 4 5 4 0
4 4
x yx x x x
x y
Vy h c hai nghim l , 1;1 , 4;4x y Bi 163: iu kin 1x y v 3 2x y
.
Bin i h phng trnh thnh: (I)
1 1 2 3 2 16
3 2 3 2 2 1 16
x y x y x y
x y x y x y
Tr v theo v hai phng trnh ta c:
1 1 3 2 1 2 3 2 2 1 0x y x y x y x y x y x y
1 1 2 3 2 3 2 2x y x y x y x y (*) Nhn thy rng nu 1 0x y th thay
vo (I) ta c:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 39
32 3 2 16 3 2 8
3 2 4 43 2 3 2 16
x y x y
x yx y x y
, mu thun.
Suy ra 1 0x y . Tng t ta cng c 3 2 0x y . Tip tc nh gi. Ta
c:
+) Nu 1 4 1 2 0x y x y v 1 1 8x y x y .
Kt hp vi (*) ta c 3 2 2 0 2 3 2 8x y x y .
Nh vy ta c 1 1 2 3 2 8 8 16x y x y x y , mu thun phng trnh th
nht ca h, loi. +) Nu 0 1 4x y , tng t trn ta cng c iu mu thun.
+) Vi 1 4x y th thay vo h (I) ta tm c 3 2 4x y . Tip tc gii h bc
nht hai
n ta tm c 1
2x v
9
2y .
Vy nghim ca h l 1 9
, ;2 2
x y
Bi 164: Khng kh nhn ra y l mt h ng cp.
lm bi ton gn hn ta t n ph 2a x xy v 2 2b y 2b th h tr thnh:
4 4 4
44 4
33
1781 17. *
a bxa b x
a b xa b a b
By gi ta i gii quyt phng trnh (*) v n l mt phng trnh ng cp vi a
, b.
(*) 44
44 4
481 17 0 81 1 17 1 0
a aa b a b
b b
(do b > 2)
t a
tb
th phng trnh trn tr thnh:
44 4 3 281 1 17 1 0 64 68 102 68 64 0t t t t t t
2 12 2 1 32 46 32 0 22
t t t t t t (d thy 232 46 32t t > 0).
+) Nu t = 2 th 2 22 2x xy y . Kt hp vi mt phng trnh ca h ta
c:
2 22 2 2 2
222 2
2 22 2 2 0 2
223 2 32 3
x xy yx xy y x y x y
x yx xy xy xx xy y x
2
2 2 3
0 12 2
x y x x
y yy y
+) Nu 1
2t th 2 22 2y x xy . Kt hp vi mt phng trnh trong h ban u ta
c:
22 2
222 2
2 2 12 2
2 23 32 3
y x x y x yy x xy
y x x yx xy xx xy y x
(d thy x khc 0)
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 40
2
1 1 3
0 22 2 2
x y x x
y yy y
Vy h c 4 nghim l , 1;0 , 2;0 , 3; 1 , 3; 2x y Bi 165: iu kin 2
1x y v 3 1x y .
Cng cho hai v ca hai phng trnh trong h ta c:
2 1 2 1 5 5 3 3 1 3 1 8 9x y x y x y x y x y x y
2 1 2 1 6 3 1 3 1 3 9x y x y y x y x y x
2 1 2 1 3 2 1 3 1 3 1 3 3 1x y x y x y x y x y x y (*)
Xt hm s 3 23f t t t trn 0; . Hm s c o hm 2' 3 6 0f t t t vi mi
0;t nn hm s f t ng bin trn
0; . Mt khc (*) c dng 2 1 3 1f x y f x y 2 1 3 1x y x y . Vit li
phng trnh th nht ca h:
2 1 2 1 4 2 1 3 1 4x y x y x y x y
2 1 2 1 3 2 1 4x y x y x y (**).
Phng trnh (**) li c dng 2 1 4f x y vi f t ng bin trn 0; , m ta
li
c 1 4f nn (**)
2
2 1 1 52 1 1 3 1
3 1 1 6
5
xx y
x y x yx y
y
Vy nghim ca h l 2 6
, ;5 5
x y
Bi 166: iu kin 2y v 2 1 0x .
Bin i phng trnh th nht ca h thnh: 22 4 1 1 2x x y y (*). Xt hm s
2 1f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 1 0f t t nn hm s ng bin trn .
Mt khc (*) li c dng 20
2 2 2 24 2
xf x f y x y
y x
Thay vo phng trnh th hai ta c: 24 2 1 1x x (**).
Ta thy rng vi 0x th v tri ca (**) ln hn hoc bng 1, v du ng thc
xy ra khi 0 2x y .
Vy h c nghim duy nht , 0;2x y
Bi 167: iu kin 0x y v 2 4 0x xy . u tin, ta nn x l phng trnh th
hai
ca h. t 2a x xy th phng trnh th hai ca h tr thnh:
2
2
4 524 52 45 45
4 52
aa a a x xy
a a
(*).
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 41
D thy rng phng trnh th nht ca h l phng trnh mt n, v hn na n cn l
phng trnh ng cp. C th dng cch quy ng x l phng trnh th nht.
t 2 2
2 20
x x yt t
x x y
th phng trnh th nht tr thnh:
21 17 14 17 4 0 44 4
t t t t tt
.
+) Nu 2 2 2 2 2 2
2 2 2
04 4 5 3
25 9
xt x x y x x y x y x
x y x
2 2
00
416 25
5
xx
xyx y
Kt hp vi phng trnh (*) ca h ta c:
2 2 2
0 0 0
5 154 4 4
4 125 5 5
45 945 45
5 5
x x x
x xx x xy y y
y y
x xy x x
+) Nu 2 2 2 2 2 2
2 2 2
014 5 3
25 94
xt x x y x x y x y x
x y x
Gii tng t trn ta c hai nghim l 5
4
x
y
v
15
12
x
y
.
Vy nghim ca h l , 5;4 , 5; 4 , 15; 12 , 15;12x y Bi 168: Phng
trnh th nht ch l mt bin dng ca mt dng rt quen thuc m ta tng lm qua
nhiu. Vi iu kin 0y th phng trnh th nht tng ng:
2 16
2 16 4 02
x yx y x y
x y
4 2 4
2 4 2 4 02
xy x yx y x y
x y
4
2 4 2 4 02
x yx y x y
x y
22 4 0 1
4 8 4 0 2
x y
x y x y
By gi ta phi tm cch chng minh (2) khng xy ra. Nh vy th nu ta
chng minh x > 0 l tha thy (2) v l.
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 42
(2) 2 24
yy x x . Thay vo phng trnh th hai ta c:
3 2 3 23
32 3 3 . 3 6 12 4
4
yx x x x x (*)
Xt hm s 3 23 6 12f x x x x trn ;0 . o hm 2' 3 6 6f x x x .
Ta c ' 0 1 3f t x . Ch c nghim 1 3 ;0x . y cng chnh l im cc i ca
hm s trn ;0 .
Vy 3 23 6 12 1 3 6 3 20 0f x x x x f . Kt hp vi 0y , ta suy ra
vi x khng dng th VT(*) < 0, khng tha mn 0x . Li thy vi x > 0
th VT(2) > 0 (do 0y ). Vy (2) khng th xy ra.
Rt cuc phng trnh th nht tng ng: 2 4 0 4 2 2x y y x x .
Thay vo phng trnh th hai ta c:
3 2 3 3 3 3 23 32 3 3. 6 4 6 3. 6 3 6 4x x x x x x x x x x x
33 336 3. 6 1 3 1x x x x x x (**). Xt hm s 3 3g t t t trn . D
thy rng khi t tng th g t tng nn g t ng bin.
Mt khc (**) c dng 3 33 36 1 6 1g x x g x x x x (***). (***) 33 3
26 1 2 3 3 1 0x x x x x x (3). Ta gii phng trnh ny trn 0;2 . Dng my
tnh bm nghim thy rng n ch c duy nht mt nghim thc > 2 nn ta s
chng minh (3) v nghim trn 0;2 . Xt hm s 3 22 3 3 1h x x x x trn 0;2
.
o hm: 2' 6 6 3h x x x . Ta c: 1 3
' 02
h x x
. Ch c 1 3
0;22
x
.
Li c 1 3 6 3 3
0 1 0, 02 2
h h
v 2 3 0h chng t 0h x , tc l
(3) v nghim.
