Giáo trình Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học toán Tác giả: Trịnh Thanh Hải (chủ biên) Nguồn gốc: Trường Đại học Sư phạm - Đại học

8/13/2019 Giáo trình Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học toán Tác giả: Trịnh Thanh Hải (chủ biên) Nguồn gốc: Trườ…

http://slidepdf.com/reader/full/giao-trinh-ung-dung-cong-nghe-thong-tin-trong-day-hoc-toan-tac 1/189

http://www.ebook.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUÊN

TR ƯỜ NG ĐẠI HỌC SỰ PHẠMKHOA TOÁN

Tr ịnh Thanh Hải(Chủ biên)

GIÁO TRÌNH

Ứ NG DỤNG CÔNG NGHỆ THÔNG TINTRONG DẠY HỌC TOÁN

Thái Nguyên 6/2004




Ứ ng dụng Công nghệ thông tin trong dạy học toán

Lờ i cảm ơ n

Để hoàn thành t ậ p giáo trình này, chúng tôi xin trân tr ọng bày t ỏ lòng bi ế t ơ n t ớ icác c ộng sự thuộc khoa Toán tr ườ ng Đ HSP- Đ HTN đ ã tr ự c tiế p biên so ạn, góp ý và

sử a chữ a nội dung c ủa giáo trình.

Chúng tôi xin trân tr ọng cảm ơ n các em sinh viên khoa toán các khoá K34, K35trong n ăm học 2002-2003 và 2003-2004 đ ã thử nghiệm học t ậ p và góp ý cho nh ữ ngbản thảo của bộ giáo trình này trong ch ươ ng trình h ọc phần “Tin học ứ ng d ụng” dànhcho sinh viên toán, tin.

Chúng tôi xin trân tr ọng cảm ơ n Ban giám hi ệu, Phòng Đào t ạo NCKH-QHQTtr ườ ng Đ HSP- Đ HTN đ ã t ạo đ iề u kiện để chúng tôi có d ị p giớ i thiệu và h ướ ng d ẫ n hơ n300 cán b ộ giáo viên b ộ môn toán c ủa 6 t ỉ nh. Hà Giang, Sơ n La, Bắc K ạn, Lạng Sơ n ,Cao B ằ ng và Thái Nguyên làm quen và th ự c hành theo m ột số nội dung c ủa giáo trìnhnày.

Chúng tôi xin trân tr ọng cảm ơ n các tr ườ ng THPT L ươ ng Ng ọc Quyế n- TP Thái Nguyên, THPT ĐẠ I T Ừ , THCS Th ị tr ấ n Đại T ừ - huyện Đại T ừ , tr ườ ng THPT Thái Nguyên thu ộc Đ HSP Thái Nguyên đ ã t ạo đ iề u kiện cho chúng tôi th ử nghi ệm sư phạm.

Xin trân tr ọng cảm ơ n.





Lờ i NóiĐầu

Hiện nay chúng tađang chứng kiến sự phát triển như vũ bão của công nghệ thông tin và truyền thông (ICT). Vớ i sự ra đờ i của Intemetđã thực sự mở ra một k ỷ nguyênứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong mọi l ĩ nh vực của đờ i sốngxã hội, kinh tế,... Trong khung cảnh đó đào tạo và giáo dục đượ c coi là “mảnh đất mầumỡ ” để cho cácứng dụng của ICT phát triển, điều đó sẽ tạo ra những thayđổi sâu sắctrong công nghệ đào tạo và giáo dục. Những công nghệ tiên tiến như đa phươ ng tiện,truyền thông băng r ộng, CD - ROM, DVD và Intemet sẽ mangđến những biến đổi cótính cách mạng trên quy mô toàn cầu trong l ĩ nh vực đào tạo, giáo dục dođó sẽ dẫn đếnnhững thayđổi trong phươ ng pháp dạy học.

Việc ứng dụng công nghệ thông tin trong ngành giáo dục đã đượ c Đảng, Nhànướ c và Bộ Giáo dục vàĐào tạo đặc biệt quan tâm,đơ n cử:

+ Chỉ thị số 58 của Bộ Chính tr ị, ký ngày 17/10/2000, về đẩy mạnhứng dụng và phát triển công nghệ thông tin phục vụ sự nghiệ p công nghiệ p hoá, hiện đại hoá nêurõ: " Đẩ y mạnh ứ ng d ụng công ngh ệ thông tin trong công tác giáo d ục và đ ào t ạo ở cáccấ p học, bậc học, ngành h ọc. Phát tri ể n các hình th ứ c đ ào t ạo t ừ xa ph ục vụ cho nhucầu học t ậ p của toàn xã h ội. Đặc biệt t ậ p trung phát tri ể n mạng máy tính ph ục vụ chogiáo dục vàđào tạo, k ết nối Intemet tớ i tất cả các cơ sở giáo dục vàđào tạo".

+Quyết định của thủ tướ ng Chính phủ Số: 47/2001/QĐ-TTg phê duyệt "Quyhoạch mạng lướ i tr ườ ng đại học,cao đẳng giaiđoạn 2001 - 2010" Hà Nội, ngày 04tháng 4 năm 2001 chỉ rõ: "T ăng cườ ng n ăng l ự c và nâng cao ch ấ t l ượ ng ho ạt động thư viện; hình thành h ệ thố ng thư viện đ iện t ử k ế t nố i giữ a các tr ườ ng t ừ ng bướ c k ế t nố i và hệ thố ng thư viện của các tr ườ ng đại học, thư viện quố c gia c ủa các n ướ c trong khuvự c và trên th ế giớ i. M ở cổ ng k ế t nôi Intemet tr ự c tuyế n cho h ệ thố ng giáo d ụi đạihọc".

+Chỉ thị số 29 của Bộ tr ưở ng Bộ Giáo dục vàĐào tạo ký ngày 30/7/2001 về việctăng cườ ng giảng dạy, đào tạo vàứng dụng công nghệ thông tin trong ngành giáo dụcgiai đoạn 2001-2005 nêu rõ:" Đố i vớ i giáo d ục và đ ào t ạo, công ngh ệ thông tin có tácđộng mạnh mẽ , làm thay đổ i nội dung, ph ươ ng pháp. ph ươ ng thứ c d ạ y và học. CNTTlà ph ươ ng tiện để tiên t ớ i một “ xã h ội học t ậ p”. M ặt khác giáo d ục và đ ào t ạo đ óngvai trò quan tr ọng bậc nhấ t thúc đẩ y sự phát tri ể n của CNTT thông qua vi ệc cung c ấ pnguồn nhân làm cho CNTT”

+Chỉ thị số 40/CT-TW của Ban chấ p hành TWĐảng ra ngày 15/6/2004 về việcxây dựng, nâng cao chất lượ ng đội ngũ nhà giáo và cán bộ quản lý giáo dục đã nêu rõ:





"Tích c ự c áp d ụng một cách sáng t ạo các ph ươ ng pháp tiên ti ế n, hiện đại, ứ ng d ụngcông ngh ệ thông tin vào ho ạt động d ạ y và học."

Môn toán là một bộ môn vốn d ĩ có mỗi liên hệ mật thiết vớ i tin học. Toán họcchứa đựng nhiều yếu tố để phục vụ nhiệm vụ giáo dục tin học, ngượ c lại tin học sẽ làmột công cụ đắc lực cho quá trình dạy học toán.

Vớ i sự hỗ tr ợ của MTĐT đặc biệt là của Intemet và các phần mềm dạy học quátrình dạy học toán sẽ có những nét mớ i chẳng hạn:

Giáo viên không còn là kho kiến thức duy nhất. Giáo viên phải thêm một chứcnăng là tư vấn cho học sinh khai thác một cách tối ưu các nguồn tài nguyên tri thứctrên mạng và các CD-ROM.

- Tiến trình lên lớ p không còn máy móc theo sách giáo khoa hay như nội dungcác bài giảng truyền thống mà có thể tiến hành theo phươ ng thức linh hoạt. Phát triểncao các hình thức tươ ng tác giao tiế p: học sinh - giáo viên, học sinh - học sinh, họcsinh - máy tính,... trongđó chú tr ọng đến quá trình tìm lờ i giải, khuyến kích học sinhtraođổi, tranh luận,... từ đó phát triển các năng lực tư duyở học sinh.

Như vậy vớ i mục tiêu nâng cao chất lượ ng đào tạo, đổi mớ i phươ ng pháp giảngdạy thì một trong các biện pháp khả thi là biết k ết hợ p các phươ ng pháp dạy họctruyền thống và không truyền thống trongđó có sự dựng CNTT như một yếu tố khôngthể tách r ờ i.

Vớ i mục tiêu khiêm tốn là cung cấ p những thông tin banđầu để bạn đọc có thể khai thác các phần mềm toán học vào công việc giảng dạy, học tậ p của llluul chúng tôi

mạnh dạn biên soạn bộ tài liệu:Ứ ng d ụng Công ngh ệ thông tin trong d ạ y học toán. giáo trình gồm:

V ớ i nội dung chính " H ướ ng d ẫ n sử d ụng và khai thác m ột số phần mề m phổ biế ntrong d ạ y học toán "

Đây là một công việc mớ i mẻ và "quá tải" đối vớ i chúng tôi nên không thể tránhđượ c sai sót. R ất mongđượ c sự tha thứ và đóng góp ý kiến của bạn đọc, đặc biệt là cácThầy, Cô giáo và các em học sinh, sinh viên -đây sẽ là nguồn tư liệu quý giáđể chúngtôi hoàn thiện tài liệu này.

Chúng tôi xin trân trọng cảm ơ n.Địa chỉ liên lạc: Trình Thanh Hải - Khoa Toán - Tr ườ ng ĐHSP Thái Nguyên;

E- mau: [email protected].




Giáo trình: Sử dụng Công nghệ thông tin trong dạy học toán

Mục lục

Chươ ng 1: DẠY HỌC TOÁN VỚI SỰ HỖ TR Ợ CỦA CÔNG NGHỆ THÔNG TINVÀ TRUYỀ N THÔNG (ICT).........................................................................................1

1.1. Vấn đề khai thác sử dụng ICT trong dạy học toán ...............................................1 1.2. Tổ chức dạy học toán trong môi tr ườ ng ICT........................................................4 1.3. Nhận định............................................................................................................12

Chươ ng 2 SỬ DỤ NG PHẦ N MỀM GRAPH ...............................................................13 2.1. Giớ i thiệu về phần mềm Graph...........................................................................13 2.2. Làm việc vớ i Graph ............................................................................................13 2.3. Giớ i thiệu hệ thống Menu...................................................................................14 2.4. Một số chức năng cơ bản....................................................................................16 2.5. Thư viện các hàm của Graph ..............................................................................20 2.6. Khai thác phần mềm Graph ................................................................................21 2.7 Bài tậ p: .................................................................................................................21

Chươ ng 3 SỬ DỤ NG PHẦ N MỀM HÌNH HỌC ĐỘ NG.............................................22 3.1. Giớ i thiệu sơ lượ c về phần mềm Cabri Geometry..............................................22 3.2. Các vấn đề cơ bản để làm việc vớ i Cabri Geometry ..........................................22 3.3. Thao tác vớ i hệ thống các công cụ của Geometry Cabri ....................................26 3.4. Giớ i thiệu phần mềm The Geometer's Sketchpad ..............................................38 3.5. Vẽ hình vớ i phần mềm hình học Cabri...............................................................46 3.6. Sử dụng Cabri minh hoạ bài toán quỹ tích .........................................................47 3.7. Khai thác phần mềm hình học động Cabri hỗ tr ợ dạy học toán .........................50 3.8. Thảo luận và bài tậ p............................................................................................58

Chươ ng 4 .......................................................................................................................59 HƯỚ NG DẪ N SỬ DỤ NG PHẦ N MỀM MAPLE.......................................................59

4.1. Tổng quan chung về phần mềm Maple...............................................................59 4.2. Làm việc vớ i Maple ............................................................................................59 4.3. Giao diện của cửa sổ làm việc của Maple ..........................................................60 4.4. Các thao tác cơ bản trong vớ i Maple ..................................................................61 4.5. Sử dụng các lệnh của Maple ...............................................................................66 4.5. Khai báo hàm tự tạo............................................................................................85 4.6. Các cấu trúc cơ bản đượ c sử dụng trong lậ p trình của Maple ............................86 4.7.ứng dụng maple trong khảo sát hàm số..............................................................88 4.8. Sử dụng Maple hỗ tr ợ kiểm tra k ết quả tính toán. ............................................119 4.8.2 Kiểm tra tính lũy tính của một ma tr ận vuông................................................120 4.9 Sử dụng Maple hỗ tr ợ suy luận trong quá trình học toán. .................................123 4.10. Khai thác Maple trong Xác suất thống kê ......................................................133 4.11. Maple vớ i bài toán quy hoạch.........................................................................136 4.12. Khai thác Maple trong hình học .....................................................................140

Tài liệu trích dẫn, tham khảo.......................................................................................183





1

Chươ ng 1: DẠY HỌC TOÁN VỚ I SỰ HỖ TR Ợ CỦA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG (ICT)

1.1. Vấn đề khai thác sử dụng ICT trong dạy học toánCùng vớ i sự phát triển như vũ bão của công nghệ thông tin và truyền thông, việc

nghiên cứu và triển khai các thế mạnh của ICT nhằm hỗ tr ợ quá trình dạy học toánđượ cnhiều quốc gia và các nhà giáo dục quan tâm.

Trong tài liệu The free NCET (1995) leanet(Mathematics ang IT - apupil’sentitlement) đã mô tả 6 hướ ng cơ bản trong việc sử dụng ICT nhằm cung cấ p cácđiều kiệncho ngườ i học toán, cụ thể:

* H ọc t ậ p d ự a trên thông tin ng ượ c: Máy tính có khả năng cung cấ p nhanh và chính

xác các thông tin phản hồi dướ i gócđộ khách quan. Từ những thông tin phản hồi như vậycho phép ngườ i học đưa ra sự ướ c đoán của mình và từ đó có thể thử nghiệm, thayđổinhững ý tưở ng của ngườ i học.

* Khả năng quan sát các mô hình: Vớ i khả năng và tốc độ xử lý của MTĐT giúpngườ i học đưa ra nhiều ví dụ khi khám phá các vấn đề trong toán học. Máy tính sẽ tr ợ giúpngườ i học quan sát, xử lý các mô hình, từ đó đưa ra lờ i chứng minh trong tr ườ ng hợ p tổngquát.

* Phát hi ện các m ố i quan h ệ trong toán h ọc: MTĐT cho phép tính toán biểu bảng, xử lý đồ hoạ một n sát sự thayđổi trong cách chính xác và liên k ết chúng vớ i nhau. Việc chothay đổi một vài thành phần và quacác thành phán còn lại đã giúp ngườ i học phát hiện ramối tươ ng quan giữa cácđại lượ ng.

* Thao tác v ớ i các hình động: Ngườ i học có thể sử dụng MTĐT để biểu diễn các biểuđồ một cách sinhđộng. Việc đó đã giúp cho ngườ i học hình dung ra các hình hình học mộtcách tổng quát từ hìnhảnh của máy tính.

* Khai thác tìm ki ế m thông tin: MTĐT cho phép ngườ i sử dụng làm việc tr ực tiế p vớ icác dữ liệu thực, từ đó hình dung ra sự đa dạng của nó và sử dụng để phân tích hay làm sángtỏ một vấn đề toán học.

* Dạ y học vớ i máy tính: Khi ngườ i học thiết k ế thuật toánđể sử dụng MTĐT giúp tìmra k ết quả thì ngườ i học phải hoàn thành dãy các chỉ thị mệnh lệnh một cách rõ ràng, chínhxác. Họ đã sắ p đặt các suy ngh ĩ của mình cũng như các ý tưở ng một cách rõ ràng.

* S ử dùng đồ hoạ vớ i máy tính: Đồ thị trên máy tính là nét mớ i trong các lớ p dạy họctoán. Kenneth Ruthven bắt đầu lựa chọn, nghiên cứu và phát triển dự án sử dụng đồ hoạ máy tính từ năm 1986 (Ruthven 1990).Tuy nhiên, khái niệm, ýđịnh về một môi tr ườ ng màtrongđó ngườ i sử dụng có thể thayđổi kích thướ c to nhỏ, điều tra, tìm hiểu sự giao nhau và





2

độ dốc địa phươ ng đã đượ c phát triển ít lâu (David Tallđã sử dụng máy tính BBC).

Tall trình bày conđườ ng sử dụng đồ hoạ máy tính của ôngđể dạy học các phép tính từ đầu năm 1980. Phần mềm "Hìnhảnh máy tính" do ông phát triển lần đầu tiên cho máy tínhBBC. Phần mềm này cho phép ngườ i học phóng to, thu nhỏ đồ thị vớ i bất k ỳ phạm vi nào,qua đó hình thành khái niệm, chẳng hạn gradient của đồ thị. Tall đã sớ m công bố một loạtcác bài báo về sự quan hệ trong dạy toánở tạ p chí Mathematics Teaching, sau đó các bài báođượ c tậ p hợ p lại trong một cuốn sách nhỏ (Tall 1987). Hơ n nữa trong thờ i gian gần đâymột vài ngườ i tươ ng tự Tall ứng dụng bảng tính,đồ hoạ, các ý tưở ng nàyđượ c báo cáotrong Micromath (Morgan .Jones & Mcleay, 1996; Crawford, 1998; Morrison, 1998).

Một vài nghiên cứu đã chỉ ra r ằng nếu giáo viên có sử dụng đồ hoạ MTĐT trong quátrình giảng bài thì họ có thể đưa ra các câu hỏi vớ i yêu cầu cao hơ n so vớ i lớ p không sử dụng. Ví dụ, Ring (1993)đã hướ ng dẫn 2 giáo viênđể làm thế nào vớ i đồ hoạ máy tínhđể phục vụ cho câu hỏi chiến lượ c của giáo viên và phươ ng pháp trình bày kiến thức toán học.

Rich đã tr ợ giúp giáo viên sử dụng đồ hoạ máy tính và chú tr ọng đến việc khảo sát tỉ mỉ,giúpđỡ học sinhđưa ra phỏng đoán của mình. Vớ i sự hỗ tr ợ của máy tính, giáo viên có thể đề ra các câu hỏi có yêu cầu cao hoặc sử dụng những ví dụ khác nhau, quađó khai thác vaitrò quan tr ọng của đồ hoạ máy tính trong sự phân tích vấn đề. Mặt khác, sử dụng đồ hoạ cho phép ta phân tích các mối liên k ết giữa đại số, hình học. Ý tưở ng trên về sử dụng đồ hoạ máy tính cho học sinh từ 11 đến 16 tuổi đượ c trình bày trongOpen Calculalor Challengecủa Open University (1993), Graham & Galpin (1998), Arter (1993), Ruthven (1992). Colette, một nhà nghiên cứu về dạy học môn toán ngườ i Pháp, thì MTĐT có khả năng tạo ramôi tr ườ ng giải quyết vấn đề (problem solving environments) cho học sinh và môi tr ườ ngđó có vai trò to lớ n trong việc kích thích hoạt động tìm tòi khám phá và từ đó hình thànhkiến thức mớ i. Theo học thuyết kiến tạo (cosntructivist hypothesis) thì kiến thức học sinhđượ c tạo nên khi hoạt động trong môi tr ườ ng toán học, MTĐT có khả năng r ất tết trong việctạo ra môi tr ườ ng đó Trong môi tr ườ ng máy tính học sinh tiế p thu đượ c bằng chính hoạtđộng, thực hành của mình (learning hy doing).

John Mason (tác giả ngườ i Anh) năm 1992 đã phát triển ý tưở ng cho r ằng các phầnmềm máy vi tính về toán là một hệ thống các công cụ có khả năng đượ c sử dụng giải toánvà giúp nghiên cứu khái quátđể đi đến việc tìm ra các tính chất toán học.

Rosamund Sutherlandđã thông qua dự án "ANA" nghiên cứu về việc dạy học toán vớ i

phần mềm lòng cóđúc k ết r ằng: "Điều quan tr ọng nhất khi học sinh sử dụng ngôn ngữ, kíhiệu máy tính làđã có khả năng hình thành khái quát hoá toán học".

Các tác giả Mark Hunter, Paul Marshall, John Monaghan và Tom Rope (năm 1993)đãtiến hành một đợ t thử nghiệm vớ i việc sử dụng hệ thống chươ ng trình CAS trong giảng dạychođối tượ ng học sinh THCS. K ết quả thử nghiệm cho thấy khả năng suy luận toán học củahọc sinh do phươ ng tiện mớ i đem lại đạt hiệu quả r ất cao.

Toán học là một môn khoa học tr ừu tượ ng, do đó khai thác sử dụng phần mềm và





3

MTĐT trong dạy và học toán có những đặc thù riêng. Ngoài mục tiêu tr ợ giúp học sinhchiếm l ĩ nh kiến thức thì vấn đề phát triển tư duy suy luận lôgic, óc tưở ng tượ ng sáng tạotoán học và đặc biệt là khả năng tự tìm tòi chiếm l ĩ nh kiến thức là một mục tiêu r ất quantr ọng.

Sản phẩm của môi tr ườ ng học tậ p vớ i sự hỗ tr ợ của công nghệ thông tin là những họcsinh có năng lực tư duy sáng tạo toán học, có năng lực giải quyết các vấn đề và năng lực tự học một cách sáng tạo. Như vậy, việc tổ chức dạy - học vớ i sự hỗ tr ợ của MTĐT và các phần mềm toán học nhằm xây dựng một môi tr ườ ng dạy - học vớ i 3 đặc tính cơ bản sau:

• Tạo ra một môi tr ườ ng học tậ p hoàn toàn mớ i mà trong môi tr ườ ng này tính chủ động, sáng tạo của học sinhđượ c phát triển tết nhất. Ngườ i học cóđiều kiện phát huykhả năng phân tích, suyđoán và xử lý thông tin một cách có hiệu quả.• Cung cấ p một môi tr ườ ng cho phépđa dạng hoá mối quan hệ tươ ng tác hai chiềugiữa thầy và trò.• Tạo ra một môi tr ườ ng dạy và học linh hoạt, có tính mở .Trong các hình thức tổ chức dạy - học có sự hỗ tr ợ của công nghệ thông tin thì vai trò

của ngườ i thầy đặc biệt quan tr ọng. Nóđòi hỏi cao hơ n ở ngườ i thầy khả năng các hình thứctổ chức dạy học truyền thống. Về một gócđộ nàođó, năng lực của ngườ i thầy thể hiện quahệ thống định hướ ng giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua hệ thống cáccâu hỏi. Hệ thống các câu hỏi của ngườ i thầy phải đápứng đượ c các yêu cầu sau:

• Các câu hỏi phải mang tính gợ i mở , định hướ ng giúp cho học sinh conđườ ng xử lý thông tinđể đi đến kiến thức mớ i.• Các câu hỏi phải tr ợ giúp học sinh củng cố kiến thức mớ i và tăng cườ ng khả năngvận dụng kiến thức trong thực hành.• Các câu hỏi phải có tính mở để khuyến khích học sinh phát huy tính sáng tạo, khả năng phân tích tổng hợ p, khái quát hoá các tri thức đã đượ c trang bị để giải quyết vấnđề.Điều khác biệt so vớ i các hình thức dạy học truyền thống là quá trình truyền đạt, phân

tích, xử lý thông tin và kiểm trađánh giá k ết quả đượ c giáo viên, học sinh thực hiện có sự tr ợ giúp của các phần mềm và MTĐT.





4

1.2. Tổ chứ c dạy học toán trong môi trườ ng ICT

1.2.1. S ử d ụng ph ươ ng ti ện ICT trong các gi ờ lên l ớ p vớ i số đ ông h ọc sinh

Hình thức nàyđượ c áp dụng vớ i quy mô số học sinh từ 40 đến 60. Ngoài các phươ ngtiện dạy học thông thườ ng của một lớ p học truyền thống như bảng đen, phấn tr ắng, thướ ck ẻ... lớ p học đượ c trang bị thêm máy tính, máy chiếu Project, máy chiếu Overhead... Tronggiờ học, cả lớ p quan sát k ết quả xử lý của máy tính trên màn hình lớ n.

Hình th ứ c này có nh ữ ng đặc đ iể m sau: - Giáo viên tr ực tiế p lên lớ p khai thác các tính năng của ICTđể trình bày kiến thức

một cách sinhđộng. Một số tr ườ ng hợ p, giáo viên có thể chuẩn bị sẵn hình vẽ, bảng biểu,...để rút ngắn thờ i gian thao tác vớ i máy tính.

- Học sinh quan sát và phánđoán theo sự định hướ ng của giáo viên. Học sinh ítđượ ctr ực tiế p thao tác vớ i máy tính. Ví dụ trong dạy học định lý, mô hình tổ chức lớ p học như sau:

Như vậ y, l ớ p học thườ ng diễ n ra theo xu h ướ ng sau: - Từng học sinh làm việc gần như "độc lậ p" vớ i nhau, cùng tậ p trung vào quan sát, xử

lý những thông tin trên màn hình.

- Những học sinh khá, giỏi chưa đượ c phát huy tối đa khả năng của bản thân vì cả lớ pcùngđượ c giao một nhiệm vụ cụ thể như nhau.

- Trong lớ p học giữa các học sinh sẽ có sự ganhđua vớ i nhau, do vậy để dễ so sánh, phân loại giáo viên thườ ng có xu hướ ng tậ p trung vào giảng dạy về k ỹ năng thực hành, gợ i





5

lại kiến thức cũ và hệ thống lại kiến thức của học sinh.

1.2.2. T ổ chứ c ho ạt động h ọc "c ộng tác " theo nhóm nh ỏ

Học sinhđượ c chia thành các nhóm nhỏ không quá 7 học sinh.

Trang thiết bị tối thiểu mỗi nhóm có một máy tính. Nếu các máy tínhđượ c nối mạng

thì tốt hơ n vì các nhóm có thể chia sẻ thông tin vớ i nhau. Hình th ứ c này có nh ữ ng đặc đ iể m sau: - Giáo viên giao nhiệm vụ cho các nhóm thông qua cácđịnh hướ ng gợ i mở hoặc các

phiếu học tậ p.

- Mỗi nhóm học sinh sử dụng chung một máy tính, có trách nhiệm cộng tác, chia sẻ những ý tưở ng của bản thânđể hoàn thành nhiệm vụ của nhóm cũng như của mỗi bản thân.K ết quả của nhóm chỉ thực sự có hiệu quả khi toàn bộ các thành viên trong nhóm hoànthành mục tiêu học tậ p. Như vậy mỗi thành viênđều nhận thức đượ c r ằng: Không phải mỗi

học sinh làmđượ c gìđó mà là cả nhómđã học đượ c điều gì. Như vậy ba yếu tố cơ bản củahình thức này là: Sự thành công của toàn nhóm, trách nhiệm của mỗi cá nhân trong nhóm vàđiều quan tr ọng là mọi thành viên trong nhómđều có cơ hội thành công bìnhđẳng như nhau.

Hình th ứ c làm vi ệc " cộng tác " theo nhóm nh ỏ có nh ữ ng ưu việt sau:

- Có nhiều cơ hội để thể hiện, traođổi những suy ngh ĩ của bản thân. Thay vì chỉ mộtmình giáo viên thao tác, trình bày,ở hình thức này mỗi ngườ i trong nhómđều có thể tr ựctiế p làm việc vớ i các đối tượ ng hình học và cả nhóm luôn sẵn sàngđón nhận những nhậnđịnh, phánđoán của mỗi thành viên.

- Mỗi cá nhân ngoàiđiều kiện làm việc tr ực tiế p vớ i phần mềm, còn có khả năng nhậnđượ c sự hỗ tr ợ không chỉ ở một mình giáo viên mà của cả nhóm, quađó làm tăng hiệu quả học tậ p của cả học sinhđượ c giúpđỡ và những học sinhđi giúpđỡ các bạn. Chính vì vậykhả năng thành công của mỗi cá nhânđều tăng. - Những học sinh học kém sẽ có khả năng,cơ hội bày tỏ và học hỏi nhiều hơ n ở chính các thành viên trong nhóm. Ví dụ trong dạy họcđịnh lý có thể tổ chức học tậ p theo mô hình sau:

Hình thức học "cộng tác" chỉ thực sự phát huy tác dụng nếu ta đảm bảo đượ c các yếutố quan tr ọng sau:

- Thiết lậ p sự phụ thuộc tích cực giữa các thành viên trong nhóm.





6

- Giáo viên hình thành và phát triển đượ c k ỹ năng hợ p tác của mỗi học sinh.

- Khẳng định rõ ràng trách nhiệm của từng cá nhân trong nhóm.

- Tạo đượ c môi tr ườ ng tươ ng tác giữa các thành viên trong nhóm.

- Hình thành k ỹ năng giao tiế p,ứng xử cho học sinh trong học tậ p.

- Hình thức phân chia nhóm:Tuỳ từng nội dung mà ta có thể chia nhóm ngẫu nhiên hay chia nhóm theo trìnhđộ

ngườ i học. Ví dụ: Khi làm việc vớ i nội dung mớ i có thể sử dụng nhóm ngẫu nhiênđể họcsinh giỏi, khá có thể kèm cặ p, giúpđỡ học sinh yếu. Nếu là giờ luyện tậ p, rèn luyện k ỹ năngthì có thể phân chia theo trìnhđộ ngườ i học để giao nhiệm vụ phù hợ p nhằm phát huyđượ ctối đa khả năng của ngườ i học.

1.2.3. Hình th ứ c học sinh làm vi ệc độc l ậ p t ại l ớ p

- Mỗi học sinhđượ c sử dụng một máy tính. Lớ p học đượ c tổ chức tại phòng máy tính

của tr ườ ng.- Nhiệm vụ của cả lớ p đượ c phân thành các nhiệm vụ nhỏ để giao cho các cá nhân (do

vậy học sinhđều ý thức đượ c r ằng, tuy hoạt động độc lậ p nhưng thành công của bản thânchính là thành công của cả lớ p và ngượ c lại).

Hình th ứ c này có các đặc đ iể m ch ỉ nh sau:

- Học sinh cóđiều kiện phát huy hết khả năng của bản thân.

- Trong một thờ i điểm có thể giải quyết nhiều bài toán khác nhau. '

- Phù hợ p vớ i việc nhận thức chênh lệch trong một lớ p. Tuỳ mức độ khả năng của bảnthân mà học sinhđượ c khuyến khíchđảm nhận những nhiệm vụ vừa sức.

- Đòi hỏi trìnhđộ phân tích, tổng hợ p vấn đề của giáo viênở mức cao (vì nếu khônggiờ học phân tán, không hướ ng học sinhđượ c đến những nội dung kiến thức cần nắm saumỗi giờ học).





7

Trong mô hình làm việc đa tuyến, giáo viênđóng vai tròđiều khiển "từ xa" bằng cáchnêu nhiệm vụ chung của cả lớ p. Học sinh traođổi, phân chia bài toán thành các bài toán con(quá trình này có thể độc lậ p hoặc diễn ra dướ i sự tham mưu của giáo viên). Mỗi cá nhân

căn cứ vào khả năng của mình nhận thi công một môđun. Trong quá trình làm việc, có thể có sự trao đổi giữa các học sinh. K ết quả của học sinh này có thể đượ c học sinh khác sử dụng. Thậm chí, một thành viên có thể yêu cầu một thành viên khácđiều chỉnh k ết quả theohướ ng có lợ i cho việc k ế thừa cho các thành viên khác.

1.2.4. S ử d ụng ph ươ ng ti ện ICT d ạ y một nội dung ng ắn

Quỹ thờ i gian sử dụng phươ ng tiện ICT chỉ khoảng 1đến 3 phút nhằm mục đích nêura tình huống có vấn vấn đề, gợ i mở , kiểm chứng những suyđoán nhận định trong quá trình





8

đi tìm lờ i giải hoặc minh hoạ k ết quả lờ i giải. Hình thức này thườ ng đượ c sử dụng tronghình thức tổ chức lớ p học vớ i số đông. Giáo viên cho một vài học sinh tr ực tiế p thao tác vớ imáy tính. Hình thức này tận dụng đượ c thờ i gian lên lớ p và phù hợ p hơ n cả là các tiết họcnội dung bài mớ i.

Ví d ụ. Sử dụng Cabriđể phát hiện hoặc hình thànhđộng cơ chứng minhđịnh lý minhhoạ quỹ tích, minh hoạ k ết quả tổng quát vừa tìmđượ c vớ i những tr ườ ng hợ p cụ thể . . .

1.2.5. S ử d ụng ph ươ ng ti ện ICT để d ạ y học tr ọn vẹn m ột ph ần của bài h ọc

Vớ i mục đích sử dụng phần mềm để giải quyết tr ọn vẹn một nội dung cụ thể trong tiếthọc nên quỹ thờ i gian sử dụng phươ ng tiện có thể kéo dài từ 5 đến 10 phút. Qua việc thaotác vớ i phần mềm, học sinh phát hiện và giải quyết tr ọn vẹn một vấn đề, ví dụ dạy học kháiniệm mớ i. Hình thức này có thể sử dụng trong cả hình thức tổ chức lớ p số đông hoặc họctậ p theo nhóm. Hoạt động sử dụng, khai thác phần mềm đượ c tiến hànhđan xen vớ i cáchoạt động khác nên giờ học r ất sinhđộng phù hợ p vớ i tâm sinh lý của lứa tuổi học sinh.

1.2.6. S ử d ụng ph ươ ng ti ện công ngh ệ thông tin d ạ y tr ọn vẹn một ti ế t họcTrong hình thức này bài giảng đượ c thiết k ế thành một hệ thống liên k ết chặt chẽ phối

hợ p đan xen các hoạt động của thấy và tròđể đạt đượ c mục đích của giờ giảng. Điều đặc biệt là bài giảng đượ c thiết k ế sao cho khai thác tối đa sự hỗ tr ợ của phần mềm và MTĐT.Vớ i hình thức này, có thể thờ i lượ ng sử dụng bảng đen sẽ không như các giờ học khác vìnội dung kiến thức đượ c thiết k ế sẵn trong các Slide và giáo viên chiếu lên màn hình thaycho viết bảng (ta tạm gọi là giáo ánđiện tử). Giáo ánđiện tử đượ c biên soạn dướ i hình thứccác Slide bao gồm cácđơ n vị tri thức, các bài tậ p từ đơ n giản đến phức tạ p, tạo điều kiệncho việc l ĩ nh hội tri thức. Từ chiến lượ c sư phạm, ta cấu trúc hoá cácđơ n vị tri thức tronggiáo án. Các nội dung trình bày bao gồm các sự kiện sẽ nảy sinh trong quá trình tươ ng tác.Các tácđộng này thực hiện theo những lượ c đồ nhất định. Việc phân tích,đánh giá cácđápứng của ngườ i học thườ ng dựa trên các yêu cầu đã chuẩn bị sẵn. Số lượ ng cũng như nộidung của mỗi Slideđượ c xácđịnh sao cho thể hiện đượ c tốt nhất nội dung bài giảng cũngnhư ý đồ sư phạm. Lượ ng thông tin của mỗi Slide cũng không hạn chế, vớ i sự hỗ tr ợ củacác phần mềm công cụ thì nội dung không chỉ là dạng text (văn bản) mà còn là âm thanh,hình vẽ, ảnh động, thậm chí cả video. Giáo ánđiện tử cho phép ta trình diễn một cách tr ựcquan sinhđộng các nội dung như khảo sát hàm số, dựng hình, quỹ tích mà nếu không sử dụng máy vi tính thì không thể nào mô tả đượ c vớ i chức năng siêu liên k ết (Hyperlink) cho phép ta k ết nối các Slide của bài giảng thành một hệ thống, từ một vị trí ta có thể truy nhậ pđến bất k ỳ một nội dung (một Slide) nào khác trong bài giảng. Mặt khác, ta có thể k ết nốihàng loạt các bài giảng vớ i nhau thành một hệ thống hoàn chỉnh để giảng dạy một vấn đề,một chươ ng.

Vì giáo ánđiện tử tích hợ p sẵn một khối lượ ng kiến thức đượ c liên k ết sẵn cho phépngườ i giáo viên ôn tậ p đến phần nào, giáo viên kích chuột vào tên mục để chuyển đến slidenội dung của mục đó. Vớ i giáo ánđiện tử này tiến trình lên lớ p r ất linh hoạt, tiến trình ôn





9

tậ p có thể r ẽ nhánh, triển khaiđi sâu vào những nội dung chi tiết, quay lui chuyển về nhữngnội dungđã trình bày... Hơ n nữa, khối lượ ng kiến thức đượ c ôn tậ p lại trong một tiết r ất lớ nvà giáo viên tiết kiệm đượ c thờ i gianđể viết k ẻ, vẽ lên bảng. Nhờ sự hỗ tr ợ của máy tính vàgiáo ánđiện tử, giờ ôn tậ p chươ ng không còn là cảnh giáo viên liệt kê lại nội dungđã họcmà nó là quá trình làm việc tích cực của trò dướ i sự dẫn dắt của thầy. Việc làm việc vớ i"cây" kiến thức góp phần phát triển tư duy lôgic, biện chứng cho học sinh.

Tuy nhiên giáo ánđiện tử đượ c thiết k ế theo một k ịch bản của ngườ i giáo viên dự địnhtr ướ c nên việc đưa ra các tình huống là hữu hạn, các giải phápđáp ứng yêu cầu cố định,trong đó thực tế r ất đa dạng và phong phú. Vậy giáo viên cần phối hợ p vớ i các phươ ng pháp, hình thức dạy học khácđể phát huy tối đa tính tích cực, chủ động của ngườ i học nhằmnâng cao chất lượ ng dạy học.

Quy trình thiết k ế một giáo ánđiện tử:

Ví d ụ về hình th ứ c giáo án đ i ện t ử





10

1.2.7. S ử d ụng ICT trong ki ể m tra, đ ánh giá

Hoạt động chính của nội dung này là sử dụng MTĐT tr ợ giúp học sinh giải bài tậ p,kiểm tra nhận thức của bản thân, cụ thể:

+ Giao cho cho mỗi nhóm học sinh hoặc mỗi học sinh một máy tính. Học sinh tự sử dụng phần mềm để tìm tòi cách giải quyết vấn đề và hoàn thành nhiệm vụ đượ c giao (giảiđượ c bài tậ p hoặc hoàn thành phiếu học tậ p của cá nhân, của nhóm).

+ Kiểm tra nhận thức học sinh bằng ngân hàngđiện tử: Toàn bộ câu hỏi và đáp ánđượ c thiết k ế nạ p sẵn trong máy. Mỗi học sinhđượ c máy phát ngẫu nhiên một phiếu kiểmtra. Học sinh sẽ chọn phươ ng án tr ả lờ i bằng cách sử dụng chuột hoặc bàn phímđánh dấucâu tr ả lờ i mà học sinh cho làđúng. K ết quả chấm điểm đượ c máy tính tự động cậ p nhật vàthông báo k ết quả ra màn hình.





11

1.2.8. Tr ợ giúp h ọc sinh t ự họcTrongđiều kiện nhiều học sinh cóđiều kiện trang bị máy tính tại nhà riêng thìđây là

một hình thức cần đượ c khuyến khích và khai thác sử dụng vì thờ i lượ ng học sinh tự học ở ngoài một phạm vi lớ p học là r ất lớ n, mặt khác nó không trói buộc học sinh về mặt thờ igian,địa điểm, cụ thể:

+ Giáo viên ra nhiệm vụ, học sinh sử dụng phần mềm độc lậ p tìm tòi vàđưa ra cáchgiải quyết vấn đề. Giáo viên kiểm tra, nhận định lại k ết quả.

+ Giáo viên thiết k ế nhiệm vụ học tậ p ghi trong các tệ p tin. Học sinh mở tệ p tin, theohướ ng dẫn và tiế p tục hoàn thành nhiệm vụ. Giáo viên có thể có thiết k ế nhiệm vụ theo từngliều (đượ c ghi trong các tệ p tin khác nhau)để học sinh có thể tự học theo chu trình r ẽ nhánh.

