geometría

GEOMETRÍA

SEGMENTOSSEGMENTOS

01. En una recta se ubican los puntos consecutivos: A, B, C y D, de modo que: BC = 6 y AC + BD = 20.

Calcule AD

A) 10B) 12C) 14D) 20E) 18

02. Del grafico mostrado, calcule BD

A) 14B) 18C) 16D) 42E) 28

03. En una recta se ubican los puntos consecutivos: A, B, C y D de modo que:AB2

= BC3

= CD5

y ( AB . BC=96 ),

calcule CD .

A)16B) 20C) 4D)12E) 24

04. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, y D, de modo que: BC = 6; BD = 2AB y AC = 5CD,

calcule AB .

A)3B) 4C) 2

D) 6E) 5

05. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B; C, D, E y F, si:

ACBC

+ BDCD

+ CEDE

+ DFEF

=14,

calcule:

P= ABBC

+ BCCD

+ CDDE

+ DEEF

A)14B) 10C) 16D) 12E) 7

06. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos: A, B y C. Luego se ubica

el punto medio “M” de BC__

; si AB=8 y

AC=22 , calcule AM .

A)13B) 14C) 15D)16E) 17

07. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos: A, B y C. tal que: AB = 8; luego se ubican los puntos medios “M”

de AC__

y “N” de BC__

. Calcule MN .

A)6B) 5C) 2D)4E) 8

A EDCB

3a 2a 2b 3b70

GEOMETRÍA

ÁNGULOSÁNGULOS

08. Calcule “x” en la igualdad mostrada:Sx = 3 + 4Cx siendo:C = complemento y S = suplemento

A) 80°B) 45°C) 40°D) 61°E) 70°

09. Calcule “x”, en la expresión mostrada:

SCS x−CS x

SxSiendo: C = Complemento y S = Suplemento

A) 2xB) 0C) 1D) 180 – x E) 2

10. Se tienen los ángulos adyacentes AOB y BOC, tal que: mAOB=40°; calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOC y BOC.

A) 20°B) 40°C) 30°D) 25°E) 10°

11. En la igualdad mostrada, calcule “” SC+CS2=SCS3 ; siendo: C=complemento y S=suplemento

A) 54°B) 45°C) 30°D) 60°

E) 40°

12. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que: mAOB = 40°, mCOD=10°; calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOD y BOC.

A) 25°B) 20°C) 10°D) 15°E) 5°

13. Si los ángulos AOB y BOC forman un par lineal, calcule la medida del ángulo que forman sus bisectrices.

A) 60°B) 30°C) 45°D) 90°E) 105°

14. En la figura mostrada, calcule “x”, si: m–n=20°.

A) 45°B) 35°C) 55°D) 20°E) 40°

15. Dado los ángulos consecutivos AOB y BOC tal que: mAOB–mBOC=22°.

Luego se trazan las bisectrices OM→

del AOC y ON→

del BOC. Además se sabe que: mMON=34°. Calcule: mAOC.

A) 120°B) 110°C) 112°D) 114°E) 116°

mº

nº

xº

GEOMETRÍA

16. Se dan los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, mAOC=130° y mBOD=150°. Luego se trazan las

bisectrices OM→

del AOB y ON→

del COD. Calcule: mMON.

A) 120°B) 140°C) 125°D) 135°E) 110°

17. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Luego se trazan

las bisectrices OM→

del AOB y ON→

del COD. Si mAOC=80° y mMON=110°. Calcule la mBOD.

A) 140°B) 150°C) 130°D) 120°E) 110°

18. Las medidas de dos ángulos suplementarios son entre sí como 3 es a 7. Calcule el complemento de la diferencia de los mismos.

A) 36°B) 54°C) 72°D) 18°E) 60°

19. Si a uno de dos ángulos suplementarios se le quita 43º para agregarle al otro, ambos se igualan. Calcule el suplemento del mayor.

