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La idea de longitud, área y volumen supone la aplicación de números a configuraciones geométricas.
Este concepto general puede considerarse la fuente de la cual surge la Geometría Analítica
Se establece una correspondencia entre pares ordenados de números reales con puntos en el plano.
Vamos a considerar los siguientes aspectos para introducirnos en la Geometría Analítica.
• Referencias históricas
• Importancia dentro de la matemática
• Aplicaciones actuales no matemáticas
René Descartes Pierre Fermat
Fermat descubrió un poco antes que Descartes y de forma independiente las bases de la geometría analítica.
¿Cuáles serían estas bases? ¿Qué es lo nuclear en la geometría analítica que podrían haber encontrado sus descubridores?
Relacionar objetos geométricos con ecuaciones.
S i la reducimos a su mínima expresión la geometría analítica lo que hace es relacionar objetos geométricos con ecuaciones. Veamos como logró hacer esto Fermat.
Pierre Fermat
“Si en una ecuación se tienen dos cantidades desconocidas tenemos un lugar geométrico.”
Fermat escribió que una ecuación podía convertirse en una recta de esta forma:
Donde “in” quiere decir “multplicar,” y. “aequetur” quiere decir “igual”.Además Fermat escribía con consonantes las constantes y con vocales las variables.
Así que si quisiéramos escribir en nuestra notación esto que Fermat escribió sería:
Y esto no lo graficaba en un plano “cartesiano” con ejes perpendiculares, sino que eran segmentos de longitud D, y B, que los multiplicaba por x e y.
René Descartes
Su geometría es una aplicación conveniente del Álgebra del sg XVI a la geometría de los antiguos utilizando su método.
La primera era no aceptar nunca nada como verdadero que no me hubiese dado pruebas evidentes de serlo: es decir, evitar cuidadosamente la precipitación y la prevención; y no incluir en mis juicios nada más que lo que se presentase tan clara y distintamente a mi inteligencia que excluyese cualquier posibilidad de duda.
La segunda era dividir cada problema, en tantas pequeñas partes como fuese posible y necesario para resolverlo mejor.
La tercera, conducir con orden mis pensamientos, empezando por los objetos más sencillos y más fáciles de conocer, para ir ascendiendo poco a poco, como por peldaños, hasta el conocimiento de los más complejos; y suponiendo un orden también entre aquellos en que los unos no preceden naturalmente a los otros.
Por último, hacer en todo momento enumeraciones tan completas y revisiones tan generales que me permitieran estar seguro de no haber omitido nada.
René Descartes, 1637
Esto sabemos que afecta no sólo a la geometría sino que cambia radicalmente al cálculo y al estudio de “funciones”.
Para poder definir a las funciones de la forma que las conocemos actualmente se necesitó mucho desarrollo de la geometría analítica.
Descartes es quien introdujo los ejes perpendiculares x e y pero sólo positivos.
Además introdujo la notación para los exponentes x2 , x3
La Geometría hasta el momento de aparición de la Geometría Analítica era esencialmente la matemática y la única Geometría. La Geometría analítica le permite a la geometría métrica otro alcance al algebrizarla.
• Su relación con la Geometría no analítica
De hecho existen teoremas que solo han podido ser probados introduciendo coordenadas, y que no pueden ser probados en forma sintética.
Tan importante ha sido la algebraización de la geometría que hoy en día la geometría ha sido absorbida por el álgebra
• Su relación con el Análisis Matemático
El análisis matemático necesitó para lograr todo su desarrollo, que se estudiaran las funciones en forma algebraica, y que se estableciera fuertemente el plano cartesiano. Esto lo potenció y le permitió incluso desprenderse de la geometría.
La algebrización de la geometría hizo que la matemática logre mayor abstracción y avanzó tan fuertemente que restó importancia a la geometría métrica.
Transformó profundamente a toda la matemática de forma tal que la geometría, el análisis matemático y el algebra se vieron atravesados y modificados por la fusión de geometría y álgebra.
Una grúa necesita mover objetos en un espacio tridimensional que sólo puede “conocer” gracias a que este espacio está formalizado algebraicamente.
Para poder realizar movimientos en el espacio tridimensional en términos que las computadoras digitales lo puedan entender es necesario reducir el espacio tridimensional a coordenadas.
Los robots industriales necesitan tener un mapa vectorial y algebraico del espacio.
De hecho según la geometría de su estructura mecánica, un manipulador puede ser:Cartesiano, cuyo posicionamiento en el espacio se lleva a cabo mediante articulaciones lineales.Cilíndrico, con una articulación rotacional sobre una base y articulaciones lineales para el movimiento en altura y en radio.Polar, con dos articulaciones rotacionales y una lineal.Esférico (o de brazo articulado), con tres articulaciones rotacionales.
En el diseño gráfico, los diseñadores hablan de que hay
“imágenes vectorizadas”. Estas imágenes son muy importantes porque tienen la propiedad de no perder calidad al aumentar de tamaño.
Una imagen normal consiste en puntos de color que son conocidos como pixeles. Si nosotros hacemos zoom en esa imagen podemos llegar a empezar a notar el pixelado.
Las imágenes vectoriales están definidas de otra forma. Son expresión gráfica de la definición vectorial de cada objeto de la imagen. De esta manera uno puede acercarse a los objetos infinitamente y siempre se seguirán viendo nítidos.
POR TODO ESTO:
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