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UNIDAD 1.
CAMPO ELCTRICO, FLUJO ELECTRICO Y POTENCIAL ELCTRICO
CAPTULO 1: El MARAVILLOSO SOPORTE MATEMTICO El encanto que
producen las ecuaciones de Maxwell solo puede ser
experimentado cuando uno ha manejado un ratito con alegra,
bondad y
rigurosidad el soporte matemtico, al principio parece muy
complejo, que permite
una comprensin razonable de la teora de los campos
electromagnticos. Este
captulo se interesa por dar a conocer las ideas matemticas
bsicas que permiten
navegar con tranquilidad por estos mgicos mundos de los campos
de inters
para nosotros. Comprender las operaciones vectoriales (suma,
producto escalar o
vectorial), manipular los operadores especiales (gradiente,
divergencia, rotacional,
laplaciano), adems de ser un desafo estimulante para la mente y
para el alma,
es un mecanismo sencillo, elegante y apropiado, que nos llena de
fortaleza, de
conocimientos, de esperanza, para disfrutar y comprender el
trabajo de Maxwell.
Leccin 1: Sistemas de Coordenadas Existen muchos sistemas de
coordenadas de inters para la ciencia o para la
tecnologa y su utilizacin es una necesidad especfica de acuerdo
al tema de
inters. Es bueno saber que en la fsica del movimiento, en
electromagnetismo o
en el clculo de varias variables, se manejan los tipos de
coordenadas
mencionados a continuacin: cartesiana (rectangulares, cilndricas
y las esfricas.
Coordenadas Cartesianas.
Es el sistema que hemos disfrutado y manejado desde siempre; nos
lo
compartieron en el colegio, en l el hombre ha evolucionado,
vivido,
amado, sufrido, progresado y ha comprendido que su vida se
ha
desarrollado en tres dimensiones y en l nos hablaron de los
volmenes.
Es este sistema, como se indica en la figura un punto cualquiera
P
puede ser identificado mediante sus tres coordenadas xp , yp ,
zp
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Es bueno mostrar que los vectores unitarios, que indican la
direccin en cada
eje coordenado se representan por: y que equivalen a
los vectores unitarios y ordenados: i, j, k y en estricto
orden.
Conviene recordar que los tres vectores mencionados con lin
ealmente
independientes, de magnitud uno, y que cada par es perpendicular
entre s.
Adems de esos detalles importantes mencionados, los especiales
vectores
(i, j, k) se deben orientar de tal manera que: i x j = k, j x k
= i.
Los desplazamientos diferenciales a lo largo de los ejes
coordenados son
sencillamente: dx , dy , dz. Es el sistema coordenado ms cercano
a nosotros.
Coordenadas Cilndricas.
Otro sistema, es el indicado en la figura [3], aqu un punto
cualquiera P
puede ser identificado mediante las coordenadas rp , p , zp
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Puedes imaginar este sistema de coordenadas concibiendo un tarro
recto y
cilndrico en cual se tiene su radio ( r ), su altura ( z ) y el
ngulo que ves en la
figura. Este sistema es muy interesante para trabajar con las
lneas de los
campos magnticos que son lneas cerradas y concntricas, que como
el caso
de un conductor rectilneo son circunferencias concntricas y de
valor fijo.
Los desplazamientos diferenciales presentes a lo largo de cada
uno de los ejes
coordenados en este sistema de referencia son: dr , r d , dz
Coordenadas Esfricas.
En la figura un punto cualquiera P ser identificado en este
sistema de
referencia mediante las coordenadas, rp , p , p
Los desplazamientos diferenciales a lo largo de los ejes
coordenados son: dr,
r d, r sen d. Este marco de referencia es muy utilizado en
sistemas esfricos de distribuciones de carga elctrica en sistemas
estticos en los
cuales las lneas de campo son lneas abiertas que como en el caso
de una
carga elctrica puntual se consideran que son lneas que salen del
sistema.
Los desplazamientos diferenciales a lo largo de los ejes
coordenados son: dr,
r d, r sen d. Este marco de referencia es muy utilizado en
sistemas esfricos de distribuciones de carga elctrica en sistemas
estticos en los
cuales las lneas de campo son lneas abiertas que como en el caso
de una
carga elctrica puntual se consideran que son lneas que salen del
sistema.
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Leccin 2: Cantidades Vectoriales
En matemticas, en la fsica y en la ingeniera, se manejan varios
tipos diferentes
de cantidades. Ellas son las escalares, las vectoriales y las
tensoriales, aunque
para los estudiosos normales solo son conocidas las dos primeras
clases .
Escalares: son cantidades que quedan definidas por una
magnitud
(un nmero) como ejemplos tenemos masa, tiempo, estatura,
rea,
longitud, energa, rapidez, parmetros en los cuales al preguntar
por
ellos aquedamos satisfechos y comprendemos cuando nos
responden con una cifra definida. Por ejemplo: cul es tu
estatura?... la respuesta puede ser 1.78 m, pero nunca
preguntamos:
acostado? parado? Es de inters solo el nmero que nos digan.
Vectoriales: son aquellas cantidades que para quedar
debidamente
definidas necesitan una magnitud y una direccin (ngulo).
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Para representar un vector, es costumbre universal utilizar una
flecha, cuya
longitud es proporcional a su magnitud y su orientacin con
respecto al eje X
muestra su direccin.
Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y la misma
direccin. como
ejemplo tenemos:
Un vector en dos dimensiones, algebraicamente se puede
especificar como un
par ordenado . Los elementos del par ordenado se llaman
componentes
rectangulares del vector.
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Leccin 3: Operaciones Vectoriales
La suma de vectores puede lograrse usando el mtodo grfico
(polgono, o
usando reglilla, transportador, papel milimetrado), o el mtodo
analtico (el cual
hace uso de la calculadora cientfica y de las componentes
rectangulares).
Adems de la operacin suma, se definen entre vectores dos
productos
importantes: el escalar (producto escalar) y el vectorial
(producto cruz).