A) 44°B) 47°C) 51°D) 53°E) 37°

ÁNGULOS ENTRE RECTASÁNGULOS ENTRE RECTAS PARALELASPARALELAS

20. Calcule “x”, si L1//L2

A) 36°B) 30°C) 40°D) 54°E) 50°


A 30°B) 45°C) 60°D) 36°E) 20°


A) 15°B) 18°C) 12°D) 20°E) 30°


A) 80°B) 20°C) 40°D) 30°E) 50°


A) 10°B) 12°C) 15°D) 18°E) 20°

2xº

3xº

L 1

L 2

L 1

L 2

ºº

ºº

L 1

L 2

180º+x

180º+x180º-x

180º-x

L 1

L 2

xº40º

º

º

L 1

L 2

6xº

3xº

2xº

L 1

L 2

xº

7xº

8xº

2xº+20º

GEOMETRÍA

25. Calcule (x – y), si L1//L2

A) 5°B) 6°C) 7°D) 8°E) 9°


A) 70°B) 80°C) 40°D) 30°E) 20°

27. En la figura, calcule “x”

A) 30°B) 40°C) 50°D) 60°E) 70°


A) 60°B) 70°C) 80°D) 50°E) 40°

L 1

L 2

2xº

4xº 2yº

3yº

4yº

6yº

3xº

xº20º

40º

50º

10º100º

xº

L 1

L 2

2yº

xº

8yº

3yº

B

A

N

80º

85ºx

GEOMETRÍA

TRIÁNGULOS ITRIÁNGULOS I

01. En la figura, calcule “x”, si: AB=AD y BC=EC.

A) 10ºB) 12ºC) 15ºD) 18ºE) 20º

02. En la figura, calcule “x”.

A) 15ºB) 18ºC) 20ºD) 12ºE) 10º

03. En la figura, calcule “”

A) 20ºB) 18ºC) 10ºD) 12ºE) 15º

04. Del gráfico (+=98º), calcule x.

A) 49ºB) 84ºC) 82ºD) 98ºE) 90º

05. De la figura, calcule: (x+y+z)

A) 200ºB) 270ºC) 300ºD) 330ºE) 360º

06. Del gráfico, calcule x.

A) 50ºB) 60ºC) 66ºD) 70ºE) 75º

07. Del gráfico, calcule “x”

A) 18ºB) 20ºC) 22,5ºD) 25ºE) 15º

08. En la figura, calcule el máximo valor entero que puede tomar “x”.

A) 6B) 7C) 8D) 5E) 9

09. En el gráfico: a+b-m–n=105º, calcule (x + y)

A) 100ºB) 80ºC) 105ºD) 120ºE) 90º

10. En la figura, calcule “x”, Si: AB=BC=AD

A) 40ºB) 50ºC) 60ºD) 70ºE) 80º

A E D C

B

xº

3xº 2xº

A C F

B D

7xº2xº 9xº

A C

B

5 º

O

º 3 º

º

B C

M

A D

x

B

A C

x

y

z

x

80º

º 2 º4

x

a b

m

n

x y

40º20º

B

C

A D

xº

M C

GEOMETRÍA


A) 10ºB) 15ºC) 20ºD) 12ºE) 18º

12. Del gráfico AB = BC, calcule “x”.

A) 20ºB) 40ºC) 25ºD) 50ºE) 15º

13. En un triángulo ABC se traza la

bisectriz interior AP y una recta

perpendicular a AP en Q interseca a

AC en “R” tal que:

mQRP = mBPR ymABC – mACB = 80º.

Calcule la mBPR.

A) 70ºB) 69ºC) 72ºD) 71ºE) 68º

14. Exterior y relativo al lado BC de un triángulo ABC se ubica el punto P tal que mAPC=90º, la bisectriz interior

BM interseca a AP en L.Si: mBAL=2mBCM y mBMA=80º Calcule: mPCB

A) 68º

B) 71ºC) 72ºD) 70ºE) 69º

15. En la figura, calcule la diferencia entre el máximo y el mínimo valor entero que puede tomar “x”.

A) 9B) 8C) 7D) 6E) 5

16. Del gráfico: AE=EF, calcule “x”.

A) 40ºB) 20ºC) 60ºD) 80ºE) 50º

17. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC), se traza la ceviana interior

AN en cuya prolongación se ubica el punto P tal que AB=PC y mBCP=60º. Si mABC=40º, calcule la medida del ángulo determinado por

AP y BC .

A) 60ºB) 50ºC) 80ºD) 90ºE) 100º


bisectriz interior BN y en la región

exterior relativa a AC se ubica el punto T tal que:

2xº

xº

A M C

B

N

x

A C

50º

B

A C

B

5 9

x

A

B

C

x

F

E

40º

GEOMETRÍA

AT // BC ,

m∠BNA3

=m∠ ACT2 y

mBAC + mATC = 180º.

Calcule: mACT.

A) 44ºB) 42ºC) 46ºD) 42ºE) 45º

19. Calcule “x” de la figura mostrada.

A) 45ºB) 65ºC) 70ºD) 60ºE) 75º

20. Dado un triángulo ABC, en la región

exterior relativa a los lados AC y BC se ubican los puntos N y Q respectivamente tal que: N, C y Q son colineales, mBAQ=mQAC, mACN=3mBCQ y 2mBCQ+mABC=100º. Calcule mAQN

A) 50°B) 100ºC) 90ºD) 110ºE) 120º

100º135º

x

GEOMETRÍA

TRIÁNGULOS IITRIÁNGULOS II

01. En la figura, calcule “x”, AM=MC=MN

A) 12ºB) 15ºC) 30ºD) 20ºE) 10º

02. En la figura, calcule los valores enteros que puede tomar “x”.

A) 3; 3; 4B) 2; 3C) 3; 4D) 3E) 4

03. En la figura, calcule MN

A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6

04. Calcule AB , si: CO=20

A) 5 B) 7,5 C) 10 D) 15 E) 20

05. En la figura, calcule “x”, si: AB=CD

A) 30ºB) 40ºC) 15ºD) 45ºE) 22,5º

06. En la figura, calcule BH

A) 4B) 16C) 6D) 8E) 10

07. En un triángulo ABC, las alturas AP

y CH se intersecan en un punto Q interior al triángulo y la mABC=45º.

Calcule la razón entre AC y BQ .

A) 1B) 1,5C) 2D) 1,6E) 0,5

08. Dado un triángulo ABC, se ubica un punto interior “P” tal que: BC=AP, mPBC=mPCB=mPAC=

m∠ ABP5 Calcule mBAP.

A) 30ºB) 35ºC) 40ºD) 37ºE) 45º

09. En un triángulo ABC, se trazan la

altura BH y la ceviana interior CP de

A C

NB

2xº

30ºxº

M

B

A

C

DE

8

x

3x

B

A

N

D15

7M

ºº

A

B C

2

O

A

D

C

B

2 º

3 ºH

º

8

B

A DD

2xº 30º

xº

C

AC

H D P

B

A H C

B

x

E

D

GEOMETRÍA

modo que mBAC=60º, mPCB=2(mPCH)=30º. Calcule mHPC.

A) 30ºB) 37ºC) 35ºD) 45ºE) 25º

10. En un triángulo ABC, mA=2mC y AB=5. Calcule el máximo valor entero

de BC .

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11E) 12

11. Calcule AC si: AB=12√3A) 24 B) 36 C) 32 D) 60 E) 72

12. Calcule AC si ABCD es un cuadrado AH=3 y CP = 4

A) 7

B) 7√2 C) 5

D) 5√2E) 14

13. Si: AB=4 y AC=6, calcule MN .

A) 2 B) 1 C) 0,5 D) 0,7 E) 1,5

14. En el gráfico AB=DC y AH=HE, calcule “x”.

A) 28ºB) 30ºC) 32ºD) 38ºE) 45º

15. Calcule AH si AB= 9 y AC = 17

A) 8 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

16. Si BC=3, calcule AB .

A) 6 B) 8 C) 10D) 12E) 16

17. En un triángulo ABC, se traza la altura

BH en la cual se ubica el punto P, de modo que: AB=PC, mPAC=mBCA. Calcule mAPH.

A) 22,5ºB) 30ºC) 37ºD) 45ºE) 60º

A B

C

F

E

30º

60º

B

A

N

C

M

ºº

A H C

2

B

A D

B C

30º 53º

37º

GEOMETRÍA


A) 70ºB) 80ºC) 25ºD) 40ºE) 50º


A) 45ºB) 53ºC) 60ºD) 37ºE) 30º


A) 24ºB) 30ºC) 20ºD) 40ºE) 36º

A N

B

M

50º xº

2a a

n

2nxº

º 90º- º

GEOMETRÍA

POLÍGONOSPOLÍGONOS

01. Calcular el número de lados de un polígono convexo, si se sabe que; la suma de las medidas de sus ángulos internos es igual al séxtuplo de la suma de las medidas de sus ángulos externos.

A) 13B) 14C) 15D) 12E) 10

02. Se tienen dos polígonos convexos de modo que: el número de lados de uno es el doble del otro. Si la diferencia entre sus números de diagonales es 84 entonces el polígono de menor lados se llama:

A) hexágonoB) heptágonoC) octágonoD) nonágonoE) decágono

03. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo, si se sabe que desde 3 vértices consecutivos de dicho polígono, se han trazado 14 diagonales.

A) 900°B) 1980°C) 1800°D) 1620°E) 1080°

04. En la figura, calcule “x” si el pentágono es regular.

A) 72°B) 45°C) 60°D) 36°

E) 30°

05. En un polígono equiángulo ABCDE…, se sabe que; el número total de diagonales es el triple de su número de lados; BC=CD y AB=BD. Calcular la mADE.

A) 120°B) 80°C) 60°D) 40°E) 90°

06. Se tienen un decágono regular ABCDEF… Calcule la medida del menor ángulo que forman las

prolongaciones de AB y ED .

A) 72°B) 36°C) 54°D) 18°E) 9°

07. ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales es el doble del número de diagonales de otro polígono que tiene tres lados menos?

A) pentágonoB) nonágonoC) icoságonoD) decágonoE) dodecágono

08. En un polígono regular ABCDEF... de “n” lados; la mACE=135º, calcule su número de lados.

A) 8B) 16C) 24D) 32E) 30

09. En un polígono regular ABCDE … las

mediatrices de AB y DE se cortan formando un ángulo de 135º. Calcule

A N C

B M

3xº

4xº

xº

GEOMETRÍA

el número total de diagonales del polígono.

A) 10B) 20C) 25D) 30E) 35

10. En un polígono equiángulo de “n” lados, desde (n–5) vértices consecutivos se trazan (n+6) diagonales, Calcule la medida de un ángulo interior.

A) 135°B) 140°C) 108°D) 60°E) 120°

CUADRILÁTEROSCUADRILÁTEROS

11. En la figura mostrada, calcule “x”

A) 6 B) 7 C) 5D) 5,5 E) 4,5


A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

13. Las diagonales de un trapecio miden 10 y 12. Calcule el máximo valor entero que puede tomar la medida de su mediana.

A) 7B) 8C) 9D) 10E) 11


A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 8

15. Si ABCD es un romboide, calcule “x”

A) 36º B) 30º C) 40ºD) 45º E) 37º

16. En la figura mostrada, si ABCD es un

trapecio; calcule MN .

A

B N Q C

DP

M

6+a

a4x

A D

CB

R

5x

2x

6

N

53º

12

2x

5x

B

AD

C4xº

xº

E

A 8 D

CB

MN

ºº

ºº

GEOMETRÍA

A) 7B) 6C) 5D) 4E) 3

17. En la figura mostrada, calcule “x”, si: MCCD

A) 11B) 15C) 14D) 12E) 13

18. En la figura AB=4, BC=6 y CD=7. Calcule “PQ”

A) 7B) 7,5C) 8D) 8,5E) 9

19. Se tiene un cuadrado ABCD, en la

prolongación de AD se ubica un punto “E” tal que la mACE=105°. Calcule el perímetro del cuadrado, si CE=8

A) 8B) 12C) 16D) 20E) 36

20. Se tiene un paralelogramo ABCD,

sobre CD se ubica el punto medio “M” tal que la mABM=90º. Calcule

AD , si AB=6 y MB=4.

A) 4 B) 5C) 6D) 6,5 E) 7

C

A D

B

M

9

x

4

A

BP M Q

N6xº 8xº

2x

GEOMETRÍA

CIRCUNFERENCIAS ICIRCUNFERENCIAS I

01. Calcule la longitud del radio de la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, si: AB=24 y BC=32.

A) 4B) 6C) 8D) 7E) 9

02. En la figura, calcule (+), siendo A, B, C y M puntos de tangencia.

A) 360°B) 450°C) 540°D) 270°E) 180°

03. En la figura, calcule “x”, siendo: A, B, M y N puntos de tangencia.

A) 10ºB) 12ºC) 15ºD) 18ºE) 10º

04. Calcule “x”.

A) 3a – 2bB) 2b – a C) 2a – bD) a + bE) a – b

05. Calcular el perímetro de un rombo, si se sabe que la longitud de la circunferencia inscrita en dicho rombo mide 4 y uno de sus ángulos interiores mide 30°.

A) 32B) 28C) 24D) 36E) 40

06. Calcule el perímetro del trapecio ABCD.

A) 22B) 30C) 28D) 26E) 23

07. Calcule “R”

A) 4B) 5C) 7D) 6E) 3

º

º

A C

B

M

aº

xºbº

A D

B C

30º

2

53º

O

6

O8

R

xº

7

6

2k

GEOMETRÍA


A) 45º B) 37ºC) 30ºD) 50ºE) 53º

09. Calcule “R”

A) 1 B) 2,5C) 1,5D) 2E) 3,5

10. En la figura, ¿cuanto mide el inradio del triángulo ABC?. Si AO=4 y “O” es centro.

A) 1 B) 2C) 3D) 4E) 5

11. En la figura, calcule la medida del inradio del triángulo ABC.

A) 1 B) 2C) 3D) 4E) 5

12. En la figura mostrada, calcular “”

A) 60º B) 53ºC) 37ºD) 45ºE) 74º

13. En la figura mostrada, calcule “x”.

A) 1 B) 2C) 3

D) √2E) √3

14. Calcule la longitud del radio de una circunferencia en la cual una cuerda que mide 8, dista 4 del centro.

A) 6

B) 2√2C) 4√2D) 8√2 E) 8

53º

2

5

3

R

O

A T C

M

NB

A D C

8+a

º

2 º

B

a

10

4

x

3

º

4

GEOMETRÍA

15. En la figura, calcule “x” si: “O” es centro, si: BN=2 y MN=1

A) 37° B) 53°C) 45°D) 60°E) 30°

16. En la figura, calcule el perímetro del trapecio ABCD.

A) 50 B) 90C) 80D) 70E) 40

17. En la figura, calcule “x” si “O” es centro y “D” es punto de tangencia.

A) 50º B) 60ºC) 70ºD) 55ºE) 65º

18. Si las medidas de los lados de un triángulo rectángulo se encuentran en progresión aritmética de razón 1999. Calcule la longitud del radio de la circunferencia inscrita a dicho triángulo.

A) 3998B) 1999C) 1333D) 1222E) 1111

19. Calcule el perímetro de un trapecio isósceles circunscrito a una circunferencia, si uno de los lados no paralelos mide 9.

A) 18B) 27C) 45D) 21E) 36

20. En un triángulo ABC, AB=15; BC=9 y AC=12. Si la circunferencia exinscrita

relativa a BC determina en la

prolongación de AC el punto T;

calcule AT

A) 18B) 17C) 16D) 19E) 20

A M C

B

N

Oxº

37º

B C

A D

53º

6

D

A B C40ºxº

O

GEOMETRÍA

CIRCUNFERENCIAS IICIRCUNFERENCIAS II

PROBLEMAS APLICATIVOS

01. En la figura, calcule “x” si: “O” es centro.

A) 54ºB) 36ºC) 30ºD) 50ºE) 40º


A) B) 60ºC) 90ºD) 75ºE) 120º

03. En la figura, calcule “x”, si: “O” es centro.

A) 80ºB) 40ºC) 45ºD) 55ºE) 60º


A) 60ºB) 45ºC) 90ºD) 75ºE) 67,5º

05. En la figura, calcule “x”, si: ABCD es un romboide.

A) 20ºB) 15ºC) 25ºD) 35ºE) 30º


A) 20ºB) 40ºC) 30ºD) 50ºE) 10º


A) 80ºB) 60ºC) 40ºD) 50ºE) 90º

08. En la figura, calcule “x”, si: “O” es centro.

A) 150ºB) 160ºC) 120ºD) 125ºE) 135º


A) 40ºB) 30ºC) 20ºD) 50ºE) 60º

xº

2xºA

O B

C

A O D

40º

CB

2xº xº

90º- º ºxº

2xº

xº

A D

150º

CB

xº

20º

100º 60º xº 40º

A

O

P

B

xº

80º 100º xº 20º

xº

O

GEOMETRÍA

10. En la figura mostrada, calcule mABC.

A) 40ºB) 45ºC) 80ºD) 50ºE) 60º


A) 15ºB) 20ºC) 25ºD) 30ºE) 35º


A) 10ºB) 15ºC) 18ºD) 20ºE) 12º


A) 170ºB) 130ºC) 140ºD) 150ºE) 160º


A) 20ºB) 25ºC) 30ºD) 24ºE) 18º


A) 60ºB) 45ºC) 30ºD) 75ºE) 50º

PROBLEMAS PROPUESTOS


A) 20°B) 10°C) 30°D) 40°E) 50°

02. En la figura, calcule “x” si: “O” s centro.

A) B) 2C) 3D) 4E) 5


A) 30ºB) 36ºC) 40ºD) 45ºE) 60º

x º

2xº 75º

5xº4xº

40ºx

5xº

4xº

60º 75º

xº

60º

80º

R

Q

O S B

Axº

xº

º

A

O B C

D

2xº

xº

O

A C

B

º

C

B

A

100+ º

GEOMETRÍA


A) 80ºB) 120ºC) 110ºD) 100ºE) 150º


A) 15ºB) 12ºC) 20ºD) 18ºE) 10º


A) 20ºB) 30ºC) 40ºD) 50ºE) 25º


A) 25ºB) 35ºC) 30ºD) 20ºE) 15º


A) 12ºB) 15ºC) 18ºD) 20ºE) 30º

09. En la figura, calcule “x” si: “I” es incentro del triángulo ABC.

A) 25ºB) 30ºC) 35ºD) 40ºE) 45º

10. En la semicircunferencia mostrada, calcule “x”.

A) 37ºB) 45ºC) 53ºD) 30ºE) 60º

11. En la figura, calcule “x” si: “O” es centro del cuadrante AOB.

A) 130ºB) 70ºC) 100ºD) 140ºE) 120º

100º xº

xº

4xº

xº

50º

70º

3xº 5xº

xº 3xº

x

80º

A

B

C

I

8 2

xº

70º

D

CO B

Axº

GEOMETRÍA

PROPORCIONALIDAD – SEMEJANZA DEPROPORCIONALIDAD – SEMEJANZA DE TRIÁNGULOSTRIÁNGULOS


01. En la figura, calcule “x”, si L1//L2//L3

A) 37°B) 53°C) 45°D) 30°E) 60°

02. En la figura, calcule “x”, si MN // AC

A) 30°B) 90°C) 60°D) 45°E) 37°

03. En la figura, se muestran dos semicircunferencias. Calcule “x”.

A) 37°B) 45°C) 53°D) 30°E) 60°

04. En la figura, calcule el perímetro del triángulo ABC.

A) 23B) 24C) 25D) 18E) 16


A) 4

B) 4√2C) 6D) 8E) 12

06. En la figura, calcule “x” si “O” es centro.

A) 12B) 3C) 9D) 4E) 6


A) 37°B) 53°C) 45°D) 15°E) 31°


A) 12B) 6C) 8D) 10E) 9


A) 30°B) 37°C) 53°D) 45°E) 60°

6

3 xº

L 2

L 1

L 3

A 7 C

7-aN

6-a

B

a

M

a+1

xº

xº

4

2

2,5

A 4C

9

B

º º

45º

45º

4

x

x5 n

3n

O

6

xº

45º

45º

3 1

6

2º

8 x

º

xº

4

25

xº

GEOMETRÍA


A) 6B) 9C) 12D) 13E) 16


A) 9B) 12C) 5D) 6E) 8

12. En la semicircunferencia mostrada, calcule “R”.

A) 6B) 7,5C) 8D) 6E) 10

13. En la semicircunferencia mostrada, calcule “x”.

A) 6B) 8C) 7D) 4,5E) 3


A) 2B) 3C) 4D) 6E) 4,5


A) 37°B) 60°C) 30°D) 45°E) 53°


01. Calcule “x”, si L1//L2//L3

A) 7B) 12C) 8D) 9E) 10

02. En la figura, calcule “x”, si

A) 10B) 5C) 7,5D) 15E) 6


x

4

9

2n

n

4x

R2 0

1 2

98

1 2

x

4

2

x

º

ºº

º

6

xº

º º

L 1

L 2

L 3

x-4

12

7

x+4

A D C

xN

B

4

M

9

5

S

ºº º º

a b c x

AC//MN

3 2 10

x x 3x

GEOMETRÍA

A)

acb B)

abc

C)

bca D) a E) b


A) 16B) 12C) 24D) 18E) 10

05. En la figura, si “I” es incentro del ABC; calcule su perímetro.

A) 12B) 15C) 18D) 21E) 24

06. En el romboide ABCD mostrado, calcule “x”.

A) 3B) 4C) 6D) 5E) 12


A) 6B) 9C) 7,5D) 4,5E) 12

08. En la semicircunferencia, calcule “x”,

A) 6B) 8C) 9D) 10E) 12

09. En la figura mostrada, calcule “x” si ABCD y EFGD son cuadrados.

A) 8B) 9C) 10D) 12E) 15

10. En la semicircunferencia mostrada, calcule “a”.

A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6


A) 15°B) 22,5°C) 30°D) 18,5°E) 26,5°

12. En el exágono regular mostrado, calcule “x”.

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 6

AD C

I

B

3n

2n

6

A D

CxF6

5n

2nB

E

5n2n

9x

x

65 a

x

a

A 3n E 5n D

G

CxB6

HF

3a 4a

12

2a

3

x

12

4n

8x

5n

x

3

4

5x

x 2 3

x

x-13

6

GEOMETRÍA

RELACIONES MÉTRICAS EN LARELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA Y EN ELCIRCUNFERENCIA Y EN EL

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOTRIÁNGULOS RECTÁNGULO


01. En la figura, calcule “x”. Si “O” es centro.

A) 5B) 2C) 3D) 4E) 6


A) 30ºB) 37ºC) 45ºD) 53ºE) 60º


A) 12B) 9C) 10D) 8E) 11


A) 5B) 6C) 8D) 7E) 4


A) 60ºB) 30ºC) 37ºD) 45ºE) 53º


A) 7B) 8C) 9D) 10E) 6


A) √2B) √3C) 1

D) √5E) 2


A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6


A) 5B) 6C) 7D) 8

2

8

O

x

7

x

x

18

xx4

5

x

62

6

O 6

x

O

x

a

3

O

x1

4

GEOMETRÍA

E) 9


A) 1B) 2C) 3D) 4E) 6

11. En la figura, calcule “x”. Si “O” es centro y su diámetro mide (a+2)

A) 4B) 5C) 3

D) √10E) √13

12. En la figura, calcule “x”. Si “O” es

centro y AC = 2√2 .

A) √2 B) 3 C) 2

D) √3 E) √613. En la figura, calcule “x”. Si “O” es

centro.

