HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH - An Giang University

Chương 1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài tập 1.1 Đưa các ma trận sau về dang bậc thang:

A =

1 −3 23 −4 12 −5 3

B =

2 5 61 2 51 3 2

C =

−4 1 −61 2 −56 3 −4

D =

1 2 −3 02 4 −2 23 6 −4 3

E =

2 −2 2 1−3 6 0 −11 −7 10 2

Bài tập 1.2 Đưa các ma trận sau về dang bậc thang rút gọn:

A =

2 2 −1 6 44 4 1 10 136 6 0 20 19

B =

2 3 −2 5 13 −1 2 0 44 −5 6 −5 7

C =

1 −2 3 1 21 1 4 −1 32 5 9 −2 8

D =

1 3 −1 20 11 −5 32 −5 3 14 1 1 5

E =

1 2 −1 2 12 4 1 −2 33 6 2 −6 5

F =

0 1 3 −20 4 −1 30 0 1 10 5 −3 4

Bài tập 1.3 Xác định hạng của ma trận sau:

A =

3 5 71 2 31 3 5

B =

1 1 32 1 41 2 5

C =

1 1 −3−1 0 2−3 5 0

D =

1 2 3 42 4 6 83 6 9 12

E =

4 3 2 20 2 1 10 0 3 3

F =

1 2 3 62 3 1 63 1 2 6

G =

1 −1 5 −121 1 −2 33 −1 8 11 3 −9 7

H =

1 3 −2 −12 5 −2 11 1 6 13

−2 −6 8 10

Bài tập 1.4 Xác định sự tồn tại nghiệm của mỗi hệ sau:

1

2 Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

a.

x1 + 2x2 − 3x3 = −52x1 + 4x2 − 6x3 + x4 = −86x1 + 13x2 − 17x3 + 4x4 = −21

b.

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 73x1 + 2x2 + x3 + x4 − 3x5 = −2

x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 235x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 − x5 = 12

c.

x1 − 6x2 = 5x2 − 4x3 + x4 = 0

−x1 + 6x2 + x3 + 5x4 = 3− x2 + 5x3 + 4x4 = 0

d.

2x2 − 2x3 + 2x5 = 2x1 + 2x2 − 3x3 + x4 + 4x5 = 12x1 + 5x2 − 7x3 + 3x4 + 10x5 = 52x1 + 4x2 − 5x3 + 3x4 + 8x5 = 3

Bài tập 1.5 Biện luận các hệ phương trình cho bởi ma trận đầy đủ sau đây theo thamsố a, b, c, d.

a.

2 4 −3 60 b 7 20 0 a a

b.

1 −1 4 −2 50 1 2 3 40 0 d 5 70 0 0 cd c

Bài tập 1.6 Viết ra nghiệm của hệ có ma trận đầy đủ tương đương hàng với mỗi matrận sau:

a. A =

1 −2 0 0 7 −30 1 0 0 −3 10 0 0 1 5 −40 0 0 0 0 0

b. B =

1 0 −5 0 −8 30 1 4 −1 0 60 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0

c. C =

1 0 −2 0 0 00 1 6 −3 −2 70 0 0 1 0 −50 0 0 0 1 0

d. D =

1 0 0 8 −30 1 0 4 −60 0 1 −7 50 0 0 0 0

Bài tập 1.7 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

a.

2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 63x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 49x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 14

e.

x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 42x1 + 3x2 + 3x3 − x4 = 35x1 + 7x2 + 4x3 + x4 = 5

b.

2x1 + 5x2 + x3 + 3x4 = 24x1 + 6x2 + 3x3 + 5x4 = 44x1 + 14x2 + x3 + 7x4 = 42x1 − 3x2 + 3x3 + 3x4 = 7

f.

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 52x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 13x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 14x1‘ + 3x2 + 2x3 + x4 = −5

3

c.

2x1 + x2 − x3 + x4 = 03x1 − 2x2 + 2x3 − 3x4 = 25x1 + x2 − x3 + 2x4 = −22x1 − x2 + x3 − 3x4 = 4

g.

x1 + 2x2 + 3x3 = 143x1 + 2x2 + x3 = 10x1 + x2 + x3 = 62x1 + 3x2 − x3 = 5x1 + x2 = 3

d.

−x1 + x2 + x3 + x4 = 42x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 15x1 + 3x2 + 3x3 + 5x4 = 24x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = −5

h.

2x1 + x2 + x3 = 2x1 + 3x2 + x3 = 5x1 + x2 + 5x3 = −72x1 + 3x2 − 3x3 = 14

Bài tập 1.8 Biện luận theo a, b, c, d số nghiệm của hệ phương trình

a.

ax1 + x2 + x3 + x4 = 1x1 + ax2 + x3 + x4 = ax1 + x2 + ax3 + x4 = b

b.

x + 2y + 2z = a2x − y + z = b3x + y − z = cx − 3y + 5z = d

Bài tập 1.9 Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm:

x1 − 2x2 + x3 + x4 = 12x1 + x2 − x3 + 2x4 = 0x1 − x2 + 2x3 − 3x4 = −24x1 − 2x2 + 2x3 = m

Bài tập 1.10 Giải các hệ thuần nhất sau:

a.

x1 + 2x2 − 3x3 = 02x1 + 5x2 − 2x3 = 03x1 − x2 − 4x3 = 0

b.

3x1 − 2x2 − 5x3 + x4 = 02x1 − 3x2 + x3 + 5x4 = 0x1 + 2x2 − 4x4 = 0x1 − x2 − 4x3 + 9x4 = 0

c.

x1 + 2x2 − x3 = 02x1 + 5x2 + 2x3 = 0x1 + 4x2 + 7x3 = 0x1 + 3x2 + 3x3 = 0

d.

x1 − 2x2 + 3x3 − 2x4 = 03x1 − 7x2 − 2x3 + 4x4 = 04x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 = 0

4 Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Chương 2

MA TRẬN

Bài tập 2.1 Thực hiện các phép tính:

a. A +B với A =

[

1 2 34 5 6

]

và B =

[

1 −1 20 3 −5

]

b. 3A và −5A với A =

[

1 −2 34 5 −6

]

c. 2A− 3B với A =

[

1 −2 34 5 −6

]

và B =

[

3 0 2−7 1 8

]

d. 5A− 2B; 2A+ 3B;A(BC); (AB)C;AT ;BT ;ATBT ;A2;AC biết

A =

[

1 23 −4

]

; B =

[

5 0−6 7

]

; C =

[

1 −3 42 6 −5

]

e. AAT và ATA biết A =

[

1 2 03 −1 4

]

Bài tập 2.2 Tìm x, y, z, w biết: 3[

x yz w

]

=

[

x 6−1 2w

]

+

[

4 x+ yz + w 3

]

Bài tập 2.3 Cho A =

[

1 23 6

]

tìm ma trận B ∈ M2×3 sao cho AB = 0

Bài tập 2.4 Cho các ma trận

A =

1 −3 04 5 13 8 0

, B =

1 1 −23 0 4

−1 3 2

, C =

2 0 −24 7 −51 0 −1

Gọi D = [dij] = 2AB+C2 không tính toàn bộ ma trận D mà hãy tính cụ thể mỗi phần tử:

a. d11b. d21c. d32

5

6 Chương 2. MA TRẬN


[

1 5−1 3

]

;B =

[

−1 3 43 5 2

]

;C =

1 41 34 −3

;D =

4 3 2 1−1 0 1 22 1 0 3

a. Hãy tính các tích sau đây hoặc giải thích tại sao chúng không tồn tại:

AB;BA;AC;DC;CD;CTD

b. Kiểm tra rằng A(BC) = (AB)C và (AB)T = BTAT .

c. Không thực hiện phép tính, hãy tìm DTC

Bài tập 2.6

Cho A =

3 3 −50 −1 −1

−2 −4 −4

và x =

3−1−4

, y =

−604

, z =

1539

a. Tính các tích Ax,Ay,Az

b. Dùng kết quả câu a) để tính tích A[

x y z]

Bài tập 2.7 Tìm ma trận nghịch đảo của mỗi ma trận sau:

A =

1 3 −22 8 −31 7 1

; B =

2 1 −15 2 −30 2 1

; C =

1 −2 02 −3 11 1 5

D =

1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1

; E =

1 2 1 00 1 −1 11 3 1 −21 4 −2 4

; F =

2 1 0 03 2 0 01 1 3 42 −1 2 3

Bài tập 2.8 Tìm ma trận nghịch đảo của A =

[

a bc d

]

Ứng dụng: A =

[

3 52 3

]

; B =

[

1 12 3

]

.


−1 −5 −72 5 61 3 4

là ma trận khả nghịch.

Không tìm toàn bộ ma trận A−1 chỉ tìm

a. c3(A−1)

b. đồng thời hai cột, c1(A−1) và c2(A−1)

c. h2(A−1), từ đó suy ra giá trị x2 của hệ A

x1

x2

x3

=

211

7

Bài tập 2.10 Tìm điều kiện của tham số để các ma trận sau khả nghịch, sau đó tìm matrận nghịch đảo tương ứng của nó:

a.

1 −3 23 −7 m+ 5

−m 2m 1

; b.A =

1 0 p1 1 02 1 1

Bài tập 2.11 Cho ma trận B =

2 −1 10 1 11 −1 −1

. Hãy tìm B−1, từ đó giải hệ phương

trình Bx = d với i)d =

23

−1

, ii)d = 3

23

−1

, iii)d =

4−23

Bài tập 2.12 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp ma trận nghịch đảo:

a.

x1 + x2 − 3x3 = −2x1 + 2x2 − 3x3 = 62x1 + 4x2 − 5x3 = −6

b.

x1 + x2 + x3 + x4 = 1x1 + x2 − x3 − x4 = 1x1 − x2 = −1

x3 − x4 = −1

c.

x1 + x2 + x3 + x4 = −1x1 + x2 − x3 − x4 = 1x1 − x2 + x3 − x4 = −1x1 − x2 − x3 + x4 = 1

Bài tập 2.13 Giải các phương trình ma trận sau đây:

a.[

1 23 4

]

.X =

[

3 55 9

]

b. X.

[

3 −25 −4

]

=

[

−1 2−5 6

]

c.[

3 −15 −2

]

.X.

[

5 67 8

]

=

[

14 169 10

]

d.

1 2 −33 2 −42 −1 0

.X =

1 −3 010 2 710 7 8

e. X.

13 −8 −1212 −7 −126 −4 −5

=

1 2 34 5 67 8 9

8 Chương 2. MA TRẬN

Chương 3

ĐỊNH THỨC

Bài tập 3.1 Không khai triển, hãy sử dụng tính chất để tính định thức của mỗi ma trậnsau:

A =

0 1 5 12 −1 1 −10 1 0 13 −2 4 −2

; B =

1 3 0 5 70 3 1 2 30 0 4 1 00 0 0 −1 80 0 0 0 3

; C =

1 2 1 −52 4 0 13 0 1 61 2 1 −5

D =

1 3 4 −5 73 3 1 2 02 −1 4 0 05 3 0 0 0

−2 0 0 0 0

Bài tập 3.2 Tính các định thức sau bằng cách khai triển theo hàng hay theo cột đượcchọn một cách hợp lí nhất:

D1 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 3 23 0 19 6 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

;D2 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

8 1 64 0 23 −2 5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

;D3 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −2 5 20 0 3 05 0 4 42 −6 −7 5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

;D4 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

6 3 2 4 09 0 −4 1 08 −5 6 7 13 0 0 0 04 2 3 2 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Bài tập 3.3 Viết ra ma trận phụ hợp C = Cof(A) của mỗi ma trận A sau đây rồi kiểmtra lại công thức: ACT = (detA)I

a. A =

3 2 14 5 22 1 4

; b. A =

2 3 45 6 78 9 1

; c.A =

2 −1 −21 0 33 −1 0

Bài tập 3.4 Chứng minh rằng:

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 + a′

11 a12 + a′

12 · · · a1n + a′

1n

a21 a22 · · · a2n...

......

...an1 an2 · · · ann

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

...an1 an2 · · · ann

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a′

11 a′

12 · · · a′

1n

a21 a22 · · · a2n...

......

...an1 an2 · · · ann

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

9

10 Chương 3. ĐỊNH THỨC

Bài tập 3.5 Tính định thức của mỗi ma trận sau:

a.A =

1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3

; b.B =

1 −2 0 22 −5 3 24 1 1 0

−5 0 −4 −4

c.C =

2 −3 1 0−5 8 2 11 −4 −2 02 −1 4 0

d.D =

a b a+ bb a+ b a

a+ b a b

e.E =

a b ca+ x b+ x c+ xa+ y b+ y c+ y

; f.F =

a+ b ab a2 + b2

b+ c bc b2 + c2

c+ a ca c2 + a2

Bài tập 3.6 Tính các định thức sau đây:

a.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1− λ 3 22 1− λ 33 2 1− λ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2− λ 5 −12 −1− λ 52 2 2− λ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

; c.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2− λ 0 0−2 3− λ −13 −2 2− λ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Bài tập 3.7 Tìm t để ma trận sau khả nghịch bằng cách tính định thức

a.

t− 2 4 31 t+ 1 −20 0 t− 4

; b.

t− 1 3 −3−3 t + 5 −3−6 6 t− 4

; c.

t + 3 −1 17 t− 5 16 −6 t + 2

Bài tập 3.8 Chứng minh rằng:

a.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 b1 a1x+ b1y + c1a2 b2 a2x+ b2y + c2a3 b3 a3x+ b3y + c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

c.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 a bc1 b ca1 c ab

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (b−a)(c−a)(c−b)

b.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 + b1x a1 − b1x c1a2 + b2x a2 − b2x c2a3 + b3x a3 − b3x c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −2x

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Bài tập 3.9 Tìm các ma trận nghịch đảo bằng 2 cách ( phương pháp lập ma trận khối

(A|In) và phương pháp ma trận phụ hợp A−1 =1

detA(Cof(A))T ):

A =

2 2 31 −1 02 −1 0

; B =

1 2 32 3 41 5 7

; C =

1 1 1 11 1 −1 −11 −1 0 00 0 1 −1

; D =

1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1

Bài tập 3.10 Không giải hệ phương trình, tìm nhanh x2 bằng hai cách

a.

