-
Paths and SyclesDefinition. A walk of length k in a graph G is a
succesion of k edges of G of the form uv,vw,wx,yz. (denote this
walk by uvwxyz and refer to it as a walk beetwen u and z)
all the edges are different: trailall the edges and all the
vertices are different: pathWalk of the form uv,vw,wx,yz,zu: closed
walkClosed trail whose vertices are all different : cycle
Definition. A graph G is connected if there is a path in G
between any given pair of vertices, and disconnected otherwise.
-
Graf Euler
Kota Koningsberg dialiri sungai Pregel yang membagi kota
tersebut menjadi empat daerah (A,B,C,D) yang dihubungkan oleh tujuh
jembatan seperti tampak pada gambar disamping:
Dapatkah warga kota Koningsberg melakukan perjalanan dari suatu
daerah dan kembali ke daerah tersebut dengan melintasi semua
jembatan masing-masing tepat satu kali?
C
A
B
D
-
Definisi (Graf Euler). Suatu graf terhubung G disebut EULER jika
ada suatu trail tertutup yang memuat semua garis dari G. Trail
seperti ini disebut trail Euler.
Teorema (Teorema Euler). Misal G suatu graf terhubung. Graf G
adalah Euler jika dan hanya jika setiap titik dari G mempunyai
derajat genap.
Ilustrasi: Jika seseorang melintasi suatu jembatan dan sampai
pada suatu daerah maka orang tersebut harus melintasi jembatan yang
lain saat meninggalkan daerah tersebut, sehingga diperoleh dua
derajat setiap kali melalui suatu titik. Hal ini mengakibatkan
derajat setiap titik dalam graf Euler adalah kelipatan dua.
-
Algoritma FleuryJika G graf Eulerian maka langkah-langkah
berikut dpt menghasilkan trail euler dlm G:Pilih suatu titik awal
misal fPada setiap langkah, lintasi garis yang tersedia, pilih
bridge jika tidak ada alternatif lain.Setiap melintasi garis hapus
garis tersebut, hapus juga titik dengan derajat nol, kemudian pilih
garis yang lain.Stop jika tdk ada garis lagi.
D
C
F
B
E
A
G
-
Definisi . Suatu graf terhubung G disebut graf yang garisnya
dapat ditelusuri (edge-traceable) jika terdapat trail terbuka yang
memuat semua garis dari G.
Teorema . Misalkan G graf terhubung. G merupakan graf yang
garisnya dapat ditelusuri jika dan hanya jika G mempunyai tepat dua
titik berderajat ganjil.
-
Definisi. Digraf terhubung D merupakan digraf Euler jika
terdapat trail tertutup yang memuat semua busur D.
Contoh:
Digraf Euler dengan trail eulernya : ABCDBEADEFA.
F
E
D
C
B
A
-
Definisi. Digraf terhubung D disebut dapat ditelusuri jika
terdapat trail terbuka yang memuat semua busur D.
Teorema. Misalkan D digraph terhubung. D merupakan digraf Euler
jika dan hanya jika derajat keluar setiap titik sama dengan derajat
masuknya. D dapat ditelusuri busurnya jika dan hanya jika terdapat
dua titik x dan y di D sedemikian hingga
-
Graf Hamilton
Definisi. Misalkan G graf terhubung. G disebut graf Hamilton
jika ada sikel yang memuat setiap titiknya G. Sikel seperti ini
disebut sikel Hamilton.
Contoh:
sikel yang memuat semua titik dalam graf tersebut: ABCDEA
A
E
D
C
B
-
Teorema. ( Teorema Dirac)Misalkan G graf terhubung sederhana
dengan n titik, n 3. Jika der(v) (1/2)n untuk setiap titik v maka G
merupakan graf Hamilton.
Teorema. (Teorema Ore)Misalkan G merupakan graf sederhana dengan
n titik, n 3. Jika der(v) + der(w) n untuk setiap pasang titik v
dan w yang tidak adjacent, maka G merupakan graf Hamilton.
-
Graf yang titiknya dapat ditelusuri adalah graf yang memiliki
path, tetapi tidak memiliki sikel, yang melewati setiap titiknya
satu kali saja yang disebut path Hamilton.
-
Suatu digraf terhubung D disebut digraf Hamilton jika terdapat
sikel yang memuat semua titik di D. Sikel seperti ini disebut sikel
Hamilton dalam digraf D.
Contoh :
Digraf Hamilton dengan sikel hamilton ABECDA.
A
D
C
B
E
-
Misalkan D merupakan digraf sederhana dengan n titik. Jika
derajat keluar v n/2 dan derajat masuk v n/2 untuk setiap titik v
pada D, maka D merupakan graf Hamilton.Misal D merupakan digraf
sederhana dengan n titik. Jika derajat keluar v + derajat masuk w n
untuk setiap pasangan titik v dan w yang tidak adjacent maka D
merupakan graf Hamilton.
-
SELESAITERIMA KASIH