Vy h phng trnh cho v nghim
Bi 169: Nhn nhn thy bc v tri ca phng trnh th nht l 2, ca v phi
phng trnh
th nht l 1
2, ca v tri phng trnh th hai l
3
2 v bc ca v phi phng trnh th hai l
bc 0 nn ta ngh n vic gii h theo kiu ng cp. iu kin 0x y v x y
.
bi ton tr trn n gin v gn gng, ta t 2
x ya
v , 0
2
x yb a b
. Suy ra
2 2x a b v 2 2y a b .
Lc ny h cho tr thnh:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 43
2 2 2 2 2 23 3
4 2. 2 24
9
a b a b a b a b a b
a b
2 23 3
2 12
9
a b a b a b ab
a b
(t phng trnh th hai d thy a + b > 0)
3 2 2 3 3 33 2 2 33 3 3 3
9 2 2 122 2 12
9 9
a a b ab b a ba a b ab b
a b a b
3 33 3
2 23 2 2
99
3 2 2 5 06 9 9 30 0
a ba b
a b a ab ba a b a b
2 2
3 3 3 3
2 0 2 5 0I II
9 9
a b a ab b
a b a b
D thy c h (II) v nghim do
2 22 2 92 5 0 2 0 0
4 2
b ba ab b a a b
,
khng tha mn 3 3 9a b .
Gii h 2 5
(I)1 3
a x
b y
Vy nghim ca h l , 5;3x y
Bi 170: iu kin 2 2 0x y .
H ny kh th v. Vi nhn xt rng 3
5 v
4
5 c tng bnh phng l 1 (ci ny hay gp trong
gii phng trnh lng gic m!) nn ta c bnh phng n ln xem sao. H cho
ta bin i thnh h phng trnh h qu sau:
22 2
2 22 2 2 2 2 2
2 222 2 2 22 2
22 2
1 9
25 1 11
1 16
25
x y
x y x y y x
x y x yy x
x y
2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 4 2 2
2 2 22 2 2 2 2 2
2 21 1
x y x y x y x x y y x y y x x y
x y x y x y
2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2
2 2 22 2
11 1 1
x y x y x y x yx y x y
x yx y
2 2 2 2 2 2 21 0 1 1 0 1 0 1x y x y x y y y . (t h cho d thy rng
21 0x ).
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 44
+) Nu y = 1, thay vo h ban u ta c: 22
2 2
2
2 3
3 10 3 01 53
1 4 9 0
1 5
x
x xxx
x x
x
.
+) Nu y = 1, thay vo h ban u: 22
2 2
2
2 3
3 10 3 0 11 5
31 4 1 9 0
1 5
x
x xxx
x x
x
.
Nh vy h cho c hai nghim l 1
, 3;1 , ; 13
x y
Cch gii khc: T h ta c xy khc 0.
Nhn hai v phng trnh th nht vi x : 2 22 2
1 3
5
x y x
x y
(1).
Nhn hai v phng trnh th hai vi y : 2 22 2
1 4
5
y x y
x y
(2).
Ly (1) tr i (2) v theo v ta c: 2 2 2 22 2 2 2
1 1 3 4 3 40
5 5 5 5
x y y x x y x y
x y x y
.
n y th cng vic kh d dng! Bi 171: iu kin 0x y , 3 2 0x y v 1x
.
C th nhn thy ngay phng trnh th nht ca h l phng trnh n t = x + y.
Ta s dng
php nhn lin hp gii quyt phng trnh ny. Vi vic nhm nghim 1
2x y th ta s
nhm cc s hng phng trnh th nht ca h nh sau:
24 1 3 1 0x y x y x y
2 2 12 2 1 2 2 1 0
3 1
x yx y x y
x y x y
12 2 1 2 2 1 0 2 2 1
3 1x y x y x y
x y x y
.
(d thy vi x + y khng m th biu thc trong du ngoc vung lun dng)
Thay vo phng trnh th hai ca h ta c:
2
4 2 22log 1 log 1 4 log 1 log 1 4x x x x (do 1x )
221 2 5
log 1 2 1 2 32 2
xx x x y
Vy nghim ca h l 5
, 3;2
x y
Bi 172: iu kin 0x . Phng trnh th hai ca h tng ng vi:
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 45
33 23 26 12 8 8 2 2 2 2 2 4y y y x x y x y x y x .
