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GEOESTATÍSTICA: CONCEITOS E APLICAÇÕES — Prova 7 — 19/4/2013 — Maluhy&Co. — página (local 7, global #7)ii
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Sumário
Introdução, 9
Breve histórico da Geoestatística, 9
Objetivos, 12
Organização do livro, 12
1 Conceitos Básicos, 19
1.1 – Fenômeno espacial, 19
1.2 – Amostra e métodos de amostragem, 20
1.3 – Inferência espacial, 21
1.4 – Variáveis aleatória e regionalizada, 24
1.5 – Desagrupamento, 26
2 Cálculo e Modelagem de Variogramas Experimentais, 33
2.1 – Estatísticas espaciais, 33
2.2 – Cálculo de variogramas experimentais, 36
2.3 – Tipos de variogramas, 41
2.4 – Anisotropias, 43
2.5 – Comportamento do variograma próximo à origem, 47
2.6 – Considerações finais, 52
3 Estimativas Geoestatísticas, 55
3.1 – Transformação de dados, 56
3.2 – Estimativas geoestatísticas, 62
3.3 – Krigagem não linear, 83
3.4 – Interpolação de variáveis categóricas, 106
3.5 – Considerações finais, 117
4 Coestimativas Geoestatísticas, 121
4.1 – Cokrigagem, 123
4.2 – Krigagem com deriva externa, 135
4.3 – Considerações finais, 141
GEOESTATÍSTICA: CONCEITOS E APLICAÇÕES — Prova 7 — 19/4/2013 — Maluhy&Co. — página (local 8, global #8)ii
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5 Simulação Estocástica, 145
5.1 – Erro de suavização, 147
5.2 – Métodos de simulação estocástica, 147
5.3 – Métodos sequenciais de simulação, 148
5.4 – Considerações sobre os métodos de simulação estocástica, 173
Anexo A – Fundamentos Matemáticos e Estatísticos, 175
A.1 – Métodos gráficos de apresentação de dados, 175
A.2 – Estatística descritiva, 177
A.3 – Estatística bivariada, 179
A.4 – Distribuições teóricas de probabilidades, 182
A.5 – Derivadas, 184
A.6 – Integral, 184
A.7 – Matrizes, 185
A.8 – Sistemas de equações lineares, 188
A.9 – Software, 192
Anexo B – Arquivos de Dados, 195
Sobre os autores, 216
8 Geoestatística: conceitos e aplicações
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do corpo de minério; avaliação e mapeamento de incertezas; parametrização das reservas
minerais em curvas teor/tonelagem, bem como variância global do depósito mineral.
Como fontes introdutórias são recomendados os livros de Clark (1979), Rendu (1981),
Armstrong (1998), Brooker (1991), Clark e Harper (2000), Andriotti (2003), Landim (2003),
Druck et al. (2004) e Olea (2009). Devem ser citados também diversos textos que tratam
de aplicações da Geoestatística, como Journel e Huijbregts (1978), Valente (1982), Guerra
(1988), Isaaks e Srivastava (1989), Deutsch e Journel (1992), Cressie (1993), Samper-Calvete e
A hipótese de estacionaridade de 2ª ordem, além de definir
que a esperança matemática, E [Z ()], existe e não depende
do suporte , define também que a correlação entre duas
variáveis aleatórias depende somente da distância espacial,
h, que as separa e é independente da sua localização (Journel;
Huijbregts, 1978, p. 32).
Em Estatística, a covariância é uma medida da relação
mútua entre duas variáveis aleatórias distintas, por exemplo,
X e Y. Em Geoestatística, a covariância mede a relação entre
valores da mesma variável, obtidos em pontos separados por
uma distância h, conforme uma determinada direção. Isso
significa que, ao alterar a direção, a covariância também pode
se alterar e, nesse caso, há indicação de presença de fenômeno
espacial anisotrópico (Fig. 2.1B).
Existem casos em que a covariância é a mesma em qual-
quer direção e, por isso, o fenômeno espacial é isotrópico
(Fig. 2.1A). Assim, para detectar se o fenômeno espacial apre-
senta anisotropia ou não, a covariância é calculada para várias
direções. Geralmente, quando o fenômeno em estudo está
distribuído em 2D, calculam-se as covariâncias em quatro
direções horizontais: 0°, 45°, 90° e 135°.
Para fenômenos espaciais 3D, além das direções horizon-
tais, calculam-se as covariâncias para a direção vertical ou
inclinada, conforme a estrutura geológica do corpo em profundidade.
A covariância de uma variável regionalizada para pontos separados por uma distância h
pode ser calculada como:
C (h) = E{[Z ( + h)−m] [Z ()−m]}em que h representa um vetor entre dois pontos 1 e 2 no espaço tridimensional.
É fácil verificar que a covariância para distância nula (h = 0) é igual à variância da variável
regionalizada Z ().
34 Geoestatística: conceitos e aplicações
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3EstimativasGeoestatísticas
Todo o processo de inferência espacial tem início com a coleta de uma amostra composta
por n pontos de dados. É esperado que essa amostra seja representativa do fenômeno em
estudo, em termos da distribuição e variabilidade espaciais.
Krigagem é um processo geoestatístico de estimativa de valores de variáveis distribuídas
no espaço e/ou tempo, com base em valores adjacentes quando considerados interdependen-
tes pela análise variográfica. Pode ser comparado com os métodos tradicionais de estimativa
por médias ponderadas ou por médias móveis, mas a diferença fundamental é que somente
a krigagem apresenta estimativas não tendenciosas e a mínima variância associada ao valor
estimado.
O termo – tradução do francês krigeage e do inglês kriging – foi cunhado pela Escola
Francesa de Geoestatística em homenagem a Daniel G. Krige, engenheiro de minas sul-
-africano e pioneiro na aplicação de técnicas estatísticas em avaliação mineira. Abrange uma
família de algoritmos conhecidos, entre outros, como krigagem simples, krigagem da média,
krigagem ordinária e krigagem universal. O estimador mais usual é a krigagem ordinária,
cuja tradução, do francês krigeage ordinaire, deveria ser krigagem normal (Soares, 2006, p. 69).
A tradução para krigagem ordinária, porém, está consagrada no Brasil e, assim, será a usada
nesta obra.
Amostra
Análise variográfica
Variograma?
Interpolação Krigagem
Não
Sim
Fig. 3.1 Interpolação ou krigagem, dependendo da obtenção de
variograma
Estimativas geoestatísticas são, em geral, superiores
aos demais métodos de interpolação numérica, pois fa-
zem uso da função variograma, que não é simplesmente
uma função da distância entre pontos, mas depende da
existência ou não do efeito pepita, da amplitude e da
presença de anisotropia.
Na impossibilidade de obtenção de um modelo de
correlação espacial, métodos de interpolação não esto-
cásticos, que não necessitam do variograma, podem ser
considerados (Fig. 3.1).
A estimativa geoestatística tem por objetivo a mode-
lagem do fenômeno espacial em estudo, ou seja, deter-
minar a distribuição e variabilidade espaciais da variável
de interesse.
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Os valores obtidos nos pontos amostrais são usados na interpolação ou estimativa
geoestatística para fornecer uma grade regular 2D ou 3D, dependendo da dimensionalidade
do fenômeno espacial.
0
10
20
30
40
50
10 20 30 40 50
102,99165
63,01539
83,00352
Fig. 3.2 Localização de vizinhos mais próximos (dois pontos por
quadrante) para estimativa do ponto não amostrado
A modelagem da distribuição e variabilidade espaciais
da variável de interesse é feita geralmente em malhas
regulares, que permitem analisar a inferência espacial
com maior precisão.
Em Geoestatística, trabalha-se com funções locais,
pois ela é, por excelência, um método local de estimativa.
Nesse sentido, pontos distantes situados além do alcance
do variograma não deveriam ser considerados, mas a
krigagem tem um mecanismo interno de atenuação da
influência desses pontos e, portanto, podem ser deixados
como pertencentes à vizinhança.
As Figs. 3.2 e 3.3 ilustram exemplos em 2D e 3D, respec-
tivamente, para a estimativa geoestatística de um ponto
não amostrado, com base nos pontos vizinhos próximos.
N
E
291,63
329,98
368,33
406,68
445,03
483,38
116,63
154,98
193,33
231,68
270,02
308,38
10,40000
0,24000
5,32000
Fig. 3.3 Localização de pontos vizinhos próximos para interpolação do ponto não amostrado (dados 3D)
3.1 TRANSFORMAÇÃO DE DADOS
As variáveis regionalizadas podem ser contínuas ou discretas (Fig. 3.4). As variáveis contínuas
podem apresentar comportamentos distintos revelados pela forma do histograma. Se a
distribuição tiver assimetria positiva, há necessidade de transformação dos dados para evitar
a influência dos poucos valores altos na estimativa de pontos da vizinhança, caracterizada
por baixos valores.
Transformações de dados são, em diversas circunstâncias, necessárias para a estimativa
geoestatística e, aqui, serão analisadas as principais, como a gaussiana, a logarítmica e a
indicadora, conhecida também como indicativa e indicatriz.
56 Geoestatística: conceitos e aplicações
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Contínuas
Dados originais
Gaussiana
Krigagemmultigaussiana
Krigagemordinária
Logarítmica
Krigagemlognormal
Krigagemindicadora
Indicadora
Codificaçãobinária
Equaçõesmultiquádricas
Transformação dos dados
0
5
10
15
20
0,0
8
6,2
5
12,4
2
18,5
8
24,7
5
30,9
2
Zgauss
%
45,2
0
47,3
6
49,5
2
51,6
8
53,8
4
56,0
0
Znegativo
%
0
20
40
60
80
0,0
3
7,9
8
15,9
3
23,8
8
31,8
3
39,7
9
Zlog
%
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5
Tipos
Variáveis regionalizadas
Discretas
Fig. 3.4 Esquema ilustrando o processo de estimativa geoestatística ou interpolação de variáveis regionalizadas
As estimativas geoestatísticas para os dados transformados são obtidas por meio das
krigagens multigaussiana, lognormal e indicadora.
Para dados com distribuição normal ou que apresentem assimetria negativa, não há
necessidade de transformação dos dados, e a krigagem ordinária é aplicada diretamente
sobre os dados originais.
Para as variáveis regionalizadas discretas, há necessidade de se fazer a codificação binária,
e cada tipo que compõe a variável discreta é interpolado usando as equações multiquádricas,
conforme proposta de Yamamoto et al. (2012). Não é usada a krigagem indicadora, por causa
da necessidade de um variograma para cada tipo da variável discreta.
Mesmo que seja possível, quando houver grande quantidade de informação os variogra-
mas não serão iguais entre si, em termos de efeito pepita, patamar e amplitude. Por isso,
cada tipo sendo estimado por um variograma diferente resultará em valores cuja soma não
será, necessariamente, igual a 1, condição essencial quando se estima probabilidades.
Dessa forma, a solução é a obtenção de um variograma único, tal como se faz no processo
da krigagem da variável indicadora da mediana. Mas isso é impossível no caso de variáveis
discretas, pois elas estão decompostas em k tipos.
3 Estimativas Geoestatísticas 57
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4CoestimativasGeoestatísticas
No estudo de um fenômeno espacial, diversas variáveis podem ser amostradas simultanea-
mente nas mesmas localizações ou por métodos distintos de pesquisa em diferentes pontos.
Algumas dessas variáveis podem estar subamostradas e outras, superamostradas. Contudo,
se essas variáveis subamostradas e superamostradas apresentarem alguma correlação, então
as variáveis superamostradas podem ser utilizadas para fazer uma melhor estimativa das
variáveis subamostradas (Isaacks; Srivastava, 1989, p. 400). Denomina-se corregionalização
a existência de duas ou mais variáveis regionalizadas medidas sobre um mesmo campo
aleatório (Olea, 1999, p. 209). Geralmente, o padrão de amostragem da variável mais bem
amostrada é mais regular que o da variável subamostrada (Olea, 1999, p. 401).
Para essas situações, a Geoestatística proporciona um conjunto de ferramentas para
coestimativas. Neste capítulo, serão vistos os métodos conhecidos genericamente como
cokrigagem, a cokrigagem ordinária e a cokrigagem colocalizada, bem como um tipo especial
de krigagem denominado krigagem com deriva externa. São denominadas variáveis primárias
aquelas de interesse na pesquisa, mas subamostradas, e variáveis secundárias aquelas que
podem ser usadas para melhorar a estimativa das variáveis primárias.
Segundo Wackernagel (1995, p. 144), as variáveis primária e secundária podem ser
medidas nos mesmos pontos ou em pontos diferentes, configurando três situações (Fig. 4.1):
• isotopia: as variáveis primária e secundária foram medidas nos mesmos pontos de
amostragem;
• heterotopia total: as variáveis primária e secundária foram medidas em diferentes
localizações;
• heterotopia parcial: as variáveis primária e secundária compartilham alguns pontos
comuns.
Para fins de ilustração das técnicas geoestatísticas de coestimativas, deve-se ter
conjuntos de dados contendo variáveis primária e secundária que sejam correlaciona-
das entre si. O ponto de partida, nesse caso, foi o Arquivo completo 1 (disponível em:
<http://lig.igc.usp.br/geoestatistica/anexob/download/Bell.txt>; Fig. 1.1), cuja informação foi
considerada como variável primária. Com base nesse arquivo, foi obtida uma amostra com
289 pontos, a qual foi usada para deteriorar a informação original de forma controlada e,
assim, gerar a variável secundária apresentando correlação com a primária. Nesse processo,
duas variáveis secundárias com alta e média correlação foram geradas.
GEOESTATÍSTICA: CONCEITOS E APLICAÇÕES — Prova 7 — 19/4/2013 — Maluhy&Co. — página (local 122, global #122)ii
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0
10
20
30
40
50
10 20 30 40 50X
Y
A
0
10
20
30
40
50
10 20 30 40 50X
Y
B
0
10
20
30
40
50
10 20 30 40 50X
Y
C
Fig. 4.1 Amostragens possíveis para as variáveis primária e secundária: A) isotopia; B) heterotopia parcial; C) heterotopia total. Círculo =variável primária; sinal de mais = variável secundária
A variável com alta correlação foi obtida graças ao ajuste de equações multiquádricas
(Hardy, 1971, p. 1.907-1.908) usando uma constante elevada (C2 = 100) que deteriora a
precisão da interpolação. A outra variável secundária, com média correlação, foi sintetizada
por meio do ajuste de uma superfície de tendência de grau 5 aos pontos da amostra.
A variável primária e as duas variáveis secundárias geradas formam conjuntos completos
(Fig. 4.2) compostos por 2.500 pontos distribuídos em uma malha regular de 50 por 50, os
quais constituem os dados sintéticos deste capítulo (Arquivo completo 2, disponível em: