Grandes deformações em meios visco-elásticoscipolatti/lncc2010.pdf · 0.5 setgray0 0.5 setgray1 Grandes deformações em meios visco-elásticos: um modelo para a simulac¸ao˜

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00.5

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Grandes deformações em meiosvisco-elásticos:

um modelo para a simulacaodos movimentos das camadas

subterraneas de sal

Instituto de Matematica

Seminario LNCCPetrópolis - 2010

– p. 1/87

Projeto IM-CENPES

Modelagem da Tectonica do Sal

Estudo Integrado da Halocinese

I-Shih Liu

Mauro Rincon

Rolci Cipolatti

Luis Anonio C. Palermo

– p. 2/87

O modelo “Sedimento-Sal”

– p. 3/87

Tópicos

• Descricao do problema;

– p. 4/87

Tópicos

• Descricao do problema;• Notacao e Equacoes do movimento;

– p. 4/87

Tópicos

• Descricao do problema;• Notacao e Equacoes do movimento;• O metodo das Aproximacoes Incrementais;

– p. 4/87

Tópicos

• Descricao do problema;• Notacao e Equacoes do movimento;• O metodo das Aproximacoes Incrementais;• Experimentos Numericos em 2D;

– p. 4/87

Tópicos

• Descricao do problema;• Notacao e Equacoes do movimento;• O metodo das Aproximacoes Incrementais;• Experimentos Numericos em 2D;• Um pouco de analise.

– p. 4/87


Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

Ω

• Interacao com a camada sedimentar;

– p. 5/87


Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

Ω

• Interacao com a camada sedimentar;• Modelo valido para grandes deformacoes;

– p. 5/87


Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

Ω

• Interacao com a camada sedimentar;• Modelo valido para grandes deformacoes;• Movimentos muito lentos;

– p. 5/87


Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

Ω

• Interacao com a camada sedimentar;• Modelo valido para grandes deformacoes;• Movimentos muito lentos;• Desconsiderar rupturas.

– p. 5/87

O modelo para o sistema “Sedimento-Sal”

Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

Be

Bv

• B = Bv ∪ Be = SAL ∪ SEDIMENTOS

– p. 6/87


Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

Be

Bv

• B = Bv ∪ Be = SAL ∪ SEDIMENTOS• Be — material de visco-elastico (com

predominania elastica)

– p. 6/87


Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

Be

Bv

• B = Bv ∪ Be = SAL ∪ SEDIMENTOS• Be — material de visco-elastico (com

predominania elastica)• Bv — material de visco-elastico (com forte

viscosidade)– p. 6/87

Notação

• Bκ ⊂ IR3 configuracao de referencia.

– p. 7/87

Notação

• Bκ ⊂ IR3 configuracao de referencia.• O movimento deB pode ser descrito por uma

famılia de aplicacoes a um parametro

Φ : Bκ × IR → IR3.

X

Bκ

Φ(·, t, t0)−→

x

Bt

– p. 7/87

Notação

X

Bκ

Φ(·, t, t0)−→

x

Bt

• Φ(·, t, t0) descreve a deformacao do corpo noinstantet em relacaoa configuracao de referencia(no instantet0);

– p. 8/87

Notação

X

Bκ

Φ(·, t, t0)−→

x

Bt

• Φ(·, t, t0) descreve a deformacao do corpo noinstantet em relacaoa configuracao de referencia(no instantet0);

• x = Φ(X, t, t0) descreve a posicao no instantetdo ponto material que no instantet0 se situava emX.

– p. 8/87

Notação

x = Φ(X, t, t0)

Velocidade e Aceleracao:

v(x, t) =∂

∂tΦ(X, t, t0) = Φ(X, t, t0)

a(x, t) =∂2

∂t2Φ(X, t, t0) = Φ(X, t, t0).

– p. 9/87

Notação

Deslocamento:

u(X, t) = Φ(X, t, t0) − X

Tensor de deformacoes:

F (x, t) = ∇XΦ(X, t, t0) = GradΦ(X, t, t0)

Em coordenadasxi = Φi(Xα, t) eFiα = ∂Φi

∂Xα

.

H(x, t) = ∇Xu(X, t) = F (X, t) − I

– p. 10/87

Notação

Deslocamento:

u(X, t) = Φ(X, t, t0) − X

H(x, t) = ∇Xu(X, t) = F (X, t) − I

H(x, t) =

[

∂u1

∂X1

∂u1

∂X2

∂u2

∂X1

∂u2

∂X2

]

– p. 11/87

As equações de movimento

Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

Ω

ρa − div T = ρg emΩ × IR

Tn = p emΓ2,

u · n = 0 emΓ1,

Tn × n = 0 emΓ1,

+ condicoes iniciais

– p. 12/87

As equações de movimento — descrição Euleriana

As equacoes do movimento sao dadas por

ρa − div T = ρb,

ou, em coordenadas,

ρai −3

∑

j=1

∂

∂xj

Tij = ρbi, i = 1, 2, 3,

ondeT (x, t) e o Tensor de Tensoes (Tensor deCauchy).

– p. 13/87

As equações de movimento — descrição Lagrangeana

Na configuracao de referencia, as equacoes domovimento se escrevem

ρκ

∂2Φ

∂t2− Div Tκ = ρκb,

onde• ρκ e a densidade na configuracao de referencia

• Tκ = (det F )TF−T e o Tensor dePiola-Kirchhoff.

– p. 14/87

Equações Constitutivas

• Para materiais viscoelasticos, supoe-se queT efuncao deF e F , isto e,

T = F(F, F ) = −pI + T (F, F ), p = p(ρ).

– p. 15/87


• Para materiais viscoelasticos, supoe-se queT efuncao deF e F , isto e,

T = F(F, F ) = −pI + T (F, F ), p = p(ρ).

• Nas teorias constitutivas, duas condicoes saoessenciais para se estabelecer restricoes (fısicas)nesta dependencia com relacao aF e F , a saber:• a objetividade euclidiana (EO);• o princıpio da indiferenca do material ao

referencial (MFI).

– p. 15/87


A partir da objetividade euclidiana e do princıpio daindiferenca do material ao referencial, obtem-se asrestricoes gerais que nos permitem expressar o tensorde Piola-Kirchhoff na forma

Tκ = T 0 + Sκ(F, F ),

ondeT 0 expressa a tensao residual na configuracao dereferencia eSκ(I, 0) = 0.

– p. 16/87

Deformações Quase-estáticas

Para processos muito lentos, (regimesquase-estaticos),a = 0:

−Div Tκ = ρκb.

• Considerando a tensao residual (supostamentenao nula):

−Div Sκ(F, F ) = ρκb + Div T 0.

– p. 17/87



−Div Tκ = ρκb.



• Sκ nao linear emF e F

– p. 17/87



−Div Tκ = ρκb.



• Sκ nao linear emF e F

• Aproximacoes lineares podem ser consideradasno caso de pequena deformacoes.

– p. 17/87


ρκ

∂2Φ

∂t2− Div Tκ = ρκg emΩ × IR

Tκnκ = p emΓ2,

u · nκ = 0 emΓ1,

Tκnκ × nκ = 0 emΓ1,

+ condicoes iniciais

Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

Ω

– p. 18/87

O modelo “Sedimento-Sal” quase estático

−Div Tκ = ρκg emΩ × IR

Tκnκ = p emΓ2,

u · nκ = 0 emΓ1,

Tκnκ × nκ = 0 emΓ1,

u(X, t0) = u0(X) emΩ,

Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

Ω

– p. 19/87

O modelo “Sedimento-Sal” quase estático

−Div Sκ = Div T0 + ρκg emΩ × IR

Sκnκ = p − T0nκ emΓ2,

u · nκ = 0 emΓ1,

Sκnκ × nκ = − T0nκ × nκ emΓ1,

u(X, t0) = u0(X) emΩ,

Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

Ω

– p. 20/87

Aproximação Linear Incremental: o método ALI

Br

F0

−→Bκt0

I+H

−→Bκt

– p. 21/87


• κr, X ∈ κr(B), F (X, t), T = Fκr(F, F );

Br

F0

−→Bκt0

I+H

−→Bκt

– p. 22/87



• κt0 (configuracao deformada no instantet0):

F0 = F (X, t0), T0 = T (X, t0).

Br

F0

−→Bκt0

I+H

−→Bκt

– p. 22/87




F0 = F (X, t0), T0 = T (X, t0).

• u = Φ(X, t) − Φ(X, t0) ⇒ F = (I + H)F0,

Br

F0

−→Bκt0

I+H

−→Bκt

– p. 22/87




F0 = F (X, t0), T0 = T (X, t0).

• u = Φ(X, t) − Φ(X, t0) ⇒ F = (I + H)F0,

• H = ∇Φ(X,t0)u (‖H‖ ≪ 1, ‖H‖ ≪ 1).

Br

F0

−→Bκt0

I+H

−→Bκt

– p. 22/87

Linearização do Tensor de Cauchy

• Linearizando o funcionalT em torno de(F0, 0):T = F(F, F ) = −pI + T (F, F )T0 = F(F0, 0) = −p0I + T (F0, 0)

– p. 23/87



• T − T0 = ∇FF(F0, 0)[F − F0] + ∇FF(F0, 0)[F ] + o(2),

– p. 23/87



• T − T0 = ∇FF(F0, 0)[F − F0] + ∇FF(F0, 0)[F ] + o(2),

• T = T0 − (p − p0)I + ∇FT (F0, 0)[HF0] +

+ ∇FT (F0, 0)[HF0] + o(2),

– p. 23/87



• T − T0 = ∇FF(F0, 0)[F − F0] + ∇FF(F0, 0)[F ] + o(2),

• T = T0 − (p − p0)I + ∇FT (F0, 0)[HF0] +

+ ∇FT (F0, 0)[HF0] + o(2),

• T ≈ T0 − (p − p0)I + L(F0)[H] + M(F0)[H]

– p. 23/87



• T − T0 = ∇FF(F0, 0)[F − F0] + ∇FF(F0, 0)[F ] + o(2),

• T = T0 − (p − p0)I + ∇FT (F0, 0)[HF0] +

+ ∇FT (F0, 0)[HF0] + o(2),

• T ≈ T0 − (p − p0)I + L(F0)[H] + M(F0)[H]

• From a Liu’s “trick”:T ≈ T0 + β tr(H)I + L(F0)[H] + M(F0)[H]

– p. 23/87



• T − T0 = ∇FF(F0, 0)[F − F0] + ∇FF(F0, 0)[F ] + o(2),

• T = T0 − (p − p0)I + ∇FT (F0, 0)[HF0] +

+ ∇FT (F0, 0)[HF0] + o(2),

• T ≈ T0 − (p − p0)I + L(F0)[H] + M(F0)[H]

• From a Liu’s “trick”:T ≈ T0 + β tr(H)I + L(F0)[H] + M(F0)[H]

• β ≫ 1 caracteriza a quase-incompressibilidadedo mateiral.

– p. 23/87

Linearização do Tensor de Piola-Kirchhoff

• Tκ = det(F )TF−T

– p. 24/87



• Tκt0= det(I + H)T (I + H)−T

– p. 24/87




• Tκt0= det(I + H)T0 + β tr(H)I + L(F0)[H] +

M(F0)[H] + o(2)T (I + H)−T

– p. 24/87





M(F0)[H] + o(2)T (I + H)−T

• Tκt0= (1 + tr H)T0 + β tr(H)I + L(F0)[H] +

M(F0)[H](I − HT ) + o(2)

– p. 24/87





M(F0)[H] + o(2)T (I + H)−T

• Tκt0= (1 + tr H)T0 + β tr(H)I + L(F0)[H] +

M(F0)[H](I − HT ) + o(2)

• Tκt0= T0 + (tr H)(T0 + βI) − T0H

T +

L(F0)[H] + M(F0)[H] + o(2)

– p. 24/87


Tκt0= T0 + Lκt0

[H] + Mκt0[H]

onde

Lκt0[H] = (tr H)(T0 + βI) − T0H

T + L(F0)[H]

Mκt0[H] = M(F0)[H]

– p. 25/87

Exemplo

Modelo “Mooney-Rivlin & Stokes”

T (F, F ) =

Te(B) = s1B + s2B−1 emBe

Tv(D) = λ tr(D)I + 2µD emBv

B = FF T eD = (L + LT )/2, L = ∇v.

– p. 26/87

Exemplo

Modelo “Mooney-Rivlin & Stokes” linearizado (emtorno deB0)

Te(B) ≈ Fe(B0) + s1(B −B0)− s2B−10 (B −B0)B

−10

B − B0 ≈ HB0 + B0HT

L ≈ H

Fv(D) ≈ λ tr(H) + µH + µHT

– p. 27/87

Formulação variacional do modelo “Sedimento-Sal”

−Div Sκ = Div T0 + ρκg emΩ × IR

Sκnκ = p − T0nκ emΓ2,

u · nκ = 0 emΓ1,

Sκnκ × nκ = − T0nκ × nκ emΓ1,

u(X, t0) = u0(X) emΩ,

Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

Ω

– p. 28/87


• O espaco funcional

V = u ∈ (H1(Ω))3 ; u · nκ = 0 emΓ1

– p. 29/87


• O espaco funcional

V = u ∈ (H1(Ω))3 ; u · nκ = 0 emΓ1

• A forma linear

N (w) =

∫

Ω

ρκwigidV −

∫

Ω

∂wi

∂xj

T 0ijdV +

∫

Γ2

wipidΓ

– p. 29/87


As formas bilineares

K(w, u) =

∫

Ω

∂wi

∂xj

(T 0ij+βδij)

