FUNGSI TRANSFER Peramalan (forecasting) merupakan sasaran dari analisis data dalam kawasan waktu, yang diperlukan untuk perancangan (planing) dan proses kontrol. Peramalan data deret waktu banyak dilakukan pada masalah-masalah manajemen, sistem inventory, pengontrolan kualitas, dan analisis investasi. Banyak prosedur peramalan data deret waktu yang bisa dilakukan, dan secara umum dapat diklasifikasikan atas tiga macam, yaitu peramalan secara 1. Subjektif. Peramalan secara subjektif dilakukan hanya dengan mengandalkan daya intuisi dan kemampuan daya nalar, sehingga pengalaman dan keahlian dalam menangani persoalan data deret waktu sangat menentukan akurasi hasil. Peramalan subjektif bukan sebuah metode statistis atau matematis yang bisa dipelajari secara keilmuan, sehingga metode ini tidak dijadikan objek dalam analisis data deret waktu. 2. Univariat Peramalan univariat adalah peramalan yang didasarkan pada sampel data deret waktu univariat, dengan memperhatikan model hubungan antar pengamatan dan proses ekstrapolasi atau transformasi data. Proses peramalan ini banyak digunakan dalam persoalan bidang ekonomi, dan perdagangan. Peramalan mengenai hasil penjualan suatu produk biasa dinamakan naive atau projeksi. Peramalan univariat merupakan metode peramalan principal dalam analisis data deret waktu. 3. Multivariat
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
FUNGSI TRANSFER
Peramalan (forecasting) merupakan sasaran dari analisis data dalam kawasan waktu,
yang diperlukan untuk perancangan (planing) dan proses kontrol. Peramalan data deret waktu
banyak dilakukan pada masalah-masalah manajemen, sistem inventory, pengontrolan kualitas,
dan analisis investasi. Banyak prosedur peramalan data deret waktu yang bisa dilakukan, dan
secara umum dapat diklasifikasikan atas tiga macam, yaitu peramalan secara
1. Subjektif.
Peramalan secara subjektif dilakukan hanya dengan mengandalkan daya intuisi dan
kemampuan daya nalar, sehingga pengalaman dan keahlian dalam menangani persoalan data
deret waktu sangat menentukan akurasi hasil. Peramalan subjektif bukan sebuah metode
statistis atau matematis yang bisa dipelajari secara keilmuan, sehingga metode ini tidak
dijadikan objek dalam analisis data deret waktu.
2. Univariat
Peramalan univariat adalah peramalan yang didasarkan pada sampel data deret waktu
univariat, dengan memperhatikan model hubungan antar pengamatan dan proses ekstrapolasi
atau transformasi data. Proses peramalan ini banyak digunakan dalam persoalan bidang
ekonomi, dan perdagangan. Peramalan mengenai hasil penjualan suatu produk biasa
dinamakan naive atau projeksi. Peramalan univariat merupakan metode peramalan principal
dalam analisis data deret waktu.
3. Multivariat
Seperti sudah dikemukakan, analisis data deret waktu merupakan analisis univariat,
sehingga jika dimiliki data deret waktu multivariat, maka proses yang dilakukan adalah
mentransformasikan pengamatan multivariat menjadi sebuah model univariat, atau
mengadaptasi peramalan univariat dalam sistem multivariat, sehingga analisis dilakukan
dalam bentuk persamaan (model) matriks atau vektor. Peramalan multivariat pada prinsipnya
adalah pengembangan dari peramalan univariat. Walaupun prosedur peramalan
diklasifikasikan dalam tiga macam, tetapi dalam prakteknya analisis peramalan merupakan
kombinasi dari minimal dua prosedur. Misalnya, peramalan univariat sering dilakukan untuk
mengembangkan atau memperbaiki hasil dari peramalan subjektif, dan peramalan multivariat
dilakukan sebagai pengembangan dari peramalan univariat. Sebagai contoh, peramalan dalam
bidang pemasaran, model peramalan mengenai volume penjualan merupakan gabungan dari
peramalan mengenai frekuensi iklan, pangsa pasar, harga, bentuk, kualitas, dan variabel-
variabel lain yang berhubungan dengan volume penjualan.
Proses peramalan akan berhubungan dengan apa yang dinamakan waktu mendatang
(lead time) dan konsepsi peramalan jangka pendek (short term), yaitu peramalan dengan lead
time yang cukup kecil jika dibandingkan dengan panjang waktu pengamatan. Misal dalam
persoalan persediaan barang (stock control), peramalan jangka pendek adalah peramalan
ketersediaan barang dengan lead time antara waktu pemesanan sampai pengantaran, yang
biasanya memerlukan waktu beberapa minggu atau bulan. Sebelum memilih prosedur
peramalan yang akan dilakukan, perlu untuk memperhatikan maksud dan tujuan peramalan,
waktu, biaya, dan banyaknya data yang tersedia untuk menentukan lead time yang layak
diambil, sehingga proses peramalan menjadi efektif dan efisien.
