Rep
ublicaBolivarianadeVenezuelaUniversidadNacionalExperimentalPolitecnicaAntonioJosedeSucreVice-RectoradoBarquisimetoDepartamentodeEstudiosGeneralesyBasicosSecciondeMatematicaApuntesdeAlgebraLinealAutores:MSc.JorgeF.CamposS.MSc.DorkaM.ChavesE.Barquisimeto,2008IndicegeneralIndicegeneral
I1. MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 11.1.
OperacionesconMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 11.1.1. SumadeMatricesyMultiplicacionporEscalar .
. . . . . . . . . . . . . . 51.1.2. ProductodeMatrices. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.3.
TransposicionoTrasposiciondeMatrices . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 161.2. OperacionesElementalesporFilas . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 191.3. SistemasdeEcuacionesLineales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.
InversadeunaMatrizCuadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 371.5. Determinantes.PropiedadesdelosDeterminantes .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 461.6.
MatrizAdjunta.RegladeCramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 631.7. DeterminantesdeMatricesTriangularesporBloques
. . . . . . . . . . . . . . . . 702. EspaciosVectoriales 762.1.
EspaciosVectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 762.2. SubespaciosVectoriales. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.3.
CombinacionLinealyEspacioGenerado . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 882.4. IndependenciayDependenciaLineal . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 952.5. BasesyDimension . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.6.
Rango,Nulidad,EspacioFilayEspacioColumnadeunaMatriz . . . . . . . .
. . 1073. MatrizdeCambiodeBase.EspaciosconProductoInterno 1173.1.
CambiodeBase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1173.2. EspaciosconproductoInterno. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.3.
BasesOrtonormalesyProcesodeOrtonormalizaciondeGram-Schmidt . . . .
. . 1323.4. ComplementoOrtogonal . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 1424. TransformacionesLineales.
AutovaloresyAutovectoresdeunaMatriz 1494.1.
TransformacionesLineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 1494.2.
RepresentacionMatricialdeunaTransformacionLineal . . . . . . . . .
. . . . . . 1614.3. N ucleoeImagendeunaTransformacionLineal . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 1684.4.
AutovaloresyAutovectoresdeunaMatriz . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 1754.5. Diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185iIndicegeneral ii4.6.
AutovectoresyAutoespaciosGeneralizados.FormaCanonicadeJordan. . . .
. . 191Apendices 207A. CamposyN umerosComplejos 208A.1. Campos . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 208A.2. ElCampodelosN umerosComplejos . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 218B.AlgomassobreEspaciosVectoriales
226B.1. K-EspaciosVectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 226B.2.
EspaciosVectorialesdeDimensionInnita . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 228B.3. EspaciosconProductoInterno. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228B.4. EspaciosNormados . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228C.AlgomassobreTransformacionesLineales 229C.1.
TransformacionesLinealesInvertibles . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 229C.2.
AutovaloresyAutovectoresdeTransformacionesLineales . . . . . . . .
. . . . . . 234D. DemostracionesdeAlgunosTeoremas
238Captulo1MatricesySistemasdeEcuacionesLineales1.1.
OperacionesconMatricesDenici on1.1. Seanm, n Z+. Una matrizreal
Adeordenmporn(mn)esunarreglobidimensionalden
umerosrealesdispuestosenmlasyncolumnascomosigueA = (aij)mn=__a11a12
a1na21a22 a2n.........am1am2 amn__=_______a11a12 a1na21a22
a2n.........am1am2 amn_______dondeaij Rparacadai 1, . . . , mycadaj
1, . . . , n,el cual esllamadocomponenteij-esimadeA.Paracadai 1, .
. . , mlai-esimaladeAladenotaremosporA(i)yestadadaporA(i)=_ai1ai2
ain_Paracadaj 1, . . . ,
nlaj-esimacolumnadeAladenotaremosporA(j)yestadadaporA(j)=__a1ja2j...amj__Cuandom=n,
diremos que Aes una matriz cuadradade ordenn, eneste caso,
lascomponentesa11, a22, . . . , annformanloquellamaremosdiagonal
principaldeA.Cuandom=1, diremosqueAesunamatrizlaycuandon=1,
diremosqueAesunamatrizcolumna.LanotacionA =
(aij)mn,signicaqueAeslamatrizdeordenmncuyaij-esimacompo-nenteesaijparacadai
1, . . . , mycadaj 1, . . . , n.El conjunto formado por todas las
matrices reales de orden mn lo denotaremos por
Mmn(R).1MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 2Observaci on1.1.
Podemosconsiderar
matricessobreuncampoK(verapendiceB),porejemploK=C,
enlugardematricesreales,
encuyocasolascomponentesdelasmatricessonelementosdeK.Observaci on
1.2. Sedebetener cuidadocuandoseusalanotacion(aij)mn, el
cambiodendicesnosignicaquesetratadeotramatriz,los
ndicessonmudos,estoes(aij)mn= (akr)mn= (apq)mn=
(aji)mnEjemplo1.1.1. A =_ 2 05234 1_ es una matriz real de orden
23, la componente 2, 1 de A es a2,1=23,lala2deAesA(2)=_234
1_,lacolumna3deAesA(3)=_ 51_2. B=__1 4 05 12 30 2 8__es unamatriz
cuadradareal de orden3, las componentes de
ladiagonalprincipalsona1,1= 1,a2,2= 12,a3,3= 8.3. La matriz In=
(ij)nn, donde ij=_1 sii = j0 sii ,= j, para cada i, j 1, . . . , n,
es llamadamatrizidentidaddeordenn,estoes,In=__1 000
1............... 000 1__nn4. Lamatriz0/mn=
(ij)mn,dondeij=0paracadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . ,
n,esllamadamatriznuladeordenmn,esdecir0/mn=__00......00__mnMatricesySistemasdeEcuacionesLineales
3Cuandom =
n,soloescribiremos0/nenlugarde0/nn,esdecir,0/n=__00.........00__nn
Denici on1.2. SeaA Mnn(R).DiremosqueA = (aij)nnes1.
Triangularsuperiorsiaij= 0parai, j 1, . . . , nconi > j.2.
Triangularinferiorsiaij= 0parai, j 1, . . . , nconi < j.3.
Diagonal si aij=0parai, j 1, . . . , nconi ,=j,
esdecir,Aestriangularsuperioreinferiorsimultaneamente.4.
Escalarsiesdiagonalyexiste Rtal queaii= parai 1, . . . ,
n.Observaci on1.3.
Unamatrizcuadradaestriangularsuperior(respectivamenteinferior)si
ysolosi todassuscomponentesbajo(respectivamentesobre)ladiagonal
principal sonigualesacero.Observaci on1.4.Cuando A Mnn(R) es
diagonal y las componentes en la diagonal principalson1, 2, . . . ,
n R,entoncesescribiremosA = diag(1, 2, . . . , n)Ejemplo1.2.1.
Paracadan Z+,Iny0/nsonmatricesescalares,
yporlotantodiagonalesyconsecuente-mentetriangularessuperioreinferior.2.
A =__5 4 0 70 3 12 50 0 2 10 0 0 0__estriangularsuperior.3. A =__5
0 0 00 4 0 00 1 0 09 13 3
8__estriangularinferior.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 44. A
=__6 0 0 00 3 0 00 0 5 00 0 0 0__es diagonal, en cuyo caso podemos
escribir A = diag(6, 3, 5, 0).5. A =__8 0 0 00 8 0 00 0 8 00 0 0
8__esescalar,encuyocasopodemosescribirA = diag(8, 8, 8, 8).
Denici on1.3. SeanA, B Mmn(R). DiremosqueAyBsonmatricesiguales,
locualdenotaremosporA=B, silacomponenteij-esimadeAesigual
alacomponenteij-esimadeBparacadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , n,
esdecir, si A=(aij)mnyB=(bij)mn,diremosqueAyBsonigualessiaij=
bijparacada i 1, . . . , m ycada j 1, . . . , nObservaci on1.5.
Notesequeparaquedosmatricesseaniguales,
enprimerlugardebenserdelmismoorden.Ejemplo1.3. Si A=_5 1 06 8
3_;B=__5 70 y2 4__yC=__x 70 32 4__, entoncesA
,=Bpuesnisiquierasondelmismoorden;B= Csiysolosix = 5ey= 3. El
siguienteteoremaesunaconsecuenciadirectadeladeniciondeigualdaddematrices,
sudemostracionladejamoscomoejercicio.Teorema1.1. SeanA, B
Mmn(R).Entonceslassiguientesproposicionessonequivalentes1. A = B.2.
A(i)= B(i)paracadai 1, . . . , m.3. A(j)= B(j)paracadaj 1, . . . ,
n.Demostraci on. Ejercicio!MatricesySistemasdeEcuacionesLineales
51.1.1.
SumadeMatricesyMultiplicacionporEscalarEnestasecciondeniremosdosoperacionesconmatricesquedotaranal
conjuntoMmn(R)deunaestructuraalgebraicaconocidacomoespaciovectorial
, dichaestructuraseratratadaenelcaptulo2delpresentetrabajo.Denici
on 1.4. SeanA, B Mmn(R) conA=(aij)mnyB=(bij)mn. Deniremos
lamatrizsumadeAconB,comolamatrizA+ B
Mmn(R)cuyaij-esimacomponentevienedadaporaij+ bijparacadai 1, . . .
, mycadaj 1, . . . , n,estoes,siA + B= (cij)mn,entoncescij= aij +
bijparacadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , n.Observaci on1.6.
Parapodersumardosmatricesestasdebenserdel mismoorden.Ejemplo1.4.
SiA =__4 9 0 87 3 5 121 0 6 2__yB=__3 9 5 41 13 3 910 4 7
11__,entoncesA + B =__4 9 0 87 3 5 121 0 6 2__+__3 9 5 41 13 3 910
4 7 11__=__4 + (3) 9 + 9 0 + 5 8 + (4)7 + 1 3 + (13) 5 + 3 12 + 91
+ 10 0 + 4 6 + 7 2 + 11__=__1 0 5 46 10 8 311 4 1 13__
Denici on 1.5. SeanA Mmn(R) y R(es llamado escalar),
conA=(aij)mn.Deniremos la multiplicacionde por A( multiplicacionpor
escalar) comolamatrizAosimplementeAcuyaij-esimacomponentees
aijparacadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , n, estoes, si A=(bij)mn,
entoncesbij=aijparacadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , n.Observaci
on1.7. LanotaciondemultiplicacionporescalaresAoAynoAni
A,sedebecolocarprimeroelescalarluegolamatriz.Observaci on1.8.
Todamatrizescalardeordennesunm ultiploescalardeIn, msan, A
Mnn(R)esunamatrizescalarsiysolosiexiste Rtal queA =
In.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 6Ejemplo1.5.
SeaAlamatrizdel ejemplo1.4,entonces2A = 2 __4 9 0 87 3 5 121 0 6
2__=__24 2(9) 20 282(7) 23 25 2(12)21 20 2(6) 22__=__8 18 0 1614 6
10 242 0 12 4__
Teorema1.2. SeanA, B, C Mmn(R)y, Rcualesquiera.Entonces1. A + B=
B + A(conmutatividaddelasuma).2. (A + B) + C= A+ (B +
C)(asociatividaddelasuma).3. A + 0/mn= A = 0/mn
+A(neutroaditivo).4. ExisteunamatrizD Mmn(R)tal queA+ D = 0/mn= D +
A(opuestoaditivo).5. (A + B)=A +
B(distributividaddelamultiplicacionporescalarrespectoalasumamatricial).6.
( + )A=A +
A(distributividaddelamultiplicacionporescalarrespectoalasumaescalar).7.
(A) = ()A = (A)(asociatividaddelamultiplicacionporescalar).8. 1A =
A(neutrodelamultiplicacionporescalar).Demostraci on. SeanA =
(aij)mn,B= (bij)mnyC= (cij)mn.1. HagamosA + B=E=(eij)mnyB+
A=F=(fij)mn. Pordeniciondesumadematrices,tenemosqueparacadai 1, . .
. , mycadaj 1, . . . , neij= aij + bij= bij + aij= fijLuegoA+ B= E=
F= B +
A(deniciondeigualdaddematrices).MatricesySistemasdeEcuacionesLineales
72. HagamosA + B=E=(eij)mn, (A + B) + C=E + C=F=(fij)mn, B +
C=G=(gij)mnyA + (B+ C) =A + G=H=(hij)mn. As
quepordeniciondesumadematricesfij= eij + cij= (aij + bij) + cij=
aij + (bij + cij) = aij + gij= hijDedonde(A+ B) + C= F= H= A + (B +
C)(deniciondeigualdaddematrices).3. Recordemos que 0/mn=(ij)mndonde
ij=0paracadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , n. As que si
A+0/mn=E=(eij)mn, entonces, por denicionde sumadematrices,paracadai
1, . . . , mycadaj 1, . . . , neij= aij + ij= aij + 0 =
aijPorlotantoA+ 0/mn= E= AyporconmutatividadA+ 0/mn= A = 0/mn +A4.
DenamosD=(dij)mncondij= aijparacadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . ,
n.HagamosA+D = E=
(eij)mn.Entonces,pordeniciondesumadematrices,paracadai 1, . . . ,
mycadaj 1, . . . , neij= aij + dij= aij + (aij) = 0PorlotantoA+ D =
E= 0/mnyporconmutatividadA+ D = 0/mn= D + A5. HagamosA +
B=E=(eij)mn, (A + B)=E=F=(fij)mn, A = G = (gij)mn,B =H=(hij)mny
A+B=G+H=P =(pij)mn. Entonces, para cadai 1, . . . , mycadaj 1, . .
. , ntenemosquefij= eij(deniciondemultiplicacionporescalar)= (aij +
bij) (deniciondesumadematrices)= aij + bij= gij +
hij(deniciondemultiplicacionporescalar)=
pij(deniciondesumadematrices)Luego(A+ B) = F= P= A+
BMatricesySistemasdeEcuacionesLineales 86. Hagamos (+)A = E=
(eij)mn, A = F= (fij)mn, A = G = (gij)mny A+A =F+
G=H=(hij)mn.Enconsecuencia, paracadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . ,
nsetienequeeij= ( + )aij(deniciondemultiplicacionporescalar)= aij +
aij= fij + gij(deniciondemultiplicacionporescalar)=
hij(deniciondesumadematrices)Dedonde( + )A = E= H= A+ A7.
HagamosA=E=(eij)mn, (A) =E=F =(fij)mny()A = G = (gij)mn.As que,
pordeniciondemultiplicaciondeporescalar, paracadai 1, . . . ,
mycadaj 1, . . . , nobtenemosfij= eij= (aij) = ()aij= gijLuego(A) =
F= G = ()A yenconsecuencia(A) = ()A = ()APorlotanto(A) = ()A =
(A)8. Hagamos1A = E=
(eij)mn.Asquealusarladeniciondemultiplicacionporescalar,setienequeparacadai
1, . . . , mycadaj 1, . . . , neij= 1aij= aijEnconsecuencia1A = E=
ATeorema1.3.1. La matriz nula 0/mnes la unica matriz real de orden
mn tal que para cada A Mmn(R)secumplequeA+ 0/mn= A = 0/mn
+A.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 92. ParacadamatrizA
Mmn(R),existeuna unicamatrizD Mmn(R)tal queA + D=0/mn= D + A,tal
matrizDesllamadamatrizopuestadeAysedenotapor A.Demostraci on. La
parte 3 del teorema 1.2 garantiza que la matriz nula 0/mn satisface
que paracada A Mmn(R) se cumple que A+0/mn= A = 0/mn +A. Ademas, la
existenciade la matrizDesgarantizadaenlaparte4del mismoteorema.
Solofaltaraprobarlaunicidaddeambasmatrices.1. SupongamosqueP
Mmn(R)estalqueA + P= A = P+ AparacadaA Mmn(R),luegoP = P+
0/mn(porlaparte3delteorema1.2)= 0/mn(hipotesis)2. SeaA
Mmn(R)cualquiera.SupongamosqueexistenD, E Mmn(R)talesqueA + D =
0/mn= D + A (1.1)A+ E = 0/mn= E + A (1.2)EnconsecuenciaD = D +
0/mn(teorema1.2parte3)= D + (A+ E) (porlaecuacion1.2)= (D + A) + E
(teorema1.2parte2)= 0/mn +E (porlaecuacion1.1)= E
(teorema1.2parte3)Teorema1.4. SeanA, B, C Mmn(R)talesqueA+ B= A+
C.EntoncesB= C.Demostraci on. Ejercicio!Teorema1.5. SeanA Mmn(R)y
Rcualesquiera.Entonces1. 0A =
0/mn.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 102. 0/mn= 0/mn.3. (1)A
= A.4. SiA = 0/mn,entonces = 0oA = 0/mn.Demostraci on.1.
Sabemosque0A+ 0/mn= 0A (porque?)ademas0A = (0 + 0)A = 0A+
0Aasque0A+ 0A = 0A+ 0/mnyporelteorema1.4,setieneque0A = 0/mn2.
Porunlado0/mn= 0/mn +0/mn(porque?)porotrolado0/mn= (0/mn +0/mn) =
0/mn +0/mnluego0/mn +0/mn= 0/mn
+0/mnynuevamente,usandoelteorema1.4,tenemosque0/mn= 0/mn3.
BastaprobarqueA+ (1)A =
0/mn,yporunicidad,obtendramoselresultado.VeamosA+ (1)A = 1A+ (1)A
(teorema1.2parte8)= (1 + (1))A (teorema1.2parte6)= 0A=
0/mn(porlaparte1)Luego,porunicidaddelamatrizopuesta,(1)A =
AMatricesySistemasdeEcuacionesLineales 114. Supongamos que A =
0/mn. Si = 0, no hay nadaque probar, supongamos entoncesque ,=
0,asqueA = 1A (teorema1.2parte8)= (1)AA = 1(A) (teorema1.2parte7)=
10/mn(porhipotesis)=
0/mn(porlaparte2)Conlocual,seconcluyelaprueba.Denici on1.6. SeanA,
B Mmn(R).Deniremos AB= A+ (B).Ejemplo1.6. SiA =__4 12 06 5 36 1 27
0 1__yB=__5 10 66 1 114 0 52 6 1__,entoncesAB = A+ (B) =__4 12 06 5
36 1 27 0 1__+_________5 10 66 1 114 0 52 6 1_________=__4 12 06 5
36 1 27 0 1__+__5 10 66 1 114 0 52 6 1__=__1 2 612 6 142 1 39 6
2__
1.1.2. ProductodeMatricesA diferencia de las dos operaciones
denidas en la seccion anterior, la multiplicacion de matricesno
sedenedemaneranatural, comoveremosluego, nopor ellodejade
serimportante dichaoperacion.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales
12Denici on1.7. SeanA=(aij)mn Mmn(R)yB=(bjk)np Mnp(R).
DeniremoselproductodeAporBcomolamatrizC= (cik)mp
Mmp(R),denotadaporABoAB,talqueparacadai 1, . . . , mycadak 1, . . .
, psetienequecik=n
j=1aijbjk= ai1b1k + ai2b2k + + ainbnkObservaci on1.9.
Notesequeparapoderdenirel productoAB,
lacantidaddecolumnasdeAdebecoincidirconlacantidaddelasdeB,ademas,lamatrizresultante,esunamatrizcuyacantidaddelascoincideconlacantidaddelasdeAysucantidaddecolumnasesigual
alacantidaddecolumnasdeB.Ejemplo1.7. SeanA =_2 1 00 3 1_yB=__3 1 02
1 24 2 3__.EntoncesAB = A B=_23 + (1)2 + 0(4) 21 + (1)(1) + 0(2) 20
+ (1)(2) + 0303 + 32 + 1(4) 01 + 3(1) + 1(2) 00 + 3(2) + 13_=_6 2 +
0 2 + 1 + 0 0 + 2 + 00 + 6 4 0 3 2 0 6 + 3_=_4 3 22 5 3_
Observaci on1.10. Notesequeenel ejemploanterior, el
productoBAnoestadenido,estonos dice que el producto de matrices no
es conmutativo, mas a un, a pesar de que ambos productosestan
denidos, ABy BA, no necesariamente son ambos del mismo orden,
ademas, siendo ambosproductos del mismo orden, en cuyo caso
necesariamente A y Bdeben ser cuadradas y del mismoorden, las
matrices AByBA notienen por queser iguales, cuandoestoocurre, es
decir, cuandoAB= BA,sedicequeAyBsonmatricesqueconmutan.A
continuacionenunciaremosun teorema que expone las
principalespropiedadesdel productodematricesTeorema1.6. SeanA
Mmn(R);B, C Mnp(R);C Mpq(R)y R.Entonces1. (AB)D =
A(BD)(asociatividaddel productodematrices).2. A(B + C) = AB +
AC(distributividadaizquierdadel
productodematrices).MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 133. (B +
C)D = BD + CD(distributividadaderechadelproductodematrices).4. (AB)
=(A)B=A(B)(asociatividaddel productodematricesylamultiplicaci
onporescalar).5. ImA = A = AIn(neutrosdelproductodematrices).6.
B0/pq= 0/nqy0/mnB= 0/mp.Demostraci on. SeanA = (aij)mn;B=
(bjk)np;C= (cjk)npyD = (dkl)pq.1. Hagamos AB=E=(eik)mp; (AB)D=ED=F
=(fil)mq; BD = G = (gjl)nqyA(BD) = AG = H=
(hil)mq.Entonces,usandoladeniciondeproductomatricial,paracadai 1, .
. . , mycadak 1, . . . , peik=n
j=1aijbjkparacadaj 1, . . . , nycadal 1, . . . , qgjl =p
k=1bjkdklyparacadai 1, . . . , mycadal 1, . . . , qfil=p
k=1eikdkl; hil=n
j=1aijgjlLuegofil=p
k=1eikdkl=p
k=1_n
j=1aijbjk_dkl=p
k=1n
j=1aijbjkdkl=n
j=1p
k=1aijbjkdkl=n
j=1aij_p
k=1bjkdkl_=n
j=1aijgjl=
hilPorlotanto,usandoladeniciondeigualdaddematrices(AB)D = F= H=
A(BD)MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 142. HagamosB +
C=E=(ejk)np; A(B + C)=AE=F=(fik)mp; AB= G =
(gik)mp;AC=H=(hik)mpyAB+ AC=G + H=R=(rik)mp. Entonces, paracadai 1,
. . . , mycadak 1, . . . , pfik=n
j=1aijejk(deniciondeproductodematrices)=n
j=1aij(bjk + cjk) (deniciondesumadematrices)=n
j=1(aijbjk + aijcjk) =n
j=1aijbjk +n
j=1aijcjk= gik + hik(deniciondeproductodematrices)=
rik(deniciondesumadematrices)EnconsecuenciaA(B + C) = F= R = AB +
AC3. Analogoalademostraciondelaparte2.4.
SeanAB=E=(eik)mp;(AB)=E=F=(fik)mp;A =G=(gij)mny(A)B=GB= H=
(hik)mp.Entonces,paracadai 1, . . . , mycadak 1, . . . , pfik=
eik(deniciondemultiplicacionporescalar)= n
j=1aijbjk(deniciondeproductodematrices)=n
j=1(aijbjk) =n
j=1(aij)bjk=n
j=1gijbjk(deniciondemultiplicacionporescalar)=
hik(deniciondeproductodematrices)Dedonde(AB) = F= H= (A)B.De
maneraanalogasepruebaque(AB) = A(B),asque(AB) = (A)B= A(B)5.
RecordemosqueIn= (jk)nn,dondejk=_1 si j= k0 si j ,=
k(1.3)MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 15paracadaj, k 1, . . .
, n.HagamosAIn= E= (eik)mn.Entonces,paracadai 1, . . . , mycadak 1,
. . . , neik=n
j=1aijjk(deniciondeproductodematrices)= ai11k + + ai(k1)(k1)k +
aikkk + ai(k+1)(k+1)k + + ainnk= ai1 0 + + ai(k1) 0 + aik 1 +
ai(k+1) 0 + + ain 0 (por1.3)= aikPorlotantoAIn= E=
A,analogamentepuedeprobarsequeImA = A,enconsecuenciaAIn= A = ImA6.
Ejercicio!Ejercicio1.1. PruebequesiA Mmn(R)yB Mnp(R),entonces1.
AB=_AB(1)AB(2) AB(p)_(desarrolloporcolumnas del
productoAB),esdecir,lak-esimacolumnadeAB, quees(AB)(k), esigual
aAporlak-esimacolumnadeB,AB(k),paracadak 1, . . . , p.2.
AB=__A(1)BA(2)B...A(m)B__(desarrolloporlasdel
productoAB),esdecir,lai-esimaladeAB,quees(AB)(i),esigual
alai-esimaladeAporB,A(i)B,paracadai 1, . . . , m.Ejercicio1.2.
DadaunamatrizA Mnn(R),parak NdenamosAk=___0/nsiA = 0/nyk 1InsiA ,=
0/nyk= 0Ak1A siA ,= 0/nyk 1PruebequeAkAr= Ak+rparacualesquierak, r
N.Denici on 1.8. Unamatriz NMnn(R) es llamada nilpotentesi existep
Ntal queNp= 0/n,ademas,sipestal queNp1,=
0/n,diremosqueNesnilpotentedeordenp.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales
16Observaci on1.11.
Lamatriznuladeordennesnilpotenteyconveninosenqueesnilpotentedeorden0.Ejemplo1.8.
LassiguientesmatricessonnilpotentesN1=__1 1 0 01 0 1 01 0 1 01 0 1
0__; N2=__0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0
0__N1esdeorden3yN2esdeorden4(verifquelo!).1.1.3.
TransposicionoTrasposiciondeMatricesDenici on1.9. SeaA = (aij)mn
Mmn(R).Deniremos latranspuestaotraspuestadeAcomolamatrizAT= (bji)nm
Mnm(R)tal quebji= aijparacada i 1, . . . , m ycada j 1, . . . ,
nEjemplo1.9. SeaA =__2 5 0 73 0 1 65 12 2 9__EntoncesAT=__2 3 55 0
120 1 27 6 9__
Observaci on1.12. Notesequelas las deApasan aser las columnas de
ATylas
columnasdeApasanaserlaslasdeAT,maspropiamente_A(i)_T=_AT_(i)paracada
i 1, . . . , m_A(j)_T=_AT_(j)paracada j 1, . . . , nTeorema1.7.
SeanA, B Mmn(R),C Mnp(R)y
R.EntoncesMatricesySistemasdeEcuacionesLineales 171._AT_T=
A(propiedaddeinvoluciondelatransposiciondematrices)2. (A + B)T= AT+
BT(transpuestadelasuma)3. (A)T=
AT(transpuestadelamultiplicacionporescalar)4. (AC)T=
CTAT(transpuestadel productomatricial)5. (In)T= Iny (0/mn)T=
0/nmDemostraci on. SeanA = (aij)mn;B= (bij)mnyC= (cjk)np.1. Hagamos
AT=D=(dji)nmy_AT_T=DT=E=(eij)mn. Entonces, paracadai 1, . . . ,
mycadaj 1, . . . , n,pordeniciondetranspuestaeij= dji =
aijLuego_AT_T= E= A2. SeanA+B=D=(dij)mn; (A+B)T=DT=E=(eji)nm; AT=
F= (fji)nm;BT= G = (gji)nm y AT+BT= F+G = H= (hji)nm. Entonces,
para cada i 1, . . . , mycadaj 1, . . . , neji=
dij(deniciondetranspuesta)= aij + bij(deniciondesumadematrices)=
fji + gji(deniciondetranspuesta)=
hji(deniciondesumadematrices)Porlotanto(A+ B)T= E= H= AT+ BT3.
Hagamos A=D=(dij)mn; (A)T=DT=E=(eji)nm; AT= F= (fji)nm; yAT= F= G =
(gji)nm.Entonces,paracadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , neji=
dij(deniciondetranspuesta)=
aij(deniciondemultiplicacionporescalar)=
fji(deniciondetranspuesta)=
gji(deniciondemultiplicacionporescalar)MatricesySistemasdeEcuacionesLineales
18Asque(A)T= E= G = AT4. SeanAC=D=(dik)mp; (AC)T=DT=E=(eki)pm; CT=F
=(fkj)pn; AT=G =(gji)nmyCTAT= FG =H=(hki)pm.Entonces, paracadai 1,
. . . , mycadak 1, . . . , peki= dik(deniciondetranspuesta)=n
j=1aijcjk(deniciondeproducto)=n
j=1gjifkj(deniciondetranspuesta)=n
j=1fkjgji= hki(deniciondeproducto)Dedonde(AC)T= E= H= CTAT5.