∂uk

∂xk

dV −

∫

Ω

∂wi

∂xj

T 0ik

∂uj

∂xk

dV

L(w, u) =

∫

Ω

∂wi

∂xj

Lijkl

∂uk

∂xl

dV,

M(w, u) =

∫

Ω

∂wi

∂xj

Mijkl

∂uk

∂xl

dV

– p. 30/87


• O problema variacional

– p. 31/87


• O problema variacional• Dadou0 ∈ V, determinaru(X, t) satisfazendo

u(·, t0) = u0, u(·, t) ∈ V, ∀t ≥ t0

K(w, u)+L(w, u)+M(w, u) = N (w), ∀w ∈ V

– p. 31/87

Experimentos Numéricos

– p. 32/87

Exemplo 1 – Viabilidade do Método ALI

Modelo de Mooley-Rivlin para ocizalhamento puro emIR2

– p. 33/87


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

N = 0

– p. 34/87


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

N = 40

– p. 35/87


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

N = 80

– p. 36/87


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

N = 120

– p. 37/87

Exemplo 2 – Verificação da Flexibilidade doMétodo ALI

Modelo de Hencky (que generaliza a Lei deHooke)

T = T (B) = λ(tr e)I + 2µe

e =1

2(I − B−1) =

1

2(h + hT − hT h)

h = ∇xu

– p. 38/87

Exemplo 2 – Verificação da Flexibilidade do Método ALI

Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

L

– p. 39/87


0

1

2

3

4

0 2 4 6 8 10

’w0’

– p. 40/87


0

1

2

3

4

0 2 4 6 8 10

’w50’

– p. 41/87


0

1

2

3

4

0 2 4 6 8 10

’w100’

– p. 42/87


0

1

2

3

4

0 2 4 6 8 10

’w200’

– p. 43/87

Exemplo 3 – O Efeito do EmpuxoNa presença de empuxo – densidades

diferentes

– p. 44/87

Exemplo 3 – O Efeito do Empuxo

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6

’n=0’

– p. 45/87


0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6

’n=100’

– p. 46/87


0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6

’n=1000’

– p. 47/87


0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6

’n=10000’

– p. 48/87

Exemplo 4 – O Efeito do EmpuxoNa ausência de empuxo – densidades iguas

– p. 49/87


0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6

’x0’

– p. 50/87


0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6

’x100’

– p. 51/87


0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6

’x1000’

– p. 52/87


0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6

’x10000’

– p. 53/87


Dinamica deflagrada pela presenca de umaperturbacao na interface

Γ1 Γ1

Γ2

Γ1

– p. 54/87


0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 0

– p. 55/87


0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 10

– p. 56/87


0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 20

– p. 57/87


0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 30

– p. 58/87


0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 40

– p. 59/87


0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 60

– p. 60/87


0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 80

– p. 61/87


0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 100

– p. 62/87


0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 120

– p. 63/87


0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 140

– p. 64/87


0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 150

– p. 65/87


0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 200

– p. 66/87


0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 250

– p. 67/87


0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 1000

– p. 68/87

Exemplo 5 – Deformação da malha a 30 Ma

0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 0

0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

n = 300

– p. 69/87

Exemplo 6 – Grandes Extensões

0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

n = 0

– p. 70/87


0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

n = 100

– p. 71/87


0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

n = 250

– p. 72/87


0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

n = 500

– p. 73/87


0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

n = 750

– p. 74/87


0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

n = 1000

– p. 75/87


0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

n = 1250

– p. 76/87


0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

n = 1500

– p. 77/87


0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

n = 1500

0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

n = 1500

– p. 78/87


0

100

200

300

400

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

n = 10

– p. 79/87


0

100

200

300

400

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

n = 250

– p. 80/87


0

100

200

300

400

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

n = 500

– p. 81/87


0

100

200

300

400

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

n = 750

– p. 82/87


0

100

200

300

400

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

n = 1000

– p. 83/87


0

100

200

300

400

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

n = 1250

– p. 84/87


0

100

200

300

400

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

n = 1500

– p. 85/87


0

100

200

300

400

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

n = 1500

0

100

200

300

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

n = 1500

– p. 86/87

Bibliografia

• Liu, I Shih : Continuum Mechanicas,Spring-Verlag, 2002.

• Liu I, Shih; Rincon, M,; Cipolatti, R.:“Incremental linear approximation for finiteelasticity”, ICNAAM, 2006.

• Liu I, Shih; Rincon, M,; Cipolatti, R.:“Incremental linear approximation for finiteelasticity”, aceito em Comp. Appl. Math.

• Liu I, Shih; Rincon, M,; Cipolatti, R.: “Largedeformation in viscoelastic solid bodies -Numerical simulation of salt migration”,submetido.

– p. 87/87

Grandes deformações em meios visco-elásticoscipolatti/lncc2010.pdf · 0.5 setgray0 0.5 setgray1 Grandes deformações em meios visco-elásticos: um modelo para a simulac¸ao˜

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