+ Sử dụng các bài giảng "gia sư điện tử". Toàn bộ nội dung kiến thức, ví dụ minh hoạ và bài tậ p đượ c thiết k ế dướ i dạng Website. Học sinh lần lượ t kích chọn những nội dung cầnhọc và tìm hiểu nội dungđó qua các ví dụ kèm theo. K ết thúc mỗi mục có bài tậ p cho họcsinh tự kiểm trađánh giá nhận thức của mình. Sau khi giải song bài tậ p hoặc có khó khăn,học sinh có thể mở lờ i giải hoặc hướ ng dẫn để tham khảo.

Như vậy hiệu quả của quá trình này phụ thuộc hoàn toàn vào tính chủ động, tích cực

và sự hướ ng đích r ất cao của học sinh.1.2.9. D ạ y học qua m ạng

Trongđiều kiện cơ sở hạ tầng công nghệ thông tinđang phát triển nhanh như hiện naythìở Việt Nam các hình thức đào tạo qua mạng đã tr ở nênđơ n giản. Mỗi nhà tr ườ ng đều cómột trang web riêng của mình. Học sinh truy cậ p qua mạng và thực hiện theo phácđồ họctậ p đượ c quyđịnh. Các thắc mắc hoặc traođổi đều đượ c thực hiện nhanh chóng bằng dịchvụ thư điện tử (Email) hoặc traođổi tr ực tuyến (online) vớ i giáo viên hướ ng dẫn theo cácgiờ quyđịnh.

Vớ i hình thức này, học sinh hoàn toàn tự chủ về mặt thờ i gian, nội dung và phươ ng pháp học tậ p. Hình thức này phát huyđượ c tính tích cực của học sinh, phù hợ p vớ i xu thế





12

mớ i của giáo dục trên thế giớ i.1.3. Nhận định

Việc khai thác có hiệu quả sự hỗ tr ợ của ICT sẽ tác động một cách tích cực tớ i hoạtđộng dạy và học bở i các yếu tố sau:

* Tính linh động, mề m d ẻo: ngườ i học bị thu hút bở i những thông tin và quá trình xử lý thông tin trên máy tính, từ đó truy tìm nguyên nhân vấn đề.

* Tính hệ thông: ngườ i học có thể điều chỉnh nhận thức của mình trong hệ thống kiếnthức để nắm đượ c vấn đề, điều hoà mâu thuẫn giữa sự hoang mang bối r ối tr ướ c vấn đề mớ ivà tính tò mò ham muốn tìm hiểu, khám phá.

* Tính k ế t hợ p: ngườ i học đượ c làm việc trong nhóm nên khai thácđượ c những ưuđiểm vàđộng viên sự đóng góp tối đa của từng cá nhân.

* Tính mục đ ích: ngườ i học cố gắng, tích cực tậ p trung caođộ vào các hoạt động nhằm

tìm hiểu, khám phá, nhận thức chođượ c đối tượ ng.* Tính đ àm tho ại: học là một hoạt động xã hội, quá trìnhđối thoại giữa ngườ i học vớ i

nhau sẽ hỗ tr ợ đắc lực cho việc nắm bắt đượ c kiến thức không chỉ trong mà cả ngoài tr ườ nghọc.

* Tính ng ữ cảnh: hoạt động học đượ c đặt ở vị trí có ý ngh ĩ a đặc biệt trong các hoạtđộng của thế giớ i thực hoặc đóng vai trò môi tr ườ ng cơ sở , dođó tạo ra một ngữ cảnh mangtính tích cực, thúcđẩy việc học của sinh viên.

* Tính ph ản ảnh: vớ i sự hỗ tr ợ của các công cụ, ngườ i học k ết nối lại những gì họ đượ c học và thu nhận những phản ánh trong các quá trình từ máy tínhđể đi đến nhữngquyết định đúngđắn.

Vấn đề sử dụng ICT trong nhà tr ườ ng đã đượ c khẳng định trong Chỉ thị 58- CT/TWngày 17- 10-2000 của Bộ Chính tr ị Ban chấ p hành Trungươ ng Đảng Cộng sản Việt nam,Chỉ thị 29-2001/CT-BGD&ĐT của Bộ tr ưở ng Bộ Giáo dục vàĐào tạo, và r ất nhiều văn bảnkhác của Chính phủ, của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Điều đó chứng tỏ tính cấ p thiết và hiệuquả của việc đưa ICT vào nhà tr ườ ng.

Câu h ỏi thảo lu ận: Khi sử d ụng ICT trong d ạ y học thì vai trò c ủa ng ườ i Thầ y có gìkhác so v ớ i các hình th ứ c d ạ y học không s ử d ụng ICT?





13

Chươ ng 2SỬ DỤNG PHẦN MỀM GRAPH

2.1. Giớ i thiệu về phần mềm Graph

Phần mềm Graph là một phần mềm hỗ tr ợ minh hoạ và giải quyết một số vấn đề trong bộ môn toán phổ thông tươ ng đối gọnnhẹ đượ c cài đặt trong môi tr ườ ng hệ điềuhành Windows. Toàn bộ chươ ng trình chứagọn trên một đĩ a mềm 1.44 MB của IvanJohansen. Phần mềm này hiện nay có thể download miền phí tại địa chỉ:http://www.padonwan.dk. Hiện nay đã có phiên bản 3.0 đượ c đưa lên mạng ngày20/1/2004.

2.2. Làm việc vớ i GraphĐể nạ p chươ ng trình Graph, ta thực hiện dãy thao tác:StartlPrograms/Graph hoặc

nháy chuột vào biểu tượ ng của Graph:

Giao diện của phần mềm Graph gồm các thành phần: Hệ thống menu, thanh công cụ và trang công tácđượ c chiathành 2 phần: cửa sổ trái làdanh sách các đối tượ ng:danh sách hàm (Functions),danh sách cácđiểm (Pointseries), danh sách các miềnđượ c lựa chọn (Shades) vàdanh sách tên cácđối tượ ng(Labels), cửa sổ bên phảidành để hiển thị các đốitượ ng như đồ thị, đườ ngthẳng, điểm, nhãn tên đốitượ ng,...





14

2.3. Giớ i thiệu hệ thống MenuHệ thống mệnh của Graph gồm 6 chức năng cơ bản: File, Edit, Function, Zoom,

Cacl, và Help

2.3.1. Menu File:

- Mở một tệ p mớ i ( New - Ctrl + N),- Mở một tệ p đã có (Open - CTrl+O),

- Lưu tr ữ tệ p (Save - Ctrl+S, Saveas),- Inấn ( Print),- K ết thúc phiên làm việc (E x it - Alt+F4),

- Lưu tr ữ k ết quả dướ i dạngảnh (Save as image -Ctrl+B), chức năng này giúp ta cóđượ c cácđồ thị đẹ p

để thiết k ế giáo ánđiện tử

2.3.2.Menu Edit:

- Huỷ bỏ thao tác ngay tr ướ c đó ( Undo - Ctrl-Z),

- Lặ p lại thao tác ngay tr ướ c đó ( Redo - Ctrl+Y),

- Cắt đối tượ ng lưu vào bộ đệm (Cut - Ctrl+x),

- Copyđối tượ ng lưu vào bộ đệm (Copy - Ctrl+c),

- Dán đối tượ ng từ bộ đệm ra trang công tác(Paste- Ctrl+v),

- Sao chép hìnhảnh (Copy image),- Tuỳ biến hệ tr ục toạ độ ( Axes - Crtl+A),

Xác lậ p môi tr ườ ng làm việc ( Options).





15

2.3.3. Menu Function:

- Khở i t ạo một hàm m ớ i( Insert frunction - Ins),

- Tạo vẽ tiế p tuyến (Insert tangent - F2),

- Đánh dấu một miền(Insert shade... - F3),

- Vẽ điểm trên hệ toạ độ của trang công tác(Insert point series... -F4),

- Vẽ hệ thống điểm (Insert trendline-Ctrl+T),

- Đặt tên cho cácđối tượ ng (Insert label...),- Cậ p nhật cácđối tượ ng đangđượ c lựa chọn (Edit...),- Xoá bỏ cácđối tượ ng … đangđượ c lựa chọn

- Chènđồ thị đạo hàm của hàm số (Insert f'(x)).

2.3.4. Menu Zoom :

Hệ thống các chức năng của menu con gồm các lệnh để điều khiển, thayđổi gócđộ hiển thị của trang làm việc, trongđó chú ý các chức năng sau:

- Điều chỉnh theo hướ ng thu hẹ p khoảng [a,b] củatr ục hoànhđượ c hiển thị trên trang công tác (In)

- Điều chỉnh theo hướ ng gia tăng khoảng [a,b] củatr ục hoànhđượ c hiển thị trên trang cóng tác (Out), Chuyển

về tr ạng thái chuẩn ( Standard-Ctrl+D),- Chuyển về tr ạng thái cho phép di chuyển các đối

tượ ng trên trang công tấc (Move system- Ctrl+M,

- Chuyển về chế độ hiển thị sao cho quan sátđượ c tấtcả cácđiểm trên trang công tác (All points).

2.3.5. Menu Calc:

- Xácđịnh độ dài của đồ thị f(x) trênđoạn [a,b] nào

đó ( Length of path),- Tính diện tích phần giớ i hạn bở i các đườ ng thẳng

x=a, x=b vớ i đồ thị của f(x) (Aren),

- Xácđịnh giá tr ị của f(x) tại một điểm xo nàođó (Evaluate - Ctrl+E),

- Tạo bảng tính giá tr ị của f(x) trongđoạn [a,b] vớ i bướ c chia cáchđều ( Table).





16

2.4. Một số chứ c năng cơ bản

2.4.1. V ẽ đồ th ị hàm f(x)

Để khở i tạo một đồ thị mớ i, dãy thao tác như sau:-> Function-> Insert function (hoặc chọn biểu

tượ ng … trên thanh công cụ). Xuất hiện bảng khai báo các tham số:

+ Biểu thức tổng quát của f(x),

+ Giớ i hạn phạm vi giá tr ị của đối số,

+ Kiểu nét vẽ,

+ Độ r ộng nét vẽ,

+ Mầu nét vẽ,

Khai báo xong, nhấn OK để hoàn tất công việc.

2.4.2. C ậ p nh ật đố i t ượ ng

Để chỉnh sửa đồ thị của hàm số đã có, thao tác như sau: Tr ướ c tiên lựachọn đồ thị sẽ chỉnh sửa, tiế p theochọn: ->Function ->Edit (hoặc bấmđúp vào biểu thức của f(x)ở cửa sổ bên trái) sẽ xuất hiện của sổ Editfunctionđể ta cậ p nhật lại. Ta có thể khai báo lại giá tr ị đoạn [a,b], chọn lạiđộ dày nét vẽ, nhậ p nội dung ghi chú:chođối tượ ng hoặc mầu vẽ của đườ ngtiế p tuyến. Nhấn OKđể hoàn tất công

việc.





17

2.4.3. V ẽ ti ế p tuy ế n vớ i đồ th ị f(x) t ại đ i ể m x o

Để Vẽ tiế p tuyến vớ i đồ thị hàm số f(x) tạiđiểm xo tr ướ c tiên phải lựa chọn hàm số, tiế p theochọn: -> Function -> Insert tangent. Xuất hiệncửa sổ Insert

tangent. Ta nhậ p giá tr ị xo tại cửa sổ: x=,sau đó chọn độ r ộng, kiểu đườ ng vẽ tiế p tuyến,mầu và có thể nhậ p nội dung ghi chú cho tiế ptuyến tại cửa sổ: Description. Sau cùng nhấn OKđể hoàn tất.

Để điều chỉnh tiế p tuyến đã vẽ, bấm đúpvào biểu thức của tiế p tuyến tại cửa sổ trái, sẽ

xuất hiện cửa sổ Edit tangentđể ta cậ p nhật.2.4.4. Chèn đồ th ị của đạo hàm f'(x)

Graph có chức năng vẽ cùng mộthệ tr ục toạ độ đồ thị của hàm số f(x) vàf'(x).Để sử dụng chức năng này, tr ướ ctiên ta chọn hàm cần chèn thêmđồ thị của đạo hàmở cửa sổ bên trái, sauđóthao tác:

->Function -> Insert f'(x). Xuấthiện cửa sổ Insert (f’x). Ta khai báokhoảng [a,b], kiểu nét vẽ, độ dày, mầuvà ghi chú chođồ thị mớ i này. NhấnOK để hoàn tất.

2.4.5. Xác đị nh độ dài c ủa đồ th ị f(x) trên đ oạn [a,b]

Chức năng Length of pathcho phép ta biết

đượ c ngay giá tr ị độ dài của đồ thị hàm số f(x)trên đoạn [a,b].Để sử dụng chức năng này, tr ướ ctiên ta chọn hàmở cửa sổ bên trái sauđó thao tác: ->Calc -> length of path. Xuất hiện cửa sổ cho tanhậ p giá tr ị hai đầu mút a tại cửa sổ From: và btại cửa sổ To:, ta sẽ có k ết quả đượ c thông báoở ô

Length. Có thể nhậ p các giá tr ị a, b khác nhauđể tính nhiều lần.





18

2.4.6. Tính di ện tích

Graph có chức năng tính nhanh diệntích phần mặt phẳng giớ i hạn bở i cácđườ ngthẳng x=a, x=b vớ i đồ thị của f(x).

Để sử dụng chức năng tính diện tíchhình phẳng, tr ướ c tiên ta chọn hàmở cửa sổ bên trái, tiế p theo ta thao tác như sau: ->Calc > Aren. Xuất hiện cửa sổ, ta nhậ p giátr ị đầu mút a tại cửa sổ From:, b tại cửa sổ To., ta có k ết quả diện tích sẽ đượ c thông

báo tại cửa sổ Area. Trên màn hìnhđồ hoạ sẽ thấy phần diện tích tươ ng ứng sẽ đượ c biểudiễn bở i cácđườ ng gạch sọc. Ta có thể nhậ p các giá tr ị đầu mút a, b khác nhauđể tính diệntích các miền khác nhau.

2.4.7. Tính giá tri f(x), f'(x), f’’(x) t ại đ i ể m x o Để sử dụng chức năng này, tr ướ c tiên ta chọn hàmở cửa sổ bên trái, tiế p theo ta thực

hiện thao tác:-> Cacl -> Evaluate, xuất hiện cửa sổ để ta

nhậ p giá tr ị của điểm xo cần tính. K ết quả đượ cthông báoở 3 cửa sổ bên dướ i lần lượ t là : f(x),f'(x), f''(x).

Ta có thể thay đổi giá tr ị xo để có đượ c k ết

quả tại cácđiểm khác nhau.





19

2.4.8. Tính giá tr ị của f(x) trong đ oạn [a,b]vớ i bướ c chia cách đều

Chức năng Calculate table cho phânhoạch đoạn [a,b] bở i một lướ i các nút cáchđều nhau một đoạn dx và tính giá tr ị củahàm số f(x) tại cácđiểm chia.

Để lậ p bảng, tr ướ c tiên ta chọn hàmở cửa sổ bên trái, và thao tác:->Cacl ->Table,xuất hiện cửa sổ Calculate table. Ta khai báo khoảng [a,b] và bướ c chia dx. Nhấn nútCalc ta sẽ có k ết quả cần thiết.





20

2.4.9. V ẽ các đ i ể m trên h ệ tr ục toạ độ .

Để sử dụng chức năng này, tathao tác như sau:->Function ->insert

point series..., xuất hiện cửa sổ: Insert point series. Ta cần khai báotoạ độ của điểm cần vẽ. Bên trái cócác lựa chọn

- Kiểu vẽ điểm: St yle,

- Mầu vẽ điểm: Color,

- Kích thướ c điểm: Size,

- Hiện toạ độ của điểm Show

coordinates...Khai báo song nhấn OK, ta sẽ nhậnđượ c hình ảnh các điểm trên mànhình.

2.4.10. In ấ n k ế t qu ả

Để in các k ết quả, ta chọn:->File ->Print. Xuất hiện cửa sổ Page Setup để ta xácđịnh các thông số tr ướ c khiin. Nếu cần lựa chọn máy introng danh sách các máy inđã càiđặt; ta chọn tiế p Printer...Để đưara máy in, ta chọn OK.

2.5. Thư viện các hàm của Graph

Trong phần mềm Graph, các hàmđượ c thiết k ế cài đặt trong thư viện tươ ng đối phong phú, tuy nhiên các hàm sau thườ ng đượ c sử dụng nhiều trong chươ ng trình phổ thông:

ABS - Hàm lấy giá tr ị tuyệt đối của đối số,





21

SQR - Hàm cho giá tr ị bình phươ ng của đối số,SQRT - Hàm cho giá tr ị là căn bậc hai của đối số,SIN - Hàm cho giá tr ị hàm số sin của đối số,COS - Hàm cho giá tr ị hàm số cosin của đối số,

TAN - Hàm cho giá tr ị hàm số tang của đối số,ARCSIN - Hàm cho giá tr ị của hàm số ngượ c của hàm số sin,

ARCCOS - Hàm cho giá tr ị của hàm số ngượ c của hàm cosin,

ARCTAN - Hàm cho giá tr ị của hàm số ngượ c của hàm tan,

LN - Hàm cho giá tr ị logarit cơ số e của đối số,LOG - Hàm cho giá tr ị logarit cơ số thậ p phân của đối số,PI - Cho giá tr ị của số ơ i,

Toán tử ^ : dùngđể biểu diễn luỹ thừa, ví dụ 10^3 là 1000, 2^8 là 256.Để biết thêm chi tiết, chọn Helpđể tra cứu những thông tin cần thiết.

2.6. Khai thác phần mềm GraphGraph cho ta một công cụ tươ ng đối đầy đủ để dạy học nội dungĐạo hàm vàứng

dụng của nó trong chươ ng trình toán lớ p 12,đặc biệt là nội dung khảo sát hàm số và nộidungứng dụng tích phân tính diện tích một miền.

Phươ ng pháp chủ yếu là dùng Graphđể minh hoạ và kiểm tra k ết quả. Sau khi họcsinhđã hoàn thành khối lượ ng công việc, giáo viên có thể sử dụng Graphđể học sinh kiểmtra lại k ết quả tính toán của mình và khảo sát chi tiết thêm hàm số nhờ vào các công cụ củaGraph.

Ta có thể sử dụng Graphđể vẽ đồ thị sau đó lưu tr ữ đồ thị dướ i dạngảnh để đưa vàogiáo án soạn trên Word hoặc Powerpoint.2.7 Bài tập:

a) Khảo sát các hàm số

b) Minh hoạ việc từ đồ thị hàm số f(x) suy rađồ thị các hàm số: f(|x|). |f(x)|, |f(|x|)l|cũng như tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit.

c) Sử dụng các chức năng của Graphđể kiểm tra k ết quả tính toán các bài tậ p tínhđộ dài, diện tích và tích phân xácđịnh trong sách giáo khoa THPT.





22

Chươ ng 3SỬ DỤNG PHẦN MỀM HÌNH HỌC ĐỘNG

3.1. Giớ i thiệu sơ lượ c về phần mềm Cabri Geometry

Phần mềm Cabri Geometry là k ết quả nghiên cứu của phòng nghiên cứu cấu trúc r ờ ir ạc và phươ ng pháp giảng dạy - Trung tâm nghiên cứu khoa học quốc gia - tr ườ ng Đại họctổng hợ p Joseph Fourier Grenoble (Pháp). Hai ngườ i có công lớ n trong việc phát triển CabriGeometry là Laborde và Franck Bellemain. Jean - Marie Laborde bắt đầu phát triển dự ánCabri II từ năm 1981 như một môi tr ườ ng cho lý thuyết đồ thị. Franck Bellemain bắt đầulàm việc về dự án Cabri II vào 1986 và chịu trách nhiệm để viết những phiên bản đầu tiêncủa phần mềm Cabri Geometry.

Hiện nay phần mềm Cabri Geometry II có thể download mi ễ n phí tại địa chỉ http://www.ti.com/calc. Tệ p nén wcabri.zip có kích thướ c 3258 KB. Khi cở i nén, chươ ngtrình tự động tạo một thư mục mớ i ở thư mục gốc ổ C vớ i tên là CABRI vớ i dung lượ ngkhoảng 5 MB. -

Giao diện làm việc của Cabri cho phép chọn các ngôn ngữ khác nhau vớ i ngầm định làtiếng Anh. Tuy nhiên ta có thể Việt hoá các hệ thống mệnh của Cabri.

3.2. Các vấn đề cơ bản để làm việc vớ i Cabri Geometry3.2.1. .Kh ở i động Cabri Geometry

Cabri là phần mềm có thể chạy trên nền của hệ điều hành MS - DOS và Windows.Chúng tôi sẽ giớ i thiệu về phiên bản Cabri for Windows.

Để gọi Cabri ra làm việc, ta thực hiện lần lượ t các thao tác kích chuột: -> Start ->programs -> Cabri Geometry II -> Cabn Geometry II.





23

Ta có thể tạo Shortcutđể đóng của Cabri Geometry trên màn hìnhđể việc gọiđượ c thuận tiện hơ n.

Sau khi khở i động, giao diện của Cabri như sau:

3.2.2. H ệ thố ng menu bar c ủa Cabri:

Cabri có hệ thống mênh bai gồm 5 nhóm chức năng chính, mỗi nhómứng vớ i một hệ thống mênh dọc (Popup).

* Nhóm ch ứ c n ăng File - New (CTRL+ N): Mở một tệ p (một trang hình học)

mớ i.- Open (CTRL+ O): Mở một tệ p của Cabriđã có lưu

tr ữ trênđã (ta ph ải chọn ổ đ ã, th ư mục l ư u giữ t ệ p tin, ch ọn

tên t ệ p tin c ần mở ).- Close (CTRL+ W): Đóng tệ p tin đang làm việc Nếu

ta chưa lưu tr ữ tệ p tin, Cabri sẽ nhắc: Nếu chọn Yes: Cabri sẽ lưu tr ữ tệ p tin tr ướ c khiđóng. Nếu chọn No: Cabri sẽ khônglưu tr ữ những thayđổi của tệ p tin so vớ i lần ghi tr ướ c đóhoặc không lưu tr ữ. Chọn Cancel là huỷ bỏ lệnh đóng Cabri.





24

- Save (CTRL + S): Lưu tr ữ tệ p tin trênmàn hình. Nếu là lần lưu tr ữ đầu tiên sẽ xuất hiệncửa sổ Save, ta phải chọn ổ đĩ a, thư mục lưu tr ữ tệ p tin và tên của tệ p tin này. Những lần thựchiện lệnh ghi sau, Cabri không hỏi mà sẽ tự động ghi theo thông số đã chọn.

- Save As: Lưu tr ữ tệ p vớ i tên mớ i.- Show Page: Xem toàn bộ tệ p tr ướ c khi in (ta có thể chọn vùng in bằng cách di

chuyển khung chữ nhật đến vị trí cần thiết).

- Page Setup:Định các thông số tr ướ c khi in nội dung tệ p.- Print (CTRL+P): Thực hiện lệnh in- Exit (CTRL+Q): K ết thúc phiên làm việc.

* Nhóm ch ứ c n ăng Edit: (bao gồm 8 chứcnăng)

- Undo (CTRL+ Z): Huỷ bỏ lệnh vừa thựchiện.

- Cut (CTRL + X): Cắt bỏ cácđối tượ ng đãđượ c lựa chọn đánh dấu khỏi màn hình làm việcvà lưu tạm vào bộ đệm Clipboard.

- Copy (CTRL + C): Copy cácđối tượ ngđã đượ c lựa chọn đánh dấu lưu tạm vào bộ đệmClipboard.

- Paste (CTRL+ V):Đưa cácđối tượ ng đang lưu tạm trong bộ đệm Clipboard ra vị trí





25

con tr ỏ.- Clear (Del): Xoá bỏ cácđối tượ ng đã đượ c lựa chọn đánh dấu.-Select All (CTRL+ A): Đánh dấu lựa chọn tất cả cácđối tượ ng.

- Replay Construction: Xem lại toàn bộ quá trình dựng hình.

- Refresh Drawing (CTRL+ F): Lấy lại hoạ tiết thao tác dựng hình.* Nhóm menu Options : (gồm 5 chức năng cho phép lựa chọn thuộc tính)

- Hide Attributes: Cho hiện hayẩn thanh côngcụ lựa chọn thuộc tính cho cácđối tượ ng.

- Preferences...: Khai báo lựa chọn các tham số hệ thống như: lựa chọn đơ n vị mầu, mầu đối tượ ng,chế độ hiển thị, font chữ hệ thống . . .

Nếu ta muốn thayđổi các thuộc tính ngầm địnhcủa Cabri thì cần phải khai báo, lựa chọn theo ý của ngườ i sử dụng. Để lưu tr ữ lại sự lựachọn ta bấm chọn vào ô: [ ]Keep as defaults. Nếu muốn lưu tr ữ cấu hình như một mẫuriêng, ta bấm chọn vào ô Sa ve to file.

- Language: Lựa chọn ngôn ngữ hiển thị (có nhiều lựa chọn như: ngôn ngữ Anh,Pháp,Đức, Đan Mạch...).

- Font: Lựa chọn kiểu chữ chođối tượ ng đangđượ c lựa chọn.





26

* H ệ thố ng menu Window Hệ thống menu này bao gồm các lệnh có công dụng tươ ng

tự như các phần mềm khác trong môi tr ườ ng hệ điều hành

Windows dùngđể bố trí sắ p xế p các cửa sổ.* H ệ thố ng mênh H elp

Hệ thống tr ợ giúp của Cabri và giớ i thiệu tổng quan về phầnmềm Cabri.

3.3. Thao tác vớ i hệ thống các công cụ của Geometry Cabri

Toàn b ộ hệ thố ng công c ụ của Cabri bao g ồm 11 nhóm ch ứ c năng chính:

3.3.1. Nhóm ch ứ c n ăng ch ọn tr ạng thái làm vi ệc vớ i chu ột

Khi bấ m chuột vào h ộ p công c ụ này, xu ấ t hiện 4 sự l ự a chọn:

• Pointer: Tr ạng thái sử dụng để lựa chọn, dịchchuyển, xoá bỏ và làm các thao tác sửa đổi vớ i cácđối tượ nghình học.

• Rotate: Xoay một hình xung quanh một điểm đãchọn hay tâm của hình.

• Dilate: Mở r ộng hay thu hẹ p một hình theo tâm của hình hay một điểm đã chọn.

• Rotale and Dilate: Có thể cùng một lúc vừa xoay vừa thayđổi độ r ộng, chiềucao của hình.

3.3.2. Nhóm ch ọn công c ụ t ạo đ i ể mKhi bấm chuột vào nhóm công cụ này, xuất hiện bảng có

3 sư lựa chọn:• Point: Tạo một điểm tự do.

• Point on Object: Tạo một điểm trên một hìnhđã có

• Intersection Points:Xácđịnh điểm là giao của các hình hình học.* Sử dụng các công cụ:







28

+ D ự ng một đ oạn thẳ ng:

Kích chuột vào biểu tượ ng chọn Segment, đưa bút chì lần lượ t xácđịnh điểm thứ nhất, điểm thứ 2 tađượ c đoạn thẳng tươ ngứng.

+ D ự ng một tia, bi ế t g ố c và h ướ ng:

Ta chọn chức năng dựng tia: Kích chuột vào biểu tượ ng, chọn Ray. Đưa bút chìxác định điểm gốc của tia, sauđó di chuyển chuột để chọn hướ ng của tia cần xácđịnh; bấmchuột tráiđể xácđịnh điểm thứ 2, tađượ c tia cần dựng.

+ D ự ng một véc t ơ khi biế t hướ ng và 2 đầu mút:

Ta chọn chức năng dựng véctơ : Kích chuột vào biểu tượ ng, chọn Vector, sau đóđưa bút chì xácđịnh điểm gốc vàđiểm ngọn của véc tơ cần dựng. Sau khi chọn xong 2điểmta đượ c véc tơ tươ ngứng.

+ D ự ng tam giác:

Ta chọn chức năng Dựng hình tam giác: Kích chuột vào biểu tượ ng, chọnTriangle, sauđó đưa bút chì lần lượ t xácđịnh vị trí 3đỉnh của tam giác, khiđó ta sẽ đượ ctam giác tươ ngứng.

+ Ch ứ c năng d ự ng đ a giác:

Chọn chức năng dựng hìnhđa giác: Kích chuột vào biểu tượ ng, chọn Polygon, sauđó đưa bút trì lần lượ t xácđịnh cácđỉnh, k ết thúc bấm đúp chuột trái, tađượ c đa giác tươ ngứng vớ i cácđiểm đã chọn.

+ Ch ứ c năng d ự ng một đ a giác đề u:

Chọn chức năng dựng hìnhđa giác đều: Kích chuột vào biểu tượ ng, chọn RegularPolygon. . Tr ướ c tiên tađưa bút chì xácđịnh tâm của đa giác, sauđó di chuyển bút chìđể xácđịnh bán kính của đườ ng tròn ngoại tiế p đa giácđều đó.Ở tâm xuất hiện số cạnh của đagiác, ta dùng chuột xácđịnh số cạnh cần có. K ết thúc bấm chuột trái.

3.3.4. Nhóm ch ọn công c ụ vẽ các đườ ng cong

Khi bấm chuột chọn nhóm công cụ này, xuất hiện bảng gồm 3 chứcnăng vẽ cung,đườ ng tròn vàđườ ng cônic.

• Circle: Vẽ đườ ng tròn khiđã xácđịnh tâm và bán kính,

• Arc: Vẽ cung tròn qua 3điểm,

• Conic: Vẽ đườ ng conic qua 5điểm,

* Sử dụng các công cụ:

+ D ự ng hình tròn:





29

Chọn chức năng dựng hình tròn: Kích chuột vào biểu tượ ng, chọn Circle, sau đóđưa bút chì xácđịnh tâm của hình tròn, di chuyển chuột để xácđịnh bán kính và bấm chuộttrái.Để thayđổi bán kính, ta tr ở về chế độ con tr ỏ, sauđó chỉ chuột vàođườ ng tròn, sẽ xuấthiện hình bàn tayđể ta thayđổi bán kính. Muốn di chuyển đườ ng tròn, ta chỉ vào tâm tiế ptheo giữ phím tráiđể di chuyển hình vẽ.

+ D ự ng một cung tròn:

Sử dụng chức năng dựng cung tròn: Kích chuột vào biểu tượ ng, chọn Arc, sauđóđưa bút chì xácđịnh 3điểm, từ đó hoàn toàn xácđịnh một cung tròn tươ ngứng vớ i 3 điểmđã chọn. Muốn thayđổi, ta đưa bút chì vào một trong 3điểm xácđịnh cung trònđể điềuchỉnh. Muốn di chuyển cả cung tròn tađưa bút chì vào một điểm bất k ỳ trên cung tròn(ngoài 3điểm)để di chuyển.

+ D ự ng đườ ng cônic:

Chọn công cụ dựng cácđườ ng côníc: Kích chuột vào biểu tượ ng, chọn Conic, sauđó ta xácđịnh lần lượ t 5 điểm. Tuỳ vị trí 5điểm sẽ cho ta cắ p hay parabol, hypecbol...

3.3.5. Nhóm ch ọn công c ụ xác đị nh đ i ể m, đườ ng, ảnh các đố i t ượ ng hình h ọc đượ c d ẫ n xuấ t t ừ các đố i t ượ ng hình h ọc đ ã có

Khi bấm chuột chọn nhóm công cụ này, xuất hiện gồm10 chức năng:

• Perpendicular Line: Dựng đườ ng thẳng

đi qua một điểm và vuông góc vớ i một đoạn thẳng,đườ ng thẳng. . . nàođó.

• Parallel Line: Dựng đườ ng thẳng đi qua 1điểm và song song vớ i một đoạn thẳng, đườ ngthẳng... nàođó.

• Midpoint: Xác định điểm giữa của 2điểm, trungđiểm 1đoạn thẳng.

• Perpenđicular Bisector: Dựng đườ ng trung tr ực của đoạn thẳng, giữa 2điểm...

• Ang le Bisector: Dựng đườ ng phân giác của 1 góc khi biết 3 điểm.

• Vector Sum: Xácđịnh tổng 2 véc tơ .

• Compass: Dựng đườ ng tròn vớ i tâm và bán kính xácđịnh.

• Measurement Transfer: Xácđịnhảnh của một điểm cách một điểm cho







31

+ D ự ng một hình tròn có bán kính cho tr ướ c: Ta chọn chức năng "Dựng đườ ng tròn có bán kính xácđịnh": Kích chuột vào biểu

tượ ng, chọn Compass, sau đó đưa bút chì xácđịnh 2 điểm của đoạn thẳng chọn làm bán kính hoặc chọn một đoạn thẳng đã có để làm bán kính, tiế p theo chọn tâm của đườ ng

tròn. Tađượ c đườ ng tròn cần dựng. Tuy nhiên, khi chođoạn đườ ng thẳng đã chọn thayđổivề độ lớ n thìđườ ng tròn cũng thayđổi theo.

+ D ự ng một đ iể m trên m ột đố i t ượ ng đườ ng thẳ ng, vớ i khoảng cách c ủa đ iể m này vớ imột đ iể m xác định thu ộc đườ ng là m ột số xác định (khoảng cách hayđộ dài của một cung):

Để xác định khoảng cách, ta chọn một số xác định trên hình chọn công cụ Numerical Edit "Tạo số" để gõ số và đơ n vị. Thao tác tiế p theo bao gồm: Chọn chức năng

Measurement Transfer: "xác định điểm vớ i khoảng cách", sauđó đưa bút chì chọnđiểm gốc vàđưa bút chì chọn con số đã đượ c nhậ p tr ướ c đó ở màn hình; trên màn hình xuất

hiện một đườ ng chấm k ẻ, ta di chuyển chọn hướ ng, bấm chuột tráiđể xácđịnh điểmảnh.+ T ự động xây d ự ng t ừ ng bướ c đố i t ượ ng hình h ọc ( đ iể m, đườ ng)- xây d ự ng qu ỹ tích

thông qua s ự chuyể n động của đ iể m:

Ta chọn chức năng: "Dựng quỹ tích của một điểm": Kích chuột vào biểu tượ ng, chọn

Locus và thiết lậ p mối tươ ng quan giữa cácđiểm, đườ ng vớ i nhau, sauđó cho một số điểm, đườ ng thayđổi để xácđịnh quỹ tích.

+ Định ngh ĩ a l ại đố i t ượ ng theo s ự phụ thuộc ban đầu của một nhóm đố i t ượ ng: Kíchchuột vào biểu tượ ng, chọn LJ Redefine Ohject. Ta sử dụng chức năng nàyđể đưa một đối

tượ ng hình học này chuyển thành một đối tượ ng hình học khác.3.3.6. Nhóm ch ọn công c ụ d ự ng ảnh qua các phép biên hình

Khi bấm chuột chọn hóm công cụ này, xuất hiện bảng gồm 6 chức năng:

• Renection: Dựng hìnhđối xứng qua một đườ ngthẳng,đoạn thẳng của một hình nàođó.

• Symmetry: Xoay hình 1 góc 1800.

• Translation: Xác định ảnh một hình qua một phép tịnh tiến theo một véc tơ .

• Rotation: Xác định ảnh của một hình qua một phép quay.

• Dilation: Xácđịnhảnh của một điểm qua một phép vị tự.

• Inverse: Xácđịnhảnh của 1 điểm đối xứng qua cung,đườ ng tròn.





32

* Sử dụng các công cụ:

+ D ự ng hình đố i xứ ng c ủa đố i t ượ ng hình h ọc qua m ột đườ ng, đ oạn thẳ ng, tia, tr ụctoạ độ cạnh tam giác, đ a giác...

Ta chọn chức năng "Phépđối xứng qua một đườ ng". Kích chuột vào biểu tượ ng, chọnReflection, sau đó lựa chọn điểm gốc và đườ ng chọn làm tr ục đối xứng, tađượ c ảnh

của điểm đó đối xứng quađườ ng đã chọn.

+ Xoay hình m ột góc 180 0 quanh m ột đ iể m xác định:

Ta chọn chức năng " Phépđối xứng tâm": Kích chuột vào biểu tượ ng, chọnSymmetry, sauđó lần lượ t lựa chọn điểm cần lấy đối xứng vàđiểm gốc, ta sẽ thuđượ c ảnhcủa điểm đã chọn qua phépđối xứng tâm.

+ D ự ng hình ảnh của một đố i t ượ ng hình h ọc qua phép t ịnh tiế n theo m ột véc t ơ :Bướ c 1 : Ta phải xácđịnh véc tơ làm hướ ng và khoảng cách cho phép tịnh tiến.

Bướ c 2: Chọn chức năng "Phép tịnh tiến hình": Kích chuột vào biểu tượ ng, chọnTranslation, lần lượ t chọn đối tượ ng cần dựng ảnh qua phép tịnh tiến và xácđịnh véc tơ đượ c chọn làm hướ ng và khoảng cách cho phép tịnh tiến, tađượ c ảnh của hìnhđó qua phéptịnh tiến.

+ D ự ng ảnh của một đố i t ượ ng hình h ọc qua phép quay (v ớ i một đ iể m xác định là m ột góc xác định)

Xác định đối tượ ng cần quay, tâm quay và cuối cùng là góc quay (số hiện trên màn làgóc).

Bướ c 1 : Sử dụng chức năng Numerical Edit "gõ số và đơ n vị" để xác định góccủa phép quay.

Bướ c 2: Chọn chức năng "Phép quay quanh một tâm": Kích chuột vào biểu tượ ng,

chọn Rotation, tiế p theo lựa chọn hình cần quay,điểm chọn làm tâm quay và cuối cùngchỉ vào số xácđịnh góc quay. Tađượ c ảnh qua một phép quay.

+ D ự ng một đ iể m, hình hay đườ ng của một đố i t ượ ng qua m ột phép v ị t ự (vớ i mộtđ iể m và một số xác định)

Bướ c l: sử dụng chức năng Numerical Editgõ số và đơ n vị để nhậ p một giá tr ị chọn làm tỷ số của phép giãn.

Bướ c 2: Chọn chức năng "Giãnđối tượ ng ": Kích chuột vào biểu tượ ng, chọnDilation, tiế p theo lựa chọn hình cần giãn vàđối tượ ng liên quanđến phép giãn (tâm, tr ục)và xácđịnh hệ số của phép giãn, ta thuđượ c k ết quả.





33

+ D ự ng đ iể m đố i xứ ng của một đ iể m qua cung tròn: Xác định điểm cần có điểm đối xứng và cung tròn. Ta sử dụng chức năng "đối xứng

qua cung tròn": Kích chuột vào biểu tượ ng, chọn Inverse, tiế p theo lựa chọn điểm cầnlấy đối xứng và cung trònđượ c chọn làm căn cứ để đối xứng, ta thuđượ c điểmảnh.

3.3.7. Nhóm công c ụ xây d ự ng macroKhi bấm chuột chọn nhóm công cụ này, xuất hiện bảng gồm 3 chức năng:

• Initial Objects: Xác định các đối tượ ng ban đầu để thực hiện các lệnh macro.

• Final Object: Xác định cácđối tượ ng thu đượ c saukhi k ết thúc việc thực hiện các lệnh của macro.

• Define Macro: Định ngh ĩ a tên và chọn phím tắt cho macro mớ i.* Sử dụng các công cụ:Bướ c 1 : Dựng hoàn chỉnh hình vẽ

Bướ c 2: Bấm vào biểu tượ ng, chọn Initial Objects, sau đó bấm chuột vào nhữngđối tượ ng đượ c coi là những đối tượ ng xuất phát (định ngh ĩ a lúc banđầu X)

Bướ c 3 : Bấm vào biểu tượ ng, chọn Final Object, sau đó bấm chuột vào nhữngđối tượ ng đượ c coi là những đối tượ ng k ết thúc (Y)

Bướ c 4: Bấm vào biểu tượ ng, chọn Define Macro để ghi lại macro quá trình dựnghình, ta phải đặt tên cho Macro.

Bướ c 5: Chạy các macro (ta phải xácđịnh cácđối tượ ng đầu vào (X), chạy macro ta sẽ thuđượ c (Y)).

3.3.8. Nhóm ch ọn công c ụ ki ể m tra thu ộc tính

Khi bấm chuột chọn nhóm công cụ này, xuất hiện bảng gồm 3 chức năng:

• Collinear: Kiểm tra xem 3điểm có thẳng hànghay không ?