Ejercicio!Denici on1.10. SeaA Mnn(R).Diremosque1. AessimetricasiAT=
A.2. AesantisimetricasiAT= A.Ejemplo1.10.1. Inessimetricaparatodon
N.2. 0/nes simetrica y antisimetrica para todo n N existe alguna
otra matriz que sea simetricayantisimetricasimultaneamente?3.
LamatrizA =__0 5 7 65 0 4 87 4 0 126 8 12
0__MatricesySistemasdeEcuacionesLineales
19esantisimetricapuesAT=__0 5 7 65 0 4 87 4 0 126 8 12 0__= A4.
LamatrizA =__5 9 3 09 2 1 133 1 0 70 13 7 3__essimetricayaqueAT=__5
9 3 09 2 1 133 1 0 70 13 7 3__= A
Teorema1.8. SeaA Mnn(R).Entonces1. Aessimetricasiysolosiaij=
ajiparacualesquierai, j 1, . . . , n.2.
Aesantisimetricasiysolosiaij= ajiparacualesquierai, j 1, . . . ,
n.3. SiAesantisimetrica,entoncesaii= 0paracualquierai 1, . . . ,
n.Demostraci on. Ejercicio!1.2.
OperacionesElementalesporFilasLasoperacioneselementalesporlassonherramientasusadasconmuchafrecuenciaenlaresoluciondelossistemasdeecuacioneslinealesal
igual queencalculodelainversadeunamatrizcuadrada. Estas operaciones
las usaremos alo largo de todo el curso, por ellodeben ser
manejadas con la mayor perfeccion posible por parte del estudiante
que desee
aprenderlamateria.Comencemospordenirdichasoperaciones.DenotemosporFm(R)elconjuntoformadoportodaslasmatricesrealesconmlas.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales
20Denici on1.11. Unaoperacionelemental
porlas(OEF)esunafuncionf:Fm(R) Fm(R)lacual
esdeunodelossiguientestiposOEFTipo1. Sif(A) = B,entoncesexistens 1,
. . . , my ,= 0talesqueB(i)= A(i)paracadai 1, . . . , m,coni
,=s,yademasB(s)=A(s),estoes,unadelaslasdeAesmultiplicadaporunescalarnonuloyelrestodelaslaspermaneceniguales.f(A)
=
f_________________A(1)...A(s1)A(s)A(s+1)...A(m)_________________=__A(1)...A(s1)A(s)A(s+1)...A(m)__=
BPorcomodidad,enlugardeescribirB= f(A),escribiremosAFsFsB.OEFTipo2.
Si f(A)=B, entoncesexistens, t 1, . . . , m, cons ,=t, y
RtalesqueB(i)=A(i)paracadai 1, . . . , m, coni ,=s,
yademasB(s)=A(s) + A(t),esdecir, aunaladeAlesumamosunm
ultiploescalardealgunaotraladeA,distintadelaprimera,dejandoel
restodelaslasintactas.f(A) =
f_________________A(1)...A(s1)A(s)A(s+1)...A(m)_________________=__A(1)...A(s1)A(s)
+ A(t)A(s+1)...A(m)__= BAl igualqueantes,enlugardeescribirB=
f(A),escribiremosAFsFs+ FtB.OEFTipo3. Si f(A)=B, entoncesexistens,
t 1, . . . , mtalesqueB(i)= A(i)paracadai 1, . . . , m, coni ,=sei
,=tyademasB(s)=A(t)yB(t)=A(s),
dichodeotramanera,intercambiamosdoslasdeAydejamoselrestosinalterar.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales
21f(A) =
f_____________________________A(1)...A(s1)A(s)A(s+1)...A(t1)A(t)A(t+1)...A(m)_____________________________=__A(1)...A(s1)A(t)A(s+1)...A(t1)A(s)A(t+1)...A(m)__=
BNuevamente,enlugardeescribirB= f(A),escribiremosAFsFtB.Observaci
on1.13. NotesequesiA Mmn(R)yf: Fm(R) Fm(R)esunaOEF,entoncesf(A)
Mmn(R).Ejercicio1.3. PruebequetodaOEFf: Fm(R)
Fm(R)esunafuncioninvertibleyquesuinversaf1: Fm(R)
Fm(R)estambienunaOEFdel mismotipoquef.Ejemplo1.11. SeaA =__2 4 56 3
42 1 86 21 15__EntoncesA =__2 4 56 3 42 1 86 21 15__F1 F3(OEF3)__2
1 86 3 42 4 56 21 15__F4 13F4(OEF1)__2 1 86 3 42 4 52 7 5__F3 F3 +
F1(OEF2)__2 1 86 3 40 3 32 7 5__=
BMatricesySistemasdeEcuacionesLineales 22
Observaci on1.14.Se pueden aplicar mas de dos operaciones por
las en un solo paso, lo
unicoquedebemoscuidaresnotransformar,enelmismopaso,unalamasdeunavezynotransformar,enelmismopaso,unalaquevaserusadaparatransformaraotra(s).Observaci
on1.15.
Demaneraanalogaacomosedenieronlasoperacioneselementalesporlas,
puedendenirseoperacioneselementalesporcolumnas(OEC), sinembargo,
estas ultimas solose usaranparael calculode determinantes
ynoparalaresolucionde sistemasdeecuacioneslinealesni
parahallarlainversadeunamatrizcuadrada, enestos
ultimosdosproblemassolousaremoslasoperacioneselementalesporlas.Denici
on1.12. SeaA = (aij)mn Mmn(R).DiremosqueAesunamatrizEscalonada1. Si
todas las las nulas de A, si las hay, estanubicadas enlas ultimas
posiciones,estoes,siA(i)esunalanonuladeA,entoncesA(s)tambienesnonulaparacada1
s < i.2. Si A(i)y A(i+1)son dos las no nulas de A, entonces la
primera componente no nula deA(i)(contada de izquierda a derecha)
esta mas a la izquierda de la primera componentenonuladeA(i+1),
esdecir, si j, k 1, . . . , nsontalesqueaij ,=0; a(i+1)k ,=0yais= 0
= a(i+1)tparacada1 s < jycada1 t < k,entoncesj<
k.ReducidaporFilas(RF)1. Si A(i)esunalanonuladeA,
entonceslaprimeracomponentenonuladeA(i)esigual a1(uno),
dichacomponenteesllamadapivote, esdecir, si j 1, . . . , nestal
queaij ,= 0yais= 0paracada1 s < j,entoncesaij= 1.2. Si A(j)es
unacolumna deAquetieneunpivote, entonces el restodelas
componentesdeA(j)sonigualesa0(cero),estoes,si i 1, . . . , mestal
queaij=1yais=0paracada1 s < j,entoncesakj= 0paracadak 1, . . . ,
mconk ,= i.Escalonada Reducida por Filas (ERF) si es escalonada y
reducida por las
simultanea-mente.Ejemplo1.12.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales
231. Paracualesquieram, n
Z+,Iny0/mnsonmatricesescalonadasreducidasporlas.2. E=__2 1 3 8 30 5
1 6 40 0 0 8 70 0 0 0 0__esescalonadaperonoesreducidaporlas.3. R
=__1 0 0 70 0 0 00 0 1 90 0 0 60 1 0
1__esreducidaporlasperonoesescalonada.4. F=__1 0 5 0 80 1 3 0 10 0
0 1 20 0 0 0 00 0 0 0 0__esescalonadareducidaporlas.
Ejercicio1.4. SeaA Mmn(R).Pruebeque:1.
SiAesunamatrizescalonada,entonceslacantidaddelasnonulasdeAes,alosumo,el
mnimoentremyn.2. Si A es una matriz RF, entonces la cantidad de
pivotes de A es, a lo sumo, el mnimo entremyn.Ejercicio1.5.
PruebequesiA
Mnn(R)esunamatrizescalonada,entoncesAestriangularsuperior.Denici
on1.13. SeanA, B Mmn(R). DiremosqueBes equivalentepor
lasaAsiexistenOEFf1, f2, . . . , fr: Fm(R) Fm(R)talesqueB= (f1 f2
fr)(A)Ejemplo1.13. ConsideremoslasmatricesAyBdel
ejemplo1.11.EntoncesBesequivalenteporlasaA(porque?). Teorema1.9.
SeanA, B, C Mmn(R).TenemosqueMatricesySistemasdeEcuacionesLineales
241. AesequivalenteporlasaA.2.
SiBesequivalenteporlasaA,entoncesAesequivalenteporlasaB.3. Si Ces
equivalente por las a By Bes equivalente por las a A, entonces Ces
equivalenteporlasaA.Demostraci on. Ejercicio!Observaci on1.16.
Laparte2del
teorema1.9,nospermitedecirAyBsonequivalentesporlasenlugardeBesequivalenteporlasaAoAesequivalenteporlasaB.Teorema1.10.
TodamatrizA Mmn(R)esequivalenteporlasa1. Unamatrizescalonada.2.
Unamatrizreducidaporlas.3. Una
unicamatrizescalonadareducidaporlas,lacualllamaremoslaformaescalonadareducidaporlas(FERF)deA.Demostraci
on. VerapendiceDObservaci on1.17. A
Mnn(R)esequivalenteporlasaInsiysolosiIneslaFERFdeA.ElsiguienteejemploilustraelprocedimientoaseguirparahallarlaFERFdeunamatriz.Ejemplo1.14.
HallarlaFERFdeA =__6 1 15 2 131 0 2 1 30 3 9 0 97 1 11 3 10__Soluci
on.A =__6 1 15 2 131 0 2 1 30 3 9 0 97 1 11 3 10__F1 F2__1 0 2 1 36
1 15 2 130 3 9 0 97 1 11 3
10__MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 25F1 F1__1 0 2 1 36 1 15
2 130 3 9 0 97 1 11 3 10__F2 F26F1F4 F47F1__1 0 2 1 30 1 3 4 50 3 9
0 90 1 3 4 11__F2 F2__1 0 2 1 30 1 3 4 50 3 9 0 90 1 3 4 11__F3 F3
+ 3F2F4 F4F2__1 0 2 1 30 1 3 4 50 0 0 12 240 0 0 8 16__F3 112F3__1
0 2 1 30 1 3 4 50 0 0 1 20 0 0 8 16__F1 F1F3F2 F24F3F4 F4 + 8F3__1
0 2 0 10 1 3 0 30 0 0 1 20 0 0 0 0__AsquelaFERFdeAesC=__1 0 2 0 10
1 3 0 30 0 0 1 20 0 0 0 0__Denici on1.14. UnamatrizE
Mnn(R)esllamadamatrizelementalsiexisteunaOEFf: Fn(R) Fn(R) talqueE=
f(In), es decir, Eseobtiene deInpor medio deuna
unicaOEF.Ejemplo1.15.1. E1=__1 0 0 00 1 0 05 0 1 00 0 0
1__eselemental,puesI4=__1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1__F3 F35F1__1 0
0 00 1 0 05 0 1 00 0 0 1__= E1MatricesySistemasdeEcuacionesLineales
262. E2=__1 0 00 4 00 0 1__eselemental,yaqueI3=__1 0 00 1 00 0
1__F2 4F2__1 0 00 4 00 0 1__= E23. E3=__1 0 0 0 00 0 0 0 10 0 1 0
00 0 0 1 00 1 0 0 0__eselemental,dadoqueI5=__1 0 0 0 00 1 0 0 00 0
1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1__F2 F5__1 0 0 0 00 0 0 0 10 0 1 0 00 0 0 1
00 1 0 0 0__= E3
Teorema1.11. SeanA Mmn(R),B Mnp(R)yf: Fm(R)
Fm(R)unaOEF.Entonces1. f(AB) = f(A)B.2. (f(A))(j)= f_A(j)_paracadaj
1, . . . , ndedondef(A)
=_f_A(1)_f_A(2)_f_A(n)_esdecir,lalaj-esimadef(A)esigualafaplicadaalaj-esimaladeA.Demostraci
on.
VerapendiceD.Comounaconsecuenciadirectadeesteteorematenemoselsiguienteresultado.Corolario1.12.
SiA Mmn(R),B Mnp(R)yf, f1, f2, . . . , fr: Fm(R)
Fm(R)sonOEF,entoncesMatricesySistemasdeEcuacionesLineales 271. f(A)
= f(Im)A.2. (f1 f2 fr)(AB) = (f1 f2 fr)(A)B.3. ((f1 f2 fr)(A))(j)=
(f1 f2 fr)_A(j)_paracadaj 1, . . . , m.Demostraci on.
Ejercicio!Otraconsecuenciadelmismoteorema,enconjuncionconelcorolarioanterior,eslasiguiente.Corolario1.13.
SeanA, B Mmn(R) dosmatricesequivalentesporlas.
EntoncesexistenmatriceselementalesE1, E2, . . . , Er
Mmm(R)talesqueB= E1E2 ErADemostraci on. Ejercicio!1.3.
SistemasdeEcuacionesLinealesLa presenteseccion estamuy
relacionadacon las OEF y las matrices, y es quizas,junto con
laseccionanterior,lamasimportantedelpresentecaptulo.Denici on1.15.
Unsistemadeecuacioneslinealesconmecuacionesynincognitasesunconjuntodeecuacionesdelaforma___a11x1
+ a12x2 + + a1nxn= b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn=
b2...............am1x1 + am2x2 + + amnxn= bm(1.4)dondex1, x2, . . .
, xnsonlas incognitas del sistema1.4ytomanvalores enR; aijRsonn
umerosjosparacadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . ,
nylosllamaremoscoecientesdelsistema1.4yb1, b2, . . . , bm
Rsonjosysonlosterminosindependientesdelsistema1.4.Si b1=b2==bm=0,
diremosqueel sistema1.4es homogeneo,
encasocontrariodiremosqueesnohomogeneo.Cuandom = n,sedicequeel
sistema1.4esunsistemacuadrado.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales
28SihacemosA = (aij)mn=__a11a12 a1na21a22 a2n.........am1am2 amn__;
b =__b1b2...bm__y x =__x1x2...xn__,el sistema1.4puedeescribirsecomo
laecuacionmatricialAx = b(verifquelo!), quellamare-mos
representacionmatricial del sistema1.4. Lamatriz Aes llamada matriz
decoe-cientesomatrizdelsistema1.4,lamatriz[A[b] =__a11a12
a1nb1a21a22 a2nb2............am1am2 amnbm__es llamadamatriz
ampliadadel sistema 1.4, x se conoce con el nombre dematriz
incognitaomatrizdeincognitasybesconocidacomomatrizdeterminosindependientes.El
sistema___a11x1 + a12x2 + + a1nxn= 0a21x1 + a22x2 + + a2nxn=
0...............am1x1 + am2x2 + + amnxn=
0(1.5)esllamadosistemahomogeneoasociadoalsistema1.4.Diremos quec1,
c2, . . . , cnes una soluciondel sistema1.4si al sustituir x1=c1,
x2=c2, . . . , xn=
cnen1.4,lasigualdadessonsatisfechas.Sedicequeelsistema1.4esInconsistentesinotienesolucionalguna.Consistentesitienealmenosunasolucion,cuandotieneuna
unicasolucion,sedicequees consistentedeterminado,
sitienemasdeunasolucion,sedicequees
consistenteindeterminado.Observaci on1.18. Engeneral,
noharemosdiferenciaal referirnosal
sistemayasurepre-sentacionmatricial.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales
29Observaci on1.19. TodosistemahomogeneoAx=0/m1esconsistente,
x=0/n1essoluciondeeste,lacual esllamadasoluciontrivial.Observaci
on1.20. EsclarosiA Mmn(R)yx =__x1x2...xn__ Mn1(R),entoncesAx =
x1A(1)+ x2A(2)+ + xnA(n)Ejemplo1.16.1._3x1+2x26x3= 0x1+5x27x3=
4esunsistemadeecuaciones linealesdedosecuaciones
ytresincognitas,esnohomogeneo,surepresentacionmatriciales_3 2 61 5
7___x1x2x3__=_04_Lamatrizesylamatrizampliadadel
sistemason,respectivamente_3 2 61 5 7_y_3 2 6 01 5 7
4_lasmatricesincognitasydeterminosindependientesson,respectivamente__x1x2x3__y_04_2.___6x
2y +9z = 15x +12y 3z = 2x 6z =
6esunsistemadeecuacioneslinealescuadradocontresecuacionesytresincognitas,esnohomogeneoysurepresentacionmatricial
esMatricesySistemasdeEcuacionesLineales 30__6 2 95 12 31 0
6____xyz__=__126__El sistemahomogeneoasociadoaestesistemaes___6x 2y
+9z = 05x +12y 3z = 0x 6z = 0
Una pregunta que surge de manera inmediata es como garantizar
que un sistema de ecuacioneslineales es
consistenteoinconsistente?yencasodequeseaconsistentecomoresolver
dichosistema?HaremosusodelasmatricesylasOEFpararesponderambaspreguntas,
peroantesdaremoslasbasesteoricasquenospermitanusardichasherramientas.Teorema
1.14.
SeanAx=byCx=dlasrepresentacionesmatricialesdedossistemasdeecuacioneslinealesconmecuacionesynincognitas.Supongamosquelasmatrices[A[b]y[C[d]sonequivalentesporlas.Entoncesambossistemastienenexactamentelasmismassolucionesoningunotienesoluci
on.Demostraci on. Dado que las matrices [A[b] y [C[d] son
equivalentespor las, entonces existenOEFf1, f2, . . . , fr: Fm(R)
Fm(R)talesque(f1 f2 fr)([A[b]) =
[C[d]porlaparte3delcorolario1.12(f1 f2 fr)(A) = C y (f1 f2 fr)(b) =
dyporlaparte2delmismocorolario,tenemosque(f1 f2 fr)(Ax) = (f1 f2
fr)(A)xAsque,siAx = b,entoncesCx = (f1 f2 fr)(A)x = (f1 f2 fr)(Ax)
= (f1 f2 fr)(b) = dMatricesySistemasdeEcuacionesLineales
31Ademas,envirtuddelejercicio1.3,f1, f2, . . . ,
frsoninvertiblesyf11, f12, . . . ,
f1rsontambienOEFsobreFm(R),luego,siCx = d,entoncesAx = (f1 f2
fr)1(C)x = (f1r f12 f11)(C)x=(f1r f12 f11)(Cx)=(f1r f12 f11)(d)=(f1
f2 fr)1(d)=bPorlotantoAx = bsiysolosiCx = d,enconsecuencia,
oambossistemassoninconsistentesoambostienenla(s)misma(s)solucion(es).Observaci
on 1.21. Cuandolamatriz del sistemaes unamatriz ERF, es facil
decidirsi
elsistemaesonoconsistente,yencasodeserlo,essencillohallarla(s)solucion(es)deeste.Laideaes
hallarlaFERFdelamatriz ampliadadel sistema,
yenvirtuddelteorema1.14,
resolver,demanerasencilla,elsistemadado.Corolario1.15. SeanA, C
Mmn(R)yb, d Mm1(R)talesque[C[d]eslaFERFde[A[b].El
sistemaAx=btienesolucionsi ysolosi el n umerodelasnonulasde[C[d]
esigual aln umerodelasnonulasdeC.Demostraci on.
Ejercicio!Ejemplo1.17.
Decidircualdelossiguientessistemassonconsistentesycualesno,encasodeserlo,mostrarsu(s)soluci
on(es).1.___2x +y z = 12x y +5z = 5y +3z = 22.___2x +y z = 2x 2y
+4z = 35x 4y +8z = 9y +3z = 23.___x +y 2z +w = 14x +2y +2z = 22y
10z +3w = 3MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 324.___x +y 2z +w
= 14x +2y +2z = 22y 10z +4w = 3Soluci on.1.
Lamatrizampliadadelsistemaes__2 1 1 12 1 5 50 1 3
2__HallemossuFERF__2 1 1 12 1 5 50 1 3 2__F1 12F1__11212122 1 5 50
1 3 2__F2 F22F1__11212120 2 6 40 1 3 2__F1 12F1__11212120 1 3 20 1
3 2__F1 F112F2F3 F3 + F2__1 0 1320 1 3 20 0 0 0__La ultimaladeesta
ultimamatrizequivalealaecuacion0x + 0y + 0z=
0,quenoaportanadaalasolucion.Asqueelsistemadadoesequivalentealsistema_x
+z =32y 3z = 2queasuvezequivalea_x = z +32y = 3z 2Luego el sistema
dado es consistente indeterminado. Haciendo z= , con R, obtenemosx
= +32; y= 3 2Enconsecuencialasoluciondelsistemadadovienedadaporx =
+32; y= 3 2; z= ; con RMatricesySistemasdeEcuacionesLineales
33obien__xyz__=__ +323 2__= __131__+__3220__; con R2.
Enestecasolamatrizdelsistemaes__2 1 1 21 2 4 35 4 8 90 1 3
2__VamosahallarsuFERF__2 1 1 21 2 4 35 4 8 90 1 3 2__F1 F2__1 2 4
32 1 1 25 4 8 90 1 3 2__F2 F22F1F3 F35F1__1 2 4 30 5 9 80 6 12 60 1
3 2__F2 F4__1 2 4 30 1 3 20 6 12 60 5 9 8__F2 F2__1 2 4 30 1 3 20 6
12 60 5 9 8__F1 F1 + 2F2F3 F36F2F4 F45F2__1 0 2 70 1 3 20 0 6 180 0
6 18__F3 16F3__1 0 2 70 1 3 20 0 1 30 0 6 18__F1 F1 + 2F3F2 F2 +
3F3F4 F46F3__1 0 0 10 1 0 70 0 1 30 0 0
0__Luego,elsistemadadoesequivalentealsistema___x = 1y = 7z =
3MatricesySistemasdeEcuacionesLineales
34Porlotantoelsistemaesconsistentedeterminadoysusolucionesx = 1; y=
7; z= 3obien__xyz__=__173__3.
HallemoslaFERFdelamatrizampliadadelsistemaquees__1 1 2 1 14 2 2 0
20 2 10 3 3____1 1 2 1 14 2 2 0 20 2 10 3 3__F2 F24F1__1 1 2 1 10 2
10 4 60 2 10 3 3__F2 12F2__1 1 2 1 10 1 5 2 30 2 10 3 3__F1 F1F2F3
F32F2__1 0 3 1 20 1 5 2 30 0 0 1 3__F3 F3__1 0 3 1 20 1 5 2 30 0 0
1 3__F1 F1 + F3F2 F22F3__1 0 3 0 10 1 5 0 30 0 0 1
3__Enconsecuenciaelsistemadadoesequivalentealsistema___x +3z = 1y
5z = 3w = 3oequivalentemente___x = 3z + 1y = 5z 3w =
3MatricesySistemasdeEcuacionesLineales
35Porlotantoelsistemaoriginalesconsistenteindeterminado.Haciendoz=
,con R,tenemosquelasoluciondelsistemaes__xyzw__=__3 +15 33__=
__3510__+__1303__; con R4. HallemoslaFERFdelamatriz__1 1 2 1 14 2 2
0 20 2 10 4 3__queeslamatrizampliadadelsistema__1 1 2 1 14 2 2 0 20
2 10 4 3__F2 F24F1__1 1 2 1 10 2 10 4 60 2 10 4 3__F3 F3 + F2__1 1
2 1 10 2 10 4 60 0 0 0 3__SinnecesidaddellegaralaFERFdelamatriz,
vemosquela ultimaladeesta ultimamatrizequivalealaecuacion0x + 0y +
0z + 0w =
3lacualescontradictoria,enconsecuencia,elsistemaoriginalesinconsistente.Teorema1.16.El
sistema homogeneo Ax = 0/m1, con A Mmn(R), tiene innitas
solucionessi m jydet(A) = a11a22 ann.Supongamos que det(A) ,= 0.
Luego aii ,= 0 para cada i 1, . . . , n. Como aij= 0 para i >
j,entoncesparacadai 1, . . . ,
n,laprimeracomponentenonulaenlai-esimalaesaii,yporserAunamatrizERF,setienequeaii=
1paracadai 1, . . . , n,esdecir,aiiesunpivoteyporlotantoaij= 0parai
,= j(porque?).Enresumenaij=_1 sii = j0 sii ,= jEsdecir,A =
In.Recprocamente,siA = In,entoncesdet(A) = 1 ,= 0.Enel
siguienteteoremasedaunanuevaequivalenciaqueinvolucralainversadeunamatrizcuadrada.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales
63Teorema1.38. SeaA Mnn(R).EntoncesAesinvertiblesiysolosidet(A) ,=
0.Demostraci on. Sea B Mnn(R) la FERF A. Entonces existen matrices
elementales E1, E2, . . . , Er Mnn(R)talesqueB=E1E2 ErA.
Comodet(Ei) ,=0paracadai 1, . . . , r, entoncesdet(A) ,=0si ysolosi
det(B) ,=0;yusandoelteorema1.37setienequeB=In.Porlotantodet(A) ,=
0siysolosilaFERFdeAesIn,locualconcluyelaprueba.Teorema1.39. SeanA,
B Mnn(R).Entoncesdet(AB) = det(A) det(B).Demostraci on.Caso1.
det(A) = 0. As que, en virtud del teorema1.38, A no es
invertible.Luego, usandoel ejercicio1.7, se tieneque ABno es
invertible,y nuevamentepor el teorema1.38 setienequedet(AB) =
0.Porlotantodet(AB) = 0 = 0 det(B) = det(A) det(B)Caso2. det(A)
,=0. LuegoAesinvertible, envirtuddel teorema1.38. As que, al
usarelteorema1.22,tenemosqueexistenmatriceselementalesE1, E2, . . .
, Er Mnn(R)talesqueA = E1E2 Er.Luego,porelcorolario1.36det(A) =
det(E1E2 Er) = det(E1) det(E2)det(Er) ydet(AB) = det(E1E2 ErB) =
det(E1) det(E2)det(Er) det(B) = det(A) det(B)1.6.
MatrizAdjunta.RegladeCramerEnestasecciondeniremoslaadjuntadeunamatrizyenunciaremosla
regladeCramer,que a pesar de no ser una herramientamuy usada en la
actualidad, es una interesanteaplicaciondelosdeterminantes.Denici
on1.22.Sea A Mnn(R). Se dene la matrizadjunta de A como la matriz
adj(A) Mnn(R)cuyaij-esimacomponenteesel
ji-esimocofactordeAparacadai, j 1, . . . , n,esdecir,siadj(A) =
(bij)nn,entoncesbij= CAjiparacualesquierai, j 1, . . . ,
n.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 64Observaci on1.28. Si
C=(CAij)nn, esdecir, si Ceslamatrizreal
cuadradacuyaij-esimacomponenteeselij-esimocofactordeAparacadai, j
1, . . . , n,entoncesadj(A) = CT.Ejemplo1.37. HallarlaadjuntadeA
=__2 1 31 0 24 1 7__Soluci on.
NecesitamoshallarcadaunodeloscofactoresdeA.VeamosCA11= (1)1+10 21
7= 2; CA12= (1)1+21 24 7= 1; CA13= (1)1+31 04 1= 1;CA21= (1)2+11 31
7= 4; CA22= (1)2+22 34 7= 2; CA23= (1)2+32 14 1= 2;CA31= (1)3+11 30
2= 2; CA32= (1)3+22 31 2= 1; CA33= (1)3+32 11 0= 1;Asqueadj(A)
=__CA11CA21CA31CA12CA22CA32CA13CA23CA33__=__2 4 21 2 11 2
1__Teorema1.40. SeaA Mnn(R).EntoncesAadj(A) = det(A)In=
adj(A)A.Demostraci on. Hagamosadj(A)=(bjk)nn.Asqueparacadaj, k 1, .
. . , n,setienequebjk= CAkj.SihacemosAadj(A) = D =
(dik)nn,entonces,paracadai, k 1, . . . , n,tenemosquedik=n
j=1aijbjk=n
j=1aijCAkj.Peron
j=1aijCAij= det(A)MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 65yseg
unelteorema1.34,sii ,= k,entoncesn
j=1aijCAkj= 0Porlotantodik=_det(A) sii = k0 sii ,= k= det(A)_1
sii = k0 sii ,= k= det(A)ikdondeIn=(ik)nn.
