Geometría analítica

Geometría analítica Primer Parcial

José Miranda

Tema 1 Conceptos Básicos De Geometría Analítica La Geometría Analítica puede considerarse una parte de la matemática que estudia todo elemento geométrico. Por análisis se entiende la resolución de problemas y principalmente la interpretación de resultados. Se destaca que la Geometría Analítica comienza en 1629 con Fermat, posteriormente Descartes en 1637 quien dio ímpetu al desarrollo de un enfoque algebraico sistemático y consistente para el estudio de la geometría. Cincuenta años más tarde, Newton y Leibniz empiezan con el Cálculo Diferencial e Integral. Con todo lo anterior se puede acotar que no se hicieron muchos descubrimientos nuevos a los que estudiaron estos matemáticos años atrás, en lo que se mejoró fue en optimizar el trabajo de cálculo con el uso de tecnologías que al pasar el tiempo fueron facilitando más y más el trabajo: programas, máquinas, software, aplicaciones, etc. Ya entrando a lo que nos concierne, en este tema veremos únicamente los conceptos (no todos) que nos servirán de base para estudiar las figuras geométricas propias de la geometría analítica. Plano Cartesiano: Está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano

tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y) Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento: Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas. Coordenadas Cartesianas: Las coordenadas cartesianas son pares de la forma (x, y) que generalmente son números reales, que representan un punto específico y único en el plano cartesiano. Los elementos reales se llaman pares ordenados. Distancia Entre Dos Puntos: La distancia entre dos puntos ubicados horizontalmente paralelos al eje x (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 + 4 = 9 unidades. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia entre los puntos 𝐴(𝑥$, 𝑦$)𝑦𝐵(𝑥*, 𝑦*) en el plano cartesiano es:

𝑑,- = /(𝑥* − 𝑥$)* + (𝑦* − 𝑦$)* Ejemplo: Encuentre la distancia entre los puntos 𝐴(3,4)𝑦𝐵(1,1) Solución: Aplicando la formula 𝑑,- = /(𝑥* − 𝑥$)* + (𝑦* − 𝑦$)* 𝑑,- = /(1 − 3)* + (1 − 4)* 𝑑,- = /(−2)* + (−3)* 𝑑,- = √4 + 9 𝑑,- = √13

Inclinación Y Pendiente De Un Segmento: La inclinación de un segmento o una recta llega a ser el menor de los ángulos que dicha recta o segmento forma con el eje o semieje x positivo, se mide en grados desde el eje o semieje hacia la recta o segmento en sentido contrario a las manecillas del reloj. Si la recta es paralela al eje “y” su inclinación será por lógica 90° y si es paralela al eje “x” será 0°.

𝐼𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝛼 = tanC$ D𝑦* − 𝑦$𝑥* − 𝑥$

E

Por otro lado, la pendiente de un segmento o una recta es la tangente del ángulo de inclinación de la misma y llega a ser un número adimensional (sin unidades); desde el punto de vista geométrico se interpreta a la pendiente como la relación vertical versus horizontal de un segmento o una recta. Para calcular la pendiente se toma en cuenta ciertas condiciones y se toma en cuenta su signo, si la recta es paralela al eje “x” su pendiente vale 0 y si es paralela al eje “y” su pendiente es infinita (tan 90° = Infinito).

tan 𝛼 = 𝑚 =𝑦* − 𝑦$𝑥* − 𝑥$

Ejemplo: Calcular la pendiente 𝑚, de los puntos 𝑃$(−3,2) y 𝑃*(7, −3) Solución

tan 𝛼 = 𝑚 =−3 − 27 − (−3)

𝑚 =−510 = −

12

tan 𝛼 = 𝑚 = −12

𝛼 = tanC$ −12 = −26.56°

Actividades Tema 1 Elabora en equipo las siguientes infografías con los conceptos que se indican a continuación. 1. Infografía 1 La Línea Recta Punto. Línea. Tipos de Rectas. (Paralelas, perpendiculares y oblicuas). Mediatriz. Mediana. Bisectriz. 2. Infografía 2 Triángulos Ángulo y tipos de ángulos (Agudo, Recto y Obtuso) Clasificación de los Triángulos (de acuerdo a sus lados y a sus ángulos) Área, perímetro y semiperimetro de un triangulo (formulas) Teoremas de triángulos. (suma de los ángulos interiores de un triangulo y teorema de Pitágoras). Formula de Herón. Rectas y puntos notables de un triangulo. 3. Infografía 3 Cuadriláteros Clasificación de los cuadriláteros (según el paralelismo de sus lados y según la igualdad de sus lados) Área y perímetro de los cuadriláteros 4. Infografía 4 Cónicas Circunferencia y Círculo. Circunferencia y sus elementos (Centro, Radio, Diámetro, Cuerda, Tangente, Secante) Parábola y sus elementos Elipse y sus elementos Hipérbola y sus elementos

Tema 2: Representación de puntos en el plano Sistema coordenado bidimensional (coordenadas cartesianas) El principio fundamental de la geometría analítica consiste en asociar cada punto del plano con un único par ordenado de números reales (𝑥. 𝑦), de igual manera que a cada par ordenado de números reales (𝑥. 𝑦), le corresponde un punto del plano y sólo uno. En 1637 Rene descartes utilizó este método de las coordenadas para ubicar la posición de un punto en el plano (sistema bidimensional) o en el espacio (sistema tridimensional), propuso que la 𝑥 se considerara la primera componente del par ordenado, y la 𝑦 la segunda componente, de manera tal que la ecuación 𝑓(𝑥. 𝑦) = 0 determinara una curva en el plano, de esta manera cada figura geométrica se puede representar por medio de una ecuación. Para comprender mejor la idea de correspondencia entre puntos geométricos (puntos en un plano) y números reales, imagine un punto que puede moverse en todas direcciones, manteniéndose siempre en el plano (un rectángulo). El movimiento de dicho punto en cualquier dirección dentro del plano forma el sistema coordenado bidimensional rectangular, o cartesiano llamado así en honor a su creador Rene Descartes. El sistema coordenado bidimensional se representa mediante dos segmentos de recta (ejes) 𝑋´𝑋 conocida como eje de las abscisas o simplemente eje 𝑥 y 𝑌´𝑌 conocida como eje de las ordenadas o eje 𝑦, que se cortan perpendicularmente entre si, tal y como se muestra en la figura 1

Figura 1 Plano Cartesiano

Elementos que componen el sistema: Sea 𝑃(𝑥. 𝑦) un punto geométrico, donde (𝑥. 𝑦) representa al par ordenado de números reales, de los cuales el número real 𝑥 se denomina abscisa y el número real 𝑦 se denomina ordenada, en conjunto forman las llamadas coordenadas. Al conjunto de pares ordenados de números reales (𝑥. 𝑦) se le conoce como producto cartesiano y se representa como ℝ*, por lo tanto, cada par ordenado(𝑥. 𝑦) ∈ ℝ*. Al representar las coordenadas en el plano cartesiano, ésta queda dividida en cuatro partes, llamadas cuadrantes, los cuales se designan I, II, III, IV, siendo estos cuadrantes los que

definen los signos de las coordenadas, como se muestra en la figura 2

Figura 2 Cuadrantes y signos del Plano Cartesiano

Ejemplos: Localiza los puntos 𝐴(5, 7), 𝐵 TU

V, − W

XY 𝐶(−6,−2)𝑦𝐷(−4,5)

Solución: en cada eje se ubica la coordenada respectiva. Se Trazan por ellas segmentos paralelos a los ejes, en sus intersecciones se encuentran los puntos buscados.

Escribe las coordenadas de los puntos A(−4, 4), B(6,2), C(−3,−2), D(7, −7) Solución

Actividades tema 2 1. Grafique los siguientes puntos 𝐴(3,2), 𝐵(−6,3)𝐶(−5,−5)𝑦𝐷(4,7)

2. Escribe las coordenadas de cada punto representado en el plano cartesiano

3. Tres vértices de un rectángulo son 𝐴(−3,−1), 𝐵(2, −1)𝑦𝐶(2,4). Encuentra el cuarto vértice.

4. Dos vértices de un triángulo equilátero son los puntos 𝐴(−3,2)𝑦𝐵(1,2). Determina las

coordenadas del tercer vértice.

5. Los vértices de un paralelogramo vienen dados por los puntos 𝐴(−2,1), 𝐵(−2,−3), 𝐶(6,3)𝑦𝐷(6, −1). Encuentra las coordenadas del punto de intersección de sus diagonales.

6. Demuestra gráficamente que los puntos 𝐴(1,4), 𝐵(4,4), 𝐶(−1,1)𝑦𝐷(6, −2) son los vértices de un trapecio.

7. La siguiente grafica indica las ventas de libros en millones de unidades durante los años 1980 a 1984. Determina la cantidad de teléfonos vendidos en 1983 y el ritmo de crecimiento de las ventas por cada año.

8. Utiliza un par de coordenadas para señalar la posición del huracán y de Nuevo Orleans.

Huracán 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑(,)𝐿𝑎𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑

Nuevo Orleans 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑(,)𝐿𝑎𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑

9. Indicar en cual cuadrante del sistema de coordenadas se ubican los siguientes puntos:

A(-6, -2) Cuadrante ____ B(4, -2) Cuadrante ____ C(5., -2) Cuadrante ____ D( 6, 2) Cuadrante ____ E( 4, 5 ) Cuadrante ____ F(-2, 6) Cuadrante _____ G( 2, -2) Cuadrante ____ H(-3, 5) Cuadrante ____ I(-5, -3) Cuadrante ____

J( 6, 5) Cuadrante ____ K( 3, 0 ) Cuadrante ____ L(-5, 7) Cuadrante ____ M(-2, 2) Cuadrante ____ N(0, 5) Cuadrante ____ O(4, 9) Cuadrante ____ P( -6, -5) Cuadrante ____ Q( 1, 1 ) Cuadrante ____ R(0, 0) Cuadrante ____

10. Graficar los siguientes puntos en el sistema de coordenadas rectangulares

A (5, 0), B (0, -3), C (-2, 0), D (0,1), E (-2, 5), F (4, 6), G (-6, -4), H (5, -6), I (3, 5), J (9, -4). K (-8, 5), L(-4, 6), M( 7, -7), N(-6, -3), O(-5, 4), P(- 24/6 ,- 24/8), Q( 27/9 ,- 16/8), R(- 14/2, 10/2), S( 24/3 , 36/6), T(- 15/2 , - 13/5 ), U(11,3), V(4,-5), W(0,0) y Z(0.8, - 4.6).

11. Graficar los siguientes puntos y unirlos por segmentos de rectas, formando el polígono

correspondiente. Pentágono A (5,1), B (2,-3), C (-3,-1), D (-2,4) y E (1,5) Triangulo F (5,4), G (-2,6) y H (8,-6) Cuadrilátero I (2,0), J (1, -7), K (-5, -4) y L (-7, 5)

Tema 3 Distancia entre dos puntos Para obtener la distancia entre dos puntos 𝐴(𝑥$, 𝑦$) y 𝐵(𝑥*, 𝑦*) ubicados en el plano cartesiano, se utiliza el teorema de Pitágoras el cual se enuncia de la siguiente manera: “La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa” matemáticamente se expresa 𝑐* = 𝑎* + 𝑏*, y se aplica a cualquier triángulo rectángulo, como el mostrado en la figura

En el triángulo rectángulo de la figura se puede apreciar que la distancia 𝑑fg es igual a (𝑥* −𝑥$) y la distancia 𝑑hg es igual a (𝑦* − 𝑦$), ahora bien, si las distancias 𝑑fg y 𝑑hg representan los catetos del triángulo rectángulo, la hipotenusa quedaría representada por la distancia 𝑑fh, la cual se podría calcular como ya se menciono aplicando el teorema de Pitágoras de la siguiente manera:

(𝑑fh)* = (𝑑fg)* + (𝑑hg)* Como 𝑑fg = (𝑥* − 𝑥$) y 𝑑hg = (𝑦* − 𝑦$), sustituyendo se obtiene (𝑑fh)* = (𝑥* − 𝑥$)* + (𝑦* − 𝑦$)* Finalmente despejando 𝑑fh, se obtiene la distancia 𝐴𝐵, enunciada de la siguiente manera: La distancia entre los puntos 𝐴(𝑥$, 𝑦$) y 𝐵(𝑥*, 𝑦*) en el plano cartesiano es: 𝑑fh = /(𝑥* − 𝑥$)* + (𝑦* − 𝑦$)* Ejemplos: 1. Encuentre la distancia entre los puntos 𝐴(3,4)𝑦𝐵(1,1) Solución: Aplicando la formula 𝑑,- = /(𝑥* − 𝑥$)* + (𝑦* − 𝑦$)* 𝑑,- = /(1 − 3)* + (1 − 4)* 𝑑,- = /(−2)* + (−3)* 𝑑,- = √4 + 9

𝑑,- = √13

2. ¿Cuál de los puntos 𝐴(−2,2)𝑜𝐵(−2,−5) esta más cerca de 𝐶(3,−1) Solución: Utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos: |AC|=/(3 − (−2))* + (−1 − 2)* = √25 + 9 = √34 |BC|= /(3 − (−2))* + (−1 − (−5))* = √25 + 16 = √41 Como √41> √34, el punto A está más cerca a C.

Actividades tema 3 1. Encuentre la distancia entre los puntos 𝐴(4,2) y 𝐵(−2,−2), grafique la distancia 𝐴𝐵 2. Encuentre la distancia entre los puntos 𝐴(4,5) y 𝐵(−2,1), grafique la distancia 𝐴𝐵 3. Encuentre la distancia entre los puntos 𝐴(2,3) y 𝐵(4,−1), grafique la distancia 𝐴𝐵

4. Encuentre la distancia entre los puntos 𝐴(−1,−3) y 𝐵(−3,3), grafique la distancia 𝐴𝐵 5. Encuentre la distancia entre los puntos 𝐴(−2,1) y 𝐵(5,1), grafique la distancia 𝐴𝐵 6. Encuentre la distancia entre los puntos 𝐴(−3,4) y 𝐵(2,−2), grafique la distancia 𝐴𝐵 7. Encuentre la distancia entre los puntos 𝐴(6,1) y 𝐵(−4,−2), grafique la distancia 𝐴𝐵 8. Encuentre la distancia entre los puntos 𝐴(−3,−1) y 𝐵(7,−5), grafique la distancia 𝐴𝐵 9. Encuentre la distancia entre los puntos 𝐴(5,−2) y 𝐵(−1,7), grafique la distancia 𝐴𝐵 10. Encuentre la distancia entre los puntos 𝐴(−3,4) y 𝐵(0,−3), grafique la distancia 𝐴𝐵 11. Encuentre la distancia entre los puntos 𝐴(4,−3) y 𝐵(7,−2), grafique la distancia 𝐴𝐵 12. Encuentre la distancia entre los puntos 𝐴(3,0) y 𝐵(−2,5), grafique la distancia 𝐴𝐵 13. Las esquinas del monitor de la figura están ubicadas en los puntos de coordenadas

(2,10), (12,10), (2,2)𝑦(12,2). Calcula la longitud de la diagonal de la pantalla.

