Grup Permutasi Dan Grup Siklis

8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis

1/43

Grup Permutasi dan Grup Siklis

Winita Sulandari


2/43

Grup Permutasi

Suatu Permutasi dari suatu himpunan

berhingga S yang tidak kosong, dinyatakan

sebagai suatu pemetaan bijektif dari

himpunan S pada dirinya sendiri.


3/43

3

Definisi FungsiSuatu fungsi f dari A ke B adalah suatuaturan yang memetakan setiap elemen

A ke tepat satu elemen B, ditulis:

f : A B

Jika f memetakan a A ke b B, ditulis

f(a) = b

A Bf

a b)a(f


4/43

4

Fungsi satu-satu dan onto

1. Fungsi f : A B dikatakan satu-satu, jhj, jikaf(a)=f(b), maka a=b.

2. Fungsi f : A B dikatakan onto, jhj, untuk setiap

bB, ada aA sedemikian sehingga b = f(a)

32

1

4

3

2

1

4

3

2

1

3

2

1

A AB Bf f

11 onto


5/43

5

Fungsi KomposisiJika f dan g adalah fungsi-fungsi dengan f : A B

dan g : B C, maka ada fungsi dari A ke C.

Fungsi dari A ke C adalah fungsi komposisi yang

terdiri dari f diikuti g, ditulis: (gf)(a) = g(f(a)) = c,

dengan a A dan c C.gambar:

A B Cf g

)a)(fg(

a )a(f ))a(f(gc


6/43

6

Definisi PermutasiSuatu permutasi pada A adalah fungsi

dari A ke A yang sekaligus satu-satu

dan onto, ditulis

AA:f 11

onto


7/43

7

Contoh 1Diberikan A = { 1, 2, 3, 4, 5 }.

f adalah permutasi yang digambarkan sebagai:

atau

f ditulis dalam notasi baku sebagai berikut :15

34

53

22

41

13524

54321f

1

23

4

5

1

23

4

5

A Af


8/43

8

Dari: dapat diartikan bahwa:

f(1) = 4f(2) = 2

f(3) = 5

f(4) = 3

f(5) = 1

13524

54321f


9/43

9

Komposisi Permutasi Teorema)

Jika f dan g permutasi-permutasi pada

A, maka fg juga permutasi pada A.

( )AA:gf 11

onto


10/43

10

Contoh 2Misalkan dan

Maka f g =

sehingga (fg)(1) = f(g(1)) = f(3) = 5

(fg)(5) = f(g(5)) = f(1) = 4, dsb.

Jadi f g =

13524

54321f

12453

54321g

1352454321

1245354321

42315

54321


11/43

11

GRUP SIMETRIK

Diberikan A adalah himpunan berhingga

{1,2,3, ,n}.

Grup semua permutasi untuk A disebutgrup simetrik pada n huruf, dan

ditunjukkan dengan Sn.

Perhatikan bahwa Snmempunyai n! =n(n-1)(n-2)(3)(2)(1).


12/43

Teorema 2.4.2

Karakteristik atau orde dari grup Sn adalah n!.


13/43

13

Contoh:

Diberikan himpunan A = {1,2,3}.Contoh grup simetri A(S) = S3, order A(S) 3! = 6elemen.

Didaftar permutasi-permutasi untuk A sbb:

312321

,213321

123321,

132321

231321

,321321

32

21

1o


14/43

14

Dapat ditunjukkan

0

1

2

1

2

3

0

0

1

2

1

2

3

1

1

2

0

3

1

2

2 2 0 1 2 3 1

1

1

2

3

0

1

2

2

2

3

1

2

0

1

3

3

1

2

1

2

0


15/43

15

Perhatikan bahwa grup simetrik tersebut di atas

tidaklah komutatif (contoh grup berhingga yang

tidak komutatif)

Jadi S3mempunyai tingkat (order) minimaluntuk sembarang grup yang tidak komutatif.


16/43

Soal latihan

1.

Hitunglah komposisi sebagai berikut:

a) f g b) g f c) f-1

d) g-1 e) f 1g-1 f) (f g)-1

1 2 3 4 1 2 3 4

2 1 4 3 3 1 4 2f dan g


17/43

2.

Hitung

a) f g b) g-1f-1 c) (g f )-1d) f g2 e) f g2

1 2 3 4 1 2 3 4

3 4 1 2 4 3 1 2f dan g


18/43

Perkalian Langsung

Apabila terdapat dua buah grup G1 dan G2

maka dapat dibentuk grup baru dari kedua

grup tersebut

produk Cartesius dari dua himpunan A dan B

yang dinyatakan dengan

AxB = {(ai, bi) / ai A, biB}.


19/43

Teorema 2.5.2

Bila G dan H dua buah grup maka produk

Cartesius G x H dengan operasi :

( gi

, hi

) (gj

, hj

) = (gi

gj

, hi

hj

)

untuk setiap (gi, hi) dan (gj, hj) G x Hmaka G x H merupakan grup dan disebut

perkalian langsung (direct product) dari G dan

H.


20/43

Perhatikan operasi dalam grup

Contoh: 1

Dalam perkalian langsung Z x Z karena Zmerupakan grup terhadap operasi + maka

operasi dalam Z x Z berlaku sama. Misalkan

(a,b) dan (c,d) unsur dalam Z x Z maka

(a,b)(c,d) = (a + c,b + d) Z x Z.


21/43

Contoh 2:

Misal grup ( Z3, + ) dan grup permutasi (S2,)

Z3

x S2

= { (1,i), (2,i), (3,i), (1,(1 2)),(2,(1 2)),(3,(1 2))}

sedang operasi unsur-unsurnya sebagai berikut:

Misal,( 2, i) ( (3,(1 2)) = ( 2 + 3, i (1 2)) = ( 2, (1 2 ))


22/43

Apabila G dan H dua grup berhingga , maka

orde dari G x H yaitu G x H = G.H


23/43

Latihan soal

1. Bila grup G mempunyai unsur identitas i dan

grup H mempunyai unsur identitas e

buktikan {( gi, e) / giG } dan { (i, hi ) hiH} merupakan subgrup dari G x H

2. Tuliskan semua unsur dari grup S3x Z2dan

tentukan subgrup yang mungkin dalam

S3x Z2.


24/43

Latihan soal

3. Hitunglah perkalian unsur-unsur sebagai

berikut

a. ((123),2)((23),3) dalam S3x Z5

b. (2,3)(-1,5) dalam Q x Q* dimana Q* adalah

himpunan bilangan rasional tanpa unsur nol.


25/43

25

GRUP SIKLISHimpunan dengan anggota-anggota

berbentuk

membentuk suatu grup siklik, a sebagai

elemen pembangun atau penghasil atau

generator, biasa ditulis G = .

njijika,aaa

njijika,aaadan,eaadengan1n,,3,2,1,0i,a

njiji

jijin0

i


26/43

GRUP SIKLIS

Definisi 2.6.1

Suatu grup G dan suatu unsur g G, jikagrup G dapat dinyatakan sebagai

G = { gn/ n Z },maka g dikatakanpembangun dari grup G

dan grup G disebut grup siklis, biasanya

dinotasikan G =


27/43

Perlu diingat...

definisi grup siklis G = { gn/ n Z } digunakanoperasi perkalian, tetapi apabila grup G

dengan operasi penjumlahan, maka definisi

grup siklis menjadi

G = { n g / n Z } =


28/43

28

Contoh:1. Misalnya untuk n = 6, grup itu ialah

G = { e , a , a2, a3, a4, a5}Grup semacam ini biasa dinyatakan dengan C6, yaitu

grup siklis berorder 6, ( |G| = 6 )

Grup siklis berorde n dinyatakan dengan Cn.

2. Himpunan bilangan-bilangan bulat modulo n dengan

operasi penjumlahan modulo n merupakan suatu

grup siklis.


29/43

29

Misalkan G = Z6 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 },

adalah grup siklik dengan elemen pembangunnya 1,

G = , sebab:10= 0, 13 = 3,

11= 1, 14= 4,

12= 2, 15= 5.

dapat juga dibangun oleh 5, G = ,sebab: 50= 0,

51= 5,

52= 5 + 5 = 4,

53

= 5 + 5 + 5 = 3,54= 5 + 5 + 5 + 5 = 2,

55= 5 + 5 + 5 +5 + 5 = 1.

Apakah masih ada unsur pembangun lainnya?


30/43

3. (Z,+) adalah grup siklis dengan unsur

pembangun 1 dan -1.

4. 3Z merupakan subgrup siklis yang dibangun

oleh 3, sehingga 3Z =


31/43

31

5. Himpunan operasi simetri dari bangun kitiran ini

terdiri dari rotasi dengan titik pusat O, dengan

sudut rotasi 90

o

, 180

o

, 270

o

, dan360o

Jika (O,90o)=S, maka

(O,180o)=S2, (O,270o)=S3,

dan (O,360o)=I

O

Jadi G = { I , S , S2 , S3} merupakan grup siklis dengan

pembangun S, G = , dan order G sama dengan 4

Tentukan order dan invers dari S, S2, dan S3.


32/43

32

6. Perhatikan segi-5 beraturan dengan pusat O dan

sudut-sudut rotasi 72o, 144o, 216o,

288o, dan 360o.

Jika (O,72o)=S, maka

(O,144o)=S2, (O,216o)=S3,(O,288o)=S4, dan (O,360o)=I

Sehingga { I , S , S2, S3, S4} merupakan suatu grup siklis

dengan order 5.

Tampak pula, bahwa |S| = 5, |S2| = 5, |S3| = 5, |S4| = 5

Disamping S, maka S2, S3, dan S4dapat menjadi

pembangun.

O o72

1

2

3

4

5


33/43

Orde dari grup siklis

Bila G grup siklis dibangun oleh unsur g, maka

orde G adalah sama dengan orde dariunsur pembangunnya yaitu ( g )


34/43

Lemma 2.6.2

Bila G suatu grup , g G makaH = { g n/ n Z }

merupakan subgrup terkecil dalam G yangdibangun oleh unsur g

Lemma 2.6.3

Setiap grup siklis G = adalah grup abel


35/43

Lemma 2.6.5

Subgrup dari grup siklis adalah siklis

Lemma 2.6.7

Dua grup siklis dengan orde yang sama akan

berkorespondensi 1 - 1


36/43

Contoh

Z = = dan 3Z subgrupdari Z dengan 3Z

= = .

jika didefinisikan

f: Z 3Zn Z, berlaku f(n) = 3n 3Z,


37/43

maka

f bersifat pada, karena bila diambil sebarangx 3Z haruslah x = 3m, untuk suatu m Z.Ini berarti ada m Z sedemikian hingga f(m) =

x = 3m atau f pemetaan pada. f juga pemetaan 1-1, karena bila diambil unsur

f(n) = f(m) maka diperoleh 3n = 3m atau n=m.

Mengingat f pemetaan pada dan 1-1, maka fkorespondensi 1-1.


38/43

Lemma 2.6.8

Bila G suatu grup sebarang, g G danmisalkan n , m Z sehingga gn= 1 dan jugagm= 1, maka gd= 1 di mana d = (m, n).

Khususnya bila gs= 1 untuk suatu s Z,maka orde dari g membagi s. Dalam hal ini d =

(m,n) dimaksudkan d merupakanpembagi

persekutuan terbesar dari m dan n


39/43

Lemma 2.6.9

Misalkan G = < g > dengan n unsur, dan

misalkan h = gs, s Z adalah unsur dalam G,maka h akan membangun subgrup siklis H

dalam G yang berorde n/d, di mana d

membagi persekutuan terbesar dari n dan s

atau d = (n , s ).


40/43

Contoh

Grup (Z12,+) adalah grup siklis danZ12== ==

misal diambil 3 Z12, karena 3 = (3,12) maka

H=={0,3,6,9} subgrup dari Z12dengan orde12/3 = 4

misal diambil 4 Z12, karena 4 = (4,12) makaH=={0,4,8} subgrup dari Z

12dengan orde

12/4 = 3

Bagaimana dengan 5? H== Z12

FPB dari 3 dan 12


41/43


42/43


43/43

Selanjutnya mencari semua subgrup dalam

Menentukan unsur pembangun dari ,

berupa 2h dg h relatif prim dg orde , yaitu9. diperoleh h = 1,2,4,5,7,8 sehingga

====

Unsur yg tdk membangun adalah 6 dan12, sehingga

= {0,6,12} = subgrup dr

Grup Permutasi Dan Grup Siklis

Documents