A) 30°B) 37°C) 45°D) 53°E) 60°


A) 5B) 4C) 3D) 6

E) 8


A) 3B) 8C) 7D) 10E) 15



A) 6B) 3C) 4D) 5E) 1

02. En la figura, se muestran dos semicircunferencias, calcule “x”.

A) 3B) 4C) 5D) 2E) 1


A) 8B) 6C) 5D) 7.5E) 7


A) 37°B) 53°C) 30°D) 45°E) 60°

x1

8

O

xC

A

x

3

9

(x+ 10)

x8

º

º

2

x

3n n

6

x 8

54

x

2a

a

º

º

GEOMETRÍA


A) 5B) 7,5C) 10D) 15E) 20


A) 9B) 8C) 6D) 4E) 5


A) √5B) 8C) 6D) 4E) 5


A) 5B) 6C) 7D) 8E) 6,5


A) 37°B) 53°C) 45°D) 60°E) 30°

10. En la figura, calcule DE, si: AB=4 y AD=7.

A) 4B) 5

C) √21D) √33E) 3


A) √6B) 2C) 4D) 5

E) √512. En la figura, calcule “x”.

A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6

13. En la figura, calcule “h”.

A) 2B) 1C) 2/3D) 3/2E) ¾


A) 8B) 10C) 6D) 12

5 x

x

2

32

3

º

º

x

x3

xº

xº

3 1

D

C

E

Bº

A

2 º

O

x

4 1

6 10

2x

x

h7-1 7+1

º º

108

x

X

O

4

9

GEOMETRÍA

E) 9

RELACIONES MÉTRICAS EN LOSRELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOSTRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS



A) 1B) 1/2C) 2D) 1/3E) 3


A) 2B) 3C) 4

D) √6E) √5


A) 1/2B) 1C) 2D) 1/3E) 2,5


A) 30°B) 37°C) 45°D) 53°E) 60°

05. En la figura, calcule “h”.

A) 2√6B) √6C) 2√3

D) 4E) 3


A) 53°B) 60°C) 30°D) 45°E) 37°


A) √7B) √10C) 5D) 3

E) √1108. En la figura, calcule “”

A) 30°B) 26,5°C) 22,5°D) 45°E) 37°


A) 3√5B) 2√6C) 5√2

4 6

5x

7

6

5

x

3

6

5

x

2

17

5

Bº

A

C

7

6

h5

6 89

9

º

4 x6

8

4

º

2 13

3

8 x12

10

º º

GEOMETRÍA

D) 6√2E) 4√3


A) √28B) √30C)

D) √22E) √19

11. En la figura calcular “”

A) 15°B) 30°C) 37°D) 45°E) 53°


A)√7B) 2,5C) 2D) 3

E) √11


A) 7B) 8

C) 9D) 6E) 5

14. En la figura, calcule “” si: b2=a2+ac

A) 30ºB) 40ºC) 80ºD) 45ºE) 37º

15. En la figura, calcule “x” si: ab=mn

A) 4B) 6C) 5D) 2E) 3



A) 3B) 4C) 2D) 5E) 1

02. En la figura calcule “m”.

A) 5B) 6C) 3D) 4E) 8

03. Los lados de un triángulo miden 26; 25 y 3. Calcule la medida de la altura relativa al menor lado.

A) 24B) 18C) 17

4

x6

3

ºº

2

º

7

2

2

22

4

x

13

12

7

xA C

M

B

N

a b

c80º º

m

n

3

a

x

x

b

x

6x

7

m

1710

9

33

GEOMETRÍA

D) 8E) 15

04. Los lados de un triángulo miden 7; 8 y 9. Calcule la medida de la mediana que no es mayor ni menor.

A) 8B) 9C) 6D) 5E) 7

05. En un triángulo ABC, AB=7; BC=8 y AC=5. Calcule la mACB.

A) 30°B) 45°C) 60°D) 75°E) 37°

06. Las bases de un trapecio suman 21 y las diagonales miden 10 y 17. Calcule la altura del trapecio.

A) 9B) 8C) 6D) 12E) 7

07. Los lados de un romboide miden

√12 y √20 . Si la diagonal menor

mide √28 , calcule la medida de la diagonal mayor.

A) 3B) 4C) 8D) 6E) 9

08. Se tienen las circunferencias secantes de radios 5 y 7. Si la distancia entre sus centros es 8, calcule la longitud de la cuerda común.

A) 4B) 3

C) 5 √3D) 10 √3E) √21

09. En un triángulo, AB=13; BC=8 y AC=7. Calcule la mACB.

A) 30° B) 45°C) 60°

D) 120° E) 150°

10. En la figura calcule “x”.

A) 2B) 2,5C) 3D) 1,5E) 1


bisectriz interior AD y la mediana

BM , las cuales se cortan en E. Si: BE=3; EM=2 y AB=9. Calcule BC:

A) √37B) √41C) √59D) 8E) 7

12. En un cuadrado ABCD se ubica los

puntos medios E de AB y F de EC .

Calcule DF, si AB = 4√13

4x139

x

GEOMETRÍA

A) 13B) 3C) 2

D) √13E) 2√13


A) 4B) 3C) 2D) 1E) 6


A) 45°B) 60°C) 30°D) 37°E) 53°


A) 1B) 2C) 3

D) √7E) √310

7 13

x

8 13

15xº

2

7

2

x

GEOMETRÍA

ÁREAS DE REGIONES POLIGONALESÁREAS DE REGIONES POLIGONALES

01. En un triángulo rectángulo de hipotenusa 50u y donde un cateto es el doble del otro. Calcular su área.

A) 300u2

B) 400u2

C) 500 u2

D) 550 u2

E) 600 u2

02. La base de un triángulo mide 40m y la altura relativa a la base mide los 3/8 de la base . El área del triángulo es:

A) 280m2

B) 300m2

C) 350 m2

D) 400 m2

E) 250 m2

03. Calcular el área de un triángulo cuyos lados miden 10, 17 y 21u

A) 96 u2

B) 80 u2

C) 92 u2

D) 84 u2

E) 76 u2

04. En la figura AB=5, AD=13 y el triángulo BCD es equilátero. Calcular el área sombreada.

A) 18B) 16 C) 15D) 12E) 10

05. Calcule la relación de áreas de la parte sombreada y no sombreada.

A)

12

B)

15

C)

14

D)

17

E)

13

06. Calcular el área de la región sombreada si el área total es 60 u2.

A) 10u2

B) 20 u2

C) 40 u2

D) 50 u2

E) 25 u2

07. Calcular el área del triángulo ABC, si el área de la región sombreada es 20u2.

A) 10u2

B) 20 u2

C) 40 u2

D) 60 u2

E) 50 u2

08. Hallar el área de la región del trapezoide ABCD.

A) 24B) 26 C) 28D) 32E) 30A

B

C

D

A

B

C

N

M

A

B

Cn2n D

A

B

C2n3n D

A

B

C

D

9

3

4

GEOMETRÍA

09. Calcular el área de la región sombreada si el área del triángulo ABC es 120u2.

A) 40 u2

B) 30 u2

C) 20 u2

D) 60 u2

E) 80 u2

10. Hallar el área de la región sombreada si el área del triángulo ABC=60m2.

A) 1m2

B) 2 m2

C) 3 m2

D) 4 m2

E) 5 m2

11. En la figura las áreas tienen los siguientes valores. Hallar el valor del área sombreada: S1=20 y S2=10

A) 5 B) 8 C) 10D) 15E) 30

12. Calcular el área de la región sombreada. Si: AM=MC, BN=2NC y el área del triángulo ABC es 100m2.

A) 8m2

B) 10m2

C) 12m2

D) 15m2

E) 20m2

13. En la figura: 2BC=3CD. S1=12m2 y S2=5m2. Hallar el área de la región sombreada.

A) 10m2

B) 11m2

C) 12m2

D) 13m2

E) 19m2

14. En el trapecio mostrado, la base mayor es el doble de la menor. Encontrar la relación entre el área del trapecio y el área sombreada.

A)

12

B) 2

C)

13

D) 3

E)

32

15. Calcular el área de la región sombreada.

A)

a2

20

B)

a2

24

C)

a2

18

D)

a2

12

E)

a2

10

16. Hallar ( A

B )

Si:

BMMC

=32 ;

AQQC

=23

A

B

C

N

Ma

2a

A

B

C

P

M

a

4a

A

B

C

N

M

A

B

C

S 1M

S 2

A

B

C

S 1E

S 2

D

a

a

GEOMETRÍA

1315B) 1

C)

1314

D)

1413

E)

1213

17. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de 2 de lado.

A) 4–B) 4–2C) –4D) 2(–4)E) 2(4–)

18. ABCD es un cuadrado de 4 de lado y “A” es centro de ambos arcos. Calcular el área de la región sombreada.

A) 4 2

B) 5 2

C) 3 2

D) 2 2

E) 2

19. Calcular el área de la región sombreada, si M y N trisecan al arco AB y R=6 .

A) 3 2

B) 2 2

C) 4 2

D) 2

E)

π2 2

20. Si ABCO es un rectángulo, calcular su área, si : OP=5 y “D” es centro del cuadrante

A) 17 2

B) 9 2

C) 25 2

D) 36 2

E) 49 2

21. Calcular SX; Si: S1=8 y S2=10

A) 10 2

B) 20 2

C) 18 2

D) 24 2

E) 30 2

22. Calcular la suma de sus áreas de los cuadrados, si R=4

A) 9 2

B) 12 2

C) 15 2

D) 16 2

E) 18 2

23. Hallar el área sombreada si la medida del arco EF es 90º; PE=3 y FQ=5

A) 20 2

B) 24 2

C) 15 2

D) 32 2

E) 64 2

24. En la figura “T” es punto de tangencia “O” es centro y AO=OB=BC=R. Hallar el área de la región sombreada.

A

B

C

M

Q

B

A

A

CB

D

A

CB

D

A

BO

MN

R

A

B

O

PC

OS 1

S 2S X

O

R

A

E

F

Q BP O

A

T

CBO

GEOMETRÍA

A)

R2

2(√3−π )

B) R2(3√3 -)

C)

R2(3√3−π )3

D)

R2(3√3−π )6

E) R2(√3 -)

25. Hallar el área de la región sombreada. Si: AO=OB=2

A) –2B) 2–1C) 4–3

D)

π2 –√2

E) 2–3

26. En la figura. Hallar el área sombreada. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4 .

A) 8(–2)B) –4C) –8D) –16E) 4–215

27. ABCD es un cuadrado de lado de 12 m. hallar el área de la región sombreada.

A) 16–24B) 96–16C) 120–16D) 48–120E) 16–48

28. Calcular el área de la región sombreada. Si: AO=OB

A) B) 2C) 4D) 8E) 16

29. Si: CD=20cm y AB=30cm. Hallar el área de la región sombreada. (AB diámetro) y “D” es punto de tangencia.

A) 36 cm2 B) 30 cm2C) 40 cm2

D) 78 cm2 E) 39 cm2

30. Si: ED.DC=6 2; “O” es centro. Calcular el área de la región triangular ABD.

A) 12 2

B) 4 2

C) 5 2

D) 8 2

E) 3 2

NOCIONES DE GEOMETRÍA DELNOCIONES DE GEOMETRÍA DEL ESPACIOESPACIO

01. Dado un prisma cuadrangular regular ABCD-EFGH, si: mEDG=60º y

AC=4√2 cm, calcular el volumen del prisma.