14. De los siguientes triangulo determine y justifique por medio de sus distancias, si se trata de un triángulo isósceles o de un triángulo rectángulo.

a) 𝐴(−6,4), 𝐵(−5,−3)𝑦𝐶(−1,−1)

b) 𝐴(3,5), 𝐵(7,2)𝑦𝐶(4, −2)

c) 𝐴(4,−3), 𝐵(3,0)𝑦𝐶(0,1)

d) 𝐴(2,2), 𝐵(10,2)𝑦𝐶(10,−5)

15. Probar que los puntos: 𝐴(1,7), 𝐵(4,6)𝑦𝐶(1, −3) pertenecen a una circunferencia de

centro en el punto 𝑂(1,2). La condición es que: 𝑑fj = 𝑑hj = 𝑑gj

16. Sean 𝐴(0,0), 𝐵(3,0), 𝐶(4,2)𝑦𝐷(1,2), los vértices de un paralelogramo, halle la longitud de sus diagonales.

17. Calcula el perímetro de los siguientes triángulos y clasifícalos según la longitud de sus

lados: a) 𝐴(−2,2), 𝐵(1,6)𝑦𝐶(6, −6)

b) 𝐴(−5,−2), 𝐵(0,6)𝑦𝐶(5, −2)

18. Dadas las coordenadas de los vértices del siguiente triangulo, A (-4, 7), B (5, 6) y C (2,

-3), determine: a) Gráfica.

b) Perímetro 𝑃 = 𝑑fh + 𝑑hg + 𝑑fg

c) Semiperimetro 𝑆 = (lmnolnpolmp)

*

d) Área por medio de la fórmula de Herón 𝐴 = /𝑆(𝑆 − 𝑑fh)(𝑆 − 𝑑hg)(𝑆 − 𝑑fg)

Tema 4: División de un segmento de recta en una razón dada Dividir un segmento de recta AB en una relación dada r, significa determinar un punto P de la recta que contiene al segmento de recta AB, de modo que las dos partes en que se divide AB, PA y PB, están en la relación r, de manera tal que: ,s

s-= r; de esta manera para dividir el

segmento de recta AB, en 3 partes iguales se necesitan 2 razones, como se indica en las figuras 1 y 2

Figura 1 r = AB/PB = 1/2

Figura 2 r = AB/PB = 2/1

En el caso de que se tenga una razón negativa, lo que se indica es que el punto de división es externo al segmento AB, tal como se muestra en la figura 3

Figura 3 r = (AB) / (- PB)

En este caso se puede apreciar en la figura 3 que los segmentos AP y PB tienen sentidos opuestos. Para obtener las coordenadas (x. y) del punto P, que dividen al segmento de recta AB del plano cartesiano con coordenadas A(x$, y$) y B(x*, y*), en la razón ,s

s-= r, se parte del

siguiente análisis: Considere la figura

De acuerdo a la figura se puede establecer la siguiente relación:

cos α =x − x$AP =

x* − xPB

Igualando cos α = r y transponiendo términos se obtiene la razón:

r =x − x$x* − x

=APPB

Finalmente despejando x y y obtenemos las coordenadas que dividen un segmento de recta AB en una razón dada r

x = z{o|z}$o|

y y = ~{o|~}$o|

; donde r ≠ −1 Ejemplos: 1. Obtén las coordenadas del punto que divide al segmento con extremos

A(4,−1)yB(−3,3) en la razón r = *X

Solución: Usando las formulas anteriores:

x =4 + 25 (−3)

1 + 25= 2y =

−1 + 25 (3)

1 + 25=17

El punto de división se encuentra en C(2, $

U)

2. Obtén las coordenadas del punto que divide al segmento con extremos

A(−4,2), B(3, −2) en la razón r = −3 Solución:

x =−4 + (−2)(3)1 + (−2) =

−10−1 = 10y =

2 + (−2)(−2)1 + (−2) = −6

Observa que el punto de división C(10,−6) esta afuera de la recta porque r es negativa.

Punto medio de un segmento de recta El punto medio PM de un segmento de recta AB se obtiene cuando la razón r es igula a 1, de esta manera las coordenadas:

x = z{o|z}$o|

y y = ~{o|~}$o|

Cuando r = 1, se convierten en:

x = z{oz}*

y y = ~{o~}*

Ejemplo: 3. Determina las coordenadas del punto medio del segmento A(−4,8)yB(6, −4) Solución: Usando las formulas del punto medio:

x =−4 + 62 =

22 = 1y =

8 + (−4)2 =

42 = 2

Por lo tanto, las coordenadas del punto medio serán C(1,2)

4. Los puntos medios de los lados de un triángulo con vértices A(−2,−2), B(8,0),

yC(2,10) son M$(3,−1),M*(0,4)yM*(5,5). Demuestra que la distancia entre dos puntos medios es la mitad de la distancia entre los vértices del lado restante.

Solución: Calcular la distancia AB y la distancia 𝑀$y𝑀* |AB|=/(8 − (−2))* + (0 − (−2))* = √104 = 2√26 |𝑀$𝑀*| = /(5 − 0))* + (5 − 4)* = √26 Como se puede apreciar, la distancia AB es el doble de la distancia 𝑀$𝑀*

Actividades tema 4 1. Determina las coordenadas del punto que divide al segmento cuyos extremos son

A(−4,6)yB(5,2)enlarazonr = *U

2. Si A(−3,5)yB(3, −5) son los extremos de un segmento dirigido AB, determina las

coordenadas del punto C(x, y) que divide l segmento en la razón r = −3 3. Determina los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son los puntos

A(−4,2)yB(5, −3) 4. Los extremos de un segmento están dados por A(−4,3)yB(3, −4)

EncuentralarazonrenqueelpuntoC(1, −2)divideelsegmento. 5. Encuentra las coordenadas del punto medio del segmento determinados por los puntos

A(5,3)yB(−4,−2) 6. Encuentra las coordenadas del punto medio del triángulo rectángulo de vértices

A(1,1), B(5,2)yC(4,7) 7. Hallar las coordenadas de un punto 𝑃(𝑥, 𝑦), que divida al segmento determinado por 𝑃$

y 𝑃* en la razón 𝑟 a) 𝑃$(2,5), 𝑃*(−3,8); 𝑟 = − *

X

b) 𝑃$(−3,7), 𝑃*(−4,5); 𝑟 =�V

c) 𝑃$(−1,−4), 𝑃*(5, −1); 𝑟 = −3 d) 𝑃$(2,5), 𝑃*(−5,1); 𝑟 = 2 e) 𝑃$(−3,4), 𝑃*(2,5); 𝑟 =

$V

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA 1. Hallar las coordenadas del centro de una circunferencia cuyas coordenadas de sus

diámetros son los puntos 𝑃$ y 𝑃*. a) 𝑃$(−4,6) y 𝑃*(2, −2) b) 𝑃$(3,1) y 𝑃*(1,5) c) 𝑃$(−5,5) y 𝑃*(3,5)

2. Se requiere trazar una mediatriz al segmento que une los puntos cuyos extremos son:

a) 𝐴(4,2) y 𝐵(−2,6) b) 𝐴(−7,1) y 𝐵(1,3) c) 𝐴(−5,−3) y 𝐵(1,−1)

3. El extremo de un diámetro de una circunferencia cuyo centro 𝐶 y punto 𝑃$ son

conocidos, hallar las coordenadas del punto 𝑃*. (se despeja en cada formula las coordenadas del punto dos)

a) 𝐶(−2,5) y 𝑃$(4, −3) b) 𝐶(4,−1) y 𝑃$(1, −2) c) 𝐶(5,−3) y 𝑃$(6,2) d) 𝐶(7,−6) y 𝑃$(1, −1) e) 𝐶(1,2) y 𝑃$(3, −1)

4. Los vértices de un triángulo son 𝐴(2,−1), 𝐵(−4,7) y 𝐶(8,0), trazar las mediatrices en

el triángulo.