• Parallel: Kiểm tra xem 2đườ ng thẳng,đoạnthẳng... có song song không?

• Perpendicular: Kiểm tra xem 2đườ ng thẳng,đoạ thẳng... có vuông góc vớ i nhau không ?

• Equidistant: Kiểm tra 2điểm có cáchđều 1điểm không ?





34

• Member: Kiểm tra một điểm có thuộc một hình hay không ?* Sử dụng các công cụ:

+ Ch ứ c năng " Xác định thẳ ng hàng ":

Kích chuột vào biểu tượ ng, chọn Collinear, sauđó chọn cácđiểm cần xácđịnh cóthẳng hàng hay không. Sau khi chọn điểm thứ 3, xuất hiện một khung chữ nhật, ta đưakhung nàyđến một vị trí nàođó trên màn hình, bấm chuột, k ết quả kiểm tra sẽ xuất hiệntrong khungđó.

+ Ch ứ c năng "Song song không ":

Kích chuột vào biểu tượ ng, chọn Parallel:, lần lượ t xác định các đoạn thẳng,đườ ng thẳng cần kiểm tra, k ết quả sẽ đượ c thông báo trong một khung chữ nhật.

+ Ch ứ c năng "Vuông góc không ": Kích chuột vào biểu tượ ng, chọnPerpendicular:. Sử dụng tươ ng tự chức năng kiểm tra tính song song của 2 đoạn thẳnghoặc 2đườ ng thẳng.

+ Ch ứ c năng "Cách đề u nhau ":Để kiểm tra xem trong 3điểm đượ c lựa chọn có khoảng cách vớ i nhau có bằng nhau không?Kích chuột vào biểu tượ ng, chọn Equidistant, sauđó lần lượ t bấm chuột vào cácđiểm, nếu khoảng cách dôi 1 là như nhau, tađượ c thông báo 3điểm có cáchđều hay không.

+ Xác định một đ ôi t ượ ng này có thu ộc đố i t ượ ng khác không:

Sau khi chọn công cụ: Kích chuột vào biểu tượ ng, chọn Member, ta lần lượ t lựa chọn

đối tượ ng cần kiểm tra vàđối tượ ng có khả năng chứa đối tượ ng cần kiểm tra. K ết quả đượ cthông báo trong khung chữ nhật.3.3.9. Nhóm ch ọn công c ụ đ o đạc t ỉ nh toán


• Distance and Length: Xác địnhkhoảng cách giữa 2 đối tượ ng, độ dài 1 đoạnthẳng, mọi cung, chu vi của một hình hình học.

• Area: Tính diện tích hình tròn, tamgiác,đa giác...

• Slope:Xácđịnh hệ số góc y/x.

• Angle: Xácđịnh số đo của góc.

• Equation and Coordinates: Xácđịnh toạ độ điểm hay phươ ng trình củađườ ng thẳng.





35

• Calculate: Tính toán tr ực tiế p (tươ ng tự như một máy tính bỏ túi)

• Tabulate: Đặt các số liệu tính toán vào bảng.* Sử dụng các công cụ:

+ Ch ứ c năng " Khoảng cách và chi ề u dài ":

Để xác định khoảng cách giữa 2 điểm bất k ỳ, sau khi chọn chức năng Distanceand Length, ta lần lượ t bấm chuột để xácđịnh 2điểm cần đo. Để xácđịnh chu vi của mộthình, tađưa bút chì vàođối tượ ng cần xácđịnh chu vi. K ết quả sẽ đượ c thông báo trongkhung chữ nhật.

+ Ch ứ c năng “Tính di ện tích c ủa đ a giác, hình tròn, hình ellipse “:

Ta chọn chức năng Area "Diện tích hình", sau đó đưa bút chì xácđịnh hình cầnđo diện tích. K ết quả đượ c thông báo trong khung chữ nhật.

+ Xác định độ d ố c (hay tg - xác định t ỉ số y/x) của đườ ng, đ oạn, tia hay véc t ơ .

Ta chọn chức năng Slope "Xác định rõ của đườ ng thẳ ng (y/x)" sau đó đưa bút chìxácđịnh đườ ng thẳng,đoạn thẳng, véc tơ hoặc tia cần xácđịnh hệ số góc.

+ Xác định độ l ớ n của góc đượ c xác b ở i ba đ iể m ( đ iể m thử hai là đỉ nh của góc): Ta

chọn chức năng Angle "Góc nghiêng", sau đó đưa bút chì xácđịnh 3 điểm theo thứ tự lần lượ t thuộc cạnh thứ nhất, đỉnh và cạnh còn lại.

+ Xác định toạ đ ô của đ iể m hay ph ươ ng trình c ủa đườ ng:

Ta chọn chức năng Equation and Coordinates "'Hàm bi ể u diễ n đườ ng và to ạ độ đ iể m", sau đó đưa bút chìđể lựa chọn điểm cần xácđịnh toạ độ hoặc lựa chọn đườ ng cầnxácđịnh phươ ng trình hàm biểu diễn.

+ Tính k ế t quả phát sinh c ủa biể u thứ c:

Chọn chức năng Calculate "Tính toán ta sẽ có một máy tính bỏ túi vớ i các phéptoán số học cơ bản. Để đưa k ết quả ra màn hình, ta chọn chức năng INV, tađượ c thông báo"Result" và k ết quả tính toán.

+ Đặt các giá tr ị tính toán, hay các s ố liệu vào b ảng:

Ta chọn chức năng Tabulate "Lậ p bảng kê ", sauđó đưa bút chì ra màn hình vạchmột khung bảng, số cột và số dòng tuỳ theo ta lựa chọn. Để chuyển dữ liệu vào bảng, ta phảichuyển lần lượ t từng dòng một bằng cách chỉ bút chì vào con số hoặc dữ liệu cần đưa vào bảng.





36

3.3.10. Nhóm công c ụ số đặt tên cho các đố i t ượ ng và xác đị nh yêu t ố động

Khi bấm chuột chọn nhóm công cụ này, xuất hiện bảnggồm 8 chức năng:

• Label: Tạo, sửa các nhãnđể đặt tên cácđốitươ ng hình học.

• Comments: Tạo, sửa lờ i chú thích.

• Numerical Edit: Tạo, sửa lại các số.

• Mark Angle: Đánh dấu gócđã chọn.

• Fix/Free: Xác định điểm là cố định hay

chuyển động.• Trace On/Off: Tạo ảnh cho sự di chuyển của đối tượ ng hình học (để lạivết).

• Animation: Chođối tượ ng đã chọn chuyển động theo một ràng buộc đãXácđịnh tr ướ c...

• Multiple Animation: Thực hiện chuyển động phức tạ p, hỗn hợ p.* Sử dụng các công cụ:

+ T ạo các nhãn cho các đố i t ượ ng hình h ọc:

Lựa chọn chức năng Label " Đánh d ấ u nhãn", sau đó đưa bút chì chỉ vào đốitượ ng cần gán tên, sẽ xuất hiện một hộ p chữ nhật để ta gõ tên chođối tượ ng hình học đó.

+ S ử a đổ i hay thêm l ờ i bình, ghi chú:

Ta sử dụng chức năng Comments "Lờ i bình, chú thích", sau đó đưa bút chì xácđịnh vị trí dòng văn bản trên màn hình, khiđó xuất hiện khung chữ nhật để ta nhậ p nội dungtext.

+ T ạo và s ử a l ại giá tr ị số . Chọn chức năng Numerical Edit "T ạo và s ử a l ại số", hoặc ấn CTRL+Uđể chọn

đơ n vị, sauđó nhậ p giá tr ị.

+ Đánh d ấ u góc:

Gócđượ c xácđịnh bằng bađiểm, điểm thứ hai làđỉnh. Ta chọn chức năng Mark Angle“ Đánh d ấ u góc b ằ ng nhau” , sauđó đưa bút chì xácđịnh 3điểm tươ ngứng vớ i góc cầnđánh dấu.





37

+ Gán thu ộc tính cho đ iể m cố định, hay t ự do:

Ta sử dụng chức năng Fix/Free: " Điể m cố định, Điể m di động" để xácđịnh thuộc tínhcố định hay di chuyển cho một điểm.

+ Để l ại vế t khi di chuy ể n một đ ôi t ượ ng hình h ọc:

Ta chọn chức năng Trace On/Off: “ Để l ại dâu v ế t On/Off”, sau đó lựa chọn đốitượ ng hình học sẽ di chuyển. Khiđó mọi di chuyển của đối tượ ng trênđều để lại vết trênmàn hình.

+ T ự động cho t ịnh tiế n, quay hay giãn các đố i t ượ ng hình h ọc. Kích chuột vàođối tượ ng kéo và di chuột, chuyển động sẽ theo chiều của dây căng. Ta chọnchức năng Animation "Chuyể n động đố i t ượ ng", sauđó đưa bút chì xácđịnh đối tượ nghình học sẽ di chuyển.

+ Th ự c hiện các chuy ể n động ph ứ c t ạ p, có t ừ hai đố i t ượ ng hình tr ở lên cùng lúc

chuyể n động: Ta chọn chức năng Multiple Animation“chuyể n động ph ứ c t ạ p”, sauđó lần lượ t lựachọn đối tượ ng và phươ ng thức chuyển động.Để thực hiện, taấn phím Enter.3.3.11. Nhóm công c ụ đị nh d ạng các đố i t ượ ng


• Hide/ Show: Choẩn, hiện các hìnhđã có.

• Color: Tô màu nét vẽ.

• Fill: Chọn mầu bên trong hình vẽ.• Thick: Thayđổi kiểu nét vẽ dầy - mỏng.

• Dotted : Chọn kiểu nét liền hay nétđứt.

• Modifv Appearance: Sửa kí hiệu trên hình.

• Show Axes: ẩn hay hiện tr ục toạ độ.

• New Axes: Đặt toạ độ mớ i.

• Define Gid: Định ngh ĩ a lướ i.

* S ử d ụng các công c ụ:

Nguyên lý chung cho các công cụ định dạng là khi ta chọn công cụ, sẽ xuất hiện một bảng các lựa chọn. Ta bấm chuột vào một trong những lựa chọn đó (ví dụ kiểu đườ ng k ẻ,mầu sắc...), sauđó đưa bút chì bấm vàođối tượ ng ta cần định dạng theo. Riêng công cụ ẩ n/hiện đượ c sử dụng để che bớ t không hiện ra màn hình những đối tượ ng đượ c đánh dấuẩn để làm cho hình vẽ đơ n giản, đỡ r ắc r ối.





38

3.3.11. Bài t ậ p

Bài 1 : Chođườ ng tròn (O) và haiđiểm A, B. Dựng đườ ng kính COD sao cho CA =DB.

Bài 2: Cho góc xây và một điểm Aở trong gócđó. Dựng qua A một đườ ng thẳng cắt

Ox,Oyở M và N sao cho MA=AN.Bài 3: Cho 3điểm A,B,C.Dựng đườ ng thẳng d sao cho tổng khoảng cách từ B và C

đến d bằng h cho tr ướ c.

Bài 4: Cho haiđườ ng tròn (O) và (O') cắt nhauở A và B. Dựng qua A một đườ ngthẳng d cắt (O) và (O')ở M,N sao cho MA+NA lớ n nhất.

Bài 5: Cho góc xOy. Lấy A nằm trên Ox,B nằm trên Oy sao cho OA+OA=m chotr ướ c. Ttìm qũi tích trungđiểm I của đoạn AB.

Bài 6: Chođườ ng tròn (O) vàđiểm A cố định,đườ ng kính BC quay quanh O Tìm tậ p

hợ p I là tâmđườ ng tròn ngoại tiế p tam giác ABC.Bài 7: Cho góc xây cố định và một điểm A nằm trong gócđó. Một góc vuông cóđỉnh

trùng A, hai cạnh của gócđó cắt Ox,Oy tại E và F (k ể cả tia đối của Ox, Oy). Tìm tậ p hợ ptrungđiểm M của EF khi góc EAF quay quanh A.

Bài 10: Cho tam giác cân ABC (AB=AC), M nằm trên tia BA, N nằm trên tiađối củatia CA sao cho MB=CN. Lấy BM, CN làm hai cạnh bên liên tiế p dựng hình bình hànhBMNI. tìm tậ p hợ p I khi M, N thayđổi.

Bài 1 l: Thể hiệnảnh của một hình H qua phép tịnh tiến (Hình học 10).

Bài 12: Thể hiệnảnh của hình H qua phépđối xứng tr ục (Hình học 10).Bài 1 3 : Thể hiệnảnh của một hình H qua phép vị tự (Hình học 10).

Bài 14: Vẽ hình bở i Cabri sauđó copy hình vẽ sang Powerpointđể thiết k ế giáo án nộidung các phép biến hìnhở lớ p 10 và hình không gianở lớ p 11, 12.

3.4. Giớ i thiệu phần mềm The Geometer's SketchpadChươ ng trìnhThe Geometer's Sketchpad là một phần mềm hình học động hỗ tr ợ

việc nghiên cứu và dạy học hình học r ất hiệu quả. Chươ ng trình Sketchpad có thể downloadtại website: hấ p://www.keypess.com/sketchpad.(V ề phần mề m Sketchpad, có th ể tìm hiể u

sâu trong các tài liệu của TS. Tr ần Vui Đ HSP Huê).Để làm việc vớ i phần mềm Sketchpad, ta thao tác như sau:-> Sart -> Programs-> Sketchpad ->The Geometer's Sketchpad

(hoặc bấm chuột vào biểu tượ ng trên màn hình ).

Sau khi khở i động, giao diện làm việc của Sketchpad có dạng sau:





39

3.4.1.Thanh công c ụ

Hệ thống công cụ của Sketchpad gồm 6 nhóm chức năng:

- Chọn tr ạng thái làm việc vớ i

chuột,- Xácđịnh điểm,

- Xác định đườ ng tròn, - Xácđịnh đoạn thẳng, tia,đườ ng thẳng,

- Tạo text box,

Tuỳ chọn các chức năng công cụ

3.4.2. H ệ thố ng các menu chính

* Menu File

- New Sketch(Ctrl+N): Tạo một bản vẽ mớ i,- Open (Ctrl+O: Mở một Sketch/ Scriptđã có,

- Save(Ctrl+S: Lưu tr ữ Sketch/script,

- Save As: Lưu Sketch/ Script vớ i tên mớ i,- Close (Ctrl+WĐóng file hiện thờ i,- Docment Options...:Lựa chọn thuộc tính cho tài liệu,

- Page Setup...: Xácđịnh thông số tr ướ c khi inấn,

- Phát Preview: Chọn chế độ in, xem nội dung tài liệu tr ướ c khi in ra.

- Print: In tài liệu,- Quit (Ctrl+Q): Thoát Sketchpad, tr ở về Windows.

* Menu Edit





40

- Undo (Ctrl+Z): Phục hồi lại tr ạng thái tr ướ c đó,

- Redo (Ctrl+R): Làm lại thao tác vừa thực hiện,

- Cut (Ctrl+X): Xoáđối tượ ng đượ c chọn và lưu vào bộ nhớ ,

- Copy (Ctrl+C): Copyđối tượ ng đượ c chọn vào bộ nhớ ,- Paste (Ctrl+V): Chépđối tượ ngở bộ nhớ ra Sketch,

- Clear (Del): Xoá cácđối tượ ng đượ c chọn,- Action Buttons: Tạo nút lệnh để thao tác vớ i các đối

tượ ng,

- Select All (Ctrl+A): Chọn tất cả cácđối tượ ng trên tranglàm việc,

- Select Parents (Ctrl+U): Chọn đối tượ ng cơ bản banđầu,

- Select Children (Ctrl+D): Chọn đối tượ ng dẫn xuất,

- Split/Merge: Phân tách một đối tượ ng hình học từ một đối tượ ng khác / hoặc nhậ pgắn k ết haiđối tượ ng hình học lại thành một hệ thống,

- Edit Defmition (Ctrl+E): Sửa chữa hàm, bảng tính toán hay tham số...

- Properties (An+?): Xácđịnh thuộc tính của hình,

- Preferences...: Xácđịnh các thuộc tính tuỳ chọn cho mầu, đơ n vị đo lườ ng, text box...

* Menu Action Buttons:

- Hidel Show: Tạo 2 nút lệnh cho phép hiển thị/ không hiểnthị cácđối tượ ng đã chọn.

- Animation...: Tạo lệnh thực hiện việc di chuyển đối tượ ng,

- Movement. . . : Tạo lệnh thực hiện việc di chuyển giữa haiđối tượ ng đượ c chọn,

- Presenlation...: Tạo các nút di chuyển, chuyển đổi...,- Link: Tạo các nút liên k ết các hiệuứng chươ ng trình,

- Scroll: Tạo các hiệuứng kéo tr ượ t.* Menu Display





41

- Line Width: Chọn 1 trong 3 dạng đườ ng,

- Color: Chọn màu,

- Text: Chọn kiểu văn bản,

- Text Font: Chọn font chữ,

- Hide Object (Ctrl+ H): Không hiển thị cácđối tượ ng đãlựa chọn,

- Show All Hidden: Hiển thị tất cả cácđối tượ ng đangẩn,

- Show Labels (Ctrl+ K): Hiển thị tên của đối tượ ng,

-Trace (Ctrl+X):Đặt chế độ để lại vết khiđối tượ ng thayđổi vị trí,

- Erase Traces (Ctrl+B): Xoá bỏ các vết do đối tượ ng chuyển động để lại trên mànhình,

- Animate (Ctrl+’) Lệnh chođối tượ ng chuyển động,

- Increase Speed (Ctrl+[),Decrease Speed (Ctrl+]): Lệnh cho thayđổi khoảng 25%tốc độ chuyển động của đối tượ ng,

- Stop Animation: K ết thúc các chuyển động đang xảy ra,- Show Text Palette (Shift+Ctrl+T): Hiển hayẩn thanh công cụ định dạng text:

- Show Motion Controller: Hiện hayẩn hộ p chức năng điều khiển chuyển động như:thự c hiện, d ừ ng, l ặ p l ại...

- Hide Toolbox: Chọn chế độ ẩn hay hiện hộ p công cụ.* Mênh Construc t

- Point On Object: Chọn điểm trênđối tượ ng,

- Midpoint (Ctrl+M): xácđịnh trungđiểm của một đoạnthẳng hoặc điểm giữa của 2điểm,

- Intersection (Ctrl+I): Xácđịnh giaođiểm của hai đốitượ ng,

- Segment (Ctrl+L): Xácđịnh đoạn thẳng nối 2 điểm xácđịnh cho tr ướ c,

- Line: Xác định đườ ng thẳng nối 2 điểm xác định chotr ướ c,

- Parallel Line: Dựng đườ ng thẳng đi qua một điểm song





42

song vớ i một đườ ng thẳng khác,

- Perpendicular Line: Dựng đườ ng thẳng đi qua một điểm và vuông góc vớ i mộtđườ ng thẳng,

- Angle Bisector: Dựng phân giác góc,

- Circle By Center+ Point: Dựng đườ ng tròn khi biết tâm và một điểm trênđườ ngtròn,

- Circle By Center+Radius: Dựng đườ ng tròn khi xácđịnh tâm và bán kính,

- Arc ON Circle: Dựng một cung qua 2điểm trênđườ ng tròn,

- Arc Through 3 Points: Dựng một cung qua 3điểm không thẳng hàng,

- Interior:(CTRL+P) Tô mầu bên trong miền một đa giác, hình tròn....,

- Locus: Xácđịnh quỹ tích của một đối tượ ng.

* Menu Transform

Transform Menu - Mark Center(Shift+Ctrl+F): Chọn điểm làm tâm của phép quay,

- Mark Mirror : Chọn tr ục đối xứng,

- Mark Angle: Xácđịnh góc cho phép quay,

- Mark Ratio: Đánh dấu tỉ số,

- Mark Vector: Chọn vectơ cho phép tịnh tiến,

- Mark Distance: Xácđịnh khoảng cách,- Translate . . . : Xácđịnh phép tịnh tiến,

- Rotate ...: Quayđối tượ ng một góc vớ i tâmđã chọn,

- Dilate ...: Phép vị tự vớ i tâm và tỉ số cho tr ướ c,

- Refiect ...: Đối xứng qua tr ục,- Iterate: Xácđịnh phép biến hình.* Menu Measure

- Length: Xácđịnh độ dài một/ nhiều đoạn thẳng,- Distance: Xácđịnh khoảng cách giữa haiđiểm,

- Perimeter: Xácđịnh chu vi của một đa giác,

- Circumference:Xác chu vi của đườ ng tròn, cung tròn





43

- Angle: Xácđịnh số đo của một góc,

- Area: Xácđịnh diện tích của một hình kín,

- Arc Angle: Xácđịnh gócở tâm,

- Arc Length: Xácđịnh độ dài của dây cung,

- Radius: Xácđịnh bán kính một hoặc nhiều đườ ng tròn,- Ratio: Xácđịnh tỉ số độ dài của 2đoạn,

- Abscissa(x): Xácđịnh hoànhđộ của một điểm,

- Ordinate(y): Xácđịnh tungđộ của một điểm,

- Coordinate Distance: Xác định khoảng cách giữa hai đốitượ ng,

- Slope: Xácđịnh hệ số góc của đườ ng thẳng,

- Equation: Xácđịnh phươ ng trìnhđườ ng thẳng/đườ ng tròn.*Menu Graph

- Define Coordinate System: Thiết lậ p hệ thốngmớ i (tuỳ thuộc vàođối tượ ng tađang lựa chọn),

- Mark Coordinate System: Thiết lậ p toạ độ hệ thống,

- Grid Form: Lựa chọn hệ thống toạ độ Đề cáchay toạ độ cực

- Show Grid/Hide Grid: Cho hiện hay ẩn hệ thống lướ i toạ độ,

- Snap Points: Lựa chọn chế độ di chuyển theotoạ độ nguyên hay bất k ỳ,

- Plot Points: Vẽ một điểm trong toạ độ Đề cáchay toạ độ cực

- New Parameter (Shift+ctrl+P): Xác lậ p một giátr ị cho biến,

- New Function (Ctrl+F): Xác lậ p một hàm vớ i đối số x,- Plot New Function...(Ctrl+G): Vẽ đồ thị của một hàm số,

- Derivative:Xácđịnh đạo hàm bậc nhất của một hàm số,

- Tabulate: Đưa cácđối tượ ng đã chọn vào bảng,

- Add Table Data:Bổ sung thêm dữ liệu vào bảng đã có,- Remove Table Data: Huỷ bỏ các dữ liệu đã đưa vào bảng.





44

*. T ạo đ i ể m chuy ể n động qu ỹ tích v ớ i Sketchpad Bướ c 1 : Chọn đối tượ ng cần cho chuyển động,

Bướ c 2: -> Display -> Animate sẽ có hộ p thoại để điềukhiển chuyển động,

Muốn để lại vết của đối tượ ng khiđiểm chuyển động, tachọn đối tượ ng đó, -> Display -> Trace Point, sau

đó mớ i chọn lệnh Animate.

3.4.3. Thi ế t k ế các Script v ớ i Sketchpad

Trong thao tác dựng hình vớ i Sketchpad, có nhiều thao tác phải làmđi, làm lại, để tiếtkiệm thờ i gian, ta có thể ghi các thao tácđó thành một Script và sauđó sử dụng như mộtchức năng công cụ có sẵn của Sketchpad.

Thao tác:

- Tr ướ c tiên mở một tệ p mớ i (Sketch). - Thực hiện thao tác dựng hình cần thiết.

- Chọn tất cả những đối tượ ng có quan hệ hình học vừa dựng mà ta muốn tạo mộtScript.

- Chọn Custom Tool từ thanh công cụ:

Xuất hiện bảng lệnh, gồm các chức năng cơ bản như:tạo mớ i một Script, tuỳ chọn công cụ, ẩn hiện Script vàdanh sách các Scriptđã có, ta chọn tiế p: -> Create NewTool...

Xuất hiện bảng chọn:

Ta đặt tên cho chức năng “công cụ”mớ i này. Nếu muốn quan sát nội dungcủa Script, tađánh dấu chọn vào mục [x]Show Script View. Khiđó xuất hiện cửasổ của Script có dạng như sau:





45

* Thực hiện một Script

Sau khiđã lưu tr ữ, muốn sử dụng, ta chọn Custom Tool vàchọn tên “công cụ” Script mà tacần thực hiện.

Nếu ta copy Script này, thìtrong danh sách Document sẽ cótên và ta sử dụng chúng như mộtlệnh của Sketchpad.

3.4.1 .Bài t ậ p .

Bài 1: Chođườ ng tròn (O,r) và một điểm Pở ngoàiđườ ng tròn. Một cát tuyến thayđổi điqua P cắt đườ ng tròn (O,r) tại haiđiểm B, C. Gọi E làđiểm giữa cung BC. Gọi A, A' là tiế pđiểm của hai tiế p tuyến k ẻ từ P vớ i đườ ng tròn (O,r).

Hãy minh hoạ tậ p hợ p I là giao của AE vớ i BC. Bài 2: Giả sử hai đườ ng tròn (O,r) và (O',r’) cắt nhau tại haiđiểm A, B.Điểm M chạy trênđườ ng tròn (O',r’). MA, MB cắt đườ ng tròn (O,r) tại P và N. tìm quỹ tích tâm I là tâm vòngtròn ngoại tiế p tam giác MNP.

Bài 3: Cho đườ ng tròn (O,r), vẽ bán kính OA và dây AD cố định. Vẽ vòng tròn tâm O,đườ ng kính OA cắt AD tại C. Một cát tuyến thayđổi đi qua O cắt đườ ng tròn (O’,r’) tại Mvà (O,r) tại N, N'. DN cắt CM tại P và DN' cắt CM tại P'.

Tìm quỹ tích P, P'.

Bài 4: Cho haiđườ ng tròn (O,r) và (O’,r’) tiế p xúc ngoài nhau tại A. Một góc vuông cóđỉnhtrùng vớ i điểm A, quay quanh A, hai cạnh của góc cắt (O,r) và (O',r’) tại B và C. Tìm tậ phợ p hình chiếu H của A trên BC.

Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiế p trong một đườ ng tròn (O,r). M là một điểm diđộng trên cung AB. Trên tia CM lấy điểm N sao cho AM = CN.

Tìm tậ p hợ p điểm N.









48

* Ví d ụ 2: Cho hình thoi ABCD có c ạnh AB cố định. Minh ho ạ qu ỹ tích giao đ iể m Ocủa hai đườ ng chéo c ủa hình thoi đ ó.

Bướ c l: Sử dụng chuột cho hình thoi ABCD thayđổi.- Hình thoi ABCD tr ở thành hình vuông ABCIDI => Xácđịnh điểm O1 thuộc quỹ

tích.- Hình thoi ABCD tr ở thành hình vuông ABC2D2 => Xácđịnh điểm O2 thuộc quỹ

tích.

- Hình thoi ABCD cóđiểm C tiến trùng vớ iđiểm B =>Điểm O trùng vớ i điểm B.

Như vậy, bằng tr ực quan cũng như bằng kiếmtra ta thấy rõ 3 điểm không thẳng hàng, vậy quỹ tích có khả năng là một đườ ng trònđi qua B. Vì vaitrò điểm A và B như nhau nên khi chođiểm D tiếntrùng vớ i điểm A, ta phát hiện đượ c điểm A cũngthuộc quỹ tích. Ta dự đoán quỹ tích điểm O làđườ ng tròn nhận AB làđườ ng kính.

Bướ c 2: Vẽ một tr ườ ng hợ p bất k ỳ, ta kiểmtra điểm O có thuộc đườ ng tròn nhận AB làđườ ng kính hay không. K ết quả cho thấy " Điể mnày nằ m trên đố i t ượ ng".

* Ví d ụ 3: Trong m ột đườ ng tròn (O), AB là m ột đườ ng kính c ố định, M là m ột đ iể mchạ y trên đườ ng tròn. N ố i MA, MB và trên tia đố i của

tia MA ta l ấ y đ iể m I sao cho MI = 2MB. Tìm t ậ p hợ pcác đ iể m I nói trên.

Vớ i Cabri ta cho vị trí điểm M thayđổi, qua ba vị trí cụ thể ta có ngay dự đoán: quỹ tíchđiểm I không thể là thẳng, như vậy có khả năng quỹ tích điểm I là mộtcung chứa góc. Từ đây gợ i ý cho tađi tìm yếu tố góckhôngđổi.

Điề u đặc biệt ở bài này là: Nếu sử dụng tính luôn tự đồng dạng của tam giác MBI thìchỉ dừngở việc đưa ra k ết luận góc ∠ AIB khôngđổi. Vậy quỹ tích là cung chứa góc dựngtrên đoạn thẳng AB. Tuy nhiên, vớ i Cabri ta cóđượ c k ết luận tươ ng đối thú vị. Qu ỹ tíchđ iể m I là n ử a đườ ng tròn đườ ng kính BIO. Trong đ ó Io n ằ m trên ti ế p tuyên v ớ i đườ ng trònt ại đ iể m A sao cho AIO = 2AB.

Ta mở r ộng bài toán theo hai hướ ng sau:

+ AB không phải làđườ ng kính mà chỉ là một dây cung của (O).





49

+ MI = k.MB (vớ i k là số thực dươ ng chotr ướ c).

K ết quả cũng r ất thú vị. Quỹ tích là một phần củacung chứa gócđi qua

* Ví d ụ 4: Cho BC là m ột dây cung c ố định của đườ ng tròn (O), A là m ột đ iể m chạ ytrên cung l ớ n BC sao cho tam giác ABC luôn có 3 góc nh ọn. Gọi M là đ iể m chính gi ữ a củacung nh ỏ BC của đườ ng tròn (O). Tìm qu ỹ tích các trung đ iể m I của AM.

Sau khi dự đoán quỹ tích, ta phải chứng minhđượ c góc ∠ OIM khôngđổi bằng 900,điểm M, O cố định, suy ra I nằm trênđườ ng trònđườ ng kính OM.

Ở đây có một yếu tố góc không tườ ng minh (đólà tam giác ABC luôn có 3 góc nhọn). Như vậy chắcchắn ta phải kiểm tra giớ i hạn của quỹ tích. Bằng tr ựcquan chođiểm A di chuyển vàđể lại vết của điểm Icho phép ta kiểm chứng đượ c giớ i hạn của quỹ tích là phần cung (mầu đỏ). Từ tr ực quan, ta dễ dàng xácđịnh đượ c hai vị trí giớ i hạn của điểm A làđiểm A1và A2 ( tươ ngứng vớ i cácđườ ng kính CA1và BA2của đườ ng tròn (O)).

* Ví d ụ 5: Cho hai đườ ng thẳ ng vuông góc x, y giao nhau t ại đ iể m O. Tìm qu ỹ tíchđ iể m M biế t bình ph ươ ng khoảng cách t ừ đ iể m M trên đườ ng thẳ ng y bằ ng khoảng cách t ừ đ iể m M trên đườ ng thẳ ng x .

Xét theo gócđộ hình học giải tích thì quỹ tíchđiểm M chính là tậ p hợ p cácđiểm M(x,y) sao cho y = x2. Tuy nhiên, vớ i Cabri ta dựa hoàn toàn vào kiến thức hình học là định lýTaletđể dựng quỹ tích.

- Dựng một đườ ng tròn tâm O bán kính bằng 1 . - Lấy một điểm X bất k ỳ trênđườ ng thẳng x và dựng đườ ng tròn tâm O, có bán kính

OX.

- Nối điểm X vớ i giaođiểm của đườ ng thẳng y vớ i (O,1) (chọn giaođiểm về phía dướ iđườ ng thẳng xi gọi là d1 .

- Tại giaođiểm của đườ ng tròn tâm Ođi qua điểm X vớ i đườ ng thẳng y (chọn giao





50

điểm về phía dướ i đườ ng thẳng x) k ẻ đườ ng thẳng song song vớ i đoạn thẳng (d1) nói trêngọi là d2.

- Xácđịnh giaođiểm A của d2 vớ i đườ ng thẳngx.

- Dựng đườ ng tròn (O, OA).Đườ ng tròn này cắtđườ ng thẳng y tại B.

- Qua X, B lần lượ t dựng cácđườ ng thẳng vuônggóc vớ i x, y. Haiđườ ng thẳng này giao nhau tại điểmM.

Dễ thấy MX = MB2.

- Cho điểm X di chuyển trên đườ ng thẳng x để minh hoạ quỹ tích cần tìm. K ết quả cho ta một parabol

. 3.7. Khai thác phần mềm hình học động Cabri hỗ trợ dạy học toán

* Ví d ụ 1: Minh hoạ “ Ả nh của một hìnhqua phép v ị t ự ” .

- Dựng điểm O. Sử dụng chức năng., “Gõ số và đơ n vị “ nhậ p một số thực k ≠ 0.

- Dựng hình H vàảnh Hệ của nó qua phépvị tự tâm O tỉ số k (V0

k ).

- Khi thayđổi các yếu tố tạo nên hình H,ta có ngay sự thayđổi tươ ngứng của hình H’.

- Cho thayđổi giá tr ị của k khiđó hình vẽ cũng thayđổi theo,đặc biệt các giá tr ị k = 1 (phépđồng nhất) và k = -1 (phépđối xứng tâmO).

* Ví d ụ 2: Minh hoạ "N ế u phép đố i xứ ng tr ục biế n hai đ iể m bấ t k ỳ M và N thành haiđ iể m M', N’thì MN = M N’ ".

Các bướ c thao tác vớ i Cabri như sau:

- Dựng đườ ng thẳng d.- Dựng haiđiểm M, N.

- Dựng ảnh M’ của M và N’ của N qua phépđốixứng tr ục d (Đd)

- Dựng đoạn MM' và NN' bằng nétđứt- Nối MN và M'N',đo độ dài của haiđoạn thẳng này

(k ết quả đượ c ghi vào một khung hình chữ nhật đặt bên cạnh đoạn cần đo).





51

Ta cho thayđổi điểm M hoặc điểm N thìđộ dài đoạn MN và M'N' cùng thayđổinhưng luôn bằng nhau.

* Ví d ụ 3 : Minh hoạ "Phép v ị t ự biế n 3đ iể m thẳ ng hàng thành 3 đ iể m thẳ ng hàng vàbảo t ồn thứ t ự của chúng ".

Ta thao tác vớ i Cabri như sau:

- Dựng điểm O và nhậ p vào một số thực k ≠ 0.

- Dựng đoạn thẳng AC.

- Lấy điểm B thuộc đoạn AC.

- Dựng điểm A' làảnh của A qua phép Vok , nối OA’. Làm tươ ng tự đối vớ i B và C(ảnh của chúng lần lượ t là B', C').

- Sử dụng chức năng "Xác định thẳ ng hàng" để thấy r ằng A', B', C' thẳng hàng và B’nằm giữa A' và C'.

- Cho B chuyển động trên AC thì ta thấy B’ cũng chuyển động nhưng tính thẳng hàngvà thứ tự của 3điểm A’, B', C' vẫn đượ c bảo tồn.

- Thayđổi đoạn AC sao cho O, A, B, C thẳng hàng, thậm chí cho 1 trong 3điểm A, B,C trùng vớ i O, ta vẫn thấy A', B', C' thẳng hàng và B’ nằm giữa A' và C'.

* Ví d ụ 4: Minh hoạ "Phép v ị t ự biế n đườ ng tròn thành đườ ng tròn" .

Thao tác vớ i Cabri như sau:

- Dựng điểm O và gõ vào một số thựck ≠ 0.

Dựng đườ ng tròn (I,R), lấy M thuộc (I,R).

- Dựngảnh I' của I qua phép Vok , nối OI.

- Dựng ảnh MI của M qua Vok , nối OI

bằng nétđứt.Xác định tr ạng tháiđể lại dấu vết chođiểm M', sauđó di chuyển điểm M trên (I,R),

khi đó điểm MI cũng di chuyển và vạch ra quỹ tích của nó, quỹ tíchđó nhìn tr ực quan có vẻ như là một đườ ng tròn tâm I'.

Từ dự đoán trên, ta giớ i thiệu định lý và gợ i cho học sinh hướ ng để chứng minh:S ẽ chứ ng minh cho đ iể m M’ luôn cách đ iể m I' một khoảng không đổ i. Ta nối IMvà I’M’ r ồi yêucầu học sinh sử dụng những kiến thức đã học ( định lý 1 c ủa bài Phép v ị t ự " hoặc "tam giácđồng d ạng ") để chứng minh.

* Ví d ụ 5: Hướ ng dẫn học sinh tìm lờ i giải bài toán:"Cho 3 phép đố i xứ ng tâm Đ A, Đ B , ĐC , vớ i đ iể m M bấ t k ỳ , g ọi M 1 là ảnh của M qua Đ A , M 2 là ảnh của M 1 qua Đ B , M 3 là ảnh





52

của M 2 qua Đc. Chứ ng minh r ằ ng trung đ iể m của đ oạn thẳ ng MM 3 là m ột đ iể m cố định. T ừ đ ó suy ra qu ỹ tích c ủa đ iể m M 3 khi đ iể m M chạ y trên m ột đườ ng tròn (O) hay m ột đườ ngthẳ ng d ". Vớ i Cabri có thể làm như sau:

- Dựng cácđiểm A, B, C, M.

- Dựng cácđiểm Ml, M2, M3 theo yêu cầu bài toán.- Dựng trungđiểm D của MM3

- Nối cácđoạn MM1, M1M2. M2M3 bằng nétđứt vàcácđoạn AB, BC, CD, DA, M3M1, MM3 bằng nét liền.

Ta chođiểm M thayđổi để minh hoạ cho k ết luậncủa bài toán.

Cũng trong quá trình di chuyển điểm M, yêu cầuhọc sinh nhận xét về hình dáng của tứ giác ABCD (là một hình bình hành c ố định) từ đó rút

ra hướ ng chứng minh:Chứ ng minh cho D là đỉ nh thứ t ư của hình bình hành ABCD. Sau khiđã chứng minhđượ c D làđiểm cố định, nếu học sinh chưa giải đượ c ý tiế p

theo của bài toán thì ta có thể tiế p tục như sau:

- Đặt thuộc tính" Để l ại dâu v ế t " chođiểm M3.

- Dựng đườ ng tròn (O) hoặc đườ ng thẳng dđi qua M.

- Chođiểm M di chuyển dọc trên (O) (hoặc d) để quan sát quỹ tích của M3, từ đó xácđịnh phươ ng hướ ng giải quyết.

* Ví d ụ 6: Hướ ng dẫn học sinh tìm lờ i giải bài toán:"Cho hai đ iể m cố định B , C trên

đư ng tròn (O) và m ột đ iể m A thay đổ i trên đườ ng tròn đ ó. Tìmqu ỹ tích tr ự c tâm H c ủa tam giác Thao tác :

- Dựng đườ ng tròn (O).

- Dựng tam giác ABC nội tiế p trongđườ ng tròn.

- Sử dụng Macro" Đườ ng cao " để dựng cácđườ ng cao củatam giác ABC, từ đó xácđịnh tr ực tâm H của tam giácđó.

- Cho điểm A chạy trên đườ ng tròn (O) và theo dõi quỹ tích của điểm H, ta sẽ thấy H chạy trên một đườ ng trònđi qua B,C. Chọn 3 điểm trênđườ ng tròn này và dùng Macro"Tâm ngo ạitiế p " để xácđịnh tâm O' của đườ ng tròn này.

Nhìn hình vẽ, học sinh có thể dự đoán r ằng đườ ng tròn (O') có bán kính bằng bán kínhcủa đườ ng tròn (O) (ta có thể kiểm trađiều này bằng cáchđo 2 bán kính của 2 đườ ng trònđó, sauđó cho bán kính của đườ ng tròn (O) thayđổi thì sẽ thấy bán kính của đườ ng tròn(O') cũng thayđổi theo). Từ dự đoán này, ta có thể hướ ng học sinh tớ i suy ngh ĩ r ằng: (O')làảnh của (O) qua m ột phép d ờ i hình nào đ ó, chẳ ng h ạn như phép đố i xứ ng tr ục, đố i xứ ng





53

tâm ho ặc phép t ịnh tiế n. Cụ thể như sau:

- Nếu là phépđối xứng tr ục thì tr ục là đườ ng thẳng nào?(H ọc sinh d ễ nhận thấ y r ằ ngđ ó là đườ ng thẳ ng BC).

Nếu là phépđối xứng tâm thì tâmđó là điểm nào?(H ọc sinh d ễ nhận thấ y đ ó chính là

trung đ iể m I của BC). Nếu là phép tịnh tiến thì vectơ tịnh tiến là gì?

Chođiểm A chạy trên (O), ta thấy AH luôn vuông góc vớ i BC vàđộ dài AH hình như khôngđổi, từ đó gợ i ý học sinh chứng minh r ằng véc tơ AH luôn bằng một vectơ khôngđổinàođó (đó chính là vectơ tịnh tiến cần tìm)để từ đó đi đến k ết luận: A chính là t ạo ảnh của

H qua phép t ịnh tiế n nói trên.

- Ta có thể đưa ra một số tr ườ ng hợ p đặc biệt, chẳng hạn như cho A trùng vớ i B hoặcC và yêu cầu học sinh xácđịnh điểm H

* Ví d ụ 7: Hướ ng dẫn học sinh tìm lờ i giải bài toán"Cho đườ ng tròn (O) và đ iể m P c ố định nằ m ngoài SO). BC là m ột dây cung thay đổ i của (O) nh ư ng có độ dài không đổ i Tìmqu ỹ tích tr ọng tâm c ủa tam giác PBC ".

Để thể hiện giả thiết: “M ột dâycung thay đổ i như ng có độ dài khôngđổ i của một đườ ng tròn “, ta có thể làm như sau:

- Dựng 2 đườ ng trònđồng tâmO nhưng bán kính khác nhau.

- Trênđườ ng tròn nhỏ lấy điểmI, dựng đoạn thẳng OI.

- Dựng đườ ng thẳng d qua I, vuông góc vớ i OI.

- Gọi B, C là giaođiểm của d vớ i đườ ng tròn lớ n. Dựng đoạn thẳng BC, sauđó làmẩnđi đườ ng thẳng d vàđườ ng tròn nhỏ.

- Dựng điểm P nằm ngoài (O). Nối PB và PC.

- Dùng Macro"Tr ọng tâm " để dựng tr ọng tâm G của tam giác PBC.

- Nối IP thì dễ thấy G thuộc IP (vì I là trungđiểm của BC).- Xácđịnh tr ạng thái" Để l ại d ấ u vết cho điểm G, sauđó cầm điểm I di chuyển dọc

theo đườ ng tròn nhỏ ( đườ ng tròn nh ỏ lúc này tuy đ ã b ị ẩ n đ i như ng do cách d ự ng đ iể m Inên khi di chuy ể n thì I s ẽ luôn n ằ m trên đườ ng tròn đó), dây BC sẽ có độ dài khôngđổi vìkhoảng cách từ O đến BC luôn bằng bán kính của đườ ng tròn nhỏ.

- Quan sát dấu vết của điểm Gđể lại, ta dự đoán quỹ tích của G là một đườ ng tròn. Từ nhận xét PG = 2/3 PI, ta thay việc tìm quỹ tíchđiểm G bằng việc đi tìm quỹ tíchđiểm I. Sau







55

hiện cửa sổ Path Match.

- Ấn vào nút Animate, r ồi quan sát sự thayđổi tươ ngứng vớ i M là hình dạng biến đổicủa các hình vuông MBCD và MAEF, cùng sự thay đổi vị trí khác nhau của C và E. Tậ phợ p các vị trí C và Eđi qua khi M thayđổi chính là tậ p hợ p điểm cần tìm.

Từ quan sát hình vẽ: C và E di chuyển theo cung tròn. Vấn đề đặt ra: "Cung trònđóđượ c xácđịnh cụ thể như thế nào? ". C và E chính là cácảnh của M qua phép quay lần lượ ttâm B và A. Do M di chuyển trên nửa đườ ng trònđườ ng kính AB nên quỹ tích của C và Elà haiảnh của đườ ng tròn này trong các phép quay trên. Theo cách này, ta cần dựng thêmhình vuông ABB'A'.Đườ ng cần tìm là 2 nửa đườ ng trònđườ ng kính AA' và BB',ở bênngoài ABB'A'.

* Ví d ụ 9: Hướ ng dẫn giải bài tậ p: "Cho tam giác cân ABC (AB=BC). G ọi M là cungđ iể m của đườ ng cao AH, g ọi D là giao đ iể m của cạnh AB vớ i CM. Ch ứ ng minh r ằ ng

AB AD

3

1= ".

Hoạt động 1 : Sử dụng Cabriđể vẽ tam giác cân ABC (AB=BC),đườ ng cao AH, xácđịnh trungđiểm M của AH, nối CM xácđịnh D là giaođiểm của CM vớ i AB. H ọc sinhnhận xét đườ ng cao AH đồng thờ i là đườ ng trung tuy ế n => BH=HC.

Hoạt động 2: Xuất phát từ yêu cầu cần chứng

minh r ằng AB AD31

= , thì khi ta chiađoạn AB làm 3

phần bằng nhau bở i haiđiểm chia thìđiểm D phải làmột điểm, điểm còn lại giả sử đặt tên là E. Dễ thấy E phải là trungđiểm của đoạn AD. Khiđó ta có 3đoạnthẳng bằng nhau AD=DE=EA (điều đó đượ c minh

hoạ bằng k ết quả con số trên màn hình là 2 cm).

Hoạt động 3: Ta nối E vớ i H. Từ tr ực giác thấy haiđườ ng thẳng HE và CD song songvà sử dụng Cabriđể khẳng định điều đó.

Hoạt động 4: Ta có BH=HC và BE=ED, vậy HEđi qua trungđiểm hai cạnh của tamgiác CDB nên nó phải song song vớ i cạnh thứ ba là CD =>HE // CD => HE // MD.

Hoạt động 5: Vớ i tam giác AEH, ta có:

AM = MH VÀ MD // HE, vậy đườ ng thẳng MDđi qua trungđiểm của cạnh AH vàsong song vớ i cạnh thứ hai là HE vậy nó phải đi qua trungđiểm cạnh thứ ba tức là: AD =DE. Vậy ta có AD = DE = EB =>ĐPCM.

* Ví d ụ 10: Tìm m ố i liên h ệ giữ a khoảng cách t ừ giao đ iể m các đườ ng trung tr ự c củatam giác đế n một cạnh và kho ảng cách t ừ tr ự c tâm đế n đỉ nh đố i diện vớ i cạnh đ ó. Sử dụngCabriđể hướ ng dẫn học sinh giải bài toán này như sau:

Hoạt động 1 : Sử dụng cabri vẽ hình.





56

Hoạt động 2: Sử dụng chức năng "Khoảng cách vàchiều dài" xácđịnh số đo của đoạn KE và HB. Học sinhthực hiện phép chia và nhận đượ c k ết quả HB:KE là 2.

Hoạt động 3 : Cho tam giác ABC thayđổi. Họcsinh nhận đượ c thông báo của Cabri: tỷ số HB:KEkhông thayđổi và luôn bằng 2. Như vậy học sinh dự đoán và tìm cách chứng minh tỷ số HB:KE luôn bằng 2.

Hoạt động 4: Tìm tòi cách chứng minh: Học sinhliên tưở ng kiến thức cũ: trong một tam giác,đườ ng trung bình của tam giác song song vớ icạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó. Như vậy, nếu ta xácđịnh đượ c một tam giác màđườ ngtrung bình có số đo bằng số đo KE và cạnh tươ ngứng có số đo bằng số đo cạnh HB thì bàitoánđượ c giải quyết.

Hoạt động 5: K ẻ tia CK. Tađã có E là trungđiểm AC nên ta gợ i ý cho học sinh k ẻ

thêm cácđườ ng phụ sao cho KE làđườ ng trung bình của tam giác mà A và C là haiđỉnh.Gọi đỉnh còn lại của tam giác cần tủn là Q, theo cách dựng Anh KE vậy học sinh xácđịnhđượ c đỉnh Q bằng cách từ A k ẻ Ax // KE cắt CK tại điểm Q. Vậy vớ i cách dựng trên thì KElà đườ ng trung bình của ∆ ACQ và KE bằng một nửa AQ.

Hoạt động 6: Giáo viênđặt vấn đề: để chứng minh KE bằng một nửa HB, ta cần chứngminhđượ c HB bằng AQ.(H5)

Từ B k ẻ By // KF, giả sử By cắt CK tại Q'. Theo cách dựng KF làđườ ng trung bìnhcủa tam giác CBQ' và dođó ta có Q'K=KC (*), mặt khác vì KE làđườ ng trung bình của tamgiác ACQ nên KC=KQ (**). Từ * và ** chứng tỏ Q trùng vớ i Q' suy ra BH=AQ.Đến đâyta đã giải quyết song bài toán: K ết quả hai khoảng cách luôn tỷ lệ vớ i nhau vớ i tỷ số bằng 2

* Ví d ụ 11 : Cho góc xay khác góc b ẹt, Az là tia phân giác, B là đ iể m cố định trên tia Ax, C là đ iể m chuyể n động trên đ oạn thẳ ng AB, D là đ iể m chuyể n động trên tia Ay sao cho AD=BC. Ch ứ ng minh r ằ ng đườ ng trung tr ự c của đ oạn thẳ ng CD luôn luôn đ i qua m ột đ iể mcố định khi C, D di động.

Tr ướ c tiên học sinh dùng Cabriđể vẽ hình, sauđó cho thayđổi vị trí điểm C để dự đoán điểm cố định.

Một số học sinh phát hiện ra điểm cố định làgiao của tia phân giác góc Â vớ i đườ ng thẳng trungtr ực của đoạn thẳng AB. Một số phận học sinh lại chođiểm C di chuyển đến những vị trí đặc biệt và pháthiện ra đượ c điểm cố định chính là giao của hai

đườ ng trung tr ực của đoạn thẳng AB và AD'. (D' trên tia Ay sao cho AD'=AB).

Sau khi dự đoán điểm cố định, cả hai nhómđều chứng minhđượ c điều dự đoán của





57

mình là chính xác.Đến đây, có học sinh cảm thấy hình như có 2

điểm cố định ! . Để tìm hiểu vấn đề này học sinh sử dụng chức năng kiểm tra “ N ằ m trên đ ôi t ượ ng” vàk ết quả cho thấy giao haiđườ ng trung tr ực nằm trêntia phân giác của góc A. Như vậy đây chỉ là 2 cáchxácđịnh điểm cố định.

Sau quá trình mò mẫm, phát hiện, học sinhđãchứng minhđượ c đườ ng trung tr ực của đoạn thẳngCD luôn luônđi qua một điểm cố định khi C, D diđộng.

Tuy nhiên học sinh cũng r ất khó hình dung tr ọn vẹn hìnhảnh điểm "cố định" khi C, Ddi động ra sau?. Ta sử dụng chức năng để lại vếtkhi cho C,D diđộng, học sinh sẽ đượ c tận mắtquan sát hìnhảnh và hình dungđầy đủ về điểmcố định.

Ví d ụ 12: Cho tam giác đề u ABC, M là trung đ iể m của BC. V ẽ ME song song vớ i AB(E thu ộc AC),vẽ MF song song v ớ i AC (F thu ộc AB). Chứ ng minh r ằ ng

∆ BME = ∆ FMC .

Bướ c 1 : Sử dụng Cabriđể vẽ hình.Vớ i giả thiết M là trungđiểm của BC, học sinh dễ dàng chứng

minhđượ c ∆ BME =∆ FMC (c.c.c).

Bướ c 2: Giáo viên nêu vấn đề: M làđiểm bất k ỳ thuộc BC, k ếtquả trên cònđúng không?. Học sinh dùng chuột cho di chuyển vị trí của M trên BC, vớ i cáccông cụ đo khoảng cánh và góc, học sinh nhận thấy ∆ BME =∆ FMC và như vậy học sinhsẽ đi tìm hướ ng chứng minh bài toán mở r ộng.





58

Bướ c 3: Tìm tòi hướ ng chứng minh.

Có ME//AB nên góc∠ CME luôn bằng 600 (góc đồng vị),mặt khác góc∠ MCE bằng 600 (gt) vậy ∆ MCE là tam giácđềunên ME=MC (*).

-Tươ ng tự ta có∆ MBF là tam giácđều nên MB=MF (**).Mặt khác ta có góc∠ FMC bằng góc∠ EMB.

-Vậy ∆ BME =∆ FMC (c.g.c). Như vậy vớ i Cabriđã giúp học sinh mở r ộng bài toánđã cho và giải quyết đượ c tr ọn vẹn bài toánđó.

3.8. Thảo luận và bài tập* Hãyđưa ra các ví dụ cụ thể về việc khai thác phần mềm hình học động trong các tình

huống điển hình của dạy học toán:

- Dạy học khái niệm.- Dạy học định lý.

- Dạy học giải bài tậ p. . . .

* Xây dựng một số bài giảng điện tử có tích hợ p vớ i việc sử dụng phần mềm hình họcđộng theo chươ ng trình toán THPT và THCS.





59

Chươ ng 4HƯỚ NG DẪN SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE

4.1. Tổng quan chung về phần mềm Maple

Phần mềm Maple là k ết quả của nhóm các nhà khoa học tr ườ ng Đại học Waterloo -Canada và là một trong những bộ phần mềm toán học đượ c sử dụng r ộng rãi nhất hiện nay.

MAPLE là phần mềm có một môi tr ườ ng tính toán khá phong phú, hỗ tr ợ hầu hết cácl ĩ nh vực của toán học như: Giải tích số, đồ thị, đại số hình thức... dođó ta dễ dàng tínhđượ ccác giá tr ị gần đúng, rút gọn biểu thức, giải phươ ng trình, bất phươ ng trình, hệ phươ ng trình,tính giớ i hạn, đạo hàm, tích phân của hàm số, vẽ đồ thị, tính diện tích, thể tích, biến đổi matr ận, khai triển các chuỗi, tính toán thống kê, xử lý số liệu, số phức, phươ ng trình vi phân, phươ ng trìnhđạo hàm riêng... và lậ p trình giải các bài toán vớ i cấu trúc chươ ng trìnhđơ ngiản. Ngoài ra, vớ i phần mềm này ta dễ dàng biên soạn các sách giáo khoađiện tử vớ i chứcnăng Hyperlink tạo các siêu văn bản r ất đơ n giản mà không cần đến sự hỗ tr ợ của bất k ỳ một phần mềm nào khác (chẳng hạn PageText, Word, Frontpage...). Vớ i các chức năng trên,MAPLE là công cụ đắc lực hỗ tr ợ cho những ngườ i làm toán.4.2. Làm việc vớ i Maple

* Khở i động Maple:

Nếu Mapleđượ c càiđặt đúng quy trình,để làm việc vớ i MAPLE ta chọn:->Sart -> Programs -> Maple9 -> Classic Worksheet Maple 9hoặc bấm chuột vào

biểu tượ ng của Maple 9 trên màn hình:

* Thoát khỏi Maple:Để thoát khỏi Maple ta vào mênh File -> Exit (hoặc nhấn Alt+ F4 hoặc nháy vào biểu

tượ ng [X] phía trên góc phải cửa sổ chươ ng trình). Nếu nội dung làm việc chưa đượ c lưutr ữ, Maple sẽ nhắc ta có lưu tr ữ hay không. Ta chọn Yes hoặc Nođể ghi hoặc không ghi lại,chọn Cancel là tiế p tục làm việc.





60

4.3. Giao diện của cử a sổ làm việc của MapleGiao diện làm việc của Maple gồm các thành phần cơ bản như sau:

Các thành ph ần chính c ủa cử a sổ làm việc của Maple :* Tittle Bar (Thanh tiêuđề): Dòng chứa tên chươ ng trình và tệ p đang mở .

* Menu Bar (Thực đơ n ngang): Dòng chứa các chức năng,ứng vớ i mỗi chức năng làmột thực đơ n dọc tươ ngứng.

* Toal Bar (Thanh công cụ): Chứa một số biểu tượ ng (Icon) thể hiện một số lệnhthông dụng để ngườ i sử dụng thao tác nhanh.

* Status line (Thanh tr ạng thái): Cho biết thờ i gian thực hiện lệnh, dung lượ ng nhớ các biến chiếm khi thực hiện chươ ng trình và dung lượ ng bộ nhớ còn tr ống

* Ngoài ra trong chế độ văn bản Maple còn có thanh công cụ Formatting Bar dùngđể định dạng văn bản.





61

4.4. Các thao tác cơ bản trong vớ i Maple

4.4.1. Qu ản lý thông tin v ớ i Maple

Vớ i Maple, các thao tác cơ bản như: lưu tr ữ tệ p, mở một tệ p đã có, mở một tệ p mớ i,...hoàn toàn tươ ng tự như các phần mềm quen thuộc trong môi tr ườ ng Windows như

Winword, Excell,...* Lưu tr ữ tệ p:

Cách 1 :-> File -> Save

Cách 2: bấm vào biểu tượ ng

Cách 3 : nhấn đồng thờ i 2 phùn CTRL và S.

Nếu là lần đầu lưu tr ữ, xuất hiện cửa sổ để ta nhậ p tên tệ p, nhậ p tên tệ p xong thì nhấnchuột vào nút SAVEđể thực hiện.

* Mở một tệ p đã có trênđĩ aCách 1 : ->File -> Open ..

Cách 2: bấm vào biểu tượ ng:

Cách 3: nhấn đồng thờ i 2 phím CTRL và O.

Sẽ xuất hiện cửa sổ để ta chọn thư mục lưu tr ữ tệ p và tên tệ p. Ta chọn tên tệ p cần mở ,nhấn vào nútOpen.

* Mở một tệ p mớ i

Cách 1 : ->File->New Cách 2: bấm vào biểu tượ ng

Cách 3 : nhấn đồng thờ i 2 phím CTRL và N.

* Đóng tệ p

->File -> Close Nếu tệ p chưa đượ c lưu tr ữ, Maple sẽ nhắc ta có ghi hay không (Y/N).

* K ết thúc phiên làm việc:

Cách 1 : -> File -> ExitCách 2: nhấn đồng thờ i 2 phím : ALT và F4Cách 3: nhấn vào nút Close [x]để đóng cửa sổ soạn thảo.

4.4.2. Các thao tác h ỗ tr ợ khi so ạn th ảo vớ i Maple

* Đánh d ấ u đ oạn. - Đánh dấu bằng chuột: Đặt tr ỏ chuột vàođầu đoạn văn bản cần chọn, đồng thờ i ấn và





62

giữ phím trái r ồi rê tớ i cuối đoạn cán chọn, sauđó buông phím trái ra. Nếu muốn huỷ phầnvừa chọn, hãy dịch tr ỏ chuột thoát ra khỏi vùng vừa chọn r ồi ấn phím trái. Phần vừa chọn sẽ bị huỷ bỏ và tr ở lại tr ạng thái bình thườ ng.

- Đánh dấu bằng bàn phím:Đưa con tr ỏ đến vị trí đầu đoạn, bấm giữ phím Shift và dichuyển con tr ỏ đến vị trí cuối đoạn (bằng các phímđiều khiển con tr ỏ).

Đánh dấu cả tệ p: Từ bàn phím, gõ vào tổ hợ p phímCtrl+A hoặc kích chuột vào MenuEdit, chọn Seclect All.

* C ắ t xoá đ oạn :- Đánh dấu đoạn cần xoá.

- Nháy chuột vàoMenu Edit, chọn Cut hoặc bấm Ctrl+X từ bàn phím.

- Nếu dùng trên thanh công cụ thì ta chọn vào

- Từ bàn phím ta còn có thể nhấn phímDell.* Sao chép m ột đ oạn: - Đánh dấu đoạn cần sao chép

- Nháy chuột vàoMenu Edit, chọn Copy hoặc bấm Ctrl+C từ bàn phím

- Nếu dùng trên thanh công cụ thì ta chọn vào .

- Đặt con tr ỏ chuột vào nơ i cần sao chépđến. Nháy chuột vàoMenu Edit, chọn Pastehoặc bấm Ctrl+V từ bàn phín.

- Nếu dùng trên thanh công cụ thì ta chọn vào hoặc có thể đặt tr ỏ chuột vàođoạn đã đượ c chọn cần chọn đồng thờ i ấn phím Ctrl và giữ phím trái r ồi rê tớ i nơ i cần saochépđến, sauđó buông chuột ra.

4.4.3. Đinh d ạng các đố i t ượ ng trong Maple

Để định dạng cácđối tượ ng trong Maple, như thayđổi kiểu chữ của các dòng lệnh, cácdòng thông báo k ết quả, lề... ta tiến hành như sau:

Bướ c 1 : Lựa chọn đối tượ ng.

Bướ c 2: -> Format -> Paragraph. Khiđó xuất hiện bảng để chọn các tham số





63

Để thayđổi các thông số ngầm định, ta chọn: -> Format-> Styles. Xuất hiện bảng để

ta khai báo các thông số cần xácđịnh.

4.4.4. Các đố i t ượ ng c ơ bản tích h ợ p trong m ột t ệ p tin c ủa Maple

+ Worksheet là môi tr ườ ng mà ngườ i sử dụng có thể tính toán, thực hành trênđó cònđượ c gọi là trang công tác. Khi ngườ i sử dụng lưu tr ữ các k ết quả lênđĩ a từ, mỗi Worksheetđượ c ghi thành một File vớ i phần mở r ộng ngầm định là mws. Một Worksheet của Maplethườ ng có những thành phần sau:

- Cụm xử lý (Execution group) bao gồm cácđối tượ ng cơ bản của Maple như: lệnh,





64

k ết quả tính toán của Maple,đồ thị,...Để tạo một cụm xử lý mớ i, ta kích chuột vào biểu tượ ng [> trên thanh công cụ hoặc

chọn: -> Insert -> Execution Group -> After cursor.

- Đoạn (Paragraph): Khái niệm Paragraph vớ i Maple đượ c hiểu như khái niệm

Paragraph của phần mềm soạn thảo văn bản Winword.Để tạo một Paragraph mớ i, ta chọn:Insert-> Paagraph -> After cursor. - Mục (Section): Mục có thể coi như là các modul thành phần cấu thành nên trang

công tác. Một trang có thể gồm nhiều mục, mỗi mục có thể chứa những đoạn và những mụccon. Biểu tượ ng của mục là dấu [+], nếu ta nháy chuột vào biểu tượ ng này thì nội dung củamục đượ c tr ải ra và biểu tượ ng của mục sẽ biến thành [-], nếu ta nháy chuột vào biểu tượ ng['] này thì nội dung của mục sẽ thu lại.

Để tạo mục mớ i, ta chọn: -> Insert-> Section. -Siêu liên k ết (Hyperlink ): Khái niệm siêu liên k ết đã tr ở nên r ất quen thuộc vớ i

chúng ta trong thờ i đại bùng nổ của Internet. Một siêu liên k ết là đối tượ ng mà nếu ta kíchhoạt vàođó thì sẽ dẫn ta đến một đoạn, một mục hay một Worksheet nào khác.Để tạo siêuliên k ết ta chọn đối tượ ng mang siêu liên k ết sau đó chọn: -> Format -> Convert to ->Hyperlink.

Tại mục: Linh Target có các sự lựa chọn:

- URL: Liên k ết đến một địa chỉ websize nàođó.

- Worksheet: Liên k ết đến mộttệ p nàođó của Maple.

- Help Topic: Chuyển đến mộtchủ đề nào đó trong nội dungHelp của Maple.

- Bookmark : Chuyển đến một bookmark nàođó đã đượ c định

ngh ĩ a tr ướ c đó.

Có thể nhấn Browse để tìm kiếm địa chỉ đích của mối liên k ết. Khai báo xong nhấnOKđể hoàn tất.

Văn bản (Text): là đối tượ ng đượ c sử dụng r ất nhiều trong Maple vớ i mục đích cungcấ p thông tin dướ i dạng văn bản.

Để tạo đoạn văn bản mớ i, ta kích chuột vào biểu tượ ng chữ [T] trên thanh Toal Barhoặc có thể chọn: -> Insert -> Text.

- Lệnh và K ết quả của Maple (Maple Input and Output).





65

+ Lệnh của Maple (Maple Input) là những từ tựa tiếng Anhđượ c sử dụng theo mộtngh ĩ a nhất định và phải tuân theo cú pháp của Maple. Lệnh đượ c nhậ p sau dấu nhắc lệnh"[>" và k ết thúc bở i dấu “ : ” hoặc " ; ", ví dụ để giải phươ ng trình 5x2+ 3x- 2 = 0, ta gõlệnh [> solve(5*x^2+ 3*x- 2,{xi});↵.

Mỗi câu lệnh của Maple nếu k ết thúc lệnh bằng dấu (;) k ết quả sẽ hiển thị ngay ra mànhình, nếu k ết thúc lệnh bằng dấu (:) thì Maple vẫn tiến hành tính toán bình thườ ng nhưngk ết quả không hiển thị ra màn hình. Lệnh đượ c thực hiện khi con tr ỏ ở trong hoặc ở cuốidòng lệnh mà ta nhấn Enter (kí hiệu ↵).

Lệnh của Maple có hai loại lệnh tr ơ và lệnh tr ực tiế p: Lệnh tr ơ và lệnh tr ực tiế p chỉ khác nhauở chỗ chữ cái đầu tiên của lệnh tr ơ viết ìn hoa, lệnh tr ực tiế p cho k ết quả ngay,

còn lệnh tr ơ chỉ cho ta biểu thức tượ ng tr ưng. Ví dụ: Tính đề thituyể n sinh Đ HTN - Khố i D - 1999)

- Nếu ta sử dụng lệnh tr ơ Limit, k ết quả như sau:

Nếu ta sử dụng lệnh tr ực tiế p, k ết quả như sau:

Tuy nhiên k ết quả trên chưa gọn, ta có thể sử dụng lệnh sau:

như vậy k ết quả )3/1(641921

21

+ sau khiđã rút gọn là4825

K ết quả tính toán (Maple Output) sẽ đượ c đưa ra màn hình, thườ ng là mầu xanh cô ban sau khi ta nhấn phím enterđể thực hiện câu lệnh.

Tuy nhiên Maple cũng có chế độ cho phép thực hiện nhóm các câu lệnh (như t ệ p baicủa MS - DOS) để ngườ i sử dụng thực hiện một nhóm các câu lệnh nhằm giải quyết một vấn

đề nàođó, ví dụ tính tích phân ( Đề thi tuyể n sinh Đ HTN - khố i A - 1996).

Ta nhậ p vào 2 dòng lệnh sau:

[> lnt(sin(x)∧(2*n), x=0..Pi/2); ( nh ấ n t ổ hợ p Shift + Enter để xuố ng dòng )





66

T:=n->int(sin(x)^(2*n),x=0..Pi/2);↵

màn hình sẽ hiện k ết quả như sau:

Để tính giá tr ị tích phân vớ i một n cụ thể ta chỉ việc gõ .lệnh [>T(n)↵, chẳng hạn vớ i

vớ i n = 100, ta có :

và cần tính , ta chỉ gõ [>l (2004)↵

Đồ thị (Graph): Maple cho phép vẽ và hiển thị đồ thị trong trang công tác, tính năngnàyđượ c gọi là “Khả năng đồ hoạ tr ực tiế p”

Ví dụ: vẽ đồ thị hàm số vớ i m = 0 ( Đề thi tuy ể n sinh vào Đ HTN - năm học 1999 - 2000, kh ố i A, B). Ta sử dụng lệnh phụ như sau

[> plot(x^3/3-x+2/3,x=-3..2);↵ . K ế t quả ta đượ c đồ thị như sau:

4.5. Sử dụng các lệnh của Maple Nội dung này, bạn đọc cần tham khảo những tài liệu của nhóm tác giả Phạm Huy

Điển, Đinh Thế Lục, Tạ Duy Phượ ng [l], [2],ở đây chúng tôi chỉ liệt kê lại một số câu lệnhđơ n giản thườ ng sử dụng trong chươ ng trình toán phổ thông và chươ ng trình toánở tr ườ ngĐại học.

Làm quen vớ i các lệnh của Maple:

+ Lệnh [> restart;

Lệnh restart có công dụng xoáđi tất cả các biến nhớ của việc tính toán tr ướ c đó vàkhở i động một quy trình tính toán mớ i.





67

Để xácđịnh giá tr ị cho một biến, một hằng, một hàm hoặc khai báo một thủ tục Maplesử dụng câu lệnh gán ":=", ví dụ:

Xácđịnh biến n nhận giá tr ị bằng 5:

[> n := 5;↵

Khai báo hàm f(x)= x2:[> f := x->x ^2;↵

f:= x-x 2

Sau khi khai báo hàm f(x),để biết giá tr ị của f(x) tại một điểm xo nàođó ta chỉ việc gõtên hàm và giá tr ị x0 trong ngoặc, ví dụ tính giá tr ị f(x) tại x0=3:

[> f(3);↵

9

Khai báo một chươ ng trình con (procedure) có tên là p vớ i 2 tham số hình thức là a, b.K ết quả thực hiện thủ tục cho ta giá tr ị của a2 + b2, ví dụ:

[> p := proc(a, b) # chú ý nhấn phím Shift+Enterđể xuống dòng

local c; c := a^2+ b^21 c; # tr ả lại giá tr ị cuối cùng

end proc:Để tính giá tr ị của thủ tục p nói trên vớ i tham số thực sự là 2 và y, ta gõ lệnh:

[> p(2, y);↵

4 + y2

Maple cung cấ p một hệ thống các hàm hầu như phủ khắ p các l ĩ nh vực của toán học, tacó thể k ể một số hàm thông dụng:

[> factor(6*x^2+ 18*x - 24); #Phân tích một đa thức thành tích các nhân tử ↵

6 (x+ 4 ) (x - 1)

[> expand((x+ 1 )^3); #Triển khai một biểu thức ↵

x3 + 3x2 + 3x + 1

[> normal( (x^2 - y^2)/(x - y)^3 ); #Đưa một biểu thức về dạng chuẩn hoá

[> simplify(4^(1/2)+ 3); #Đơ n giản, rút gọn một biểu thức ↵

[> z := (x^2+ 1)/(x - y); #Khai báo dạng tổng quát cua Z↵





68

[> numer(z); #Tách tử số của một phân thức ↵

x2 + 1

[> denom(z); #Tách mẫu số của một phân thức ↵

x - y

[> eval(x^3+ 2*x^2 - 7*x+ 5, x=3); #Tính giá tr ị của một biểu thức ↵

29

[> solve(x^2+ x : 1,x); #Giải phươ ng trình hoặc hệ phươ ng trình↵

[> solve({u+ v + w = 1, 3*u+v=3, u-2*v-w=0});↵

[> fsolve(tan(sin(x)) = 1, x ); #Giải phươ ng trình, hệ phươ ng trình lấy nghiệmở dạngthậ p phân↵

0.9033391108

[> diff(x^2+ x^4 - 3*x+ 2, x), #Lấy đạo hàm của một biểu thức theo một biến ↵

2x + 4x3 -3

[> int(sin(x), x); #Lấy tích phân của một hàm số ↵

-cos( x )

[> limit(sin(x)/x, x=0); #Tính giớ i hạn của một hàm số ↵ 1

[> limit(g(x), x = infinity;↵

[>plot(sin(x),x=0..2*pi); # Lệnh vẽ đồ thị trong mặt phẳng↵

[>plot3d(sin(x*y), x=0..1, y=0..1); # Lệnh vẽ đồ thị trong không gian↵

Như vậy, có thể thấy việc sử dụng câu lệnh của Maple r ất đơ n giản, tr ực quan. Bảnthân phần mềm Maple cũng có một hệ thống tr ợ giúp (Help) r ất phong phúđủ cho những aicó lòng nhiệt tình muốn tìm hiểu Maple.

4.5.1. Nhóm các l ệnh tính toán x ử lý các v ấ n đề trong s ố học, đại số + Các phép toán số học: cộng, tr ừ, nhân, chia, luỹ thừa...đượ c Maple quyđịnh vớ i các

ký hiệu như sau: phép cộng(+), phép tr ừ (-), phép nhân (*), phép chia (/), phép luỹ thừa (^),các phép toàn lấy phần nguyên, phần dư,... ta gõ biểu thức cần tính toán và Maple sẽ thựchiện tức thì. Ví dụ:





69

[> (1245.67+2345.34^2)/(123.45^3+234.23);↵

+ Lệnh tìm UCLN:gcd(a,b);, ví dụ [> gcd(55,100);

+ Lệnh tìm bội chung nhỏ nhất: lcm(a,b);,ví dụ [> lcm(4,6);↵

+ Lệnh phân tích một số ra thừa số nguyên tố:ifactor(a); Ví dụ:

[> ifactor(2061962);↵

(2) (7) (147283 )

+ Lệnh tìm số nguyên tố đứng tr ướ c số nguyên ađã xácđịnh:prevprime(a);

Ví dụ, vớ i a = 100, ta gõ lệnh:

[> prevprime(100);↵

vớ i a =127859746, ta gõ lệnh: [ > prevprime(127859746);↵

+ Lệnh tìm số nguyên tố đứng sau số nguyên a:nextprime(a),

Ví dụ a = 100, ta gõ lệnh: [> nextprime(100);↵

vớ i a = 27859746, ta gõ lệnh [ > nextprime(127859746);↵

+ Lệnh tìm nghiệm nguyên của phươ ng trình:isolve(f, { x,y.. . } ); Trongđó f là biểuthức của phươ ng trình hoặc hệ phươ ng trình, { x,y... } là danh sách cácẩn.

Ví dụ, tìm nghiệm nguyên của bài toán cổ vừa gà vừa chó bó lại cho tròn 36 con 100chân chẵn. Gọi số gà là x, số chó là y ta thực hiện lệnh:

[> isolve({2*x+4*y=100,x+y=36},{x,y})↵

{y = 14. x = 22 }K ết quả cho tađáp số của bài toán là: số gà là 22, số chó là 14.

+ Lệnh tìm thươ ng và phần dư: iquo(a,b); vàirem(a,b); trongđó a, b là các biểu thức.Ví dụ vớ i a = 23, b = 4, ta gõ lệnh:

[> Thuong = iquo(23,4);↵

Thuong = 5

[> Du = irem(23,4);↵

Du = 3+ Lệnh tìm số nhỏ nhất và số lớ n nhất trong một dãy số min(); và max(); trong dấu

ngoặc đơ n cần liệt kê các số, biểu thức số cần thao tác.

Ví dụ, tìm số lớ n nhất, nhỏ nhất trong 3 giá tr ị { 3/2, 1 .49,Pi/2 }





70

+ Lệnh tính tổng vô hạn và tổng hữu hạn các số hạng sum(f,n=a..b); trongđó f là biểuthức của số hạng tổng quát, a,b …∈ N là cận dướ i, cận trên của giớ i hạn tính tổng, ví dụ:

+ Lệnh tính tích hữu hạn và vô hạn các số Product(f, n=a..b); trongđó f là biểu thứccủa số hạng tổng quát, a,b …∈ N là cận dướ i, cận trên của giớ i hạn tính tích, ví dụ:

+ Xácđịnh độ chính xác của các phép tính số học: evalf (f,n); trongđó f là biểu thức, nlà số các chữ số sau dấu phẩy, ví dụ:

[> eval(Pi,30);↵

3.14159265358979323846264338328

+ Tính toán vớ i các số phức đượ c Maple thực hiện theo quy tắc thông thườ ng, ví dụ:

+ Chuyển số phức x về dạng toạ độ cực: convert((x),polar), ví dụ:

+ Lệnh khai triển biểu thức đại số: expand(f)





71

ví dụ:

+ Lệnh phân tíchđa thức thành nhân tử: ractor(f),

ví dụ:

+ Lệnh xácđịnh bậc của đa thức : degree(f),ví dụ:

+ Lệnh viết đa thức dướ i dạng bình phươ ng của tổng: completesquare() (lệnh này

phải phải mở gói công cụ student), ví dụ:

+ Lệnh sắ p xế p đa thức theo bậc: collect(f,x), trongđó f là biểu thức, x làẩn chọn để xế p theo thứ bậc, ví dụ:

+ Lệnh đơ n giản (rút gọn) biểu thức: simplify(),

+ Lệnh tối giản phân thức: normal().

+ Lệnh khử căn thức ở mẫu số: readlib(). Tr ướ c khi thực hiện lệnh này cần mở thư





72

viện readlib(rationalize), ví dụ:

+ Khai báo hàm số: Để định ngh ĩ a hàm số ta dùng dấu gán (:=).

ví dụ:

Sau khiđã định ngh ĩ a hàm số ta có thể tính giá tr ị của hàm số, ví dụ tính giá tr ị củahàm số tại x=0.1 2345 :

[> f(0.12345);↵

-0.8677073006

+ Giải phươ ng trìnhsolve(f, { d/s biến } )

Bướ c 1 :định ngh ĩ a phươ ng trình bở i lệnh gán :=, ví dụ :

Bướ c 2: giải phươ ng trình bằng lệnh solve();

+ Giải hệ phươ ng trìnhsolve( { d/s, pt }, { d/sẩn } ).

Bướ c 1 :định ngh ĩ a các phươ ng trình bằng lệnh gán :=, ví dụ





73

Bướ c 2: giải phươ ng trình bằng lệnh solve.

+ Giải bất phươ ng trìnhsolve() :Bướ c 1 :định ngh ĩ a các bất phươ ng trình bằng lệnh gán :=

Bướ c 2: dùng lệnh solve():

Ta có thể giải tr ực tiế p bất phươ ng trình trên như sau :

+ Giải hệ bất phươ ng trình vớ i lệnh solve(), ví dụ :

Bướ c 1 :định ngh ĩ a các bất phươ ng trình:

Bướ c 2: dùng lệnh :

[> solve({Bpt1,Bpt2},x);↵

{l <x,x <4}, {8<x~x <10}

Hoặc ta có thể đưa tr ực tiế p bất phươ ng trình vào trong câu lệnh như sau:

4.5.2. Nhóm các l ệnh tính toán x ử lý trong đại số tuyế n tính

Để khai thác thế mạnh của Maple trong l ĩ nh vực đại số tuyến tính, ta khở i động

chươ ng trình bằng lệnh restart và nạ p gói công cụ chuyên ngànhlinalg + Lệnh khai báo ma tr ận: matrix() hoặc array(),ví dụ:





74

+ Lệnh so sánh hai ma tr ận có cùng số chiều: equal()Tr ướ c tiên ta khai báo sử dụng gói công cụ đại số linalg bở i lệnh

Thực hiện phép so sánh các ma tr ận trên bở i lệnh:

+ Lệnh tính tổng của hai ma tr ận: evalm() hoặc add(), ví dụ

+ Lệnh nhân ma tr ận: multiply(), ví dụ vớ i hai ma tr ận A, B như đã khai báoở trên, tacó:

+ Lệnh tìm tích trong của ma tr ận và véc tơ : innerprod(), ví dụ:





75

+ Lệnh tính tích vô hướ ng của hai véc tơ : dotprod(), ví dụ:

+ Lệnh hoán vị dòng (cột) của ma tr ận swaprow(), swapcol(), ví dụ:

+ Lệnh nhân một dòng của ma tr ận vớ i một biểu thức mulrow(), mulcol(), ví dụ:





76

+ Lệnh tìm ma tr ận chuyển vị: transpose(), ví dụ:

+ Lệnh tìm bất biến của ma tr ận permanent(), ví dụ:

+ Lệnh tính giá tr ị riêng và véc tơ riêng của ma tr ận eigenvectors (), ví dụ:

K ết quả của lệnh eigenvectors đượ c xắ p xế p như sau: số đầu tiên trong mỗi mócvuông của dòng là giá tr ị riêng, số thứ hai là bội đại số của giá tr ị riêng, và cuối cùng là tậ p





77

các véc tơ cơ sở của không gian riêngứng vớ i giá tr ị riêngđó. Mỗi móc vuôngứng vớ i mộtgiá tr ị riêng của ma tr ận, cụ thể:

+ Lệnh tìm ma tr ận đặc tr ưng charmat(), ví dụ:

+ Lệnh tìmđa thức đặc tr ưng của ma tr ận: charpoly(), ví dụ:

+ Lệnh tính hạng của ma tr ận rank (), ví dụ:

+ Lệnh tínhđịnh thức det (), ví dụ:





78

+ Lệnh giải phươ ng trìnhđại số tuyến tínhAx=u: linsolve (), ví dụ:

4.5.3. Các câu l ệnh v ẽ đồ th ị của Maple

Bắt đầu khở i động chươ ng trình bằng lệnh [>restart: và tiến hành nạ p chức năng vẽ đồ thị bằng lệnh [>with(plots); [>with(plottools);

* Vẽ đồ thị trong không gian hai chiều plot().Ví dụ 1 : vẽ đồ thị hàm số x4+2x3-x2+ 1

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số | x4+2x3-x2+ 1|





79

Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y= x4+2x3-x2+ l và y=2x3-2*x+2 trên cùng hệ tr ục toạ độ:

*Vẽ đồ thị hàmẩn implicitplot().Ví dụ: vẽ elip có phươ ng trình x2/9 + y2/4 = 1 .