Th vo phng trnh th nht ta c:
2 23 34 12 3 80 144. 3 3 20 36.x x x x x x (*) Nhn thy rng nu lp
phng hai v ca (*) th s c mt phng trnh bc rt cao (bc 9). Nu chuyn v
ri o hm th cng khng kh thi do ta khng nh gi c o hm dng (hay m) hon
ton. V vy vic nhm nghim x = 1 nhn lin hp s pht huy hiu qu hn c
trong trng hp ny.
(*) 2 3 23 33 3 16 36 1 3 3 7 36 1x x x x x x x
2 22 23 33 3
36 1 361 4 7 1 4 7 0
1 1
xx x x x x x
x x x x
2 23 3
1
4 7 1 36 **
x
x x x x
Vic ca chng ta l i x l (**). Cng vic cng kh n gin, vi 0x th ta
thy khi x tng
th hm s 2 23 34 7 1f x x x x x cng tng, do (**) c nhiu nht mt
nghim. Ta thy x = 1 l mt nghim ca (**), v cng l nghim duy nht ca
(**). Nh vy vic gi phng trnh n x cho ta x = 1, suy ra y = 4.
Vy h c nghim duy nht , 1;1x y
Bi 173: iu kin , 0x y v 2 0xy x y xy . Cng t vic nhn xt phng
trnh th nht c cha qu nhiu du cn nn ta ngh ngay n
vic s dng php nhn lin hp x y v 2xy x y xy y
, nhng iu
kin cha (phi c 0x y ) nn ta phi xt thm trng hp y = 0.
Vi y = 0, thay vo h ta c 22
02 0
1 41 4
xx x
x x xx x x
, r rng mu thun.
Vy y khc 0. By gi ta hon ton c th thc hin php nhn lin hp:
2 2 0xy x y xy x y y xy x y xy y x y
2 20
2
xy y x y xy x y
x yxy x y xy y
20
2
x y y xy x y
x yxy x y xy y
.
2 1
0
2
x y
y xy
x yxy x y xy y
+) Nu x = y, thay vo phng trnh th hai ta c:
2 2 2 3 21 4 1 3 4 2 3 4 0x x x x x x x x x x x
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 46
21 4 0 1x x x x (tha) 1 172
x
(tha) 1 17
2x
(loi).
Vy trng hp ny h c hai nghim l 1;1 v 1 17 1 17
;2 2
.
+) Ta s i chng minh
2 10 *
2
y xy
x yxy x y xy y
khng xy ra.
Tht vy, phng trnh th hai tng ng vi: 24
1y xy x x
x
.
Xt hm s 24
1f x x x
x
trn 0; .
o hm
2 2
2 2 2
1 2 5 52 1 1 44' 2 1
1 1 1
x x xx xf x x
x x x
.
Ta c: 2' 0 1 2 5 5 0 1f x x x x x . Qua im x = 1, 'f x i du t m
sang dng nn x = 1 l im cc tiu ca th hm s
f x . Tc l vi 0;x , ta c 1 2 2 2 0f x f y xy y xy .
Nh vy, ta c
2
0
2
y xy
xy x y xy y
m
10
x y
nn (*) khng xy ra.
Vy h c hai nghim l 1 17 1 17
, 1;1 , ;2 2
x y
Bi 174: iu kin 2
5 ,3
x y v 3y x .
t 3a y x v 1 0, 0b y a b th 2 23 3 1 3 3b a y y x x nn phng trnh
th nht tr thnh:
2 2 2 23 2 2 3 0 3 0 0b a ab a ab b a b a b a b a b . (d thy vi
b dng th a + b > 0)
Nh vy 3 1 2 1a b y x y x y .
Thay vo phng trnh th hai ta c: 23 2 2 2 3 2y y y y (*).
Nhn thy (*) c nghim y = 2 nn ta s s dng php nhn lin hp x l (*)
nh sau:
(*) 2 4 2
2 2 1 2 2 1 03 2 2 3 2 2
yy y y y
y y y y
2
2 1 3 2 2 2
y
y y y
+) Nu y = 2 suy ra x = 3.
