Gradiente Gradiente Divergente Divergente Rotacional Rotacional Propriedades Propriedades Aplicações Aplicações.

0

01

41

4

Bt

B

cE

c

J

t

E

cB

E

Gradiente Divergente Rotacional Propriedades Aplicações

0

01

41

4

Bt

B

cE

c

J

t

E

cB

E

Gradiente:

O gradiente de uma função escalar é um vetor cujo módulo é a derivada direcional máxima no ponto considerado e cujo sentido é o sentido da derivada direcional máxima.

Derivada direcional:É a taxa de variação da função em uma direção e

sentido especificados.

ds - deslocamento infinitesimal na direção e sentidods - valor escalar de ds.

s

zyxzzyyxx

sd

d

s

),,(),,(lim

0

ds

dz

zds

dy

yds

dx

x

0

01

41

4

Bt

B

cE

c

J

t

E

cB

E

Considerando-se a função: (x,y)=x2+y2

• A derivada direcional depende da direção e do sentido.

• Escolhendo-se dy/dx=-x0/y0

•Obtemos

ds

dz

zds

dy

yds

dx

xs yx

00

ds

dx

dx

dyy

ds

dxx

ds

dyy

ds

dxx 0000 2222

0220

000

ds

dx

y

xyx

0

01

41

4

Bt

B

cE

c

J

t

E

cB

E

Podemos escolher:dy/dx=y0/x0

como: escolhemos então

20

202

00

yxs yx

22 dydxds dx

dy

2222

11

dx

dy

dx

dydx

dx

ds

21

1

ds

dx

)()1(2222 2/120000

00

fyx

ds

dxyx

dx

d

yx

0

01

41

4

Bt

B

cE

c

J

t

E

cB

E

Se derivarmos f(a) em relação a a:

igualando-se a derivada a zero, obtém-se o máximo ou mínimo:

2)1(2

1)22()1(2

)( 2/3200

2/120

yxy

d

df

3 22

00

2

0

)1(

)22(

)1(

2

yxy

0)1(

)22(

)1(

23 22

00

2

0

yxy

0)1(

)()1(

)1(

2 200002

200

20

2

yxyy

yxy

0

0

x

y

0

01

41

4

Bt

B

cE

c

J

t

E

cB

E

Portanto a variação máxima da função:

figura 1:

figura2:

22 yx

0

01

41

4

Bt

B

cE

c

J

t

E

cB

E

Símbolos do Gradiente:

e grad

A derivada direcional em termos de gradiente é dada por:

ds

sd

ds

d

ds

d

cos

A equação acima permite-nos definir o gradiente em qualquer sistema de coordenadas

Coordenadas retangulares: dzkdyjdxisd ˆˆˆ

sddzdz

ddy

dy

ddx

dx

dd

Conseqüentemente:

dz

dk

dy

dj

dx

digrad ˆˆˆ

0

01

41

4

Bt

B

cE

c

J

t

E

cB

E

Divergente:

Definição: div F ou F

É o limite de sua integral de superfície por unidade de volume quando o volume encerrado pela superfície tende a zero

Integração Vetorial:- linha- superfície- volume

Maiores Interesses:• integral escalar de linha de um

vetor• integral escalar de superfície de um

vetor• integrais de volume de vetores e

escalaresSe F for um vetor a integral de linha é dada por:

ldFb

ac

0

01

41

4

Bt

B

cE

c

J

t

E

cB

E

Integral de linha ao longo de uma curva fechada

ldFC

Pode ou não ser zero

Integral de Superfície e Superfície fechada

danFs

danF

S

Integral de Volume

dvJV dvFk

V

0

01

41

4

Bt

B

cE

c

J

t

E

cB

E

SvdanF

VFdiv

1lim

0

Para coordenadas cartesianas.

)ˆˆˆ(ˆˆˆ kFzjFyiFxx

ky

jx

iFdiv

x

F

y

F

x

FFdiv

Divergente:Definição: div F ou F

0

01

41

4

Bt

B

cE

c

J

t

E

cB

E

Rotacional:

É o limite da razão entre a integral e o seu produto vetorial com a normal dirigida para fora, sobre uma superfície fechada, e o volume encerrado pela superfície quando o volume tende a zero.

Sv

daFnV

FrotF 1

lim0

Em coordenadas retangulares:

zyx FFFzyx

kji

Frot

ˆˆˆ

0

01

41

4

Bt

B

cE

c

J

t

E

cB

E

O operador (nabla ou del)

Relações importantes:

ab

b

a

b

a

b

ac

dld

c

s

ldFdanF

Teorema de Stokes

s

V

danFdvF

Teorema do Divergente

Linearidade do Operador

GbFaGbFa

GbFaGbFa

baba

)(

,)(

,