PRODUCTO PUNTO ( a . b )
Se define como el producto de sus mdulos (magnitudes)
multiplicado por el
coseno del ngulo que forman. Note que es siempre menor o igual
que 180. l resultado es siempre un nmero que puede ser positivo,
negativo o nulo. Se
representa por un punto, y se define de la siguiente manera:
En coordenadas cartesianas y sabidas las componentes
rectangulares de cada
vector en bases ortonormales (ortogonal y unitaria), lo cual se
traduce en vectores
de magnitud igual a la unidad y que forman ngulos rectos entre
s):
PRODUCTO CRUZ ( a X b)
El producto vectorial de los vectores a y b (a b) es un vector
cuya
magnitud est dada por |a||b| sen , en donde |a| y |b| son las
magnitudes
de los vectores a y b y es el ngulo entre ellos. La direccin del
vector resultante apunta en la direccin en la que un tornillo de
rosca
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derecha penetrara perpendicularmente al pasar del vector a al
vector b. El vector resultante es un vector que es perpendicular a
cada uno de los
vectores que lo generaron: (a x b) . a = (a x b) . b = 0
Ejemplos:
A) Sean los vectores:
y
El producto vectorial entre a y b se calcula como:
Expandiendo el determinante:
Por lo tanto:
Si (a x b) . a = (1, -5, -2) . (2, 0, 1) = (1) (2) + (-5) (0) +
(-2) (1) = 0, lo cual
garantiza, que como estaba predicho, estos dos vectores eran
perpendiculares.
H a l l a r e l p r o d u c t o p u n t o ( a . b ) d e l o s v
e c t o r e s a y b c u y a s c o o r d e n a d a s r e c t a n g u
l a r e s s o n ( 1 , 1 / 2 , 3 ) y ( 4 , 4 , 1 ) .
a . b = ( 1 , 1 / 2 , 3 ) ( 4 , 4 , - 2 ) = 1 4 + ( 1 / 2 ) 4 +
3 ( - 2)
= 4 + 2 + - 6 = 0 ( s o n p e r p e n d i c u l a r es )
Leccin 4: Operadores especiales Las cantidades vectoriales son
bsicas en este curso. Las funciones escal ares y
las funciones vectoriales siempre estn asociadas con el
comportamiento de los
campos elctricos y algunas descripciones o parmetros
asociados.
Los operadores que son de inters en el estudio de los campos
electromagnticos
son: el gradiente (operador fundamental), el cual combinado con
el producto punto
o con el producto cruz y bien comprendida la naturaleza de una
cantidad fsica
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debemos saber su naturaleza escalar o vectorial para poder
contribuir con su
estudio. Los operadores derivados de las distintas mezclas entre
gradiente y los
productos escalar y vectorial, generan los dems operadores:
divergencia,
rotacional, laplaciano, y es el tema de inters en este captulo
que ha disfrutado de
la presencia de la esencia matemtica y fsica de cada n
avegante.
Estos operadores mgicos y especiales, fundamento y soporte de la
teora
electromagntica, se estructuran en el manejo de las derivadas
direccionales (si
tienes dudas sobre su manejo o hace rato no los estudias por
favor busca un libro
de clculo avanzado y trabaja algunos ejercicios) y van a ser
definidos:
GRADIENTE
Es el operador fundamental. Este operador especial se le aplica
a funciones
escalares y genera como resultado una funcin vectorial. Se
representa el
gradiente de la funcin escalar "V", de la siguiente forma V (se
lee nabla).
El operador gradiente muestra en un punto, la direccin y la
magnitud de cambio
de una funcin escalar V. Observar que todas las derivadas
implicadas en estos conceptos son derivadas acostadas es decir
derivadas direccionales:
Las expresiones matemticas del operador gradiente en cada uno de
los sistemas coordenadas se muestran a continuacin y se sugiere
guardarlos en
tablas apropiadas para su debida utilizacin:
En coordenadas rectangulares se tiene que:
En coordenadas Cilndricas se tiene que:
En coordenadas Esfricas se tiene que:
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DIVERGENCIA ( . A)
Es un operador especial que se le aplica a funciones vectoriales
(A) para generar funciones escalares. Se interpreta como una funcin
que nos indica en un punto determinado la presencia de fuentes o de
sumideros (desagues).
Por ejemplo: la fuente de los campos elctricos son las cargas
elctricas, por lo
tanto en ciertos puntos .E (la divergencia del campo elctrico es
diferente de
cero, porque existe una fuente (cargas elctricas) que lo
genera)
Para la funcin vectorial E el concepto matemtico, que es
prcticamente, un producto escalar entre dos funciones vectoriales
se trabaja de la manera siguiente:
. E= ( i ) . (E1 i + E2 j + E3 k)
En coordenadas rectangulares se resume a::
En coordenadas cilndricas se tiene que: En coordenadas esfricas
se tiene que:
Asociado con este interesante operador se tiene el conocido t
eorema de la divergencia o teorema de Gauss o teorema del flujo, el
cual permite convertir una integral de superficie en una integral
de volumen para una regin. Su inters
se presenta en los campos electrostticos o en la mecnica de los
fluidos, donde
en forma natural se presentan los conceptos de fuentes o de
sumideros. Este teorema se describe matemticamente de la manera
siguiente:
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ROTACIONAL ( x E)
Es otro operador especial que se le aplica a funciones
vectoriales y genera
otra funcin vectorial. Es operador est asociado al concepto de
giro
bien sea en un fluido o bien sea en un campo. Mentalmente se
puede
asociar a una rueda colocada dentro de un fluido y el anlisis se
dara
pensando en los lugares donde ella pueda girar como consecuencia
del
desplazamiento del fluido. Su expresin en cada uno de los
sistemas de
referencia es:
En coordenadas Rectangulares se tiene:
En coordenadas Cilndricas se tiene:
En coordenadas Esfricas se tiene:
LAPLACIANO (2
V)
Es un operador especial de enorme inters en los cursos avanzados
de
matemticas especiales por su relacin estrecha con los armnicos.
