Permutasi dan Kombinasi

Permutasi dan KombinasiBy Gisoesilo Abudi, S.Pd

[email protected]

mailto:[email protected]

Harapan setelah menyaksikan

tayangan ini anda dapat

MenentukanPermutasi dan kombinasi serta dapat

menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari

Jika terdapat suatu himpunan dengan n unsur yang berlainan, maka banyaknya susunan (cara pengurutan*) dari semua atau sebagian unsur tersebut dinamakan permutasi.

*) Terurut artinya susunan (a, b) berbeda dengan (b, a)

Permutasi

Permutasi n unsur dari n unsur yang tersedia (ditulis Pn

n atau nPn)adalah banyak cara menyusun

n unsur yang berbeda diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia.

Rumus: nPn = n!

1. Permutasi n unsur dari n unsur yang berbeda

Contoh 1

Tentukan banyak cara untuk menyusun huruf-huruf H, A, T, dan I

….

Penyelesaian

n = 4, maka : 4P4 = 4 ! = 4. 3. 2 = 24 caraMisal susunan huruf yang mungkin

HATI ATIH TAIH ITAHHAIT ATHI TAHI ...HITA AITH ... ...HIAT ... ... ...HTAI ... ... ...HTIA ... ... ...

Contoh 2

Tentukan banyaknya bilangan yang dapat dibentuk dari angka 5, 7, dan 9, jika tidak boleh ada angka yang sama

….

Penyelesaian

n = 3, maka : 3P3 = 3 ! = 3. 2 = 6 caraMisal susunan angka yang mungkin

579 759 975597 795 957

Permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia (ditulis Pr

n atau nPr)adalah banyak cara menyusun

r unsur yang berbeda diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia.

Rumus: nPr =

2. Permutasi r unsur dari n unsur yang berbeda

Contoh 1

Banyak cara menyusun pengurusyang terdiri dari Ketua, Sekretaris,dan Bendahara yang diambil dari

5 orang calon adalah….

Penyelesaian

Banyak calon pengurus 5 n = 5 Banyak pengurus yang akan dipilih 3, jadi

r = 35P3 =

5P3 = = = 5. 4. 3

5P3 = 60 cara

Contoh 2

Banyak bilangan yang terdiri daritiga angka yang dibentuk dari

angka-angka 3, 4, 5, 6, 7, dan 8, di mana setiap angka hanya boleh

digunakan satu kali adalah….

Penyelesaian

Banyak angka = 6 n = 6 Bilangan terdiri dari 3 angka, jadi r =

3 5P3 = 5P3 = 6P3 = 6. 5. 4 = 120 cara

Aktivitas Kelas

Coba anda kerjakan aktivitas kelas halaman 6 no 1 – 3 buku paket Erlangga Matematika SMK Teknologi


Permutasi n unsur dari n unsur yang sama. Banyaknya permutasi n unsur yang memuat K1 unsur yang

sama, K2 unsur yang sama, dan seterusnya hingga K1 maka dapat

disimpulkan

Rumus: nP(K1, K2, K3, … , Kn) =

3. Permutasi yang memuat unsur yang sama

Contoh 1

Berapa kata dapat disusun dengan semua huruf pada kata “ADA” ….

Penyelesaian Jika digunakan rumus permutasi dengan

n = 3, maka 4P4 = 3! = 6 kata. Padahal kata yang terbentuk hanya ada

3, yaitu ADA, AAD, dan DAA. Hal ini karena ada huruf yang sama, yaitu huruf A, maka gunakan rumus :

3P(2!) =

Dengan K1 = A = 2

Contoh 2

Berapa kata dapat disusun dengan semua huruf pada kata

“MATEMATIKA” ….

Penyelesaian Tentukan huruf yang sama : M = 2; A =

3; T = 2 dan n = 10 Rumus :

10P(2!, 3!, 2!) =

10P(2!, 3!, 2!)

10P(2!, 3!, 2!) = 10.9.8.7.6.5 = 151.200

Permutasi siklis dari n unsur yang berbeda mempertimbangkan tempat

kedudukan unsur di lingkaran terhadap unsur lainnya sebab n unsur

tersebut ditempatkan secara melingkar. Banyak permutasi siklis

dari n unsur adalah sebagai berikut :

Rumus: nP(siklis) = (n – 1)!

4. Permutasi siklis

Contoh 1

Suatu rapat dihadiri oleh 5 orang peserta yang duduk melingkar.

Dengan berapa cara mereka dapat duduk dengan urutan yang berbeda

….

Penyelesaian n = 5 Banyaknya cara mereka duduk adalah

5P(siklis) = (5 – 1) !