2x1 + x2 + x3 = 2x1 + 3x2 + x3 = 5x1 + x2 + 5x3 = −72x1 + 3x2 − 3x3 = 14

b.

5x1 − x2 + x3 − 2x4 = 23x1 − 2x2 + 2x3 − 3x4 = 23x1 + 2x2 + 2x3 + 5x4 = −62x1 − x2 + x3 − 3x4 = 4

c.

2x1 − x2 + x3 − 3x4 = 45x1 − x2 + x3 − 2x4 = 23x1 + 2x2 + 2x3 − 3x4 = 22x1 − 3x2 + 3x3 − 7x4 = 8

d.

−x1 + x2 + x3 + x4 = 42x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 13x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 14x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = −5

11

Bài tập 3.11 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer:

a.

2x1 − x2 − 3x3 = 53x1 − 2x2 + 2x3 = 54x1 − 3x2 − x3 = 16

b.

2x1 + 3x2 − 2x3 = 5x1 − 2x2 + 3x3 = 24x1 − x2 + x3 = 1

c.

x1 + 2x2 + 3x3 = 32x1 + 3x2 + 8x3 = 43x1 + 2x2 + 10x3 = 1

d.

x1 + 2x2 + 2x3 = 23x1 − 2x2 − x3 = 53x1 − x2 + 9x3 = −4

Bài tập 3.12 Giải và biện luận theo a mỗi hệ phương trình tuyến tính sau:

a.

x1 + 2x2 + ax3 = 12x1 + ax2 + 3x3 = −1x1 + 2x2 − 2x3 = 1

c.

x1 + x2 + (a+ 1)x3 = a2 + 3ax1 + (a+ 1)x2 + x3 = a3 + 3a2

(a+ 1)x1 + x2 + x3 = a4 + 3a3

b.

x1 + 2x2 + 2x3 = 0−2x1 + (a− 2)x2 + (a− 5)x3 = 2ax1 + x2 + (a + 1)x3 = −2

d.

x1 + x2 + (1− a)x3 = a+ 2(1 + a)x1 − x2 + 2x3 = 0

2x1 − ax2 + 3x3 = a+ 2

Bài tập 3.13 Cho hệ phương trình:

2x1 + 3x2 − x3 = 5x1 − x2 + x3 = 2x1 + 2x2 + λx3 = 84x1 + x2 + x3 = 9

a. Giải hệ phương trình trên khi λ = 1.

b. Tìm λ để hệ trên có nghiệm.

Bài tập 3.14 Cho hệ phương trình tuyến tính theo tham số a

ax1 + 3x2 + 11x3 + 5x4 = 2x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 1ax1 + x2 + 3x3 + 2x4 = −3x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = −3

1. Giải hệ phương trình khi a=2.

2. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.


x1 + x2 − 2x3 = 12x1 + 3x2 + mx3 = 24x1 + 5x2 − x3 = m+ 1

a. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

b. Tìm m để hệ có vô nghiệm.

12 Chương 3. ĐỊNH THỨC

Bài tập 3.16 Cho hệ phương trình tuyến tính theo tham số a:

ax1 − x2 + x3 + 2x4 = 10x1 + x2 − 2x4 = a− 5

(a+ 1)x1 + x2 + 2x3 − 3x4 = a+ 5x1 + x2 − x3 + (a− 1)x4 = −2

1. Giải hệ phương trình trên khi a = 3.

2. Tìm a để hệ trên có nghiệm duy nhất.


x1 + x2 − x3 = 12x1 + 3x2 + kx3 = 3x1 + kx2 + 3x3 = 2

Xác định giá trị của k sao cho:

a. Hệ có nghiệm duy nhất.

b. Hệ không có nghiệm.

c. Hệ có vô số nghiệm.


kx1 + x2 + x3 = 1x1 + kx2 + x3 = 1x1 + x2 + kx3 = 1

Xác định giá trị của k sao cho:

a. Hệ có nghiệm duy nhất.

b. Hệ không có nghiệm.

c. Hệ có vô số nghiệm.

Bài tập 3.19 Cho phương trình ma trận sau:

1 2 λ2 7 2λ+ 13 9 4λ

X =

−121

a. Giải hệ phương trình với λ = 0

b. Tìm λ để phương trình trên vô số nghiệm

Chương 4

KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Bài tập 4.1 Xác định các tập cùng với phép toán đã chỉ ra sau đây có phải là khônggian vectơ không?

a. R2 với phép toán cộng và phép toán nhân như sau:{

(x1, x2) +(y1, y2) = (x1 + y1 + 1, x2 + y2)α(x1, x2) = (αx1, αx2)

b. R2 với phép toán cộng và phép toán nhân như sau:{

(x1, x2) +(y1, y2) = (3x1 + 3y1, x2 + y2)α(x1, x2) (3αx1, αx2)

c. R2 với phép toán cộng và phép toán nhân như sau:{

(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, 0)α(x1, x2) = (αx1, 0)

d. R2 với phép cộng thông thường và phép nhân với vô hướng định nghĩa như sau:

α(x1, x2) = (αx2;αx1)∀α ∈ R và ∀(x1; x2) ∈ R2

e. F là tập hợp các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b] với phép cộng hai hàm số vàphép nhân một số thực với một hàm số.

Bài tập 4.2 Xác định mỗi tập sau có phải là không gian con của M(n, n) không? Tạisao?(Ký hiệu M(n, n) là không gian vectơ các ma trận cỡ n× n).

a. Tập hợp A tất cả các ma trận tam giác trên cỡ n× n

b. Tập hợp B tất cả các ma trận chéo cấp n

c. Tập hợp C tất cả các ma trận bậc thang cỡ n× n

d. Tập hợp D tất cả các ma trận đối xứng cỡ n× n

e. Tập hợp E tất cả các ma trận chéo đối xứng cỡ n× n.

13

14 Chương 4. KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Bài tập 4.3 Xác định xem W có phải là không gian con của các không gian vectơ tươngứng hay không?

a. W = {(a, b, c) ∈ R3 : a = 2b} ⊂ R3

b. W = {(a, b, c) ∈ R3 : a ≤ b ≤ c} ⊂ R3

c. W = {(a, b, c) ∈ R3 : ab = 0} ⊂ R3

d. W = {(a, b, c) ∈ R3 : a = b2} ⊂ R3

e. W = {(a, b, c) ∈ R3 : −a− 5b+ 2c = 0} ⊂ R3

f. W = {(a, b, c, d) ∈ R4 : 3a− b+ 7d = 5} ⊂ R4

g. W = {(a, b, c, d) ∈ R4 : 2a− 3b+ 4d = 0, a− b+ c = 0} ⊂ R4

Bài tập 4.4 Cho V là không gian vec tơ - tất cả các hàm số thực trên R. Chỉ ra rằngW trong mỗi trường hợp sau có là không gian con của V hay không?

a. W = {f ∈ V : |f(x)| ≤ M, ∀x ∈ R} b. W = {f ∈ V : f(−x) = f(x), ∀x ∈ R}

Bài tập 4.5 Chứng minh mỗi tập bao gồm các vectơ cột sau đây là không gian vectơ,bằng cách chỉ ra nó là không gian con sinh bởi tập các vectơ nào đó.

a. A =

s3s2s

: s ∈ R

⊂ [R]3;

b. D =

{[

a bc d

]

:

{

a + b− c = 0a− c− d = 0

}

⊂ M(2, 2)

c. B = {(t; 2t+ s, t− s) : t, s ∈ R} ⊂ R3;

d. C =

{

p ∈ P3[x] :

{

p(1) = p(−1)p(2) = p(−2)

}

⊂ P3[x]

Bài tập 4.6 Cho W là tập tất cả các vectơ cột có dạng như đã chỉ ra, trong đó a, b, c ∈ R.Trong mỗi trường hợp, hãy chỉ ra tập S sao cho W = Sp(S), hoặc chứng tỏ W không phảilà không gian con của không gian vectơ tương ứng.

a. W =

3a+ b4

a− 5b

: a, b ∈ R

⊂ [R]3; b. W =

1− aa− 6ba+ 2b

, a, b ∈ R

⊂ [R]3

c. W =

a− bb− cc− ab

: a, b, c ∈ R

⊂ [R]4; d. W =

4a + 3b0

a+ b+ c−2a+ c

: a, b, c ∈ R

⊂ [R]4

15

Bài tập 4.7 Gọi C[a,b] là tập tất cả các hàm thực liên tục trên đoạn [a,b] thì C[a,b] lậpthành không gian con của không gian vectơ các hàm thực xác định trên [a,b]. Chứng minhrằng tập E =

{

f ∈ C[a,b] : f(a) = f(b)}

là không gian con của C[a,b].

Bài tập 4.8 Xác định tập nào trong các tập sau đây sẽ lập nên không gian con củaM(2, 2):

a. E =

{[

a + b b− 2d0 d

]

∈ M(2, 2) : a, b, d ∈ R

}

b. E =

{[

a a2

b b2

]

∈ M(2, 2) : a, b ∈ R

}

c. E =

{[

a a+ 2b c

]

∈ M(2, 2) : a, b ∈ R

}

d. E =

{[

a bc d

]

∈ M(2, 2) : a+ 2b− c+ 3d = 0

}

Bài tập 4.9Cho F là ma trận cố định nào đó thuộc M(3, 2), gọi H = {A ∈ M(2, 4) : FA = 0 };

(0 là ma trận không của không gian M(3, 4)). Xác định xem H có là không gian con củaM(2, 4) không?

Bài tập 4.10 Xác định xem vectơ v có thuộc không gian con sinh bởi các vectơ vi đãcho trong mỗi trường hợp sau:

a. v =

[

5 75 −10

]

;

{

v1 =

[

1 23 −4

]

, v2 =

[

0 31 2

]

, v3 =

[

1 20 0

]}

b. v =

[

7 6−5 −10

]

;

{

v1 =

[

3 01 1

]

, v2 =

[

0 13 4

]

, v3 =

[

1 20 1

]}

c. v = 3x2 + 2x+ 9; {v1 = x2 + 1, v2 = x+ 3}

d. v = 2x2 + x− 3; {v1 = x2 − x+ 1, v2 = x2 + 2x− 2}


4 0 46 4 8

−8 −2 9

và w =

−212

. Hãy xác định xem w có là

phần tử của ColA, của NulA hay không?

Bài tập 4.12 Trong các tập W gồm các vectơ cột sau đây, hãy xác định tập nào làkhông gian vectơ, tập nào không phải là không gian vectơ( bằng cách chỉ ra ma trận Ađể W = NulA)?


a. W =

abc

: a + b+ c = 2

b. W =

abcd

:

{

a− 2b = 02a = c+ 3d

c.W =

b− 2d5 + db+ 3d

d

: b, d ∈ R

d.W =

c− 6ddc

, c, d ∈ R

e. W =

abc

: 5a = b+ 2c

Bài tập 4.13 Tìm ma trận A sao cho W gồm các vectơ cột cho sau đây là ColA:

a. W =

2s+ 3tr + s− 2t4r + s

3r − s− t

: r, s, t ∈ R

b. W =

b− c2b+ c + d5c− 4d

d

: b, c, d ∈ R

Bài tập 4.14 Giả sử H và K là hai không gian con của không gian vectơ V. Ta gọi tổnggiao của các không gian con H và K tương ứng là:

H ∩K = {v ∈ V : v ∈ H và v ∈ K}H +K = {v + w : v ∈ H và w ∈ K}

a. Chứng minh rằng H +K và H ∩K là những không gian vectơ con của V.b. Cho ví dụ, chẳng hạn khi V = R2, để chứng tỏ hợp của hai không gian con nói

chung không phải là không gian con. (Hợp của hai không gian con được hiểu theo nghĩahợp của hai tập hợp thông thường).