Toda funcin cuyo laplaciano sea nulo se denomina armnica y ella es
la ecuacin
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diferencial ms conocida (cumple el papel del famoso teorema de
Pitgoras en
los cursos bsicos de matemticas). Este operador, se indica y se
define como:
En coordenadas Rectangulares se tiene que:
En coordenadas Cilndricas se tiene que:
En coordenadas Esfricas se tiene que:
La bella ecuacin de Laplace es entonces: 2
V = 0, y a las funciones V que la
satisfacen plenamente se les denomina funciones armnicas. Buscar
algunas
Ejemplo: la funcin V = 3 X
2 + 2 Y
2 - 5 Z
2, cumple la ecuacin de Laplace
porque: 2
(3 X2) / X
2 = 6,
2 (2 Y
2) / Y
2 = 4,
2 (- 5 Z
2) / Z
2 = -10
Y entonces: 2
(V) / X2
+2
(V) / X2
+ 2
(V) / X2
= 6 + 4 10 = 0
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Leccin 5: El vector posicin (R) y el lgebra de operadores
En coordenadas cartesianas el vector posicin (R) se define
como:
R = X i + Y j + Z k, cuya magnitud, una cantidad escalar, es
simplemente:
R = (X2
+ Y2
+ Z2) = (X
2 + Y
2 + Z
2)0.5
UR, es un vector unitario (magnitud uno) en la direccin del
vector R.
Algunas propiedades del vector de posicin R son:
R X R = 0 (vector nulo o vector cero)
R . R = R 2 = R2 (cantidad escalar o simplemente un nmero) . R =
3
X R = 0 (vector nulo o vector cero)
R X UR = 0 (vector nulo o vector cero)
R . UR = R
Si f( R ) es una funcin meramente radial, es decir, depende
slamente del
parmetro R, entonces su gradiente { f ( R ) } se puede
hallar
simplemente encontrando df ( R ) / dR (la derivada de f con
respecto a
R y colocando el vector UR; es decir: f ( R ) = {df ( R ) / dR}
UR
Por ejemplo, si f ( R ) = R
6, entonces su gradiente es la funcin vectorial:
f ( R ) = 6 R5
UR, porque d R6/ dR = 6 R
5. El UR le da el carcter vectorial.
Los operadores mencionados, tal como las funciones
trigonomtricas,
cumplen unas propiedades que conviene tener presentes
permanentemente.
Si A es una funcin vectorial y es una funcin escalar, se cumple
que:
(1 2) = 1 (2) + 2 (1)
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. ( A) = . (A) + A . ()
x ( A) = x (A) - A x ()
X (A x B) = (B .) A (A. ) B + A (.B) B (.A)
. (x A) = 0 (la divergencia del rotacional es cero)
X (F) = 0 (rotacional del gradiente es vector nulo)
x ( X A) = (.A) - 2A
Para socializar el manejo de esta lgebra de operadores favor
analizar con
cuidado y entusiasmo los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1: 1 =X2 y 2 = ln X
5 (ln logaritmo natural) son dos funciones escalares,
encontrar el gradiente de 1 2. Solucin: se sabe del lgebra de
operadores que: (1 2 ) = 12 + 21
(1 2) = { x2 (1/ X
5)(5 X4 ) + (ln X
5 ) 2x } UR
(1 2 ) = (5 x + ln (X5) 2 x) UR
(1 2) = (5X + 10x ln x ) UR
Ejemplo 2: si F = R3
R, es una funcin de carcter vectorial, hallar con la ayuda
del lgebra de los operadores y los conocimientos del clculo: a.
X F
b. . F
Solucin: se sabe que x ( A) = x (A) - A x (), y adems x R =
0
Luego: X F = R3
( x R) R x ( R3) = 0 - R x (3R UR)
pero R X UR =0 por lo tanto: X F = 0
Para resolver la parte b. del ejemplo 2 recordar: . ( A) = . (A)
+ A . ()
. F = . (R3
R) = R3 . R + R . R
3 = 3 R
3 + R . 3 R
2 UR = 3 R
3 + 3 R
3 = 6 R
3
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CAPTULO 2: CAMPO ELCTRICO ESTTICO La fuerza gravitacional es una
fuerza muy estudiada en la naturaleza y su
comportamiento explica con claridad el movimiento planetario, el
peso que
ejerce la tierra sobre nosotros y que no nos permite levantarnos
del piso con
facilidad. Esta fuerza es atractiva, de carcter central y solo
puede notarse
cuando las masas son grandes; es el caso de los planetas
movindose
alrededor del sol, las mareas terrestres causadas por la
influencia de la luna.
La fuerza elctrica es una fuerza significativamente ms poderosa,
que
puede ser atractiva o repulsiva, de carcter central y adems es
una fuerza
conservativa. Es la responsable de los enlaces de la materia,
explica el
movimiento de los electrones en una pantalla de televisin, nos
ayuda a
comprender el fenmeno del galvanizado, justifica la esttica de
las nubes;
es una fuerza especial de la naturaleza que est muy cerca de
nosotros.
Comprender y manejar los campos elctricos estticos, es decir,
aquellos
campos elctricos que no dependen del tiempo, es muy importante
para
justificar y analizar el comportamiento de muchos equipos,
dispositivos o
fenmenos relacionados de la industria con este bello campo del
saber.
Leccin 1: Carga elctrica La carga elctrica es un concepto
fundamental (al nivel de la masa, la longitud y el
tiempo) y que se aplica ante la existencia de fuerzas
susceptibles de ser medidas
experimentalmente. Es una medida de la cantidad de electrizacin
que posee un
cuerpo. La carga tiene dos formas conocidas como son:
Carga positiva (+).
Carga negativa (-).
Estos dos tipos de carga fueron determinados por Benjamn
Franklin (1706 -
1790), quien a travs de sus observaciones sistemticas determin
que cargas
similares se repelen entre s y cargas opuestas se atraen entre
s.
Grficamente esta situacin se puede ilustrar de la siguiente
manera:
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Figura 1
En la figura 1A si se suspende una barra dura de caucho que se
ha frotado con un
pao y se le acerca una barra de cristal que igualmente se ha
frotado con seda,
las dos barras se atraern entre s (el frotamiento permanente de
un cuerpo y en
la misma direccin produce una electrizacin que carga
elctricamente los
cuerpos y recibe el nombre de triboelectricidad). De manera
similar, si se
acercan dos barras de caucho (o dos de cristal) cargadas, como
se muestr a en la
figura 1B, ambas se repelern. Cargas de diferente signo o carga
elctrica,
simplemente se atraen y de igual signo se repelen o se
rechazan.
La carga elctrica en un cuerpo, se puede presentar en su
exterior, en su interior o
dentro de una superficie cerrada, constituyendo una forma
cualitativa de exceso
de electricidad respecto a la presente en otro cuerpo o
superficie.
La electricidad es una de las siete cantidades fundamentales,
las que han sido
adoptadas por la General Conference on Weights and Measures
(Junta General
de Pesas y Medidas) y son aquellas cantidades que no se derivan
de ninguna
otra. Las unidades de estas cantidades fundamentales son las
creadas por el
Sistema Internacional (SI), se basan en el sistema M.K.S.A
(metro-kilogramo-
segundo-amperio) y han sido adoptadas por las entidades
normativas a nivel
mundial, entre las que se pueden mencionar la IEC, el ANSI y el
IEEE.
La unidad correspondiente a la cuantificacin de la carga
elctrica es el Coulomb io
(C), el cual es una unidad derivada en el Sistema Internacional,
es decir, que se
expresa en trminos de las llamadas y aceptadas cantidades
fundamentales.
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Un coulombio equivale aproximadamente a 6 x 1018 electrones,
mientras que la
carga de un electrn es: 1 e-
= -1,6019 x 10-19
C. La carga elctrica de un protn
es positiva y tiene el mismo valor absoluto de la carga elctrica
del electrn. Debe
conocerse adems que los neutrones no poseen carga elctrica. En
el mundo de las partculas atmicas los protones y los neutrones
son
prcticamente igual de pesados y cada una de sus masas con casi
dos mil veces
la del electrn, el cual es una partcula sumamente ligera con
respecto a ellos. En
los pesos atmicos se consideran los protones y los neutrones
(muy pesados).
Leccin 2: Clases de Materiales elctricos Los materiales por sus
propiedades fsicas tienen una capacidad para conducir las
cargas elctricas. Los electrones de la ltima capa atmica de un
elemento
determinan su capacidad de conducir bien sea la electricidad o
bien sea el calor;
por ejemplo, el cobre, que es un metal muy conocido, es muy buen
conductor del
calor y por lo tanto de la electricidad. En la naturaleza se
pueden encontrar o
generar cuatro tipos especiales de materiales segn su capacidad
conductora:
Materiales aislantes: son aquellos en los que una pequea o
despreciable
cantidad de cargas elctricas se pueden mover o fluir. Los
electrones no se
pueden desplazar fcilmente y se utilizan como aislantes del
calor o de la
electricidad. Tambin se les conoc e con el nombre de
dielctricos. Son la
materia prima para los condensadores. Son muy conocidos y usados
el tefln,
el neopreno, la mica, algunas cermicas, la madera seca.
Materiales conductores: son los que permiten el paso de cargas
elctricas
con absoluta facilidad. Tienes electrones libres fciles de
desplazar, lo cual
favorece el desplazamiento del calor o de la electricidad por su
interior. Son
buenos conductores el cobre, la plata, el aluminio.
Semiconductores: es una tercera clase de materiales y cuyas
propiedades
son intermedias entre los aislantes y los conductores, por lo
que se denominan
de esta manera. Estos materiales permiten el paso de cargas
elctricas en
unas condiciones, mientras que en otras condiciones, el mismo
material se
comporta como un aislante. La magia del silicio (del grupo IV A
de la tabla
peridica) elemento que tiene 4 electrones de valencia, o sea
favorece cuatro
enlaces sencillos, ha motivado grandes investigaciones a su
alrededor y se
puede dopar con ciertas impurezas (elementos del grupo III A o
del V A) y ese
detalle de la fsica del estado slido produce unas sustancias muy
especiales
en cada caso: si se dopa con elementos del III A se van a tener
estructuras con
7 electrones y como la ley del octeto exige ocho elec trones en
el ltimo nivel
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para fortalecer el enlace, se percibe que queda un hueco el cual
se comporta
como un sistema positivo, son las famosas pastillas tipo P. El
otro caso especial se genera cuando se dopa, el silicio por
ejemplo, con elementos del
grupo V A se tienen 9 electrones; se copan los 8 electrones para
la ley del
octeto y sobra uno que hace ms negativo le sistema; de esta
manera se
forman las pastillas tipo N. La gran revolucin moderna se
produce cuando los laboratorios Bell le entregan al mundo un
negrito de tres patas, el transistor. El mundo cambi profundamente
y los aparatos electrnicos se
hicieron compactos, pequeos, con bajo consumo de energa; fue
una
revolucin profunda que permiti socializar muchos dispositivos
que han
facilitado y elevado la calidad de vida de los seres
humanos.
Superconductores: son materiales especiales que a temperaturas
cercanas al
cero absoluto (-273C) no presentan resistencia elctrica. Esta
propiedad
sugiere que esos materiales no gastan energa elctrica y es como
si fuese un
proceso eterno. En los resonadores magnticos, equipos bsicos
para la
R.M.N (resonancia magntica nuclear) se utiliza el helio lquido a
temperaturas
muy bajas como elemento superconductor en los sistemas de
trabajo.
Como ejemplos tpicos de cada una de estas clases de materiales,
se pueden
mencionar los siguientes:
Aislantes Caucho, porcelana, mica, resinas polimricas,
vidrio,
celulosa, nylon, polivinilos, policarbonatos.
Conductores Metales como el cobre, aluminio, oro, plata.
Semiconductores Silicio, germanio.
Superconductores Helio lquido a -269 C
La acumulacin de cargas elctricas en un cuerpo se puede dar por
dos mtodos
bsicos: la induccin y la conduccin. En el primero, un cuerpo
cargado
elctricamente induce acumulacin de cargas de polaridad contraria
en un cuerpo
cercano, sin que haya un contacto entre los dos cuerpos.
Leccin 3: La ley de Coulomb Charles Coulomb (1736 1806) midi las
magnitudes de las fuerzas elctricas
que experimentaban cuerpos cargados elctricamente, mediante un
dispositivo
denominado Balanza de Torsin y que l mismo desarroll. Las
fuerzas que
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actuaban a distancia y que Newton haba inmortalizado en sus
trabajos de
gravitacin universal estimularon los trabajos de Coulomb en la
fuerza elctrica.
Las mediciones de Coulomb permitieron concluir lo siguiente: La
fuerza elctrica entre dos pequeas esferas cargadas es
inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, es
decir:
F 1 r
2
La fuerza elctrica experimentada por dos partculas cargadas es
proporcional
al producto de la magnitud de cargas de las partculas, o
sea:
F q1, q2 La fuerza elctrica es de atraccin si los signos de las
cargas son opuestos
(fig. 5B) o de repulsin si los signos son iguales (fig. 5A), con
lo cual:
Figura 5
A partir de esas conclusiones experimentales, Coulomb expres la
ley que lleva su
apellido, la cual se puede representar con la siguiente
ecuacin:
F = k q1 .q2
r 2
Donde:
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C
F: fuerza elctrica entre las cargas, [N].
q1, q2: magnitudes de las cargas elctricas bajo consideracin,
[C].
r: distancia de separacin entre las cargas, [m].
k: constante de proporcionalidad, [ N .m 2
]. C
2
Las unidades aplicadas son las correspondient es al SI (Sistema
Internacional). La
constante k se deriva de la siguiente expresin:
k = 1
4
La constante se conoce como la permitividad elctrica del medio
y
equivale a = 0 . r donde r es la constante dielctrica del medio
y
adems la constante o se conoce como la permitividad elctrica del
vaco. Representa el efecto que las cargas elctricas tienen en el
espacio libre y tiene el
2
siguiente valor: o = 8,854 x 10-12 N .m
2
N .m 2 Con lo cual para el vaco: k = 9 x 109
C 2
Hay que destacar que la fuerza es una cantidad vectorial, por lo
que tendr una
magnitud y un sentido, y la suma de fuerzas se debe realizar de
forma vectorial. Leccin 4: El campo elctrico esttico Un campo
elctrico esttico no depende del tiempo. La electrosttica es la
parte
del electromagnetismo que analiza, estudia, aplica, el estudio
de las cargas
elctricas en equilibrio. Un campo elctrico es una regin en la
cual una carga
elctrica es capaz de experimentar una fuerza elctrica como
consecuencia de
otras cargas presentes en el lugar. Una carga elctrica altera el
espacio que la
circunda, siendo la intensidad de esa alteracin igual a la
relacin entre la fuerza
elctrica (F) sobre la carga de prueba (qo). La expresin
correspondiente es:
E = F
[ N
]
qo C
-
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o
El campo elctrico es producido por una carga externa a la carga
de prueba, es
decir, no es producido por la carga de prueba. El campo elctrico
es un vector y
tendr la misma direccin de la fuerza (F) considerada. En la
siguiente tabla se presentan algunos valores tpicos de campo
elctrico.
Fuente
E ( N
) C
Tubo de luz fluorescente 10
Atmsfera (buen clima) 100
Atmsfera (con nubes de tormenta) 10.000
Fotocopiadora 100.000
Chispa elctrica en el aire > 3.000.000
Ejemplo. Encontrar la intensidad de campo elctrico a 50cm de una
carga
positiva de 10-4
C.
Figura 8
En este ejemplo la carga externa es la carga de +10 -4
C y la carga de prueba
positiva se ubica a 50 cm de sta (en el punto A).
N .m 2 F = 9 x 109 x
C 2
(10 4
C).(q )
(0,5m) 2
= 3,6 x 106
. qo [N]
E = F
= qo
3,6x106.q N o = 3,6 x 106
qo C
Si se aplica un campo elctrico uniforme a un conjunto de iones
se percibe una
dolarizacin de cargas es decirlas positivas siguen la direccin
del campo y las
negativas se van en la direccin contrarias. Adems usando el
concepto de fuerza:
-
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F ma F q E
a q
E m
Este fenmeno fue aplicado por el creador Faraday para
estructurar y aplicar la
electrlisis (descomposicin de sustancias por medio de la
electricidad) y su
industria se denomina galvanoplastia, como en el caso del
cobrizado, plateado,
dorado, cromado, industrias prsperas y cercanas en todos los
mbitos sociales.
Dado que el campo elctrico tiene una direccin, se pueden
establecer lneas de
campo que permitan visualizar la distribucin del mismo,
determinando los
puntos de concentracin. De manera pictrica ayudan a comprender o
a explicar
significativamente el comportamiento de los campos elctricos
estticos.
Unas reglas bsicas para dibujar las lneas de campo elctrico
son:
Las lneas salen de la carga positiva y llegan o terminan en la
carga negativa.
El nmero de lneas dibujadas saliendo de una carga positiva o
aproximndose a una carga negativa es proporcional a la magnitud de
la carga.
Ningn par de lneas de campo puede cruzarse.
Algunas configuraciones tpicas se ilustran a continuacin:
-
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Figura 9 Analizando con cuidado y detenimiento las lneas de
fuerza mostradas en la figura
9 y recordando la interpretac in del operador rotacional puede
concluirse que
sise colocase un aspa en el interior de ese campo elctrico ella
no rotara, lo cual
sera una evidencia de que su rotacional ( x E) sera el vector
cero o vector nulo.
Esta gran apreciacin permite deducir con magia extrema que:
x E = 0 Para que una expresin matemtica (E) tenga validez en el
reino del
electromagnetismo se requiere que se cumplan dos detalles
importantes:
x E = 0 y que adems que cuando la distancia (R) es muy grande ()
el lmite de
la expresin que define el campo elctrico debe ser cero. Ese
detalle nos muestra
que los campos elctricos son decrecientes, es decir a medida que
nos alejamos
de la fuente que lo genera (carga) su valor va decayendo, va
disminuyendo
-
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Ejemplo. Una carga elctrica puntual genera a su alrededor un
campo elctrico de
la forma: E = q UR / ( 4 R2). Repasando las propiedades del
vector R y el
lgebra de los operadores, se tiene que:
E = {q / (4 R2) } R / R = {q / (4 )} (R
-3 R) y su rotacional ser:
x E = {q / (4 )} x (R
-3 R) = {q / (4 )} { R
-3 x R R x R-3}
x E = {q / (4 )} { R-3
O R x (-3 R-4 UR)} = O De esta manera se ha probado con
propiedad que el rotacional del campo
elctrico es nulo. La segunda propiedad exige que el lmite de esa
expresin
tienda a cero cuando la distancia ( R ) tiende a infinito ( ).
Favor verificarlo.
