Algebra Lineal: Combinaci´ on Lineal Departamento de Matem´ aticas Intro Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Definci´ on Ejemplo 7 Ejemplo 8 Algebra Lineal: Combinaci´ on Lineal Departamento de Matem´ aticas
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AlgebraLineal:
CombinacionLineal
Departamentode
Matematicas
Intro
Ejemplo 1
Ejemplo 2
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Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Defincion
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Algebra Lineal:Combinacion Lineal
Departamento de Matematicas
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Defincion
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En esta seccion introduciremos el concepto de combinacionlineal. Este concepto permite reinterpretar lo que significa lasolucion de un sistema de ecuaciones lineales. Desde nuestropunto de vista, el concepto de combinacion lineal marca elinicio del algebra lineal.
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EjemploConsideremos el sistema de ecuaciones lineales:
2 x + 3 y + z = 8−x + 3 y = 32 x + y − z = 12
Este sistema lo podemos resolver formando la aumentada yreduciendo:
x y z
2 3 1 8−1 3 0 3
2 1 −1 12
→
x y z
1 0 0 30 1 0 20 0 1 −4
concluimos que la solucion es x = 3, y = 2 y z = −4.
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Como estamos interesados en ver que representa la solucion aun SEL, sustituyamos en la sistema original:
2 (3) + 3 (2) + 1 (−4) = 8−1 (3) + 3 (2) + 0 (−4) = 3
2 (3) + 1 (2) − 1 (−4) = 12
Estas tres igualdades pueden verse como una igualdad entrevectores: 2 (3) + 3 (2) + 1 (−4)
−1 (3) + 3 (2) + 0 (−4)2 (3) + 1 (2) − 1 (−4)
=
83
12
de donde, si separamos y sacamos constantes en el ladoizquierdo tenemos
3 ·
2−1
2
+ 2 ·
331
− 4 ·
10−1
=
83
12
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Resumiendo, si la solucion al SEL con aumentada 2 3 1 8−1 3 0 3
2 1 −1 12
es x = 3, y = 2 y z = −4. Entonces
3 ·
2−1
2
+ 2 ·
331
− 4 ·
10−1
=
83
12
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Resumiendo, si la solucion al SEL con aumentada 2 3 1 8−1 3 0 3
2 1 −1 12
es x = 3, y = 2 y z = −4. Entonces
3 ·
2−1
2
+ 2 ·
331
−4 ·
10−1
=
83
12
Observe que el proceso es perfectamente reversible: si se tienenlos coeficientes, entonces se tienen los valores de las incognitasdel sistema; es decir se tiene una solucion. Resumiendo,
La solucion a un SEL representa los coeficientes porlos cuales hay que multiplicar las columnas de lamatriz de coeficientes para que al sumar resultados seobtenga el vector de constantes.
¿Como contribuye esta interpretacion al analisis de SELs?
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EjemploSi x = 3 y y = 2 es solucion al SEL con aumentada[
1 −3 −32 −1 4
]y x = 1 y y = −5 es solucion al SEL con aumentada[
1 −3 162 −1 7
]¿que se puede decir de la solucion a[
1 −3 132 −1 11
]?
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Tenemos que x = 3, y = 2 solucion a
[1 −3 −32 −1 4
]implica
3
(12
)+ 2
(−3−1
)=
(−3
4
)
mientras que x = 1, y = −5 solucion a
[1 −3 162 −1 7
]implica
1
(12
)− 5
(−3−1
)=
(16
7
)Al sumar miembro a miembro las igualdades tenemos
4
(12
)− 3
(−3−1
)=
(1311
)
por tanto x = 4, y = −3 sera solucion a
[1 −3 132 −1 11
]
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EjemploSuponga que x = 3, y = 2 es una solucion al SEL:
x − 3 y = −32 x − y = 4
¿puede dar una solucion al SEL:
−3 x + y = −3−x + 2 y = 4
?
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Como la matriz aumentada de
x − 3 y = −32 x − y = 4
es
[1 −3 −32 −1 4
], que x = 3, y = 2 sea solucion implica
3
(12
)+ 2
(−3−1
)=
(−3
4
)es decir
2
(−3−1
)+ 3
(12
)=
(−3
4
)y como
[−3 1 −3−1 2 4
], es la matriz aumentada de
−3 x + y = −3−x + 2 y = 4
entonces x = 2, y = 3 es solucion a el.
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EjemploSuponga que x = 3, y = 2 es una solucion al SEL:
x − 3 y = −32 x − y = 4
¿puede dar una solucion al SEL:
x − 3 y = −122 x − y = 16
?
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Como la matriz aumentada de
x − 3 y = −32 x − y = 4
es
[1 −3 −32 −1 4
], que x = 3, y = 2 sea solucion implica
3
(12
)+ 2
(−3−1
)=
(−3
4
)si multiplicamos por 4 obtenemos
12
(12
)+ 8
(−3−1
)=
(−12
16
)
y como
[1 −3 −122 −1 16
], es la matriz aumentada de
x − 3 y = −122 x − y = 16
entonces x = 12, y = 8 es solucion a el.
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EjemploSuponga que x = 3, y = 2 es una solucion al SEL:
x − 3 y = −32 x − y = 4
¿puede dar una solucion al SEL:
x − 6 y = −32 x − 2 y = 4
?
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Como la matriz aumentada de
x − 3 y = −32 x − y = 4
es
[1 −3 −32 −1 4
], que x = 3, y = 2 sea solucion implica
3
(12
)+ 2
(−3−1
)=
(−3
4
)de donde
3
(12
)+ 1
(−6−2
)=
(−3
4
)y como
[1 −6 −32 −2 4
], es la matriz aumentada de
x − 6 y = −32 x − 2 y = 4
entonces x = 3, y = 1 es solucion a el.
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EjemploSuponga que x = 3, y = 2 es una solucion al SEL:
x − 3 y = −32 x − y = 4
¿puede dar una solucion al SEL:
x − 6 y + 8 z = −32 x − 2 y + 7 z = 4
?
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Como la matriz aumentada de
x − 3 y = −32 x − y = 4
es
[1 −3 −32 −1 4
], que x = 3, y = 2 sea solucion implica
3
(12
)+ 2
(−3−1
)=
(−3
4
)de donde
3
(12
)+ 2
(−3−1
)+ 0
(87
)=
(−3
4
)
y como
[1 −6 8 −32 −2 7 4
], es la matriz aumentada de
x − 6 y + 8 z = −32 x − 2 y + 7 z = 4
entonces x = 3, y = 2, z = 0 es solucion a el.
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DefinicionSean v1, v2, . . . , vk , vectores con n componentes y seanc1, c2, . . . , ck escalares. El vector de la forma
c1 · v1 + c2 · v2 + · · ·+ ck · vk
se llama combinacion lineal de v1, v2, . . . , vk . Los escalaresc1, c2, . . . , ck se llaman coeficientes de la combinacion lineal.
La solucion a un SEL representa los coeficientes de lacombinacion lineal de las columnas de la matriz decoeficientes que produce el vector de constantes. Esequivalente resolver un SEL a buscar la combinacionlineal de vectores que da un vector particular.
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Indique si el primer vector es combinacion lineal de losrestantes:
b =
[−27−12
], a1 =
[32
], a2 =
[62
]SolucionRecordemos la teorıa al respecto: determinar las constantesescalares que satisfacen
c1 · a1 + c2 · a2 + · · ·+ ck · ak = b
equivale a resolver un SEL cuya aumentada es [a1 a2 · · · ak |b]Para ver si b es combinacion lineal de a1 y de a2 equivale abuscar las constantes c1 y c2 para que se cumpla
c1 · a1 + c2 · a2 = b
lo cual equivale resolver [a1 a2|b]:
[a1 a2 |b ] =
[3 2 −276 2 −12
]rref−−→
[1 0 50 1 −21
]
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Como el sistema tiene solucion, el vector b sı es combinacionlineal de a1 y de a2; de hecho los coeficientes de lacombinacion lineal son c1 = 5 y c2 = −21
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Ejemplo 8
Indique si el vector y es combinacion lineal de los vectores v1,v2, v3. Donde:
y =
(63
), v1 =
(62
), v2 =
(24
8
), v3 =
(−24−8
)
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Ejemplo 8
Indique si el vector y es combinacion lineal de los vectores v1,v2, v3. Donde:
y =
(63
), v1 =
(62
), v2 =
(24
8
), v3 =
(−24−8
)Solucion
La pregunta consiste en saber si existen escalares c1, c2 y c3tales que:
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = y
Sustituyendo los vectores, la relacion anterior queda:
c1
(62
)+ c2
(24
8
)+ c3
(−24−8
)=
(63
)La matriz aumentada del sistema anterior queda:[
6 24 −24 62 8 −8 3
]→[
1 4 −4 00 0 0 1
]Al no haber solucion, concluimos que no es combinacion lineal.
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