EnconsecuenciaAadj(A)=det(A)In. Demaneraanalogasepruebaqueadj(A)A =
det(A)In,locualconcluyelaprueba.Teorema1.41.Si A Mnn(R) es
invertible, entonces det(A1) =1det(A)y A1=1det(A) adj(A).Demostraci
on. ComoAesinvertible, entoncesexisteA1Mnn(R)tal
queAA1=In=A1A,yporelteorema1.39det(A) det(A1) = det(AA1) = det(In)
= 1.Luegodet(A1)
=1det(A).Porotrolado,usandoelteorema1.40,setienequeA_1det(A)
adj(A)_=1det(A)Aadj(A) =1det(A) det(A)In= In.DedondeA1=1det(A)
adj(A).Ejercicio1.9.Sea A Mnn(R) una matriz invertible. Pruebe que
adj(A) tambien es invertibleyademas(adj(A))1=
adj(A1).MatricesySistemasdeEcuacionesLineales
66ConsideremoslaecuacionmatricialAx = b,dondeA
Mnn(R).SiAesinvertible,entoncesla
unicasoluciondedichaecuacionestadadaporx=A1b, as que,
unaformadehallarlasolucionde
laecuacionencuestion,escalcularlainversade Ay multiplicarlapor
b,peroquizasestoesmuchomascomplicadoycostoso(enterminos decalculos)
quehallarlaFERFdelamatriz[A[b].Enel
siguienteteoremapresentaremosunaherramientaquepermiteresolverlaecuacionan-teriorusandodeterminantes,
sinnecesidaddehallarlainversadeAnilaFERFde[A[b],dichaherramientaseconoceconelnombredelaregladeCramer.Teorema1.42(RegladeCramer).
SeaA Mnn(R)unamatrizinvertibleyb Mn1(R).Six =__x1x2...xn__es la
soluci on de la ecuacion Ax = b, entonces, para cada j 1, . . . ,
n, xj=det(Abj)det(A) ,dondeAbjeslamatrizqueseobtienedeAal
reemplazarA(j)(lacolumnaj)porb,estoes,Abj=_A(1) A(j1)b A(j+1)
A(n)_Demostraci on. Como A = (aij)nnes invertible, entonces la
unica solucion del sistema Ax = besx = A1b,peroA1=1det(A)
adj(A),asquex =1det(A) adj(A)b,porlotanto,sib
=__b1b2...bn__,entoncesxj=1det(A)n
i=1CAijbiparacadaj 1, . . . , n.Porotrolado,paracadaj 1, . . . ,
n,setienequeAbj=__a11 a1(j1)b1a1(j+1) a1n...............a(i1)1
a(i1)(j1)bi1a(i1)(j+1) a(i1)nai1 ai(j1)biai(j+1) aina(i+1)1
a(i+1)(j1)bi+1a(i+1)(j+1) a(i+1)n...............an1 an(j1)bnan(j+1)
ann__Porlotanto,paracadai 1, . . . , n,tenemosqueMAbjij=
MAijyasCAbjij= (1)i+jdet_MAbjij_= (1)i+jdet_MAij_=
CAijMatricesySistemasdeEcuacionesLineales
67Luego,aldesarrollareldeterminantedeAbjpormediodelaj-esimacolumna,obtenemosdet(Abj)
=n
i=1CAbjijbi=n
i=1CAijbiEnconsecuencia,paracadaj 1, . . . ,
ntenemosquexj=det(Abj)det(A)Ejemplo1.38. Vericarquelamatrizdel
sistema___x +2z w = 3x +y +2z +w = 24x +2y +2z 3w = 12y +z +4w =
1esinvertibleyusarlaregladeCramerparahallarlasoluci ondel
sistema.Soluci on. LamatrizdelsistemaesA =__1 0 2 11 1 2 14 2 2 30
2 1 4__hallemossudeterminantedet(A) =1 0 2 11 1 2 14 2 2 30 2 1 4=1
0 2 10 1 0 20 2 6 10 2 1 4=1 0 22 6 12 1 4=1 0 02 6 32 1 0=6 31 0=
3 ,= 0.Porlo tantola matrizdel sistemaesinvertible,as que
podemosaplicarla reglade
Cramerpararesolverlo.Enestecasolamatrizdeterminosindependientesesb
=__3211__MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 68Luegodet_Ab1_=3 0
2 12 1 2 11 2 2 31 2 1 4=0 6 1 130 3 0 70 0 1 71 2 1 4= 6 1 133 0
70 1 7= 6 0 203 0 70 1 7=6 203 7= 42 60 = 18.det_Ab2_=1 3 2 11 2 2
14 1 2 30 1 1 4=1 3 2 10 1 0 20 11 6 10 1 1 4=1 0 211 6 11 1 4=1 0
011 6 211 1 6= 6 211 6= (36 + 21) = 15.det_Ab3_=1 0 3 11 1 2 14 2 1
30 2 1 4=1 0 2 10 1 1 20 2 11 10 2 1 4=1 1 22 11 12 1 4=1 1 20 9 30
3 0=9 33 0= 9.det_Ab4_=1 0 2 31 1 2 24 2 2 10 2 1 1=1 0 2 30 1 0 10
2 6 110 2 1 1=1 0 12 6 112 1 1=1 0 02 6 92 1 3=6 91 3= 18 + 9 =
9.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales
69Enconsecuenciax=det_Ab1_det(A)= 183= 6; y=det_Ab2_det(A)=153=5;
z=det_Ab3_det(A)=93=3;w =det_Ab4_det(A)= 93=
3,esdecir,lasoluciondelsistemadadoes:__xyzw__=__6533__Ejemplo1.39.
Unafabricaproducetrestiposdeproductos,mezclandoparaellotresmateriasprimas.
Sesabequeparafabricar unaunidaddel producto1, senecesitan,
unaunidaddelamateria prima 1, tres unidades de la materia prima 2 y
dos unidades de la materia prima 3; parafabricarunaunidaddel
producto2,senecesitan,unaunidaddelamateriaprima1ytresdelamateria
prima 2; nalmente, para fabricar unaunidad del producto 3, se
necesitan, tres unidadesdelamateriaprima1,
tresdelamateriaprima2ydosdelamateriaprima3: Si
estemeslafabricacuentaconseismillonesdeunidadesdelamateriaprima1,12millonesdeunidadesdelamateriaprima2yseismillonesdelamateriaprima3cuantasunidadesdecadaproductopuedeproducirlafabricausandoeltotal
delasmateriasprimas?Soluci on. Paracadai 1, 2, 3,
seaxilasunidades(enmillones)del
productoiquepuedeproducirlafabrica.Porlotanto,lacantidaddeunidades(enmillones)queseusaranes:x1
+ x2 + 3x3delamateria13x1 + 3x2 + 3x3delamateria22x1 +
2x3delamateria3Comosequiereusareltotaldelasmateriasprimas,entonces___x1+x2+3x3=
63x1+3x2+3x3= 122x1+2x3= 6MatricesySistemasdeEcuacionesLineales
70Enestecaso, lamatrizdel sistema,
lamatrizdeincognitasylamatrizdeterminosindepen-dientesson,respectivamente:A
=__1 1 33 3 32 0 2__; x =__x1x2x3__y b =__6126__Veamos si podemos
aplicar laregladeCramer, paraellocalculemos el determinante
delamatrizdelsistema.det(A) =1 1 33 3 32 0 2=1 1 30 0 62 0 2= 0 62
2= 12 ,=
0.Comolamatrizdelsistemaesinvertible,podemosusarlaregladeCramer.det_Ab1_=6
1 312 3 36 0 2=6 1 36 0 66 0 2= 6 66 2= (12 + 36) = 24.det_Ab2_=1 6
33 12 32 6 2=1 6 30 6 60 6 4=6 66 4= 24 36 = 12.det_Ab3_=1 1 63 3
122 0 6=1 1 60 0 62 0 6= 0 62 6= 12.Porlotantox1= 2412=2; x2=
1212=1yx3= 1212=1, esdecir, usandoel total delamateriaprima,
sepuedenfabricardosmillonesdeunidadesdel
producto1yunmillondeunidadesdecadaunodelosproductos2y3.1.7.
Determinantes de Matrices Triangulares por BloquesEnesta
ultimaseccionestamosinteresadosenestudiarunpocolasmatrices
expresadasporbloques,lascualesnosserviranparaelestudiodelaformacan
onicadeJordan(verlaseccion4.6delcaptulo4),noharemosunestudiomuyextenso,sololonecesario.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales
71Denici on1.23. Seanm1, m2, . . . , mr, n1, n2, . . . , ns Z+,
m=m1+ m2 ++ mryn=n1+n2++ns. Paracadai 1, . . . , ry cadaj 1, . . .
, sconsideremos lamatrizAij Mminj(R).LamatrizA Mmn(R)dadaporA
=__A11A12 A1sA21A22 A2s.........Ar1Ar2
Ars__sedicequeestaexpresadaporbloquesyparacadai 1, . . . , rycadaj
1, . . . , s,
lamatrizAijesllamadasubmatrizomatrizbloquedeA.Ejemplo1.40.
SidenimosA11=__2 1 04 2 16 7 2__; A12=__3 55 29 1__; A21=_3 1 37 1
2_; A22=_0 41 3_entoncesA =__A11A12A21A22__=__2 1 0 3 54 2 1 5 26 7
2 9 13 1 3 0 47 1 2 1 3__=__2 1 0 3 54 2 1 5 26 7 2 9 13 1 3 0 47 1
2 1 3__
SeanA, B Mmn(R).Sim1, m2, . . . , mr, n1, n2, . . . , ns
Z+soncomoenladenicin1.23ysiparacadai 1, . . . , rycadaj 1, . . . ,
sdenimosAij, Bij Mminj(R)detalmaneraqueA =__A11A12 A1sA21A22
A2s.........Ar1Ar2 Ars__y B=__B11B12 B1sB21B22 B2s.........Br1Br2
Brs__entoncesesclaroqueMatricesySistemasdeEcuacionesLineales 721. A
=__A11A12 A1sA21A22 A2s.........Ar1Ar2 Ars__2. A + B=__A11 + B11A12
+ B12 A1s + B1sA21 + B21A22 + B22 A2s + B2s.........Ar1 + Br1Ar2 +
Br2 Ars + Brs__3. AT=__AT11AT21 ATr1AT12AT22 ATr2.........AT1sAT2s
ATrs__Otroresultado no tanobvio como los anteriores, pero nopor
ello muycomplicado, es elsiguiente.SeanA Mmn(R)yB Mnp(R). Si m1,
m2, . . . , mr, n1, n2, . . . , ns Z+soncomoenladenicion 1.23 y p1,
p2, . . . , pt Z+son tales que p = p1+p2++pt y si para cada i 1, .
