Grundlagen der Wärmeübertragung 3 Erzwungene Konvektion 1 a) erzwungene Konvektion (Strömung angetrieben durch Pumpe oder Gebläse) b) freie Konvektion (Dichteunterschiede aufgrund von Temperaturunterschieden) c) Kondensation d) Sieden weiterhin: interne Konvektion z.B. Rohrströmung externe Konvektion z.B. überströmte Platte, quer angeströmte Profile Fundamentale Gleichung für konvektiven Wärmeübergang: W q A Q Newton´scher Ansatz Newton´s law of cooling 3.1 Grundlagen der Konvektion
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Grundlagen der Wärmeübertragung 3 Erzwungene Konvektion D · Grundlagen der Wärmeübertragung 3 Erzwungene Konvektion 3 Wärmeübergangskoeffizient bei Konvektion hängt von Temperaturprofil
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Grundlagen der Wärmeübertragung
3 Erzwungene Konvektion 1
a) erzwungene Konvektion (Strömung angetrieben durch Pumpe oder Gebläse)
b) freie Konvektion (Dichteunterschiede aufgrund von Temperaturunterschieden)
c) Kondensation
d) Sieden
weiterhin:
interne Konvektion z.B. Rohrströmung
externe Konvektion z.B. überströmte Platte, quer angeströmte Profile
Fundamentale Gleichung für konvektiven Wärmeübergang:
WqA
Q
Newton´scher Ansatz
Newton´s law of cooling
3.1 Grundlagen der Konvektion
Grundlagen der Wärmeübertragung
3 Erzwungene Konvektion 2
W
W
fWdy
d
Wärmeübertragung in unmittelbarer Wandnähe
durch Wärmeleitung in der viskosen Unterschicht
W
W
fWWdy
dq
Wärmeleitfähigkeit des Fluides an der Wand
Wand
wqw
haftende Fluidschicht
Fluidw = 0
WuW = 0
Kühlen Heizen
(r)
(Haftbedingung)
(r)w(r) 𝜹𝒗𝒊𝒔𝒌𝒐𝒔
𝒘𝒘 = 𝟎
𝜹
𝜹: Grenzschichtdicke
𝜹𝒗𝒊𝒔𝒌𝒐𝒔: viskose/laminare Unterschicht
Grundlagen der Wärmeübertragung
3 Erzwungene Konvektion 3
Wärmeübergangskoeffizient bei Konvektion hängt von Temperaturprofil
und damit wiederum vom Geschwindigkeitsprofil ab.
Für die exakte Bestimmung der konvektiven Wärmeübergangskoeffizienten
werden deshalb die Erhaltungssätze benötigt für
• Masse (Kontinuitätsgleichung)
• Impuls (Navier-Stokes Gleichungen)
• Energie
Diese Gleichungen erhält man durch Bilanzen an Kontrollvolumina.
Die ausführliche Herleitung der Erhaltungsgleichungen ist in den Vorlesungs-
unterlagen Seite 17-21 dargestellt (Vorlesungsumdruck).
= f ( w, x, y, z, , , cp, , , )
Temperaturgradient im Fluid an der Wand nur schwer zugänglich
Lösung der Erhaltungsgleichungen sehr aufwändig
Ähnlichkeitstheorie dimensionslose Kennzahlen
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Kontinuitätsgleichung
ein x
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Grundlagen der Wärmeübertragung
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3.2 Prandtl´sche Grenzschichttheorie
htdickeGrenzschichehydraulisc
htdickeGrenzschicthermische
geEinlauflänhehydrauliscL
geEinlauflänthermischeL
h
th
einh
einth
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
,
Pr
3
1
Pr~th
h
Prandtl-Zahl
Hier dargestellt:
z.B. Luft (𝑷𝒓 ≈ 𝟎, 𝟕)
Grundlagen der Wärmeübertragung
3 Erzwungene Konvektion 8
Laminare Strömung
y
w
w
Turbulente Strömung
y
w
w
y
y
u
ylam
ylamyturbu
<
lamturby
w
y
w
𝛥𝑤
𝛥𝑤
Grundlagen der Wärmeübertragung
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3.3 Laminare Strömung
Reynolds-Experiment
Für ausgebildete laminare Strömung gilt:
Gesetz von Hagen-Poiseuille
2
max2/
1d
ywyw
y
Parabel
Geschwindigkeitsprofil
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3 Erzwungene Konvektion 10
Wärmeübertragung nur durch Wärmeleitung entlang Temperaturgradient
in der thermischen Grenzschicht
Die Grenzschichtdicke hängt von der Lauflänge ab.
w
d
einh
d
LRe05,0
,
dwd
Re
Bei laminarer Strömung erfolgt keine Quervermischung in y-Richtung.
ein,hLHydraulisch voll ausgebildet
d100bis50L ein,h
Geschwindigkeitsprofil
Re = __________________________Beschleunigungskraft
Reibungskraft
y
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Re- und Pr-Zahl sind von entscheidender
Bedeutung für den konvektiven
Wärmeübergang.
q
q
Gase Pr 0,7
Zähe Flüssigkeiten, Öl Pr 70
Typische Werte für Pr:
Flüssige Metalle Pr << 1
Flüssigkeiten Pr 7
Pr
a
PrPr
,
,
einh
einth
L
L
einh
einth
d
einth
L
L
d
L
,
,,Re05,0
h
th
3
1
Pr
ein,thL
Temperaturprofil Kühlung
Pr = ___________________________________________Impulstransport durch Reibung
Wärmetransport durch Leitung
3
1
Pr~th
h
Wasser: 𝑷𝒓 = 𝟕𝜹𝒉 ≈ 𝟏, 𝟗 𝜹𝒕𝒉
Luft: 𝑷𝒓 = 𝟎, 𝟕𝜹𝒉 ≈ 𝟎, 𝟗 𝜹𝒕𝒉
Prandtl-Zahl
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3 Erzwungene Konvektion 12
z.B. für zylindrisches Rohr mit 65,3., NuconstW
laminar solange (gilt nur bei Rohrströmung)
Übergang
laminar turbulent
2300Red
00010Re2300 d
.constNu Für ausgebildete laminare Strömung:
Nu = ____________________________________________________________
Wärmestrom durch Leitung in der Flüssigkeit
Wärmestrom durch Konvektion
WL
konv
q
q
LNu
/
66,3Nu
Fluid
charaktLNu
36,4., NuconstqW
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3 Erzwungene Konvektion 13
Im VDI- Wärmeatlas wird für vollausgebildete, laminare Rohrströmung
folgende Gleichung für die mittlere Nußelt-Zahl empfohlen
Geltungsbereich: ; Pr0
L
dPrRe0
Genauigkeit: %10
Für den ebenen Spalt: (hier 𝒍𝒄𝒉𝒂𝒓 = 𝑺𝒑𝒂𝒍𝒕𝒘𝒆𝒊𝒕𝒆 𝒔)
𝑵𝒖𝒅 = 𝟑, 𝟔𝟔𝟑 + 𝟎, 𝟕𝟑 + 𝟏, 𝟔𝟏𝟓 𝑹𝒆𝒅 𝑷𝒓𝒅
𝑳
𝟏/𝟑
− 𝟎, 𝟕
𝟑 𝟏/𝟑
𝑵𝒖𝒔 = 𝟑, 𝟕𝟓𝟑 + 𝟏, 𝟒𝟕𝟑 +𝟐 𝑹𝒆𝒅 𝑷𝒓
𝒔𝑳
𝟏 + 𝟐𝟐 𝑷𝒓
𝟏𝟐
𝑹𝒆𝒅 𝑷𝒓𝒔
𝑳
𝟏/𝟑
(3.1a)
(3.1b)
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Nu ist am Anfang des Rohres sehr hoch und geht bei langen Rohren
gegen 3,65 (3,66).
In Hochleistungswärmeübertragern wird deshalb die ausgebildete
Strömung gestört, so dass sich die Strömung neu ausbilden muss und
damit der Wärmeübergang verbessert wird.
Schlußfolgerungen
Pe = ____________________________________________________________Enthalpietransport durch Strömung
Wärmestrom durch Leitung in der Flüssigkeit
PrRe/
charak
pcharak
L
cw
a
Lw
a
dwPe
𝑮𝒛: 𝑮𝒓𝒂𝒆𝒕𝒛 − 𝒁𝒂𝒉𝒍𝑭𝒐: 𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒊𝒐𝒏𝒍𝒐𝒔𝒆 𝒁𝒆𝒊𝒕
𝑷𝒆:𝑷𝒆𝒄𝒍𝒆𝒕 − 𝒁𝒂𝒉𝒍
GzFota
d
La
d
t
L
L
d
a
dw
L
d
LdPe
1
PrRe22
/
𝒘
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3 Erzwungene Konvektion 15
Wärmeübertragung im laminar durchströmten Rohr
Grundlagen der Wärmeübertragung
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3.4 Turbulente Strömung
dLd
Leinhd
einh 4015Re4,4 ,
6/1,
In der Praxis meist w > 0,5 m/s Turbulente Strömung
In den meisten technischen Anwendungsfällen keine laminare Strömung.
d75m125,1L ein,h
z.B. Wasser bei 20 °C, d = 15 mm, w = 0,10 m/s,
Re = 1500 (laminar)
d20L
7500Re
101
10155,0Re
dwRe
s/m101
s/m5,0w
ein,h
6
3
26
Grundlagen der Wärmeübertragung
3 Erzwungene Konvektion 17
Es gilt: ;;y
w
y
an der Wand größer als bei laminarer Strömung
.. lamturb NuNu
3
2
3/2
1
1Pr8
7,121
PrRe8
L
dNu
Für turbulente Strömung keine exakten Lösungen möglich.
Die zuverlässigste Gleichung ist nach VDI-Wärmeatlas (Gnielinski-Gleichung):
Druckverlustbeiwert für technisch rauhe Rohre:
2
10 5,1Relog8,1
(3.2)
Gültigkeitsbereich der Gnielinski-Gleichung:
tGenauigkei%1510 10000 < Re < 106
0,1 < Pr < 103
0 < d / L < 1
Grundlagen der Wärmeübertragung
3 Erzwungene Konvektion 18
Stoffwerte für 𝝑𝒃 (´Bulk´-Temperatur):
𝝑𝒃 ist adiabate Mischtemperatur:
Einfluss Kühlung/Erwärmung berücksichtigen
14,0
2.3.
w
bGlNuNu
wenn Wand- und Fluidtemperatur (Bulk-Temperatur) sehr unterschiedlich,
da Stoffwerte temperaturabhängig.
dynam. Viskosität
𝝑𝒃 =𝟏
𝑴 𝑨
𝝆 𝒘 𝝑 𝒓 𝒅𝑨
Querschnittsfläche 𝑨, 𝝑𝒃
𝝑𝒘
𝒓
Fluid Flüssigkeit Gas
Heizen
𝜗𝑤 > 𝜗𝑏
𝜂𝑏𝜂𝑤
> 1𝜂𝑏𝜂𝑤
< 1
Kühlen
𝜗𝑤 < 𝜗𝑏
𝜂𝑏𝜂𝑤
< 1𝜂𝑏𝜂𝑤
> 1
𝝑𝒃
𝝑𝝑𝒘Kühlen
𝝑𝒘Heizen
Grundlagen der Wärmeübertragung
3 Erzwungene Konvektion 19
93,065,0 PrRe0167,03,6 Nu
Für Pr << 1 d.h. für flüssige Metalle:
c) Instabilität, an dem Übergang laminar turbulent:
verwende Nulam wenn größer als Nuturb .
a) Einlaufströmung höhere Nu-Zahlen als ausgebildete Strömung
b) Nuturbulent > Nulaminar
Weitere Gleichungen für Spezialfälle in Vorlesungsunterlagen Seite 25-29
Zusammenfassung
Grundlagen der Wärmeübertragung
3 Erzwungene Konvektion 20
Ergänzung zum Wärmeübergang bei Flüssigmetallen:
Künftiger Einsatz im Receiver-Kreislauf von Solarturmkraftwerken