Tema 5 Pendiente y Ángulo de inclinación Para comprender mejor la definición de recta, es necesario medir su inclinación y para ello se requiere visualizarla como una función de la rapidez con la cual se sube o se baja a lo largo de dicha recta, conforme el movimiento es de izquierda a derecha, tal como se muestra en las figuras

De acuerdo a lo anterior se define el ángulo de inclinación o pendiente de una recta que se representa con la letra 𝑚, como la razón de cambio de la coordenada 𝑦 (distancia que se sube o se baja de la recta) respecto a la coordenada 𝑥 (distancia recorrida a la derecha), es decir, 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = �������ó�

������

En términos mas formales, es posible definir la pendiente de una recta, de la siguiente manera: “Se llama pendiente (𝑚) o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación, en términos matemáticos se expresa 𝑚 = 𝑡𝑔𝛼” Es importante señalar que de acuerdo a los valores que tome 𝛼, la pendiente será negativa, positiva, cero o indefinida, tal como muestra en las siguientes figuras

Ahora bien, se puede calcular la pendiente de una recta de dos maneras conociendo el valor de su ángulo de inclinación 𝛼, o mediante dos puntos cualesquiera de la recta, de acuerdo a lo siguiente. Si 𝑃$(𝑥$, 𝑦$) y 𝑃*(𝑥*, 𝑦*), son dos puntos cualesquiera que pertenecen a un lugar geométrico, se puede calcular su pendiente, mediante la fórmula: 𝑚 = �}C�{

�}C�{ con 𝑥* ≠ 𝑥$

Ejemplos 0. Obtén la pendiente de la recta que tiene un ángulo de inclinación 𝛼 = 150°

Si 𝑚 = tan 𝜃, sustituyendo el ángulo se obtiene 𝑚 = tan 150°

𝑚 = −0.5773

1. Calcula el ángulo de inclinación de la recta que tiene una pendiente 𝑚 = 1

Si 𝑚 = tan 𝜃, sustituyendo el valor de la pendiente se obtiene tan 𝜃 = 1

Despejando el ángulo 𝜃 = tanC$ 1

𝜃 = 45°

2. Determina la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos

𝐴(1,2) y 𝐵(8,7) Si 𝑚 = �}C�{

�}C�{, sustituyendo las coordenadas de 𝐴 y 𝐵 se obtiene

𝑚 =7 − 28 − 1

𝑚 =57

3. El resultado indica que por cada 7 unidades que se avanza la recta a la derecha, se eleva 5 unidades, tal como se indica e la figura

Para calcular el ángulo de inclinación, se despeja el ángulo de la relación 𝑚 = tan 𝜃

𝜃 = tanC$ 𝑚

𝜃 = tanC$57

𝜃 = 35.53°

4. Determina la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos

𝑃(−3,2) y 𝑄(4,2) Si 𝑚 = �}C�{

�}C�{, sustituyendo las coordenadas de 𝑃 y 𝑄 se obtiene

𝑚 =2 − 24 − 3

𝑚 =07 = 0

El resultado al ser cero indica que la recta es horizontal, es decir, no tiene ángulo de inclinación, tal como se indica e la figura

Para calcular el ángulo de inclinación, se despeja el ángulo de la relación 𝑚 = tan 𝜃

𝜃 = tanC$ 𝑚

𝜃 = tanC$ 0

𝜃 = 0° 5. Indique si los siguientes puntos pertenecen a una misma línea recta

𝐴(−1,2), 𝐵(0,1)𝑦𝐶(1,2) 𝐴(−1,−1), 𝐵(0,1)𝑦𝐶(1,3)

Si 𝑚fh = 𝑚hg , entonces los tres puntos corresponden a una línea recta

𝑚 =𝑦* − 𝑦$𝑥* − 𝑥$

𝑚fh =1 − 2

0 − (−1) =−11 = −1

𝑚hg =2 − 11 − 0 =

11 = 1

Como 𝑚fh ≠ 𝑚hg , se concluye que los puntos no pertenecen a una misma línea recta, tal como se aprecia en la figura

Si 𝑚fh = 𝑚hg , entonces los tres puntos corresponden a una línea recta

𝑚 =𝑦* − 𝑦$𝑥* − 𝑥$

𝑚fh =1 − (−1)0 − (−1) =

21 = 2

𝑚hg =3 − 11 − 0 =

21 = 2

Como 𝑚fh = 𝑚hg , se concluye que los puntos pertenecen a la misma línea recta, tal como se aprecia en la figura

6. Un negocio adquiere un equipo de cómputo que se deprecia de acuerdo con un modelo

lineal. La gráfica ilustra el modelo de depreciación constante anual. Considera la gráfica para contestar lo siguiente

¿Cuál es el precio inicial del equipo? El precio inicial corresponde al punto mas alto de la recta, que de acuerdo a la gráfica es en 𝑦 = 10, por lo tanto, el precio inicial del equipo es $10,000 pesos. ¿Cuál es la depreciación anual? La depreciación anual es igual a la pendiente de la recta de la figura se toman los puntos 𝐴(0,10) y 𝐵(5,0), para calcular la pendiente

𝑚 =𝑦* − 𝑦$𝑥* − 𝑥$

𝑚fh =0 − 105 − 0 =

−105 = −2

El resultado negativo nos indica que cada año el equipo se deprecia (pierde valor) $2000 pesos ¿En cuanto tiempo perderá todo su valor? El equipo perderá todo su valor cuando este en el punto mas bajo de la recta, que de acuerdo a la grafica es en 𝑥 = 5, por lo tanto, el equipo no valdrá nada a los 5 años.

Actividades tema 5 1. En cada una de las siguientes gráficas, anota la pendiente mostrada e interprétala

mediante una relación entre elevación y avance

𝑚 = 𝑚 = 𝑚 = 2. Calcula el valor de la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los

puntos 𝐴(−4,3) y 𝐵(3,−2). Dibuje la recta 3. En el plano cartesiano, dibuje la recta que pasa por el punto 𝑃(3,−4) y tiene pendiente

𝑚 = −6 4. Usando el concepto de pendiente, demuestre que los puntos

𝐴(−1,−1), 𝐵(−3,−4)𝑦𝐶(3,5) son colineales. 5. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos

𝐴(−3,2) y 𝐵(7,−3). 6. La grafica muestra el cambio de temperatura que se produce al calentar el agua

a) ¿Cuál es la pendiente del agua en estado solido? b) ¿Cuál es la pendiente del agua en estado liquido? c) ¿Cuál es la pendiente del agua en estado gaseoso?

7. La gráfica muestra el alargamiento de un alambre al aumentar la fuerza que se le aplica.

a) ¿cuál es la pendiente para conservar la linealidad? b) ¿en que punto se pierde la linealidad?

