S. Hagh Shenas Noshari, S. Nitsche, C. R¨ osinger, A. Thumm, D. Zimmermann 1. Gruppen¨ ubung zur Vorlesung H¨ ohere Mathematik 1 M. Stroppel Wintersemester 2018/19 Pr¨ asenz¨ ubungen Aufgabe P 1. Elementares Rechnen Berechnen Sie ohne Taschenrechner: (a) 2097,8 : 17 (b) 15 7 2 · 21 20 (c) √ 13 4 + 39 2 (d) ( 11 5 ) (e) ( 11 5 ) − ( 10 5 ) − ( 10 6 ) Aufgabe P 2. Summen Seien a 1 =5,a 2 =3,a 3 = −1,a 4 =3,a 5 = 17,a 6 = −4 gegeben. Sei b j = a j +1 f¨ ur alle j ∈{1, 2, 3, 4, 5, 6} . Berechnen Sie 5 j =2 a j , 5 j =2 b j , 2 j =0 a 2j +1 , 3 j =1 b 2j , 3 j =1 2b j , 4 j =4 a j . Aufgabe P 3. Umgang mit Summen Sei n ∈ N und a j ∈ R f¨ ur alle j ∈ N . Welche der Summen A , B , C , D liefern dasselbe Resultat? A = n k=0 a 2k+1 , B = n+4 k=4 a 2k-7 , C = 2n+1 k=1 a k − n k=1 a 2k , D = 2n+1 l=1 ( 1 − (−1) l ) 2 sin π 2 +2lπ a l . Aufgabe P 4. Vollst¨ andige Induktion, Pascalsches Dreieck Zeigen Sie durch vollst¨ andige Induktion die folgende Aussage: F¨ ur alle n ∈ N mit n ≧ 2 gilt n k=2 k 2 = n +1 3 . Stellen Sie das Ergebnis f¨ ur n =5 im Pascalschen Dreieck dar. Aufgabe P 5. Binomischer Lehrsatz Beweisen Sie: F¨ ur alle n ∈ N 0 gilt n k=0 n k 2 k =3 n . info.mathematik.uni-stuttgart.de/HM-Stroppel/
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H¨ohereMathematik1info.mathematik.uni-stuttgart.de/HM-Stroppel-Material/aufgaben/blatt/... · 1. Gruppen¨ubung H¨ohere Mathematik 1 Haus¨ubungen (Abgabe in der n¨achsten Gruppen¨ubung)
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Sei n ∈ N und aj ∈ R fur alle j ∈ N . Welche der Summen A , B , C , D liefern dasselbeResultat?
A =n∑
k=0
a2k+1 , B =n+4∑
k=4
a2k−7 ,
C =2n+1∑
k=1
ak −n∑
k=1
a2k , D =2n+1∑
l=1
(
1− (−1)l)
2sin(π
2+ 2lπ
)
al .
Aufgabe P 4. Vollstandige Induktion, Pascalsches Dreieck
Zeigen Sie durch vollstandige Induktion die folgende Aussage:
Fur alle n ∈ N mit n ≧ 2 giltn∑
k=2
(
k
2
)
=
(
n+ 1
3
)
.
Stellen Sie das Ergebnis fur n = 5 im Pascalschen Dreieck dar.
Aufgabe P 5. Binomischer Lehrsatz
Beweisen Sie:
Fur alle n ∈ N0 giltn∑
k=0
(
n
k
)
2k = 3n.
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1. Gruppenubung Hohere Mathematik 1
Hausubungen (Abgabe in der nachsten Gruppenubung):
Aufgabe H 1. Polynome
(a) Berechnen Sie (3X+2)3 , (X−2)4 und (X−1)5 mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes.
(b) Bestimmen Sie alle reellen Nullstellen von (X4 + 8X3 + 24X2 + 32X + 16)(X2 + 1) .
(c) Zeigen Sie, dass alle reellen Nullstellen von X7 + 12X6 + 31X3 + 2 negativ sind.
(d) Zeigen Sie, dass 3X2018 + 4X2 − 8X + 5 keine reellen Nullstellen besitzt.
Aufgabe H 2. Teleskopsummen
Seien x ∈ R und n ∈ N . Berechnen Sie die folgenden Summen:
(a) (x2 − 1)n∑
k=0
xk (b)n∑
k=1
(
3
k− 2
k + 1− 1
k + 2
)
Aufgabe H 3. Vollstandige Induktion mit Ungleichung
Zeigen Sie durch vollstandiger Induktion die folgenden Aussagen:
(a) Es gilt 2n + n2 > (n+ 1)(n+ 2) fur alle n ∈ N mit n ≧ 4 .
(b) Es gilt∑n
k=1 k · 2k−1 > (n+ 1)n2 fur alle n ∈ N mit n ≧ 6 .
Hinweis: Verwenden Sie fur Teil (b) die Aussage aus (a).
Aufgabe H 4. Vollstandige Induktion mit Produkt
Analog zur Summenschreibweise, fuhren wir das Produktsymbol ein:∏m
j=1Aj bedeutet,dass man den Term Aj fur alle j von 1 bis m auswertet und die entstandenen Zahlenzusammenmultipliziert. Zeigen Sie die folgenden Aussagen mittels vollstandiger Induktion:
(a) Es gilt∏n
k=2
(
1− 1k2
)
= n+12n
fur alle n ∈ N mit n ≧ 2 .
(b) Es gilt∏n
k=1 (2k − 1) = (2n)!n! 2n
fur alle n ∈ N .
Online-Aufgabe.
Sie finden Ihre Online-Aufgabe (Bearbeitungszeit 25.10.–31.10.) auf folgender Webseite:
Bitte geben Sie dort zunachst Ihre Matrikelnummer ein.
Die Losungen sind als ganze Zahlen oder als Dezimalzahlen mit einem Dezimalpunkt einzu-geben. Sonstige Zeichen, wie zum Beispiel Klammern oder Operatoren wie ∗ und / , durfennicht benutzt werden.
Anschließend mussen Sie Ihr Passwort fur die Onlineubungen eintragen, das Sie per Emailan Ihre studentische Adresse (<st∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗@stud.uni-stuttgart.de>) erhalten haben.
Innerhalb des Bearbeitungszeitraums konnen Sie Ihre Eingaben beliebig oft wiederholen, wo-bei die letzten Eingaben gewertet werden. Der Bearbeitungszeitraum endet mittwochs, nachder Abgabe der schriftlichen Ubungen in den Ubungsgruppen, um 24:00 Uhr. Sie erhaltenfur die Bearbeitung der Online-Aufgabe 0, 1, oder 2 Punkte.
Bitte geben Sie dort zunachst Ihre Matrikelnummer ein.
Die Losungen sind als ganze Zahlen oder als Dezimalzahlen mit einem Dezimalpunkt einzu-geben. Sonstige Zeichen, wie zum Beispiel Klammern oder Operatoren wie ∗ und / , durfennicht benutzt werden.
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(a) Geben Sie an, welche Eigenschaft eine Abbildung erfullen muss, damit sie nicht injektivbeziehungsweise nicht surjektiv ist.
(b) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f : R+ → R : x 7→ −(x− 1)2 − 2 .Ist f injektiv? Ist f surjektiv? Ist f bijektiv?
(c) Finden Sie eine Abbildung g : [0, 4] → [0, 2] , die injektiv, aber nicht surjektiv ist.
Aufgabe P 10. Rechnen mit komplexen Zahlen I
Gegeben seien die komplexen Zahlen z1 = 1+i , z2 = 3−2i und z3 = 2(
cos(
23π)
+i sin(
23π))
.
(a) Zeichnen Sie z1 , z2 und z3 in die komplexe Zahlenebene.
(b) Bestimmen Sie alle Abstande zwischen je zwei dieser Zahlen.
(c) Zeichnen Sie z1 + z2 , z2 , z1 · z2 und i · z3 in die komplexe Zahlenebene.
Aufgabe P 11. Rechnen mit komplexen Zahlen II
Gegeben seien die komplexen Zahlen
z1 = 4(
cos(π
6
)
+ i sin(π
6
))
, z2 = 1 +√3i, und z3 = 2 + 4i.
(a) Bestimmen Sie Real- und Imaginarteil sowie Betrag und Argument von z1 und z2 .
(b) Bestimmen Sie Real- und Imaginarteil sowie Betrag und Argument von z1z2.
(c) Bestimmen Sie Real- und Imaginarteil von z2z3.
Aufgabe P 12. Quadratische Gleichung in C losen
(a) Sei z = x+ iy mit x, y ∈ R . Bestimmen Sie Real- und Imaginarteil von z2 .
(b) Bestimmen Sie Real- und Imaginarteil aller Losungen der Gleichung z2 = 2− 3i .
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3. Gruppenubung Hohere Mathematik 1
Hausubungen (Abgabe in der nachsten Gruppenubung):
Aufgabe H 9. Injektivitat, Surjektivitat und Bijektivitat
Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivitat, Surjektivitat und Bijektivitat:
(a) f : R → R : x 7→ −2x3 (b) g : Rr {0} → R+ : x 7→ |x|x2
(c) h : N → N : n 7→(
n+3n+2
)
(d) k : [0, 32π] → [−1, 3
2] : x 7→ cos(x)
Aufgabe H 10. Links- und Rechtsinverse
Sei f : A → B eine Abbildung. Eine Abbildung g : B → A heißt Links- bzw. Rechtsinversevon f , wenn g ◦ f = idA bzw. f ◦ g = idB gilt. Wir nennen f links-/rechtsinvertierbar,wenn eine Links-/Rechtsinverse von f existiert. Zeigen Sie:
(a) Wenn f : A→ B linksinvertierbar ist, dann ist f injektiv.
(b) Wenn f : A→ B rechtsinvertierbar ist, dann ist f surjektiv.
Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Links- und Rechtsinvertierbarkeit:(c) h : R+ → R : x 7→ x2 (d) k : R → [−1, 1] : x 7→ sin x
Aufgabe H 11. Rechnen mit komplexen Zahlen
(a) Seien ζj = (cos(π/3) + i sin(π/3))j . Zeichnen Sie die Zahl ζj fur j ∈ {0, 1, . . . , 5}in die komplexe Zahlenebene ein und bestimmen Sie
∑5k=0 ζj .
(b) Berechnen Sie jeweils Real- und Imaginarteil sowie Betrag und Argument der folgendenkomplexen Zahlen:
(−√2 +
√6 i)8, (1 + i)17 · (1− i)−20
Aufgabe H 12. Abbildungen im Komplexen
Zeichnen Sie die folgenden Mengen M, f(M) j C in die komplexe Zahlenebene ein, wenn
(a) f : Cr {0} → C : z 7→ 1z, M = {1, i, 1− 2i} ,
(b) f : C → C : z 7→ (1 + i)z und M der Kreis um 1 mit Radius√2 ist,
(c) f : C → C : z 7→ z2 , M = {z ∈ C | Re z = 2 ∨ Im z = 1} .Hinweis: Verwenden Sie verschiedene Farben fur M und f(M) .
Online-Aufgabe.
Sie finden Ihre Online-Aufgabe (Bearbeitungszeit 08.11.–14.11.) auf folgender Webseite:
Bitte geben Sie dort zunachst Ihre Matrikelnummer ein.
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Auf welchen der nachfolgenden Abbildungen sind Untervektorraume des R2 angedeutet?Geben Sie jeweils an, welche Eigenschaften eines Untervektorraums erfullt und welche verletztwerden.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Aufgabe P 14. Polarkoordinaten, komplexe Wurzeln
Stellen Sie die nachfolgenden komplexen Zahlen z in Polarkoordinaten dar und bestimmenSie jeweils alle komplexen Losungen der Gleichung w3 = z .
(a) z = i, (b) z = 1 + i,
(c) z = (√3 + i)(
√3− i), (d) z = cos(
√2 π) + i sin(−
√2 π).
Aufgabe P 15. Schnittpunkte
Wir schreiben S = {x ∈ R2 | 〈x | x〉 = 1} und bezeichnen fur jedes t ∈ R mit gt die Gerade
durch den Punkt Pt =(
|2− t| cos(t), |2− t| sin(t))⊺
in Richtung vt = (− sin(t), cos(t))⊺.
(a) Zeigen Sie, dass fur jedes t ∈ R der Vektor vt senkrecht auf dem Ortsvektor von Pt
steht.
(b) Skizzieren Sie in einem gemeinsamen Koordinatensystem die Menge S und die Geradengt fur t = 1 , fur einen von Ihnen gewahlten Parameterwert t ≦ 0 , fur einen Wertt ∈ (1, 3) und fur ein t mit t > 3 .
(c) Geben Sie zu jedem t ∈ R die Schnittpunkte von S mit gt an.
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4. Gruppenubung Hohere Mathematik 1
Hausubungen (Abgabe in der nachsten Gruppenubung):
Aufgabe H 13. Untervektorraume
In welchen der folgenden Falle ist W ein Untervektorraum des reellen Vektorraums V ?
(a) V ist der Vektorraum aller reellen Polynome und W die Menge aller Polynome vomGrad 5 ,
(b) V ist der Vektorraum aller reellen Polynome und W die Menge aller Polynome vomGrad hochstens 5 ,
(c) V = R2 und W = {(x, y) ∈ R2 | x ≧ 0, y ≧ 0} ,(d) V = Rn und W = {x ∈ Rn | 〈x | y〉 = 0} fur einen festen Vektor y ∈ Rn .
Aufgabe H 14. Polarkoordinaten
Zeigen Sie, dass es zu der Menge
D =
{
z − i
z + i
∣
∣
∣
∣
z ∈ C, Im(z) > 0
}
Konstanten ℓ ∈ R+0 und ϕ1, ϕ2 ∈ [0, 2π] mit ϕ1 ≦ ϕ2 derart gibt, dass gilt: D =
{r (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) | r ∈ [0, ℓ), ϕ ∈ [ϕ1, ϕ2)} .
Aufgabe H 15. Komplexe Nullstellen
Geben Sie samtliche komplexen Nullstellen eines Polynoms X2+aX+b mit a, b ∈ C an undberechnen Sie anschließend die Nullstellen des komplexen Polynoms 5X3 +9X2 − 17X +3 .
Aufgabe H 16. Lineare Gleichungssysteme
Bestimmen Sie alle Losungen (x1, x2, x3)⊺ ∈ R3 des Gleichungssystems
Bitte geben Sie dort zunachst Ihre Matrikelnummer ein.
Die Losungen sind als ganze Zahlen oder als Dezimalzahlen mit einem Dezimalpunkt einzu-geben. Sonstige Zeichen, wie zum Beispiel Klammern oder Operatoren wie ∗ und / , durfennicht benutzt werden.
Anschließend mussen Sie das per Email erhaltene Passwort fur die Onlineubungen eintragen.
Innerhalb des Bearbeitungszeitraums konnen Sie Ihre Eingaben beliebig oft wiederholen, wo-bei die letzten Eingaben gewertet werden. Der Bearbeitungszeitraum endet mittwochs, nachder Abgabe der schriftlichen Ubungen in den Ubungsgruppen, um 24:00 Uhr. Sie erhaltenfur die Bearbeitung der Online-Aufgabe 0, 1, oder 2 Punkte.
Stellen Sie fur die nachfolgenden reellen Gleichungssysteme die erweiterte Koeffizientenmatrixauf und verwenden Sie den Gauß–Algorithmus, um jeweils alle Losungen zu ermitteln.
Berechnen Sie alle Losungen x ∈ R5 der Gleichung Ax = b mit Hilfe des Gauß–Algorithmus.
Aufgabe H 26. Komplex–lineare Abbildungen
Wir fassen die komplexen Zahlen C als R–Vektorraum auf und betrachten die reelle BasisB : 1, i . Angenommen, F : C → C ist diejenige R–lineare Abbildung, mit
(a) Bestimmen Sie jeweils den Zeilen- und Spaltenrang der folgenden Matrizen.
7 4 3 −1 26 2 4 0 14 −2 6 2 −1
,
4 6 7−2 2 46 4 32 0 −1−1 1 2
.
(b) Bestimmen Sie den Rang von
α− 2 1 30 2α 6αα 0 α2 − 2α
in Abhangigkeit von α ∈ R .
Aufgabe P 28. Determinante Null auf einen Blick
Die folgenden reellen Matrizen haben alle die Determinante Null. Wie konnen Sie das denMatrizen ohne große Rechnung ansehen?
1 π −7 32 2 2 20 0 0 019 4 e3 2
,
9 0 97 0 71 1 19
,
1 2 42 4 53 6 6
,
9 7 13 11 70 4 −2 19 40 0 0 3 20 0 0 6 12
0 0 0 0√2
Aufgabe P 29. Determinanten- und Inversenberechnung
Es sei A =
2 −1 1 2−1 0 2 11 1 4 0−3 1 0 0
. Berechnen Sie detA und A−1 .
Aufgabe P 30. Koordinatenwechsel und beschreibende Matrizen
Gegeben seien die folgenden Basen B,C von R2 :
B :
(
01
)
,
(
10
)
, C :
(
πe−1
)
,
(√29
)
.
Weiter sei E die Standardbasis von R2 .
(a) Bestimmen Sie die Matrizen EidB , C idE , C idC und BidC .
(b) Es sei ϕ : R2 → R2 mit E
(
ϕ(Ev))
=
(
−2v23v1 + v2
)
, wobei Ev =
(
v1v2
)
.
Bestimmen Sie EϕE , BϕB und EϕC .
Vorlesungsbefragung
Unter dem folgenden Link gelangen Sie zur Vorlesungsbefragung. Es geht dabei nur um dieBewertung der Vorlesung (also nicht Gruppen- oder Vortragsubungen). Die Umfrage richtetsich an alle teilnehmenden Studiengange (auch wenn im Formular nur die Studiengange ernen,tema und bewe stehen).