5P(siklis) = 4 ! = 4. 3. 2 = 24 cara

Contoh 2

Tujuh orang termasuk si A, B, dan C duduk mengelilingi meja bundar. Ada berapa formasi duduk berbeda jika A, B, dan C selalu duduk berdampingan

….

Sketsa tempat duduk

BCA

XX

XX

Meja

Penyelesaian A, B, dan C dianggap sebagai satu

elemen dan ditambah 4 orang lainnya, sehingga n = 5

Oleh karena A, B, dan C berdampingan, maka mereka bertiga hanya bisa bertukar posisi dengan sesamanya = 3 ! = 6

Penyelesaian Banyaknya formasi mereka duduk yang

mungkin adalah : (5 – 1)!. 3! = 4! . 3!

4!. 3! = (4. 3. 2).(3. 2) = 24. 6 = 414 cara

Aktivitas Kelas



Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (dengan tiap unsur yang tersedia

boleh ditulis berulang) adalah sebagai berikut :

Rumus: P(berulang) = nr

5. Permutasi berulang

Contoh

1. Berapa banyak susunan 3 huruf yang diambil dari huruf-huruf K, A, M, I, dan S, jika unsur-unsur yang tersedia itu boleh ditulis ulang ….

2. Berapa banyak bilangan terdiri 2 angka yang dapat disusun dari angka-angka 3, 4, 6, 7, 8, dan 9, jika angka-angka yang tersedia boleh ditulis ulang ….

Penyelesaian

untuk no. 1P(berulang) = nr = 53 = 125 susunan

Untuk no. 2P(berulang) = nr = 62 = 36 bilangan

Aktivitas Kelas dan Latihan


Coba anda kerjakan latihan halaman 10 no 1 – 10 buku paket Erlangga Matematika SMK Teknologi

32

Kombinasi

Suatu kombinasi dari anggota suatu himpunan adalah sembarang pemilihan dari satu atau lebih anggota himpunan itu tanpa memperhatikan urutannya.

Kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia (ditulis Cr

n atau nCr)adalah banyak cara

mengelompokan r unsur yang diambil dari sekumpulan n unsur

yang tersedia.

Rumus: nCr =

Kombinasi r unsur dari n unsur yang berbeda

Contoh 1

Seorang siswa diharuskan mengerjakan 6 dari 8 soal,

tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan .

Banyak pilihan yang dapatdiambil oleh siswa adalah….

Penyelesaian

mengerjakan 6 dari 8 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan

berarti tinggal memilih 2 soal lagi dari soal nomor 5 sampai 8

r = 2 dan n = 4 4C2 =

Contoh 2

Berapa banyak cara memilih 4 anggota dari 9 anggota suatu

himpunan, jika :(a). Tanpa syarat apapun

(b). Salah seorang harus selalu terpilih

Penyelesaian

Penyelesaian (a) Banyak cara pemilihan 4 orang

dari 9 orang : 9C4 =

Penyelesaian

Penyelesaian (b) Dari 9 orang akan dipilh 4 orang,

tetapi seorang harus selalu terpilih, hanya akan dipilih 3 orang lagi dari 8 orang, sehingga banyak cara pemilihan adalah :

8C3 =

Misal terdapat n unsur yang terdiri dari ….Kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia (ditulis Cr

n atau nCr)adalah banyak cara

mengelompokan r unsur yang diambil dari sekumpulan n unsur

yang tersedia.

Rumus: nCr =

Kombinasi r unsur dari n unsur dengan beberapa unsur yang sama

Contoh 1

Dari sebuah kantong yang berisi10 bola merah dan 8 bola putihakan diambil 6 bola sekaligus

secara acak. Banyak cara mengambil 4 bola

merah dan 2 bola putih adalah….

Penyelesaian mengambil 4 bola merah dari 10

bola merah r = 4, n = 10, maka :

10C4 = = =

= 10.3.7 = 210

3

Penyelesaian

mengambil 2 bola putih dari 8 bola putih r = 2, n = 8, sehingga

8C2 = =

= = 28

4

Penyelesaian

Jadi banyak cara mengambil 4 bola merah dan 2 bola putih adalah :

10C4 x 8C2 = 210 x 28 = 5880 cara

Catatan• Analisah masalah terlebih dahulu sebelum

menentukan masalah tersebut merupakan masalah permutasi atau kombinasi.

• Dalam permutasi urutan diperhatikan, sedangkan dalam kombinasi urutan tidak diperhatikan.

• Agar lebih mudah dalam menentukan apakah itu masalah permutasi atau masalah kombinasi cobalah untuk belajar lebih banyak dari soal-soal permutasi dan kombinasi.

Kunjungi A-ku

TERIMA KASIHemail : [email protected]

blog : soesilongeblog.wordpress.com

03172687730

mailto:[email protected]

Permutasi dan Kombinasi

Documents