. . , r,cadaj 1, . . . , sycadak 1, . . . , tdenimosAij Mminj(R),
Bjk Mnjpk(R)detalmaneraqueA =__A11A12 A1sA21A22 A2s.........Ar1Ar2
Ars__y B=__B11B12 B1tB21B22 B2t.........Bs1Bs2
Bst__entoncesAB=__C11C12 C1tC21C22 C2t.........Cr1Cr2 Crt__donde
para cada i 1, . . . , r y cada k 1, . . . , t se tiene que Cik
Mmipk(R) esta dada porCik= Ai1B1k + Ai2B2k + + AisBsk=s
j=1AijBjk.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 73Teorema1.43.
SeanB Mmm(R),C Mmn(R)yD Mnn(R)talesqueA =__B C0/nmD__Entoncesdet(A)
= det(B) det(D).Demostraci on.
Fijemosnyprocedamosporinduccionsobrem.Veriquemosquesecumpleparam =
1.Enestecaso,B= [b]conb RyA =__b
C0/n1D__AldesarrollareldeterminantedeAmediantelaprimeracolumnaseobtienedet(A)
= bCA11= b(1)1+1det_MA11_= b det(D) = det(B) det(D)(Hipotesis
Inductiva) Supongamos que se cumple para m1, es decir, si B
M(m1)(m1)(R),C M(m1)n(R)yD Mnn(R)sontalesqueA =__B
C0/n(m1)D__entoncesdet(A) = det(B) det(D).Probemosquesecumpleparam.
SeanB Mmm(R), C Mmn(R)yD Mnn(R)talesqueA =__B
C0/nmD__Luego,aldesarrolareldeterminantedeA,pormediodelaprimeracolumna,obtenemosdet(A)
=m
i=1bi1(1)i+1det_MAi1_dondeB= (bij)mm.Peroparacadai 1, . . . ,
ntenemosqueMAi1=__MBi1Ci0/n(m1)D__dondelamatrizCi
M(m1)n(R)seobtienealeliminarlai-esimaladeC.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales
74Yusandolahipoteisinductiva,tenemosquedet_MAi1_=
det_MBi1_det(D)Porlotantodet(A) =m
i=1bi1(1)i+1det_MBi1_det(D)=_m
i=1bi1(1)i+1det_MBi1__det(D)= det(B)
det(D)locualconcluyelaprueba.Ejemplo1.41. SiA =__2 1 3 10 11 0 4 2
124 1 2 4 60 0 0 3 50 0 0 1
2__entoncesApuedeexpresarseporbloquescomosigueA =__2 1 3 10 11 0 4
2 124 1 2 4 60 0 0 3 50 0 0 1 2__Asquealusarel
teorema1.43tenemosquedet(A) =2 1 31 0 44 1 23 51 2= 31 = 3
MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 75Corolario 1.44. Seann1,
n2, . . . , ns Z+, A Mnn(R) y Aij Mninj(R) para i, j 1, . . . ,
sconi jtalesquen1 + n2 + + ns= nyA =__A11A12 A1s0/n2n1A22
A2s............0/nsn1 0/nsns1Ass__Entoncesdet(A) = det(A11)
det(A22)det(Ass)Demostraci on. Ejercicio!Observaci on1.29.
Lasmatrices dadas enelteorema1.43yel corolario1.44seconocen
conelnombredematricestriangularessuperiorporbloques,
demaneraanalogasedenenlasmatricestriangularesinferiorporbloques.Esclaroquelatranspuestadeunamatriztriangularsuperiorporbloquesesunamatriztri-angularinferiorporbloques(yviceversa),enconsecuencia,el
teorema1.43yel
corolario1.44,siguensiendovalidosparamatricestriangularesinferiorporbloques.Unamatrizqueseatriangularsuperioreinferiorporbloques,
simultaneamente, esllamadamatrizdiagonal
porbloques.Captulo2EspaciosVectorialesEstees, quizas,el captulomas
importante de todo el curso,por locual pedimos
sealedoconmuchodetenimiento,
lamayorpartedelasdenicionesyteoremastratadosacaseusaranconbastantefrecuenciaenelrestodeloscaptulos.2.1.
EspaciosVectorialesDenici on2.1. Unespaciovectorial real
esunaterna(V, +, )formadaporunconjuntonovacoV,
cuyoselementosllamaremos vectores, ydosoperacionesbinarias+: VV V,
llamada adicionvectorial, y: RV V, llamada multiplicacionpor
escalar,satisfaciendolassiguientescondicionesA0. u + v
Vparacualesquierau, v V(cerraduradelaadicionvectorial)A1. u+v = v+u
para cualesquiera u, v V (conmutatividadde la adicion vectorial)A2.
(u+v)+w= u+(v+w) para cualesquiera u, v, w V (asociatividaddela
adicionvectorial)A3. Existe0/V Vtal quev + 0/V=vparacadav
V(existenciadeunelementoneutroparalaadicionvectorial)A4. Paracadav
VexistevVtal quev+
v=0/V(existenciadeunelementoopuestoparalaadicionvectorial)M0. v
Vparacualesquiera Ryv V(cerraduradelamultiplicacionporescalar)M1. (
+)v = v +vparacualesquiera, Ryv
V(distributividaddelamultiplicacionporescalarrespectoalaadicionescalar)M2.
(u +v) = u +vparacualesquiera Ryu, v
V(distributividaddelamultiplicacionporescalarrespectoalaadicionvectorial)76EspaciosVectoriales
77M3. ()v= (v) = (v)paracualesquiera, Ryv
V(asociatividaddelamultiplicacionescalarylamultiplicacionporescalar)M4.
1v= vparacadav
V(existenciadeunelementoneutroparalamultipli-cacionporescalar)Observaci
on2.1. Esdehacer notar quelas expresiones aladerechadelas
igualdades enM1.yM2.nosonambiguas
pues,apesardenohaberlodicho,laoperaci
on+tienemayorjerarquaquelaoperacion , estoes, (u) + v
puedeserescritocomou + v peroenlaexpresion(u +
v)nopuedensuprimirselosparentesis.Observaci on2.2.
Ladenicion2.1sepuedeextenderconsiderandouncampocualquieraK(verapendicesAyB)enlugardeR,encuyocasodiremosqueVesunK-espaciovectorialyloselementosdeKsonllamados
escalares. Porejemplo,
podemosescogerK=CyenestecasoVesllamadoespaciovectorialcomplejo.Enloquerestadel
curso, soloconsideraremosespaciosvectorialesreales,
salvoquesedigalocontrario,ynosreferiremosaestoscomoespaciosvectoriales(e.v.)enlugardeespaciosvectorialesreales,amenosquehayaerroraconfusion.Observaci
on2.3. Enadelante, siemprequenohayaerroraconfusion,
enlugardeescribirvescribiremosv.Observaci on2.4. Nosreferiremosal
conjuntoVcomoespaciovectorial,
siemprequenosetiendaaconfusion,enlugardelaterna(V, +,
),sobrentendiendolasoperaciones+y Ejemplo2.1.1. El conjuntoRn= (x1,
x2, . . . , xn):xi Rparacadai 1, . . . , njuntoconlasopera-ciones+y
dadascomosigue(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 +
y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)(x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2, . . .
, xn)donde Ry(x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn)
Rn,esunespaciovectorial(verifquelo!)
EspaciosVectoriales 782. El
conjuntoMmn(R)juntoconlasoperaciones+y
,dadasenlasdeniciones1.4y1.5respectivamente, del captulo1,es
unespaciovectorial (verel teorema1.2enelcaptulo1)
3. ConsideremosunamatrizA Mmn(R).Losconjuntoso= x Mn1(R) : Ax =
0/m11 = y Mm1(R) : Ax = y paraalg un x Mn1(R)juntocon las
operaciones +y denidas en el captulo1, son espacios vectoriales
(pruebe-lo!)oes llamadoespaciosoluciondelsistemahomogeneoAx =
0/m1oespacionulodeA,y 1esllamadoel
espacioimagendeA.Estosespaciosserantratadosformalmenteyendetalleenlaseccion2.6delpresentecaptulo.
4. Sean N.DenamosPn[x] = a0 + a1x + + anxn: a0, a1, . . . , an
REsdecir,Pn[x]
estaformadoportodoslospolinomiosconcoecientesrealesenlavariablexdegradomenoroigual
anincluyendoel polinomionulo.SobrePn[x]
consideremoslasoperacionesusualesdeadiciondepolinomiosymultiplicaciondeunn
umeroreal
porunpolinomio.EntoncesPn[x]esunespaciovectorial(pruebelo!)Engeneral,sidenimosel
conjuntoP[x] = p(x) :
p(x)esunpolinomioenlavariablexentoncesP[x]esunespaciovectorialjuntoconlasoperacionesusualesantesmencionadas(pruebelo!)Esdehacernotar
queel polinomionulo O(x) = 0notienegrado!(por que?),
ademas,paracadan NsetienequePn[x] ,= (por que?) yPn[x] Pn+1[x]
P[x](por que?)5. Seana, b Rcona