Bài tập 4.15 Xác định các tập sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính:

a. u1 = (1; 3;−1; 4), u2 = (3; 8;−5; 7), u3 = (2; 9; 4; 23)

b. u1 = (1;−2; 4; 1), u2 = (2; 1; 0;−3), u3 = (3;−6; 1; 4)

c. u1 = 1− 2x2, u2 = 3− x− x2, u3 = −1 + 2x+ 5x2

d. u1 = x3 − 4x2 + 2x+ 3, u2 = x3 + 2x2 + 4x− 1, u3 = 2x3 − x2 − 3x+ 5

e. u1 = x3 − 5x2 − 2x+ 3, u2 = x3 − 4x2 − 3x+ 4, u3 = 2x3 − 7x2 − 7x+ 9

f. u1 = x3 − 2x+ 3, u2 = x2 + 1, u3 = 2x3 + x2 − 4x+ 10

g. u1 = x3 − 2x+ 3, u2 = x2 + x+ 1, u3 = x3 + 2x2 + 5

h. S =

{[

1 23 1

]

;

[

1 11 1

]

;

[

2 14 2

]}

i. S =

{[

1 2−1 0

]

;

[

1 21 1

]

;

[

1 25 3

]}

17

Bài tập 4.16 Từ tập hợp các vectơ sau hãy tìm một cơ sở cho không gian vectơ tươngứng

a. {v1 = (1; 0; 0), v2 = (0; 1;−1), v3 = (0; 4;−3); v4 = (0; 2; 0)} ⊂ R3

b. {p0 = 2, p1 = −4x, p2 = x2 + x+ 1, p3 = 2x+ 7, p4 = 5x2 − 1} ⊂ P2[x]

Bài tập 4.17 Hãy mở rộng các tập sau thành một cơ sở của không gian vectơ tương ứng

a. {v1 = (1; 0; 0; 0), v2 = (1; 1; 0; 0), v3 = (1; 1; 1; 0)} ⊂ R4

b.{

v1 =

[

1 00 0

]

, v2 =

[

2 0−1 0

]}

⊂ M(2, 2)

Bài tập 4.18 Tìm cơ sở và số chiều của NulA, ColA, RowA biết A:

a. A =

−2 4 −2 −42 −6 −3 1

−3 8 2 −3

b. A =

1 2 −5 11 −32 4 −5 15 21 2 0 4 53 6 −5 19 −2

Bài tập 4.19 Tìm cơ sở và số chiều của Sp(S), biết:

a. S = {(1; 1; 1; 2; 3), (1 : 2;−1;−2; 1), (3; 5;−1;−2; 5), (1; 2; 1;−1; 4)}

b. S = {(1; 0; 1; 1; 1), (2; 1; 2; 0; 1), (1; 1; 2; 3; 4), (4; 1; 5; 4; 6)}

c. S =

{[

1 2−1 3

]

,

[

2 51 −1

]

,

[

5 121 1

]

,

[

3 4−2 5

]}

d. S =

{[

1 20 1

]

,

[

3 41 1

]

,

[

1 21 1

]

,

[

0 21 2

]}

e. S = {1− 2x2, 3− x− x2,−1 + 2x+ 5x2}

Bài tập 4.20 Cho S = {(1;−1;−1), (3;−1; 5), (−1; 2; 1), (1;−3;−6)}.

a. u = (−3; 6; 2) có thuộc Sp(S) hay không?

b. S có phải là tập sinh của R3 hay không?

Bài tập 4.21 Cho S = {1 + 2x− x2,−2 + 3x+ x2, 1 + 9x− 2x2, 5− 4x− 3x2}.

a. p(x) = 4 + x− 3x2 có thuộc Sp(S) hay không?

b. S có phải là tập sinh của P2[x] hay không?

Bài tập 4.22

a. Tìm cơ sở của không gian con P = {(x1; x2; x3) ∈ R3|3x1 + x2 + 5x3 = 0}


b. Tìm cơ sở của mặt phẳng cho bởi phương trình x1 − x2 + 8x3 = 0

Bài tập 4.23 Hãy tìm số chiều của các không gian con sau đây:

a. W =

a− b+ 2ca + 3cb− 3c

a+ 2b− c

: a, b, c ∈ R

b. W =

a− 4b− 2c2a+ 5b− 4c−a + 2c

−3a+ 7b+ 6c

: a, b, c ∈ R

c. W = {(a; b; c) : a− 3b+ c = 0, b− 2c = 0, 2b− c = 0}

d. W = {(a, b, c) : a− 3b+ c = 0}

e. Sp(S) với S = {(1; 1; 2; 1), (−2;−2;−4;−2), (1;−1; 1; 0), (3; 1; 5; 2)}

f. Sp(S) với S = {1 + 2x− x2, 1− x+ x2 + x3, 1 + 2x− x3}

Bài tập 4.24 Tìm số chiều của các không gian con của M(3, 3) sau đây:

a. Không gian con các ma trận chéo.

b. Không gian con các ma trận đối xứng.

c. Không gian con của các ma trận tam giác trên.

Bài tập 4.25 Tìm số chiều mỗi không gian con của P5[x] sau đây:

a. U = {(1 + x2)p : p ∈ P3[x]}

b. U = {p ∈ P3[x] : p(−x) = −p(x)∀x}

Bài tập 4.26 Cho U và W là các tập con của R4

U = {(a, b, c, d) : b− 2c+ d = 0}W = {(a, b, c, d) : a = d, b = 2c}

a. Chứng minh U,W là các không gian con của R4

b. Tìm cơ sở và số chiều của U,W,U ∩W

Bài tập 4.27

a. Tìm cơ sở cho mặt phẳng có phương trình: x1+3x2+4x3 = 0 trong R3, rồi mở rộngcơ sở vừa tìm được thành một cơ sở của R3.

19

b. Tập hợp các điểm (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 thỏa mãn phương trình:

c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5 = 0; (ci ∈ R)

được gọi là siêu phẳng trong R4.

Hãy tìm một cơ sở cho siêu phẳng: x1 + x2 + 2x3 + x4 = 0, rồi mở rộng cơ sở đóthành cơ sở cho R4.

Bài tập 4.28 Cho E = {(x2 − 4)(ax2 + bx+ a), a, b ∈ R} ⊂ P4[x]

a. Chứng minh E là không gian con của P4[x].

b. Tìm dimE

Bài tập 4.29 Cho E = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x2 = mhằng số} ⊂ R3

a. Tìm m để E là không gian con của R3.

b. Tìm dimE khi m = 0

Bài tập 4.30 Trong không gian véc tơ R3 cho tập

E =

(x1, x2, x3)R3 :

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x1 x2 x3

1 2 12 1 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

Chứng minh rằng E là không gian con của R3. Tìm số chiều và một cơ sở của E

Bài tập 4.31 Tìm tọa độ của các vectơ đối với cơ sở tuơng ứng được cho dưới đây

a. u = (9, 1, 5) với cơ sở của R3 là B = {(−1; 2; 1), (2;−5;−3), (5;−7;−3)}

b. u = 7e1 + 5e2 − e3, với cơ sở của R3 là B = {e1, e1 + e2, e1 + e2 + e3}

c. p(x) = 5x2 − 2x+ 3, với cơ sở của P2[x] là B = {1, 1 + x, 1 + x2}

d. u = av1 + bv2 + cv3, với cơ sở C = {v1 + v2, v1 − v2, v3}, trong đó B = {v1, v2, v3}là một cơ sở của R3

e. A =

[

1 −23 4

]

∈ M(2, 2) đối với cơ sở

B =

{[

0 11 0

]

,

[

0 −10 0

]

,

[

1 −10 3

]

,

[

0 10 1

]}

.

Bài tập 4.32 Hãy tìm vectơ, biết cơ sở B và B-tọa độ của vectơ đó trong mỗi trườnghợp sau:

a. B = {(1;−4; 3), (5; 2;−2), (4;−7; 0)} và (x)B = (3; 0;−1)


b. B = {(−1; 2; 0), (3;−5; 2), (4;−7; 3)} và (x)B = (−4; 8;−7)

c. B = {x+ x2, x− x2, 1 + x} và (p(x))B = (3; 1; 2)

Bài tập 4.33 Trong P2[x], cho p1(x) = x2 − 1, p2(x) = x2 + x+ 1, p3(x) = x2 −mx− 3.

a. Với giá trị nào của m thì p1, p2, p3 trở thành cơ sở của P2[x]?

b. Với m = 2, hãy biểu diễn p(x) = 3x2 + x+ 1 theo p1, p2, p3.

Bài tập 4.34 Cho E =

2a+ b− ca− 2b

−3a− 4b+ 2c

∈ R3 : a, b, c ∈ R

⊂ R3.

1. Chứng minh E là một không gian con của R3.2. Tìm một cơ sở và số chiều của E.

Bài tập 4.35 Cho không gian vectơ P3[x]- không gian các đa thức bậc không quá 3.

a. Chứng minh rằng B = {1, 1− x, (1− x)2, (1− x)3} là cơ sở của P3[x].

b. Tìm tọa độ của vectơ u = 2− 3x− x2 − 2x3 đối với cơ sở B.

Bài tập 4.36

1. Chứng minh E =

{[

a bc d

]

∈ M(2, 2) : a− 2c+ d = 0

}

là một không gian con của

M(2, 2).

2. Trong không gian véc tơ P2[x] cho tập B = {1, 1 + x, (1 + x)2} .

a. Chứng minh B là cơ sở của P2[x].

b. Tìm tọa độ của p(x) = −x2 + 4 đối với cơ sở B.

Bài tập 4.37 Cho B = {b1, b2, b3} và C = {c1, c1, c3} là hai cơ sở của không gian vectơV. Giả sử b1 = 4c1 − c2; b2 = −c1 + c2 + c3; b3 = c2 − 2c3.

a. Tìm ma trận chuyển tọa độ từ cơ sở B sang cơ sở C .

b. Tìm [x]C biết x = 3b1 + 4b2 + b3.

Bài tập 4.38 Cho B = {(1; 2; 0), (1; 3; 2), (0; 1; 3)} là một cơ sở của R3.

a. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc E sang cơ sở B.

b. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở chính tắc E .

Bài tập 4.39 Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang C với:

a. B = {b1 = (1; 1), b2 = (1; 0)} và C = {c1 = (0; 1), c2 = (1; 1)}

b. B = {b1 = (1; 0; 1), b2 = (1; 1; 0), b3 = (0; 1; 1)} và C = {c1 = (0; 1; 1), c2 =(1; 1; 0), c3 = (1; 0; 1)}

Chương 5

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Bài tập 5.1 Cho mỗi ánh xạ sau đây, hãy chứng minh nó là ánh xạ tuyến tính hoặc chỉra tại sau nó không phải là ánh xạ tuyến tính.

a. f : R2 → R, f(x, y) = 3x+ 2y.

b. f : R2 → R2, f(x, y) = (xy, 0)

c. f : Pn → Pn+1, f(p(x)) = (x+ 1)p(x)

d. f : Pn → R, f(p(x)) =1∫

0

p(x)dx

e. f : Pn → Pn, f(p(x)) = p′

(x) + (5x+ 2) với p′

(x) là đạo hàm của p(x)

f. f : R3 → R3, f(x, y, z) = (y + z, x+ z, x+ y)

g. f : M(n,m) → M(m,n), f(A) = AT

h. f : M(n, n) → R, f(A) = det(A)

Bài tập 5.2 Chứng minh mỗi ánh xạ sau đây là ánh xạ tuyến tính rồi tìm nhân, ảnhcủa nó.

a. f : P2[x] → P2[x], f(ax2 + bx+ c) = (a+ b)x2 + bx+ 2c

b. f : P3[x] → M(2, 2), f(ax3 + bx2 + cx+ d) =

[

0 bc d+ 2a

]

c. f : Pn[x] → R, f(p(x)) =1∫

0

p(x)dx

d. f : M(2, 2) → M(2, 2), f(A) = A+ AT

e. T : F → F, T (f) = 2f

Bài tập 5.3 Cho ánh xạ T : M(2, 2) → M(2, 2) được xác định bởi

T (A) = A + AT trong đó A =

[

a bc d

]

.

21

22 Chương 5. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

a. Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính.

b. Giả sử B ∈ M(2, 2) sao cho BT = B. Tìm A ∈ M(2, 2) để T (A) = B.

c. Chứng minh rằng ImT = {B ∈ M(2, 2) : BT = B}.

d. Tìm KerT .

Bài tập 5.4 Ánh xạ tuyến tính f : P2[x] → [R]2 thỏa mãn

f(1) =

[

11

]

, f(x) =

[

−11

]

, f(x2) =

[

11

]

Tìm f(p), p = a + bx+ cx2.

Bài tập 5.5 Cho ánh xạ f : R3 → R3 được xác định bởi

f(x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 − x3; x2 + x3, x1 + x2 − 2x3)

a. Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.

b. Tìm cơ sở và số chiều của Kerf

Bài tập 5.6 Cho ánh xạ T : [R]4 → [R]3, được xác định bởi ma trậnchính tắc A =

1 2 3 11 3 5 −23 8 13 −3

Tìm cơ sở và số chiều của KerT và ImT

Bài tập 5.7 Cho ánh xạ T : R3 → R3, được xác định bởi ma trận chính tắc A =

1 2 53 5 13−2 −1 −4

Tìm cơ sở và số chiều của KerT và ImT

Bài tập 5.8 Chứng minh rằng mỗi ánh xạ sau đây là ánh xạ tuyến tính rồi tìm nhâncủa mỗi ánh xạ.

a. f : M(2, 3) → M(2, 3), f

([

a b cd e f

])

=

[

d e f0 0 0

]

b. f : M(3, 3) → R, f(A) = a11 + a22 + a33 (Ảnh của ma trận A là tổng các phần tửtrên đường chéo).

c. f : M(3, 3) → M(3, 3), f(A) =1

2(A + AT )

Bài tập 5.9 Chứng minh rằng mỗi ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính bằng cách chỉ ra nólà ánh xạ ma trận.

23

a. T : [R]3 → [R]3, T

x1

x2

x3

=

x3

x2

x1

b. T : [R]2 → [R]4, T

(

x1

x2

)

=

5x2 − x1

03x1 + x2

x1

c. T : [R]3 → [R]3, T

x1

x2

x3

=

2x1 + x3

4x2 + 3x3

x1 + x2 + x3

d. T : [R]4 → [R]3, T

x1

x2

x3

x4

=

x1 − x3

x2 − x4

x1 − x2 + x3 − x4

e. T : [R]4 → [R]1, T

x1

x2

x3

x4

=[

2x1 − x2 + 3x3 − 5x4

]

Bài tập 5.10

a. Cho T : R2 → R2 là ánh xạ tuyến tính sao cho

T (x1; x2) = (x1 + x2; 4x1 + 7x2)

Tìm vectơ x thỏa T (x) = (−2;−5).

b. Cho T : R2 → R3 là ánh xạ tuyến tính sao cho

T (x1; x2) = (x1 + 2x2;−x1 − 3x2;−3x1 − 2x2)

Tìm vectơ x thỏa T (x) = (−4; 7; 0).

Bài tập 5.11 Giả sử T là ánh xạ tuyến tính từ Rn vào Rm tương ứng:

a. Cho T (1; 0) = (3; 1) và T (0; 1) = (−2; 5). Hãy tìm T (4;−6).

b. Cho T (−1; 0) = (2; 3) và T (0; 1) = (5; 1). Hãy tìm T (−3;−5).

c. Cho T (1; 0; 0) = (−3; 1), T (0; 1; 0) = (−4; 1), T (0;−1; 1) = (3;−5). Hãy tìm T (−1; 4; 2)

d. Cho T (1; 2;−3) = (1; 0; 4; 2), T (3; 5; 2) = (−8; 3; 0; 1),T (−2;−3;−4) = (0; 2;−1; 0).Hãy tìm T (5;−1; 4)

Bài tập 5.12 Hãy tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính T : [R]n → [R]m tươngứng, xác định bởi công thức sau:

a. T : [R]2 → [R]2, T

(

x1

x2

)

=

[

2x1 + x2

x1 − x2

]


b. T : [R]3 → [R]3, T

x1

x2

x3

=

x1 + x2 + x3

x1 + x2

x1

c. T : [R]3 → [R]1, T

x1

x2

x3

=[

x1 + x2 + x3

]

Bài tập 5.13

a. Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính T : [R]2 → [R]2 sao cho không gian

triệt của T là KerT = Sp

{[

21

]}

và không gian ảnh của T là ImT = Sp

{[

21

]}

.

b. Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính T : R2 → R3 sao cho không gian triệt

của T là KerT = Sp

{[

1−1

]}

và không gian ảnh của T là ImT = Sp

035

.

Bài tập 5.14 Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Chứng minh f(E) là không giancon của không gian W, sau đó tìm cơ sở và số chiều của f(E) trong mỗi trường hợp sau:

a. f : R3 → R3, f(x1; x2; x3) = (x1 − x2; x1 + x2; x2),E = {(a; 2a+ b; a− 2b), a, b ∈ R}

b. f : M(2, 2) → [R]2, f

([

a bc d

])

=

[

a+ 2bc− d

]

,E = {A ∈ M(2, 2) : A+ AT = θ}

c. f : P2[x] → P2[x], f(ax2 + bx+ c) = (a+ 1)x2 + (b+ 1)x+ (c+ 1),E = {p ∈ P2[x] :

p(0) = p(1)}

Bài tập 5.15 Cho mỗi ánh xạ tuyến tính sau, xác định ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh,song ánh, hay không phải là đơn ánh và toàn ánh

a. f : R3 → R2, f(x, y, z) = (x+ y, z) b. f : R3 → R3, f(x, y, z) = (y+ z, x+ z, x+ y)

c. f : R3 → R3, f(x, y, z) = (y, y, y) d. f : P1 → P2, f(a0 + a1x) = a0x+ a1x2

e. f : M(2, 2) → R, f

([

a bc d

])

= a+ b+ c+ d

Bài tập 5.16 Tìm cơ sở cho Imf,Kerf của các ánh xạ tuyến tính cho ở bài tập trên.

Bài tập 5.17 Sử dụng tính chất của ánh xạ tọa độ, hãy xác định tính độc lập tuyếntính, phụ thuộc tuyến tính của mỗi tập các đa thức sau:

a. B = {p1 = 1 + 2x, p2 = 3− x, p3 = −1 + 3x2}

b. B = {p1 = 1− 2x2 − 3x3, p2 = x+ x3, p3 = 1 + 3x− 2x3}

25

c. B = {p1 = 1 + x3, p2 = 3 + x− 2x2, p3 = −x+ 3x2 − x3}

d. B = {p1 = (1− x)3, p2 = (2− 3x)2, p3 = 3x2 − 4x3}

Bài tập 5.18 Không gian triệt của ánh xạ tuyến tính f được hiểu là Kerf. Hãy tìm cơ sởcho không gian triệt của ánh xạ tuyến tính f : [R]n → [R]m xác định bởi mỗi ma trậnchính tắc sau đây, từ đó tìm hạng của f :

a. A =

3 6 12 4 11 2 0

, b. A =

0 1 0 −21 2 1 −12 4 3 −1

, c. A =

1 1 1 1 10 1 2 3 41 0 1 3 31 1 3 6 8

Bài tập 5.19 Xác định các ánh xạ tuyến tính cho sau đây, ánh xạ nào là đơn cấu, toàncấu, đẳng cấu:

a. T : [R]4 → [R]3, T (x) = Ax,A =

1 3 −4 90 1 2 60 0 0 0

b. T : [R]4 → [R]4, T (x) = Ax,A =

−1 2 0 53 7 2 8

−4 2 0 01 3 0 6

c. T : R3 → R2, T (1; 0; 0) = (2; 1), T (0; 1; 0) = (0;−2), T (0; 0; 1) = (−1; 1)

d. T : P2[x] → P2[x], T (x2) = x2 + 3, T (x) = 2x2 + 4x− 1, T (1) = 3x− 1.

Bài tập 5.20 Bằng cách xét số chiều của không gian triệt hay không gian ảnh, hãy xácđịnh số chiều của không gian triệt và hạng của mỗi ánh xạ tuyến tính sau đây:

a. D : Pn[x] → Pn − 1[x], D(p) = p′

, ∀p ∈ Pn[x] (D là phép lấy đạo hàm).

b. D : Pn[x] → Pn[x], D(p) = p′

, ∀p ∈ Pn[x]

c. f : M(2, 3) → M(2, 3), f

([

a b cd e f

])

=

[

d e f0 0 0

]

d. T : M(3, 3) → R, T

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= a11 + a22 + a33

e. S : M(3, 3) → M(3, 3), S(A) =1

2(A+ AT ) (S(A) được gọi là bộ phận đối xứng của

ma trận A)

Bài tập 5.21 Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R3 được cho bởi f(e1) = 2e1 − e3 vàf(e2) = e2 + e3. Hãy tìm ma trận biểu diễn f đối với cặp cơ sở B = {e1 − e2, e1 + e2} vàC = {e1, e1 + e2, e1 + e2 + e3}


Bài tập 5.22 Gọi E = {e1, e2, e3} là cơ sở chính tắc của R3, B = {v1, v2, v3} là cơ sởcủa không gian vectơ V và f : R3 → V là ánh xạ tuyến tính xác định bởi

f(x1, x2, x3) = (x3 − x2)v1 − (x1 + x3)v2 + (x1 − x2)v3

a. Tìm f(e1), f(e2), f(e3)

b. Tìm ma trận của f theo cơ sở E và B.

Bài tập 5.23 Cho ánh xạ f : P2[x] → [R]3, f(p) =

p(−1)p(0)p(1)

.(f(p) ∈ R3, viết dưới

dạng vectơ cột).

a. Tìm ảnh qua f của p(x) = 5 + 3x.

b. Chúng tỏ rằng f là ánh xạ tuyến tính.

c. Tìm ma trận của f theo cơ sở B = {1, x, x2} ⊆ P2[x] và cơ sở chính tắc E của [R]3.

Bài tập 5.24 Cho ánh xạ f : R3 → [R]2 như sau:

f(x, y, z) =

[

x+ y + zx− y − z + 2m

]

a. Xác định m để f là một ánh xạ tuyến tính, sau đó tìm Kerf và số chiều của Kerf .

b. Với m = 0 tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở B = {v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 1), v3 =

(1, 1, 0)} của R3 và C =

{

w1 =

[

10

]

, w2 =

[

1−1

]}

của [R]2

Bài tập 5.25 Cho ánh xạ f : [R]3 → [R]3 như sau:

f

xyz

=

x+ ay + 2z2x+ y + azax+ 2y + z

a. Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính

b. Tìm điều kiện của a để không tồn tại ánh xạ ngược

c. Tìm cơ sở và số chiều của Kerf tùy thuộc vào a.

Bài tập 5.26 Cho ánh xạ f : P2[x] → P2[x] xác định bởi qui tắc sau:

f(ax2 + bx+ c) = (a+ b)x2 + 2c

và B = {(1 + x)2, x+ 1, 2} là một cơ sở của P2[x]

1. Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.

27

2. Tìm Kerf .

3. Tìm B-ma trận của f .

Bài tập 5.27 Cho ánh xạ f : M(2, 2) → M(2, 2) xác định bởi qui tắc sau:

f

([

a bc d

])

=

[

a c+ 2dc d

]

và B =

{[

1 20 0

]

,

[

0 11 0

]

,

[

1 01 0

]

,

[

0 00 1

]}

là một cơ sở của M(2, 2)

1. Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.

2. Tìm Kerf .

3. Tìm B-ma trận của f .


Chương 6

VÉC TƠ RIÊNG, CHÉO HÓA VÀ DẠNGTOÀN PHƯƠNG

Bài tập 6.1 Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của mỗi ma trận sau đây:

a. A =

−3 2 −44 −1 48 −4 9

, b. A =

2 −1 11 0 11 −1 2

, c. A =

4 2 −1−6 −4 3−6 −6 5

d. A =

2 −1 25 −3 3

−1 0 −2

, e. A =

−1 3 −1−3 5 −1−3 3 1

Bài tập 6.2 Xác định tính chéo hóa được của mỗi ma trận sau, cho biết β là tập các giátrị riêng:

a. A =

3 1 00 3 10 0 3

, β = {3}; b. A =

−1 4 −2−3 4 0−3 1 3

, β = {1, 2, 3}

c. A =

2 2 −11 3 −1

−1 −2 2

, β = {5, 1}; d. A =

−3 1 −1−7 5 −1−6 6 −2

, β = {−2, 4}

Bài tập 6.3 Tìm ma trận P chéo hóa được A và cho biết dạng chéo tương ứng của Atrong mỗi trường hợp sau đây:

a.

−3 4 4−4 5 4−4 4 5

, b.

6 3 −3−2 −1 216 8 −7

, c.

1 −1 −11 3 11 1 3

d.

−3 5 −202 0 82 1 7

, e.

−1 2 2−2 3 2−2 2 3

, f.

−4 6 −123 −1 63 −3 8

29

30 Chương 6. VÉC TƠ RIÊNG, CHÉO HÓA VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG

Bài tập 6.4 Tìm tất cả các giá trị riêng và véc tơ riêng của các phép biến đổi tuyến tínhsau:

a. f : R3 → R3, f(x, y, z) = (2x− y + z;−x+ 2y − z; z)

b. f : [R]3 → [R]3, f

xyz

=

2x+ yy − z2y + 4z

c. f : P2[x] → P2[x], f(ax2 + bx+ c) = (3a− c)x2 + (−a + 2b+ c)x+ 2a

Bài tập 6.5 Cho các phép biến đổi tuyến tính f : [R]3 → [R]3, f

xyz

=

2x+ 5y + 3z3y + 4z−6z

.

Tìm cho [R]3 một cơ sở để ma trận của f đối với cơ sở đó là ma trận chéo

Bài tập 6.6 Cho các phép biến đổi tuyến tính f : R3 → R3, f(x; y; z) = (5x + 4y +6z; 4x + 5y + 6z;−4x − 4y − 5z). Tìm cho R3 một cơ sở để ma trận của f đối với cơ sởđó là ma trận chéo

Bài tập 6.7 Cho ánh xạ T : P2[x] → P2[x] xác định bởi qui tắc sau:

T (ax2 + bx+ c) = (5a− b+ c)x2 + 2bx− 12a+ 4b− 2c

1. Chứng minh T là ánh xạ tuyến tính.

2. Tìm KerT . Từ đó suy ra r(T ).

3. Chứng minh B = {x2 + 3x+ 2, x+ 3,−1} là một cơ sở của P2[x].

4. Tìm [T ]B

5 Tìm cho P2[x] một cơ sở sao cho ma trận của T đối với cơ sở đó là ma trận chéo.

Bài tập 6.8 Cho ánh xạ T : P2[x] → P2[x] xác định bởi qui tắc sau:

T (ax2 + bx+ c) = (a + 3b− c)x2 + (a− b+ c)x+ 3a− 9b+ 5c

1. Chứng minh T là ánh xạ tuyến tính.

2. Tìm KerT . Từ đó suy ra r(T ).

3. Chứng minh B = {x2 + 2x+ 3, x+ 1, 1} là một cơ sở của P2[x].

4. Tìm [T ]B

5 Tìm cho P2[x] một cơ sở sao cho ma trận của T đối với cơ sở đó là ma trận chéo.

Bài tập 6.9 Tính Ak, biết:

a. A =

2 2 −11 3 −1

−1 −2 2

, b. A =

1 2 22 1 22 2 1

, c. A =

7 4 162 5 8

−2 −2 −5

Chương 7

ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬCHAI

Bài tập 7.1 Quy các phương trình sau đây về dạng không còn hạng tử chéo:

a. x2 −√3xy + 2y2 = 1.

b. 3x2 − 2√3xy + y2 = 1.

c. 3x2 + 2√3xy + y2 − 8x+ 8

√3y = 0.

d. x2 − 2xy + y2 = 2.

e.√2x2 + 2

√2xy +

√2y2 − 8x+ 8y = 0.

