Geometria espacial - Integral Paulínia · PDF fileIntrodução A geometria espacial estuda as propriedades de figuras que são construídas a partir de certos...

Geometria espacial

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IntroduçãoA geometria espacial estuda as propriedades de figuras

que são construídas a partir de certos elementos

primitivos (básicos) do espaço: pontos, retas e planos.

Ao invés de procurarmos definições para esses

elementos, iremos caracterizá-los por propriedades

fundamentais, denominadas postulados ou axiomas.

Na lógica tradicional, um axioma ou postulado é uma

sentença ou proposição que não é provada ou

demonstrada e é considerada como óbvia ou como um

consenso inicial necessário para a construção ou

aceitação de uma teoria. Por essa razão, é aceito como

verdade e serve como ponto inicial para dedução e

inferências de outras verdades (dependentes de teoria).

Ao longo do curso, você notará que a geometria espacial

é uma extensão de toda a geometria plana já

previamente conhecida, isto é, todas as propriedades e

teoremas já estudados continuam sendo válidos no

espaço tridimensional.

Convenções Os pontos serão denotados por letras maiúsculas de

nosso alfabeto;

As retas serão denotadas por letras minúsculas de

nosso alfabeto;

Os planos serão denotados por letras minúsculas do

alfabeto grego (𝛼,𝛽, 𝛾, 𝛿,𝜋,… )

Por facilidade e questão de comodidade, um plano será

geralmente representado por um paralelogramo. Não

intua que isso implica que o mesmo é limitado. Isso

apenas facilita a visualização da situação.

Postulados entre pontos e retas

Por dois pontos do espaço passa uma e somente

uma reta;

Dada uma reta do espaço, existem pontos que

pertencem à reta e pontos que não pertencem à

reta.

Postulados entre pontos e planos

Por três pontos do espaço não situados na mesma

reta passa um e somente um plano;

Dado um plano do espaço, existem pontos que

pertencem ao plano e pontos que não pertencem

ao plano.

Postulado da inclusão da reta no plano

Se uma reta possui dois pontos distintos em um

determinado plano, então a reta está contida no

plano.

Posição relativa entre retas

Concorrentes: duas retas distintas são concorrentes se

possuírem um único ponto em comum

Caso o ângulo de intersecção seja igual a 90°, as retas

serão denominadas perpendiculares

Paralelas: duas retas são paralelas se:

ou são coincidentes;

ou são coplanares (mesmo plano) sem

intersecção.

Reversas: duas retas distintas são reversas se não são

coplanares

Observe outro exemplo de pares de retas reversas:

No octaedro apresentado, as retas que contém as

arestas 𝐴𝐶 e 𝐸𝐷 são exemplos de retas reversas, visto

que não pertencem a um mesmo plano.

Finalmente temos também as retas ortogonais.

Duas retas são ortogonais se existir uma paralela a uma

delas que seja perpendicular à outra.

Observe alguns exemplos de retas ortogonais:

Na figura, 𝑡 e 𝑟 formam um par de retas reversas.

Porém, caso se interceptassem, formariam um ângulo

de 90°.

No cubo 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, tomamos as retas que contém os

lados 𝐴𝐷 e 𝐶𝐺, por exemplo. São retas reversas pois

pertencem a planos distintos. Observe que nesse caso

também são retas ortogonais, visto que as faces do cubo

são perpendiculares entre si.

No cubo 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, tomamos as retas que contém os

lados 𝐴𝐷 e 𝐶𝐺, por exemplo. São retas reversas pois

pertencem a planos distintos. Observe que nesse caso

também são retas ortogonais, visto que as faces do cubo

são perpendiculares entre si.