+) Vi 2
3y th r rng 2 2 14 62 1 3 2 2 2. 1 . 2 2
3 3 9y y y
.
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 47
Nh vy, h c nghim duy nht l , 3;2x y Bi 175: iu kin 1 x , 1 y v
0xy .
T phng trnh th nht nhn xt rng 0x , t suy ra x , y 0;1 0 1xy . Ta
thy phng trnh th hai c dng c bit m ta tng gp. Ta s dng bt ng thc rt
ra x = y nh sau:
2
2 21 1 1 1 1 11 1 21 1 1 11 1 x y x yx y
(*)
n y ta s chng minh: 1 1 4
2 11 1 1x y xy
(vi 0 1xy ).
Tht vy
2 21 1 2 2 1 11 1 1
x yxy x y x y
x y xy
2 2 2 2 2 2x y xy x y xy x y xy
2 2
2 2 0 0x y xy xy xy x y x y xy x y .
2
1 0x y xy , iu ny ng do 2
0x y v 0 1xy .
Vy, 1 ng. Kt hp vi (*) suy ra 2
1 1 4
1 1 1x y xy
.
Ly cn hai v ta c :1 1 2
1 1 1x y xy
.
Du ng thc xy ra 1xy
x yx y
(do 0 < x , y 1).
Vy phng trnh th hai ca h tng ng vi 0x y , 1x . Thay vo phng trnh
th
nht ta c: 2 21 1 1 2 1x x x (**). S kh phc tp nu ta bnh phng kh
cn v t n ph 21a x cho phng trnh va nhn c. Nhng nu c mt vn kha kh
gii phng trnh v t th s nhn thy bi ton ny s n gin nu dng php lng gic
ha.
Vi iu kin 0 1x , ta t 2 2sin 0; 1 cos cos2
x t t x t t
(do 0;2
t
nn cost > 0). Lc ny phng trnh (**) tr thnh:
23
1 cos sin 1 2cos 2cos sin sin2 2 cos 2.sin .cos2 2 2 2
t t t tt t t t t
3 2cos 0 sin
2 2 2
t t
4
2 46 2 3
kt k t k t k
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 48
Vi 0;2
t
, ta tm c hai nghim tha mn l
1
2
1sin
6 6 2
sin 12 2
t x y
t x y
Vy h c hai nghim tha mn l 1 1
, 1;1 , ;2 2
x y
Lu : giai on bin i 1xy
x yx y
, y c mt cht rt gn. Bin i y ca
n l 1 1xy x y
x yx y
. n y c th thy x = y = 1 l nghim ca h.
C th gii phng trnh bng cch bnh phng: 2
2 2 21 1 1 2 1x x x .
t 21 0 1a x a th phng trnh trn tr thnh:
22 4 3 2 21 1 1 2 4 4 3 3 0 1 4 3 0a a a a a a a a a a . T y cng
d dng tm c nghim ca phng trnh. Bi 176: iu kin 1y v 1x .
Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
2
2
5 5
25 21
212 551
42
x x
y x
y x xy x
Th vo phng trnh th hai ta c:
2 221 35 2 3 1 5 6 2 3 1 04 4
x x x x x x x x
3 2 2 3 1 0 3 2 2 1 0x x x x x x x (*)
Vi 5
2x th 2 0 2 2 1 0x x x . Nh vy (*) 3x (tha mn)
3
4y
.
Vy h c nghim duy nht 3
, 3;4
x y
Bi 177: Cc biu thc trong cn u dng. Cng hai phng trnh ca h v theo
v ta c:
2 2 2 2 23 4 2 3 3 2 6 3 1 3 7 7 2y x y x y y x x x
2 2 2 2 2 23 2 6 3 3 2 6 3 7 7 7 7y y x y y x x x (*). Xt hm s
2f t t t trn 0; . Hm s c o hm ' 2 1 0 0;f t t t nn f t ng bin trn
0; .
Mt khc (*) c dng 2 2 23 2 6 3 7 7f y y x f x nn (*)
2 2 2 2 23 2 6 3 7 7 3 4 2 1 0y y x x y x y .
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 49
Kt hp vi phng trnh th hai ca h ta c:
2 2
2 22 2
3 2 03 4 2 1 0
3 4 2 1 03 4 3 3 1 0
y xy x y
y x yy x y x
2 22
3 2 3 2
23 30 7 03 3 2 4 2 3 2 1 0
y x y x
x xx x x
1
1
x
y
(tha mn iu kin)
7
23
25
23
x
y
(tha mn)
Vy h c hai nghim l 7 25
, 1; 1 , ;23 23
x y
Bi 178: iu kin 0y v 4 3x .
Vi bi nh trn th ta ch nh c phng trnh th hai trc:
23 3 5 3 2 3 10 3 15 0y y x x y y xy x 5 2 3 5 0 5 3 2 0y y x y
y y x
3 2 0y x (do y + 5 > 0) 2
3
yx
. T y cn suy ra
17
4y do
3
4x .
Th vo phng trnh th nht ca h ta c: 24 17
2 11 173 3
yy y y (*).
Nhn thy rng phng trnh (*) s tr nn rt phc tp nu ta bnh phng loi b
du cn. Vy nn ta ngh ngay n vic nhn lin hp (v n cha n hai du cn). Th
lin hp hai s hng cha cn ny ta thy ngay c nhn t chung, v vy ta lm nh
sau:
(*) 24 17
2 11 17 03 3
yy y y
2
4 17
3 32 11 17 0
4 17
3 3
yy
y yy
y
21
17 2 11 0 17 0 17 53 12 51
y y y y xy y
.
(d thy vi 17
4y th biu thc trong du ngoc vung lun dng).
Vy nghim duy nht ca h l , 5;7x y Bi 179: iu kin 0, 0x y .
Vi iu kin trn ta c nh gi sau:
+) Nu x > y > 0 th
3 3
3 3
227 227227 227 0
log loglog log 134 4 0
134 4 0
x y
x y
y xy x xy
xy
, iu ny mu thun
phng trnh th hai ca h nn loi. +) Tng t vi trng hp y > x >
0, ta cng loi.
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 50
Thy rng vi x = y th tha mn phng trnh th hai. Vy phng trnh th hai
ca h tng ng vi x = y > 0.
Thay vo phng trnh th nht ta c: 2 23 1 9 6 2 1 4 16 1x x x x x x
.
2 23 1 3 1 1 3 1 4 16 1 4x x x x x x (*).
Xt hm s 2 1f t t t t trn 0; . Hm s c o hm:
22
' 1 1 01
tf t t
t
vi mi 0;t nn f t ng bin trn 0; .
Mt khc (*) c dng 3 1 4 3 1 4 1f x f x x x x (tha mn) 1y .
Vy h c duy nht mt nghim l , 1;1x y Bi 180: iu kin 1 3y .
Phng trnh th nht ca h tng ng vi: 332 2 1 1y y x x (*).
Xt hm s 32f t t t trn . Hm s c o hm 2' 6 1 0f t t t nn hm s ng
bin trn . Mt khc (*) li c dng 1 1f y f x y x . Thay vo phng trnh th
hai ta c:
2
292 3 1 2 2 4 4 2 2 2 4 9 164
xx x x x x
22 2
16 2 4 2 4 16 2 2 4 9 16
x
x x x x x
2 22 22 22 2
9 32 8 2 8 2 0 (**)9 8 32 16 8 2 0
xx
x x xx x x
+) Nu 2 2 22 2 4 8 2 9 32 4 22 8 2 0 2 8 2
32 02 0
x x xx x x x x
xx
.
Thay vo (**) thy khng tha mn.
+) Nu 24 2
2 8 2 03
x x x
, lc ny ta c th thc hin php nhn lin hp:
(*)
2
2 2
2 2
8 9 32 89 32 0 9 32 1 0
2 8 2 2 8 2
xx x
x x x x
2
2
9 32 0 (1)
2 8 2 8 0 (2)
x
x x
Gii (1) ta c 4 2 3 4 2
13 3
x y x
(loi 4 2
3x
).
Vi 2 2x th x + 8 > 0 nn 22 8 2 8 0x x , v vy (2) khng th xy
ra.
Vy nghim ca h l 4 2 3 4 2
, ;3 3
x y
-
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 51
Ch : Vi nhng ai khng cn thn nu khng xt trng hp 22 8 2 0x x th s
rt d