* Vẽ đồ thị hàm xácđịnh từng khúc:

Tr ướ c hết cần, khai báo hàm từng khúc vớ i câu lệnh: piecewise(),

sauđó dùng lệnh vẽ đồ thị:





80

* Vẽ đồ thị hàm sin, cos theo tham số t [> plot([sin(t),cos(t)],t=-Pi..Pi);↵

* Vẽ đồ thị trong không gian ba chiềuTr ướ c tiên ta khở i động chươ ng trình và nạ p thư viện

[> restart: with(plots): with(plottools):↵ Tiế p theo vẽ mặt hai chiều trong không gian ba chiều bằng lệnh plot3d()

[> c1:= [cos(x)-2*cos(0.4*y), sin(x)-2*sin(0.4*y), y]:

c2:= [cos(x)+2*cos(0.4*y), sin(x)+2*sin(0.4*y), y]:c3:= [cos(x)+2*sin(0.4*y), sin(x)-2*cos(0.4*y), y]:

c4:= [cos(x)-2*sin(0.4*y), sin(x)+2*cos(0.4*y), y]:

plot3d({c1, c2, c3, c4}, x=0..2*Pi, y=0..10, grid=[25,15], style=patch, color:sin(x)↵

* Sự vận động của đồ thị.





81

Maple có chức năng hỗ tr ợ sự vận động (animation)của đồ thị hai chiều và đồ thị ba chiều vớ i cú pháp[>animate (chođồ thị hai chiều), và cú pháp[>animate3d(chođồ thị ba chiều). Ví dụ:

Vẽ đồ thị hàm y = tsin(xt).

Muốn chođồ thị chuyển động thì tại khungđồ thị ta nhấn chuột phải sau đó chọn ->Animation -> Play

Muốn chođồ thị chuyển động liên tục không ngừng trên thanh công cụ:

nhắ p chuột vào nút thìđồ thị sẽ chuyển động liên tục, nút đúng sự vận động. Tươ ngtự như vậy ta có thể chođồ thị ba chiều vận động.





82

4.5.4. Các câu l ệnh c ủa Maple h ỗ tr ợ gi ải các bài toán gi ải tích.

+ Tính giớ i hạn của hàm số f(x) khi x tiến tớ i a: limit(f,x=a); giá tr ị dươ ng vô cùng,âm vô cùngđượ c viết là infinity, - infinity. Ví dụ:

+ Tínhđạo hàm của hàm số f(x) theo biến x: diff (f(x),x);Diff (f(x),x);

+ Tínhđạo hàm bậc n của hàm số f(x) theo biến x:diff (f(x),xu);

+ Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) theo biến x: int(f(x),x);Int(f(x),x);. Ví dụ:





83

+ Tính tích phân xácđịnh của hàm số f(x) trênđoạn [a,b]:int(f(x),x=a..b);

+ Tính giá tr ị lớ n nhất, nhỏ nhất của hàm số trên miền D: minimize(f,x=a..b);maximize(f,x=a..b);Ví dụ:

+ Để xácđịnh nguyên hàm của một hàm số, ta có thể sử dụng đoạn lệnh sau:

[> with(Maplets): with(Maplets[Elements]):integrationMaplet3:= Maplet( Window('title'="TINH NGUYEN HAM", [["NGUYHAM: ", TextField['TF1']()],[“BIEN XÁC DINH TRONG NGUYEN HAMTextField['TF2'](3)], MathMLViewer['TB1'](), ["Do thi ham va nguyên ham cua nPlotter['PL1'](), [Button("NGUYEN HAM", Evaluate(TB1 = 'MathML[Export](int(TF2))')),Button("DO THI", Evaluate('PL1'='plot([TF1, eval(int(TF1,TF2)) ], x=-2..Button("OK", Shutdown(['TF1', 'TF2']))]] ) ):

[> Maplets[Display]( integrationMaplet3 );

Khi đó trên màn hình xuất hiện cửa sổ, ta nhậ p dạng biểu thức của hàm số cần tìmnguyên hàm và tên biến, ta sẽ nhận đượ c biểu thức của nguyên hàm. Nếu nhấn nút "Đồ thị"ta sẽ thuđượ c dạng đồ thị của f(x) và nguyên hàm F(x) của nó:





84

+ Để xác định tích phân xácđịnh của hàm số f(x) trênđoạn [a,b], ta có thể sử dụngđoạn lệnh sau:

[> restart:with(Maplets):with(Maplets[Elements]):with(student):

TICH_PHAN:= Maplet( Window('title'="TINH TICH PHAN",[[“NHAP HAM SO TINH TICH PHAN: ”, TextField[' rFi']()],["NHAP CAN DUOI: ", TextFierF2'](4)],["NHAP CAN TREN: ", TextField['TF3'](3)], MathMLViewer['TB1'](),["DOCUA HAM DA NHAP "], Plotter['PL1'](ld),[Button("TICH PHAN", Evaluate(TB

MathML[Export](int(TF1, X=TF2..TF3))')), Button("DO THI", Evaluate('middlebox(TF1,x= -5..5,colour = red)')), Button("OK", Shutdown(['TF1', 'TF2','TF3']))

[>Maplets[Display](TICH_PHAN );

Khiđó trên mầm hình xuất hiện cửa sổ để nhậ p dạng biểu thức của hàm số cần tìm tích phân xácđịnh và cận lấy tích phân, ta sẽ nhận đượ c k ết quả. Nếu nhấn nút "Đồ thị" ta sẽ thuđượ c dạng đồ thị của f(x)





85

4.5. Khai báo hàm tự tạo

4.5.1. Khai báo hàm b ằng toán t ử "->"

Để khai báo một hàm (f)đượ c xác định bở i biểu thức (bt(x)), trong Maple sử dụngtoán tử "->" vớ i cú pháp như sau:[> tên hàm := x-> biểu thứ c xácđịnh hàm f (đối số).Ví dụ

Sau khiđã khai báo hàm,để tính giá tr ị của hàm tại một giá tr ị nàođó, ta chỉ việc thaygiá tr ị cụ thể đó vào lờ i gọi hàm [> f(value);, ví dụ:

[> f(3);↵

4.5.2. Khai báo hàm t ự t ạo bằng proco..... end

Giữa proc(d/s tham số)... end: là các câu lệnh của hàm.ví dụ:

[> Max:=proc(a,b,c)





86

if a < b then

if b < c then c else b fi;

elif a < c then c

else a fi;

end:↵ Sauđó nếu gọi hàm Max vớ i các số cụ thể sẽ đượ c k ết quả ví dụ: l> Max(23,5,87)l

4.6. Các cấu trúc cơ bản đượ c sử dụng trong lập trình của Maple

4.6.1. C ấ u trúc l ặ p đ i ều ki ện tr ướ cWhile < Điề u kiện> Do < danh sách các câu l ệnh>

od;

Vòng lặ p While sẽ thực hiện lặ p đi lặ p lại các câu lệnh giữa do và od nếu điều kiện

sau từ khoáWhile cònđúng. Nếu muốn thoát sớ m khỏi vòng lặ p cần phải sử dụng các lệnhReturn, Break, Quit.

Ví dụ 1 : Thuật toánƠclit tìmướ c số chung lớ n nhất của hai số tự nhiên:

[> restart;↵

[> a:=126:b:=34: # khai bao hai so tu nhien a=126, b=34

[> while b <> 0 do

d:=irem(a,b);

a:=b; b:=d;

od; print(' USCLN cua hai so la:');

value(a);↵

Ví dụ 2: Viết ra màn hình n số hạng đầu của dãy Fibonacci[>restart;

f(0):=1;

f(1):=1 ;n:=2;

while n <= 20 do

f(n):=f(n-1)+f(n-2),

n:=n+1 ;





87

od;

seq(f(i),i=3..2);↵

4.6.2. C ấ u trúc l ặ p bi ế t tr ướ c số l ầnFor <biến> from <cận đầu> by <bướ c thayđổi> to <cận cuối>

Do <d/s các câu lệnh>;od; Hoặc

For < tên biến> in <danh sách giá tr ị>Do <d/s các lệnh>;od;

Ví dụ: Tính tổng bình phươ ng các số chẵn trong mảng:[> restart,

mang:=[2,5,7,8,9,23,45,67,89,24,36,42];

tong:=0;for i in mang do

if irem(i,2)=0 then tong:=tong+i^2;

fi;od;

print(' tong can tim la:',tong);↵

Khi thực hiện tađượ c k ết quả:

mang := [2, 5, 7, 8, 9,23, 45, 67, 89, 24, 36, 42]tong :=0

tong can tinh la:, 3 704

4.6.3. C ấ u trúc r ẽ nhánh

if <điều kiện l> then < d/s các câu lệnh l>;elif < điều kiện 2> then < d/s các câu lệnh 2>;else < d/s các câu lệnh 3>;fi;

Ví dụ: giải phươ ng trình bậc 2, tr ướ c tiên ta khai báo một proc() :[> ptb2::proc(a,b,c)

local delta,x1,x2;

delta:=b*b-4*a*c;

if delta < 0 then

print(' phuong trinh da cho vo nghiem’)





88

elif delta = 0 then

x1 :=-b/(2*a);

pint(' phuong trinh co nghiem kép:x1=',x1);

else

x1:=(-b-sqrt(delta))/(2*a);x2:=(-b+sqrt(delta))/(2*a);

print(' phuong trinh da cho co 2 nghiem phan biet :');

print(x1);

print(x2):Để giải phươ ng trình bậc hai, ta chỉ cần gọi tên proc() vớ i các hệ số thực sự, ví dụ:

[> ptb2(1, 2, 1 ); phuong trinh co nghiem kep: x1= - 1

[> ptb2(1,2,-1); phuong trinh da cho co 2 nghiem phan biet:

[> ptb2(1,2,3);↵ phuong trinh da cho vo nghiem

4.6.4. Bài t ậ p:

Bài 1 : Lậ p trình giải phươ ng trình trùng phươ ng.

Bài 2: Lậ p trình giải hệ phươ ng trình bậc nhất haiẩn

Bài 3: Lậ p trình kiểm tra một số có là số nguyên tố hay không?Bài 4: Lậ p trình phân tích một số nguyên dươ ng thành tích các thừa số nguyên tố.

Lưu ý: bố n bài t ậ p trên ch ỉ có ý ngh ĩ a cho các b ạn làm quyên v ớ i việc l ậ p trình v ớ i Maple.

Để tìm hiểu về lậ p trình vớ i Maple, bạn đọc sẽ tìm thấy những hướ ng dẫn chi tiếtchuyên sâu trong các tài liệu [l],[2],[3],[4].

4.7.ứ ng dụng maple trong khảo sát hàm số

4.7.1. Các l ệnh c ủa Maple có th ể vận d ụng trong kh ảo sát hàm s ố Ta có thể sử dụng các hàm của Maple khi khảo sát hàm số, chẳng hạn như: xácđịnh

miền giá tr ị, khoảng đơ n điệu, miền lồi, cực tr ị vàđiểm uốn, vẽ đồ thị,...* Xác định miề n xác định của hàm s ố f(x): Để xác định miền giá tr ị của các hàm phân thức đượ c trình bày trong sách giáo khoa

giải tích lớ p 12, tr ướ c tiên ta dùng lệnh denom()để tách lấy mẫu số. Miền xácđịnh của hàmsố chính là tậ p các giá tr ị làm cho mẫu số có ngh ĩ a. Ví dụ tìm miền xácđịnh của hàm số:





89

Ta dùng nhóm các lệnh sau:

[> restart;

Y:=simplify(Y):

print('Tap xac dinh cua ham so la:');a:=solve(denom(Y)=0,x):

if(type(denom(Y),realcons)=true)or(coeff(denom(y),x^2)<>0 and type(a[1],realc=falssel then D=R;fi:

if coeff(denom(y),x^2)=0 and coeff(denom(y),x)<>0 then D={x<>a};fi;↵

K ết quả thực hiện chươ ng trình:

* Tìm khoảng đơ n đ iệu của hàm s ố .

Bướ c 1: Tìmđạo hàm của hàm số vớ i lệnh: [>diff (f(x),x);

Bướ c 2: Xácđịnh chiều biến thiên:Xác định khoảng đồng biến của hàm số (tức là tìm nhưng khoảng màđạo hàm của

hàm số không âm), ta sử dụng lệnh: [>dhbn := bieuthuc r(x) >=0;

Bướ c 3 : Giải phươ ng trình bằng lệnh [>solve(dhbn, { x } ) ;

Xácđịnh khoảng nghịch biến của hàm số, tươ ng tự như trên, ta dùng lệnh:[> dhbn : = bieuthuc f’(x) <=0; Và giải phươ ng trình bằng lệnh: [>solve(dhbn,{x});

Thí dụ: Tìm khoảng đơ n điệu của hàm số: y = x3 - 6 x2 + 4 x - 8

Bướ c 1: Tínhđạo hàm:

Bướ c 2: Thiết lậ p bất phươ ng trình

dhbn:= 0≤ 3x2 - 12x +4

Bướ c 3: Giải bất phươ ng trình: [> solve(dhbn,{x});↵





90

* Tìm miền lồi, miề n lõm c ủa hàm s ố

Bướ c 1: Tínhđạo hàm bậc nhất: [>dhb1:=diff (f(x),x);

Bướ c 2: Tínhđạo hàm bậc hai: [>dhb2:=diff (dhbl,x);

Bướ c 3: Giải bất phươ ng trình .f”x)≥ 0 để tìm miền lồi của hàm số, bằng lệnh:

(dhb2>=0,x);ví dụ xét hàm số

Bướ c 1 : Tìmđạo hàm bậc nhất:

Bướ c 2 : Tìmđạo hàm bậc 2 :

Bướ c 3 : Giải phươ ng trình tìm miền dươ ng của đạo hàm bậc 2 (miền lồi của hàm số)

* Tìm cự c đại, cự c tiể u: Để xácđịnh cực đại, cực tiểu của hàm số ta xétđạo hàm bậc nhất và tínhđơ n điệu của

hàm số hoặc dùng tính lồi thông quađạo hàm bậc hai, cụ thể:

Bướ c 1 : Tìmđạo hàm của hàm số: [>diff (f(x), x);

Bướ c 2: Giải phươ ng trình f’(x)=0để trên cácđiểm nghi ngờ là cực tr ị.

[> solve(f(x)=0, x);

Bướ c 3: Tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số:

[> solve(f(x)>=, x);

Bướ c 4: Xét xem tại xo :

1) Nếu đạo hàmđổi dấu từ dươ ng sang âm thì xo là điểm cực đại.2) Nếu đạo hàmđổi dấu từ âm sang dươ ng thì xo là điểm cực tiểu.

3) Nếu qua xo đạo hàm khôngđổi dấu thì xo không phải làđiểm cực tr ị.

Ví dụ tìm cực tr ị của hàm số





91

Bướ c 4:

Qua nênđạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dươ ng sang âm nên là

điểm cực đại, còn qua đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dươ ng nên

là điểm cực tiểu của hàm số

Nếu dựa vàođạo hàm bậc hai ta có thể tiến hành các bướ c sau:

Bướ c 1: Tìmđạo hàm của hàm số: [>dhb1:=diff (f(x),x);

Bướ c 2: Giải phươ ng trình f’(x)= 0 để tìm cácđiểm nghi ngờ là cực tr ị.

[> solve(dhb1=0,x);

Bướ c 3: tìmđạo hàm bậc hai: [> dhb2:=diff(dhbl,x);

Thí dụ Tìm cực tr ị của

Bướ c 1 :

Bướ c 2: Tìm những điểm màđạo hàm bậc nhất bằng 0:

Bướ c 3: Tìmđạo hàm bậc hai:

Bướ c 4: Tính giá tr ị của đạo hàm bậc hai tại những điểm mà tại đó đạo hàm bậc nhất





92

bằng không:

Bướ c 5: Xét giá tr ị của đạo hàm bậc hai và k ết luận, chẳng hạn ở ví dụ này, ta

nên làđiểm cực tiểu, còn y’’,

nên làđiểm cực đại của hàm số.* Tìm đ iể m uố n:

Điểm uốn là điểm mà tại đó đạo hàm bậc haiđổi dấu. Để xác định điểm uốn của hàmsố, ta lần lượ t thực hiện các câu lệnh sau:

Bướ c 1. Tínhđạo hàm bậc nhất: [> dhbl:=diff(f(x),x);Trongđó f(x) là hàm số mà ta cần khảo sát

Bướ c 2: Tínhđạo hàm bậc hai: [> dhb2:=diff(dhbl,x);

Bướ c 3: Điểm xã làđiểm uốn của hàm số nếu xo là nghiệm chung của hai bất phươ ng trình:[> solve(dhb2>=0); và [>solve(dhb2<=0);

Ví dụ: Tìmđiểm uốn của hàm số x4 - 2x2

K ết luận: là haiđiểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.

* Tìm giá tr ị nhỏ nhấ t l ớ n nhấ t của hàm sô.

Các hàmminimize(expr, vars, ranges) vàmaximize(expr, vars,ranges) dùngđể tìmgiá tr ị nhỏ nhất, lớ n nhất của hàm số đượ c xácđịnh bở i biểu thức expr theo giá tr ị của cácđối số đượ c liệt kê (vars) trong một phạm vi nàođó (ranges).Ví dụ :





93

*Xác định cự c tr ị địa phươ ng của hàm s ố extrema(f,{},x).





94

Ví dụ xácđịnh giá tr ị cực tiểu, cực đại của hàm số x4- 2x2

[> y:=x^4-2*x^2:# khai báo hàm số ↵

[> extrema(y,{},x);# xácđịnh cực đại, cực tiểu của hàm số ↵

{ -1, 0 }

* Xác định các đườ ng tiệm cận:

Ta sử dụng lệnh tách mẫu số của f(x) bở i lệnh denom(), dùng lệnh solve( tìmnghiệm của mẫu số ta đượ c tiệm cận đứng.

Lần lượ t tính các giớ i hạn a= lim(f(x)/x) và b=lim(f(x)-ax) khi x tiến tớ i vô cùngnếu các giớ i hạn này tồn tại sẽ cho ta tiệm cận xiên y=ax+b. Ví dụ xác định tiện cận

của hàm số :

[> Y:=(x^2+x+1)/(2*x+2);

a:=limit(y/x,x=infinity);

b:=limit(y-a*x,x=infinity);

ms:=solve(denom(y)=0,x);

if a<>infinity or a <>-infinity then

print('tiem can dung:',x=ms);

print(tiem can xien y=',x*a+b); fi;↵


* Xác định giao đ iể m của đồ thị hàm s ố Y=f(x )vớ i các tr ục toạ độ. Sử dụng gói công cụ student, sauđó dùng các lệnh: Tìm giaođiểm vớ i tr ục tung

intercept(y=Y,x=0,{x,y}), tìm giaođiểm vớ i tr ục hoành: intercept(y=Y,y=0,{x,y}), ví

dụ xácđịnh giaođiểm vớ i các tr ục toạ độ của hàm số:

[> restart:with(student):





95

Y:=(x^2+x+1)/(2*x+2); # mở gói công cụ và khai báo hàm

[> intercept(y=Y,y=0,{x,y});# giaođiểm vớ i tr ục hoành

intercept(y=Y,x=0,{x,y}); # giaođiểm vớ i tr ục tung↵


Như vậy đồ thị hàm số không cắt tr ục hoành mà chỉ có một giaođiểm duy nhấtvớ i tr ục tung tại điểm có toạ độ x = 0, y = 1/2.

* V ẽ đồ thị hàm sô.

Vẽ đồ thị là một trongnhững chức năng mạnh củaMaDle.Để vẽ đồ thị hàm số f(x) trên đoạn [a,b], ta sử dụng lệnh [> plot(f(x),x-a..b); ví dụ vớ i hàm số x4-2x2 trênđoạn [-2, 2]:

[> plot(x^4-2*x^2,x=-2..2); ↵ K ết quả ta đượ c đồ

thị như hình vẽ.

Qua hình dạng đồ thị, một lần nữa chứng tỏ việc xácđịnh chiều biến thiên,điểm

uốn, chiều lồi, lõm, cực đại, cực tiểu .. vớ i các câu lệnh của Maple4.7.2. M ột số ví d ụ minh ho ạ:

* Khảo sát hàm s ố vớ i m = 0 ( Đề thi tuyể n sinh vào Đ H Thái Nguyên - N ăm học 1999-2000, kh ố i A, B). Ta sử dụng chươ ng trình con sau:[> Restart:

print(' Khao sai ham so y=x^3/3-mx^2-x+m+2/3 voi gia tri m=0');

Y:=(x^3/3-x+2/3);

print('Tap xác dinh cua ham so la:');

Y:=simplify(Y):

a:=solve(denom(Y)=0,x):

if(type(denom(y),realcons)=true) then D=R;fi;

print('Tinh dao ham bác nhai cua ham so),

dy/dx=factor(simplify(diff(Y,x)));







97

~ìl 1 ~i~lo ~ ~elll ~oi tr~l~ tl~ll~

Tim giao diem voi truc hoanh

(x = -2, y= 0 }: { x = 1. y = 0}. { x = 1. y = 0 }

Do th ỉ ham so co dang sau

* Khảo sát hàm phân thức:

[> restart:

Y:=(x^2-3*x+4)/(2*x-2);Y:=simplify(y):

print(' Tap xac dinh cua ham so la:'); dk:=solve(denom(Y)=0,x):

if(type(denom(y),realcons)=true)or(coeff(denom(Y),x∧2)<>0 and type(dk[1],realcons)=falsse) then D=R;fi;

if coeff(denom(Y),x^2)=0 and coeff(denom(Y),x)<>0 then D={x<>dk};fi;

a:=limit(Y/x,x=infinity):b:=limit(Y-a*x,x=infinity):ms:=solve(denom(Y)=0,x):

if a<>infinity or a <>-infinity then

print('tiem can dung:',x=ms);

print(' tiem can xien y=',x*a+b); fi;

print('Tinh dao ham bac nhat cua ham so');





98

dy/dx=factor(simplify(diff(y,x)));

print('giai phuong trinh f = 0:'); solve(diff(Y,x)=0,{x});

print(‘ Ham so se dong bien tren khoang'); solve(diff(Y,x)>0);

print(' Ham so nghich bien tren khoang'); solve(diff(Y,x)<0);

print(' Tim cac gia tri cuc tri dia phuong'); Ymin_max:=extrema(Y,{},x); print(' Tim giao diem vot truc tung’); student[intercept](y=Y,x=0,{x,y});

print('Tim giao diem voi truc hoanh.); student[intercept](y=Y,y= 0,{x,y});

print(' Do thi ham so co dang sau’);

plot({y,x*a+b},x=-4..4,-6..4,color=red);↵


Tap xac dinh cua ham so D = {x≠ 1 }

Tiem can dung:, x = 1

Tiem can xien

Tinh dao ham bac' nhat cua ham so

Giai phuong trinh f’=0:

Ham so se dong bien tren khoang

RealRang (-∞ . Open( . RealRange( Open(

Ham so ngich bien tren khoang

RealRange( Open( 21− ). Open( 1 ) ), RealRange( Open( 1 ), Open( 21+ )

Tim cac gia tri cuc tri dia phuong

Tinh dao ham bac hai cua ham so

Tim giao diem voi truc tung

{y = -2, x =0)





99

Tim giao diem voi truc hoanh

{ y = 0, x = RootOf(_Z2 - 3 _Z+ 4. label= - _LI)}

Do thi ham so co dang sau

Như vậy, để khảo sát các hàm số kháctrong chươ ng trình phổ thông, bạn đọc chỉ cầnthayđổi chút ít, và như vậy tađã có một công cụ mạnh để kiểm tra và minh hoạ cho các bài toánkhảo sát hàm số.

* Tìm qu ỹ tích các đ iể m M(xo,yo) mà t ừ đ ó k ẻ đượ c 2 tiế p tuyế n vuông góc v ớ i

parabo (phỏng theo đề thi tuy ể n sinh vào Đ HTN - N ăm học 1999 -2000, kh ố i A, B). Ta sử dụng chươ ng trình con:

[> restart;

delta:=collect(simplify(discrim(f,x)),k):

solve(delta,{k}):

ki:=coeff(delta,k^2):

k2:=coeff(delta,k,0):

y3:=solve(k1*k2=-1,{yo}):

print(‘Ket luan ta co phuong trinh quy tich la’);

print(y3);

Thực hiện chươ ng trình, ta có k ết quả:

Ket luan ta có ph ươ ng trinh quy tich là

* Cho tam th ứ c bậc hai

Tìm nhữ ng giá tr ị của tham s ố m sao cho p(x) có 2 nghi ệm x1,x2 tho ả mãn:

1 < x1 < 3 < x2. Ta sử các câu lệnh sau sau:

[> restart;







101

implicitplot([y-y=0,x+0*y-xt=0],x=-5+xt..5+xt,y=-5+yt..5+yt, color=[red,blue],

legend=[parabol,trucdoixung]);

end:↵

Để sử dụng chươ ng trình, ta chỉ việc gọi tên chươ ng trình con vớ i các tham số thực cụ thể, ví dụ:[>kshbh(1,2,3);

* Chươ ng trình kh ảo sát hàm s ố

[> restart: with(plots): with(student):

kshb3:=proc(a,b,c,d)

local x,dhbn,xg,dhbh,xct,A,B,Y,xu,x1,Y1 ;

print('khao sat ham so bac 3');

print('y =', Y);

print('Mien xac dinh cua ham so la R');

print('khao sat chieu bien thien'); dhbn:=diff(Y,x);

print(‘Dao ham bac nhat');

print('dhbn =',dhbn); dhbh:=diff(diff(y,x),x);

xct:=solve(dhbn=0); A:=solve(dhbn>=0); B:=solve(dhbn<=0);

if A=x then

print('Ham so dong bien tren toan truc so:');

print('Ham so khong co cuc tri: ');

print('Gioi han cua ham so’);

print(limit(y,x=infinity)=limit(y,x=infinity));

print(limit(y,x=-infinity)=limit(y,x=-infinity)); print('Ham so loi tren cac khoang'); print(solve(dhbh<0,{x}));

print('cac khoang loi lom va diem uon');

print('Dao ham bac hai la:'); print(dhbh);

print('Ham so lom tren khoang');

print(solve(dhbh>0,{x}));





102

print('Diem uon’) xu:=solve(dhbh:0,x);

print(intercept(y=y,x=xu,{x,y}));

print(plot(y,x=-3+xu..3+xu,-15+f(xu)..15+f(xu)));

Y1:=expand(a*(xi+xu)^3+b*(xi+xu)^2+c*(xi+xu)+d-f(xu));

Print(‘Do thi ham so sau khi doi truc la’)

print(plot(y1,x1=-6..6,-20..20)); fi;

if B=x then

print('Ham so nghich bien tren toan truc so:');

print('Ham so khong co cuc tri: ');

print(‘Gioi han cua ham so');


print(limit(y,x=-infnity)=limit(y,x=-infinity));


print('Dao ham bac hai la:'); print(dhbh);

print(‘Ham so loi tren cac khoang');

print(solve(dhbh<0,{x})),

print('Ham so lom tren khoang');

print(solve(dhbh>0,{x})); print('Diem uon');

xu:=solve(dhbh=0,x); print(intercept(y=y,x=xu,{x,y}));

print(plot(y,x=-3+xu..3+xu,-15+f(xu)..15+f(xu)));

Y1 :=expand(a*(x1+xu) ^3+b*(xi+xu)^2+c*(xi+xu)+d-f(xu));

Print(‘Do thi ham so sau khi doi truc la');

print(plot(y1,x1=-6..6,-20..20)); fi;

if A<>x then print('Ham so dong bien tren cac khoang’);

print(solve(dhbn>=0,{x}));

print('Ham so nghich bien tren khoang’);

print(solve(dhbn<o,{x}));

print('cac diem cuc tri cua ham so la:’);





103

xct:=fsolve(dhbn=0);

print('Diem cuc dai',intercept(y=y,x=xct[1],{x,y}), ‘Diem cuc tieu’,

intercept(y=y,x=xct[2],{x,y}));

print('Gioi han cua ham so');


print(limit(y,x=-infinity):limit(y,x=-infinity));


print('Dao ham bac hai la:');print('dhbh =',dhbh);

print('Ham so loi tren cac khoang'), print(solve(dhbh<0,{x}));

print('Ham so lom tren khoang'); print(solve(dhbh>0,{x}));

print('Diem uon'); xu:=solve(dhbh=0,x);

print(intercept(y=Y,x=xu,{x,y}));

Y1:=expand(a*(xi+xu)^3+b*(xi+xu)^2+c*(xi+xu)+d-f(xu));

xg:=solve(Y1=0,x1);

if a>0 then

print(plot(Y,x=-3+xu+xg[3]..3+xu+xg[2],-5+f(xct[2])..5+f(xct[1])));

print('Do thi ham so sau khi doi truc toa do');

print(plot(Y1,x1=-6..6,-20..20)); fi;if a<0 then

print(plot(y,x=-3+xu+xg[3]..3+xu+xg[2],-5+f(xct[1])..5+f(xct[2])));

print('Do thi ham so sau khi doi truc toa do');

print(plot(Y1,x1=-6..6,-20..20)); fi; fi;

end:↵

Để sử dụng chươ ng trình, ta chỉ việc gọi tên chươ ng trình con vớ i các tham số

thực cụ thể, ví dụ:[> kshb3(1,2,3,4);

* Chươ ng trình kh ảo sát hàm s ố y = ax4 + bx3+cx 2+dx+e:

[> restart: with(student): with(plots):

kshb4:=proc(a,b,c,d,e)

local Y,x,dhbn,dhbh,xct,xu,f;





104

print('khao sat ham bac 4');

print('y=',Y);

print('Tap xac dinh:R.Ham so chan.'); print(' Chieu bien thien'); dhbn:=diff(y,x);

print(‘y’=dhbn); dhbh:=diff(dhbn,x);

print('Ham so dong bien tren cac khoang la');

print(solve(dhbn>=0,{x})),

print('Ham so nghich bien tren cac khoang la');

print(solve(dhbn<0,{x}));

A:=solve(dhbh<0): B:=solve(dhbh>0):

if a<0 and A=x then

print(' Cac diem cuc tri cua ham so');

xct:=fsolve(dhbn=0); xu:=fsolve(dhbh=0);

print(intercept(y=Y,x=xct,{x,y}));

print(' Gioi han');

print(limit(y,x=-infinity),':=', limit(y,x=-infinity));

print(limit(y,x=inf nity),':=', limit(y,x=infinity));

print (‘Tinh loi, lom va diem uon cua do thi’); print('y" =,dhbh);

print(‘Ham so lom tren R’);

print('Ham so khong co diem uon');

print('Do thi cua ham so');

print(plot(y,x=-4+xct..4+xct,y=-2+f(xct)..2+f(xct))); fi;

if a>0 and B=x then

print(‘ Cac diem cuc tri cua ham so’)

xct:=fsolve(dhbn=0);

xu:=fsolve(dhbh=0);

print(intercept(y=y,x=xct,{x,y}));

print('Gioi han');





105

print(limit(y,x=-infinity),':=', limit(y,x=-infnity));

print(limit(y,x=infinity),'::', limit(y,x=infinity)),

print("rinh loi, lom va diem uon cua do thi' );

print(‘y" =’,dhbh);

print('Ham so lom tren R');

print(‘Ham so khong co diem uon’);


print(plot(y,x=-4+xct..4+xct,y=-4+f(xct)..4+f(xct))); fi,

if (B<>x) and (A<>x) then

print('cac diem cuc tri cua ham so’);

xct:=solve(dhbn=0); xu:=solve(dhbh=0);

print(intercept(y=y,x=xct[1],{x,y}));

print(intercept(y=y,x=xct[2],{x,y}));

print(intercept(y= r,x=xct[3],{x,y}));

print('Gioi han');

print(limit(y,x=-infinity),':=', limit(y,x=-infinity));

print(limit(y,x=infinity),':=', limit(y,x=infinity));

print('Dao ham bac hai:'); print('dhbh =',dhbh);

print('Ham so loi tren cac khoang la’);

print(solve(dhbh<0,{x}));

print('Ham so lom tren cac khoang la :');

print(solve(dhbh>=0,{x}));

print(‘Do thi cua ham so’)

if a>0 then print(plot(y,x=-4+xct[3]..4+xct[2],y=-2+f(xct[2])..2+f(xct[1]))) fi;if a<0 then print(plot(y,x=-4+xct[3]..4+xct[2],y=-2+f(xct[1])..2+f(xct[2]))) fi;

fi;end:↵

Để sử dụng chươ ng tnnh, ta chỉ việc gọi tên chươ ng trình con vớ i các tham số thực cụ thể, ví dụ:

l> kshb4(1,2,3,4,5);





106

* Chươ ng trình kh ảo sát hàm s ố d cxbax

y+

+=


kshbntbn:=proc(a,b,c,d)

local Y,dhbn,xm,ytc;Y:=(a*x+b)/(c*x+d);

dhbn:=simplify(diff(y,x));

print(‘khao sat ham so’); print(y);

print('1.Tap xac dinh'); print(D={x<>-d/c});

print('chieu bien thien'); print('Dao ham bac nhat'); print(dhbn);

if numer(dhbn)>0 then print(‘Ham so luon dong bien tren D’); fi;

if numer(dhbn)<0 then print(‘Ham so luon nghich bien tren D'); fi; print('Ham so khong co cuc tri');

xm:=-d/c: ytc:=limit(Y,x=+infinity);

print(limit(y,x=xm)=infinity),

print('Ham so co tiem can dung la: x=',xm);

print(limit(Y,x=-infinity)=limit(Y,x=-infinity));

print(limit(y,x:+infinity)=limit(Y,x=+infinity));

print(‘suy ra ham so co tiem can ngang la y=’,ytc);


print(‘Do thi ham so cat truc hoanh tai');

print(intercept(y=Y,y=0,{x,y}));

print('Do thi ham so cat truc tung tai'),

print(intercept(y=Y,x=0,{x,y}));

print('Diem doi xung cua do thi ham so la:');

print(intercept(y=ytc,x=xm,{x,y}));

plot({y,ytc},x=-5+xm..5+xm,y=-5+ytc..5+ytc);

end:

Để sử dụng chươ ng trình, ta chỉ việc gọi tên chươ ng trình con vớ i các tham số thực cụ thể, ví dụ :





107

I> kshbntbn(1,2,3,4);



kshbhtbn:=proc(a,b,c,a1,b1)local Y,dhbn,A,B,a11,xm,b11,xct;

print('khao sat ham so');

f:=x >(a*x^2+b*x+c)/(a1*x+b1);

Y:=(a*x^2+b*x+c)/(a1*x+b1);

print(y);

print('Tap xac dinh: R-(',-b1/a1,')’);

print('chieu bien thien.');

dhbn:=diff(y,x): simplify(dhbn);

A:=solve(numer(dhbn)>0): B:=solve(numer(dhbn)<0):

if A=x then

print('Ham so dong bien tren TXD'); fi;

if B=x then

print(‘Ham so nghich bien tren TXD’); fi;

if (A<>x) and (B<>x) then

print(‘Ham so dong bien tren cac khoang la’);

print(solve(dhbn>0,{x}));

print('Ham so nghich bien tren cac khoang la:');

print(solve(dhbn<0,{x}));

print(‘cac diem cuc tri cua ham so la’)

xct:=solve(numer(dhbn)=0,x); print('Diem cuc dai cua ham so la:');

print(intercept(y=y,x=xct[2]));

print('Diem cuc tieu cua ham so la:'),

print(intercept(y=y,x=xct[1])); fi;






108

print(limit(y,x=-infinity)=limit(y,x=-infinity));

print(limit(y,x=infinity)=limit(y,x:infinity});

xm:=solve(denom(y)=0,x);

print(limit(y,x=xm)=infinity);

print('Ham so co tiem can dung la x =',xm);

a11:=limit(y/(x),x=infinity);b11:=limit(y-a11*x,x=infinity);

print(‘Ham so co tiem can xien la: y=',a11*x+b11);

print('Giao voi truc tung’); print(intercept(y=y,x=0,{x,y}));

print('Diem doi xung cua ham so la :');

print(intercept(y=a11*x+b1,x=xm));

if (A=x) or (B=x) then

print(plot({Y,a11*x+b11},x=-5+xm..5+xm,y=-10+a11*xm+b11..10+a11*xm+b11));fi;


print(plot({y,a11*x+b11},x=-10+xct[2]..10+xct[1],y=-10+f(xct[2])..10+f(xct[1])));fi;end:↵

Để sử dụng chươ ng trình, ta chỉ việc gọi tên chươ ng tnnh con vớ i các tham số thực cụ thể, ví dụ:

[> kshbhtbn(1,2,3,4,5);


[> restart: with(plots):with(student):

kshbhtbh:=proc(a,b,c,a1,b1,c1)

local Y,dhbn,xm,dhbh,A,B;

Y:=(a*x^2+b*x+c)/(a1 *x^2+b1 *x+c1 ) ;

f:=x >(a*x^2+b*x+c)/(a1*x^2+b1*x+c1); print(‘khao sat ham so’)

print(y);

dhbn:=simplify(diff(Y,x));

dhbh:=simplify(diff(dhbn,x));

xm:=solve(denom(Y)=0,x),





109

print('Tap xac dinh cua ham so');

if type(xm[1],realcons)=false then print(‘D = R’); fi;

if type(xm[1],realcons)=true then print('D =',{x<>xm}); fi;

print('chieu bien thien');

print('Dao ham bac nhat'); print(dhbn);

print('Ham so dong bien tren cac khoang');

print(solve(dhbn>=0,{x}));

print('Ham so nghich bien tren cac khoang');

print(solve(dhbn<=0,{x}));


ytc:=limit(y,x=-infinity);

print(limit(y,x=-infinity)-limit(y,x=-infinity));

print(limit(y,x=infnity)=limit(y,x=infinity));

print('cac gia tri cuc tri cua ham so’);

print(‘Ymax-min:=’,extrema(y,{},x));

print('cac giao diem voi truc tung');

print(intercept(y=Y,x=0,{x,y}));

print('cac giao diem voi truc hoanh'); print(intercept(y=Y,y=0,{x,y}));

if type(xm[1],realcons)=true then

tu:=numer(dhbn); print(tu);

A:=solve(tu>=0); B:=solve(tu<=0);


if coeff(tu,x,1)<0 then

print(plot({y,ytc},x=-5+xm[2]..5+xm[1],y=-5+f((xm[1]+xm[2])/2)..5+ytc));fi;if coeff(tu,x,1)>0 then

print(plot({y,ytc},x=-5+xm[2]..5+xm[1],y=-5+ytc..5+f((xm[1]+xm[2])/2)));fi;

if A=x then

print(plot({y,ytc},x:-5+xm[2]..5+xm[1],y=-10..10)); fi;fi; fi;

print(xm[1],xm[2]);





110

end:↵

Để sử dụng chươ ng trình, ta chỉ việc gọi tên chươ ng trình con vớ i các tham số thực cụ thể, ví dụ:

[> kshbhtbh(1,2,3,4,5,6);

* Bài toán tìm đ iể m k ẻ đượ c hai ri ế p tuyế n vuông góc vói m ột đườ ng cong:

Print(‘(c):', y);

print('Goi M(x1,y1) la diem ma qua do ke duoc hai tiep tuyen (d) den (c) co he so gock thi phuong trinh:');

y2:=k*(x-x1)+y1: print('(d):',y2);

print('phuong trinh hoanh do giao diem cua duong thang va duong cong la:');

y=y2; print('<=>', y-y2=0);A1:=y-y2: A:=numer(A1): B:=collect(A,x): print('<=>',B=0,'(1)');

A1:=coeff(B,x,2): b1:=coeff(B,x,1): c1:=coeff(B,x,O): C:=b1^2-4*a1*c1:

D1:=expand(c): D2:=collect(D1,k):

print('(d) la tiep tuyen cua do thi ham so khi va chi khi (1) co nghiem kep');

print('<=>', delta=0, '<=>', b1^2-4*a1*c1=0),

print('<=>',C=0);

print('<=>',D2=0,'(2)');

print(‘De qua M co hai nghiem thi phuong trinh (2) phai co hai nghiem thoa man dieukien k1*k2 = -1’)

a2:=coeff(D2,k,2): b2:=coeff(D2,k,1): c2:=coeff(D2,k,0):

print('<=> delta>0 va c2/a2 =',-1);

print('<=>',c2/a2+1=0);

print('Quy tich cua nhung diem trong mat phang ma tu do co the ke duoc hai tiep tuyen

den do thi ham so va hai tiep tuyen nay vuong goc voi nhau la:’)c2/a2+1=0;↵

* Bài toán xác định ph ươ ng trình c ủa đườ ng cong luôn ti ế p xúc vớ i một đườ ng congcho tr ướ c:

[>restart: a:=1: b:=-2: c:=m: d:=(1-m^2)/4:





111

Print(‘Do dang cua phuong trinh (Hm), ta chon duong cong co dinh co phuong trinhla:');

print(' khi do phuong trinh hoanh do giao diem la:');

A:=y-y1: print(A,=0 (1)'); B:=collect(A,x): print('<=>', B=0);P1:=coeff(B,x,2): p2:=coeff(B,x,1):

p3:=coeff(B,x,0): C:=p2*p2-4*p1*p3:

print('<=>',delta=0,'voi moi m’, '<=>',C=0,'voi moi m');

C:=p2*p2-4*p1*p3: D1:=collect(c,m):

print('<=>',D1 = 0, ‘voi moi m dieu nay xay ra khi va chi khi');

p11 := coeff(D1,m,2):

p12:=coeff(D1,m,1):

p13:=coeff(D1,m,0):

print(p11=0, p12=0, 'va',p13=0);

print('<=>',solve({p11,p12,p13},{b1,c1,d1}));.J

* Bài toán tìm đườ ng thẳ ng luôn ti ế p xúc vớ i một đườ ng cong cho tr ướ c:

[> restart:a:=0:b:=(m+1):c:=m:a1:=1:b1:=m:

print('Tim phuong trinh cua duong thang luon tiep xuc voi ho duong cong'),

print('(Hm):',y);y1:=k*x+n:

print('Mot duong thang bat ky co he so goc la k co phuong trinh la’);

print('(d) :',y1);

print(‘Ta co phuong trinh hoanh do giao diem cua ho duong cong (Hm) va duongthang (d) la:');

A:=numer(y)-denom(y)*y1 : A=0; B::expand(A): C:=collect(B,x):

print('<=>’, C=0,' (1)');

p1:=coeff(c,x,2): p2:=coeff(c,x,1): p3:=coeff(c,x,0): D1:=p2^2-4*p1*p3:

D2:=collect(D1,m):

Print(‘De duong thang la tiep tuyen cua ho duong cong (Hm) thi (1) phai co nghiemkep voi moi m’);

print('<=>', delta=0, '<=>', D1=0,' voi moi m’);





112

print('<=>', D2=0, voi moi m.', ‘Dieu nay xay ra voi moi m khi va chi khi’);

p11:=coeff(D2,m,2): p12:=coeff(D2,m,1): p13:=coeff(D2,m,0):

print(p11=D, p12=0,' va ', p13=0); p11:=coeff(D2,m,2): p12:=coeff(D2,m,1): p13:=coeff(D2,m,0):

print('<=>', solve({p11,p12,p13},{k,n})); print('vay ta co phuong trinh cua duong thang can tim la:');↵

* Bài toán tìm đ iể m cố định của một đườ ng cong:

[> restart:

print('Tim diem co dinh cua ho duong cong ');

print('(Hm): y=',y1);

print (‘Ta viet phuong cua ham so lai duoi dang’);

print(y1-y = 0);

mau:=denom(y1):tu::numer(y1):A:=tu-y*mau:B:=collect(A,m): print('<=>',B

print('Muon dang thuc dung voi m thi:');

p1:=coeff(B,m,2):p2:=coeff(B,m,1):p3:=coeff(B,m,0):

print(p1 = 0,p2 = 0,' va ',p3 = 0);

print('<=> ',solve({p1,p2,p3},{x,y}));

print('Diem co dinh cua ho duong cong la: ',solve({p1,p2,p3},{x,y}));↵

Để thuận có một giao diện thân thiện và thao tácđơ n giản khi cho học sinhkiểm tra lại k ết quả, đối vớ i bài toán khảo sát các hàm số dạng đa thức, ta có thể khaithác chươ ng tnnh sau:

[> restart: with(plots): with(plottools): with(Maplets): with(Maplets[Elements]):

[> caiiMapIet := Maplet( Window[wi](title=“DO lHl HAM DA THUC”menubar=MB1, 'layout' = BL1), MenuBar[MB1](Menu("File", Menultem("Dong",

Shutdown()))), BoxLayout[BL1](inset=0, Boxcolumn(inset=0, spacing=0,Plotter[p1]() ),

Boxcolumn(inset=0, spacing=0, BoxRow(inset=0, spacing=0,"f(x)=",

TextField[F]("-3*x^5+5*x^3 - 1.5*x")),BoxRow(inset=0, spacing=0,"MIEN XACDINH: x= ", TextField[NEGX](3,"-1.2"), " to ", rextField[POSX](3,"1.2")),

Button[func]("DO THI HAM SO", onclick=Evaluate(P1 = 'showFunc(F, NEGX,POSX)')), Button[conUp]("KHOANG LOM", onclick=Evaluate(P1 =





113

'showConUp1(F, NEGX, POSX)')),

Button[conDown]("KHOANG LOI", oncIick=Evaluate(P1='showConDown1(F, NEGX, Button[inc]("DONG BIEN", onclick=Evaluate(P1 = 'showlnc1(F, NEGX,POSX)')), Button[dec]("NGHICH BIEN", onclick=Evaluate(P1 = 'showDec1(F, NEGX, POSX)')), Button[max]("DIEM CUC DAI", onclick=Evaluate(P1 ='showMax1(F, NEGX, POSX)')), Button[min]("DIEM CUC TIEU",onclick=Evaluate(P1 = 'showMin1(F, NEGX, POSX)')), Button[all]("HIEN THI TATCA", onclick=Evaluate(P1 = 'showAll(F, NEGX, POSX)')) ))):

showFunc := proc(f, negX, posX) option remember: plot(f,x=negX..poX, color=black,thickness=3): end proc:

showconUp1 := proc(f, negX posX) option remember:

display(showconUp(f, negX, posX), showFunc(f, negX, posX)): end proc:

showConDown1 := proc(f, negX, posX) option remember:display(showConDown(f,negX, posX), showFunc(f, negX, posX)):end proc:

showlnc1 := proc(f, negX, posX) option remember:

display(showlnc(f, negX, posX), showFunc(f, negX, posX)):end proc:

showDec1 := proc(f, negX, posX) option remember:

display(showDec(f, negX, posX), showFunc(f, negX, posX)): end proc:

showMax1 := proc(f, negX, posX) option remember:

display(showMax(f, negX, posX), showFunc(f, negX, posX)):end proc:showMin1 := proc(f, negx, posx) option remember:

display(showMin(f, negx, posx), showFunc(f, negX, posX)):end proc:

showconUp := proc(f, negX, posX) option remember:

local d2, sols, i, n, polys, j, delta, X1, X2, Y1, Y2, p:

d2 := diff(f,x$2);

sols := findRoots(d2, negX, posX);

if not member(evalf(negX), sols) thensols := [evalf(negX), op(sort(sols))]:

end if:

if not member(evalf(posX), sols) then

sols := [op(sort(sols)), evalf(posX)]:

end if:





114

n := 100: polys := []:

for j from 1 to (nops(sols) - 1) do

if evalf(subs(x = (sols[j]+ sols[j+1])/2, d2)) > 0 then

delta := (sols[j+1] - sols[j]) / n:

X2 := sols[j]:

for i from 1 to n do

X1 := evalf(x2): Y1 := evalf(subs(x = X1, f)):

X2 := evalf(sols[j]+ i * delta): Y2 := evalf(subs(x=X2,f)):

p[i] := polygonplot([[x1, 0],[X1, Y1],[X2, Y2],[X2, 0]], color=cyan,style=patchnogrid):

end do:

polys := [op(polys) seq(p[i],i=1..n)]:

end if:

end do:

if nops(polys) = 0 then

return NULL:

end if:

display(seq(polys[i],i=1..nops(polys))):

end proc:

showConDown := proc(f, negx, posx) option remember:

local d2, sols, i, n, polys, j, delta, X1, X2, Y1, Y2, p:

d2 := diff(f,x$2);

sols := findRoots(d2, negx, posx);

if not member(evalf(negX), sols) then

sols := [evalf(negX), op(sort(sols))]:end if:

if not member(evalf(posX), sols) then


end if:

n := 100: polys := []:





115

for j from 1 to (nops(sols) - 1 ) do

if evalf(subs(x = (sols[j]+ sols[j+1])/2, d2)) < 0 then

delta := (sols[i+1] - sols[i]) / n:

X2 := sols[j]:

for i from 1 to n do

X1 := evalf(x2): Y1 := evalf(subs(x=X1,f)):

X2 := evalf(sols[i]+ i * delta): Y2 := evalf(subs(x=x2,f)):

p[i] := polygonplot([[X1, 0],[X1, Y1],[X2, Y2],[X2, 0]], color=green,style=patchnogrid):

end do:

polys := [op(polys), seq(p[i],i=1..n)]:

end if:

end do:

if nops(polys) = 0 then

return NULL:

end if:

display(seq(polys[i],i=1..nops(polys))):

end proc:

showlnc := proc(f, negX, posX) option remember:

local d1, sols, i, lines, j:

d1 := diff(f,x);

sols := findRoots(d1, negX, posX);


sols := [evalf(negX), op(sort(sols))]:

end if:if not member(evalf(posX), sols) then


end if:

lines := []:






116

if evalf(subs(x=(sols[j]+sols[j+1])/2,d1)) > 0 then

lines := [op(lines), plot(f, x=sols[j]…sols[j+1], color=blue, thickness=3)]:

end if:

end do:

if nops(lines) = 0 then

return NULL:

end if:

display(seq(lines[i],i=1..nops(lines))):

end proc:

showDec := proc(f, negX, posX) option remember:

local d1, sols, i, lines, j:

d1 := diff(f,x);

sols := fndRoots(d1, negX, posX),


sols := [evalf(negX), op(sort(sols))]:

end if:

if not member(evalf(posx), sols) then

sols := [op(sort(sols)), evalf(posx)]:end if:

lines := D:


if evalf(subs(x=(sols[j]+ sols[j+1])/2,d1)) < 0 then

lines := [op(lines), plot(f, x=sols[i]..sols[j+1], color=orange, thickness=3)]:

end if:

end do:if nops(lines) = 0 then

return NULL:

end if:

display(seq(lines[i],i=1..nops(lines))):

end proc.





117

showMax := proc(f, negX, posX) option remember:

local d1, d2, sols, i, p:

d1 := diff(f,x);

d2 := diff(f,x$2);

sols := fndRoots(d1, negx, posx);

for i from 1 to nops(sols) do

if evalf(subs(x=sols[i],d2)) < 0 then

p := [op(p), line([sols[i],0],[sols[i],subs(x=sols[i], f)],color=blue,thickness=3)]:

end if:

end do:

if nops(p) = 0 then

return NULL:

end if:

display(seq(p[i],i=1..nops(p))): end proc:

showMin := proc(f, negX, posX) option remember:

local d1, d2, sols, i, p:

d1 := diff(f,x);

d2 := diff(f,x$2);sols := findRoots(d1, negx, posx);

p := []:

for i from 1 to nops(sols) do

if evalf(subs(x=sols[i],d2)) > 0 then

p := [op(p), line([sols[i],0],[sols[i],subs(x=sols[i], f)],color=red,thickness=3)]:

end if:

end do:if nops(p) = 0 then

return NULL:

end if:

display(seq(p[i],i=1..nops(p))): end proc:

showAll := proc(f, negX, posX) option remember:







119

Nếu ta chọn chức năng hiển thị tất cả, màn hình có dạng:

4.8. Sử dụng Maple hỗ trợ kiểm tra k ết quả tính toán.

4.8.1. Tính l ũ y thừ a của ma tr ận vuông

Thuật toán: (ưng dụng định lí Hamiltơ n - Cayley):"Giả sử A là ma tr ận vuôngvà PA(λ ) thỏa mãn: PA(λ ) = (-1)n λ n + P1λ n-1 + . . . + pn-1λ + pn là đ a th ứ c đặc tr ư ngcủa A. Khi đ ó, PA(A) =0 ". Vậy mọi đa thức Q(λ ) chia hết cho Pn(λ ) thì ta cũng cóQ(A) = 0.Đặc biệt: Q(λ ) = S(λ )Pn(λ ) + R(λ ) ⇒ Q(A) = R(A).

Chươ ng trình đượ c thiế t k ế nhằ m thự c hiện tuần t ự các n ội dung:

Tínhđa thức đặc tr ưng của A.

- Tìm dư khi chia xn

cho đa thức đặc tr ưng của A (khiđó đa thức dư sẽ có bậcnhỏ hơ n cấ p của ma tr ận một đơ n vị).

- Tính An theođa thức dư.

Mã chươ ng trình

[> restart;

with(LinearAlgebra):





120

Luythua:=proc(A, n)

local p, r, f, x;

p:=CharacteristicPolynomial(A, x);

r:=rem(x^n, p, x); f := unapply(r, x); f(A); end:↵

Minh ho ạ việc sử d ụng chươ ng trình (thực hiện chươ ng trình vớ i các tham số):

[> Luy thua(A, 2002);# Thực hiện thủ tục tính luỹ thừa vớ i số mũ là 2002↵

Ta có thể mở r ộng cho bất kì một đa thức bậc n vớ i ẩn là ma tr ận A, bằng cáchthay r:=rem(x^n, p, x) bằng r:=rem( f(x), p, x).4.8.2 Kiểm tra tính lũy tính của một ma trận vuông

Xét vấn đề kiểm tra một ma tr ận vuông bất kì có phải là một ma tr ận lũy linh hay

không? Nếu ma tr ận đó là ma tr ận lũy linh thì chỉ ra bậc của ma tr ận lũy linhđó (Xétđến ma tr ận lũy linh bậc 100000000).

Thuật toán:

- Tim tất cả các giá tr ị riêng của ma tr ận.

- Nếu tất cả các giá tr ị riêng của ma tr ận đều bằng 0 thì ma tr ận là lũy linh, ngượ clại ma tr ận là không lũy linh.

- Nếu ma tr ận là lũy linh thì ta tìm bậc lũy linh:

+ Tính lũy thừa ma tr ận (số lũy thừa lặ p từ 2 đến 100000000).+ Lậ p ma tr ận không cấ p bằng vớ i ma tr ận đã cho.

+ Nếu tồn tại chỉ số i sao cho lũy thừa bậc i thì ma tr ận đã cho bằng ma tr ậnkhông. Lấy chỉ số i đó tađượ c bậc lũy linh của ma tr ận đã cho.

Mã chươ ng trình:

[> restartiwith(linalg): with(LinearAlgebra):









123

4.8.5.Ki ể m tra và kh ẳng đị nh tính đ úng đắn của các m ệnh đề .

Xét mệnh đề sau. " Hai ma tr ận vuông đồng d ạng thì có cùng v ế t ". Liệu điều đócó đúng không và mệnh đề đảo có đúng không? Ta sử dụng các câu lệnh sau củaMaple:

Như vậy ở trên ta thấy hai ma tr ận cùng vết (A và C) nhưng khôngđồng dạng,suy ra mệnh đề đảo khôngđúng.

4.9 Sử dụng Maple hỗ trợ suy luận trong quá trình học toán.

Vớ i một bài toán ta có thể dùng Mapleđể tính k ết quả của bài toánđó. Dựa trên





124

k ết quả, bằng suy luận lôgíc và thông qua mối quan hệ giữa các yếu tố của bài toán, tacó thể định hướ ng cách giải một cách nhanh chóng và chính xác.

4.9.1. Ví d ụ Tính đị nh th ứ c của ma tr ận umin

Tr ướ c hết ta dùng các hàm của Maple tạo một ma tr ận vớ i cấ p xácđịnh thỏa mãnđiều kiện bài toán sauđó tínhđịnh thức của ma tr ận đó. Dựa trên k ết quả để suy luậnsauđó tổng quát hóa cho ma tr ận có cấ p n bất kì.


[> with(linalg):

[> n:=5: A:=array(1..n,1..n):

for i to n do

for j to n do

if i < j then A[i, j]:= i;

else A[i, j]:= j; fi; od; od; print(A);↵

K ế t quả thự c hiện thủ t ục:

[> det(A);↵

Ta thấy k ết quả của định thức bằng 1 . Ta xét thêm ma tr ận cấ p cao hơ n (cấ p 10) bằng cách thay n:= 10 vàođầu các câu lệnh trên. K ết quả ta đượ c một ma tr ận cũng cóđịnh thức bằng 1 . Đến đây nảy sinh vấn đề: Vậy liệu đối vớ i một ma tr ận có dạng như vậy vớ i cấ p bất k ỳ thì k ết quả trên cònđúng không ?

Nếu điều đó đúng thì chắc chắn ma tr ận A sẽ phân tíchđượ c thành hai hay nhiềuma tr ận cóđịnh thức đều bằng 1.Để tìm hiểu, ta thực hiện lệnh sau:

[> A1 := LUdecomp(A, L='A2',U=’u’):↵

[> evalm(A1);↵





125

Vớ i lệnh trên ta thấy rõ ràng là ma tr ận A là tích của hai ma tr ận Al và A2, trongđó các ma tr ận A1 (ma tr ận tam giác trên) và A2 (ma tr ận tam giác dướ i) đều là các matr ận cóđịnh thức bằng 1 . Bằng việc thayđổi các bậc của A, ta thấy r ằng k ết quả trênvẫn đúng. Do vậy, ta nhân hai ma tr ận Al, A2 cấ p n và thuđượ c k ết quả là ma tr ận A. Như vậy, bài toánđã giải quyết xong.

4.9.2. Tìm ma tr ận ngh ị ch đảo

Xét ma tr ận A có dạng như sau:

Tr ướ c hết, ta tìm ma tr ận nghịch đảo của ma tr ận B có dạng như trên nhưng có bậc hoàn toàn xácđịnh (chẳng hạn vớ i bậc 5), sauđó tìm ma tr ận nghịch đảo của matr ận B, từ dạng của ma tr ận B-1 ta có thể dự đoánđượ c dạng nghịch đảo của ma tr ận A


[> restart; :with(linalg):↵

[>b:=matrix(5,5,[1,0,0,0,0,a,1,0,0,0,a^2,a,1,0,0,a^3,a 2,a,1,0,a 4,a^3.a^2.a.11):↵





126

Từ đây dự đoán ma tr ận nghịch đảo của A sẽ có dạng như sau:

4.9.3. Ki ể m tra tính khác không c ủa đ inh th ứ c bằng cách dùng phép chia có d ư chocác ph ần t ử trong ma tr ận để đư a ma tr ận đ ó về d ạng đơ n gi ản.


[> with(linalg):[> Matrixmod:=proc(A, p)

local u, v, i, j, B;

u:=rowdim(A),v:=coldim(A); B:=array(1..u, 1..v);

for i to u do

for j to v do B[i,j]:=A[i, j] mod p;od;od; print(B);

end:↵

Minh ho ạ việc sử d ụng chươ ng trình [>A:=matrix(6,6,[7,82,62,54,24,90,86,13,24,26,6,8,0,2,5,8,0,12,2,4,6,9,64,24,12,4,6,8,1,8, 2,4,24,26,8,67]);↵





127

Rõ ràng ma tr ận k ết quả là ma tr ận đơ n vị nên cóđịnh thức khác không dođó ma

tr ận đã cho sẽ có định thức khác không.

4.9.4. " Tìm h ạng c ủa ma tr ận vuông c ấ p n mà các ph ần t ử trên đườ ng chéo chínhbằng 0, còn các ph ần t ử còn l ại bằng 1 ho ặc -1 ".

Tr ướ c hết ta tạo ra một ma tr ận để thỏa mãn giả thiết của đề bài (vì trong th ư việncủa Maple ch ư a có s ẵ n) có các phần tử trênđườ ng chéo chính bằng 0, các phần tử cònlại lấy các giá tr ị 1 hoặc - 1 một cách tùy ý.


* Tạo ma tr ận:

[> Matrixransign:=proc(m,n)

local i, j, a, c, A; A:=matrix(m, n, []);

for i to m do

for j to n do a:=rand(-99..99): c:= a();

if i<>j then A[i, j]:=sign(c); else A[i, j]:=0; fi; od; od;

print(A); print(' Hạng của A là ',rank(A)); end:↵ * Sau khiđã xây dựng xong chươ ng trình tạo ma tr ận, tiến hành tính hạng của

các ma tr ận ngẫu nhiên vớ i cấ p của ma tr ận đượ c thayđổi. Ta bắt đầu từ cấ p 5:

[> Matrixransign(5,5);





128

K ết quả hạng của A :5

Ta ti ế p t ục thử cho các ma tr ận ng ẫ u nhiên khác, sau m ột số ma tr ận có h ạngkhông đổ i, ta g ặ p ma tr ận sau đ ây có h ạng là 4.

[> Matrixransign(5,5);↵

K ết quả hạng của A: 4

Tiế p tục vớ i ma tr ận cấ p 7 :

K ết quả hạng của A: 7Tiế p tục thử ta đượ c k ết quả dướ i đây:

Giáo trình: S ử d ụng Công ngh ệ thông tin trong d ạ y học toán

K ết quả hạng A: 6

Như vậy, hạng của ma tr ận chỉ có thể là 7 (bằng cấ p của ma tr ận) hoặc 6. Từ đóta đi đến dự đoán sau:“ H ạng c ủa ma tr ận trên ho ặc là n ho ặc là n- 1”.

Mở r ộng bài toán: Thay giả thiết các phần tử bằng -1 bằng một phần tử tùy ý ta





129

vẫn đượ c k ết quả tươ ng tự: “Trênđườ ng chéo ma tr ận cấ p n là các số 0, còn các phầntử khác hoặc là 1 hoặc là c (c∈Z), ta có hạng của ma tr ận này hoặc là n-1, hoặc làn ".

4.9.5. Xét tính kh ả ng ị ch c ủa m ột ma tr ận

Ta thấy ma tr ận đơ n vị có các phần tử trên đườ ng chéo chính bằng 1, còn các

phán tử khác bằng không. Rõ ràngđây là một ma tr ận khả nghịch. Vấn đề đặt ra là liệucó mối quan hệ nào giữa các phần tử trên đườ ng chéo chính vớ i các phần tử còn lạitrong một ma tr ận vuông sao cho ma tr ận đó là khả nghịch không?.

Ta xây dựng chươ ng trình bao gồm các nhiệm vụ:

- Tính t ổ ng các tr ị tuyệt đố i của các ph ần t ử nằ m ngoài đườ ng chéo.

- Tính giá tr ị nhỏ nhấ t về tr ị tuyệt đố i của các ph ần t ử trên đườ ng chéo.

- Xét tính kh ả ngh ịch của ma tr ận đ ó.


[> with(linalg):

[> Chuan:=proc(A)

local i, j, M, N, K;

if rowdim(A) <> coldim(A) then print(' Nhap ma tran vuong ');

else M:=0; K:=0; N:=abs(A[1, 1]);

for i to rowdim(A) do

if N > abs(A[i, i] then N:=abs(A[i, i]); fi; K:=K+ abs(A[i, i]);for i to rowdim(A) do M:= M +abs(A[i, jn; od; od;

prnt(' Phần tử đườ ng chéo chính có tr ị tuyệt đối bé nhất là ', N);

print(' Tổng tr ị tuyệt đối của các phần tử ngoàiđườ ng chéo chính là ', M-K);

print('Định thức của ma tr ận A là ', det(A)); fi; end:↵

Minh hoạ việc sử dụng chươ ng trình

[> Chuan(A);↵

Phần tử trênđườ ng chéo chính có tr ị tuyệt đối bé nhất là, 2.

Tổng tr ị tuyệt đối của các phần tử ngoàiđườ ng chéo chính là, 1.

Định thức của ma tr ận A là, -8.





130

Ta thấy ma tr ận trên khả nghịch, có

Có sự vượ t tr ội về tr ị tuyệt đố i của các ph ần t ử nằ m trên đườ ng chéo chính. Tatiế p tục thử vớ i các ma tr ận khác:

[> A:=matrix(4,4,[6,-1,0,1,0,7,1,-1,0,-1,-9,0,0,0,0,7]);↵

[> chuan(A);↵

Phần tử trênđườ ng chéo chính có tr ị tuyệt đối bé nhất là, 6.

Tổng tr ị tuyệt đối của các phần tử ngoàiđườ ng chéo chính là, 5.

Định thức của ma tr ận A là, -2604.

K ết quả trên cho thấy nếu các phần tử trênđườ ng chéo chính có sự vượ t tr ội về tr ị tuyệt đối so vớ i các phần tử nằm ngoàiđườ ng chéo chính thìđịnh thức của ma tr ậnđó khác không.Ta tiế p tục lậ p các ma tr ận thỏa mãn nhận xét trên và xemđịnh thứccủa nó có khác không không ?

[> A:=matrix(4,4,[-16,-1,0,1,0,12,1,-1,0,-1,-19,0,-2,1,3,17]):

Chuan(A);↵

Phần tử trênđườ ng chéo chính có tr ị tuyệt đối bé nhất là, 12.Tổng tr ị tuyệt đối của các phần tử ngoàiđườ ng chéo chính là, 11.

Định thức của ma tr ận A là, 61584.

Tươ ng tự ta thấy r ằng các ma tr ận thỏa mãn nhận xét đều có định thức kháckhông.

Từ đó ta cơ sở để đi đến một dự đoán là: “ M ột ma tr ận vuông c ấ p n A=( aij ) thỏa

mãn thì ma trận đó khả nghịch”, Đây là cách phát biểu khác củađịnh lí Ha đ alnard .

4.9.6. Đư a bi ể u th ứ c toạ độ của d ạng toàn ph ươ ng về d ạng chính t ắc

* Cơ sở lý thuyết (phươ ng pháp Lagrange)

Giả sử trong một cơ sở nàođó của R - không gian véc tơ V cho dạng toàn





131

phươ ng có biểu thức toạ độ

a. Tr ườ ng hợ p 1

Giả sử aii ≠ 0, để cho tiện ta giả thiết a11 ≠ 0 thì biểu thức toạ độ đã chođượ c viết

dướ i dạng: + những số hạng không chứa

+ những số hạng không chứa

trongđó đặt

Đây là công thức phép đổi toạ độ trong V . Vậy ta đã đưa về xét biểu thức

vớ i n - 1 toạ độ

b. Tr ườ ng hợ p 2:

Nếu mọi aii = 0 nhưng có aij ≠ 0 vớ i i ≠ j, chẳng hạn a12 ≠ 0 trong

ta đặt :

( đây là công thức của một phépđổi toạ độ) thì do số hạng

2a12xlx2 tr ở thành 2a12 ( 2'2

2'1 x x − ) nên tr ở thành

trong biểu thức này hệ số của 2'1 x là 2a12 ≠ 0. Vậy ta lại đưa về tr ườ ng hợ p 1 đã xétở

trên.

Thiế t l ậ p chu trình v ớ i Maple

[> restart;

with(linalg):





132

sqsum:=proc(f:=quadratic)

local i,l,n,x,J,S,K,F,kk;

if ldegree(f)<>2 then error "f is noi quadratic form" end if;

S:=f;K:=0;

indets(f): x:=convert(%,list): n:=nops(x):

while S<>0 do

while has(S,{seq(x[i]^2,i=1..n)}) do for i to n do

if has(s,x[i]^2) then

K:=K+diff(s,x[i])^2/4/coeff(s,x[i]^2);

S:=expand(Q-K);

end if

end do;

end do;

if S<>0 then

if type(S,'+') then op(1,S) else S; fi;

indets(%);

l:=coeff(coeff(%%,%[1]),%[2]),%[1],%[2]];K:=K+(diff(s,|[2])+diff(s,|[3]))^2/(4*|[1])-(diff(s,|[2])-diff(S,|[3]))^2/(4*|[1]);S:=expand(f-k);

end if;

end do;

K:=map(simplify,K);

RETURN(K);

end:↵

Các ví d ụ minh ho ạ sử d ụng chươ ng trình





133

4.10. Khai thác Maple trong Xác suất thống kê

Việc khai thác Maple trong xác suất thống kê r ất đa dạng, Chúng tôiđã lậ p đượ cchươ ng trìnhđể giải quyết tất cả các dạng bài tậ p có trong giáo trình Xác suất thốngkê. Dướ i đây, chúng tôi xin minh hoạ một ví dụ đơ n giản:

4.10.1. Tính phân ph ố i chu ẩ n

+ Định ngh ĩ a: Biến ngẫu nhiên Xđượ c gọi là tuân theoluật phân ph ố i chuẩ n, kí

hiệu nếu hàm mật độ của nó có dạng

Ta có hai tham số trong (1) là a vàσ 2 cũng chính là hai số đặc tr ưng quan tr ọngEX và VX Về mặt đồ thị, đườ ng cong (l) có dạng hình chuông.

+ Thi ế t l ậ p chươ ng trình :

[> restart; with(plots):

Xx_plot:= proc(x, menu, sd)





134

local xvalue, f, p, delta, index, n, area, Left, Right;

f:= u -> exp( -((u-mean)^2)/ (2*sd^2) )/(sd*sqrt(2*Pi));

Right := fsolve( f(mean)/100 = f(xvalue), xvalue, menu..((1+mean)*4));

Left := menu - (Right-mean);

Print(left, Right);

n := 120; delta := (Right - Left)/n; index := 1;

for xvalue from Left to Right by delta do

if( xvalue >= x) then p[index] := polygonplot( [[xvalue, 0],[xvalue,f(xvalue)],

[xvalue+ delta, f(xvalue+ delta)], [xvalue+ delta, 0]],

color = reo, style = patchnogrid );

else p[index] := polygonplot( [[xvalue,0 ],[xvalue,f(xvalue)],

[xvalue+ delta, f(xvalue+ delta)], [xvalue+ delta, 0]],

color = blue, style = patchnogrid ) ;

fi;

index := index+ 1 ; od;

area := int f(u), u = x..infnity);

plots[display](seq[pi], i = 1..n-1),textplot([17,.1, cat(convert( eval(100*(1 - area), 5),string),"%")], align = {ABOVE, LEF}, font = [HELVETICA, BOLD, 14]),textplot([25,.1, cat(convert( evalf(100*(area), 5), string),"%")],

align = {ABOVE, RIGHT}, font = [HELVETICA, BOLD, 14]) );

end:↵

Để thực hiện thủ tục trên ta cần khai báo ba tham số: giá tr ị dữ liệu (x), giá tr ị trung bình (a),độ lệch chuẩn ( σ ). Chẳng hạn nếu x = 20.9, a = 20.5,σ = 0.5

Minh ho ạ việc sử d ụng chươ ng trình

l> x_ plot(20.9, 20.5, 2.5 );↵

Miền màu xanh và số bên trái chỉ xác suất P(x < 20.9), trong khiđó miền đỏ vàchữ bên phải chỉ ra r ằng xác suất P(x > 20.9).





135

Sauđây ta xét một tr ườ ng hợ p đơ n giản. Ta cho x = 1, a = 0,σ = 1 .

Ta đượ c dạng phân phối chuẩn hoáđượ c minh hoạ như sau:

[> x _plot( 1, 0, 1);

Nếu ta biểu diễn hai phân phối mà có cùngσ = 1 và x, a là khác nhau thìđượ c k ếtquả gần giống nhau nhưng đã có sự thayđổi, thể hiện như sau:

[> A := x_plot( 1, 0, 1):

B := x_plot(10, 8, 1):

display( {A,B});↵

Bây giờ ta so sánh dạng phân phối chuẩn và một dạng phân phối không chuẩn. <

Chẳng hạn phân phối chuẩn vớ i các thông số ( x = 1, a = 0,σ = 1 ),vớ i ( x = 10, a = 11,σ = 2). Tađượ c:

> A := x-plot( 1, 0, 1 ):

B := x phu( 10, 11,2 ) :

display( {A,B});↵

Đồ thị của phân phối chuẩn ở bên trái cònđồ thị của phân phối không chuẩn ở bên phải. Ta thấy r ằng cả hai đồ thị của các phân phối đều có tổng diện tích chắn bở if(x) và tr ục Ox luôn bằng 1. Tuy nhiênđồ thị bên trái cao, nhọn và cóđáy hẹ p trong





136

khi đó đồ thị bên phải thấ p hơ n, tù và cóđáy r ộng hơ n. Điều này chứng tỏ VX đặctr ưng chođộ tán xạ còn EXđặc tr ưng định vị của phân phối. Chúng ta có thể thấy rõthêmđiều này thông qua một vài ví dụ sauđây:

[> A := x_plot( 1, 0, 1 ):

B := x_plot( 40, 30, 10) :display( {A,B});↵

[> A := x_plot( 2, 0, 1 ):

B := x_plot( 50, 30, 10)

display( {A,B});↵

[> A := x_plot( 0, 0, 1 ):

B:= x_plot( 30, 30, 10)

display( {A,B});↵

4.11. Maple vớ i bài toán quy hoạch.







138

‘Fmax'=simplify(expand(Fmax)),sol_MAX:

Fmin:=infinity:

for k to nops(SS) do

if evalf(simplify((subs(SS[k],f))))<evalf(Fmin)

then Fmin:=simplify((subs(SS[k],f)));sol_min:=SS[k]; fi;od;

sol_MIN:=sol_min:

for k to nops(SS) do

if Fmin=simplify(value(subs(SS[k],f)))

and (SS[k] minus sol_min)<>{} then

sol_MIN:=sol_MlN,SS[k] fi od;

RETURN('F[min]'=simplify(expand(Fmin)),sol_MlN,

'F[max]'=simplify(expand(Fmax)),sol_max);

end:↵

Sau khiđã thiết lậ p hàm,để giải các bài toán cụ thể ta cần khai báo rõ hàm mụctiêu f(x) và hệ cácđiều kiện ràng buộc (Ký hiệu là Dieu_kien) sauđó gọi thực hiện lờ igọi hàm Toi_uu(f(x), Dieu_kien)

Ví dụ 1 :

Khai báo hàm mục tiêu:

Khai báo hệ điều kiện ràng buộc:

-Gọi hàm Toi_uuđể giải bài toán: [> Toi_uu(F13,Dieu_kien);

-K ết quả thực hiện

Ví dụ 2

- Khai báo hàm mục tiêu:





139

- Khai báo hệ điều kiện ràng buộc:

[> Dieu_kien:={x^2+y^2<=4};

Điề u kiện := { x2 + y2 ≤ 4 }


K ết quả thực hiện:

Ví dụ 3


Khai báo hệ điều kiện ràng buộc:

[> Dieu_kien:={3*x[1]+x[2]<=6,x[1]+x[2]<=4,x[1]>=0,x[2]>=0};


-K ết quả thực hiện chươ ng trình:

Ví dụ 4


- Khai báo hệ điều kiện ràng buộc








141

[> randpoint(w, u, v) ;↵

Trongđó: w: Tên của điểm ngẫu nhiên,

u: Đườ ng thẳng,đườ ng tròn hay miền giá tr ị nàođó

v: Miền giá tr ị.

* Khai báo đườ ng thẳ ng đ i qua 2 đ iể m và bi ế t phươ ng trình c ủa nó:

[> line(l, [A, B]);↵

[> line(l, eqn, n);↵

Trongđó : l: Tênđườ ng thẳng,

eqn: Phươ ng trình tổng quát của đườ ng thẳng,

A, B: Cácđiểm,

n: Danh sách các tên biểu diễn hai tr ục toạ độ (viết trong dấu [ ]).* Khai báo đ oạn thẳ ng ( đ oạn thẳ ng đ inh hướ ng) khi bi ế t hai đầu mặt:

[> segment(seg, [P1, P2]) ;↵

[> segment(seg, P1, P2);↵

[> dsegment(seg, P, P2) ;↵

[> dsegment(seg,[P1, P2]) ;↵

Trongđó: Pl, P2: Cácđầu mút (có thể khai báo tr ực tiế p Pl, P2 bằng toạ độ),

seg: Tênđoạn thẳng (hoặc đoạn thẳng định hướ ng).* Xác định đườ ng thẳ ng đ i qua m ột đ iể m và song song (vuông góc) v ớ i một

đườ ng thẳ ng cho tr ướ c:

[> Parallelline(lp, P, l);↵

[> PerpendicularLine(lp, P, l);↵

Trongđó: lp: Tên của đườ ng thẳng tạo ra,

P: Điểm,

l: Đườ ng thẳng.* Khai báo tam giác khi bi ế t 3 đỉ nh:

[> triangle(T, [A, B, C], n);↵

Trongđó: T: tên của tam giác; A, B, C: Bađiểm phân biệt,

n: (tuỳ chọn) danh sách tên biểu diễn hai tr ục toạ độ.

* Khai báo tam giác khi bi ế t 3 đườ ng thẳ ng chứ a 3 cạnh:





142

[> triangle(T, [|1, |2, |3], n);↵

Trongđó : T: Tên của tam giác,

|1, |2, |3]: Bađườ ng thẳng chứa ba cạnh của tam giác,


* Khai báo tam giác T khi bi ế t 3 cạnh (3 đ oạn thẳ ng):

[> triangle(T, [side1, side2, side3]);↵

Trongđó: T: Tên của tam giác,

side1, side2, side3 : Ba cạnh của tam giác T.

* Khai báo tam giác khi bi ế t 2 cạnh và m ột góc xen gi ữ a:

[> triangle(T, [sidei, 'angle' = theta, side3], n);↵

Trongđó: T: Tên của tam giác,sidel, 'anglet = theta, side3: sidel và side3 là hai cạnh của tam giác, và thêm là

góc giữa chúng.


* Xác định đườ ng cao c ủa tam giác:

[> altitude(hA, A, ABC, H);↵

Trongđó: hA:Đườ ng cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC,

H: (tuỳ chọn) tên -hình chiếu của A trên cạnh đối diện.* Xác định đườ ng phân giác trong (ngoài) c ủa tam giác:

[> bisector(bA, A, ABC, P);↵

[> ExternatBisector(bA, A, ABC);↵

Trongđó: bA: Phân giác trong (ngoài) xuất phát từ đỉnh A,

P: (tuỳ chọn) tên.

* Xác định đườ ng trung tuy ế n:

[> median(mA, A, ABC, M);↵ Trongđó: mA: Trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC,

M: (tuỳ chọn) tên - giaođiểm của ma vớ i cạnh đối diện đỉnh A.

* Xác định đườ ng ti-ung tr ự c của đ oạn thẳ ng An

[> PerpenBisector(l, A, Bu↵

Trongđó: l: Tênđườ ng thẳng cần tạo,





143

A, B: Haiđiểm.

* Tìm tr ự c tâm H c ủa tam giác ABC:

[> orthocenter(H, ABC);↵

* Xác định tr ọng tâm c ủa tam giác ho ặc lâm t ỉ cự G của t ậ p hợ p các đ iể m trongmặt phẳ ng:

[> centroid(G, g);↵

Trongđó G: Tên của tr ọng tâm (tâm tỉ cự),

g: Tam giác, danh sách (tậ p hợ p) cácđiểm trên một mặt phẳng.