8. Los vértices de un triángulo son los puntos 𝐴(2,−2), 𝐵(−1,4)𝑦𝐶(4,5), calcular la

pendiente de cada uno de los lados 9. Demostrar, por medio de pendientes que los puntos 𝐴(9,2), 𝐵(11,6), 𝐶(3,5)𝑦𝐷(1,1),

son vértices de un paralelogramo. 10. Para que valor de 𝑥 los siguientes puntos forman una línea recta

a) 𝐴T𝑥,− V

*Y , 𝐵(0, −1)𝑦𝐶 T1, − $

*Y

b) 𝐴(3,0), 𝐵 T2, *VY 𝑦𝐶 T𝑥, �

VY

c) 𝐴(−2,10), 𝐵(−1,5)𝑦𝐶(𝑥, 1) d) 𝐴¡−1,3 + √2¢, 𝐵(0,3)𝑦𝐶(𝑥, 6) e) 𝐴(−1, 𝑏 − 𝑎), 𝐵(𝑥, 𝑏)𝑦𝐶(1, 𝑏 + 𝑎),

11. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación del segmento de recta dado por los

siguientes pares de puntos. a) 𝐴(−4,−2), 𝐵(6,1) b) 𝐴(−3,4), 𝐵(3, −2) c) 𝐴(−4,2), 𝐵(2,2) d) 𝐴(−3,4), 𝐵(2, −3) e) 𝐴(−3,0), 𝐵(0, −5) f) 𝐴(0,3), 𝐵(4,0) g) 𝐴(−1,−4), 𝐵(3,5) h) 𝐴(−2,1), 𝐵(−2,−3)

12. Usando el concepto de pendientes, demuestra que los puntos

𝐴(−1,−1), 𝐵(3,7)𝑦𝐶(1,3), son colineales. 13. Usando el concepto de pendientes, demuestra que los puntos

𝐴(1,5), 𝐵(−2,−4)𝑦𝐶(2,8), son colineales.

Tema 6 Perímetros y áreas de figuras geométricas en el plano Para conocer el perímetro de un polígono cualquiera se debe obtener la distancia de sus lados usando la fórmula de distancia entre dos puntos y posteriormente sumar dichas longitudes, por ejemplo, considere un triángulo formado por los puntos A(x$, y$), B(x*, y*) y C(xV, yV), el perímetro estaría dado por la suma de las distancias P = d,- + d-£ + d£,, en el caso de un rectángulo o cuadrado formado por los puntos A(x$, y$), B(x*, y*), C(xV, yV) y D(x�, y�), el perímetro estaría dado por la suma de las distancias P = d,- + d-£ + d£¤ + d¤,. Para calcular el área de un polígono cualquiera se emplea el concepto de determinante el cual lo podemos definir de manera informal de la siguiente manera: “arreglo aritmético de los pares de coordenadas que representan los vértices de un polígono” Para calcular el área de un polígono cualquiera usando determinantes se procede de la siguiente forma: Se colocan las coordenadas de los vértices del polígono alineados en una columna (los vértices del polígono se colocan en sentido contrario a las manecillas del reloj, de no ser así el área quedara negativa)

⎣⎢⎢⎢⎢⎡x$ y$x* y*xV yV⋮ ⋮⋮ ⋮x© y©⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

Se repiten las coordenadas del primer vértice en la parte inferior de la columna

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡x$ y$x* y*xV yV⋮ ⋮⋮ ⋮x© y©x$ y$⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎤

Se resuelve el determinante

d =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡x$ y$x* y*xV yV⋮ ⋮⋮ ⋮x© y©x$ y$⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎤

= [(x$y* + x*yV + xVy� +∙∙∙ +x©y$) − (y$x* + y*xV + yVx� +∙∙∙ +y©x$)]

Como se puede apreciar el determinante se resuelve sumando los productos de los valores (tomados en diagonal) de izquierda a derecha y restando la suma de los productos de los valores (tomados en diagonal) de derecha a izquierda Finalmente, para obtener el área del polígono se multiplica el resultado del determinante por un medio

A =12

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡x$ y$x* y*xV yV⋮ ⋮⋮ ⋮x© y©x$ y$⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎤

A =12[(x$y* + x*yV + xVy� +∙∙∙ +x©y$) − (y$x* + y*xV + yVx� +∙∙∙ +y©x$)]

Ejemplo: 1. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son: A(3,2), B(2, −2), C(−1,1)

𝐴 =12 °

3 2−1 12 −23 2

±

A = $

*{(3)(1) + (−1)(−2) + (2)(2) − [(2)(−1) + (2)(1) + (−2)(3)]}

A = $

*[3 + 2 + 4 − (−2 + 2 − 6)] = [9 − (−6)] = (9 + 6)

A = $

*(15) = $X

*

𝐴 = 7.5u* 2. Hallar el área del polígono si las coordenadas de sus vértices son

A(−4,2), B(−1,5), C(3, −1)yD(−2,−5)

Con base en la gráfica, los vértices se ordenan en la formula en el sentido contrario a las

manecillas del reloj, es decir:

𝐴 =12⎣⎢⎢⎢⎡−4 2−2 −53 −1−1 5−4 2 ⎦

⎥⎥⎥⎤

A =12{(−4)(−5) + (−2)(−1) + (3)(5) + (−1)(2)

− [(2)(−2) + (−5)(3) + (−1)(−1) + (5)(−4)]}

A =12[20 + 2 + 15 − 2 − (−4 − 15 + 1 − 20)]

A =12[35 − (−38)] = (35 + 38) = 73

𝐴 =732

𝐴 = 36.5𝑢* Actividades tema 6 1. Traza el polígono con los vértices 𝐴(4,4), 𝐵(−2,4), 𝐶(−2,−4), 𝐷(4, −4) en un plano

coordenado. Calcula su perímetro y área. 2. Demuestra que el triángulo de vértices 𝐴(2,0), 𝐵(−1,−3)𝑦𝐶(−3,2) es isósceles 3. Determina el área del triángulo de la figura. Nota: El área de un triángulo se calcula con

la mitad del producto de la base por la altura.

4. Calcula el área de los triángulos con vértices en los puntos:

a) 𝐴(−1,2), 𝐵(4, −1) y 𝐶(3,3)

b) 𝐴(2,−1), 𝐵(5,1) y 𝐶(−3,3)

c) 𝐴(3,−2), 𝐵(1,1) y 𝐶(2,4)

d) 𝐴(2,−3), 𝐵(5, −9) y 𝐶(−6,0)

e) 𝐴(−1,2), 𝐵(4, −1) y 𝐶(7,4) 5. Encuentra el área de los polígonos cuyos vértices son:

a) 𝐴(1,0), 𝐵(3, −1), 𝐶(5,2), 𝐷(4,5) y 𝐸(2,3)

b) 𝐴(−1,1), 𝐵(2,3), 𝐶(3,1) y 𝐷(1,−2)

c) 𝐴(−3,−5), 𝐵(−1,−3), 𝐶(2,0) y 𝐷(4,−2)

d) 𝐴(2,2), 𝐵(5,4), 𝐶(7, −2), 𝐷(3, −5) y 𝐸(0,−1)

e) 𝐴(1,4), 𝐵(5,1), 𝐶(9,4) y 𝐷(5,7)

f) 𝐴(4,5), 𝐵 T2, $*Y , 𝐶 T8, $

*Y y 𝐷(6,5)

g) 𝐴(1,4), 𝐵(1,1), 𝐶(2,2), 𝐷 T4, $*Y , 𝐸 T7, U

*Y , 𝐹(4,6) y 𝐺(2,3)

