Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 10 Operações com Vetores no Espaço R 3 : Representação: k v j v i v v z y x ˆ ˆ ˆ Determinação dos ângulos x , y , z : v v v v x x x x arccos cos v v v v y y y y arccos cos v v v v z x z z arccos cos Representação dos ângulos no espaço R 3 : Representação: z k v j v i v v z y x ˆ ˆ ˆ ou ) , , ( z y x v v v v ou O A A O v x v : Componente x do vetor v na direção Ox . y v : Componente y do vetor v na direção Oy. z v : Componente z do vetor v na direção Oz. v A z y x 0 v y y x v x Versores: 0 , 0 , 1 ˆ i 0 , 1 , 0 ˆ j 1 , 0 , 0 ˆ k Módulo do vetor: 2 2 2 z y x v v v v Modo angular na calculadora: Lembre-se que para encontrar o ângulo em graus o modo que se deve trabalhar na calculadora é deg (de “degree”) e se quiser operar em radianos, rad. A relação entre um ângulo medido em grau 0 e um ângulo medido em radiano é dada por: 0 0 180 3.14159... Importante: v é um vetor , por tanto possui módulo direção e sentido. v é o módulo do vetor v , sendo portanto um número. Produto Escalar entre dois vetores: Representação: B A Lê-se: Produto escalar entre os vetores A e B Definição: O Produto escalar entre dois vetores é um número que representa a projeção de um vetor na direção de outro vetor : A cos A B z z y y x x B A B A B A B A Mostramos em aula que: cos B A B A B A B A B A z z y y x x Podemos encontrar o ângulo entre os vetores por meio da equação: cos x x y y z z AB AB AB AB arccos x x y y z z AB AB AB AB
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Geometria Analítica e Cálculo Vetorial Prof. Dr. Cláudio S ... · Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 12 Produto misto
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Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
10
Operações com Vetores no Espaço R3:
Representação: kvjvivv zyxˆˆˆ
Determinação dos ângulos x, y, z:
v
v
v
v x
x
x
x arccoscos
v
v
v
v y
y
y
y arccoscos
v
v
v
v zx
zz arccoscos
Representação dos ângulos no espaço R3:
Representação: z
kvjvivv zyxˆˆˆ
ou
),,( zyx vvvv
ou
OAAOv
xv : Componente x do vetor v
na direção Ox .
yv : Componente y do vetor v
na direção Oy.
zv : Componente z do vetor v
na direção Oz.
v
A
z
y
x
0 vy y
x vx
Versores:
0,0,1i
0,1,0j
1,0,0k
Módulo do vetor:
222
zyx vvvv
Modo angular na calculadora:
Lembre-se que para encontrar o ângulo
em graus o modo que se deve trabalhar na
calculadora é deg (de “degree”) e se quiser operar
em radianos, rad.
A relação entre um ângulo medido em
grau 0 e um ângulo medido em radiano é dada
por: 0
0180
3.14159...
Importante:
v
é um vetor, por tanto possui módulo
direção e sentido.
v
é o módulo do vetor v
, sendo
portanto um número.
Produto Escalar entre dois vetores:
Representação: BA
Lê-se: Produto escalar entre os vetores A
e
B
Definição: O Produto escalar entre dois
vetores é um número que representa a projeção de
um vetor na direção de outro vetor:
A
cosA
B
zzyyxx BABABABA
Mostramos em aula que:
cosBABABABABA zzyyxx
Podemos encontrar o ângulo entre os
vetores por meio da equação:
cosx x y y z zA B A B A B
A B
arccosx x y y z zA B A B A B
A B
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Aplicações:
Trabalho de uma força:
O trabalho de uma força, ao deslocar um corpo
de uma posição 1r
a outra 2r
no espaço ao longo de
uma trajetória C é dado por:
C
rdF
Quando a força é constante ao longo dessa
trajetória, sendo d o deslocamento sofrido pelo corpo:
dF
Potência de uma força:
vFP
Propriedades:
1ˆˆ ii 0ˆˆˆˆ ijji
1ˆˆ jj 0ˆˆˆˆ ikki
1ˆˆ kk 0ˆˆˆˆ jkkj
CABACBA
vv
vn
AB
ˆ ; onde ABABv
(Normalização de um vetor).
Mostre que:
kjin zyxAB
ˆcosˆcosˆcosˆ
Produto Vetorial entre dois vetores:
Representação: BA
Lê-se: Produto vetorial entre os vetores A
e
B
.
Definição: O Produto vetorial entre dois
vetores é um vetor que possui direção perpendicular ao
plano formado pelos vetores A
e B
, cujo ângulo vale
e cujo módulo é igual a área formada pelo
paralelogramo de lados A
e B
:
A
BA
θ senAh
B
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BA
ˆˆˆ
Mostramos em aula que:
kBABAjBABAiBABABA xyyxzxxzyzzyˆˆˆ
Podemos encontrar o módulo do vetor que
é originado pelo produto vetorial dos vetores
vetores A
e B
:
senBABA
Aplicações:
Torque ou Momento de uma força
aplicada num ponto A em relação a um ponto
O:
AAOFAOM
AF
A
y
z O x
11. Força magnética sobre uma
partícula de carga q que penetra numa região
de Campo Magnético Uniforme.
Força de Lorentz:
BvqEqF
q E
v
B
Propriedades:
0ˆˆ ii kijji ˆˆˆˆˆ
0ˆˆ jj jkiik ˆˆˆˆˆ
0ˆˆ kk ijkkj ˆˆˆˆˆ
CABACBA
ABBA
BAmBAm
CBACBA
CBABCACBA
0
AA
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Produto misto de três vetores:
O Produto misto entre os vetores A
, B
e C
é um número cujo valor é o volume do paralelepípedo
formado pelo comprimento dos respectivos vetores .
Interpretação Geométrica:
Notação: CBA
cossenCBACBA
zyx
zyx
zyx
CCC
BBB
AAA
CBA
Funções com valores Vetoriais:
Se D é um conjunto de números reais,
então, ktzjtyitxr ˆ)(ˆ)(ˆ)(
é uma função
com valores vetoriais para um dado t real.
Se t é o tempo, denominamos o vetor
deslocamento:
ktzjtyitxr ˆ)(ˆ)(ˆ)(
A trajetória de uma partícula para esse
vetor deslocamento é a união de todos os extremos
desses vetores para todo instante de tempo t.
O vetor velocidade instantânea é um vetor
tangente à trajetória e é dado por:
kdt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
rdtv ˆˆˆ)(
Observe que:
kvjvivtv zyxˆˆˆ)(
dt
dxvx
dt
dyvy
dt
dzvz
O vetor aceleração instantânea é dado
por:
kdt
zdj
dt
ydi
dt
xd
dt
rdta ˆˆˆ)(
2
2
2
2
2
2
2
2
Observe que:
kajaiata zyxˆˆˆ)(
dt
dva x
x
dt
dva
y
y
dt
dva z
z
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