* Xác định đườ ng tròn ngo ại tiế p tam giác:

[> circumcircle(cc, T , 'centername'= cn);↵

Trongđó: cc: Tên của đườ ng tròn ngoại tiế p,

T: Tam giác,

‘centemamel’= cn: (tuỳ chọn) có là tâm của đườ ng tròn ngoạitiế p.

* Xác định đườ ng tròn n ội tiế p tam giác:

[> incircle(ic,T, 'centername'=cn);↵

Trongđó: T: Tam giác,

ic: Tên của đườ ng tròn nội tiế p,

'centername'=cn(tuỳ chọn), cn là tâm của đườ ng tròn nội tiế p.

* Xác định 3 đườ ng tròn bàng ti ế p tam giác:

[> excircle(obj, T, n);↵

Trongđó: obj : Danh sách 3đườ ng tròn bàng tiế p,

n: (tuỳ chọn) danh sách gồm 3 phần tử dạng [cl(0l), c2(02), c3(03)],trongđó cl, c2, c2, 01, 02, 03 là các tên.

* Kiể m tra hai tam giác đồng d ạng:

[> AresSimilar(Ti, T2, cond)l↵

Trongđó: Ti, T2: Hai tam giác,

cond:(tuỳ chọn) tên- tr ả lại điều kiện để hai tam giácđồng dạng.

* Kiể m tra m ột tam giác đề u:

[> lsEquilateral(ABC, cond);↵





144

Trongđó: ABC : Tam giác,

cond: (tuỳ chọn) tên - tr ả lại điều kiện để tam giácđều.

* Kiể m tra m ột tam giác vuông:

[> lsRightTriangle(ABC, cond);↵

Trongđó: ABC: Tam giác,

cond: (tuỳ chọn) tên - tr ả lại điều kiện để tam giác vuông.

* Xác định đ iể m Giécgôn và đ iể m Naghen c ủa tam giác:

[> GergonnePoint(G, ABC);↵

[> NagelPoint(N, ABC);↵

Trongđó: G: Tênđiểm Giécgôn,

N: Tênđiểm Naghen.* Xác định đườ ng thẳ ng Euler và đườ ng thẳ ng Simson c ủa tam giác:

[> EulerLine(Ell, T);↵

[> Simsonline(sl, N, T);

Trongđó: Ell: Tênđườ ng thẳng Euler,

sl: Tênđườ ng thẳng Simson,

N:Điểm nằm trênđườ ng tròn ngoại tiế p tam giác T.

* Xác định đư ng tròn Euler c ủa tam giác: [> EulerCircle(Elc, T, 'centername'=cn)l↵

Trongđó: Elc: Tênđườ ng tròn Euler của tam giác T,

‘centemame' = cn: (tuỳ chọn) trongđó có là tâm của đườ ng tròn Euler.

* Khai báo đườ ng tròn đ i qua 3 đ iể m A, B,C cho tr ướ c:

[> circle(c, [A, B, C], n, 'centername'=m);↵

Trongđó: n: (tuỳ chọn) danh sách hai tên biểu diễn tên của hai tr ục toạ độ,

'centernamet’=m: (tuỳ chọn) m là tâm của đườ ng tròn.

* Khai báo đườ ng tròn bi ế t tâm và bán kính (ho ặc biế t đườ ng kính):

[> circle(c, [O, rad], n, 'centername'=m);↵

[> circle(c, [A, B], n, 'centername'=m);↵

Trongđó: O: Tâmđườ ng tròn,







146

'MinorAxis"=ep2: Danh sách haiđiểm cuối của tr ục bé.

* Khai báo Elíp khi bi ế t phươ ng trình đại số của chúng:

[> ellipse(e, eqn, n);↵

Trongđó: eqn: Phươ ng trìnhđại số.

* Khai báo Hypebol đ i qua 5 đ iể m A,B,C,D,E.'

[> hyperbola(h, [A, B, C, E, F], n);↵

* Khai báo Hypebol khì bi ế t đườ ng chu ẩ n, tiêu đ iể m, tâm sai:

[> hyperbola(h, ['directrix'=dir,'focus'=fou, 'eccentricity'=ecc], n);↵

Trongđó: 'directrix'=dir:Đườ ng chuẩn,

'focus,=fou: Tiêuđiểm,

'eccentricity'=ecc: Tâm sai.* Khai báo Hypebol khi bi ế t hai tiêu đ iể m, các đỉ nh:

[> hyperbola(h, ['foci'=foi,'vertices'=ver], n);↵

Trongđó: ‘vertices'=ver: Danh sách haiđỉnh của Hypebol,

'focil:foi: Danh sách hai tiêuđiểm của Hypebol.

* Khai báo Hypebol khi bi ế t hai tiêu đ iể m và kho ảng cách gi ữ a hai đỉ nh:

[> hyperbola(h, ['foci'=foi,'distancev'=disv], n);↵

Trongđó: 'foci'=foi: Danh sách hai tiêuđiểm của Hypebol,‘distancev'=disv: Khoảng cách giữa haiđỉnh của Hypebol.

* Khai báo Hypebol khi bi ế t các đỉ nh và kho ảng cách gi ữ a hai tiêu đ iể m:

[> hyperbola(h, ['vertices'=ver,'distancef=disf], n);↵

Trongđó: ‘vertices'=ver: Danh sách haiđỉnh của Hypebol,

‘distancef’=disf: Khoảng cách giữa hai tiêuđiểm.

* Khai báo Hypebol khi bi ế t phươ ng trình đại số :

[> hyperbola(h, eqn, n);↵

Trongđó: eqn: Phươ ng trìnhđại số của Hypebol.

* Khai báo Parabol đ i qua 5 đ iể m A, B, C, E, F phân bi ệt.

[> parabola(p, [A, B, C, E, F], n);↵

* Khai báo Parabol khi bi ế t tiêu đ iể m và đỉ nh:





147

[> parabola(p, ['focus'=fou, 'vertex'=ver], n);

Trongđó: 'focus'= fou: Tiêuđiểm,

'vertex'=ver:Đỉnh của Parabol.

* Khai báo Parabol khi bi ế t đườ ng chu ẩ n và tiêu đ iể m:

[> parabola(p, ['directrix'=dir, 'focus'=fou], n);↵

Trongđó: 'focus'=fou: Tiêuđiểm,

‘directrix'=dir:Đườ ng chuẩn.

* Khai báo Parabol khi bi ế t phươ ng trình đại số .

[> parabola(p, eqn, n);↵

Trongđó: eqn: Phươ ng trìnhđại số.

* Kiể m tra 3 đ iể m thẳ ng hàng:

[> AreCollinear(p, Q, R, cond);↵

Trongđó: P, Q, R: Bađiểm,

cond: (tuỳ chọn) tên - tr ả lại điều kiện để 3 điểm thẳng hàng.

* Kiể m tra 3 đườ ng thẳ ng đồng quy:

[> Areconcurrent(l1, l2, l3, cond);↵

Trongđó: l1, l2, l3: Bađườ ng thẳng,

cond: tên - tr ả lại điều kiện để 3 đườ ng thẳng đồng quy.* Kiể ng tra hai đ iể m A, B liên h ợ p đ iề u hoà v ớ i hai đ iể m C, D cho tr ướ c trên đườ ngthẳ ng:

[> AreHarmonic(A, B, C, D);↵

* Kiể m tra hai đườ ng thẳ ng song song:

[> AreParallel(11, 12, cond);↵

Trongđó: l1, l2: Haiđườ ng thẳng.

cond: (tuỳ chọn) tên - tr ả lại điều kiện để 2 đườ ng thẳng song song.* Kiể m tra hai đườ ng thẳ ng vuông g ố c:

[> ArePerpendicular(l1, l2, cond);↵

Trongđó: l1, l2: Haiđườ ng thẳng,

cond: (tuỳ chọn) tên - tr ả lại điều kiện để haiđườ ng thẳng vuông góc.

* Kiể m tra m ột đ iể m, một danh sách ho ặc t ậ p hợ p các đ iể m thuộc một đườ ng thẳ ng:





148

[> lsOnline(f, cond);↵

Trongđó: f: Một điểm, một danh sách hoặc tậ p hợ p cácđiểm,

l: Đườ ng thẳng,

cond: tên - tr ả lại điều kiện để tậ p hợ p điểm thuộc đườ ng thẳng.

* Kiể m tra 4 đ iể m P1, P2, P3, P4 b ấ t kì cùng n ằ m trên m ột đườ ng tròn:

[> Areconcyclic(pi1, P2, P3, P4, cond);↵

Trongđó: cond (tên) tr ả lại điều kiện để 4 điểm thuộc đườ ng tròn.

* Kiể m tra m ột đ iể m, một danh sách ho ặc t ậ p hợ p các đ iể m cùng thu ộc một đườ ngtròn:

[> lsOncircle( f, c, cond);↵

Trongđó f: Một điểm, một danh sách hoặc tậ p hợ p cácđiểm,

c: Đườ ng tròn,

cond: tr ả lại điều kiện để tậ p hợ p điểm thuộc đườ ng tròn.

* Kiể m tra hai đườ ng tròn c1, c2 tr ự c giao:

[> AreOrthogonal(c1, c2, cond);↵

Trongđó: cond: tr ả lại điều kiện để haiđườ ng tròn tr ực giao.

* Kiể m tra tính ti ế p xúc gi ữ a đườ ng thẳ ng và đườ ng tròn ho ặc giữ a hai đườ ng tròn:

[> AreTangent(f, g);↵

Trongđó: f, g: Một đườ ng thẳng và một đườ ng tròn hoặc haiđườ ng tròn.

4.12.2 Các l ệnh tính toán trong hình h ọc

* Xác định toạ độ đ iể n P:

[> coordinates(P);↵

* Xác định tung độ (hoành độ ) của một đ iể m P:

[> VerticalCoord(p);↵

[> HorizontalCoord(p);↵ * Tìm trung đ iể m của đ oạn thẳ ng:

[> midpoint(c, A, B);↵

[> midpoint(c, seg);↵

[> midpoint(p1, p2);↵

Trongđó: C : Tên của trungđiểm,





149

A, B: Haiđiểm,

seg:Đoạn thẳng,

pl, p2: Các tên, các biểu thức hoặc cácđiểm.

* Tìm các tiêu đ iể m của Elíp ho ặc Hypebol:

[> foci(fn, f);↵

Trongđó : fn: (tuỳ chọn) danh sách 2 tên,

f: Một Elíp hoặc Hypebol.

* Tìm độ dài tr ục l ớ n (tr ục bé)của Elíp (e):

[> MajorAxis(e);↵

[> MinorAxis(e);↵

* Tìm đườ ng đố i cự c của một đ iể m đổ i vớ i một côníc ho ặc một đườ ng tròn:[> Polar(l, P, c)↵

Trongđó : l: Tên của đườ ng đối cực,

P: Điểm,

c: Đườ ng cômc hoặc đườ ng tròn.

* Tìm cự c của một đườ ng thẳ ng đố i vớ i một côníc ho ặc một đườ ng tròn:

[> Pole(p, p, c);↵

Trongđó: P : Tên cực của đườ ng thẳng, p: Đườ ng thẳng,

c: Đườ ng côníc hoặc đườ ng tròn.

* Tìm hình chi ế u của một đ iể m lên một đườ ng thẳ ng:

[> projection(Q, P, l) ;↵

Trongđó: Q: Tên của điểm chiếu,

P: Điểm,

l: Đườ ng thẳng.

* Tr ả l ại hai đầu mút c ủa một đ oạn thẳ ng, đ oạn thẳ ng định tr ườ ng ho ặc các đỉ nh củamột tam giác, hình vuông:

[> DefinedAs(obj);↵

Trongđó: obj:Đoạn thẳng,đoạn thẳng định hướ ng, tam giác, hình vuông.

* Tr ả l ại phươ ng trình đại số của một đố i t ượ ng hình h ọc:





150

[> Equation(obj);↵

[> Equation(obj, [x, y]);↵

Trongđó: obj :Đối tượ ng hình học,

[x, y]: (tuỳ chọn) tên của hai tr ục toạ độ.

* Tr ả l ại tên tr ục hoành (tr ục tung) trong ph ươ ng trình xác định của đố i t ượ ng:

[> HorizontalName(obj);↵

[> VerticalName(obi);↵

Trongđó: obj :Đườ ng thẳng, tam giác,đườ ng tròn, parabol, elíp, hypebol.

* Tr ả l ại d ạng xác định đố i t ượ ng:

[> form(obj);↵

Trongđó: obj:Đối tượ ng hình học.* Mô t ả chi tiế t các thu ộc tính c ủa đố i t ượ ng hình h ọc:

[> detail(g);↵

Trongđó: g:Đối tượ ng, danh sách hoặc tậ p hợ p cácđối tượ ng hình học.

* V ẽ các đố i t ượ ng hình h ọc:

[> draw(obj,...);↵

[> draw([obj_1,..., obj_n],...);↵

Trongđó: obj:Đối tượ ng cần vẽ đồ thị,[obj_l,..., obj_n]: Danh sách cácđối tượ ng cán vẽ đồ thị.

* Tìm giao đ iể m của hai đườ ng cong đượ c xác định bở i phươ ng trình đại số .

[> intercept(eqn1);↵

[> intercept(eqn1, eqn2, {x, y})↵

Trongđó: eqnl, eqn2: Các phươ ng trình (Ví dụ: y = x2+ 3),

x, y: (tuỳ chọn) toạ độ của các biến.

* Tính độ dài có h ướ ng giữ a hai đ iể m A, B:

[> SensedMagnitude(A, B) ;↵

* Tính tích có h ướ ng của hai đ oạn thẳ ng định hướ ng:

[> Crossproduct(dseg1, dseg2);↵

Trongđó : dseg 1, dseg2 : Haiđoạn thẳng định hướ ng.





151

* Tính t ỷ số đ iề u hoà ho ặc t ự số kép của 4 đ iể m thẳ ng hàng A, B, C, D:

[> CrossRatio(A, B, C, F);↵

* Tính các c ạnh của tam giác ho ặc hình vuông (g):

[> sides(g);↵

* Tính bán kính c ủa đườ ng tròn c:

[> radius(c);↵

* Tính đườ ng kính c ủa một t ậ p hợ p đ iể m:

[> diameter(g);↵

Trongđó: g: Danh sách hoặc tậ p hợ p cácđiểm.

* Tính h ệ số góc c ủa một đườ ng thẳ ng:

[> slope(l) ;↵

[> slope(A, B);↵

Trongđó: l:Đườ ng thẳng,

A, B: Haiđiểm.

* Tính ph ươ ng tích c ủa đ iể m P đố i vớ i đườ ng tròn c:

[> powerpc(p, c);↵

* Tính kho ảng cách:

[> distance(p, l);↵ [> distance(a, b);↵

Trongđó: P:Điểm,đoạn thẳng,đoạn thẳng định hướ ng,

l: Điểm hoặc đườ ng thẳng,

a, b: Các biểu thức hoặc cácđối tượ ng thuộc kiểu khai báođiểm.

* Tính di ện tích:

[> area(obj);↵

Trongđó: obj: Tam giác, hình vuông,đườ ng tròn hoặc elíp.

* Xác định đườ ng tròn Appollius c ủa 3 đườ ng tròn c1, c2, c3 cho tr ướ c:

[> Apollonius(c1, c2, c3);↵

* Xác định tr ục đẳ ng ph ươ ng 1 c ủa hai đườ ng tròn c1, c2:

[> RadicalAxis(l, ci, c2);↵





152

* Xác định tâm đẳ ng phươ ng d c ủa ba đườ ng mòn c1, c2, c3:

[> Radicalcenter(d, c1, c2, c3);↵

* Xác định tiế p tuyên t ừ một đ iể m đế n một đườ ng tròn (ti ế p tuyế n t ại một đ iể m trênđườ ng tròn đ ó):

[> TangentLine(obj, p, c, n);↵ [> tangentpc(l, P, c),↵

Trongđó: obj: Tiế p tuyến đi quađiểm P,

l: Tiế p tuyến tại điểm P,

c: Đườ ng tròn,

n: (tuỳ chọn) danh sách tên tr ục.

* Xác định giao đ iể m của hai đườ ng thẳ ng ho ặc hai đườ ng tròn:

[> intersection(obj, f, g);↵

Trongđó: obj: Tên các giaođiểm,

f, g: Haiđườ ng thẳng hoặc haiđườ ng tròn.

* Tính góc gi ữ a hai đườ ng thẳ ng hoặc hai đườ ng tròn

[> FindAngle(u, v);↵

Trongđó: u, v: Haiđườ ng thẳng hoặc haiđườ ng tròn.

4.12.3. M ột vài minh ho ạ vi ệc sử d ụng các l ệnh trên- Khai báo đ iể m A(x,y) : point : [> A:=[1,2]: hoặc [> point(A,[1,2]):↵

- Đánh d ấ u đ iể m A : draw: [> draw(point(A,1,2)):↵

- Xác định 1 đ oạn thẳ ng đ i qua hai đ iể m A, B: Khai báo 2điểm sauđó dựng đoạnthẳng vớ i lệnh segment: [> point(A,[1,2]):point(B,[-1,-2]): segment(AB,[A,B]);↵

Hoặc có thể sử dụng câu lệnh kép:

[> segment(AB,[point(A,[1,2]),point(B,[-1,-2])]):↵

- V ẽ đ oạn thẳ ng qua 2 đ iể m A, B đ ã định ngh ĩ a: [> draw(segment(AB,[A,B])):↵ - V ẽ đườ ng thẳ ng qua hai đ iể m A,B: [>line(l,[point(A,(1,2)),point(B,(-1,-2))]):draw(l)↵

- Xác định đườ ng thẳ ng 1 có d ạng ax+by=c : [> line(l,2*x+9*y=-9,[x,y]): draw(l):↵

- Xác định giao đ iể m của hai đườ ng thẳ ng l1, l2: intersection,

[> line(l1, x = 0, [x,y]}, line(l2, x+ y = 1, [x,y]): intersection(G, l1, l2);↵





153

-Xác định toạ độ giao đ iể m: [> coordinates(G):↵

- Xác định giao đ iể m giữ a đườ ng thẳ ng và đườ ng tròn khi bi ế t các ph ươ ng trình c ủachúng: [> line(l, x+ y = 1, [x,y]): circle(c, x^2+ y^2 = 1, [x,y]):

intersection(p, 1, c,[M,N]): detail(p): draw({l,c});↵

- Xác định giao đ iể m của hai đườ ng tròn khi bi ế t phươ ng trình c ủa chúng:

[> circle(c1, x^2+ y^2 = 1, [x,y]): circle(c2,[point(0,2,0),1.5],[x,y]):

intersection(H,c2,c1,[U,V]): detail(H):↵

-Vẽ hai đườ ng tròn c ắ t nhau ở trên nh ư sau:

[> draw({c1,c2}):↵

- Các câu l ệnh sau khi th ự c hiện cần mở gói công c ụ hình h ọc vớ i l ệnh :

[> with(geometry):↵

Xácđịnh tam giác: triangle:

-Xác định tam giác khi bi ế t ba đ iể m:

[>point(A,0,0),point(B,1,1),point(c,1,0): triangle(T,[A,B,C]):type(T,'triangle2d'):method(T):map(coordinates,Def ỉnedas(T)):↵

- Dự ng tam giác xác định bở i ba đườ ng thẳ ng:

[>line(l1,y=0,[x,y]), line(l2,y=x,[x,y]), line(l3,x+y-2=0,[x,y]):triangle(l,[l1,l2,l3]):map(coordinates,DefinedAs(T)):↵

- Xác định tam giác khi bi ế t độ dài ba c ạnh, ví dụ là 3,4,5:

[> triangle(T,[3,4,5]):detail(T):↵

- Xác định tam giác khi bi ế t hai c ạnh và m ột góc xen gi ữ a: ví dụ dựng tam giác có haicạnh lần lượ t là 2, 1 và góc xen giữa là 45().

[> triangle( r,[2,'angle'=Pi/2,1]):method(T): DefinedAs( T):↵

- Xác định các đườ ng cao altitude()và tr ự c tâm orthocenter()tam giác:

[> triangle(ABC, [point(A,0,0), point(B,2,0), point(c,1,3)]): altitude(hA1,A,ABC):altitude(hA2,B,ABC):altitude(hA3,C,ABC):orthocenter(H,ABC): coordinates(H):↵ - Dự ng các đườ ng trung tuy ế n median () làtr ọng tâm centroid()tam giác:

[> triangle(ABC, [point(A,0,0), point(B,2,0), point(c,1,3)]):

median(mA, A, ABC): median(mB, B, ABC):median(mc,C,ABC):

centroid(G,ABC): coordinates(G):↵

- Dự ng các đườ ng trung tr ự c PerpenBisectorvà tâm đườ ng tròn ngo ại tiế p tam giác:





154

[> point(A,0,0), point(B,2,0),point(C,-1,2):PerpenBisector(l1, A, B):

PerpenBisector(12,C,B):PerpenBisector(13,A,C):intersection(0,l1,l2,l3):coordinates(O):↵

- Dự ng các đườ ng phân giác bisectorvà tâm đườ ng tròn n ội tiế p incircletam giác:

[> triangle(ABC, [point(A,0,0), point(B,2,0), point(C,1,3)]): bisector(bA, A, ABC):bisector(bB,B, ABC): bisector(bc,C,ABC):

intersection(l,bA,bB,bC):coordinates(l):↵

- Dự ng đườ ng tròn t ừ ba đ iể m phân bi ệt: circle

[> circle(c1,[point(A,0,0), point(B,2,0), point(c,1,2)],'centername'= O1):center(c1), coordinates(center(c1)): radius(c1); Equation(c1); detail(ci);↵

- Dự ng đườ ng tròn khi bi ế t hai đ iể m cuố i của một đườ ng kính: circle

[> point(M,Horizontalcoord(O1)-radius(c1),Verticalcoord(O1)), point(N,Horizontalcoord(O1)+radius(c1),Verticalcoord(O1)):

circle(c2,[M,N]), Equation(c2);↵

- Dự ng đưừ ng tròn khi bi ế t tâm và bán kính c ủa nó: circle

[> circle(c3,[center(c1),radius(c1)]): Equation(c3):↵

- Dự ng đườ ng tròn khi bi ế t phươ ng trình đại số của nó: circle()

[> circle(c4,Equation(c1),'centername'=O2): center(c4), coordinates(center(c4)):radius(c4):↵

- Dự ng đườ ng tròn ngo ại tiế p một tam giác: circumcircle

[> with(geometry):

triangle(r, [point(A,0,0), point(B,2,0), point(c,1,3)]):↵

circumcircle(Elc, r,'centername'=OO);detail(Elc); draw({Elc,T},printtext=true):

- Dự ng đườ ng tròn n ội tiế p một tam giác: incircle

[> with(geometry):triangle(T, [point(a,0,0), point(B,2,0), point(c,1,3)]):incircle(inc,T,'centername'=0):detail(inc):↵

- Dự ng các đườ ng tròn bàng ti ế p một tam giác: excircle

[> with(geometry):ps := point(A,1,1),point(B,3,1),point(c,2,4):

Triangle(T, [ps]): excircle(obj, T, [c1(o1),c2(o2),c3(o3)]):

draw({op(obj), T},printtext=true);↵





155

- Qua m ột đ iể m d ự ng đườ ng thẳ ng song song v ớ i đườ ng thẳ ng đ ã cho ParallelLine

[> with(geometry):

EnvHorizontalName:='x':EnvVerticalName:='y':

point(p, 2, 3), line(l,x+ y =1,[x,y]);

ParallelLine(lp, P, l);

detail(lp);draw({lp(color=magenta),l,P(color=blue)});↵

- Qua m ột đ iể m d ự ng đườ ng thẳ ng vuông góc v ớ i đườ ng thẳ ng đ ã cho:PerpendicularLine

[> point(P, 2, 3), line(l, x+ y =1, [x,y]):

PerpendicularLine(lp, P, l):detail(lp): draw({l,lp,P})↵

- Qua m ột đ iể m d ự ng tiế p tuyên vớ i một đườ ng tròn: TangentLine

[> point(A, 3, -2), circle(c, a^2+ b^2 = 1,[a,b]).

TangentLine(obj, A, c, [l1, l2]):

form(l1), Equation(l1):form(l2), Equation(l2): draw({A,c,l1,l2}):↵

- Dự ng tr ục đẳ ng ph ươ ng RadicalAxis c ủa hai đườ ng tròn và tâm đẳ ng phươ ng Radicalcenter c ủa ba đườ ng tròn:

[> circle(c1,x^2+y^2=8,'centername'=o1);

circle(c2,x^2+(y-5)^2=9,'centername'=o2);

RadicalAxis(l,c,ci):RadicalCenter(e,c,c1,c2):

draw({l,c,c1});draw({e(color=blue),c,c1,c2});↵

- Kiể m tra hai đườ ng thẳ ng có song song không: AreParallel

[> line(l1,2*x+3*y+1=0,[x,y]):

line(l2,4*sqrt(2)*x+6*sqrt(2)*y-1=0,[x,y]): AreParallel(l1,l2):↵

- Kiể m tra hai đườ ng thẳ ng có vuông góc không: ArePerpendicular

[> line(l1,y=x,[x,y]):line(l2,y:-x,[x,y]): ArePerpendicular(l1,l2):↵

- Kiể m tra m ột đ iể m có thu ộc một đườ ng thẳ ng không: lsOnline

[> point(A,0,-1):line(l1,2*x-y=2,[x,y]): lsOnline(A,11):↵

- Kiể m tra m ột đ iể m có thu ộc một đườ ng lròn không: lsoncircle

[> point(B,1,-1):circle(c,(x-1)^2+(y-2)^2=3^2,[x,y]): lsOncircle(B,c):↵

- Kiể m tra ba đ iể m có th ẳ ng hàng không. AreCollinear





156

[> point(Ai,1 )-1):point(Bi,O,1):point(ci,2,-3): AreCollinear(A1,B1,C1):↵

- Kiể m tra ba đườ ng thẳ ng có đồng quy không: AreConcurrent

[>line(12,x-y=1,[x,y]):line(13,2*x-3*y=2,[x,y]):line(14,x+2*y=1,[x,y]):↵

Areconcurrent(12,13,14):↵

- Kiể m tra b ố n đ iể m thẳ ng hàng có liên h ợ p đ iề u hoà v ớ i nhau không. AreHarmonic

[> with(geometry): point(A,1,1):point(B,0,0):

point(C,-1,-1):point(D,-4,-4): AreHarmonic(A, B, C, D):↵

- Kiể m tra hai tam giác có liên h ợ p vớ i nhau đố i vớ i một đườ ng tròn không:Areconiugate

[> triangle(T1,[point(p1,1,3/2),point(p2,2,1),point(p3,0,1)]):

line(11,y=0,[x,y]),line(l2, y=x,[x,y]), line(l3,x+y-1 = 0,[x,y]):

triangle(T2,[l1,l2,l3]): circle(c,[point(o1,2),1]): AreConiugate(T1,T2,c):↵

- Kiể m tra b ố n đ iể m có thu ộc cùng m ột đườ ng tròn không: ArConcyclic

[> point(pi,0,0), point(P2,2,0), point(P3,2,2): point(P4,0,2), point(P5,1,7):

Areconcyclic(P1,P2,P3,P4):↵

- Kiể m tra các đườ ng tròn có tr ự c giao không. AreOrthogonal

[> with(geometry):_EnvHorizontalName := 'x': _EnvVerticalName := 'y':

circle(c1,x^2+ y^2 =1), circle(c2, (x-2)^2+ y^2 = 2): circle(c3, x^2+ y^2 = 2):AreOrthogonal(ci,c2):↵

- Đườ ng thẳ ng tiế p xúc vớ i đườ ng tròn: AreTangent

[> with(geometry):_EnvHorizontalName := 'x': _EnvVerticalName := 'y':

ircle(c1,x^2+ y^2 =1): line(l, 2*x+ 3*y =0 ): AreTangent(l, c1):↵

- Đườ ng tròn ti ế p xúc vớ i đườ ng tròn: AreTangent

[> circle(c1,x^2+ y^2 =1), circle(c2,(x-2)^2+ y^2 =1): AreTangent(c1,c2):↵

- Kiể m tra hái tam giác có đồng d ạng không: AresSimilar[>point(A,0,0),point(B,0,3),point(C,1,0),point(H,0,6),point(F,2,0):point(G,3,1);

triangle(T1, [A, B, C]):triangle(T2, [A, H, F]):triangle(T3, [A, H, G]):

AresSimilar(T1, T2): AresSimilar(T1, T3):↵

- Kiể m tra tam giác có đề u không: lsEquilateral

[> triangle(ABC, [point(A,0,0), point(B,2,0), point(C,1,2)]):lsEquilateral(ABC):↵





157

- Kiể m tra tam giác có vuông không: lsRightTriangle

[>triangle(ABC,[point(A,0,0),point(B,2,0), point(C,0,2)]):lsRightTriangle(ABC):↵

- Khoảng cách gi ữ a hai đ iể m:

[> point(A, 1, -2),point(B,2,-5):distance(A,B):↵

hoặc

[> distance(segment(AB,[A,B]):↵

- Khoảng cách gi ữ a đ iể m vớ i đườ ng thẳ ng

[> point(A,-1,2):line(l,2*x-3*y=1,[x,y]): distance(A,l):↵

Ta cũng có thể tính khoảng cách giữa điểm vớ i đườ ng thẳng bằng cách tínhkhoảng giữa điểm đó vớ i hình chiếu của nó trênđườ ng thẳng. Ta tìm toạ độ hình chiếucủa điểm bằng lệnh:

[> projection(B, A, l):coordinates(B):distance(A,B):↵

- Khoảng cách giữa hai đườ ng thẳ ng:

[> line(l1,2*x-y=3,[x,y]):line(l2,x-3*y=0,[x,y]):distance(11,12):↵

Ta cũng có thể lấy ngẫu nhiên một điểm trên một đườ ng thẳng và tìm hình chiếucủa nó trênđườ ng thẳng kia. Sauđó tính khoảng cách giữa haiđiểm vừa tìm đượ c :

[> randpoint(p, l1, -1..2 ):coordinates(P):projection(Q,P, l2): distance(p,Q):↵

- Xác định hệ số góc c ủa đườ ng thẳ ng: slope

- Xác định hệ sô góc c ủa đườ ng thẳ ng qua hai đ iể m cho tr ướ c:

- Tính góc gi ữ a hai đườ ng thẳ ng khi bi ế t phươ ng trình c ủa nó F indAngle

- Tính góc gi ữ a hai đườ ng tròn: FindAngle

- Tính diện tích tam giác area

- Tính cạnh diagonalvà diện tích hình vuông area

[>point(A,0,0),point(B,1,0),point(C,1,1),point(D,0,1):square(ABCD,[A,B,C,D]):sides(ABCD):diagonal(ABCD):area(ABCD):draw(ABCD,axes=none):↵







159

* Xác định mặt phẳ ng (p) đ i qua A và có véc t ơ pháp tuy ế n cùng ph ươ ng vớ i phươ ngcủa đ oạn thẳ ng định hướ ng dseg1 :

[> plane(p, [A, dsegi]);↵

* Xác định mặt phẳ ng (p) ch ứ a hai đ oạn thẳ ng định hướ ng dseg1, dseg2 có cùng m ột

đầu mút: [> plane(p, [dseg1, dseg2]);↵

* Xác định mặt phẳ ng (p) ch ứ a hai đườ ng thẳ ng l1, l2 (trong tr ườ ng hợ p l1 và l2 chéonhau thì m ặt phẳ ng (p) đượ c xác định là m ặt phẳ ng chứ a l1 và song song v ớ i l2):

[> plane(p, [l1, l2]);↵

* Xác định mặt phẳ ng (p) đ i qua 3 đ iể m phân bi ệt A, B,C:

[> plane(p, [A, B, C]);↵

* Xác định mặt phẳ ng (p) đ i qua A và song song v ớ i hai đườ ng thẳ ng l1, l2 :[> plane(p, [A, l1, l2]);↵

* Xác định mặt phẳ ng (p) khi bi ế t phươ ng trình đại số .

[> plane(p, eqn, n);↵

Trongđó: eqn: Phươ ng trìnhđại số,

n: (tuỳ chọn) danh sách tên biểu diễn tr ục toạ độ.

* Xác định mặt cầu (s) đ i qua 4 đ iể m phân bi ệt:

[> sphere(s, [A, B, C, D], n, 'centername'=m);↵

Trongđó: n: (tuỳ chọn) danh sách tên biểu diễn tr ục toạ độ,

'centername'=m: (tuỳ chọn) tâm của mặt cầu.

* Xác định mặt cầu (s) khi bi ế t đườ ng kính AB:

[> sphere(s, [A, B], n, 'centername'=m);↵

* Xác định mặt cầu (s) khi biế t tâm A và độ l ớ n của bán kính:

[> sphere(s, [A, rad], n, 'centername'=m);↵

Trongđó: rad: Bán kính của mặt cầu.

* Xác định mặt cầu (s) đ i qua đ iể m A và tiế p xúc vớ i mặt phẳ ng p:

[> sphere(s, [A, p], n, 'centername'=m);↵

* Xác định mặt cầu (s) khi bi ế t phươ ng trình t ổ ng quát:

[> sphere(s, eqn, n, 'centername'=m),↵





160

Trongđó eqn: Phươ ng trình tổng quát của mặt cầu.

* Đa diện đề u :

[> Regularpolyhedron(gon, [m, n], o, r);↵

Trongđó: gon: Tên của đa diện cần tạo,

o: Điểm,

r: Số dươ ng, một phươ ng trình.

Giá tr ị [m, n]đượ c cho bở i:

{3, 3} hoặc [3, 3]: Tứ diện,

{3, 4} hoặc [3, 4]: Lục diện (hình lậ p phươ ng),

{4, 3} hoặc [4, 3]: Bát diện,

{3, 5} hoặc [3, 5]: Thậ p nhị diện,

{5, 3} hoặc [5, 3]: Nhị thậ p diện.

* Các câu l ệnh t ạo tr ự c tiế p các kh ố i đ a diện đề u:

[> tetrahedron(gon, o, r):↵ Tứ diện đều,

[> cube(gon, o, r):↵ Hình lậ p phươ ng,

[> hexahedron(gon, o, r):↵ Bát diện đều,

[> icosahedron(gon, o, r):↵ Thậ p nhị diện đều,

[> dodecahedron(gon, o, r):↵ Nhị thậ p diện đều.* Sau khi khai báo các khối đa diện đều, chúng ta có thể sử dụng các câu lệnh

dướ i đây:

[> area(gon):↵ Tr ả lại diện tích xung quanh của đa diện đều,

[> center(gon):↵ Tr ả lại tâm của mặt cầu ngoại tiế p đa diện đều,

[> faces(gon):↵ Tr ả lại các mặt của đa diện đều, mỗi mặt đượ c biểu diễn bở i mộtdanh sách toạ độ của cácđỉnh của các mặt đó,

[ form(gon):↵ Tr ả lại dạng của đa diện đều[> lnRadius(gon):↵ Tr ả lại bán kính của mặt cầu nội tiế p đa diện đều (tức mặt

cầu tiế p xúc vớ i tất cả các mặt của đa diện đều),

[> MidRadius(gon):↵ Tr ả lại bán kính của mặt cầu tiế p xúc vớ i tất cả các cạnhcủa đa diện đều,

[> radius(gon):↵ Tr ả lại bán kính của mặt cầu ngoại tiế p đa diện đều,





161

[> sides(gon):↵ Tr ả lại độ dài các cạnh của đa diện đều,

[> vertices(gon):↵ Tr ả lại toạ độ cácđỉnh của đa diện đều,

[> volume(gon):↵ Tr ả lại thể tích của đa diện đều.

* Hình l ăng tr ụ:

[> parallelepiped(pp, [d1, d2, d3]);↵

Trongđó pp: Tên của hình lăng tr ụ,

d1, d2, d3 : Bađoạn thẳng định hướ ng chung một đỉnh.

* Kiể m tra các đố i t ượ ng hình h ọc không trùng nhau:

[> AreDistinct(A, B, C,...); ↵

Trongđó A, B, C,. . . : Cácđiểm, cácđườ ng thẳng, các mặt phẳng, . . .

* Kiể m tra tính th ẳ ng hàng c ủa 3 đ iể m P, Q, R: [> AreCollinear (p, Q, R, cond);↵

Trongđó: cond: (tuỳ chọn) tên - tr ả lại điều kiện để bađiểm A, B, C thẳng hàng.

* Kiể m tra s ự liên h ợ p của hai đ iể m A, B vớ i một hình c ầu (s) cho tr ướ c:

[> AreConjugate(A, B, s, cond);↵

Trongđó: cond: (tuỳ chọn) tên - tr ả lại điều kiện để A, B liên hợ p vớ i nhauđốivớ i (s)

* Kiể m tra tính đồng ph ẳ ng: [> AreCoplanar(A, B, C, D);↵

[> AreCoplanar(l1, l2 );↵

Trongđó: A, B, C, D: Cácđiểm,

l1,l2: Cácđườ ng thẳng.

* Kiể m tra đ iể m, t ậ p hợ p các đ iể m thuộc một đố i t ư ng nào đ ó:

[> lsOnobject(f, obj, cond);↵

Trongđó f: Một điểm, danh sáchđiểm, tậ p hợ p cácđiểm,obj:Đườ ng thẳng, mặt phẳng, mặt cầu,

cond: tên-tr ả lại điều kiện để tậ p hợ p điểm thuộc đối tượ ng trên.

* Kiể m tra tính song song:

[> AreParallel(dseg1, dseg2, cond);↵

[>AreParallel(l1, l2, cond);↵





162

[> AreParallel(l1, p1, cond);↵

[> AreParallel(p1, p2, cond);↵

Trongđó: dseg1, dseg2: Cácđoạn thẳng định hướ ng,

l1, l2: Cácđườ ng thẳng,

pl, p2: Các mặt phẳng,

cond: tên - tr ả lại điều kiện để cácđối tượ ng song song vớ i nhau.

* Kiể m tra tính vuông góc (tr ự c giao)

[> ArePerpendicular(dseg1, dseg2, cond);↵

[> ArePerpendicular(l1, l2, cond);↵

[> ArePerpendicular(l1, p1 cond);↵

[> ArePerpendicular(p1, p2, cond);↵ [> ArePerpendicular(s1, s2, cond) ;↵

Trongđó: dseg1, dseg2: Cácđoạn thẳng định hướ ng,


pl, p2: Các mặt phẳng,

s1, s2: Các mặt cầu,

cond: tên - tr ả lại điều kiện để cácđối tượ ng vuông góc vớ i nhau.

* Kiể m tra tính chéo nhau c ủa hai đườ ng thẳ ng l1, l2 :[> Areskewlines(l1, l2);↵

* Kiể m tra m ặt phẳ ng (p) ti ế p xúc vớ i mặt cầu (s):

[> lsTangent(p, s);↵

* Kiể m đ a diện đề u (g ần đề u):

[> lsRegular(ngon);↵

[> lsQuasi(ngon);↵

Trongđó ngon:Đa diện.

* Tính kho ảng cách:

[> distance(A, B);↵

[> distance(l1, l2);↵

[> distance(p1, p2);↵







164

* Xác định một mặt của hình đ a diện:

[> facet(gon, case, n);↵

Trongđó: gon: Tên của mặt đa diện,

case: Tr ườ ng hợ p khối đa diện,

n: Số nguyên không âm.

* Xác định giao đ iể m giữ a hai ho ặc ba đố i t ượ ng hình h ọc:

[> intersection(obj, 11, 12)l↵

[> intersection(obj, P1, p2);↵

[> intersection(obj, l1, p1);↵

[> intersection(obj1, l1, s);

[> intersection(obj, p1, p2, p3);↵

Trongđó: obj: Tên của các giaođiểm,


pl, p2, p3: Các mặt phẳng,

s: Mặt cầu.

* Tr ả l ại phươ ng trình c ủa các đố i t ượ ng hình h ọc:

[> Equation(obj);↵

[> Equation(obj, t);↵ [> Equation(obj, [x, y, z]);↵

Trongđó: obj:Đối tượ ng hình học,

t: tên tham số trong phươ ng trình tham số của đườ ng thẳng,

[x y, z] : (tuỳ chọn) tên của các tr ục toạ độ.

* Tìm tên c ủa tham bi ế n đượ c sử d ụng trong ph ươ ng trình tham s ố của đườ ng thẳ ng:

[> tname(obj);↵

Trongđó obj:Đườ ng thẳng.

* Tr ả l ại đườ ng thẳ ng (ho ặc mặt phẳ ng đ i qua m ột đ iể m (hoặc một đườ ng thẳ ng) và song song v ớ i một đườ ng thẳ ng (ho ặc mặt phẳ ng):

[> parallel(w, u, v);↵

Trongđó: w: Tên của đườ ng thẳng hoặc mặt phẳng đượ c tạo ra,

u: Một điểm hoặc một đườ ng thẳng,





165

v: đườ ng thẳng hoặc mặt phẳng (nếu u là một điểm).

* Xác định đườ ng đố i cự c (cự c) của một đ iể m (mặt phẳ ng) đ ôi vớ i một hình c ầu:

[> polar(p, A, s);↵

[> pole(B, q, s);↵

Trongđó p: Tên của đườ ng đối cực,

A: Một điểm,

s: Hình cầu,

B: Tên của cực,

q: Mặt phẳng.

* Tính ph ươ ng tích c ủa đ iể m P đố i vớ i hình c ầu s:

[> powerps(p, s);↵

* Xác định mặt đẳ ng ph ươ ng của hai hình c ầu, xác định tr ục đẳ ng ph ươ ng của bahình c ầu, xác định tâm đẳ ng ph ươ ng của bạn hình c ầu cho tr ướ c:

[> RadicalPlane(p1, s1, s2);↵

[> RadicalLine(p2, s1, s2, s3);↵

[> RadtcalCenter(p3, s1, s2, s3, s4);↵

Trongđó pl: Mặt đẳng phươ ng,

p2: Tr ục đẳng phươ ng, p3: Tâmđẳng phươ ng,

s1, s2, s3, s4: Các hình cầu.

* Xác định mặt phẳ ng tiế p xúc của một đ iể m trên m ặt cầu:

[> TangentPlane(p, A, s);↵

Trongđó p: Tên của mặt phẳng tiế p xúc tại điểm

A, s: Mặt cầu.

* Xác định hình chi ế u của một đố i t ượ ng trên m ột đố i t ượ ng khác: [> projection(Q, A, l);↵

[> proJection(Q, A, p);↵

[> projection(Q, seg, p);↵

[> projedion(Q, l, p);↵

Trongđó: Q: Tên của đối tượ ng đượ c tạo ra,





166

A: Một điểm,

seg: Một đoạn thẳng hoặc một đoạn thẳng định hướ ng,

l: Đườ ng thẳng,

p: Mặt phẳng.

4.12.5. M ột số minh ho ạ

- Điể m A có to ạ độ xác định x,y,z: point(A,x,y,z);↵

ví dụ. [> point(A,1,2,3);↵

Để hiển thị toạ độ của điểm Ađã định ngh ĩ a: [> coordinates(A):↵

để hiển thị từng toạ độ :[> xcoord(A):ycoord(A):zcoord(A):↵

- Đoạn thẳ ng đ i qua hai đ iể m cho tr ướ c A,,B: segment(AB,[A,B]);↵

Ví dụ đoạn thẳng đi quađiểm A(1,2,3) vàđiểm B(2,3,4):[> point(A,1,2,3):point(B,2,3,4): segment(AB,[A,B]);↵

vẽ đoạn thẳng AB vừa dựng:

[> draw(AB):↵

- Đườ ng thẳ ng đ i qua hai đ iể m đ ã biế t A,B line(l,[A, B]):ho ặc đ i qua m ột đ iể m A và cóvéc t ơ chỉ phươ ng v cho tr ướ c :line(l,[A, v]),

ví dụ đườ ng thẳng lđi quađiểm A (1,2,3) và véc tơ v=(0,2,4):

[> point(A,1,2,3): line(l,[A,[0,2,4]]);↵ vẽ đườ ng thẳng vừa dựng đượ c :

[> draw(l):↵

- M ặt phẳ ng p qua ba đ iể m A,B,C không th ẳ ng hàng: plane(p,[A,B,C]):

Ví dụ Mặt phẳng pđi qua bađiểm: A=(l,2,3), B=(l,0,3),(C=(0,2,3),

[ >point(A,1,2,3):point(B,1,0,3):point(C,0,2,3);↵

[> plane(p,[A,B,C]):↵

- M ặt phẳ ng p đ i qua m ột đ iể m A nhận u là véc t ơ pháp tuy ế n: plane(p,[A,u]); Ví dụ mặt phẳng pđi quađiểm A=(l,2,3) vớ i véc tơ pháp tuyến u=(0,2,4):

[> point(A,1,2,3): plane(p,[A,[0,2,4]]);↵

- M ặt phẳ ng p đ i qua m ột đ iể m A và có hai véc t ơ ch ỉ phươ ng u1,u2 cho tr ướ c: plane(p,[A,u1,u2]); Víd ụ mặt phẳ ng p đ i qua đ iể m A=(1,2,3) và u1=(0,1,4),u2=(0,3,6)





167

[> point(A,1,2,3): plane(p,[A,[0,1,4],[0,3,6]]):↵

- M ặt cầu (s) đ i; qua b ố n đ iể m không đồng ph ẳ ng A,B,C,D: sphere(s,[A,B,C,D]

Ví dụ: vớ i 4 điểm A=(l,2,3), B=(-l,-4,-5), C=(l/2,l/3,l/4), D=(2/3,l,0):[>point(A,1,2,3):

point(B,-1, 4,-5):point(c,1/2,1/3,1/4): point(D,213,1,0):A=coordinates(A):B=coordinates(B):

C=coordinates(c):D=coordinates(D): sphere(s,[A,B,C,D]):

Equation(s,[x,y,z]):↵

- M ặt cho tr ướ c hoặc có tâm O và bán kính r xác định: sphere(s[o,r]);

Ví dụ mặt cầu có tâm làđiểm A, bán kính r:4:

[> sphere(s,[A,4]): Equation(s,[x,y,z]);

- M ặt cầu có ph ư ng trình f(x,y,z) cho tr ướ c : sphere(s,f(x,y,a),[x,y,z]);

Ví dụ mặt cầu có phươ ng trình x2+y2+z2 =l:

- Giao đ iể m của của ba m ặt phẳ ng: intersection(đểm,mp1,mp2,mp3)

Ví dụ cho 4điểm A=(0,0,0),B=(l,0,0), C=(0,l,0),E=(0,0,l). Mặt phẳng pl đi qua ba điểm: A,B,C, p2đi qua 3điểm A,C,E và p3đi qua 3điểm A,B,E. Xácđịnh toạ độ giaođiểm P của 3 mặt phẳng trên:

[>with(geom3d): point(A,0,0,0);point(B,1,0,0);point(C,0,1,0); point(E,0,0,1);plane(p1,[A,B,C]),plane(p2,[A,C,E]), plane(p3,[A,B,E]);

intersection(p,p1,p2,p3); coordinates(p);↵

- Phươ ng trình m ặt phẳ ng đ i qua ba đ iể m A,B,C không th ẳ ng hàng : plane(p,[A,B,C],[x,y,z]); Ví dụ:

[>point(A,0,1,2); point(B,2,3,1); point(C,2,2,-1); plane(p,[A,B,C],[x,y,z]);Equation(p);↵

- Dự ng đườ ng thẳ ng (mặt phẳ ng) pl địa qua đ iể m A và song song v ớ i đườ ng thẳ ng(mặt phẳ ng) p đ ã cho: parallel(p1,A,p);

Ví d ụ: p có ph ươ ng trình x+3y+z=2 và đ iể m A=(1,1, 5):

- Dự ng đườ ng thẳ ng d đ i qua m ột đ iể m A và vuông góc v ớ i mặt phẳ ng p: perpendicular(A,p,d);







169

[> plane(p,[P,[2,4,51]):lsOnObject(Q,p);↵

-Kiể m tra m ột đườ ng thẳ ng có n ằ m trong m ột mặt phẳ ng hay không ?

[> lsOnObject(FixedPoint(l),p):↵

- Kiể m tra m ột đ iể m có thu ộc một mặt cầu hay không ?

[>sphere(s,[point(A,1,3,2),2]):lsonobject(p,s);↵

- Kiể m tra ba đ iể m có th ẳ ng hàng hay không ? AreCollinear

[> point(M1,1,4,3):point(N1,2,1,2):point(p1,2,3,5):

AreCollinear(M1,N1,P1):↵

- Kiể m tra b ố n đ iể m hoặc hai đườ ng thẳ ng có đồng ph ẳ ng hay không?:

[>point(A1,0,0,0):point(B1,0,0,1):point(C1,0,1,0):point(D1,1,0,0):

AreCoplanar(A1,B1,C1,D1 ):↵

hoặc

[>line(ab,[A1,B1]):line(cd,[C1,D1]):line(bc,[B1,C1]):

line(bd,[B1,D1]):line(ad,[A1,D1]): Arecoplanar(ab,cd):↵

- Kiể m tra ba đườ ng thẳ ng có đồng quy hay không ? AreConcurTent

- Kiể m tra tính song song : Areparatlel

Giữa đườ ng thẳng vàđườ ng thẳng: [> AreParallel(ab,cd):↵

Giữa đườ ng thẳng và mặt phẳng:[> plane(p1,[A1,[1,2,3]]):AreParallel(ab,p1):↵ Giữa mặt phẳng và mặt phẳng : [> plane(p2,[B1,[1,2,3]]):AreParallel(p1,p2):↵

- Kiể m tra tính vuông góc: ArePerpendicular

Giữa haiđườ ng thẳng : [> ArePerpendicular(ab,cd):↵

Giữa đườ ng thẳng và mặt phẳng: [> ArePerpendicular(ab,p1):↵

Giữa mặt phẳng và và mặt phẳng [> ArePerpendicular(p1,p2):↵

- Tính kho ảng cách gi ữ a các đố i t ượ ng: distance

Để tính khoảng cách giữa hai điểm,khoảng cách từ một điểm tớ i một đườ ngthẳng, từ một điểm tớ i mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đườ ng thẳng chéo nhau,khoảng cách giữa hai mặt phẳng ta dùng lệnh: distance(u,v);

trongđó u,v làđiểm hoặc đườ ng thẳng, hoặc mặt phẳng, ví dụ:





170

4.12.6. M ột số chươ ng trình con tham kh ảo

* Giải tam giác

Hãy xácđịnh các yếu tố của tam giác khi nhậ p vào toạ độ 3 đỉnh của tam giácđó:

[> restart; with(geometry):

[> GiaiTamgiac:= proc(A, B, C)

Local p;

triangle(ABC, [A, B, C], [x, y]), print('phươ ng trìnhđườ ng thẳng chứa cạnh AB là', Equation(line(AB, [A,B])));

print('phươ ng trìnhđườ ng thẳng chứa cạnh BC là', Equation(line(BC, [B,C])));

print('phươ ng trìnhđườ ng thẳng chứa cạnh CA là Equation(line(CA, [C,A])));

print('phươ ng trình trung tuyến mA là', Equation(median(mA, ABC, A)));

print('phươ ng trình trung tuyến mB là Equation(median(mB, ABC, B)));





171

print('phươ ng trình trung tuyến mC là', Equation(median(mC, ABC, C))),

print('toạ độ tr ọng tâm G của tam giác ABC là, coordinates(centroid(G, ABC)));

print('phươ ng trìnhđườ ng cao hA là', Equation(altitude(hA, ABC, A)));

print('phươ ng trìnhđườ ng cao hB là', Equation(altitude(hB, ABC, B)));

print('phươ ng trìnhđườ ng cao hC là’, Equation(altitude(hc, ABC, C)));

print('toạ độ tr ực tâm của tam giác ABC là’,

coordinates(orthocenter(H, ABC)));

print('phươ ng trìnhđườ ng trung tr ực của cạnh AB là',

Equation(PerpenBisector(pC, A, B)));

print('phươ ng trìnhđườ ng trung tr ực của cạnh BC là',

Equation(PerpenBisector(pA, B, C)));

Print(‘phươ ng trìnhđườ ng trung tr ực của cạnh AB là’,

Equation(PerpenBisector(pB, A, C)));

circumcircle(o, ABC, 'centername’ = O):

print('phươ ng trìnhđườ ng tròn ngoại tiế p tam giác ABC là', Equation(o));

print(' Tọa độ tâmđườ ng tròn ngoại tiế p tam giác ABC là', coordinates(O));

print('bán kínhđườ ng tròn ngoại tiế p tam giác ABC là radius(o));

print('phươ ng trìnhđườ ng phân giác trong của góc A là',Equation(bisector(bA, A, ABC)));

print('phươ ng trìnhđườ ng phân giác trong của góc B là',

Equation(bisector(bB, B, ABC)));

print('phươ ng trìnhđườ ng phân giác trong của góc C là',

Equation(bisector(bc, C, ABC)));

incircle(io, ABC, 'centername' = K);

print('phươ ng trìnhđườ ng tròn nội tiế p tam giác ABC là', Equation(io)); print('toạ độ tâmđườ ng tròn nội tiế p tam giác ABC là', coordinates(k));

print(‘bán kínhđườ ng tròn nội tiế p tam giác ABC là', radius(io));

print('phươ ng trìnhđườ ng phân giác ngoài của góc A là

Equation(ExternalBisector(bA, A, ABC)});

print('phươ ng trìnhđườ ng phân giác ngoài của góc B là',





172

Equation(ExternalBisector(bB, B, ABC)));

print('phươ ng trìnhđườ ng phân giác ngoài của góc C là',

Equation(ExternalBisector(bC, C, ABC)));

excircle(obj, ABC);

print('phươ ng trình cácđườ ng tròn bàng tiế p tam giác ABC lần lượ t là',

Equation(obj[1]), Equation(obj[2]), Equation(obj[3]));

Print(‘ toạ độ các tâmđườ ng tròn bàng tiế p tam giác ABC lần lượ t là',

coordinates(center(obj[1])), coordinates(center(obj[2])),

coordinates(center(obj[3])));

print('bán kínhđườ ng tròn nội tiế p tam giác ABC lần lượ t là',

radius(obj[1]), radius(obj[2]), radius(obi[3]));

print(‘phươ ng trìnhđườ ng thẳng Euler của tam giác ABC là',

Equation(EulerLine(El, ABC)));

Phim(‘ Phươ ng trinhđườ ng tròn Euler của tam giác ABC là’,

Equation(EulerCircle(Ec, ABC, 'centername' = En),

print('toạ độ tâmđườ ng tròn Euler là coordinates(E));

print('bán kínhđườ ng tròn Euler là', radius(Ec));

print('diện tích tam giác ABC là area(ABC)); p:= sides(ABC);

print(‘chu vỉ của tam giác ABC là’, p[1]+ p[2]+ p[3]);

draw({[ABC, o(color = blue), io(color = black), Ec(color = magenta),

El(color = magenta), obi[1](color = green), obj[2](color = green),

obi[3](color = green)]}, axes = none, title=' Hình vẽ minh hoạ’);

end:↵

Sử dụng chươ ng trình trên như sau:Bướ c 1 ; Khai báo toạ độ 3 đỉnh của tam giác ABC

[> point(A, [1, -1]): point(B, [0, 0]): point(c, [-1, -1]):↵

và nhậ p tên các tr ục toạ độ:

(> _EnvHorizontalName:='x': _EnVericalName= ‘y’:

Bướ c 2: Gọi lệnh thực hiện thủ tục đến:↵





173

[> Giaitamgíac(a, B, C);↵

* Xácđịnh tam giác khi cho bất kì 3 yếu tố trong các yếu tố (độ lớ n 3 góc,độ dài 3cạnh, diện tích) của một tam giác.

[>GiaTG := proc(eq1, eq2, eq3)

# Chuyển đổi các câu tr ả lờ i trên từ số đo bằng độ sang số đo bằng radian:L:=convert(%, list): k:=0:

for n from 1 to nops(l) do nL:=convert(op(n, L), list):

for m from 1 to 7 do if (lhs(op(m, nL)) = A) then

Arad:= rhs(op(m, nL)):

A2:= lhs(op(m, nL)) = rhs(op(m, nL))*180./evalf(Pi)*degrees; elif (lhs(op(m,

nL)) = B) thenBrad:= rhs(op(m, nL)):

B2:= lhs(op(m, nL)) = rhs(op(m, nL))*180./evalf(Pi)*degrees; elif (lhs(op(m,nL)) = C) then

Crad:= rhs(op(m, nL)):

C2:= lhs(op(m, nL)) = rhs(op(m, nL)*180./evalf(Pi)*degreesl elif (lhs(op(m,nL)) = c) then

sidec:= rhs(op(m, nL)):

elif (lhs(op(m, nL)) = b) then

sideb:= rhs(op(m, nl)):

# Loại bỏ những câu tr ả lờ i phức tạ p:

Value:= rhs(op(m, nL)):

opc:= nops(value):







175

Tìm các tam giác thoả mãn góc A = 630, b = 11, a = 10 (có hai tam giác):

[> GiaiTG(A = 63*evalf(P1)/1 80, b = 11, a = 10);↵

Tìm các tam giác có góc A = 53(), b = 10, a = 4:

l> GiaiTG(A = 53*evalf(Pi)/180, b = 10, a = 4);↵

* Chươ ng trình chuy ể n t ừ phươ ng trình d ạng t ổ ng quát sang ph ươ ng trình d ạngtham s ố của đườ ng thẳ ng trong không gian:

[> restat; with(geom3d):

[> PTTSdt:= proc(l1, l2)

local t, a, e1, e2;

e1:= Equation(l1): e2:= Equation(l2):

a:= isolve({e1, e2}, {t}): assign(a):

print('phươ ng trình tham số của đườ ng thẳng là', a)'

end:↵

Sử dụng chươ ng trình: viết phươ ng trình tham số của đườ ng thẳng cho bở i phươ ng trình tổng quát:

Sau khi khai báo 2 mặt phẳng, ta gọi thực hiện thủ tục:

[> PTTSdt(l1, l2);↵ K ết quả:

* Xét vị trí t ươ ng đố i của một mặt phẳ ng và m ột mặt cầu, đồng thờ i đư a ra m ột hìnhảnh tr ự c quan b ằ ng l ệnh vẽ các đố i t ượ ng (draw) c ủa Maple (chúng ta có thể xoayhình vẽ theo mọi gócđộ giúp học sinh nhận thức vấn đề một cách chính xác hơ n) :

[> restart;↵

[> VitriMP MC:= proc(p, s)local H, R, d, M, l;

H:= center(s): R:= radius(s): d:= evalf(distance(H, p)):

line(l, [H, p]); intersection(M, 1, p):

if d > R then print('mặt phẳng và mặt cầu không cắt nhau);

draw({[p, s]}, axes = none);





176

elif d = R then print('mặt phẳng và mặt cầu tiế p xúc vớ i nhau tại đêm có toạ độ coordinates(M)); sphere(g, [M, 0.021): # Minh hoạ điểm tiế p xúc

draw({[s, p(color = blue), g(color = magenta)]}, axes = none);

else print (‘mặt phẳng và mặt cầu cắt nhau theo một đườ ng tròn’);

draw({[s, p(color = blue)]}, axes = none);end;

end:↵

Sử dụng thủ tục trênđể xét vị trí tươ ng đối của mặt cầu (S): và mặt phẳng (α ):..

K ết quả: Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đườ ng tròn

* Tìm tâm sai, tiêu đ iể m, tâm đố i xứ ng, các bán tr ục (elíp), đườ ng chu ẩ n của cônícbằ ng một section:

K ết quả là một section xuất hiện và ta chỉ cần nhậ p phươ ng trìnhđại số của côníc vào

mục Equation và nhấn nút Display:* Trong không gian oxyz cho ba đ iể m A(0,1,2); B(2,3,1),C(2,2,-1]);

1) Viế t phươ ng trình m ặt phẳ ng đ i qua ba đ iể m A,B,C. Ch ứ ng t ỏ g ố c toạ độ cũngnằ m trên mp

2) Chứ ng t ỏ t ứ giác OABC là hình ch ữ nhật.Tính di ện tích hình ch ữ nhật đ ó

3)tính th ể tích hình chóp bi ế t đỉ nh S(9,0,0)

Ta sử dụng các câu lệnh sau:

[> with(geom3d): point(A,0,1,2); point(B,2,3) point(C,2,2,-1); plane(p,[A,B,C],[x,y,z]);

Equation(p);point(O,0,0,0

point(S,9,0,0)line(l1,[0,A1):line(l2,B,C]):line(l3,[A,B]):

Equation(l3,[x,y,z]):Equation(l1,[x,y,z]):Equation(l2,[x,y,z]):lsOnplane(O,p):

AreParallel(l1,l2) ;Areperpendicular(l2,l3);





177

print('Vì OA song song vớ i BC,OA vuông góc AB nên OABC là hình chữ nhật:');

print(‘ diện tích hình chữ nhật là:'); s:=distance(OA)*distance(B,A);

print('chiều cao h của hình chóp là khoảng cách từ S(9,00) tớ i (p):');

h:=distance(s,p); print(‘ Thể tích của hình chóp SOABC là:'); V:=h*s/3;↵ -5 x + 4y - 2 z = 0

. . .. Rõ ràng O thu ộc (P) ...... .. ...

true

true

vì OA song song v ớ i BC,OA vuông góc AB nên OABC là hình ch ữ nhật

diện tích hình ch ữ nhật là

Chiều cao h của hình chóp là khoảng cách từ S(9,00) tớ i (p):

Thể tích hình chóp SOAB là;

V:=15

*Trong h ệ t ục loạn độ Oxyz cho hai m ặt phẳ ng (p) và (p’ ) có phươ ng trình (p)

1 ) Chứng tỏ (p) và (pl ) cắt nhau .Viết phươ ng trình tham số của giao tuyến củahai mặt phẳng (p) và (pl)

2) Tính góc gi ữ a hai m ặt phẳ ng trên . Ta s ử d ụng các l ệnh sau:

#Các mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến không cộng tuyến nên (p) và (p1) cắt nhau.Để tìm p.trình tham số của đườ ng thẳng ta cho z=3t r ồi tính x,y theo t

intersection(l,p,p1): detail(l): print(‘góc giữa hai mặt phẳng là’: findAngle(p,p1):↵

name of the object:1

form of the object: line3d

equation of the line: [x=-1/3*3_t, y=4/3-3*_t, z=3*_t]

Góc gi ữ a hai m ặt phẳ ng là:





178

* Trong không gian cho 2 m ặt phẳ ng (p) và (p1) có ph ươ ng trình (p) 2x-y+2z= 1 ;(p1) x+6y+2z+5=0

1 ) CMR Hai m ặt phẳ ng trên vuông góc v ớ i nhau

2)Viế t phươ ng trình t ổ ng quát c ủa mặt phẳ ng (p2) đi qua g ố c toạ độ và đ i qua

giao tuy ế n của (p) và (p1) Viết phươ ng trình đườ ng thẳ ng đi qua A(1,2,-3) và song song v ớ i cả hai m ặt

phẳ ng (p) và (p1)

[>with(geom3d):

plane(p,2*x-y+2*z=1,[x,y,z]): plane(p1,x+6*y+2*z+5=0,[x,y,z]):

ArePerpendicular(p,p1):

print('phươ ng trình tham số của giao tuyến hai mặt phẳng là’);

intersection(l,p,p1): detail(l): print('lấy haiđiểm thuộc l sauđó viết phươ ng trình mặt phẳng đi qua bađiểm').

randpoint(M,l):randpoint(N,l):

point(O,0,0,0 ):plane(p2,[O,M,N],[x,y,z]):

print('phươ ng trình mặt phẳng (p2) là:'):

Equation(p2): draw({p,p1(color magenta),p2(color reo),l(color blue)}):

print('phươ ng định đườ ng thẳng đi quađiểm A(1,2,-3) và song song vớ i hai mặt

phẳng là point(A,1,2,-3): parallel(d,A,l);detail(d):↵ * Trong không gian Oxyz cho hai m ặt phẳ ng (p) và (q) có ph ươ ng trình (p)2x+ky+3z=5, (q) mx-6-6z+2=0

1) Xác định các giá tr ị của k,m để hai m ặt phẳ ng song song v ớ i nhau. Trongtr ườ ng hợ p đ ó hãy tính kho ảng cách gi ữ a hai m ặt phẳ ng

2) Trong tr ườ ng hợ p k=m=0, g ọi d 1àgiao tuy ế n của (p) và (q). Hãy tính to ạ độ hình chi ế u H của đ iể m A(1,1,1,)trên d và tính kho ảng cách t ừ A t ớ i d

[> with(geom3d): assume (m<>0,k<>0):

print('giải hệ ta tìm m,k’);

print(‘phươ ng trình của (p) và (q) là:'):

subs(k=3,f(x,y,z,k)):subs(m= 4,g(x,y,z,m)):





179

print(để tính khoảng cách từ (p)đến (q) ta lấy đềm bất kì thuộc (p) .Sauđó tính khoảngcách từ đêmđó tớ i (q)’):

plane(q,-4*x-6*y 6*z+2=0,[x,y,z]):plane(p,2*x+3*y+3*z-5=0,[x,y,z]):

distance(p,q):

print('Ta chuyển phươ ng trình (d) về dạng tham số sauđó lấy đềm bất kì thuộc nó.Tích vô hườ ng của AH và chỉ phươ ng của (d) sẽ bằng 0. Từ đó tínhđượ c toạ độ H vàtính AH');

intersection(l,h,q3); point(A,1,1,1);detail(l);randpoint(M,l);evalg(distance(M,A));↵

* Trong không gian Oxyz cho đ iể m A(1,2,-1) và m ặt phẳ ng (p) có ph ươ ng trình:

3x-2y+5z+6=0

1) Chứ ng t ỏ A nằ m trên (p)

2)viế t phươ ng trình đườ ng thẳ ng (d) đ i qua A và vuông góc v ờ i (p)

3) Tính sin c ủa góc gi ữ a đườ ng thẳ ng ( d) và mặt phẳ ng

[>with(geom3d).

point(A,1,2,-1); plane(p,3*x-2*y+5*z+6=0,[x,y,z]);

print(‘Thay toạ độ điểm A vào phươ ng trình (p) thì rõ ràng A thoả mãn’);

perpendicular(m1,A,p); print('góc giữa OA và (p) là:’)

point(O,0,0,0);line(l,[O,A]);detail(l);FindAngle(l,p);↵

* Trong không gian Oxyz cho m ặt phẳ ng (p) có ph ươ ng trình t ổ ng quát x+y/2+z/3=1và đườ ng thẳ ng (d) có phươ ng trình tham s ố i

x=19/3+6t,y=11/3+3t,z=3+2t

I) CMR (d) c ắ t mặt phẳ ng (p). Hãy tìm to ạ độ giao đ iể m I của chúng

2) CMR đườ ng thẳ ng (d) vuông góc vớ i (p)

3) Gọi A,B,C là giao đ iể m của (p) và ba tr ục toạ độ. Tìm toạ độ A,B,C và ch ứ ngt ỏ (d) đ i qua tr ọng tâm tam giác ABC

[>with(geom3d):

plane(p,x+y/3+z/3=1,[x,y,z]);line(d2,[19/3+6*t,11/3+3*t,3+2*t],t);

print('Thay x,y,z trong pt (d) vào pt (p). Tính r ồi thay vào (d) tìmđượ c tọa độ giaođiểm');

intersection(l4,d2,p);coordinates(l4);





180

print('Vì véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (p) cộng tuyến vớ i vec tơ chỉ phươ ng của(d) nên (d) vuông góc vờ i (p)');

print('dùng công thức tính tr ọng tâm của tam giác .Nếu trùng vớ i toạ độ điểm 1 thì tacó (d)đi qua tr ọng tâm của tam giác),

A:=[1,0,0];B:=[0,2,0];C:=[0,0,3];l1:=[29/69,49/69,71/69],if(A[1]+B[1]+C[1]=3*11[1] and A[2]+B[2]+C[2]=3*11[2] andA[3]+B[3]+C[3]=3*l1[3] ) then print(l1 là tr ọng tâm tam giác:');fi;↵

* Trong không gian cho ba đ iể m A(0,1,1),B(-1,0,2,C(3,1,0)

1) Viế t phươ ng trình m ặt phẳ ng (p) đ i qua A và vuông góc v ớ i BC

2) Xác định toạ độ giao đ iể m I cuả BC và (p)

3)tính kho ảng cách t ừ A t ớ í BC, tính di ện tích tam giác ABC

[>restart: with(geom3d): point(A,0,1,1); point(B,-1,0,2);point(Cc,3,1,0); line(bc,[B,C]);print('pt mặt phẳng

(p) là:'); detail(bc);perpendicular(p,A,bc); print(‘khoảng cách từ A,tớ i bclà:');distance(A,bc);

print('diện tích tam giác ABC là:');area(tnangle(abc,[A,B,C]));↵

* Tính kho ảng cách gi ữ a hai đườ ng thẳ ng chéo nhau:

[>with(geom3d):

f: ={x-8*z+23=0,y 4*z+8=0}:#Ptđườ ng thẳng (d1)

g:={x-2*z-3=0,y+2*z+2=10}:#Ptđườ ng thẳng(d2)

Tpt:=(a,b,c,d,e,f)->a*d+b*e+c*f: Tcp:=(a,b,c,d,e,f)->[b*f-c*e,c*d-a*f,a*e-b*d]:

fi:=lhs(f[1]]): f2:=lhs(f[2]):g1:=lhs(g[1]):g2:=lhs(g[2]):

ai :=coeff(f1,x):b1 :=coeff(f1,y):c1:= coeff(f1,z):

a2:=coeff(f2,x):b2:=coeff(f2,y):c2:=coeff(f2,z):

a3:=coeff(g1,x):b3:=coeff(g1,y):c3:=coeff(g1,z):

a4;= coeff(g2,x):b4:=coeff(g2,y):c4:=coeff(g2,z): print('ptđườ ng thẳng (d1) là :’)sort(f[x,y,z]):

print(‘Ptđươ ng thẳng (d2) là:'):sort(g,[x,y,z]):

print('véc tơ chỉ phươ ng của đườ ng thẳng (d 1) là:'): a:=Tcp(a1,b1,c1,a2,b2,c2):

vectơ _a=[a[1],a[2],a[3]]:

print('vec tơ chỉ phươ ng của (d2) là:'): b:=Tcp(a3,b3,c3,a4,b4,c4):





181

vectơ _b=[b[1],b[2],b[3]]:

print('gọi (d) làđườ ng vuông góc chung của (d1) và (d2). Ta có véc tơ chỉ phươ ng của(d) là :'): v:=Tcp(a[1],a[2],a[3],b[1],b[2],b[3]):

Vectơ v=[v[1],v[2],v[3]]:

print('gọi (P) là mặt phẳng đ qua (d) và (d1) thì véc tơ pháp tuyến của (P) là:’);vectơ _n=[vectơ _a,vectơ _b]:n:=Tcp(a[1],a[2],a[3],v[1],v[2],v[3]):vectơ _=[n[1],n[2],n[3]]:

print('gọi (Q) là mặt phẳng qua (d) và (d1) thì véc tơ pháp tuyến của (Q) là’:)

vectơ _m=[vectơ b,vectơ _v]:m:=Tcp(b[1],b[2],b[3],v[1],v[2],v[3]):

vectơ _m=[m[1],m[2],rn[31]:

print('từ pt (d1 ) cho z=0 ta tìmđượ c toạ độ điểm A thuộc (d1) là:' ):

A:=solve({f[2],z=0}):assign(A):xa:=x:ya:=y:za:=z:x:='xl:y:='y':z:='z':A:='A':(xa,ya.za): print(' Từ Pt (d2) cho z=o ta tìmđượ c toạ độ ctểm B thuộc (d2) ià:'):

B:=solve({g[1],g[2],z=0}):assign(B): xb:-x:yb:=y:zb:=z:x:='x':y:='y':z:='z:B:='B':B(xb,yb,zb):

print('pt mặt phẳng (P) là’);

h:=n[1]*(x-xa)+n[2]*(y-ya)+n[3]*(z- za):h:=sort(primpart(h,{x,y,z}),[x,y,z])=0:h:

print('pt mặt phẳng (Q) là:'):

k:=m[1]*(x-xb)+m[2]*(y- yb)+m[3]*(z-zb):k:=sort(primpart(k,{x,y,z}),[x,y,z])=0:k: print(' (d) là giao tuyến của (P) và (Q), Pt (d):');[h,k];

print(‘ Gọi M là giaođiểm của (d) và (d1),toạ độ M:'):

M:=solve({h,k,f[1],f[2]},{x,y,z}):assign(M):xm:=x:ym:=y:zm:=z:x:=x’y’:='y':z:='z':M:='M': M(xm,ym,zm):

print('gọi N là giao ctểm của (d) và (d2), toạ độ N:'):

N:=solve({h,k,g[1],g[2]},{x,y,z}):assign(N):xn:=x:yn:=y:zn:=z:x:=‘x’:y:=‘y’:z:='z':N:='N':N(xn,yn,zn):

print('độ dàiđườ ng vuông góc chung của (di) và (d2) là:') :

with(student): MN=distance([xM,YM,zM],[XN,YN,zN]);

MN=distance([xm,ym,zm],[xn,yn,zn]);↵

* Minh ho ạ định lí? “N ế u hai m ặt phẳ ng c ắ t nhau và cùng song song v ớ i một đườ ngthẳ ng thì giao tuy ế n của chúng song song v ớ i đườ ng thẳ ng đ ó”.

[> restart:with(geom3d):





182

plane(p,3*x-y+z-2=0,[x,y,z]): plane(Q,x+4*y+2*z-5=0,[x,y,z]):intersection(a,P,Q):

point(M,1,1,0): v1:=ParallelVector(a):

line(d,[point(A,1,2,3),v1]):if AreParallel(a,d) = true then print('Duong thang d songsong voi duong thang a'); if; draw([P(Color = cyan),Q(color = yellow),d(color

=blue),M(color = black),a(color = red)]);* Minh ho ạ định lí.”Qua m ột đ iể rn cho tr ướ c có duy nh ấ t một đườ ng thẳ ng vuông gócvớ i mặt phẳ ng (P) cho tr ướ c”.

[> restart;

with(geom3d): point(0,1,2,3): plane(p,3*x+5*y-z-2=0,[x,y,z]):

line(a,[point(A,2,-2,-6),point(B,1,-1, -4)]):

n:=Parallelvector(a): plane(Q,[O,n]): intersection(b,P,Q):m:=ParallelVector(b): n:=[-1,-7,3]: line(delta,[O,n]):Areperpendicular(a,Q); Areperpendicular(delta,Q);

draw([0(color = black),P(color = green),Q(color = cyan),a(color = blue),b(colo = black),delta(color red) ]),↵

* Xác địith thi ế t diện của mặt phẳ ng đ i qua ba đ iể m bấ t k ỳ nằ m trên c ạnh của t ứ diện.

Thuật toán:

+ Lấy ngẫu nhiên bađiểm G, Gl, G2 nằm trên ba cạnh của tứ diện bằng lệnhrandpoint.

+ Xácđịnh mặt phẳng (p)đi qua bađiểm trên.

+ Xácđịnh giaođiểm của (p) vớ i các cạnh của tứ diện.

+ Xácđịnh mặt phẳng thiết diện qua các giaođiểm đó.

[> restart:

with(geom3d): point(A,-2,-1,2); point(B,4,0,-1);point(C,-2,1,2); point(D,2,-2,5);line(11,[A,B]):line(12,[C,D]):line(13,[B,C]):line(14,[D,A]):line(l,[B,D]);randpoint(G,l1,xcoord(A)..Xcoord(B),ycoord(A)..ycoord(B),zcoord(A)..zGoord(B));evalf(coordinate s(G));

randpotnt(G2,l2,xcoord(C)..xcoord(D),ycoord(C)..ycoord(D),zcoord(C)..zcoord(D)),evalf(coordinates(G2));

randpoint(G1,l3,xcoord(C)..xcoord(B),ycoord(C)..ycoord(B),zcoord(C)..zcaord(B)),evalf(coordinates(G1));

line(g1,[G,G1]);line(g2,[G,G2]);line(a,[G1,G2]); plane(p,[G,G1,G2]);

gtetrahedron(v,[A,B,C,D])lAreCoplanar(G1,G2,B,D);

intersection(H,a,l);evalf(coordinates(H));





183

line(b,[H,G]); intersection(L,b,14); evalf(coordinates(L));

segment(c,G1,G2):segment(d,G,G2):segment(e,G,L):segment(f,L,G1):segment(g,G2,L):segment(h,G,G1):plane(s,[G,G1,G2]):segment(hg,H,G):segment(hg1,H,G1):segment(hb,H,B): sphere(s1,[G,0.03]).sphere(s2,[G1,0.03]):sphere(s3,[G2,0.03]):

draw({c(colot = red),e(coolor = red),g(color = red),hb(color = black),hg1(color = black),hg(color = black),h(color = red),v(color = blue),s1(color = brown),s2(color =green),s3(color = magenta)},title="Thiet dien di qua ba diem cua tu dien" );↵

Tài liệu trích dẫn, tham khảo

[1] Hoàng chúng - Phươ ng pháp dạy học toán học ở nhà tr ườ ng PTTH.NXB Giáo dục- 2000

[2]. Hoàng Chúng - Phươ ng pháp dạy học hình học ở tr ườ ng THCS. NXB Giáo dục -1999

[3]. Nguyễn Bá Kim (chủ biên), Vũ Dươ ng Thụy Phươ ng pháp dạy học môn toán

NXB Giáo dục - 2000

[4]. Nguyễn Gia Cốc, Phạm GiaĐức Hình học lớ p 7 .NXB Giáo dục -2001.

[5]. PhanĐức Chính (tổng chủ biên),Tôn Thân (chủ biên), Vũ Hữu Bình, Phạm GiaĐức, Tr ần Luận: Toán 6 tậ p 1,2 (sách giáo viên) - NXB Giáo dục 2002

[6] Phạm HuyĐiển, Đinh Thế Lục và Tạ Duy Phượ ng . Hườ ng dẫn thực hành tínhtoán trên chươ ng trình Maple V. NXB Giáo dục, 1998

[7] Phạm HuyĐiển chủ biên Tính toán, lậ p trình và giảng dạy toán học trên Maple.NXB KH&KT, 2002

[8] Nguyễn Văn Qúi, Nguyễn Tiến Dũng, Nguyễn Việt Hà -Giải toán trên máy vi tính

NXBĐà Nẵng, 1998

l9] Nguyễn Bá Kim -Phát triển và sử dụng công nghệ dạy học

[10] Nguyễn Bá Kim - Học tậ p trong hoạt động và bằng hoạt động-NXBGD -1999




[11]. Nguyễn Bá Kim,Đào Thái Lai, Tr ịnh Thanh Hải: Sử dụng công nghệ thông tinvà truyền thông (ICT) hỗ tr ợ quá trình dạy học hình học trong nhà tr ườ ng phổ thôngBáo cáo tại Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 6 - Huế 7-10/9/2002

[12]sử dụng Maple trong giảng dạy môn hình học phẳng Luận văn Thạc sỹ toán họccủa Mai Công Mãn, 2000

[13] Đào Thái Lai -ứng dụng CNTT và vấn đề đổi mớ i PPDH môn Toán tạ p chí Nghiên cứu Giáo dục, số 9/2002

[14] Đào Thái Lai và các cộng sự :Xây dựng một số phần mềm dạy học bậc tiểu họcĐể tài B 94 45 04

[151.Tr ịnh Thanh Hải Nguyễn Tr ườ ng Giang, Nguyễn Danh Nam, Bùi Viết Toàn: Nghiên cứu sử dụng phần mềm Maple,ĐHSP Thái Nguyên,5/2003.

[16]. Tr ịnh Thanh Hải, Phạm Thanh Huyền, Đỗ Thanh Mai: Nghiên cứu ứng dụng

phần mềm Cabri.ĐHSP Thái Nguyên,5/2003.[17]. Trinh Thanh Hai Teaching Mathematics with ICT.-Journal of Science and

Giáo trình Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học toán Tác giả: Trịnh Thanh Hải (chủ biên) Nguồn gốc: Trường Đại học Sư phạm - Đại học

Documents