Leccin 5: Campo elctrico debido a distribuciones continuas de
carga
Hasta el momento se han considerado los efectos de cargas
puntuales . Sin
embargo, se tienen muchos casos de inters en el mundo de la
ciencia o de la
tecnologa, cuando las cargas elctricas se agrupan y se
distribuyen a lo largo de
una lnea, en una superficie o en volumen. Cuando las cargas se
encuentran en
grupo, la distancia de separacin entre ellas es mucho menor, por
lo que se
consideran que estn distribuidas de forma continua.
Para estudiar el campo elctrico producido por una distribucin de
carga continua
se debe seguir con un procedimiento, como el siguiente:
Se establece una densidad de carga, segn corresponda a una
distribucin
lineal, superficial o volumtrica, as:
Densidad de carga lineal: es la carga elctrica distribuida por
unidad de
C longitud (L = dQ / dL= ) y sus unidades de medida son [
m ]. Por ejemplo las
cargas elctricas distribuidas a lo largo de un filamento o de un
hilo.
-
V
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Densidad de carga superficial: es la carga elctrica distribuida
por unidad de
C superficie (S = dQ / dS=) y sus unidades de medida son
m 2
.Por ejemplo las
cargas elctricas distribuidas en una hoja de papel para
fotocopiadora.
Densidad de carga volumtrica: es la carga elctrica distribuida
por unidad de
volumen ( = dQ / dV= ) y sus unidades de medida son [ C
]. Por m 3
ejemplo las cargas elctricas distribuidas en una esfera slida y
conductora.
La intensidad de campo elctric o debido a cada una de las
distribuciones de
carga , , , puede considerarse como la sumatoria de las
contribuciones al
campo que realizan todas las cargas puntuales que componen esa
distribucin
de carga y se puede obtener la carga total como una integr al
definida con los
lmites apropiados segn la distribucin de carga elctrica
considerada.
Ejemplo 1. Cunta carga elctrica est contenida en una distribucin
de la cual
se tienen 1.8 metros y se tiene una densidad uniforme con = 12
mC / m?
Como = dQ / dL, entonces dQ = dL, y as:
Q = dL = dL = L = 12 mC / m * 1.8 m = 21.6 mC
Ejemplo 2. Cunta carga elctrica est contenida en una distribucin
cuadrada
de lado 0.5 metros y se tiene una densidad uniforme con = 12 mC
/ m2?
Como = dQ / dS, entonces dQ = dS, y as:
Q = dS = dS = S = 12 mC / m2 * (0.5m)2 = 3 mC
Ejemplo 3. Cunta carga elctrica est contenida en una distribucin
esfrica de
radio 3 metros y se tiene una densidad uniforme con = 12 mC /
m3?
Como = dQ / dV, entonces dQ = dV, y as:
Q = dV = dV = V = 12 mC / m3 * 4 (3m)3 / 3 = 432 mC
Ejemplo 4. Cunta carga elctrica est contenida en un cascarn
esfrico de
radio 3 metros y se tiene una densidad uniforme con = 12 mC /
m2?
Este caso es muy interesante tanto tcnica como acadmicamente. Si
es un cascarn la carga elctrica est distribuida obviamente solo en
la parte externa y adentro no hay carga (est vaca); por esa razn la
carga interna es nula pero mirando desde afuera del elemento se
percibe una carga elctrica superficial y
total de: Q = dS = dS = S = 12 mC / m2
* (3 m)2
= 108 mC
-
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CAPTULO 3: FLUJO ELCTRICO Y POTENCIAL ELCTRICO
Leccin 1: FLUJO ELCTRICO Considerando un campo elctrico uniforme
tant o en magnitud como en direccin,
las lneas de campo penetrarn una superficie rectangular de rea
S, la cual es
perpendicular al campo. El nmero total de lneas que penetra la
superficie es
proporcional al producto entre S y E, lo cual constituye el
flujo elctrico, as:
E = E . S [ N .m 2
] C
Figura 10 En otras palabras, el flujo elctrico es proporcional
al nmero de lneas de campo
elctrico que penetran una superficie. Por lo general, la
evaluacin del flujo se
realiza a travs de una superficie cerrada, la que se define como
aquella que
divide el espacio en una regin interior y en otra exterior, de
manera que no se
puede mover de una regin a la otra sin cruzar la superficie. El
ejemplo ms tpico
de una superficie cerrada es una esfera. El concepto de flujo en
general es un
concepto matemtico, que a su vez tiene profunda interpretacin
fsica, y el cual
es una integral definida a travs de una superficie S:
E = E . dS Asociado con el concepto de flujo est el teorema o
ley de Gauss, el cual puede
ser trabajado a travs del teorema de la divergencia (lgebra de
operadores).
Asociado al campo elctrico se encuentra el vector desplazamiento
elctrico (D),
el cual en ausencia de polarizacin elctrica se define como: D =
E y es paralelo,
en este caso especial, al vector campo elctrico ( E ).
-
N
9
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Leccin 2: LA LEY DE GAUSS Kart Friedrich Gauss (1777 1855)
estableci una relacin general entre el flujo
elctrico neto a travs de una superficie cerrada y la carga
elctrica encerrada por
esa superficie. Esta relacin se conoce como la Ley de Gauss y
establece que:
E = E.dS = E ds
Para una carga elctrica puntual, todos los puntos ubicados sobre
una misma
superficie (tienen igual radio) tienen el mismo valor de
intensidad de campo
elctrico, por lo tanto el flujo de campo elctrico desarrollado a
travs de esa
integral genera:
E = E.dS = E dS E = q / (4 R2) UR . dS = q / , en la cual se
recuerda que la superficie de una esfera de radio R es: 4 R2.
Este resultado se
ha generalizado a mltiples distribuciones de carga elctrica y se
ha encontrado
que: el flujo de campo elctrico a travs de una superficie
cerrada equival e a la
carga elctrica encerrada por la superficie dividida por la
permisi vidad elctrica
del medio (); es decir:
q E =
o
La Ley de Gauss es una formulacin alterna a la Ley de Coulomb,
con la cual se
puede hallar el campo elctrico en el caso de distribuciones
simtricas de carga
como la de carga puntual, carga lineal, carga superficial
cilndrica o esfrica.
Ejemplo. Cul es el flujo elctrico a travs de una superficie
esfrica que tiene
un radio de 1,0 m y porta una carga elctrica de +1C en su
centro?
Solucin 1: mediante la Ley de Coulomb, se tiene:
E = k . q
= (9 x 10 r
2
N .m 2 ) x
C 2
1x10 6
C
(1m) 2
= 9 x 103 N
C
El campo apunta radialmente hacia fuera, y por tanto, es
perpendicular en todo
punto a la superficie de la esfera. El rea de la superficie de
la esfera es:
S = 4 R2
= 12,6 m2
El flujo a travs de la superficie esfrica es:
E = E . S = (9 x 103 ) x (12,6 m2)
C
-
2
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N .m 2 E = 1,13 x 10
5
C
Solucin 2: mediante la Ley de Gauss, se tiene que:
E = q
= o
1x10 6
C
8,854x10 12 C
N .m 2 = 1,13x105
C
N .m 2 Leccin 3: APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS Antes de
aplicar la Ley de Gauss para el clculo del campo el ctrico se
debe
identificar la existencia de simetra. Una vez identificada la
distribucin simtrica
de carga, se determina una superficie cerrada (superficie
gaussiana). Las
siguientes son las aplicaciones sobre las que se puede aplicar
la Ley de Gauss:
Carga de lnea infinita: asmase una lnea infinita de carga
uniforme [ C
] m
se ubica a lo largo del eje z en el espacio. Para determinar el
campo elctrico
en un punto P, se elige una superficie cilndrica de radio R y de
altura arbitraria L que contenga a P para satisfacer la condicin de
simetra:
Figura 13
-
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La Ley de Gauss restringida a una longitud determinada L de la
lnea es:
E . dA = E . 2R.L = L /
En la cual 2R.L es el rea de la superficie gaussiana
(correspondiente a un cilindro de radio R y de altura L), con lo
cual el campo elctrico ( E ) es:
E = L / (2R.L ) = / (2 R )
Campo elctrico en una placa conductora. considerar una placa
conductora
inmersa en un campo elctrico externo E, de acuerdo con la
siguiente grfica:
Figura 11 Las cargas inducidas en las caras de la placa, por
efecto del campo externo E,
producen un campo que se opone a ese campo externo, de tal forma
que el
efecto neto sobre las cargas de la placa es nulo. En tal
sentido, el campo en el
interior de la placa es cero. La aplicacin de la Ley de Gauss
fuera de esta
superficie se expresa como:
q E = E.dA = E.A = =
o
.A
o = E . A de donde: E =
o
Leccin 4: POTENCIAL ELCTRICO El concepto de potencial se asocia
con el de fuerza conservativa, como la fuerza
gravitacional o la fuerza elstica. Dado que la fuerza
electrosttica, estudiada bajo
el concepto de la Ley de Coulomb es conservativa, los fenmenos
electrostticos
pueden describirse en trminos de energa potencial elctrica.
Esta idea, permite definir una cantidad escalar denominada
Potencial Elctrico,
el cual se determina en cualquier punto dentro de un Campo
Elctrico. Tambin es
vlido usar el trmino voltaje el cual se mide en voltios en honor
al genio de
Volta, creador de la primera pila elctrica, presentada en el ao
de 1800.
-
o
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Cuando una carga de prueba qo se encuentra dentro de un Campo
Elctrico E
creado por un algn otro cuerpo cargado, la fuerza elctrica que
acta sobre esa
carga de prueba es: F = qo . E
Esta fuerza es de tipo conservativo. Ahora, si la carga se mueve
dentro de ese
Campo Elctrico por efecto de un agente externo, el trabajo
realizado por el
Campo Elctrico sobre la carga es igual al negativo del trabajo
hecho por el
agente externo que produce el movimiento de la carga. La energa
empleada en
la realizacin de este trabajo, equivale al producto de la fuerza
por la distancia
recorrida (d), con lo cual: F . d = qo . E . d
Para un desplazamiento determinado entre dos puntos, A y B, el
cambio en la
energa potencial del sistema se puede expresar como:
Ep = UA-B = qo . E. d U A B
= E . d qo
Al igual a lo que sucede en la determinacin de la energa
potencial gravitatoria, el
cambio en la condicin de energa no depende de la trayectoria
seguida, sino de la
diferencia de potencial entre los dos puntos considerados.
La energa potencial por unidad de carga, U
es independiente del valor de q y q o
tiene un valor nico en cada punto en un campo elctrico. La
cantidad
U recibe
q o
el nombre de Potencial Elctrico (o simplemente Potencial) V, por
tanto, el
Potencial Elctrico en cualquier punto en un campo elctrico
es:
V = U qo
La diferencia de potencial V = VB BA entre los puntos A y B, en
un campo
elctrico, se define como el cambio en la energa potencial del
sistema, con lo
cual: V = U qo
= E . d (Voltio = Joule / coulombio)
Observar que de acuerdo con la expresin anterior, al expresar el
Campo Elctrico
V E en funcin de la Diferencia de Potencial, el campo queda con
unidades de [ ].
m
-
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Leccin 5: RELACIN ENTRE CAMPO ELCTRICO Y POTENCIAL En los
laboratorios, en las placas de los televisores, de los
osciloscopios, los
campos elctricos reales, se registran o se controlan por la
manipulacin de la
distancia entre dos placas deflectoras y el voltaje o potencial
entre ellas. En efecto
V la experiencia registra que: E =
d
(voltios / metro)
La magnitud del Campo Elctrico en cualquier direccin es igual al
cambio del
potencial elctrico en dicha direccin. El voltaje no cambia para
cualquier
desplazamiento perpendicular al Campo Elctrico, por lo que las
superficies
equipotenciales se determinan perpendicularmente al Campo
Elctrico. Ejemplos
se superficies equipotenciales se presentan en la siguiente
figura:
Figura 16
Debido a que el rotacional del campo elctrico esttico es nulo y
que adems,
segn el lgebra de operadores, el rotacional del gradiente es
nulo, y
considerando las relaciones y experiencias en los laboratorios
se ha logrado
encontrar y evidenciar que: el campo elctrico equivale a menos
el gradiente del
voltaje: E = - V
Esta relacin determina que si se conoce la forma del voltaje
(cantidad escalar), se
puede encontrar la forma del campo elctrico (cantidad
vectorial).
Para una carga puntual se tiene que:
E q
4 R2
R
V
V (R) v
R
R
q Por tanto: 4 R
-
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El voltaje es entonces una funcin escalar y a diferencia del
campo elctrico es
medible en un laboratorio. El voltaje debido a varias cargas en
un punto definido
puede ser positivo negativo o cero.
Los campos electrostticos no son capaces de mantener una
corriente elctrica
entre dos puntos. En efecto usando el teorema del rotacional se
tiene que:
V E.dl xE.ds 0
s
Los campos elctricos estticos pueden generar chispas los cuales
pueden
producir incendios y se recomienda a empresas que trabajen con
algodn, teres,
disolventes o espumas, eliminarlos significativamente. En el
sector productivo la
esttica ha sido muy bien estudiada y se han ideado experiencias
para eliminarla.
Leccin 6: APLICACIONES DE LA ELECTROSTTICA La electrosttica est
presente en dispositivos de uso corriente, entre los cuales se
pueden mencionar los siguientes:
Filtros electrostticos: son dispositivos que eliminan las
partculas
materiales de los gases de combustin, reduciendo la
contaminacin
atmosfrica producida por las industrias que generan humos. Los
sistemas
actuales pueden eliminar el 99% de las emisiones de
partculas.
La siguiente figura muestra un esquema de un filtro
electrosttico:
-
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Figura 17
Se mantiene una alta diferencia de potencial, entre 40 y 100kV,
entre el
alambre que se ubica en el centro del dispositivo y las paredes
del mismo,
estando el primero conectado a tierra. El alambre est a un
potencial negativo
respecto de las paredes, con lo cual, el Campo Elctrico est
dirigido hacia el
alambre. El Campo Elctrico en el alambre es tan intenso que
produce
descargas elctricas alrededor del mismo, las cuales ionizan el
aire. El humo a
ser tratado se introduce en el ducto del dispositivo y se mueve
cerca del
alambre, al entrar en contacto con los iones de aire se producir
una ionizacin
de las partculas del humo, y dado que la mayora de esas
partculas quedan
con carga negativa, se desplazarn hasta las pared es del
dispositivo
permitiendo ser retiradas por precipitacin mediante vibracin del
ducto.
Impresoras lser: el proceso de impresin con ayuda del rayo lser
se basa
en el proceso de xerografa en el cual primero se recubre la
superficie de una
placa o un tambor con una pelcula delgada de material
fotoconductor
(generalmente selenio) y se le proporciona una carga
electrosttica positiva
bajo un ambiente oscuro. La imagen de lo que se va a imprimir o
a copiar se
proyecta con el rayo lser sobre la superficie cargada, la
superficie
fotoconductora se vuelve conductora slo en aquellas reas donde
incide la
luz. En estas reas la luz produce conduccin de cargas en el
fotoconductor,
lo cual mueve la carga positiva del tambor, pero se presenta
permanencia de
-
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algunas cargas positivas en aquellas zonas donde no incide la
luz. El polvo del
toner con carga negativa se esparce sobre la superficie
fotoconductora, el
polvo cargado se adhiere slo en aquellas zonas con carga
positiva, pasando
al papel que se encuentra cargado positivamente.
En la figura siguiente se presentan los pasos mencionados en el
proceso de
impresin.
Figura 18
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ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIN DE LA UNIDAD
1. Un electrn y un protn ubicados en el vacio estn separados una
distancia de 1.5 metros. Evaluar: A. La fuerza gravitacional que
los atrae
B. La fuerza elctrica que se presenta entre ellos
C. La relacin existente entre esas dos fuerzas
2. Un protn y un neutrn ubicados en el vacio estn separados una
distancia de 1.5 metros. Evaluar:
A. La fuerza gravitacional que los atrae
B. La fuerza elctrica que se presenta entre ellos
C. La relacin existente entre esas dos fuerzas
3. El campo elctrico generado por una carga elctrica puntual es
descrito por la expresin:
. Demostrar que esa relacin satisface las dos condiciones
necesarias para que una
expresin matemtica sea reconocida como vlida para representar un
campo elctrico ( )
4. Se piensa que el campo elctrico generado por cierta
distribucin de carga elctrica est dada
por la expresin: (K es una constante). Desde el puno de vista de
la teora
electromagntica analizar profundamente la validez matemtica que
encierra esa interesante y
sencilla relacin.
5. Para la carga central de la distribucin puntual de cargas
elctricas presentada (en forma de cuadrado) y
donde las cargas uno y cuatro son negativas mientras que la dos
y la tres son positivas, hallar:
a. La fuerza total
b. El campo elctrico
c. El potencial (V)
d. La energa potencial (Ep)
Coulombios
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(Constante dielctrica)
Observar que cada diagonal forma un ngulo de 45 o con la lnea
horizontal o con la vertical. En la figura derecha est el diagrama
de fuerzas correspondiente a esa distribucin de cargas elctricas;
si
analizas la simetra se percibe que las componentes verticales de
las fuerzas se anulan y solo quedan las
componentes horizontales de las fuerzas y todo debido a que la
magnitud de las fuerzas es la misma.
6. El potencial elctrico generado por cierta distribucin de
carga elctrica est dado por la relacin
matemtica: . Encontrar el campo elctrico asociado con esa
distribucin y mostrar que la expresin
propuesta satisface plenamente las dos condiciones especiales
para consolidar su validez.
7. Se aplica una diferencia de potencial (d.d.p) de 1000 Voltios
entre dos placas paralelas separadas 20 centmetros. Qu intensa
aceleracin podr experimentar un electrn en esa regin? y un
protn?
8. Analizar cules de las tres funciones dadas son armnicas
(aquellas cuyo Laplaciano es nulo).
A. B.
D.
9. Sea P una funcin vectorial definida como
A. B.
10. Sea una funcin escalar definida como: . Con alegra:
A. encontrar el gradiente de () y hacerlo igual a la funcin
vectorial M
B. hallar con emocin extrema la divergencia de la funcin M ( .
M)
11. En la carga elctrica 4 de la siguiente distribucin puntual
de cargas hallar:
a.
b.
c. V (potencial)
d. Ep (energa potencial)
La base del rectngulo es de 60 cms y la altura 30 cms.