Pewarnaan Titik(simpul) TEORI GRAF PEWARNAAN GRAF Rukmono Budi Utomo 30115301 March 7, 2016 Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Rukmono Budi Utomo30115301
March 7, 2016
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Pewarnaan Graf
1 Pewarnaan Titik(simpul)
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Definisi 1Pewarnaan Titik
Misalkan G graf tanpa lup dan sisi ganda dan memiliki k titik.Pewarnaan titik pada graf G adalah memberikan warna berbedakepada titik-titik di graf G tersebut dengan tujuan setiap dua titikyang bertetangga memiliki warna yang berbeda.
Secara mudah, graf G dengan k titik dapat diwarnai sajadengan k warna yang berbeda
Figure: Graf G dengan 4 titik di atas diwarnai dengan 4 warna berbeda
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Definisi 1Pewarnaan Titik
Misalkan G graf tanpa lup dan sisi ganda dan memiliki k titik.Pewarnaan titik pada graf G adalah memberikan warna berbedakepada titik-titik di graf G tersebut dengan tujuan setiap dua titikyang bertetangga memiliki warna yang berbeda.
Secara mudah, graf G dengan k titik dapat diwarnai sajadengan k warna yang berbeda
Figure: Graf G dengan 4 titik di atas diwarnai dengan 4 warna berbeda
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Definisi 1Pewarnaan Titik
Misalkan G graf tanpa lup dan sisi ganda dan memiliki k titik.Pewarnaan titik pada graf G adalah memberikan warna berbedakepada titik-titik di graf G tersebut dengan tujuan setiap dua titikyang bertetangga memiliki warna yang berbeda.
Secara mudah, graf G dengan k titik dapat diwarnai sajadengan k warna yang berbeda
Figure: Graf G dengan 4 titik di atas diwarnai dengan 4 warna berbeda
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Persoalannya adalah berapa banyak warna minimal yangdiperlukan untuk mewarnai sebuah graf sederhana?
Figure: Graf G 4 titik seperti contoh di awal dapat diwarnai denganhanya 2 warna berbeda saja
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Persoalannya adalah berapa banyak warna minimal yangdiperlukan untuk mewarnai sebuah graf sederhana?
Figure: Graf G 4 titik seperti contoh di awal dapat diwarnai denganhanya 2 warna berbeda saja
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Bilangan Kromatik
Jumlah warna minimum yang digunakan untuk mewarnai titik-titikpada suatu graf G disebut bilangan kromatik dari graf G dandinotasikan dengan χ(G )
Contoh 1
Figure: Bilangan kromatik graf G di atas χ(G ) = 2
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Bilangan Kromatik
Jumlah warna minimum yang digunakan untuk mewarnai titik-titikpada suatu graf G disebut bilangan kromatik dari graf G dandinotasikan dengan χ(G )
Contoh 1
Figure: Bilangan kromatik graf G di atas χ(G ) = 2
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Contoh 2
Figure: Bilangan kromatik graf G di atas χ(G ) = 3
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema1
Jika ada sebuah pewarnaan k pada graf G , maka χ(G ) ≤ k
Bukti
Jika terdapat pewarnaan k pada graf G , maka semua titikpada graf G tersebut dapat diwarnai dengan k warna
Karena bilangan kromatik merupakan minimum banyaknyawarna yang digunakan untuk mewarnai semua titik pada grafG , sedemikian sehingga syarat pewarnaan titik terpenuhi,maka terbukti χ(G ) ≤ k
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema1
Jika ada sebuah pewarnaan k pada graf G , maka χ(G ) ≤ k
Bukti
Jika terdapat pewarnaan k pada graf G , maka semua titikpada graf G tersebut dapat diwarnai dengan k warna
Karena bilangan kromatik merupakan minimum banyaknyawarna yang digunakan untuk mewarnai semua titik pada grafG , sedemikian sehingga syarat pewarnaan titik terpenuhi,maka terbukti χ(G ) ≤ k
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema1
Jika ada sebuah pewarnaan k pada graf G , maka χ(G ) ≤ k
Bukti
Jika terdapat pewarnaan k pada graf G , maka semua titikpada graf G tersebut dapat diwarnai dengan k warna
Karena bilangan kromatik merupakan minimum banyaknyawarna yang digunakan untuk mewarnai semua titik pada grafG , sedemikian sehingga syarat pewarnaan titik terpenuhi,maka terbukti χ(G ) ≤ k
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Contoh 3
Figure: Bilangan kromatik graf G , χ(G ) = 3 < 7 = k
Contoh 4
Figure: Bilangan kromatik graf G , χ(G ) = k = 3
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Contoh 3
Figure: Bilangan kromatik graf G , χ(G ) = 3 < 7 = k
Contoh 4
Figure: Bilangan kromatik graf G , χ(G ) = k = 3
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Contoh 3
Figure: Bilangan kromatik graf G , χ(G ) = 3 < 7 = k
Contoh 4
Figure: Bilangan kromatik graf G , χ(G ) = k = 3
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 2
Jika H merupakan graf bagian dari graf G , maka χ(H) ≤ χ(G )
Bukti
Misalkan H merupakn graf bagian dari graf G , makaV (H) ⊆ V (G ) dan E (H) ⊆ E (G )Karena setiap pewarnaan titik di graf H dapat diperluas kesebuah pewarnaan titik di graf G, maka χ(H) ≤ χ(G )
Contoh 5
Figure: Graf H adalah graf bagian dari graf G denganχ(H) = 2 ≤ χ(G ) = 3
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 2
Jika H merupakan graf bagian dari graf G , maka χ(H) ≤ χ(G )
Bukti
Misalkan H merupakn graf bagian dari graf G , makaV (H) ⊆ V (G ) dan E (H) ⊆ E (G )
Karena setiap pewarnaan titik di graf H dapat diperluas kesebuah pewarnaan titik di graf G, maka χ(H) ≤ χ(G )
Contoh 5
Figure: Graf H adalah graf bagian dari graf G denganχ(H) = 2 ≤ χ(G ) = 3
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 2
Jika H merupakan graf bagian dari graf G , maka χ(H) ≤ χ(G )
Bukti
Misalkan H merupakn graf bagian dari graf G , makaV (H) ⊆ V (G ) dan E (H) ⊆ E (G )Karena setiap pewarnaan titik di graf H dapat diperluas kesebuah pewarnaan titik di graf G, maka χ(H) ≤ χ(G )
Contoh 5
Figure: Graf H adalah graf bagian dari graf G denganχ(H) = 2 ≤ χ(G ) = 3
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 2
Jika H merupakan graf bagian dari graf G , maka χ(H) ≤ χ(G )
Bukti
Misalkan H merupakn graf bagian dari graf G , makaV (H) ⊆ V (G ) dan E (H) ⊆ E (G )Karena setiap pewarnaan titik di graf H dapat diperluas kesebuah pewarnaan titik di graf G, maka χ(H) ≤ χ(G )
Contoh 5
Figure: Graf H adalah graf bagian dari graf G denganχ(H) = 2 ≤ χ(G ) = 3
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Contoh 6
Figure: Graf H adalah graf bagian dari graf G dengan χ(H) = χ(G ) = 2
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 3
Jika G1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G , maka
χ (G ) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }
Bukti
Misalkan Gi untuk suatu 1 ≤ i ≤ k ditulis denganG1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G yangmemiliki bilangan kromatik maksimum, katakan t
Berdasarkan hal tersebut t warna yang digunakan untukmewarnai semua titik di Gi , dapat digunakan untuk mewarnaisemua titik di G pada komponen selain Gi , dengan demikiandiperoleh sebuah pewarnaan t pada G
karena χ(G ) ≤ t, dan karena Gi adalah graf bagian dari Gserta χ(Gi ) = t, maka χ(G ) ≥ χ(Gi ) = t
Dengan mengingat bahwa χ(G ) ≤ t, maka χ(G ) = t
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 3
Jika G1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G , maka
χ (G ) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }
Bukti
Misalkan Gi untuk suatu 1 ≤ i ≤ k ditulis denganG1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G yangmemiliki bilangan kromatik maksimum, katakan t
Berdasarkan hal tersebut t warna yang digunakan untukmewarnai semua titik di Gi , dapat digunakan untuk mewarnaisemua titik di G pada komponen selain Gi , dengan demikiandiperoleh sebuah pewarnaan t pada G
karena χ(G ) ≤ t, dan karena Gi adalah graf bagian dari Gserta χ(Gi ) = t, maka χ(G ) ≥ χ(Gi ) = t
Dengan mengingat bahwa χ(G ) ≤ t, maka χ(G ) = t
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 3
Jika G1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G , maka
χ (G ) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }
Bukti
Misalkan Gi untuk suatu 1 ≤ i ≤ k ditulis denganG1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G yangmemiliki bilangan kromatik maksimum, katakan t
Berdasarkan hal tersebut t warna yang digunakan untukmewarnai semua titik di Gi , dapat digunakan untuk mewarnaisemua titik di G pada komponen selain Gi , dengan demikiandiperoleh sebuah pewarnaan t pada G
karena χ(G ) ≤ t, dan karena Gi adalah graf bagian dari Gserta χ(Gi ) = t, maka χ(G ) ≥ χ(Gi ) = t
Dengan mengingat bahwa χ(G ) ≤ t, maka χ(G ) = t
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 3
Jika G1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G , maka
χ (G ) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }
Bukti
Misalkan Gi untuk suatu 1 ≤ i ≤ k ditulis denganG1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G yangmemiliki bilangan kromatik maksimum, katakan t
Berdasarkan hal tersebut t warna yang digunakan untukmewarnai semua titik di Gi , dapat digunakan untuk mewarnaisemua titik di G pada komponen selain Gi , dengan demikiandiperoleh sebuah pewarnaan t pada G
karena χ(G ) ≤ t, dan karena Gi adalah graf bagian dari Gserta χ(Gi ) = t, maka χ(G ) ≥ χ(Gi ) = t
Dengan mengingat bahwa χ(G ) ≤ t, maka χ(G ) = t
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 3
Jika G1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G , maka
χ (G ) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }
Bukti
Misalkan Gi untuk suatu 1 ≤ i ≤ k ditulis denganG1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G yangmemiliki bilangan kromatik maksimum, katakan t
Berdasarkan hal tersebut t warna yang digunakan untukmewarnai semua titik di Gi , dapat digunakan untuk mewarnaisemua titik di G pada komponen selain Gi , dengan demikiandiperoleh sebuah pewarnaan t pada G
karena χ(G ) ≤ t, dan karena Gi adalah graf bagian dari Gserta χ(Gi ) = t, maka χ(G ) ≥ χ(Gi ) = t
Dengan mengingat bahwa χ(G ) ≤ t, maka χ(G ) = t
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Contoh 7
Figure: Graf G dengan komponen-komponennya G1,G2 dan G3
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 4
Jika G adalah graf komplit dengan n titik, maka χ(G ) = n
BuktiKarena pada graf komplit setiap dua titik berhubungan langsung,sesuai dengan definisi pewarnaan titik maka semua titik harusdiwarnai dengan warna yang berbeda.contoh 8
Figure: Graf komplit G dengan 4 titik memiliki bilangan kromatikχ(G ) = 4
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 4
Jika G adalah graf komplit dengan n titik, maka χ(G ) = n
BuktiKarena pada graf komplit setiap dua titik berhubungan langsung,sesuai dengan definisi pewarnaan titik maka semua titik harusdiwarnai dengan warna yang berbeda.
contoh 8
Figure: Graf komplit G dengan 4 titik memiliki bilangan kromatikχ(G ) = 4
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 4
Jika G adalah graf komplit dengan n titik, maka χ(G ) = n
BuktiKarena pada graf komplit setiap dua titik berhubungan langsung,sesuai dengan definisi pewarnaan titik maka semua titik harusdiwarnai dengan warna yang berbeda.contoh 8
Figure: Graf komplit G dengan 4 titik memiliki bilangan kromatikχ(G ) = 4
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 5
Jika G adalah graf kosong, maka χ(G ) = 1
BuktiKarena graf kosong hanya terdiri dari titik-titik dan tidak ada sisiyang menghubungkan dua titik, dengan demikian setiap titik dapatmemiliki warna yang sama.Contoh9
Figure: Graf kosong G memiliki bilangan kromatik χ(G ) = 1
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 5
Jika G adalah graf kosong, maka χ(G ) = 1
BuktiKarena graf kosong hanya terdiri dari titik-titik dan tidak ada sisiyang menghubungkan dua titik, dengan demikian setiap titik dapatmemiliki warna yang sama.
Contoh9
Figure: Graf kosong G memiliki bilangan kromatik χ(G ) = 1
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 5
Jika G adalah graf kosong, maka χ(G ) = 1
BuktiKarena graf kosong hanya terdiri dari titik-titik dan tidak ada sisiyang menghubungkan dua titik, dengan demikian setiap titik dapatmemiliki warna yang sama.Contoh9
Figure: Graf kosong G memiliki bilangan kromatik χ(G ) = 1
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 6
Diberikan graf tak kosong G . Graf G bipartisi jika dan hanya jikaχ(G ) = 2
Bukti→ Jika G graf bipartisi, maka χ(G ) = 2
karena G graf bipartisi maka G dapat dibagi menjadi duahimpunan, katakan X dan Y
Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X . Hal inidiperbolehkan karena tiap titik di X tidak saling berhubungan.
Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik diY dengan warna 2
Dengan demikian hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnaigraf bipartit tersebut G, sehingga terbukti χ(G ) = 2
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 6
Diberikan graf tak kosong G . Graf G bipartisi jika dan hanya jikaχ(G ) = 2
Bukti→ Jika G graf bipartisi, maka χ(G ) = 2
karena G graf bipartisi maka G dapat dibagi menjadi duahimpunan, katakan X dan Y
Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X . Hal inidiperbolehkan karena tiap titik di X tidak saling berhubungan.
Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik diY dengan warna 2
Dengan demikian hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnaigraf bipartit tersebut G, sehingga terbukti χ(G ) = 2
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 6
Diberikan graf tak kosong G . Graf G bipartisi jika dan hanya jikaχ(G ) = 2
Bukti→ Jika G graf bipartisi, maka χ(G ) = 2
karena G graf bipartisi maka G dapat dibagi menjadi duahimpunan, katakan X dan Y
Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X . Hal inidiperbolehkan karena tiap titik di X tidak saling berhubungan.
Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik diY dengan warna 2
Dengan demikian hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnaigraf bipartit tersebut G, sehingga terbukti χ(G ) = 2
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 6
Diberikan graf tak kosong G . Graf G bipartisi jika dan hanya jikaχ(G ) = 2
Bukti→ Jika G graf bipartisi, maka χ(G ) = 2
karena G graf bipartisi maka G dapat dibagi menjadi duahimpunan, katakan X dan Y
Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X . Hal inidiperbolehkan karena tiap titik di X tidak saling berhubungan.
Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik diY dengan warna 2
Dengan demikian hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnaigraf bipartit tersebut G, sehingga terbukti χ(G ) = 2
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 6
Diberikan graf tak kosong G . Graf G bipartisi jika dan hanya jikaχ(G ) = 2
Bukti→ Jika G graf bipartisi, maka χ(G ) = 2
karena G graf bipartisi maka G dapat dibagi menjadi duahimpunan, katakan X dan Y
Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X . Hal inidiperbolehkan karena tiap titik di X tidak saling berhubungan.
Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik diY dengan warna 2
Dengan demikian hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnaigraf bipartit tersebut G, sehingga terbukti χ(G ) = 2
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 6
Diberikan graf tak kosong G . Graf G bipartisi jika dan hanya jikaχ(G ) = 2
Bukti→ Jika G graf bipartisi, maka χ(G ) = 2
karena G graf bipartisi maka G dapat dibagi menjadi duahimpunan, katakan X dan Y
Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X . Hal inidiperbolehkan karena tiap titik di X tidak saling berhubungan.
Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik diY dengan warna 2
Dengan demikian hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnaigraf bipartit tersebut G, sehingga terbukti χ(G ) = 2
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Contoh 10
Figure: Graf bipartisi G memiliki bilangan kromatik χ(G ) = 2
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Bukti← Jika graf G memiliki bilangan kromatik χ(G ) = 2 maka graftersebut adalah bipartisi
Misalkan semua titik yang diwarnai dengan warna 1 diletakkandalam himpunan X dan semua titik yang diwarnai denganwarna 2 diletakkan dalam himpunan Y .
Hal ini menandakan titik-titik yang terletak dalam himpunanX tidak mungkin saling berhubungan (karena memiliki warnasama), begitu juga untuk titik- titik yang terletak dalamhimpunan Y
Titik-titik yang terletak dalam himpunan X dan titik-titikyang teletak dalam himpunan Y pastilah berhubungan agarterbentuk suatu graf, dengan demikian graf yang terbentukadalah bipartisi.
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Bukti← Jika graf G memiliki bilangan kromatik χ(G ) = 2 maka graftersebut adalah bipartisi
Misalkan semua titik yang diwarnai dengan warna 1 diletakkandalam himpunan X dan semua titik yang diwarnai denganwarna 2 diletakkan dalam himpunan Y .
Hal ini menandakan titik-titik yang terletak dalam himpunanX tidak mungkin saling berhubungan (karena memiliki warnasama), begitu juga untuk titik- titik yang terletak dalamhimpunan Y
Titik-titik yang terletak dalam himpunan X dan titik-titikyang teletak dalam himpunan Y pastilah berhubungan agarterbentuk suatu graf, dengan demikian graf yang terbentukadalah bipartisi.
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Bukti← Jika graf G memiliki bilangan kromatik χ(G ) = 2 maka graftersebut adalah bipartisi
Misalkan semua titik yang diwarnai dengan warna 1 diletakkandalam himpunan X dan semua titik yang diwarnai denganwarna 2 diletakkan dalam himpunan Y .
Hal ini menandakan titik-titik yang terletak dalam himpunanX tidak mungkin saling berhubungan (karena memiliki warnasama), begitu juga untuk titik- titik yang terletak dalamhimpunan Y
Titik-titik yang terletak dalam himpunan X dan titik-titikyang teletak dalam himpunan Y pastilah berhubungan agarterbentuk suatu graf, dengan demikian graf yang terbentukadalah bipartisi.
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Contoh 11
Figure: Suatu graf dengan bilangan kromatik χ(G ) = 2 dan graf tersebutbipartisi
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 7
Jika Cn adalah sikel dengan n titik, maka
χ (Cn) =
{2, n = genap3, n = ganjil
Bukti
Misalkan Cn adalah sikel dengan n titik, maka panjang sikelCn adalah n.
Jika n genap, maka Cn adalah graf bipartisi. Berdasarkanteorema 6 bilangan kromatik Cn adalah 2.
Jika n ganjil maka Cn bukan graf bipartisi, dengan demikianCn bukan graph kosong dan χ(Cn) ≥ 3
misalkan titik-titik dari graf Cn dituliskan sebagai v1, v2, ..., vn
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 7
Jika Cn adalah sikel dengan n titik, maka
χ (Cn) =
{2, n = genap3, n = ganjil
Bukti
Misalkan Cn adalah sikel dengan n titik, maka panjang sikelCn adalah n.
Jika n genap, maka Cn adalah graf bipartisi. Berdasarkanteorema 6 bilangan kromatik Cn adalah 2.
Jika n ganjil maka Cn bukan graf bipartisi, dengan demikianCn bukan graph kosong dan χ(Cn) ≥ 3
misalkan titik-titik dari graf Cn dituliskan sebagai v1, v2, ..., vn
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 7
Jika Cn adalah sikel dengan n titik, maka
χ (Cn) =
{2, n = genap3, n = ganjil
Bukti
Misalkan Cn adalah sikel dengan n titik, maka panjang sikelCn adalah n.
Jika n genap, maka Cn adalah graf bipartisi. Berdasarkanteorema 6 bilangan kromatik Cn adalah 2.
Jika n ganjil maka Cn bukan graf bipartisi, dengan demikianCn bukan graph kosong dan χ(Cn) ≥ 3
misalkan titik-titik dari graf Cn dituliskan sebagai v1, v2, ..., vn
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 7
Jika Cn adalah sikel dengan n titik, maka
χ (Cn) =
{2, n = genap3, n = ganjil
Bukti
Misalkan Cn adalah sikel dengan n titik, maka panjang sikelCn adalah n.
Jika n genap, maka Cn adalah graf bipartisi. Berdasarkanteorema 6 bilangan kromatik Cn adalah 2.
Jika n ganjil maka Cn bukan graf bipartisi, dengan demikianCn bukan graph kosong dan χ(Cn) ≥ 3
misalkan titik-titik dari graf Cn dituliskan sebagai v1, v2, ..., vn
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 7
Jika Cn adalah sikel dengan n titik, maka
χ (Cn) =
{2, n = genap3, n = ganjil
Bukti
Misalkan Cn adalah sikel dengan n titik, maka panjang sikelCn adalah n.
Jika n genap, maka Cn adalah graf bipartisi. Berdasarkanteorema 6 bilangan kromatik Cn adalah 2.
Jika n ganjil maka Cn bukan graf bipartisi, dengan demikianCn bukan graph kosong dan χ(Cn) ≥ 3
misalkan titik-titik dari graf Cn dituliskan sebagai v1, v2, ..., vn
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Untuk n ganjil dan 1 ≤ i ≤ n − 2, warnai titik vi denganwarna 1.
Untuk n genap dan 1 ≤ i ≤ n − 1, warnai titik vi denganwarna 2, dan terakhir warnai titik vn dengan warna 3.
Dengan demikian diperoleh sebuah pewarnaan 3 pada graf Cn,sehingga berdasarkan definisi bilangan kromatik, χ(Cn) ≤ 3
Karena χ(Cn) ≥ 3 danχ(Cn) ≤ 3, maka χ(Cn) = 3
Dengan demikian untuk Cn adalah sikel dengan n titik makauntuk n genap χ(Cn) = 2 dan untuk n ganjil , χ(Cn) = 3
Terbukti
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Untuk n ganjil dan 1 ≤ i ≤ n − 2, warnai titik vi denganwarna 1.
Untuk n genap dan 1 ≤ i ≤ n − 1, warnai titik vi denganwarna 2, dan terakhir warnai titik vn dengan warna 3.
Dengan demikian diperoleh sebuah pewarnaan 3 pada graf Cn,sehingga berdasarkan definisi bilangan kromatik, χ(Cn) ≤ 3
Karena χ(Cn) ≥ 3 danχ(Cn) ≤ 3, maka χ(Cn) = 3
Dengan demikian untuk Cn adalah sikel dengan n titik makauntuk n genap χ(Cn) = 2 dan untuk n ganjil , χ(Cn) = 3
Terbukti
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Untuk n ganjil dan 1 ≤ i ≤ n − 2, warnai titik vi denganwarna 1.
Untuk n genap dan 1 ≤ i ≤ n − 1, warnai titik vi denganwarna 2, dan terakhir warnai titik vn dengan warna 3.
Dengan demikian diperoleh sebuah pewarnaan 3 pada graf Cn,sehingga berdasarkan definisi bilangan kromatik, χ(Cn) ≤ 3
Karena χ(Cn) ≥ 3 danχ(Cn) ≤ 3, maka χ(Cn) = 3
Dengan demikian untuk Cn adalah sikel dengan n titik makauntuk n genap χ(Cn) = 2 dan untuk n ganjil , χ(Cn) = 3
Terbukti
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Untuk n ganjil dan 1 ≤ i ≤ n − 2, warnai titik vi denganwarna 1.
Untuk n genap dan 1 ≤ i ≤ n − 1, warnai titik vi denganwarna 2, dan terakhir warnai titik vn dengan warna 3.
Dengan demikian diperoleh sebuah pewarnaan 3 pada graf Cn,sehingga berdasarkan definisi bilangan kromatik, χ(Cn) ≤ 3
Karena χ(Cn) ≥ 3 danχ(Cn) ≤ 3, maka χ(Cn) = 3
Dengan demikian untuk Cn adalah sikel dengan n titik makauntuk n genap χ(Cn) = 2 dan untuk n ganjil , χ(Cn) = 3
Terbukti
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Untuk n ganjil dan 1 ≤ i ≤ n − 2, warnai titik vi denganwarna 1.
Untuk n genap dan 1 ≤ i ≤ n − 1, warnai titik vi denganwarna 2, dan terakhir warnai titik vn dengan warna 3.
Dengan demikian diperoleh sebuah pewarnaan 3 pada graf Cn,sehingga berdasarkan definisi bilangan kromatik, χ(Cn) ≤ 3
Karena χ(Cn) ≥ 3 danχ(Cn) ≤ 3, maka χ(Cn) = 3
Dengan demikian untuk Cn adalah sikel dengan n titik makauntuk n genap χ(Cn) = 2 dan untuk n ganjil , χ(Cn) = 3
Terbukti
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Contoh 12
Figure: graf C6 memiliki χ(C6) = 2 dan graf C5 memiliki χ(C5) = 3
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 8
Jika G graf sederhana dengan derajat maksimum ∆(G ), makaχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1
Bukti Bukti akan dilakukan dengan Induksi
Misalkan G graph sederhana dengan n titik, maka |V (G )| = n
Untuk |V (G )| = 1 maka G = K1 atau graf kosong, sehinggaχ(G ) = 1 dan ∆(G ) = 0. Akibatnyaχ(G ) = 1 ≤ 0 + 1 = ∆(G ) + 1. Dengan demikian pernyataanbenar untuk n = 1
Diasumsikan pernyataan benar untuk graf G dengan|V (G )| = n − 1, untuk n > 1 dan misalkan dalampembahasan ini G graf sederhana dengan |V (G )| = n
Pandang sebarang titik v di G dan hapus titik v tersebutsehingga terbentuk graph baru yakni Gv dengan n − 1 titik.
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 8
Jika G graf sederhana dengan derajat maksimum ∆(G ), makaχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1
Bukti Bukti akan dilakukan dengan Induksi
Misalkan G graph sederhana dengan n titik, maka |V (G )| = n
Untuk |V (G )| = 1 maka G = K1 atau graf kosong, sehinggaχ(G ) = 1 dan ∆(G ) = 0. Akibatnyaχ(G ) = 1 ≤ 0 + 1 = ∆(G ) + 1. Dengan demikian pernyataanbenar untuk n = 1
Diasumsikan pernyataan benar untuk graf G dengan|V (G )| = n − 1, untuk n > 1 dan misalkan dalampembahasan ini G graf sederhana dengan |V (G )| = n
Pandang sebarang titik v di G dan hapus titik v tersebutsehingga terbentuk graph baru yakni Gv dengan n − 1 titik.
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 8
Jika G graf sederhana dengan derajat maksimum ∆(G ), makaχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1
Bukti Bukti akan dilakukan dengan Induksi
Misalkan G graph sederhana dengan n titik, maka |V (G )| = n
Untuk |V (G )| = 1 maka G = K1 atau graf kosong, sehinggaχ(G ) = 1 dan ∆(G ) = 0. Akibatnyaχ(G ) = 1 ≤ 0 + 1 = ∆(G ) + 1. Dengan demikian pernyataanbenar untuk n = 1
Diasumsikan pernyataan benar untuk graf G dengan|V (G )| = n − 1, untuk n > 1 dan misalkan dalampembahasan ini G graf sederhana dengan |V (G )| = n
Pandang sebarang titik v di G dan hapus titik v tersebutsehingga terbentuk graph baru yakni Gv dengan n − 1 titik.
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 8
Jika G graf sederhana dengan derajat maksimum ∆(G ), makaχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1
Bukti Bukti akan dilakukan dengan Induksi
Misalkan G graph sederhana dengan n titik, maka |V (G )| = n
Untuk |V (G )| = 1 maka G = K1 atau graf kosong, sehinggaχ(G ) = 1 dan ∆(G ) = 0. Akibatnyaχ(G ) = 1 ≤ 0 + 1 = ∆(G ) + 1. Dengan demikian pernyataanbenar untuk n = 1
Diasumsikan pernyataan benar untuk graf G dengan|V (G )| = n − 1, untuk n > 1 dan misalkan dalampembahasan ini G graf sederhana dengan |V (G )| = n
Pandang sebarang titik v di G dan hapus titik v tersebutsehingga terbentuk graph baru yakni Gv dengan n − 1 titik.
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 8
Jika G graf sederhana dengan derajat maksimum ∆(G ), makaχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1
Bukti Bukti akan dilakukan dengan Induksi
Misalkan G graph sederhana dengan n titik, maka |V (G )| = n
Untuk |V (G )| = 1 maka G = K1 atau graf kosong, sehinggaχ(G ) = 1 dan ∆(G ) = 0. Akibatnyaχ(G ) = 1 ≤ 0 + 1 = ∆(G ) + 1. Dengan demikian pernyataanbenar untuk n = 1
Diasumsikan pernyataan benar untuk graf G dengan|V (G )| = n − 1, untuk n > 1 dan misalkan dalampembahasan ini G graf sederhana dengan |V (G )| = n
Pandang sebarang titik v di G dan hapus titik v tersebutsehingga terbentuk graph baru yakni Gv dengan n − 1 titik.
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1yang memberi arti bahwa semua titik di graph G − v dapatdiwarnai dengan ∆(G − v) + 1 warna.
Karena titik v dihapus pada graf G maka∆(G − v) ≤ ∆(G )
Dari ∆(G − v) ≤ ∆(G )) terdapat 2 kasus,yaitu :
1 ∆(G − v) = ∆(G )
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 , menandakan semua titik diG − v dapat diwarnai dengan ∆(G ) + 1 warna sedemikianhingga syarat pewarnaan terpenuhi
Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnaiNG(v di G − v sebanyak banyaknya ∆(G ), padahalpewarnaan ∆(G ) + 1 di graf G − v , maka terdapat palingsedikit satu warna di G − v yang tidak muncul pada NG(v diG , sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnaititik v di G . diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1yang memberi arti bahwa semua titik di graph G − v dapatdiwarnai dengan ∆(G − v) + 1 warna.
Karena titik v dihapus pada graf G maka∆(G − v) ≤ ∆(G )
Dari ∆(G − v) ≤ ∆(G )) terdapat 2 kasus,yaitu :
1 ∆(G − v) = ∆(G )
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 , menandakan semua titik diG − v dapat diwarnai dengan ∆(G ) + 1 warna sedemikianhingga syarat pewarnaan terpenuhi
Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnaiNG(v di G − v sebanyak banyaknya ∆(G ), padahalpewarnaan ∆(G ) + 1 di graf G − v , maka terdapat palingsedikit satu warna di G − v yang tidak muncul pada NG(v diG , sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnaititik v di G . diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1yang memberi arti bahwa semua titik di graph G − v dapatdiwarnai dengan ∆(G − v) + 1 warna.
Karena titik v dihapus pada graf G maka∆(G − v) ≤ ∆(G )
Dari ∆(G − v) ≤ ∆(G )) terdapat 2 kasus,yaitu :
1 ∆(G − v) = ∆(G )
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 , menandakan semua titik diG − v dapat diwarnai dengan ∆(G ) + 1 warna sedemikianhingga syarat pewarnaan terpenuhi
Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnaiNG(v di G − v sebanyak banyaknya ∆(G ), padahalpewarnaan ∆(G ) + 1 di graf G − v , maka terdapat palingsedikit satu warna di G − v yang tidak muncul pada NG(v diG , sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnaititik v di G . diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1yang memberi arti bahwa semua titik di graph G − v dapatdiwarnai dengan ∆(G − v) + 1 warna.