Bài tập 7.2 Nhận dạng các đường cong sau:

a. 17x2 + y2 − 34x+ 6y + 280 = 0.

b. 17x2 + 12xy + 8y2 − 46x− 28y + 17 = 0.

c. x2 + 6xy + y2 + 6x+ 2y − 1 = 0.

d. 4x2 − 4xy + y2 − 2x− 14y + 7 = 0.

e. 3x2 + 2xy + 3y2 = 19.

f. 3x2 + 4√3xy − y2 = 7.

Bài tập 7.3 Dựng đồ thị của đường bậc hai cho bởi phươg trình:a. 7x2 − 8xy + y2 − 16x− 2y + 20 = 0; b. 5x2 − 6xy + 5y2 − 16x− 16y − 16 = 0;c. 5x2 + 8xy + 5y2 − 18x− 18y = 0; d. 9x2 − 6xy + y2 − 4x+ 8y − 9 = 0.

Bài tập 7.4 Ghép phương trình mặt sao cho đúng với đồ thị của nó, chú ý rằng sốphương trình đã cho nhiều hơn số đồ thị:

a. x2 + y2 + 4z2 = 10 b. x2 + 2z2 = 8c. z2 + 4y2 − 4x2 = 4 d. z2 + x2 − y2 = 1e. 9y2 + z2 = 16 f. x = z2 − y2

g. x = y2 − z2 h. z = −4x2 − y2

i. x = −y2 − z2 j. y2 + z2 = x2

31

32 Chương 7. ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI

Bài tập 7.5 Trong mỗi trường hợp sau, hãy chỉ rõ giao tuyến giữa hai mặt bậc hai vàmặt phẳng (bằng cách chỉ rõ phương trình, toạ độ tâm, các bán trục, toạ độ các đỉnh,toạ độ các tiêu điểm và phương trình các tiệm cận ) (nếu có):

a.x2

25+

y2

9+

z2

4= 1 và z = 0.

b.x2

36+

y2

6− z2

4= 1 và z = 1; và z = 2.

c.x2

36+

y2

6− z2

4= −1 và z = 0; và z = 2; và z = 4.

d. z =x2

4− y2 và z = h (h là hằng số).

Bài tập 7.6 Hãy gọi tên và vẽ sơ lược hình dạng các mặt cho bởi phương trình sau:a. x2 + y2 = 4 b.z2 − x2 − y2 = 1 c. z2 − y2 = 1.

d. 9x2 + y2 + z2 = 9 e.z = x2 + 4y2 f. x2 − y2 − z2

4= 1

g. y2 − z2 = x− 2 h. z = y2 − 1 i. −x2 + 2y2 + z2 = 0j. −9x2 + y2 + 4z2 = 1

Bài tập 7.7 Vẽ phần không gian bao gồm các điểm mà toạ độ của chúng thoả mãn:

a.

x2

25+

y2

9+

z2

4= 1

|z| ≥ 1b.

x2

25+

y2

9+

z2

4= 1

|x| ≤ 1

c.{

x2 + y2 + z2 ≤ 4x2 + y2 ≥ 1

d.{

x2 + y2 + z2 ≤ 4x2 + y2 ≤ 1

33

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ

Bài tập 1.1.

A →

1 −3 20 5 −50 0 0

; B →

1 2 50 1 −40 0 1

; C →

1 2 −50 9 −260 0 0

D →

1 2 −3 00 0 4 20 0 0 1

E →

1 −7 10 20 12 −18 −30 0 15 5

Bài tập 1.2.

A →

1 1 0 0 32

0 0 1 0 20 0 0 1 1

2

B →

1 0 411

511

1311

0 1 −1011

1511

−511

0 0 0 0 0

C →

1 0 113

0 176

0 1 13

0 23

0 0 0 1 12

D →

1 0 411

1311

0 1 −511

311

0 0 0 00 0 0 0

E →

1 2 0 0 43

0 0 1 0 00 0 0 1 −1

6

F →

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

Bài tập 1.3.r(A) = 2 r(B) = 2 r(C) = 3 r(D) = 1 r(E) = 3 r(F ) = 3 r(G) = 2 r(H) = 3

Bài tập 1.4.a.Vì r(A) = r(A∗) = 3 < n = 4 nên hệ vô số nghiệmb. Vì r(A) = r(A∗) = 2 < n = 5 nên hệ vô số nghiệmc.Vì r(A) = 3 < r(A∗) = 4 nên hệ vô nghiệmd. Vì r(A) = r(A∗) = 4 < n = 5 nên hệ vô số nghiệm

Bài tập 1.5.a)

+ Nếu a = 0 và b tùy ý thì r(A) = r(A∗) = 2 < n = 3 nên hệ vô số nghiệm+ Nếu a 6= 0• b = 0 thì r(A) = 2 < r(A∗) = 3 nên hệ vô nghiệm• b 6= 0 thì r(A) = r(A∗) = 3 = n nên hệ có nghiệm duy nhất

b)+ Nếu c = 0 và d tùy ý thì r(A) = r(A∗) = 3 < n = 4 nên hệ vô số nghiệm+ Nếu c 6= 0• d = 0 thì r(A) = 3 < r(A∗) = 4 nên hệ vô nghiệm• d 6= 0 thì r(A) = r(A∗) = 4 = n nên hệ có nghiệm duy nhất

Bài tập 1.6.

a.

x1 = −1− x5

x2 = 1 + 3x5

x3 ∈ Rx4 = −4 − 5x5

x5 ∈ R

b.

x1 = 3 + 5x3

x2 = 6− 4x3 + x4

x3 ∈ Rx4 ∈ Rx5 = 0

c.

x1 = 2x3

x2 = −8− 6x3

x3 ∈ Rx4 = −5x5 = 0

d.

x1 = −3 + 8x4

x2 = −6− 4x4

x3 = 5 + 7x4

x4 ∈ R


Bài tập 1.7.

a. Vô nghiệm b.

x1 =−1916

− 98x3

x2 =−58+ 1

4x3

x3 ∈ Rx4 =

52

c.

x1 = 0x2 = 2 + x3

x3 ∈ Rx4 = −2

d.

x1 = −2x2 = 2x3 = −3x4 = 3

e. Vô nghiệm f.

x1 = −2x2 = 2x3 = −3x4 = 3

g.

x1 = 1x2 = 2x3 = 3

h.

x1 = 1x2 = 2x3 = −2

Bài tập 1.8.

a. A∗ =

a 1 1 1 11 a 1 1 a1 1 a 1 b

→

1 1 a 1 b0 a− 1 1− a 0 a− b0 0 2− a− a2 1− a 1− ab+ a− b

+ Nếu 2− a− a2 = 0 ⇒ a = 1 hoặc a = −2

⋆ a = 1

• b = 1 ⇒ Hệ vô số nghiệm

• b 6= 1 ⇒ Hệ vô nghiệm

⋆ a = −2 ⇒ Hệ vô số nghiệm ∀b

+ Nếu 2− a− a2 6= 0 ⇒{

a 6= 1a 6= −2

⇒ 1− a 6= 0 ⇒ Hệ có nghiệm duy nhất.

b. A∗ =

1 2 2 a2 −1 1 b3 1 −1 c1 −3 5 d

→

1 2 2 a0 5 3 2a− b0 0 4 a+ b− c0 0 0 a+ 5b− 3c− d

+ Nếu a+ 5b− 3c− d = 0 thì hệ có nghiệm duy nhất

+ Nếu a+ 5b− 3c− d 6= 0 thì hệ vô nghiệm

Bài tập 1.9. Hệ có nghiệm ⇔ m = −1

Bài tập 1.10.

a.

x1 = 0x2 = 0x3 = 0

b.

x1 = 0x2 = 0x3 = 0x4 = 0

c.

x1 = 9x3

x2 = −4x3

x3 ∈ Rd.

x1 = −2316x4

x2 = − 516x4

x3 = 1516x4

x4 ∈ R

Bài tập 2.1. Tự giải

Bài tập 2.2. x = 2, y = 4, z = 1, w = 3

35

Bài tập 2.3. B =

[

−2d −2e −2fd e f

]

với d, e, f ∈ R

Bài tập 2.4. a. d11 = −14 b. d21 = 67 c. d32 = 6


Bài tập 2.6.

a. Ax =

26514

;Ay =

−38−4−4

;Az =

9−12−78

b. A[

x y z]

=

26 −38 95 −4 −1214 −4 −78

Bài tập 2.7.

A−1 =

29

2

−17

2

7

2−5

2

3

2

−1

23 −2 1

. ; B−1 =

8 −3 −1−5 2 110 −4 −1

; C−1 =

−8 5 −1−9

2

5

2

−1

25

2

−3

2

1

2

D−1 =

1 −1 0 00 1 −1 00 0 1 −10 0 0 1

; E−1 =

−10 −20 4 73 6 −1 −25 8 −2 −32 3 −1 −1

; G−1 =

2 −1 0 0−3 2 0 031 −19 3 −4

−23 14 −2 3

Bài tập 2.8. A khả nghịch khi và chỉ khi ad−bc 6= 0 và khi đó A−1 =

d

ad− bc

−b

ad− bc−c

ad− bc

a

ad− bc

Ứng dụng: A−1 =

[

−3 52 −3

]

; B−1 =

[

3 −1−2 1

]

.

Bài tập 2.9. a. c3(A−1) =

5−85

b. [c1(A−1) c2(A−1)] =

2 −1−2 31 −2

c. h2(A−1) =[

−2 3 −8]

⇒ x2 = −9

Bài tập 2.10. a. A khả nghịch ⇔ r(A) = 3 ⇔ m2 + 3m+ 2 6= 0 ⇔{

m 6= −1m 6= −2

và

A−1 =

−7 + 2m2 + 10m

2 +m2 + 3m

4m+ 3

2 +m2 + 3m− 3m+ 1

2 +m2 + 3m

−5m+ 3 +m2

2 +m2 + 3m

2m+ 1

2 +m2 + 3m− m− 1

2 +m2 + 3m

− m

2 +m2 + 3m

m

2 +m2 + 3m

2

2 +m2 + 3m


b. A khả nghịch ⇔ r(A) = 3 ⇔ p 6= 1 và

A−1 =

−1

−1 + p

−p

−1 + p

p

−1 + p

1

−1 + p

2 p− 1

−1 + p

−p

−1 + p

1

−1 + p

1

−1 + p

−1

−1 + p

Bài tập 2.11.

B−1 =

0 1 1−1

2

3

21

1

2

−1

2−1

Ta có x = B−1.d ⇒ i) x =

23

21

2

, ii) x =

69

23

2

, iii) x =

1−10

Bài tập 2.12. Ta có Ax = B ⇒ x = A−1.B

a. A−1 =

2 −7 3

−1 1 0

0 −2 1

⇒ x =

x1

x2

x3

=

−648

−18

b. A−1 =

1/4 1/4 1/2 0

1/4 1/4 −1/2 0

1/4 −1/4 0 1/2

1/4 −1/4 0 −1/2

⇒ x =

x1

x2

x3

x4

=

01

−1/21/2

c. A−1 =

1/4 1/4 1/4 1/4

1/4 1/4 −1/4 −1/4

1/4 −1/4 1/4 −1/4

1/4 −1/4 −1/4 1/4

⇒ x =

x1

x2

x3

x4

=

00

−10

Bài tập 2.13.

a. X =

[

−2 1

3/2 −1/2

]

.

[

3 55 9

]

=

[

−1 −1

2 3

]

b. X. =

[

−1 2−5 6

]

.

[

2 −1

5/2 −3/2

]

=

[

3 −2

5 −4

]

37

c. X =

[

2 −1

5 −3

]

[

14 169 10

]

[

−4 3

7/2 −5/2

]

=

[

1 2

3 4

]

d. X =

−4 3 −2

−8 6 −5

−7 5 −4

1 −3 010 2 710 7 8

=

6 4 5

2 1 2

3 3 3

e. X. =

1 2 34 5 67 8 9

13 −8 −1212 −7 −126 −4 −5

=

−103 −110 −117

−100 −107 −114

−45 −48 −51


Bài tập 3.2. D1 = 15 D2 = −30 D3 = 6 D4 = 9

Bài tập 3.3. a.

18 −12 −6

−7 10 1

−1 −2 7

; b.

−57 51 −3

33 −30 6

−3 6 −3

; c.

3 9 −1

2 6 −1

−3 −8 1

Bài tập 3.4. Khai triển định thức theo hàng 1, sau đó tách ra thành 2 nhóm theoa11, a12, ..., a1n và a

′

11, a′

12, ..., a′

1n ta sẽ được kết quả

Bài tập 3.5.

a. detA = 160; b. detB = 156; c. detC = −5;d. detD = −2(a3 + b3); e. detE = 0; f. detF = 0

Bài tập 3.6.a.(6− λ)(λ2 + 5λ+ 7); b.− (λ+ 3)(λ2 − 6λ)

c.(2− λ)(λ2 − 5λ+ 4);

Bài tập 3.7. Điều kiện để ma trận A khả nghịch là detA 6= 0

a.

t 6= −2t 6= 3t 6= 4

; b.

t 6= −2t 6= 2t 6= 4

; c.

t 6= −3t 6= −1t 6= 4

Bài tập 3.8.

a. Thay c3 → c3 − xc1 − yc2

b. Thay c1 → c1 + c2, tiếp theo c1 →1

2c1, tiếp theo c2 → c2 − c1, cuối cùng c2 →

−1

x


c. Thay h2 → h2 −h1, h3 → h3 − h1, tiếp theo h2 →1

b− ah2, h3 →

1

c− ah3, cuối cùng

thay h3 → h3 − h2

Bài tập 3.9.

A−1 =

0 −1 1

0 −2 1

1/3 2 −4/3

; B−1 =

1/2 1/2 −1/2

−5 2 1

7/2 −3/2 −1/2

C−1 =

1/4 1/4 1/2 0

1/4 1/4 −1/2 0

1/4 −1/4 0 1/2

1/4 −1/4 0 −1/2

; D−1 =

1/4 1/4 1/4 1/4

1/4 1/4 −1/4 −1/4

1/4 −1/4 1/4 −1/4

1/4 −1/4 −1/4 1/4

Bài tập 3.10. a. x2 = 2 b. x2 = 2 c. x2 = 0 d. x2 = −3

Bài tập 3.11. Áp dụng công thức xj =Dj

Da. D = 8;D1 = −48;D2 = −103;D3 = −11 b. D = 21;D1 = 8;D2 = 67;D3 = 56

c. D = 7;D1 = −7;D2 = 14;D3 = 0 d. D = −73;D1 = −146;D2 = −73;D3 = 73

Bài tập 3.12.

a. D = (a + 2)(4− a); D1 = −(a + 2)2; D2 = 3(a+ 2); D3 = 0

• Nếu{

a 6= −2a 6= 4

thì hệ có nghiệm duy nhất

x1 =−(a + 2)

4− a

x2 =3

4− ax3 = 0

• Nếu a = 4 thì D = 0 nhưng D1 = −36. Khi đó, hệ vô nghiệm.

• Nếu a = −2 thì hệ vô số nghiệm

x1 =−1

3x3

x2 =1

2+

7

6x3

x3 ∈ R

b. D = (a− 1)(a− 3); D1 = −4(a− 3);D2 = 0; D3 = 2(a− 3)

• Nếu{

a 6= 1a 6= 3


x1 =−4

a− 1x2 = 0

x3 =2

a− 1• Nếu a = 1 thì D = 0 nhưng D2 = 8. Khi đó, hệ vô nghiệm.


x1 =−4

5− 6

5x3

x2 =2

5− 2

5x3

x3 ∈ R

39

c. D = −a2(a+ 3);D1 = −a2 (a+ 3) (a3 + 2 a2 − a− 1) ;

D2 = −a2(a+ 3)(2a− 1);D3 = a2(a+ 3)(a2 − 2)

• Nếu{

a 6= 0a 6= −3


x1 = a3 + 2 a2 − a− 1x2 = 2a− 1x3 = 2− a2


x1 = x3

x2 = x3

x3 ∈ R

• Nếu a = 0 thì hệ vô số nghiệm

x1 = −x2 − x3

x2 ∈ Rx3 ∈ R

d. D = a(a+ 2)(a− 2);D1 = a(a+ 2);D2 = −a(a + 2)(a+ 3);D3 = a2(a+ 2)

• Nếu{

a 6= 0a 6= ±2


x1 =1)

a− 2

x2 =−(a + 3)

a− 2x3 =

a

a− 2• Nếu a = 2 thì D = 0 nhưng D1 = 8. Khi đó, hệ vô nghiệm.

• Nếu a = 0 thì hệ vô số nghiệm

x1 = −x2

x2 ∈ Rx3 = 0


x1 = 1− 3

2x3

x2 = 1 +1

2x3

x3 ∈ R

Bài tập 3.13. a. (x1; x2; x3) = (1; 2; 3) b. λ 6= −4

5

Bài tập 3.14. 1. (x1; x2; x3; x4) = (−2; 0; 1;−1) 2. D = 6a+2 6= 0 ⇔ a 6= −1

3

Bài tập 3.15.

a. D 6= 0 ⇐⇒ 3−m 6= 0 ⇐⇒ m 6= 3

b. Khi m = 3 hệ có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. Do đó, ta cần thử lại

A∗ =

1 1 −2 12 3 3 24 5 −1 4

→ .... →

1 0 −9 10 1 7 00 0 0 0

⇒ Hệ vô số nghiệm.

Vậy không tìm được m để hệ vô nghiệm


Bài tập 3.16. 1. (x1; x2; x3; x4) = (−2; 0; 1;−1) 2. D = a2 + 2a+ 1 6= 0 ⇔ a 6= −1

Bài tập 3.17. D = (k + 3)(2− k)a. k 6= 2 ∧ k 6= −3 b. k = −3 c. k = 2.

Bài tập 3.18. D = (k + 2)(k − 1)2

a. k 6= −2 ∧ k 6= 1 b. k = −2 c. k = 1.

Bài tập 3.19. a. X =

−11

34

30

b. λ = 1

Bài tập 4.1.a. Không, sai ở tiên đề 5 b. Không, sai ở tiên đề 8c. Không, sai ở tiên đề 8 d. Không, sai ở tiên đề 8 e. Phải

Bài tập 4.2. a. Phải b. Phải c. Không d. Phải e. Phải

Bài tập 4.3.

a. W = {(a, b, c) ∈ R3 : a = 2b} ⊂ R3 là không gian con của R3. Thật vậy,

+ Ta có θ = (0, 0, 0) ∈ W ⇒ W 6= ∅.

+ Mặt khác, ∀u(a1, b1, c1), v(a2, b2, c2) ∈ W, ∀α, β ∈ R ta có{

a1 = 2b1a2 = 2b2

Có αu+ βv = (αa1 + βa2, αb1 + βb2, αc1 + βc2)

Mà αa1 + βa2 = α2b1 + β2b2 = 2(αb1 + βb2) nên suy ra αu+ βv ∈ W

b. Không, vì khi chọn α < 0 và u = (a; b; c) ∈ W thì αu 6∈ W

c. Không, vì W không khép kín đối với phép cộng.

d. Không, vì W không khép kín đối với phép cộng.

e. Phải, tự chứng minh

f. Không, vì (0, 0, 0, 0) 6∈ W

g. Phải, tự chứng minh

Bài tập 4.4.

a. Không, vì W không khép kín đối với phép cộng.

b. Phải, tự chứng minh

41

Bài tập 4.5.

a. Sp

132

; b. Sp{[

1 −10 1

] [

0 11 −1

]

,

}

; c. Sp {(1; 2; 1), (0; 1;−1)}; d. Sp {1, x2}

Bài tập 4.6.

a. Không phải vì θ =

000

6∈ W b. Không phải vì θ =

000

6∈ W

c. W = Sp

10−10

,

−1101

,

0−110

d. W = Sp

401−2

,

3010

,

0011

Bài tập 4.7. Ta có:+θ ∈ E ⇒ E 6= ∅.+∀f1, f2 ∈ E ⇒

{

f1(a) = f1(b)f2(a) = f2(b)

Khi đó:

f1(a) + f2(a) = f1(b) + f2(b) ⇒ (f1 + f2)(a) = (f1 + f2)(b)

⇒ f1 + f2 ∈ E.+∀α ∈ R, ∀f ∈ E ⇒ f(a) = f(b), ta có:

(αf)(a) = αf(a) = αf(b) = (αf)(b) ⇒ αf ∈ E

Vậy E là một không gian con.

Bài tập 4.8.

a. E = Sp

{[

1 00 0

]

,

[

1 10 0

]

,

[

0 −20 1

]}

b. Không phải là không gian con của M(2, 2) vì nó không khép kín đối với cả 2 phéptoán

c. Không phải là không gian con của M(2, 2) vì[

0 00 0

]

6∈ M(2, 2)

d. E = Sp

{[

−2 10 0

]

,

[

1 01 0

]

,

[

−3 00 1

]}

Bài tập 4.9. H là không gian con của M(2, 4).Thật vậy:

+ θ =

[

0 0 0 00 0 0 0

]

∈ H vì Fθ = 0 nên H 6= ∅


+ ∀A,B ∈ H ⇒{

FA = 0FB = 0

; ∀α, β ∈ R, ta có

F (αA+ βB) = αFA+ βFB = 0 + 0 = 0 ⇒ αA+ βB ∈ H

Bài tập 4.10. Giả sử v =n∑

i=1

αivi, nếu ∃αi thì v ∈ Sp{vi}, ngược lại ∄αi thì v 6∈ Sp{vi}a. v ∈ Sp{v1, v2, v3} b. v 6∈ Sp {v1, v2, v3} c. v ∈ Sp{v1, v2} d. v 6∈ Sp{v1, v2}

Bài tập 4.11. w ∈ ColA vì hệ Ax = w có nghiệm w 6∈ NulA vì Aw 6= θ

Bài tập 4.12.

a. W không phải là không gian con của không gian vectơ [R]3 vì θ =

000

6∈ W.

b. W = NulA với A =

[

1 −2 0 02 0 −1 −3

]

c. W không phải là không gian con của không gian vectơ [R]4 vì θ =

0000

6∈ W.

d. W = NulA với A =[

1 6 −1]

e. W = NulA với A =[

5 −1 −2]

Bài tập 4.13. a. W = ColA với A =

0 2 31 1 −24 1 03 −1 −1

b. W = ColA với A =

1 −1 02 1 10 5 −40 0 1

Bài tập 4.14.

a. ∀v1, v2 ∈ H ∩K, ∀α, β ∈ R ⇒{

v1, v2 ∈ Hv1, v2 ∈ K

Vì H và K là hai không gian con ⇒{

αv1 + βv2 ∈ Hαv1 + βv2 ∈ K

⇒ αv1 + βv2 ∈ H ∩K

⇒ H ∩K là không gian con.

43

b. Ví dụ: Hai đường thẳng (d1) : x1 + x2 = 0 và (d2) : x1 − x2 = 0 là hai không giancon của R2 nhưng hợp của hai đường thẳng này không phải là không gian con củaR2.

Thật vậy:

Lấy u = (1;−1) ∈ d1; v = (1; 1) ∈ d2 thì u + v = (1;−1) + (1; 1) = (2; 0) 6∈ d1 và6∈ d2

Bài tập 4.15.a. phụ thuộc tuyến tính b. độc lập tuyến tính c. độc lập tuyến tínhd. độc lập tuyến tính e. phụ thuộc tuyến tính f. độc lập tuyến tínhg. phụ thuộc tuyến tính h. độc lập tuyến tính i. phụ thuộc tuyến tính

Bài tập 4.16.

a. {v1 = (1; 0; 0), v2 = (0; 1;−1), v3 = (0; 4;−3)}

b. {p0 = 2, p1 = −4x, p2 = x2 + x+ 1}

Bài tập 4.17.

a. Ta biết cơ sở của R4 gồm 4 vectơ độc lập tuyến tính. Ta có {v1, v2, v3} là 3 vectơ độclập tuyến tính nên ta chỉ cần chọn thêm vectơ v4 sao cho v4 không là tổ hợp tuyếntính của v1, v2, v3. Ta chọn v4 = (1; 1; 1; 1). Khi đó cơ sở của R4 là {v1, v2, v3, v4}.

b. Ta biết cơ sở của M(2, 2) gồm 4 vectơ độc lập tuyến tính. Ta có {v1, v2} là 2 vectơđộc lập tuyến tính nên ta chỉ cần chọn thêm vectơ v3, v4 sao cho v3, v4 sao cho

{v1, v2, v3, v4} độc lập tuyến tính. Ta chọn v3 =

[

0 10 0

]

, v4 =

[

0 00 1

]

. Khi đó cơ

sở của R4 là {v1, v2, v3, v4}.

Bài tập 4.18.

a. A =

−2 4 −2 −42 −6 −3 1

−3 8 2 −3

→ ... →

1 0 6 5

0 15

2

3

20 0 0 0

+ Cơ sở của ColA là

−22−3

,

4−68

và NulA là

125−20

,

1030−2

+ Cơ sở của RowA là {(1; 0; 6; 5), (0; 2; 5; 3)}dimColA = dimRowA = 2 và dimNulA = 2


b. A =

1 2 −5 11 −32 4 −5 15 21 2 0 4 53 6 −5 19 −2

→ ... →

1 2 0 4 0

0 0 1−7

50

0 0 0 0 10 0 0 0 0

+ Cơ sở của ColA là

1213

,

2426

,

−5−50−5

và NulA là

−21000

,

−40710

+ Cơ sở của RowA là {(1; 2; 0; 4; 0), (0; 0; 5;−7; 0), (0; 0; 0; 0; 1)}dimColA = dimRowA = 3 và dimNulA = 2

Bài tập 4.19.

a. Lập ma trận cột

A =

1 1 3 11 2 5 21 −1 −1 12 −2 −2 −13 1 5 4

→

1 1 3 10 1 2 10 −2 −4 00 −4 −8 −30 −2 −4 1

→

1 1 3 10 1 2 10 0 0 10 0 0 00 0 0 0

Cột chốt là cột 1, 2, 4.

Cơ sở của Sp(S) là {(1; 1; 1; 2; 3), (1 : 2;−1;−2; 1), (1; 2; 1;−1; 4)} và dimSp(S) = 3

b. Cơ sở của Sp(S) là S và dimSp(S) = 4

c. Cơ sở của Sp(S) là{[

1 2−1 3

]

,

[

2 51 −1

]

,

[

3 4−2 5

]}

và dimSp(S) = 3

d. Cơ sở của Sp(S) là S′

=

{[

1 20 1

]

,

[

3 41 1

]

,

[

1 21 1

]}

và dimSp(S) = 3

e. Vậy cơ sở của Sp(S) là S và dimSp(S) = 3

Bài tập 4.20. a. u ∈ Sp(S) b. S là tập sinh của R3.

Bài tập 4.21. a. p(x) = 4+x−3x2 ∈ Sp(S) b. S không phải là tập sinh của P2[x]

Bài tập 4.22.

a. Cơ sở của P là {(1;−3; 0), (0;−5; 1)}

b. Cơ sở của mặt phẳng là {(1; 1; 0), (−8; 0; 1)}..

45

Bài tập 4.23.a. dimW = 3 b. dimW = 2 c. dimW = 0 d. dimW = 2 e. dimW = 2 f. dimW = 3

Bài tập 4.24. Giả sử E là các không gian con của M(3, 3) cần tìm số chiềua. dimE = 3 b. dimE = 6 c. dimE = 6

Bài tập 4.25. a. dimU = 4 b. dimU = 2

Bài tập 4.26.

a. + Ta có U = Sp{(1; 0; 0; 0), (0; 2; 1; 0); (0;−1; 0; 1)} nên U là không gian con của R4

+ Ta có W = Sp{(1; 0; 0; 1), (0; 2; 1; 0)} nên W là không gian con của R4

b. + Cơ sở của U là (1; 0; 0; 0), (0; 2; 1; 0), (0;−1; 0; 1) và dimU = 3

+ Cơ sở của W là (1; 0; 0; 1), (0; 2; 1; 0) và dimW = 2

+ Cơ sở của U ∩W

Ta có C =

0 1 −2 11 0 0 −10 1 −2 0

→

1 0 0 −10 1 −2 10 0 0 1

→

1 0 0 00 1 −2 00 0 0 1

Vậy cơ sở của U ∩W là {(0; 2; 1; 0)}

Bài tập 4.27.

a. Đặt P = {(x1; x2; x3) : x1+3x2+4x3 = 0}⇒ Cơ sở của P là S = {(−3; 1; 0); (−4; 0; 1)}+ Chọn (1; 0; 0) ∈ R3 nhưng 6∈ P . Khi đó, {(−3; 1; 0); (−4; 0; 1), (1; 0; 0)} sẽ là cơ sởcủa R3

b. Đặt P = {(x1; x2; x3; x4) : x1 + x2 + 2x3 + x4 = 0}⇒ Cơ sở của P là S = {(−1; 1; 0; 0); (−2; 0; 1; 0), (−1; 0; 0; 1)}+ Chọn (1; 0; 0; 0) ∈ R4 nhưng 6∈ P . Khi đó, {(−1; 1; 0; 0); (−2; 0; 1; 0), (−1; 0; 0; 1), (1; 0; 0; 0)}sẽ là cơ sở của R4

Bài tập 4.28.

a. E = Sp{(x2 − 4)(x2 + 1); (x2 − 4)x} nên E là không gian con của P4[x].

b. Tìm dimE = 2

Bài tập 4.29.

a. E là không gian con của R3 ⇔

(0; 0; 0) ∈ E∀u, v ∈ E ⇒ u+ v ∈ E∀α ∈ R, ∀u ∈ E ⇒ αu ∈ E

⇔ m = 0.


b. Tìm dimE = 2

Bài tập 4.30.

E =

(x1, x2, x3) ∈ R3 :

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x1 x2 x3

1 2 12 1 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

={

(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 − x3 = 0 = 0}

= Sp{(1; 0; 1), (0; 1; 0)}

⇒ E là không gian con của R3

Cơ sở của E là {(1; 0; 1), (0; 1; 0)} và dimE = 2

Bài tập 4.31. a.

8−45

; b.

26−1

; c.

0−25

; d.

a+ b

2a− b

20

; e.

3511

Bài tập 4.32. a. x = (−1;−5; 9) b. x = (0; 1;−5) c.p(x) = 2 + 6x+ 2x2

Bài tập 4.33.

a. Vì dimP2[x] = 3 nên để {p1, p2, p3} trở thành cơ sở của P2[x] ta chỉ cần điều kiệnđể {p1, p2.p3} độc lập tuyến tính ⇔ α1p1+α2p2+α3p3 = 0 ⇒ α1 = α2 = α3 = 0 (1)

Ta có A =

1 1 1

0 1 −m

−1 1 −3

→

1 1 1

0 1 −m

0 0 −2 + 2m

(1) xảy ra ⇔ r(A) = 3 ⇔ −2 + 2m 6= 0 ⇔ m 6= 1

b. p(x) = α1p1 + α2p2 + α3p3

A∗ =

1 1 1 3

0 1 −2 1

−1 1 −3 1

→

1 0 0 −1

0 1 0 3

0 0 1 1

⇔ p(x) = −p1 + 3p2 + p3

Bài tập 4.34.

1. E = Sp

21−3

,

1−2−4

,

−102

2. Cơ sở của E là

21−3

,

1−2−4

và dimE = 2

47

Bài tập 4.35.

a. Vì dimP3[x] = 4 mà B có 4 véc tơ nên ta chỉ cần chứng minh B độc lập tuyến tínhhoặc B là tập sinh

Ta chứng minh B = {1, 1− x, (1− x)2, (1− x)3} là tập sinh của P3[x].

Lấy p(x) = a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ P3[x], giả sử có

α1.1 + α2(1− x) + α3(1− x)2 + α4(1− x)3 = a + bx+ cx2 + dx3

⇔ (α1+α2+α3+α4)+(−α2−2α3−3α4)x+(α3+3α4)x2−α4x

3 = a+bx+cx2+dx3

⇔

α1 +α2 +α3 +α4 = a−α2 −2α3 −3α4 = b

α3 +3α4 = c−α4 = d

⇔

α1 = a + b+ c + dα2 = −b − 2c− 3dα3 = c + 3dα4 = −d

⇒ a+bx+cx2+dx3 = (a+b+c+d).1+(−b−2c−3d)(1−x)+(c+3d)(1−x)2−d(1−x)3

⇒ B = {1, 1− x, (1− x)2, (1− x)3} là tập sinh của P3[x].

Vậy B = {1, 1− x, (1− x)2, (1− x)3} là cơ sở của P3[x].

b. Áp dụng kết quả câu a ta suy ra (u)B = (−4; 11;−7; 2)

Bài tập 4.36. 1. Tự chứng minh 2. Tương tự bài 4.38

Bài tập 4.37.

PB,C =

4 −1 0−1 1 10 1 −2

⇒ [x]C =

822

Bài tập 4.38. a. PE ,B =

7 −3 1

−6 3 −1

4 −2 1

b. PB,E =

1 1 0

2 3 1

0 2 3

Bài tập 4.39. a. PB,C =

[

0 −11 1

]

b. PB,C =

0 0 10 1 01 0 0

Bài tập 5.1.a. f là ánh xạ tuyến tính. Tự chứng minh b. f không là ánh xạ tuyến tính. Tự giải thíchc. f là ánh xạ tuyến tính. Tự chứng minh d. f là ánh xạ tuyến tính. Tự chứng minhe. f không là ánh xạ tuyến tính. Tự giải thích f. f là ánh xạ tuyến tính. Tự chứng minhg. f là ánh xạ tuyến tính. Tự chứng minh h. f không là ánh xạ tuyến tính. Tự giải thích

Bài tập 5.2.


a. Tự chứng minh, Kerf = {0} và Imf = Sp{x2, x2 + x, 2}

b. Tự chứng minh, Kerf =

{[

a 00 −2a

]

, a ∈ R

}

và Imf = Sp

{[

0 10 0

]

,

[

0 01 0

]

,

[

0 00 1

]}

c. Tự chứng minh, Kerf = {p(x) ∈ Pn[x]|an

n+ 1+ · · ·+ a2

3+a12+a0 = 0} và Imf = R

d. Tự chứng minh, Kerf =

{[

0 b−b 0

]

, b ∈ R

}

và Imf = Sp

{[

2 00 0

]

,

[

0 11 0

]

,

[

0 00 2

]}

e. Tự chứng minh, KerT = {0} và Imf = F

Bài tập 5.3.

a. Tự chứng minh

b. Giả sử:

A =

[

x yz t

]

;B =

[

a bb c

]

⇒ A =

a

2y

b− yc

2

, y ∈ R

c. Tự chứng minh

d. KerT =

{[

0 b−b 0

]

, b ∈ R

}

Bài tập 5.4. f(p) =

[

a − b + ca + b + c

]

Bài tập 5.5. a. Tự chứng minh b. Cơ sở của Kerf là {(3;−1; 1)} và dimKerf = 1

Bài tập 5.6.

a. Cơ sở của KerT là {(1;−2; 1; 0)T , (−7; 3; 0; 1)T} và dimKerT = 2

b. Cơ sở của ImT là {(1; 1; 3)T , (2; 3; 8)T} và dim ImT = 2.

Bài tập 5.7.

a. Cơ sở của KerT là {(1; 2;−1)} và dimKerT = 1

b. Cơ sở của ImT là {(1; 3;−2), (2; 5;−1)} và dim ImT = 2

Bài tập 5.8.

49

a. Tự chứng minh, Kerf =

{[

a b c0 0 0

]

, a, b, c ∈ R

}

b. Tự chứng minh, Kerf = {A ∈ M(3, 3)|a11 + a22 + a33 = 0}

c. Tự chứng minh,Kerf =

{[

0 b−b 0

]

, b ∈ R

}

.

Bài tập 5.9. Tự chứng minh

Bài tập 5.10. a.{

x1 = −3x2 = 1

b.{

x1 = −2x2 = 3

Bài tập 5.11. a. (24;−26) b. (−19; 4) c. (−15;−5) d. (802;−477; 398; 57)

Bài tập 5.12. a. A =

[

2 11 −1

]

b. A =

1 1 11 1 01 0 0

c. A =[

1 1 1]

Bài tập 5.13. a. A =

[

2t −4t1t 2t

]

với t ∈ R b. A =

0 03t 3t5t 5t

với t ∈ R

Bài tập 5.14.

a. Tự chứng minh. Cơ sở của f(E) là {(−1; 3; 2), (−1; 1; 1)}, dim f(E) = 2

b. Tự chứng minh. Cơ sở của f(E) là{[

−21

]}

, dim f(E) = 1

c. Tự chứng minh. Cơ sở của f(E) là {2x+ 1, x2 + x+ 2}, dim f(E) = 2

Bài tập 5.15.

a. f không phải là đơn ánh, nhưng f là toàn ánh.

b. f là song ánh

c. f không phải là đơn ánh, cũng không phải là toàn ánh.

d. f là đơn ánh, nhưng f không phải là toàn ánh.

e. f không phải là đơn ánh, nhưng f là toàn ánh.

Bài tập 5.16.

a. Cơ sở của Kerf là {(−1; 1; 0)} và cơ sở của Imf là {(1; 0), (0; 1)}

b. Kerf = {(0; 0; 0)} nên Kerf không có cơ sở và cơ sở của Imf là {(0; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0}


c. Cơ sở của Kerf là{[

−1 10 0

]

,

[

−1 01 0

]

,

[

−1 00 1

]}

và cơ sở của Imf là {1}

d. Kerf = {0} nên Kerf không có cơ sở và cơ sở của Imf là {x, x2}

e. Cơ sở của Kerf là {(1; 0; 0), (0; 0; 1} và cơ sở của Imf là {(1; 1; 1)}

Bài tập 5.17.

a. B = {p1 = 1 + 2x, p2 = 3− x, p3 = −1 + 3x2}Gọi E = {1, x, x2} là cơ sở chính tắc của P2[x].

