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Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 1 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1

Introdução

Muitos conceitos utilizados em matemáticos são

associados a fenômenos físicos. Para representarmos os

mesmos, há a necessidade de separarmos em grandezas:

Grandezas Escalares

Há a necessidade de expressarmos seu valor e

sua unidade apenas para o seu entendimento.

Exemplo:

Potência de 100W; Temperatura de 25°C.

Grandezas Vetoriais

Há a necessidade de expressarmos seu valor,

sua unidade, sua direção e sentido para o seu

entendimento.

Valor ou módulo e unidade

Direção

Sentido

Notação Representarmos uma grandeza vetorial, força,

por exemplo:

F

; F

; F ; F; AB B A

: módulo

: : direção

sentido:

F

F

F

jvivv yxˆˆ ou

),( yx vvv

ou

OAAOv

Versores: São vetores de módulo 1 e

perpendiculares entre si. No plano R2 definimos os versores

0,1i e 1,0j

y

1

j

i

0 1 x

Base Canônica no R2

Dados os versores:

ˆ 1,0i e ˆ 0,1j

y

uy

j

i ux x

ˆ ˆx yu u i u j

Observe que: ˆ 1i e ˆ 1j

Componentes do vetor

xv : Componente horizontal do vetor v

.

yv : Componente vertical do vetor v

.

y

yD D

A

vy j

i v

C

yC

O vx xC xD x

cosvvx

senvvy

CD D C

, ,D D C CCD x y x y

,D C D CCD x x y y

ˆ ˆD C D CCD x x i y y j

O ângulo é medido no sentido anti-

horário, e em geral nas seguintes unidades: grau,

radiano ou grados.


°

Grau

Degree

(rad)

Radiano

Radians

(gr)

Grados

Grads

Relações

0 0 0 ( )( )

180rd 30

6

33.33

45

4

50 ( )( ) 100

90gr

60

3

66.66

90

2

100 ( )( ) 180

rad

180 200

270 3

2

300 ( )( ) 90

100

gr

360 2 400

Nas calculadoras, o acesso às funções angulares

em geral se encontra na tecla DRG.

Relações Métricas Para darmos as direções de alguns vetores

necessitamos conhecer as relações trigonométricas num

triângulo retângulo.

A figura abaixo ilustra um triângulo retângulo e

suas relações trigonométricas.

Figura 1 – Relações métricas no triângulo

retângulo.

c

a

b

Valem as seguintes relações: 90

Teorema de Pitágoras:2 2 2c a b

cosac

sen ; cosbc

sen

1 atg

tg b

Figura 2 – Relações métricas no círculo

trigonométrico.

90° - /2

180º - 0º 2

270° - 3 /2

Representação:

jvivv yxˆˆ ou

),( yx vvv

ou

OAAOv

xv : Componente horizontal do vetor v

.

yv : Componente vertical do vetor v

.

y

yD D

A

vy j

i v

C

yC

O vx xC xD x

Módulo do Vetor u

Aplicando o Teorema de Pitágoras no

triângulo, teremos:

2 2

x yu u u

As relações métricas ficarão:

y

y

usen u u sen

u

cos cosxx

uu u

u


o Importante:

v

é um vetor, por tanto possui módulo

direção e sentido.

v

é o módulo do vetor v

, sendo portanto

um número.

Componente y ou projeção vertical:

yu u sen

Componente x ou projeção horizontal:

cosxu u

Direção:

y

x

uarctg

u

Componentes dos Vetores no plano R2:

cosvvx

senvvy

Determinação do ângulo :

v

v

v

v xx arccoscos

v

v

v

v yy

arcsensen

x

y

x

y

v

v

v

varctantan

0

0

180)(rad

0

0( ) 100

90grados

Conversões de quadrantes:

(i) Vetor no segundo quadrante

y x

y

v

varctg

v

000 180

vy )(rad

vx 0 x

(ii) Vetor no terceiro quadrante

y

x

y

v

varctg

0 x

v

000 180

vy )(rad

vx

(iii) Vetor no quarto quadrante

y

x

y

v

varctg

0 x

v

000 360

vy 2)(rad

vx


Soma de vetores pela

decomposição

R A B

2 2

x yR R R

Exemplo 1 – Encontre a decomposição de

cada força indicada, escrevendo na forma

ˆ ˆx yF F i F j

:

(a)

1ˆ300 ( )F i lb

2ˆ173.2 ( )F j lb

3ˆ ˆ200 30 200cos30 ( )F sen i j lb

4ˆ ˆ400 30 400cos30 ( )F sen i j lb

(b)

ˆ ˆcos50 50AB AB ABT T i T sen j

ˆ ˆcos30 30AC AC ACT T i T sen j

ˆ736P j

(c)


ˆ ˆcosCA CA CAT T i T sen j

ˆ ˆcosCB CB CBT T i T sen j

ˆP Pj

Vetores no espaço R3:

Representação:

z

vz A

z

y

0 vy y

x

vx

kvjvivv zyxˆˆˆ

ou

),,( zyx vvvv

ou

OAAOv

xv : Componente x do vetor v

.

yv :Componente y do vetor v

.

zv : Componente z do vetor v

.

Determinação dos ângulos

formados pelo vetor com os eixos:

Ângulo Ângulo formado pelo: Cossenos diretores

x

Vetor e eixo Ox

v

vx

x cos

y

Vetor e eixo Oy

v

vy

y cos

z

Vetor e eixo Oz

v

vzz cos


Versores:

0,0,1i

0,1,0j

1,0,0k

Módulo do vetor:

222

zyx vvvv

Soma de Vetores:

Regra do Polígono

v

w

u

t

twvuS

Regra do Paralelogramo

vu

u

vu

v

cos222

vuvuvu

cos222

vuvuvu

Obs.: Vide demonstração no Apêndice I

Modo angular na calculadora:

Lembre-se que para encontrar o ângulo

em graus o modo que se deve trabalhar na

calculadora é deg (de “degree”) e se quisermos

operar em radianos, rad.

A relação entre um ângulo medido em

grau 0 e um ângulo medido em radiano é dada

por: 0

0180

3.14159...

Normalização de um vetor:

Dado um vetor u

qualquer, o vetor

de módulo 1 que aponta na mesma direção

e sentido de u

é dado por:

u

un

ˆ u

n

Ou:

jsenin ˆˆcosˆ

Importante:

v

é um vetor, por tanto possui

módulo direção e sentido.

v

é o módulo do vetor v

, sendo

portanto um número.

Determinação de forças

Para determinar uma força no

espaço 3D devemos:

1. Localizar o ponto de

aplicação A.

2. Encontrar o vetor na direção

da força.

AB B A 3. Normalizar o vetor.

ÂB

ABn

AB

4. Encontrar a força:

ÂB AB AB

F F n


Exemplo 2 – Seja a estrutura abaixo:

C

(a) Encontre os pontos A, B, C.

(b) Ache os vetores:

AB B A

CB B C

(c) Normalize os vetores:

ÂB

ABn

AB

; ˆBC

BCn

BC

(d) Encontre as forças que atuam na

direção AB, sabendo que seus módulos são

2500AB

F N

e ÂB AB AB

F F n

(e) Encontre os ângulos que essa força faz

com os eixos.

Solução:

(a) Pontos:

A(40, 0, -30); B(0, 80, 0); C(0, 0, 0)

(b) 40,80,30AB B A

0,80,0CB B C

(c) ÂB

ABn

AB

2 2 2

x y z

AB AB AB AB

2 2 240 80 30AB ;

8900AB

40 80 30 ˆˆ ˆˆ8900 8900 8900AB

ABn i j k

AB

ˆCB

CBn

CB

2 2 2

x y z

CB CB CB CB

2 2 20 80 0CB

80CB

ˆˆ ˆ0 80 0 ˆˆ

80CB

CB i j kn j

CB

(d) 2500AB

F N

ÂB AB AB

F F n

40 80 30 ˆˆ ˆ25008900 8900 8900AB

F i j k

40 80 30 ˆˆ ˆ25008900 8900 8900AB

F i j k

ˆˆ ˆ1059.99 2119.99 794.99

AB

F i j k N

i k

j


40 40cos arccos

8900 8900x x

115,1 2,00x x rad

80 80cos arccos

8900 8900y y

32 0,558y y rad

30 30cos arccos

8900 8900z z

`

71,45 1,247z y rad

Exemplo 3 – Nos exemplos abaixo,

encontre os vetores indicados:

(a) ED e EC

(b) AB


(c) P

(d) CA e FC

(e) AB e AC.

(f) CD e AB.

(g) AO e OB.


Referências:

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

1. Paulo Boulos e Ivan de Camargo. Geometria Analítica

– Um Tratamento Vetorial - 20 Ed. Ed. Makron Books

do Brasil Ltda.

2. Paulo Boulos e Ivan de Camargo. Introdução á

Geometria Analítica no Espaço. Ed. Makron Books do

Brasil Ltda.

3. Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle. Geometria

Analítica - 20 Ed. Ed. Makron Books do Brasil Ltda.

4. Alfredo Steinbruch e Delmar Basso. Geometria

Analítica Plana. Ed. Ed. Makron Books do Brasil Ltda.

o BIBLIOGRAFIA ADICIONAL

“Mecânica Vetorial para Engenheiros – Estática”,

Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston Jr., Makron Books.

Capítulo 2 – Estática dos Pontos Materiais. Pg. 31.

Exemplos

Exemplo 1 – Encontre os pontos

dados e os vetores indicados:

(a)

A(0, 16.8, 0)

B(-12.6, 0, 0)

C(7.2, 0, 12.6)

D(0, 0, -9.9)

0,16.8,0 12.6,0,0BA A B

12.6,16.8,0BA

ˆˆ ˆ12.6 16.8 0BA i j k ft

Encontre agora: ; ;CA DA


(b)

A( , , )

B( , , )

C( , , )

D( , , )

BA A B

, , BA

ˆˆ ˆ BA i j k mm

Encontre agora: ; ;CA DA

Exercícios 1. Determine para cada figura os vetores

que se pede, em termos dos versores ˆˆ ˆ, ,i j k .

(a)

AB

(b) FE


2. Determine a força resultante no ponto B da

figura.

2.

3.

4.

Exercícios Desenvolvidos

em sala de aula

1. Decomponha os vetores força

indicados, sabendo que: ˆ ˆx yF F i F j

(a)

(b)


2. Para o pino A, encontre a resultante das

forças, utilizando:

(a) A decomposição dos vetores.

(b) A Lei dos senos.

(c) A regra do paralelogramo.

1

i

N

x x

i

R F ;1

i

N

y y

i

R F

ˆ ˆx yR R i R j

y

x

Rarctg

R

Lei dos Senos: sen sen sen

F F F

Lei dos Cosenos: 2 2

1 2 1 22 cosRF F F F F

Exercícios de treinamento

Problema 1 – São dados os vetores:

jiu ˆˆ3

jiv ˆ5ˆ2

kjir ˆˆ3ˆ2

kjis ˆ8ˆ2ˆ4

Determine:

(a) vu

3 (b) vu

3

(c) sr

(d) rvu

32

(e) rvu

32 (f) rvs

5

(g) rvs

5

Problema 2 – Dados os vetores:

jiu ˆ3ˆ2

jiv ˆ6ˆ4

kjir ˆ3ˆ6ˆ

(a) Encontre os módulos desses

vetores e os ângulos que eles formam com

os eixos coordenados.

(b) Determine os ângulos formado

pelo vetor rvu

com os eixos

coordenados.

Problema 3 – Dados os vetores:

kjiu ˆ6ˆ3ˆ4

jiv ˆˆ2

kjir ˆ8ˆ2ˆ4

(a) Encontre os módulos desses

vetores e os ângulos que eles formam com

os eixos coordenados.

(b) Determine os ângulos formado

pelo vetor rvu

642 com os eixos

coordenados.

Problema 4 – O ângulo formado

por um vetor de módulo 5 e o eixo Ox é de

450. Escreva esse vetor.

F

F

F

F

1F

2F

RF


Problema 5 – O ângulo formado por um

vetor de módulo 10 e o eixo Ox é de 1350.

Escreva esse vetor.

Problema 6 – Os ângulos formado por

um vetor de módulo 10 e os eixos Ox, Oz são,

respectivamente, 300, 120

0. Encontre:

(a) A componente y desse vetor.

(b) Seu ângulo com o eixo Oy.

Problema 7 – Os ângulos formados por

um vetor de módulo 20 e os eixos Oy, Oz são,

respectivamente, 600, 145

0. Encontre:

(a)A componente y desse vetor.

(b) Seu ângulo com o eixo Oy.

Problema 8 – Dois vetores u

e v

possuem módulos 3 e 4, respectivamente.

Encontre os vetores vuS

e vuD

quando o ângulo entre eles for de:

(a) = 450(b) = 0

0 (c) = 90

0.

(d) = 1450 (e) = 180

0 (e) = 225

0

(f) = 3000

Faça a representação gráfica.

vuS

u

vuD

v

Problema 9 – Dois vetores u

e v

possuem módulos 8 e 12, respectivamente.

Encontre os vetores vuS

e vuD

quando o ângulo entre eles for de:

(a) = 1 rad (b) = 00

(c) = 900 (d) =

(e) = 1800 (f) = 225

0

(g) = 3000

Faça a representação gráfica.


Apêndice I

Regra do Paralelogramo:

Demonstração:

y vu

u

vu

uy

u

v v

vy

x ux vx

Observe que:

uy

ux

uu

uu

cos

cos

e

vy

vx

vv

vv

cos

cos

jsenuiuu uuˆˆcos

jsenvivv vvˆˆcos

Relações trigonométricas:

asenbbsenabasen coscos)(

senasenbbaba coscos)cos(

1cos 22 sen

sensensen 2)2(

22cos)2cos( sen

jsenvsenuivuvu vuvuˆˆcoscos

22coscos vuvu senvsenuvuvu

)cos(cos2)(cos)(cos 222222

vuvuuuuu sensenvusenvsenuvu

Como:

vuvuvu sensencoscos)cos(cos Teremos:

cos222

vuvuvu

Analogamente, podemos provar que:

cos222

vuvuvu

GA – Capítulo 1 – Cálculo Vetorial

Vetores – Definição e Propriedades - Operações – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

Apêndice II

Lei dos Cosenos:

cos222 babac

cos222 cacab

cos222 bcbca

a c

b

Lei dos Senos:

sen

c

sen

b

sen

a

Prova:

Observe que:

1

2

a h c

m n

b

senaha

hsen {1}

senchc

hsen {2}

11 coscos aha

h

11 coscos aha

h

22 coscos chc

h

11 senama

msen

22 sencnc

nsen

122121 coscos)( sensensensen

ac

bh

ac

hnm

a

h

c

n

c

h

a

msen

)(

1

1

Portanto: senb

ach {3}; Reunindo {1},

{2} e {3}:

senb

acsencsenah

Dividindo os membros por a.c:

b

sen

a

sen

c

sen

Ou: sen

c

sen

b

sen

a

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