Hausubungen (Abgabe in der nachsten Gruppenubung):
Aufgabe H 29. Rechenregeln fur Determinanten
(a) Gegeben seien die regularen Matrizen A,B ∈ R4×4 mit
A =
7 3 4 10 4 9 220 0 −1 60 0 0 2
, B =
3 1 4 11 0 −1 40 0 2 −40 0 0 2
.
Berechnen Sie detA , detB , det(A−B) , det(
14B)
, det(
(B−1)3A
⊺)
.
(b) Sei v ∈ Rn mit n ≧ 2 . Bestimmen Sie det(vv⊺) .
(c) Zeigen Sie: Ist A ∈ Rn×n schiefsymmetrisch (vgl. Blatt 6, H21), so gilt detA = 0 ,falls n ungerade ist.
Aufgabe H 30. Basiswechsel und beschreibende Matrizen I
Gegeben seien die folgenden beiden Basen B und C des Vektorraums R2×2 :
B : b1 :=
(
1 00 0
)
, b2 :=
(
0 10 0
)
, b3 :=
(
0 01 0
)
, b4 :=
(
0 00 1
)
,
C : c1 :=
(
1 00 1
)
, c2 :=
(
1 00 −1
)
, c3 :=
(
0 1−1 0
)
, c4 :=
(
0 11 0
)
.
Weiter sei ϕ : R2×2 → R2×2 : A 7→ A⊺.
(a) Bestimmen Sie die Matrizen BidC und C idB .
(b) Bestimmen Sie die Matrizen BϕB , CϕC , BϕC und CϕB .
Aufgabe H 31. Basiswechsel und beschreibende Matrizen II
Es sei E die Standardbasis fur R3 . Weiter seien ϕ, ψ : R3 → R3 mit
EϕE =
−2 1 21 4 −10 1 1
und EψE =
−2 1 21 4 −10 1 0
.
(a) Finden Sie eine Basis B so, dass BϕE =
1 0 00 2 00 0 3
.
(b) Warum ware Teilaufgabe (a) nicht losbar, wenn wir ϕ durch ψ ersetzen wurden?
Aufgabe H 32. Aufstellen von Abbildungsmatrizen
Gegeben sei die Ebene E = {x ∈ R3 | 2x1 + x2 − x3 = 0} . Weiter sei ϕ : R3 → R3 dieSpiegelung an der Ebene E .(a) Bestimmen Sie eine Basis B von R3 , fur die die Matrix BϕB eine Diagonalmatrix ist.
(b) Bestimmen Sie EϕE , wobei mit E die Standardbasis fur R3 gemeint ist.
Online-Aufgabe.
Sie finden Ihre Online-Aufgabe (Bearbeitungszeit 13.12.–20.12.) auf folgender Webseite:
Berechnen Sie die Determinanten der beiden Matrizen
1 2 e π3 4 −π i0 0 1 20 0 3 4
und
11 1 0 −1−3 4 i 52 6 0 77 5 1 4
.
Aufgabe P 33. Gram–Schmidtsches Orthonormierungsverfahren
Die Vektoren b1 := (1, 1, 1)⊺, b2 := (4, 2, 0)
⊺und b3 := (5, 1, 3)
⊺bilden eine Basis des
R3 . Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis f1 , f2 , f3 des R3 so, dass L (f1) = L (b1) ,L (f1, f2) = L (b1, b2) und L (f1, f2, f3) = L (b1, b2, b3) gilt.
Aufgabe P 34. Multiplikativitat der Determinante
Aus der Vorlesung ist bekannt, dass fur beliebige Matrizen A,B ∈ Kn×n die Identitat
det(A ·B) = det(A) · det(B)
gilt. Verifizieren Sie obige Gleichung (ohne sie zu verwenden) exemplarisch fur den Fall, dass
(a) A oder B eine Diagonalmatrix ist, also eine Matrix der Gestalt
∗ 0 . . . 0
0 ∗ . . ....
.... . . . . . 0
0 . . . 0 ∗
;
(b) A und B obere Dreiecksmatrizen sind;
(c) A oder B nicht vollen Rang besitzt.
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9. Gruppenubung Hohere Mathematik 1
Hausubungen (Abgabe in der nachsten Gruppenubung):
Aufgabe H 33. Berechnen von Determinanten
Berechnen Sie fur alle t ∈ R die Determinante der Matrix
Aufgabe H 35. Gram–Schmidtsches Orthonormierungsverfahren
Wir betrachten den R4 mit dem Standardskalarprodukt sowie die Vektoren
b1 := (−1, 1, 0, 0)⊺, b2 := (3, 1, 1, 0)
⊺und b3 := (1,−1, 9, 1)
⊺.
(a) Sei V der Untervektorraum des R4 , welcher von den Vektoren b1 , b2 und b3 aufge-spannt wird. Zeigen Sie, dass V dreidimensional ist.
(b) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis f1, f2, f3 von V , die den Gleichungen L (f1) =L (b1) , L (f1, f2) = L (b1, b2) und L (f1, f2, f3) = L (b1, b2, b3) genugt.
Aufgabe H 36. Determinante linearer Abbildungen
Es sei V ein n–dimensionaler R–Vektorraum und F : V → V eine R–lineare Abbildung.
(a) Zeigen Sie: Sind B und C zwei Basen von V , dann gilt
det(BFB) = det(CFC).
Wir setzen nun det(F ) := det(BFB) , wobei B eine beliebige Basis von V ist. Nach demvorherigen Aufgabenteil ist diese Zahl von der konkreten Wahl der Basis unabhangig.
(b) Zeigen Sie nun ferner: Ist G : V → V eine weitere R–lineare Abbildung, so gilt
det(G ◦ F ) = det(G) · det(F ).
Online-Aufgabe.
Sie finden Ihre Online-Aufgabe (Bearbeitungszeit 20.12.–09.01.) auf folgender Webseite:
Sei E das Standardkoordinatensystem fur R2 . Weiter seien gegeben
EP =
(
51
)
, F =
((
00
)
;
(
11
)
,
(
1−1
))
und G =
((
−1−1
)
;
(
10
)
,
(
01
))
.
(a) Skizzieren Sie die Koordinatensysteme F und G und den Punkt P in das Standardko-ordinatensystem E . Handelt es sich bei F und G um kartesische Koordinatensysteme?
(b) Skizzieren Sie den Punkt Q mitFQ =
(
−1 2)⊺
.
(c) Bestimmen SieFP und
GP anhand der Skizze.
(d) Bestimmen SieEκFund
EκG.
(e) Bestimmen SieFκEund
GκEunter Verwendung von (d) .
Bestimmen Sie damit erneutFP und
GP .
(f) Bestimmen SieGκFunter Verwendung von (d) und (e) .
Aufgabe P 36. Drehung
Es beschreiben D1 =1
2
0√2 −
√2
−√2 1 1√2 1 1
und D2 =1
2
(
1 −√3√
3 1
)
Drehungen.
(a) Bestimmen Sie jeweils die Spur und den Cosinus des Drehwinkels von D1 und D2 .
(b) Bestimmen Sie die Drehachse von D1 .
Aufgabe P 37. Spiegelung
Bestimmen Sie eine Matrix A ∈ R2×2 und einen Vektor t ∈ R
2 so, dass die affine Abbildungf : R2 → R2 : x 7→ Ax+ t die Spiegelung an der Geraden (1, 0)
⊺+ L
(
(0, 1)⊺)
beschreibt.Ist f eine Isometrie? Ist f eine eigentliche Isometrie?
Aufgabe P 38. Affine Abbildungen
Sei P = (1, 2)⊺ ∈ R2 . Sei α : R2 → R2 die Drehung um P mit dem Drehwinkel π
4gegen
den Uhrzeigersinn.
(a) Skizzieren Sie die Punkte Q = (1, 0)⊺, R = (0, 2)
⊺, α(Q) und α(R) .
Ist |Q−R| = |α(Q)− α(R)|?(b) Sei β : R2 → R2 : x 7→ x+ P . Sei γ : R2 → R2 : x 7→
(
cos(π4) − sin(π
4)
sin(π4) cos(π
4)
)
x .Ist α = β ◦ γ ◦ β−1 oder ist α = β−1 ◦ γ ◦ β?
(c) Bestimmen Sie den linearen Anteil und den Translationsanteil von α .Ist α eine Affinitat? Ist α eine Isometrie?
(d) Finden Sie eine Abbildung δ : R2 → R2 so, dass δ ◦ α die Drehung um P mit demDrehwinkel π
4im Uhrzeigersinn ist.
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10. Gruppenubung Hohere Mathematik 1
Hausubungen (Abgabe in der nachsten Gruppenubung):
Aufgabe H 37. Spiegelung
Eine Spiegelung an einer Ebene im R3 wird beschrieben durch A =
1
3
2 2 −12 −1 2−1 2 2
.
(a) Geben Sie die Spiegelebene in Hesse-Normalform an.
(b) Sei α : R3 → R3 : v 7→ A−1v . Ist α ◦ α eine eigentliche / uneigentliche Isometrie?
(c) Seien r1 := (−2 1 −2 )⊺und r2 := (−2 4 −2 )
⊺. Fur welche j ∈ {1, 2} ist die
Abbildung βj : R3 → R3 : v 7→ Av + rj eine Ebenenspiegelung? Geben Sie in diesen
Fallen die Spiegelebene in Hesse-Normalform an.
Aufgabe H 38. Drehung
Seien b1 := ( 0 1 0 )⊺, b2 := ( 1 0 −1 )
⊺, b3 := (−1 0 −1 )
⊺die Vektoren der Basis B .
Fur t ∈ Rr {8} seien c1 :=13( 2 t −2 )
⊺, c2 :=
13(−1 −4 1 )
⊺, c3 := (−1 0 −1 )
⊺die
Vektoren der Basis C und E sei die Standardbasis von R3 .
(a) Sei γ : R3 → R3 linear mit γ(bj) = cj fur j ∈ {1, 2, 3} . Bestimmen SieEγE.
(b) Gibt es t ∈ R r {8} so, dass γ aus (a) eine Drehung ist? Bestimmen Sie fur dieseFalle die Drehachse und den Cosinus des Drehwinkels von γ .
Aufgabe H 39. Koordinatentransformation I
Sei E das Standardkoordinatensystem in R3 . Zudem seien
F =
−211
;
−312
,
1−42
,
−413
, α : R3 → R3 : v 7→
8 6 1/2−2 −2 −2−6 −4 1
v+
1/2−1−2
.
(a) Ist F ein affines / kartesisches Koordinatensystem? Bestimmen SieEκFund
FκE.
(b) Geben Sie die BeschreibungFαFder Abbildung α bezuglich F an.
Aufgabe H 40. Koordinatentransformation II
Seien F , G affine Koordinatensysteme. SeiFκE: R3 → R
3 : v 7→
1 0 −23 1 00 0 1
v +
−141
fur das Standardkoordinatensystem E , sowie
EP = ( 1 0 −1 )
⊺,
EQ = (−3 4 −2 )
⊺,
ER = (−7 2 −1 )
⊺,
ES = (−5 4 −1 )
⊺
GP = ( 0 0 0 )
⊺,
GQ = ( 1 0 1 )
⊺,
GR = ( 2 0 0 )
⊺,
GS = ( 1 −1 1 )
⊺.
(a) Bestimmen Sie F , G undGκF.
(b) Zeigen Sie mittels der Geradentreue affiner Abbildungen, dass es kein affines Koordi-
natensystem H so gibt, dassEκH
(
(−1 0 3 )⊺)
= ( 7 −3 4 )⊺,
EκH
(
( 0 1 2 )⊺)
= ( 7 −2 2 )⊺,
EκH
(
(−3 −2 5 )⊺)
= ( 7 −4 5 )⊺.
Online-Aufgabe.
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Aufgabe P 39. Geometrische Bedeutung von Eigenwerten und -vektoren
Gegeben seien A = ( 2 30 −1 ) , sowie v1 = (1, 0)
⊺, v2 = (0, 1)
⊺und v3 = (2,−2)
⊺.
(a) Zeichnen Sie vk sowie Avk fur k ∈ {1, 2, 3} in das Standardkoordinatensystem furR2 ein. Sind v1 , v2 , v3 Eigenvektoren von A? Welche Eigenwerte hat A?
(b) Bestimmen Sie eine Basis aus Eigenvektoren von A und markieren Sie diese im Bildvon (a).
(c) Stellen Sie w = (−3, 1)⊺bezuglich der Basis aus (b) dar und zeichnen Sie w und
Aw in das Bild von (b) ein. Machen Sie sich unter Verwendung der Eigenwerte undEigenvektoren das Zustandekommen der Bildpunkte klar.
Aufgabe P 40. Vielfachheiten und Diagonalisierbarkeit
Gegeben sei die komplexe Matrix
B =
2 4 0−1 −2 00 0 i
.
(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und die Eigenraume von B .
(b) Bestimmen Sie die algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte von B .Ist B diagonalisierbar?
Aufgabe P 41. Diagonalisierbarkeit
Gegeben sei
C =
1 0 0−1 −2 10 −2 1
.
(a) Zeigen Sie ohne Berechnung des charakteristischen Polynoms, dass 1 ein Eigenwert vonC ist. Berechnen Sie die weiteren Eigenwerte mittels der Spur und der Determinante.
(b) Gibt es eine invertierbare Matrix T so, dass T−1CT eine Diagonalmatrix ist? Bestim-men Sie gegebenenfalls eine solche Matrix T .
Aufgabe P 42. Eigenwerte und Eigenraume
Finden Sie eine Matrix, welche die Eigenwerte 2 und 3 hat und zu diesen die Eigenraume
V (2) = L
((
11
))
und V (3) = L
((
01
))
.
Bestimmen Sie das charakteristische Polynom dieser Matrix.
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11. Gruppenubung Hohere Mathematik 1
Hausubungen (Abgabe in der nachsten Gruppenubung):
Aufgabe H 41. Eigenwerte und Vielfachheiten
Fur s ∈ R seien
A :=
(
−5 −36 4
)
, B :=
(
1 0−2 0
)
, Cs :=
(
0 s− 24 2s− 6
)
und Ds :=
(
A B0 Cs
)
.
(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und von Cs in Abhangigkeit von s ∈ R .
(b) Geben Sie die algebraische Vielfachheit aller Eigenwerte von Ds in Abhangigkeit vons ∈ R an.
(c) Bestimmen Sie fur s = 1 die Eigenraume aller Eigenwerte von D1 und geben Siejeweils die geometrische Vielfachheit an.
Aufgabe H 42. Eigenwerte und orthogonale Matrizen
(a) Seien v und w reelle Eigenvektoren von A ∈ Rn×n zu den reellen Eigenwerten λ bzw.µ . Drucken Sie 〈Av |Aw〉 in Abhangigkeit von 〈v |w〉 aus.
(b) Zeigen Sie: Fur jeden Eigenwert λ ∈ R einer orthogonalen Matrix A ∈ Rn×n giltλ = 1 oder λ = −1 .
(c) Zeigen Sie: Ist A ∈ R4×4 uneigentlich orthogonal, so sind 1 , −1 Eigenwerte von A .
(d) Geben Sie eine eigentlich orthogonale Matrix B ∈ R4×4 an, die keine reellen Eigenwertehat.
Aufgabe H 43. Schiefsymmetrische Matrizen
Fur t ∈ R sei At ∈ R4×4 die schiefsymmetrische Matrix
At =
0 0 1 −10 0 0 0−1 0 0 t1 0 −t 0
.
(a) Bestimmen Sie zu jedem t ∈ R das charakteristische Polynom, samtliche Eigenwertevon At sowie deren geometrische und algebraische Vielfachheit.
(b) Fur welche t gibt es eine symmetrische Matrix B ∈ R4×4 , die zu At konjugiert ist?
Aufgabe H 44. Symmetrische Matrizen
Fur jede reelle Zahl t definieren wir die reelle symmetrische Matrix
At :=
t 0 −10 t 1−1 1 t
.
(a) Sei t ∈ R beliebig gewahlt. Geben Sie eine orthogonale Matrix T ∈ R3×3 an, furwelche T−1AtT Diagonalgestalt besitzt.
(b) Fur welche t ∈ R ist At zu A0 konjugiert?
Online-Aufgabe.
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durch eine symmetrische Matrix Aα als qα(x) = x⊺Aα x .
(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte von Aα in Abhangigkeit von α .
(c) Fur welche Werte des Parameters α ist die quadratische Form qα positiv definit, negativdefinit oder indefinit?
Aufgabe P 44. 2D-Ausschnitte von 3D-Quadriken
(a) Skizzieren Sie fur c ∈ {−1, 0, 1} jeweils die Losungsmengen der folgenden Gleichungen:
(i) fur c2 − 4x23 + x2 = 0 in der x2x3 -Ebene,
(ii) fur x21 − 4x23 + c = 0 in der x1x3 -Ebene,
(iii) fur x21 − 4c2 + x2 = 0 in der x1x2 -Ebene
(b) Bestimmen Sie eine euklidische Normalform und die Gestalt der Quadrik Q = {x ∈R3 | x21 − 4x23 + x2 = 0} .
(c) Gehen Sie vor wie in (a) und (b), aber ersetzen Sie den Koeffizienten −4 durch +4 .
Aufgabe P 45. Euklidische Normalform – der Teufel im Detail
Von den folgenden Gleichungen fur x = (x1, x2, x3) ∈ R3 ist keine in euklidischer Normal-form. Wo liegt jeweils der Fehler und wie musste die zugehorige Normalform aussehen?
(a) 9x21 + 3x22 + x23 = 16 ,
(b) x21 − 2x23 + 2x2 = 0 ,
(c) x21 − 2x22 + x3 = 0
Aufgabe P 46. Elemente der Hauptachsentransformation
Bestimmen Sie jeweils eine euklidische Normalform fur die folgenden Quadriken.
Bestimmen Sie ein kartesisches Koordinatensystem, bezuglich dem Q euklidische Normalformbesitzt und geben Sie die zugehorige euklidische Normalform an.
Aufgabe H 47. Schnitt von Ebene und Quadrik
Gegeben seien die Ebene E = {x ∈ R3 | x1 + x2 + x3 = 0} und der Kreiszylinder Q ={x ∈ R3 | x21 + x22 − 2x1 + 4x2 + 1 = 0} . Der Schnitt S = E ∩ Q ist eine Ellipse, derenHalbachsenlangen im Folgenden bestimmt werden sollen. Gehen Sie dabei wie folgt vor:
(a) Fuhren Sie ein kartesisches Koordinatensystem F so ein, dass E = {x ∈ R3 | y3 = 0} ,wobei y =
Fx .
(b) Stellen Sie die Gleichung auf, die Q in Koordinaten y =Fx bezuglich F beschreibt.
(c) Wenn Sie in der Gleichung aus (b) y3 = 0 setzen, ergibt sich eine beschreibendeGleichung (in zwei Variablen) fur die gesuchte Ellipse S . Fuhren Sie nun eine Haupt-achsentransformation fur diese Quadrikgleichung durch, um die Halbachsenlangen vonS zu bestimmen.
Aufgabe H 48. Hauptachsentransformation und Skizzen
Bestimmen Sie fur die folgenden Quadriken jeweils eine euklidische Normalform und einKoordinatensystem, bezuglich dem die Quadrik Normalform hat. Skizzieren Sie die Quadrikenim Standardkoordinatensystem.
(a) Q1 ={
x ∈ R2∣
∣ x21 + 4x22 − 8x2 + 3 = 0}
(b) Q2 ={
x ∈ R2∣
∣ x21 + x22 + 2x1x2 + x1 − x2 = 0}
(c) Q3 ={
x ∈ R2∣
∣ x1x2 + x1 + x2 + 1 = 0}
(d) Q4 ={
x ∈ R2∣
∣ x1x2 + x1 + x2 = 0}
Online-Aufgabe.
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mit den Koordinatenebenen E2,3 : z1 = 0 , E1,3 : z2 = 0 und E1,2 : z3 = 0 , welche imModell farbig dargestellt sind. Eine Darstellung von Q bezuglich des Koordinatensystemsmit den drei unterschiedlich grau gefarbten Koordinatenachsen finden Sie in Aufgabe H49.
(a) Stellen Sie Q in euklidischer Normalform dar.Welcher Typ liegt vor? Welche Gestalt liegt vor?
(b) Bestimmen Sie die Schnitte von Q mit den Koordinatenebenen E2,3 , E1,3 und E1,2 .Geben Sie die Gestalten dieser Schnitte an.
(c) Identifizieren Sie mit Hilfe von (b) die z1 -Achse, die z2 -Achse und die z3 -Achse, sowiedie Koordinatenebenen E2,3 , E1,3 und E1,2 im Modell.
(d) Welche der folgenden Konfigurationen konnen als Schnitt von Q mit einer Ebene durchden Ursprung entstehen?• ein Punkt • die leere Menge • ein schneidendes Geradenpaar• eine Ellipse • eine Hyperbel • ein paralleles Geradenpaar
Aufgabe P 48. Ebene Quadrik
In R2 sei bezuglich des Standardkoordinatensystems E die folgende Quadrik gegeben:
Q :={
x ∈ R2∣
∣
∣ x21 + 2x2(2x1 − 5√5)− 5 + 4x22 = 0
}
.
(a) Geben Sie die Matrixbeschreibung fur Q an.
(b) Bestimmen Sie eine euklidische Normalform und die Gestalt von Q .
(c) Geben Sie ein kartesisches Koordinatensystem H an, in welchem diese euklidischeNormalform angenommen wird.
(d) Skizzieren Sie das Koordinatensystem H sowie Q in das Standardkoordinatensystem.
Aufgabe P 49. Monotonie und Beschranktheit
Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschranktheit. Geben Sie, falls moglich, eineobere Schranke an. Geben Sie, falls moglich, eine untere Schranke an.
(a) (5)n∈N (b) (5n)n∈N (c) (5−n)n∈N
(d)(
(−15)n)
n∈N (e)(
8 cos(−πn3))
n∈N (f)(
12n2 − 20n+ 1
)
n∈N
info.mathematik.uni-stuttgart.de/HM-Stroppel/
13. Gruppenubung Hohere Mathematik 1
Hausubungen (Abgabe in der nachsten Gruppenubung):
Aufgabe H 49. Modell: Einschaliges Hyperboloid
Die Quadrik Q in R3 sei bezuglich des Standarkoordinatensystems E gegeben durch
Q : x21+4x22+x23−2x1x2+8x1x3−2x2x3+(3
√2−
√6)x1−2
√6x2−(3
√2+
√6)x3−6 = 0.
Ein Modell von Q hatten Sie in den Ubungen in den Handen. Sie finden dies auch unter:http://info.mathematik.uni-stuttgart.de/HM-Stroppel-Material/3D-Modelle/03/.Im Modell ist die x1 -Achse weiß, die x2 -Achse grau und die x3 -Achse ist schwarz dargestellt.Sei zudem F = (S; f1, f2, f3) ein kartesisches Koordinatensystem so, dass
EκF: R3 → R
3 : v 7→ 1√6
−√3 1 −
√2
0 2√2√
3 1 −√2
v − 1√6
1 +√3
2
1−√3
.
(a) Geben Sie eine Gleichung von Q in Koordinaten y1 , y2 , y3 bezuglich F an.
(b) Bestimmen Sie eine euklidische Normalform von Q , sowie ein KoordinatensystemG = (P ; f1, f2, f3) , bezuglich dem Q diese Normalform annimmt.
(c) Vergleichen Sie das Koordinatensystem G mit dem farbigen Koordinatensystem zurDarstellung von Q in P47 und beantworten Sie, ob F im Modell sichtbar ist?
(d) Sei α ∈ R ein Parameter. Die Ebene Eα sei bezuglich des Koordinatensystems G
beschrieben durch die Gleichung z1 = α . Kann α ∈ R so gewahlt werden, dassQ ∩ Eα eine Ellipse beschreibt, welche eine Halbachse der Lange 2 besitzt?
Aufgabe H 50. Quadrik mit Parameter
Sei α ∈ R . Bestimmen Sie fur die folgende parameterabhangige Quadrik Qα die Matrixform,eine euklidische Normalform, sowie den Typ und die Gestalt in Abhangigkeit von α .
Qα :={
x ∈ R3∣
∣
∣ α(2αx1 + 1) + (x2 − 2x3)2 + 6(
√5 x2 − x23) + 19 + 8αx1 = 0
}
.
Aufgabe H 51. Rekursive Folge
Fur das Parameterpaar (s, t) ∈ R× R sei die Folge(
an)n∈N rekursiv definiert durcha1 := s , a2 := t und an+1 := −4an + 5an−1 fur n ≧ 2 .
(a) Zeigen Sie, dass die folgenden Gleichungen mit A := ( −4 51 0 ) fur alle n ∈ N gelten:
A
(
an+1
an
)
=
(
an+2
an+1
)
und An
(
ts
)
=
(
an+2
an+1
)
.
(b) Bestimmen Sie An fur n ∈ N durch Diagonalisieren von A . Benutzen Sie (a) um einenAusdruck fur an anzugeben, der nicht rekursiv von anderen Folgengliedern abhangt.
(c) Bestimmen Sie alle Paare (s, t) so, dass(
an)n∈N eine konstante Folge ist.
Aufgabe H 52. Monotonie und Beschranktheit
Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschranktheit. Geben Sie, falls moglich, eineobere Schranke an. Geben Sie, falls moglich, eine untere Schranke an.
(a)(
(n+ 2)3 · 3−n2
)
n∈N(b)
(
1√5n+10−
√5n
)
n∈N(c)
(
n∑
k=0
(−1)k
(2k)!
)
n∈N(d)
(∣
∣(−1)n + cos(
πn2
)n − sin(
π2(n+ 4)
)n∣∣
)
n∈N
Online-Aufgabe.
Sie finden Ihre Online-Aufgabe (Bearbeitungszeit 31.01.–06.02.) auf folgenderWebseite: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/tests/test431/
Geben Sie jeweils Beispiele fur beschrankte Folgen (an)n∈N , (bn)n∈N an, fur die gilt
(a) limn→∞
an = limn→∞
an (b) limn→∞
(an + bn) 6= limn→∞
an + limn→∞
bn
Aufgabe P 52. Konstruktion von Folgen I
Finden Sie zwei Folgen (an)n∈N , (bn)n∈N , fur die die folgenden Bedingungen gleichzeitigerfullt sind:
1. Die Folge (an + bn)n∈N konvergiert.
2. Die Folge (an · bn)n∈N konvergiert.
3. Die Folge (an − bn)n∈N divergiert.
Aufgabe P 53. Konstruktion von Folgen II
Entscheiden Sie jeweils, ob es moglich ist, dass eine Folge die angefuhrten Eigenschaften hat.Geben Sie in diesem Fall eine Folge mit dieser Eigenschaft an.
(a) Die Folge ist beschrankt und monoton fallend.
(b) Die Folge ist monoton fallend und nach oben unbeschrankt.
(c) Die Folge ist konvergent und nicht monoton.
(d) Die Folge hat drei verschiedene Haufungspunkte.
(e) Die Folge hat drei verschiedene Haufungspunkte und konvergiert.
(f) Die Folge hat die Haufungspunkte 1 und +∞ .
(g) Die Folge hat genau zwei verschiedene Haufungspunkte und besitzt eine Teilfolge mitdrei verschiedenen Haufungspunkten.
(h) Die Folge hat zwei verschiedene Haufungspunkte und keine konstante Teilfolge.
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14. Gruppenubung Hohere Mathematik 1
Hausubungen (Abgabe in der nachsten Gruppenubung):
Aufgabe H 53. ε-Kriterium
Berechnen Sie jeweils den Grenzwert a der nachstehenden Folgen (an)n∈N und geben Siejeweils speziell fur ε = 10−15 ein nε ∈ N an mit |an − a| < ε fur n ≧ nε .
(a) an =n∑
k=0
9
(
1
10
)k
(b) an =n2 − 4
3n2
Aufgabe H 54. Haufungspunkte
Bestimmen Sie alle Haufungspunkte der nachstehenden Folgen (an)n∈N , wobei
(a) an = Re
(
(√2
2(1 + i)
)n)
(b) an = min{
(−1)n, sin(π
2n)}
Aufgabe H 55. Grenzwerte
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte
(a) limn→∞
1
n+ 1
√
(
n
2
)
(b) limn→∞
√
n2 + 2n−√n−
√n2 + 3n+ 14
(c) limn→∞
n
√
7n + n7
4n + 3n
(d) limn→∞
2n∑
k=n
1
k2
Aufgabe H 56. Heron-Verfahren
Zu c > 1 sei die rekursiv definierte Folge (an)n∈N gegeben mit
a1 = c, an+1 =1
2
(
an +c
an
)
.
(a) Zeigen Sie mit vollstandiger Induktion, dass fur alle n ∈ N gilt√c ≦ an ≦ c .
(b) Folgern Sie mit Hilfe von (a), dass (an)n∈N monoton fallend ist.
(c) Begrunden Sie, dass die Folge (an)n∈N konvergent ist.
(d) Berechnen Sie den Grenzwert a von (an)n∈N .
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