6. Calcula el perímetro y área del triángulo cuyos vértices son 𝐴¡2, √2¢, 𝐵¡8, √2¢, 𝐶¡5,1 +

√2¢ 7. El área de un triángulo con vértices 𝐴(−3,−2𝑎), 𝐵(𝑎, −5), 𝐶(6,1) es igual a 17

unidades cuadradas, encuentra el valor de a (hay 2 soluciones) 8. Los vértices de un cuadrado tomados en orden son: 𝐴(1,−1), 𝐵(5,2), 𝐶(2,6) y 𝐷(−2,3)

calcula:

El área, Centro y radio de la circunferencia circunscrita al cuadrado

9. En un patio se quiere colocar una fuente con forma de pentágono. Las coordenadas están dadas por los puntos 𝐴(−3,0), 𝐵 T$

*, −3Y , 𝐶(4,0), 𝐷(2,3) y 𝐸(−1,3). ¿Cuál es el

perímetro y el área de la fuente? 10. Los puntos 𝐴(2.5, −6.5), 𝐵(5.5,2.5) y 𝐶(1.5, −7.5) corresponden a las coordenadas de

tres capitales de países. Determina: a) La distancia entre cada capital en miles de kilómetros b) El área y el perímetro del triángulo formado por las tres capitales

Tema 7 Paralelismo y Perpendicularidad Si se consideran las posiciones relativas de dos rectas en el plano cuyas ecuaciones se expresan mediante las formas generales:

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0(1) 𝐴´𝑥 + 𝐵´𝑦 + 𝐶´ = 0(2)

Se pueden determinar las condiciones analíticas bajos las cuales estas dos rectas son: Paralelas: “Dos rectas 𝑙$ y 𝑙* con pendientes 𝑚$ y 𝑚*, respectivamente, son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales

𝑚$ = 𝑚* Como se aprecia en la figura, las tangentes de las rectas 𝑙$ y 𝑙* son iguales, es decir, tan 𝛼 =tan𝛼, como consecuencia las pendientes también son iguales, 𝑚$ = 𝑚*

Perpendiculares: “Dos rectas 𝑙$ y 𝑙* con pendientes 𝑚$ y 𝑚*, respectivamente, son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es igual a −1 𝑚$𝑚* = −1, o bien, 𝑚$ = − $

·}

En la figura se aprecia que las rectas serán perpendiculares siempre y cuando el producto de las tangentes de las rectas 𝑙$ y 𝑙* son iguales a −1, es decir, tan 60° tan 150° =¡√3¢ T− $

√VY = −1

Coincidentes Intersectantes (se cortan en uno y solo en un punto) Ejemplos: 1. Demuestra que los puntos 𝐴(−2,4), 𝐵(5,6), 𝐶(−3,1)𝑦𝐷(4,1) son vértices de un

paralelogramo. Solución: Si los cuatro puntos forman cuatro rectas y estas rectas tienen la misma pendiente de dos en dos, se puede concluir que los puntos forman un paralelogramo.

𝑚fh =

¸C�XC(C*)

= *U 𝑚g¹ =

$C(C$)�C(CV)

= *U

𝑚fg =

C$C�CVC(C*)

= CXC$= 5 𝑚h¹ =

$C¸�CX

= CXC$= 5

Como las pendientes 𝑚fh y 𝑚g¹ son iguales, y las pendientes 𝑚fg y 𝑚h¹ también son iguales se demuestra que los puntos mencionados forman un paralelogramo, tal como indica en la figura.

2. Demuestra que los puntos 𝑃(−4,1), 𝑄(−1,3)𝑦𝑅(3, −3) son vértices de un triángulo

rectángulo.

La condición para que un triángulo sea rectángulo es que dos de sus lados sean perpendiculares, ahora bien, dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a −1 Calculando las pendientes de las rectas 𝑃𝑄 y 𝑄𝑅 se obtiene

𝑚»¼ =3 − 1

−1 − (−4) =23

𝑚¼½ =−3 − 33 − (−1) =

−64 = −

32

Multiplicando las pendientes

𝑚»¼𝑚¼½ = D23E D−

32E = −1

Como el producto de las pendientes de dos rectas es igual a −1, lo cual indica que son perpendiculares, se demuestra que los puntos 𝑃𝑄𝑅, forman un triángulo rectángulo.

3. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, −2) y es perpendicular a la recta

definida por la ecuación 3𝑥 − 5 + 9 = 0. Si la ecuación 𝐴𝑥 + 𝐵 + 𝐶 = 0 representa a la recta buscada, entonces por la condición de perpendicularidad debe cumplirse que: 3𝐴 − 5𝐵 = 0 Es decir, B = 3/5 A Luego, la ecuación de la recta perpendicular queda como 𝐴𝑥 + 3/5𝑦 + 𝐶 = 0 Si multiplicas toda la ecuación por 5 y la divides entre A obtienes: 5𝑥 + 3𝑦 + 5C/A =0 Podemos decir que 𝑘 = 5𝐶/𝐴. Por lo tanto, la recta se representa como: 5𝑥 + 3𝑦 + 𝑘 = 0 Se sabe que la recta perpendicular pasa por el punto (3, −2), entonces: 5(3) + 3(−2) + 𝑘 = 0 15 − 6 + 𝑘 = 0 𝑘 = −9 La ecuación buscada es 5𝑥 + 3𝑦 − 9 = 0

Actividades tema 7 1. Encuentra el punto medio de cada lado del triángulo con vértices 𝐴 (−4, −1), (1, 4) y 𝐶 (3, −3). Demuestre que la línea que pasas por dos puntos medios es paralela al lado restante.

2. Demuestra que (3, 1), 𝐵 (−1, −4) y 𝐶 (−2, 5) son vértices de un triángulo rectángulo.

Dibuja el triángulo. 3. Encuentra la pendiente de la recta perpendicular al segmento 𝐴 (−3, 3) y (−1, −3) y que

pasa por su punto medio. Dibuja la recta e investiga cómo se llama. 4. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (−1, −5) y es perpendicular a la recta

3𝑥 − 2𝑦 + 7 = 0 5. De las siguientes rectas, indica cuales son paralelas, perpendiculares o ninguna de las

dos

a. 10𝑥 − V*�+ 5 = 0,5𝑥 − V

��= − X

*

b. 5𝑥 − 3𝑦 + 11 = 0,3𝑥 + 5𝑦 − 10 = 0 c. 3𝑥 − 5𝑦 + 4 = 0,4𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 d. 𝑥 + 2𝑦´7 = 0, X

*�− 5𝑦 − 8 = 0

6. Dadas las rectas que pasan por los puntos A y B, así como las rectas definidas por los

puntos M y N, determine si son paralelas o perpendiculares entre sí a) 𝐴 (−1, 1), 𝐵 (3, 7) Y 𝑀 (−2, 5), 𝑁 (4,1) b) 𝐴 (−7, 1), 𝐵 (1, −6) Y 𝑀 (−4, −6), 𝑁 (3,2) c) 𝐴 (3, 5), 𝐵 (11, 6) Y 𝑀 (1,1), 𝑁 (9,2) d) 𝐴 (1, − 1), 𝐵 (2, 4) Y 𝑀 (6, −2), 𝑁 (7,3) e) 𝐴 (2, 4), 𝐵 (6, −2) Y 𝑀 (1, −1), 𝑁 (7,3) f) 𝐴 (−2, 1), 𝐵 (4, 7) Y 𝑀 (0, −9), 𝑁 (12,3)