Karena titik v dihapus pada graf G maka∆(G − v) ≤ ∆(G )
Dari ∆(G − v) ≤ ∆(G )) terdapat 2 kasus,yaitu :
1 ∆(G − v) = ∆(G )
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 , menandakan semua titik diG − v dapat diwarnai dengan ∆(G ) + 1 warna sedemikianhingga syarat pewarnaan terpenuhi
Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnaiNG(v di G − v sebanyak banyaknya ∆(G ), padahalpewarnaan ∆(G ) + 1 di graf G − v , maka terdapat palingsedikit satu warna di G − v yang tidak muncul pada NG(v diG , sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnaititik v di G . diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1yang memberi arti bahwa semua titik di graph G − v dapatdiwarnai dengan ∆(G − v) + 1 warna.
Karena titik v dihapus pada graf G maka∆(G − v) ≤ ∆(G )
Dari ∆(G − v) ≤ ∆(G )) terdapat 2 kasus,yaitu :
1 ∆(G − v) = ∆(G )
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 , menandakan semua titik diG − v dapat diwarnai dengan ∆(G ) + 1 warna sedemikianhingga syarat pewarnaan terpenuhi
Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnaiNG(v di G − v sebanyak banyaknya ∆(G ), padahalpewarnaan ∆(G ) + 1 di graf G − v , maka terdapat palingsedikit satu warna di G − v yang tidak muncul pada NG(v diG , sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnaititik v di G . diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1yang memberi arti bahwa semua titik di graph G − v dapatdiwarnai dengan ∆(G − v) + 1 warna.
Karena titik v dihapus pada graf G maka∆(G − v) ≤ ∆(G )
Dari ∆(G − v) ≤ ∆(G )) terdapat 2 kasus,yaitu :
1 ∆(G − v) = ∆(G )
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 , menandakan semua titik diG − v dapat diwarnai dengan ∆(G ) + 1 warna sedemikianhingga syarat pewarnaan terpenuhi
Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnaiNG(v di G − v sebanyak banyaknya ∆(G ), padahalpewarnaan ∆(G ) + 1 di graf G − v , maka terdapat palingsedikit satu warna di G − v yang tidak muncul pada NG(v diG , sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnaititik v di G . diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Akibatnya, berdasarkan definisi bilangan kromatik diperolehχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1
1 ∆(G − v) < ∆(G )
Berdasarkan asumsi diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 dan χ(G − v) < ∆(G ), makaχ(G − v) < ∆(G ) + 1 atau χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 (karenabilangan kromatik dari graph G − v adalah bilangan bulat).Artinya ada pewarnaan ∆(G ) pada graph G − v
Warnai titik v di G dengan warna (warna baru) selain warnayang muncul di graf G − v sehingga diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .
Dari kasus 1 dan kasus 2 , maka diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Akibatnya, berdasarkan definisi bilangan kromatik diperolehχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1
1 ∆(G − v) < ∆(G )
Berdasarkan asumsi diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 dan χ(G − v) < ∆(G ), makaχ(G − v) < ∆(G ) + 1 atau χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 (karenabilangan kromatik dari graph G − v adalah bilangan bulat).Artinya ada pewarnaan ∆(G ) pada graph G − v
Warnai titik v di G dengan warna (warna baru) selain warnayang muncul di graf G − v sehingga diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .
Dari kasus 1 dan kasus 2 , maka diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Akibatnya, berdasarkan definisi bilangan kromatik diperolehχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1
1 ∆(G − v) < ∆(G )
Berdasarkan asumsi diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 dan χ(G − v) < ∆(G ), makaχ(G − v) < ∆(G ) + 1 atau χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 (karenabilangan kromatik dari graph G − v adalah bilangan bulat).Artinya ada pewarnaan ∆(G ) pada graph G − v
Warnai titik v di G dengan warna (warna baru) selain warnayang muncul di graf G − v sehingga diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .
Dari kasus 1 dan kasus 2 , maka diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Akibatnya, berdasarkan definisi bilangan kromatik diperolehχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1
1 ∆(G − v) < ∆(G )
Berdasarkan asumsi diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 dan χ(G − v) < ∆(G ), makaχ(G − v) < ∆(G ) + 1 atau χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 (karenabilangan kromatik dari graph G − v adalah bilangan bulat).Artinya ada pewarnaan ∆(G ) pada graph G − v
Warnai titik v di G dengan warna (warna baru) selain warnayang muncul di graf G − v sehingga diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .
Dari kasus 1 dan kasus 2 , maka diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF