UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA NÚCLEO DE ESTUDOS ESTATÍSTICOS E BIOMÉTRICOS GEOESTATÍSTICA BÁSICA E APLICADA EDNALDO CARVALHO GUIMARÃES Fevereiro - 2004 Uberlândia - MG
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UFU/FAMAT Geoestatística Básica e Aplicada
Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 1
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA
NÚCLEO DE ESTUDOS ESTATÍSTICOS E BIOMÉTRICOS
GEOESTATÍSTICA BÁSICA E APLICADA
EDNALDO CARVA LHO GUIMARÃES
Fevereiro - 2004 Uberlândia - MG
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Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães 1
SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO........................................................................................................... 2 2. ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS............................................................. 3 2.1. Distr ibuição de freqüências e histograma............................................................... 3 2.2. As estatísticas............................................................................................................. 3 2.3. Outras análises descritivas........................................................................................ 7 2.4. Amostragem........................................................................................................................................... 7 2.5. Exemplos de análise exploratór ia aplicando o programa GS+............................. 8 3. PRINCÍPIOS DA ANÁLISE GEOESTATÍSTICA.................................................. 14 3.1. Um breve histór ico.................................................................................................... 14 3.2. Estacionar idade......................................................................................................... 15 3.3. Kr igagem universal................................................................................................... 20 4. ANÁLISE DA DEPENDÊNCIA ESPACIAL............................................................ 21 4.1. Autocorre lação e Autocorre lograma....................................................................... 21 4.2. Semivar iograma......................................................................................................... 25 4.3. O uso do software GS+ na determinação do semivar iograma.............................. 36 4.4. Exemplos de aplicação............................................................................................... 41 5. KRIGAGEM................................................................................................................. 50 5.1. O interpolador ........................................................................................................... 50 5.2. A kr igagem no programa GS+................................................................................. 52 6. SEMIVARIOGRAMA CRUZADO E COKRIGAGEM.......................................... 55 6.1. Semivar iograma cruzado.......................................................................................... 55 6.2. Co-kr igagem.............................................................................................................. 56 6.3. Var iância da estimativa............................................................................................ 60 6.4. Número de vizinhos das estimativas........................................................................ 62 6.5. O uso do programa GS+ na determinação do semivar iograma cruzado,
da co-kr igagem e no mapeamento da var iável....................................................... 64
6.6. Exemplos de aplicação no GS+................................................................................ 67 7. VALIDAÇÃO DE MODELOS DE SEMIVARIOGRAMAS................................... 70 8. BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA......................................................................... 74
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1. INTRODUÇÃO Métodos clássicos de análise estatística de dados geralmente supõem que, as
realizações das variáveis aleatórias são independentes entre si, ou seja, que observações
vizinhas não exercem influências umas sobre as outras.
Fenômenos naturais apresentam-se freqüentemente com uma certa estruturação nas
variações entre vizinhos, desta forma pode-se dizer que as variações não são aleatórias e,
portanto, apresentam algum grau de dependência espacial.
A análise espacial de dados apresenta-se como uma alternativa e/ou como uma
complementação da análise clássica de dados, sendo que este tipo de análise considera as
correlações entre as observações quando se faz estimativas.
A literatura apresenta alguns procedimentos de análise espacial de dados, sendo que,
nos últimos tempos, uma metodologia de análise denominada “geoestatística” ganhou
ênfase neste tipo de estudo.
Neste trabalho serão abordados aspectos básicos da metodologia geoestatística para
a análise espacial de dados, com ênfase na análise do semivariograma como ferramenta de
determinação da dependência espacial.
Inicialmente serão abordados aspectos básicos de uma análise exploratória de
dados; em seguida serão introduzidos conceitos básicos da geoestatística e da análise da
dependência espacial por meio de semivariograma e também de interpolação utilizando a
metodologia da krigagem e, por fim serão abordados conceitos básicos de semivariogramas
cruzados e co-krigagem. Sempre que possível os tópicos serão acompanhados de exemplos
de aplicação.
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2. A ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS
A análise exploratória de dados é um procedimento de grande importância na
análise estatística e aplica-se para qualquer metodologia que se queira utilizar. Nesta
análise preliminar dos dados tem-se o objetivo de conhecer a variável em estudo e resumi-
la. Basicamente, este tipo de análise se baseia em construção e interpretação gráfica e
cálculos e interpretação de estatísticas.
No presente texto faremos uma revisão dos principais instrumentos de análise
exploratória de dados, sendo que estes procedimentos podem ser encontrados em cursos de
estatística básica e em livros de estatística básica como Costa Neto (1979), Bussab e
Morettin (1987), Triola (1999), Lopes (1999), entre outros.
2.1. A distr ibuição de freqüências e o histograma
A distribuição de freqüências consiste em agrupar as observações de uma variável
em classes ou categorias e o histograma é uma das representações gráficas dessa
distribuição. A distribuição de freqüências e o histograma podem ser obtidos em programas
computacionais comercias com o Excel, Statistica e em programas específicos para análise
geoestatística, como, por exemplo, o GS+.
A finalidade da distribuição de freqüências e do histograma é a de permiti r uma
visualização do comportamento da variável em estudo, com relação à tendência de
concentração de dados (tendência simétrica ou assimétrica). Esta tendência, principalmente
na análise não espacial de dados, pode direcionar procedimentos diferenciados de análise.
2.2. As estatísticas
O cálculo de estatísticas como a média, a variância, o desvio padrão, o coeficiente
de variação, valor mínimo, valor máximo, coeficiente de assimetria e coeficiente de
curtose, colaboram na descrição da variável. Passaremos a rever rapidamente estas
estatísticas.
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- A média ar itmética ( X )
A média aritmética é uma medida de posição bastante utilizada na estatística e tem
como características principais à facilidade de cálculo, a sua adaptabilidade ao tratamento
algébrico e, também, geralmente, é uma medida não tendenciosa, precisa, eficiente e
suficiente.
Vale ressaltar que nem sempre a média aritmética é a medida de posição que melhor
representa uma variável, por exemplo, em dados com assimetria à direita acentuada a moda
ou a média geométrica pode representar melhor a variável em estudo.
A fórmula para o cálculo da média é:
n
xX
n
ii∑
== 1
em que: X é a média aritmética; xi é cada valor observado; n é o número total de
observações.
- Var iância (s2) e desvio padrão (s)
A variância e o desvio padrão são estatísticas que nos fornece uma idéia de
variabilidade das observações em torno da média aritmética.
As fórmulas de cálculo são, respectivamente:
1
2
12
−
−=
∑=
n
)Xx(s
n
ii
2ss +=
Note que em interpretações de dados, ou seja, na análise descriti va a média
aritmética deve estar sempre acompanhada do desvio padrão para que possamos visualizar
a dispersão média dos valores.
- Coeficiente de var iação (CV)
O coeficiente de variação fornece a dispersão relativa dos dados, facilitando
visualizar a dimensão da dispersão dos valores observados em relação à média.
O coeficiente de variação é dado por:
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X
sCV 100(%) =
- Valor Mínimo e Valor Máximo
Estes valores permitem visualizar a menor ocorrência e a maior ocorrência e
podem ser um primeiro indicativo de erros de amostragem, digitação, etc..
A obtenção desses valores se faz a partir da ordenação das observações.
- Coeficiente de assimetr ia (Cs) e coeficiente de cur tose (Ck)
O coeficiente de assimetria mostra o afastamento da variável em relação a um valor
central, ou seja, na distribuição simétrica tem-se 50% dos valores observados acima da
observação central e 50% abaixo. Se a distribuição é assimétrica, esta relação não é
observada.
O coeficiente de curtose mostra a dispersão (achatamento) da distribuição em
relação a um padrão, geralmente a curva normal.
Estes dois coeficientes são utilizados para inferências sobre a normalidade da
variável em estudo.
Antes de definirmos estes dois coeficientes e tecermos comentários sobre eles
vamos definir os momentos estatísticos.
Se x1, x2, ... ,xn são os n valores assumidos pela variável X, definimos o momento de
ordem t dessa variável como:
n
xM
n
i
ti
t
∑== 1
Note que se t=1 temos a média aritmética, ou seja, a média aritmética é igual ao
primeiro momento em relação à origem.
O momento de ordem t centrado em uma constante K , com K ≠ 0 é definido como:
n
KxM
n
i
ti
Kt
∑=
−= 1
)(
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Observe que: se t = 1 e K = X , temos 011 == mM X (propriedade da média
aritmética) e, se t =2 e K = X , temos XM 2 = m2 = σ2.
Vamos definir agora o coeficiente de assimetria (Cs) e o coeficiente de curtose
(Ck).
O coeficiente de assimetria é utilizado para caracterizar como e quanto à
distribuição de freqüências se afasta da simetria, sendo que: se Cs > 0 temos a distribuição
assimétrica à direita; se Cs < 0 a distribuição é assimétrica à esquerda; e se Cs = 0 a
distribuição é simétrica.
O momento centrado na média de ordem 3 pode ser utilizado como medida de
assimetria, entretanto, é mais conveniente a utilização de uma medida admensional e que
será chamada de coeficiente de assimetria:
32
3
)(m
mCs =
Em que m2 e m3 são, respectivamente, o segundo e o terceiro momento centrados
na média.
O coeficiente de curtose é utilizado para caracterizar a forma da distribuição de
freqüências quanto ao seu “achatamento” . O termo médio de comparação é a distribuição
normal e esta apresenta o valor de Ck = 3. A classificação da distribuição quanto à curtose
recebe a seguinte denominação: se Ck = 3 a distribuição é mesocúrtica (distribuição
normal); se Ck < 3 a distribuição é platicúrtica; e se Ck > 3 a distribuição é leptocúrtica. Em
alguns programas computacionais como o Excel, Statistica e GS+ existe uma padronização
do valor de Ck e o valor de comparação é o zero, portanto, se Ck = 0 temos a mesocúrtica,
se Ck < 0 temos a platicúrtica e se Ck > 0 temos a leptocúrtica.
Para verificar o termo de comparação é necessário consultar o manual ou a "ajuda"
do programa.
A fórmula para cálculo de Ck é :
42
4
)(m
mCk =
sendo que: m4 é o quarto momento em relação à média aritmética.
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Para uma melhor interpretação do coeficiente de assimetria e do coeficiente de
curtose, alguns programas, como o GS+, calcula também o erro padrão desses coeficientes
e a partir dos valores dos coeficientes associados com seus respectivos erros padrão, pode-
se concluir se os dados tem distribuição normal ou não. Por exemplo: Se o valor obtido na
amostra para Cs = 0,30 com erro padrão de 0,65 e se o valor de Ck = 2,5 com erro padrão de
0,80, podemos dizer que a distribuição tende a normal (simétrica e mesocúrtica), pois
0,3±0,65 e 2,5±0,80, incluem os valores zero e três, respectivamente.
2.3. Outras análises descritivas
As análises descritas acima são as mais comuns e as que freqüentemente são usadas
como análise exploratória dos dados. Entretanto outros recursos podem ser aplicados como,
por exemplo: gráfico box-plot; gráficos da distribuição normal; gráfico h-dispersão, outras
Faça a análise da macroporosidade usando como covariável a umidade de saturação.
Solução:
A análise descriti va geral para as variáveis analisadas é apresentada na Tabela
abaixo.
Verifica-se que a umidade de saturação apresenta maior uniformidade (menor CV)
do que a macroporosidade. Os coeficientes de assimetria e de curtose mostram tendência
simétrica e mesocúrtica das variáveis, portanto, pode-se considerar tais variáveis com
distribuição de probabilidade aproximadamente normal.
Analisando a relação linear entre a macroporosidade e a unidade de saturação,
obteve-se um coeficiente de correlação linear (r) de 0,9132, indicando que existe uma forte
associação positi va entre macroporosidade e umidade de saturação e, portanto, estimativas
da macroporosidade podem ser feitas com base na umidade de saturação.
Análise descriti va dos atributos umidade de saturação do solo (USat) e macroporos
(MACRO).
Atributos Estatísticas
Usat (%) MACRO (%)
n 64 45
Média 50,54 22,50
Desvio Padrão 6,41 5,98
Coef. de Variação 12,68 26,57
Coef. de Assimetria -0,02 -0,02
Coef. de Curtose -0,31 -0,33
As Figuras mostram os semivariogramas individuais para as variáveis umidade de
saturação (USat) e macroporos e o semivariograma cruzado da MACRO, usando como co-
variável a USat.
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Semivariograma para a umidade de
saturação do solo (USat).
Semivariograma para a macroporosidade do
solo
Semivariograma cruzado da macro em
função da umidade de saturação.
Para a umidade de saturação ajustou-se o modelo exponencial com alcance da
dependência espacial de 34,20 m, efeito pepita de 9,49 (%)² e patamar de 38,59 (%)². Para a
macroporosidade (MACRO) o modelo adotado foi o esférico, com alcance de 45,0 m,
efeito pepita de 19,70 (%)² e patamar de 38,7 (%)². E para o semivariograma cruzados as
estimativas dos parâmetros do modelo exponencial foram: alcance de 23,40 m; efeito pepita
de 6,97 (%)² e patamar de 34,08 (%)².
Verifica-se que a utilização da umidade de saturação, como uma co-variável para a
estimativa da macroporosidade, provocou alteração no alcance da dependência espacial,
mas ainda assim verifica-se que, a correlação espacial deve ser considerada para a
realização das estimativas. A alteração do alcance pode estar relacionado aos modelos
individuais diferenciados.
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As Figuras a seguir mostram os mapas da macroporosidade do solo, construídos a
partir da krigagem e da co-krigagem, ou seja, com base no semivariograma individual e
cruzado.
Mapa da macroporosidade do solo usando
semivariograma individual
Mapa da macroporosidade do solo, usando
semivariograma cruzado
Verifica-se coincidência relativamente alta entre as áreas de ocorrência da
macroporosidade. Devido ao processo de estimativa por co-krigagem algumas regiões são
subestimatadas e outras regiões são superestimadas.
7. VALIDAÇÃO DE MODELOS DE SEMIVARIOGRAMAS
O ajuste do semivariograma, como já comentamos, é um procedimento que fica a
critério do pesquisador, mas geralmente é feito "a sentimento". Para este tipo de ajuste
podemos utilizar algumas técnicas chamadas de validação cruzada ou de auto validação para
selecionar o semivariograma adequadamente. Recomenda-se que se ajuste vários modelos e
que seja selecionado o que melhor se adeque aos seguintes critérios:
a) O gráfico 1:1 - Medido vs Estimado
Se para cada um dos n locais onde se tem um valor medido Z(xi), estima-se um valor
através da krigagem (ou da co-krigagem), Z*(ti), então poder-se-á fazer um gráfico dos valores
pareados de Z(ti), Z*(ti) e calcular a regressão linear entre eles. A regressão será então:
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)t Z(b+a = )t(Z ii*
onde a é a intercessão, b é o coeficiente angular da reta e r2 é o coeficiente de correlação entre
Z*(xi) e Z(xi).
Assim, se a estimativa (Z*(xi)) fosse idêntica ao valor medido (Z(xi)), então a seria
nulo, b e r2 seriam iguais à unidade (um), e o gráfico de Z(xi) vs Z*(xi) seria uma série de
pontos na linha 1:1. Na medida em que os valores de a aumentam de 0 (zero) para valores
positivos, isto indica que estimador Z*(xi) está superestimando valores pequenos de Z(xi) e
subestimando valores grandes. À medida que a decresce de 0 (zero) para valores negativos, o
contrário acontece. Este último caso, porém, não é comum.
Desse modo, a qualidade da estimativa pode ser medida pelo julgamento destes
parâmetros.
b) O erro absoluto
Uma vez que se tem o conjunto de n valores medidos e estimados, Z(xi) e Z*(xi),
então pode-se definir o erro absoluto como:
EA( x ) = Z ( x )- Z( x )i*
i i O
Aplicando-se as condições de não tendência e de variância mínima, nos erros
absolutos, pode-se então dizer que:
EA = E {EA( x )} = E { Z ( x )- Z( x )} = 0i*
i i P
e
VAR( EA) = E {( Z ( x )- Z( x ) ) } = mÍnima*i i
2
Q
Se estas condições não forem satisfeitas, então alguma das condições previamente
assumidas estará sendo violada. Porém, a equação é bastante difícil de ser verificada porque o
conceito de ser mínimo torna-se subjetivo quando não se tem uma referência. O procedimento
seguinte pode contribuir nesse sentido.
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c) Erro reduzido
Lembrando que no cálculo dos valores estimados, Z*(xi), sempre se tem a variância
da estimativa, σ2k(ti), então pode-se definir o erro reduzido como:
)t())/tZ(-)(tZ( = )tER( ikii*
i σ R
A divisão pela raiz quadrada da variância da estimativa faz com que os ER(ti) sejam
sem dimensão e que, por isso, as condições de não tendência e de variância mínima, requeiram
que:
ER = E {ER( x )} = E {( Z ( x )- Z( x )) / ( x )} = 0i*
i i k iσ S
e
VAR( ER) = E {( Z ( x )- Z( x )) / ( x ) } = 1*i i k 0
2σ T
Estas propriedades fazem deste tipo de erro uma valiosa ferramenta e de fácil uso,
nas aplicações de geoestatística. O fato de terem valores ideais fixos em 0 (zero) e 1 (um), e
de serem sem dimensão, facilita seu julgamento e estudo, e também permite sua comparação
com outras situações expressas em unidades diferentes.
A Figura 23 mostra uma saída da opção de validação cruzada apresentada pelo
programa GS+. A validação cruzada é ativada na janela da Krigagem, conforme mostram a
Figuras 20 e 22.
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Figura 23. Validação cruzada.
Note, neste caso, que a reta ajustada está praticamente igual a reta a 45º (Gráfico
1:1), o coeficiente de regressão (coeficiente angular) de 0,944 com erro padrão de 0,105
indica que este é estatisticamente igual a 1 e o y intercept (coeficiente linear) de 0,024
mostra que este pode ser considerado estatisticamente igual a zero, condições estas ótimas
para as estimativas. O coeficiente de determinação (r2) de 0,39 é considerado relativamente
baixo, mas devido ao grande número de observações e sabendo-se que este coeficiente é
altamente influenciado pelo número de pares, podemos considera-lo como satisfatório.
Também pode-se verificar, pelo gráfico, que os valores extremos é que estão mais afastados
da reta e podemos associar isto ao fato do semivariograma geralmente apresentar melhores
estimativas para distâncias curtas.
A análise da validação cruzada deve ser feita com base em todos os parâmetros e
não com base em parâmetros isolados.
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8. BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA
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