Departamento de Ciencias Geometría Analítica: Ciclo 2009-2 1 GRÁFICA DE ECUACIONES POLARES La gráfica de una ecuación polar es el conjunto de puntos con al menos un par de coordenadas polares que satisfagan dicha ecuación ( () r f ). Intersecciones a) Con el eje polar: i) Hacer 0 , para hallar valores reales de r en el eje polar ii) Hacer , para hallar valores reales de r . En general, hacer n ,n Z . b) Con el eje normal. i) Hacer 2 , para hallar. ii) Hacer 3 2 , para hallar r. En general hacer 2 1 2 n , donde k es un número entero Simetrías: a) Con relación al origen (Polo): Al cambiar: i) por ii) r por r Si la ecuación de la curva no varía, es simétrica b) Con relación al eje polar: Al cambiar: i) por ii) por y r por r simultáneamente Si la ecuación de la curva no varía, es simétrica c) Con relación al eje normal: La ecuación debe verificar: i) por ii) por y r por r simultáneamente Si la ecuación de la curva no varía, es simétrica P(r, ) (r, )
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Departamento de Ciencias Geometría Analítica: Ciclo 2009-2
1
GRÁFICA DE ECUACIONES POLARES
La gráfica de una ecuación polar es el conjunto de puntos con al menos un par de coordenadas
polares que satisfagan dicha ecuación ( ( )r f ).
Intersecciones
a) Con el eje polar:
i) Hacer 0 , para hallar valores reales de r en el eje polar
ii) Hacer , para hallar valores reales de r .
En general, hacer n ,n Z .
b) Con el eje normal.
i) Hacer 2
, para hallar.
ii) Hacer 3
2
, para hallar r. En general hacer 2 1
2n
, donde k es un número
entero
Simetrías:
a) Con relación al origen (Polo):
Al cambiar:
i) por
ii) r por r
Si la ecuación de la curva no varía, es simétrica
b) Con relación al eje polar:
Al cambiar:
i) por
ii) por y r por r simultáneamente
Si la ecuación de la curva no varía, es simétrica
c) Con relación al eje normal:
La ecuación debe verificar:
i) por
ii) por y r por r simultáneamente
Si la ecuación de la curva no varía, es simétrica
P( r , )
( r , )
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Tangentes: Cuando el polo (origen) pertenece a la curva, al hacer 0r se obtiene ( ) 0f
que es una ecuación trigonométrica que al resolverla para da:
1 2, , ...., n .
Entonces, las rectas 1 2, , ...., n son las rectas tangentes en el origen de la
curva ( )r f
EJEMPLO 1: Construir la gráfica de la ecuación polar 10 3r sen
Solución:
Intersecciones:
a) Con el eje polar:
0 . Entonces 10 0º 0r sen
. Entonces 10 3 0r sen
El único punto de intersección es el polo.
b) Con el eje normal.
2
. Entonces 10 3 10
2r sen
3
2
. Entonces
910 10
2r sen
Hay un punto de intersección, dado que los puntos 10,2
y 3
10,2
son los mismos
Simetrías:
a) Con relación al origen (Polo): por
10 3 10 3r sen sen .
Entonces no es simétrica porque la ecuación de la curva cambia
b) Con relación al eje polar: por
10 3 10 3r sen sen .
No es simétrica porque la ecuación de la curva cambia
c) Con relación al eje normal: por
10 3 10 3r sen sen .
Es simétrica porque la ecuación de la curva no cambia.
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