Ta xét ánh xạ tọa độ: f : P2[x] → [R]3 được xác định như sau pi 7→ [pi]E

Để xét tính độc lập tuyến tính của {p1, p2, p3} ta sẽ xét tính độc lập của {[p1]E , [p2]E , [p3]E }Ta có

[p1]E =

120

, [p2]E =

3−10

, [p3]E =

−103

Lập ma trận có các cột là các vectơ E -tọa độ của p1, p2, p3

A =

1 3 −12 −1 00 0 3

→

1 3 −10 −7 20 0 3

Ta có r(A) = 3 nên ta suy ra {[p1]E , [p2]E , [p3]E } độc lập tuyến tính.

Vậy B độc lập tuyến tính.

b. Tương tự, B độc lập tuyến tính.

c. Tương tự, B độc lập tuyến tính.

d. Tương tự, B phụ thuộc tuyến tính.

Bài tập 5.18.

a. Cơ sở của Kerf là

−210

và r(f) = r(A) = 2

b. Cơ sở của Kerf là

−22

−11

và r(f) = r(A) = 3

51

c. Cơ sở của Kerf là

−14

−520

và r(f) = r(A) = 4

Bài tập 5.19.a. T không phải là đơn cấu và toàn cấu b. T là đẳng cấuc. T là toàn cấu, không phải là đơn cấu d. T là đẳng cấu

Bài tập 5.20.a. dimKerD = 1 và r(D) = n b. dimKerD = 1 và r(D) = n c. dimKerf = 3 và r(f) = 3d. dimKerT = 8 và r(T ) = 1 e. dimKerS = 3 và r(S) = 6

Bài tập 5.21. [f ]B,C =

3 11 1−2 0

Bài tập 5.22. [f ]E ,B =

0 −1 1−1 0 −11 −1 0

Bài tập 5.23. a. Tự tìm b. Tự chứng minh c. [f ]B,E =

1 −1 11 0 01 1 1

Bài tập 5.24.

a. m = 0 và Kerf = {(0; y;−y), y ∈ R} và dimKerf = 1 b. [f ]B,C =

[

2 0 20 2 0

]

Bài tập 5.25.

a. Tự chứng minh b. a = −3

c. + Nếu a 6= −3 thì f là đơn cấu nên Kerf = {(0; 0; 0)} và dimKerf = 0

+ Nếu a = −3 thì Kerf = {(a; a; a), a ∈ R} ⇒ dimKerf = 1

Bài tập 5.26.

1. Tự chứng minh 2. Kerf = {ax2 − ax, a ∈ R} 3. [f ]B =

3 1 0−6 −2 05

2

3

21


Bài tập 5.27.

1. Tự chứng minh 2. Kerf =

{[

0 b0 0

]

, b ∈ R

}

3. [f ]B =

1/3 0 1/3 2/3

−2/3 1 1/3 2/3

2/3 0 2/3 −2/3

0 0 0 1

Bài tập 6.1.

a. Tập các véc tơ riêng của A ứng với λ = 1 (kép) là

s2s+ 2t

t

, s2 + t2 6= 0

và

λ = 3 là

t−t−2t

, t 6= 0

b. Tập các véc tơ riêng của A ứng với λ = 1 (kép) là

−s+ tts

, s2 + t2 6= 0

và

λ = 2 là

ttt

, t 6= 0

c. Tập các véc tơ riêng của A ứng với λ = 2 (kép) là

st

2s+ 2t

, s2 + t2 6= 0

và

λ = 1 là

t−3t−3t

, t 6= 0

d. Tập các véc tơ riêng của A ứng với λ = −1 (bội 3) là

−t−tt

, t 6= 0

e. Tập các véc tơ riêng của A ứng với λ = 2 (kép) là

st

−3s+ 3t

, s2 + t2 6= 0

và

λ = 1 là

ttt

, t 6= 0

Bài tập 6.2. a,d không chéo hóa được b,c chéo hóa được

Bài tập 6.3.

53

a.{

λ1 = 1λ2 = 5

, P =

1 1 11 0 10 1 1

và D =

1 0 00 1 00 0 5

b.

λ1 = 0λ2 = 1λ3 = −3

, P =

1 0 1−2 1 −10 1 2

và D =

0 0 00 1 00 0 −3

c.{

λ1 = 2λ2 = 3

, P =

−1 −1 −11 0 10 1 1

và D =

2 0 00 2 00 0 3

d.

λ1 = −1λ2 = 2λ3 = 3

, P =

−5 −3 −52 1 21 1 2

và D =

−1 0 00 2 00 0 3

e.{

λ1 = 1λ2 = 3

, P =

1 1 11 0 10 1 1

và D =

1 0 00 1 00 0 3

f.{

λ1 = 2λ2 = −1

, P =

1 −2 −21 0 10 1 1

và D =

2 0 00 2 00 0 −1

Bài tập 6.4.

a. Tập các véc tơ riêng của f ứng với λ1 = 1 là {(s− t, s, t), s2 + t2 6= 0} và λ2 = 3 là{(t; t; 0), t 6= 0}

b. Tập các véc tơ riêng của f ứng với λ1 = 1 là

s00

, s 6= 0

và λ2 = 3 là

tt

−2t

, t 6= 0

c. Tập các véc tơ riêng của f ứng với λ1 = 2 là {ax2 + bx + a, a2 + b2 6= 0} và λ2 = 1là {ax2 − ax+ 2a, a 6= 0}

Bài tập 6.5. B =

100

,

510

,

732

−72

Bài tập 6.6. B = {(1;−1; 0), (−3; 0; 2); (1; 1;−1)}


Bài tập 6.7.1. Tự chứng minh 2. KerT = {0} ⇒ r(T ) = 3 3. Tự chứng minh

4. [T ]B =

4 2 −1

−6 −4 3

−6 −6 5

5. C = {x2 + 3x, x+ 1, x2 − 4}

Bài tập 6.8.1. Tự chứng minh 2. KerT = {0} ⇒ r(T ) = 3 3. Tự chứng minh

4. [T ]B =

4 2 −1

−6 −4 3

−6 −6 5

5.[

C = {−x2 + x+ 3,−x2 + 1, 3x2 + x}C = {x2 − x− 3, x+ 3, x2 + 2x+ 5}

Bài tập 6.9. Ta có Ak = PDkP−1 với P là ma trận chéo hóa được A và D là dạng chéocủa A

a.

Ak = PDkP−1 =

−2 1 −1

1 0 −1

0 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 5k

−1/4 1/2 1/4

1/4 1/2 3/4

−1/4 −1/2 1/4

=

3/4 + 1/4 .5k −1/2 + 1/2 .5k 1/4− 1/4 .5k

−1/4 + 1/4 .5k 1/2 + 1/2 .5k 1/4− 1/4 .5k

1/4− 1/4 .5k 1/2− 1/2 .5k 3/4 + 1/4 .5k

b.

Ak = PDkP−1 =

−1 −1 1

0 1 1

1 0 1

(−1)k 0 0

0 (−1)k 0

0 0 5k

−1/3 −1/3 2/3

−1/3 2/3 −1/3

1/3 1/3 1/3

=

2/3 (−1)k + 1/3 .5k −1/3 (−1)k + 1/3 .5k −1/3 (−1)k + 1/3 .5k

−1/3 (−1)k + 1/3 .5k 2/3 (−1)k + 1/3 .5k −1/3 (−1)k + 1/3 .5k

−1/3 (−1)k + 1/3 .5k −1/3 (−1)k + 1/3 .5k 2/3 (−1)k + 1/3 .5k

c.

Ak = PDkP−1 =

−4 −1 −2

0 1 −1

1 0 1

3k 0 0

0 3k 0

0 0 1

−1 −1 −3

1 2 4

1 1 4

=

3 .3k − 2 2 .3k − 2 8 .3k − 8

−1 + 3k −1 + 2 .3k −4 + 4 .3k

−3k + 1 −3k + 1 −3 .3k + 4

55

Bài tập 7.1.

a. 5x′2 + 2y

′2 − 2 = 0 b. 4x′2 − 1 = 0 c. 4x′2 − 8√3x′ + 8y′ = 0

d. y′2 = 1 e. 2

√2x

′2 − y′ = 0.

Bài tập 7.2.

a. Dạng Ellip b. Dạng Ellip c.Dạng Hyperbol

d. Dạng Parabol e. Dạng Ellip f. Dạng Hyperbol

Bài tập 7.3.

a. Ta có

x = − 2√5x′ +

1√5y′

y =1√5x′ +

2√5y′

b. Ta có

x =1

2x′ − 1

2y′

y =1

2x′ +

1

2y′

⇒ 9x′2 − y

′2 + 6√5x′ − 4

√5y′ + 20 = 0 ⇒ 2x

′2 + 8y′2 − 16x′ − 16 = 0

Đặt

X = x′ +

√5

3Y = y′ + 2

√5

Đặt{

X = x′ − 4Y = y′

⇒ 9X2 − Y 2 = −5 ⇒ X2 + 4Y 2 = 24Đồ thị Đồ thị

c. Ta có

x = −1

2x′ +

1

2y′

y =1

2x′ +

1

2y′

d. Ta có

x = − 3√10

x′ +1√10

y′

y =1√10

x′ +3√10

y′

⇒ x′2 + 9y

′2 − 18y′ = 0 ⇒ 10x′2 + 2

√10x′ + 2

√10y′ − 9 = 0

Đặt{

X = x′

Y = y′ − 1Đặt

X = x′ +1√10

Y =√10y′ − 5

⇒ X2 + 9Y 2 = 9 ⇒ X2 = −1

5Y

Đồ thị Đồ thị


Bài tập 7.4.a - hình 3 b - hình 2 c - hình 7 d - hình 8 e - hình 1f - hình 9 g - hình 10 h - hình 6 i - hình 5 j - hình 4

Bài tập 7.5.

a. Ellip có phương trìnhx2

25+

y2

9= 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục lớn 5, bán trục nhỏ

3, đỉnh A1(−5; 0), A2(5; 0), B1(0;−3), B2(0; 3), tiêu điểm F1(−4; 0), F2(4; 0).

b. + z = 1: Ellip có phương trìnhx2

45+

y2

152

= 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục lớn

3√5, bán trục nhỏ

√

152, đỉnh A1(−3

√5; 0), A2(3

√5; 0), B1(0;−

√

152), B2(0;

√

152),

tiêu điểm F1(−√

752; 0), F2(

√

752; 0).

+z = 2: Ellip có phương trìnhx2

18+

y2

3= 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục lớn 3

√2,

bán trục nhỏ√3, đỉnh A1(−3

√2; 0), A2(3

√2; 0), B1(0;−

√3), B2(0;

√3), tiêu điểm

F1(−√15; 0), F2(

√15; 0).

c. + z = 0: Tập rỗng

+ z = 2: Phương trìnhx2

36+

y2

6= 0 ⇒ O(0; 0)

+ z = 4 Ellip có phương trìnhx2

12+

y2

2= 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục lớn 2

√3,

bán trục nhỏ√2, đỉnh A1(−2

√3; 0), A2(2

√3; 0), B1(0;−

√2), B2(0;

√2), tiêu điểm

F1(−√10; 0), F2(

√10; 0).

d. + h < 0: Hyperbol có phương trìnhx2

4h− y2

h= 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục thực

√

|h|, bán trục ảo 2√

|h|, đỉnh A1(0;−√

|h|), A2(0;√

|h|), tiêu điểm F1(0;−√

|5h|),F2(0;

√

|5h|), tiệm cận y = ±2x

+ h = 0: Hai đường thẳng cắtt nhau có phương trình là y = ±x

2

57

+h > 0: Hyperbol có phương trìnhx2

4h− y2

h= 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục thực

2√h, bán trục ảo

√h, đỉnh A1(−2

√h; 0), A2(2

√h; 0), tiêu điểm F1(−

√5h; 0), F2(

√5h; 0),

tiệm cận y = ±x

2

Bài tập 7.6.a b

Hình 7.1: Mặt trụ tròn Hình 7.2: Mặt Hypeboloid 2 tầng

c d

Hình 7.3: Mặt trụ hyperbol Hình 7.4: Mặt Ellipxoit

e f

Hình 7.5: Mặt Paraboloit elliptic Hình 7.6: Mặt Hyperboloit 2 tầng


g h

Hình 7.7: Mặt Paraboloit Hyper-bolic Hình 7.8: Mặt Trụ Parabol

i j

Hình 7.9: Mặt Nón Ellip Hình 7.10: Mặt Hyperboloid 1 tầng

Bài tập 7.7.

Tài liệu tham khảo

[1] Bùi Xuân Hải - Trần Nam Dũng - Trịnh Thanh Đèo - Thái Minh Đường - Trần NgọcHội , Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia TPHCM, (2001).

[2] Hồ Hữu Lộc, Bài tập Đại số tuyến tính, Đại học Cần Thơ, (2005).

[3] Ngô Thu Lương - Nguyễn Minh Hằng, Bài tập Toán cao cấp tập 2, NXB Đại học QuốcGia TPHCM, (2000).

[4] Nguyễn Viết Đông - Lê Thị Thiên Hương - Nguyễn Anh Tuấn - Lê Anh Vũ, Bài tậpToán cao cấp tập 2, NXB Giáo Dục, (2000).

[5] Tống Đình Quỳ - Nguyễn Cảnh Lương, Giúp ôn tập tốt TOÁN CAO CẤP tập 4, NXBĐại học Quốc Gia HÀ NỘI, (2000).

[6] http://tutorial.math.lamar.edu/AllBrowsers/2318

59

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH - An Giang University

Documents