A) 64cm3

A

45

BO

A

B C

D

A

B C

D

4

4

4

4 4 4

B

A

O

8

A

D

CB

A

D

CB

E

O

H

A C

B

E

GEOMETRÍA

B) 60cm3

C) 50cm3

D) 40cm3

E) 10cm3

02. En un cubo ABCD-EFGH, sea “O” el centro de la cara ABCD y M punto

medio de CG . Calcular la mBOM.

A) 60ºB) 80ºC) 90ºD) 70ºE) 50º

03. En un prisma cuadrangular regular ABCD-EFGH, O es el centro de la base ABCD. Si: (DG)2–(EO)2=4u2. Calcular el área de su base.

A) 6u2

B) 8u2

C) 4u2

D) 10u2

E) 9u2

04. La altura de un prisma recto triangular regular mide 12m; si el área lateral del prisma es 108m2. Calcular la longitud de la arista básica.

A) 2mB) 3mC) 4mD) 5mE) 6m

05. Calcular el área total de un prisma recto cuadrangular regular, si el área lateral del prisma es 40m2 y la longitud de su altura es 5m.

A) 48m2

B) 50m2

C) 60m2

D) 65m2

E) 96m2

06. En el cilindro de revolución mostrado,

BO1=√101cm, O2M=√26 cm, PM=MQ. Calcular el volumen del cilindro.

a) 4cm3

B) 10cm3

C) 6cm3

D) 18cm3

E) 20cm3

07. En un cilindro de revolución las

generatrices AB y CD son diametralmente opuestas (B y C en una misma base), en el arco BC se ubica el punto P. Si: 2(AB)2+(BC)2=20

Calcule: (AP)2+(PD)2.

A) 5B) 10C) 15D) 20E) 25

08. En un cilindro de revolución se inscribe un prisma cuadrangular regular. Calcular la razón de volúmenes de dichos sólidos.

A)

2π B)

3π

C)

4π D)

5π

E)

7π

09. En el gráfico se muestra un cilindro de revolución. Si se cumple: AH=2(HB)=6, además: EB=BC, Calcular el volumen del cilindro.

A) 81√3 3

B) 60√3 3

A P

M

QB O 2

O 1

GEOMETRÍA

C) 50√3 3

D) 30√3 3

E) 20√3 3

10. En un cilindro de revolución, la longitud de la generatriz es el triple de la longitud del radio de las bases. En una de las bases se traza la cuerda

AB de 2√3 cm de longitud y dista del centro de dicha base 3cm. Calcular el área de la superficie total del cilindro.

A) 96cm2

B) 95cm2

C) 80cm2

D) 60cm2

E) 50cm2

11. La arista de un tetraedro regular mide 3. Hallar la altura del tetraedro.

A) 3

B) 3√3

C) 2√6

D) 3√6

E) √6 12. Hallar la arista de un tetraedro

regular, si su altura mide √2

A) B) √3 C) √5

D) √6 E) √4 13. Una pirámide de altura 10cm y

volumen 750 cm3, calcular el área de la base de dicho sólido.A) 225cm2

B) 175cm2

C) 150cm2

D) 125cm2

E) 75cm2

14. Se tiene una pirámide regular V– ABCD cuya altura y una diagonal de base tienen igual longitud y el radio de la circunferencia inscrita en la base

mide 3√2 cm. Calcular el volumen de la pirámide.A) 72cm3

B) 100cm3

C) 150cm3

D) 200cm2

E) 288cm3

15. Se tiene una pirámide hexagonal regular V–ABCDEF, en el cual AB=6cm, BV=12cm. Calcular el volumen del sólido V–BCDE.

A) 250cm3

B) 312cm3

C) 400cm3

D) 162cm3

E) 200cm3

16. Las áreas de las bases de dos pirámides semejantes están en la razón de 9 a 16. Calcular la razón de sus volúmenes.

A)

2532

B)

2764

C)

2564

D)

2223

E)

2732

17. En el gráfico se muestra dos conos de revolución. Si se cumple que: AP=PD, calcular la razón de sus volúmenes.

D

P

A BO

2

GEOMETRÍA

A)

12 B)

13 C)

D)

18 E)

14

18. Un cono recto de altura 8 cm y radio de la base 6cm tendrá una superficie total de:

A) 90cm2

B) 94cm2

C) 98cm2

D) 92cm2

E) 96cm2

19. El área total de un cono es 90m2. Hallar su altura si el radio de la base mide 5m.

A) 6mB) 8mC) 10mD) 12mE) 15m

20. Calcular el volumen de un cono de revolución, si el desarrollo de la superficie lateral es un semicírculo de 18u2 de área.

A) 9√3 u3

B) 6√3 u3

C) 12√3 u3

D) 10√3 u3 E) 7√3 u3

21. Calcular la longitud de radio de la esfera sabiendo que su área es numéricamente igual a su volumen.A) 2B) 3C) 5D) 7E) 9

22. Se tiene una esfera inscrita en un cilindro, determinar la relación entre los volúmenes de la esfera y el cilindro.

A)

13 B)

23

C)

35 D)

25

E)

12

23. Un almacén tiene la forma de una semiesfera. Si se necesitan 13 galones de pintura para cubrir el piso, ¿cuántos galones se necesitarán para pintar el interior del almacén?A) 26galB) 39galC) 52galD) 13galE) 65gal

24. El volumen de la esfera mostrada es numéricamente igual al área de su superficie. Calcular PB (A es punto de tangencia).

A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6

D

P

A BO

A

P

B37º

43

geometría

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