7. Demuestra que las rectas 2𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0, 4𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 y 5𝑥 + 𝑦 + 1/7 = 0 son

concurrente

Tema 8 Punto – Pendiente Analíticamente, la ecuación de una recta queda perfectamente determinada si se conocen las coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo de inclinación (con dicho ángulo se puede determinar la pendiente), es decir, si una recta pasa por el punto 𝑃$(𝑥$, 𝑦$) y la pendiente 𝑚 es conocida, se puede utilizar la formula de pendiente para cualquier punto 𝑃(𝑥, 𝑦) que también pertenece a la recta de la siguiente manera:

𝑚 =𝑦 − 𝑦$𝑥 − 𝑥$

Despejando el numerador 𝑦 − 𝑦$, se obtiene la formula para determinar la ecuación de la recta que pasa por un punto dado 𝑃$(𝑥$, 𝑦$) y con pendiente 𝑚 conocida como: Ecuación de la recta en su forma Punto-Pendiente

𝑦 − 𝑦$ = 𝑚(𝑥 − 𝑥$) Ecuación de la recta ordenada al origen Si una recta corta o intercepta al eje 𝑌, en el punto (0, 𝑏) y tiene una pendiente 𝑚 < 0, como se muestra en la figura:

Aplicando la formula punto pendiente 𝑦 − 𝑦$ = 𝑚(𝑥 − 𝑥$) a dicha recta, con punto (0, 𝑏) se obtiene

𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 0) Despejando y se obtiene finalmente la formula para determinar la ecuación de la recta conocida como: Ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen o simplemente ecuación de la recta ordenada al origen

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 El punto de intersección 𝑏 se conoce como ordenada al origen Ejemplos: 1. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃 (−6, −3) y que tiene la pendiente

igual a 1/2 Aplicando la forma punto pendiente

𝑦 − (−3) =12[𝑥 − (−6)]

𝑦 + 3 =12 (𝑥 + 6)

2𝑦 − 𝑥 = 0

2. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (5, −1) y tiene un ángulo de inclinación de 135°. Como 𝛼 = 135°, entonces la pendiente de la recta es:

𝑚 = 𝑡𝑔 135° = −1 Por la forma punto-pendiente:

𝑦— 1 = −1(𝑥 − 5) 𝑦 + 1 = −𝑥 + 5

reagrupa términos semejantes 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0

3. Escribe la ecuación de la recta de pendiente – 2/3 y ordenada en el origen igual a 4

en la ecuación y = mx + b, se sustituye m por -2/3 y b por 4, para graficar, se marca el punto (0,4) y a partir de este se desciende 2 unidades y se avanza 3 a la derecha

𝑦 = −23𝑥 + 4

4. Aplicación. Un servicio básico de telefonía fija cuesta $150 al mes, lo que incluye 100

llamadas. Si se desea hacer llamadas extras, el costo es de $1.50 por cada llamada adicional. a) Escribe un modelo lineal para el pago mensual y por x llamadas. b) Utiliza este modelo para calcular el pago mensual si tienes 130 llamadas en un mes c) Grafica el modelo. ¿Cuál es la ordenada en el origen? Solución:

a) El modelo para el pago mensual es: 𝑦 = 150 siempre y cuando 𝑥 ≤ 100

𝑦 = 1.50(𝑥 − 100) + 150 para 𝑥 ≤ 100

b) El pago mensual por 130 llamada es: 𝑦 = 1.50(130 − 100) + 150 = $195

c) La ordenada en el origen es 150

Actividades tema 8 1. Encuentra la ecuación de la recta en los siguientes ejercicios:

a) Pasa por el punto (3, 1) con pendiente −2 b) Pasa por el punto (−4, −1) con pendiente 3 c) Pasa por el punto (−3, 0) con pendiente 1 /3

2. Encuentra las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (1, 2) con pendientes de

45° y 135°, respectivamente. ¿Cómo son estas rectas entre sí? 3. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 4) y es paralela a una recta

con pendiente igual a −2 4. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 5) y es perpendicular a la

recta con pendiente igual a (−1 /5) 5. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene pendiente 𝑚.

a) (2, 3), 𝑚 = −1. b) (−2, 7), 𝑚 = 5 c) (−1, −5), 𝑚 = 0 d) (8, 0), 𝑚 = 𝜋 e) (−9, −3), 𝑚 = −10 f) (1.25, 0.5), 𝑚 = −6

Tema 9 Ecuación general de la recta En los temas estudiados anteriormente se muestra que la ecuación de una recta puede escribirse de varias formas, sin embargo, en el plano coordenado, la recta puede expresarse siempre de forma lineal mediante la expresión conocida como: forma general de la ecuación de una recta:

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Donde 𝐴 o 𝐵 deben ser diferentes de cero ( 𝐴 y 𝐵 no pueden ser cero simultáneamente, esto debido a que se obtendría como resultado 𝐶 = 0), y 𝐶 puede ser igual o diferente de cero. Ahora bien, realmente la ecuación general de la recta ¿representa siempre una línea recta? Para contestar la pregunta se examinará las dos formas posibles de la ecuación, con respecto al coeficiente y, es decir, los casos en los cuales 𝐵 = 0 y 𝐵 ≠ 0 Caso I 𝐵 = 0: Si 𝐵 = 0, entonces 𝐴 ≠ 0, y la ecuación se reduce a la forma

x = −CA

Si −gf= 𝑘, entonces 𝑥 = 𝑘, para cualquier valor numérico de 𝑘, en dicho caso se tendría una

línea recta paralela al eje 𝑌 Caso II 𝐵 ≠ 0: Si 𝐵 ≠ 0, al dividir la ecuación general de la recta entre 𝐵 y despejar 𝑦, se obtiene

𝑦 = −𝐴𝐵 𝑥 −

𝐶𝐵

Ahora bien, si 𝑚 = −fh, y 𝑏 = − g

h, se obtiene la ecuación de la recta pendiente-ordenada al

origen cuya pendiente es −fh, y la ordenada al origen es − g

h

En consecuencia, en cualquiera de los dos casos que se analizaron la ecuación general de la recta representa siempre una recta. Ejemplos: 1. Escribe cada una de las siguientes ecuaciones en su forma general

𝑦 − 1 = −23(𝑥 − 3)

𝑦 = 3𝑥 − 5 𝑥2 +

𝑦8 = 1

Solución

𝑦 − 1 = −23(𝑥 − 3)

3𝑦 − 3 = −2(𝑥 − 3) 3𝑦 − 3 = −2𝑥 + 6 2𝑥 + 3𝑦 − 9 = 0 𝑦 = 3𝑥 − 5

3𝑥 − 𝑦 − 5 = 0 𝑥2 +

𝑦8 = 1

4𝑥 + 𝑦 = 8

4𝑥 + 𝑦 − 8 = 0 2. Determina la pendiente, ordenada al origen y gráfica de 3𝑥 − 2𝑦 = 8 Solución

3𝑥 − 2𝑦 = 8 −2𝑦 = −3𝑥 + 8

𝑦 =32𝑥 − 4

Pendiente 𝑚 = V

* y ordenada al origen 𝑏 = −4

Gráfica

3. Determina los coeficientes de la forma general de una recta que pasa por el punto (-1,3)

y tiene una pendiente igual a -2. Escribe la ecuación de la recta en su forma general Solución: La ecuación general de la recta es:

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 La pendiente es −f

h, por lo tanto

−𝐴𝐵 = −2 𝐴 = 2𝐵

Las coordenadas del punto deben satisfacer la ecuación general

𝐴(−1) + 3𝐵 + 𝐶 = 0 −𝐴 + 3𝐵 + 𝐶 = 0

Sustituyendo 𝐴 = 2𝐵 −2𝐵 + 3𝐵 + 𝐶 = 0

𝐵 + 𝐶 = 0 𝐶 = −𝐵

Sustituyendo A y C en la ecuación general

2𝐵𝑥 + 𝐵𝑦 − 𝐵 = 0

Dividiendo entre B, se obtiene la ecuación general de la recta

2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 Actividades tema 9 1. Encuentra la ecuación de la general de la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente

m a) 𝑃(−5,0),𝑚 = V

*

b) 𝑃(0, 𝜋),𝑚 = Â*

c) 𝑃(6,3),𝑚 = −1 d) 𝑃(−4,−1),𝑚 = 5 e) 𝑃¡−√2, √2¢,𝑚 = −$

¸

2. Determinar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos:

a) 𝑃(2,−3), 𝑄(6, −1) b) 𝑃¡√2, 1¢, 𝑄(−3,−3) c) 𝑃(0,4), 𝑄(2,0) d) 𝑃(−1,0), 𝑄(0,1)

3. Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por el punto P cuyo ángulo de

inclinación es 𝛼 a) 𝑃(−2,−1), 𝛼 = 120° b) 𝑃(3,5), 𝛼 = 75° c) 𝑃(4,−3), 𝛼 = 45° d) 𝑃(−1,−5), 𝛼 = 60° e) 𝑃(5,8), 𝛼 = 30° f) 𝑃(2,−6), 𝛼 = 45°

4. Escribe la ecuación general de la recta con pendiente m y ordenada b

a) 𝑚 = −5, 𝑏 = 1 b) 𝑚 = 8, 𝑏 = −3 c) 𝑚 = 2, 𝑏 = 6 d) 𝑚 = −$

¸, 𝑏 = −10

e) 𝑚 = Ã�, 𝑏 = V

U

f) 𝑚 = −1, 𝑏 = − $*X

Tema 10 Ángulo entre dos rectas Es el ángulo agudo (ángulo que mide menos de 90°) que se forman entre dos rectas 𝑙$ y 𝑙* que se intersectan en un punto y se mide en sentido positivo (sentido contrario a las manecillas del reloj). El punto de intersección de las dos rectas es 𝐶 y el ángulo agudo es 𝜃$, tal como se muestra en la figura.

Para calcular el ángulo entre dos rectas, lo importante es identificar la pendiente inicial y la final para ello se considera lo siguiente: El ángulo agudo formado por las rectas 𝑙$ y 𝑙*, se representa por 𝜃$ en la figura mostrada y se mide en sentido contrario a la manecillas del reloj (sentido positivo), por lo tanto, de acuerdo a la figura, el ángulo 𝜃$ se debe medir de la recta 𝑙$ (recta inicial) que tendrá asociada la pendiente inicial, a la recta 𝑙* (recta final) quien tendrá asociada la pendiente final. El ángulo agudo 𝜃 formado por las dos rectas 𝑙$ y 𝑙*, a partir de dos pendientes dadas se determina por la formula:

𝜃 = 𝑡𝑔C$ D𝑚* − 𝑚$

1 +𝑚$𝑚*E

Donde 𝑚$ es la pendiente inicial y 𝑚* es la pendiente final correspondiente al ángulo 𝜃. Ejemplos: 1. Encontrar el ángulo entre las rectas 𝑥 + 3𝑦 + 2 = 0 y −𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0 Solución Escribir la ecuación general en su forma ordenada al origen 𝑥 + 3𝑦 + 2 = 0 𝑦 = − $

V𝑥 − *

V

−𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0

𝑦 =13𝑥 −

53

De las ecuaciones anteriores se tiene 𝑚$ = −$

V y 𝑚* =

$V

Aplicando la formula:

𝜃 = 𝑡𝑔C$ D𝑚* − 𝑚$

1 +𝑚$𝑚*E

𝜃 = 𝑡𝑔C$ Ä13 − T−

13Y

1 + T−13 ∗13YÆ

𝜃 = tanC$34 = 36.8°

2. Determinar el ángulo de la recta 2𝑥 − 3𝑦 − 6 = 0 y la recta 𝑥 + 5𝑦 + 10 = 0 Solución: Escribir la ecuación general en su forma ordenada al origen 2𝑥 − 3𝑦 − 6 = 0 𝑦 = X

V𝑥 − �

V

𝑥 = 7 De las ecuaciones anteriores se tiene 𝑚* =

XV y 𝑚$ = 0

Aplicando la formula:

𝜃 = 𝑡𝑔C$ D𝑚* − 𝑚$

1 +𝑚$𝑚*E

𝜃 = 𝑡𝑔C$ ÄT53Y − 0

1 + T53 ∗ 0YÆ

𝜃 = tanC$ D53E = 59.03°

3. Determinar el ángulo de la recta 2𝑥 − 3𝑦 − 6 = 0 y la recta 𝑥 + 5𝑦 + 10 = 0 Solución: Escribir la ecuación general en su forma ordenada al origen 2𝑥 − 3𝑦 − 6 = 0 𝑦 = *

V𝑥 − 2

𝑥 + 5𝑦 + 10 = 0 𝑦 = − $

X𝑥 − 2

De las ecuaciones anteriores se tiene 𝑚* =

*V y 𝑚$ = −$

X

Aplicando la formula:

𝜃 = 𝑡𝑔C$ D𝑚* − 𝑚$

1 +𝑚$𝑚*E

𝜃 = 𝑡𝑔C$ Ä23 − T−

15Y

1 + T−15 ∗23YÆ

𝜃 = tanC$(1) = 45°

Actividades tema 10 1. Determina el ángulo entre las rectas:

a) 𝑥 + 3𝑦 = 0 y 𝑥 − 𝑦 + 5 = 0 b) 5𝑥 + 6𝑦 − 7 = 0 y 4𝑥 − 3𝑦 − 11 = 0 c) 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0 y 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 d) 4𝑥 + 𝑦 − 7 = 0 y 𝑥 − 6𝑦 + 8 = 0 e) 𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0 y 3𝑥 − 𝑦 + 10 = 0 f) 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 y 3𝑥 − 𝑦 − 4 = 0 g) 𝑦 + 3 = 0 y 2𝑥 + 𝑦 + 5 = 0 h) 𝑥 − 5𝑦 = 0 y 𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0

2. Un cuadrilátero tiene vértices 𝐴(2,3), 𝐵(3,2), 𝐶(2,1)𝑦𝐷(1,2). Determina las

pendientes de los lados y los ángulos interiores del cuadrilátero. Realiza la gráfica 3. Un triángulo tiene vértices 𝐴(−2,6), 𝐵(−5,−1)𝑦𝐶(6, −2). Determina las pendientes

de los lados y los ángulos interiores del triángulo. Realiza la gráfica 4. Una recta 𝑙$ tiene pendiente V

�, el ángulo que se forma, al ir a la recta 𝑙*, es de 45°.

Encuentra la pendiente de la recta 𝑙*. 5. Una recta 𝑙$ tiene pendiente 2, el ángulo que se forma, al ir a la recta 𝑙*, es de 135°.

Encuentra la pendiente de la recta 𝑙*. 6. Los lados de un triángulo se encuentran sobre las rectas 4𝑥 + 3𝑦 − 19 = 0, 3𝑥 − 4𝑦 +

17 = 0 y 2𝑥 − 11𝑦 + 3 = 0. Encuentra los ángulos interiores del triángulo y que tipo es.