Peramalan data deret waktu pada dasarnya adalah univariat, sedangkan dalam
kenyataannya sebagian besar pengamatan merupakan data multivariate. Misal dalam bidang
pemasaran, volume penjualan bergantung pada cara pemasaran, bentuk promosi dan daerah
pemasaran yang masing-masing faktor tersebut lebih dari satu macam, sehingga jika analisis
peramalan hanya didasarkan pada volume penjualan saja tanpa memperhatikan faktor-faktor
yang mempengaruhinya maka informasi untuk pembuatan ukuran keberhasilan pemasaran
apalagi untuk keperluan proses control dan perencanaan menjadi tidak lengkap sehingga
tujuan peramalan tidak tercapai secara utuh. Salah satu upaya menganalisis data deret waktu
multivariat agar diperoleh hasil yang dapat memberikan informasi yang lengkap dan simultan
adalah dengan mentransformasikan menjadi model univariat melalui proses model fungsi
transfer yang konsepsinya didasarkan pada data bivariat. Jika sampel data deret waktu adalah
multivariat maka
1. Mentransformasikan data multivariat menjadi data univariat melalui model fungsi
transfer, jika data berautokorelasi
2. Metode analisis regresi multiple jika tidak berautokorelasi
3. Mengadopsi analisis peramalan univariat dan analisis matriks (vektor) sehingga proses
pemodelan untuk membangun sebuah ramalan dilakukan berdasarkan analisis regresi
deret waktu vektor
Misalkan V t=( X t ,Y t )' adalah data deret waktu bivariat dengan X t dan Y t masing-masing
stasioner atau hasil proses stasioner yang membangun sebuah hubungan sistem filter linier
Y t=v ( B ) X t+η t(¿)
Persamaan di atas disebut model fungsi transfer atau model ARMAX dengan
X t ,t=1,2 , … : deret variabel masukan (input variable)
Y t , t=1,2 , … : deret variabel keluaran (output variable)
B : operator backshift
v ( B )= ∑i=−∞
∞
v i Bi : fungsi transfer filter dimana |v i|≤ 1 , i=1,2, … yang merupakan pembobot
respon implus dan fungsi v i atas i merupakan fungsi respon implus.
ηt : kekeliruan (noise) yang merupakan variabel acak tidak terukur berdistribusi identik saling
bebas dengan rata-rata 0, variansi konstan σ 2 dan saling bebas dengan X t
Model fungsi transfer disebut stabil jika |v i| merupakan deret konvergen, ∑i|v i|<∞.
Persamaan (*) disebut sistem stabil jika ∑t|X t|<∞ sehingga ∑
t|Y t|<∞ dan persamaan (*)
disebut sistem kasual jika v i=0 untuk i<0. Suatu model dikatakan kasual jika keberadaan Y t
disebabkan pengaruh X t dari awal sampai akhir sepanjang sistem digunakan tetapi tidak
sebaliknya. Karena model – model kasual banyak ditemukan dalam persoalan dunia nyata
maka model kasual biasa disebut model realistis. Dalam prakteknya, sistem merupakan model
stabil atau kasual seperti dalam persamaan berikut
Y t=v 0 X t +v1 X t−1+v2 X t−2+…+ηt=v (B ) X t +ηt ¿
dimana X t dan ηt saling bebas dan v ( B )=v0+v1 B+v2 B2+…,|v0|+|v1|+…<∞
jika digambarkan sistem fungsi transfer sebagai berikut
Analisis fungsi transfer bertujuan untuk menaksirkan parameter dan mengidentifikasi model
dari fungsi transfer v (B) dan ηt berdasarkan sampel data bivariat ( x t , y t ) ' . Dalam prosesnya
muncul kesulitan karena ( x t , y t ) ' deret terbatas sedangakan v (B) deret tidak terbatas sehingga
untuk mengatasinya adalah menyajikan v (B) dalam bentuk pecahan
v ( B )=ωs (B ) Bb
ωr ( B )(∆)
dengan
ωs (B )=ω0−ω1 B−…−ωs B s
ωr (B )=1−ω1 B−…−ωr B r
ωidan ω j : parameter, b parameter kelambatan (delay) yang menyajikan lag waktu aktual
(actual time lag) yang lewat, sebelum impuls dari variabel masukan memberikan pengaruh
(effect) pada variabel keluaran. Penaksir untuk ω j jika sistem stabil adalah akar persamaan
ωr (B )=0 yang merupakan titik-titik di luar lingkaran satuan ¿). Jika ωs (B ) , ωr (B ) dan b sudah
diperoleh maka pembobt respon impuls v i ditaksir berdasarkan persamaan
ωr (B ) v ( B )=ωs ( B ) Bb
↔ (1−ω1 B−…−ωr Br ) (v0+v1 B+v2 B2+…)=(ω0−ω1 B−…−ωs B s )Bb
yang penyelesaiannya adalah
v j=0 jika j<b
v j=ω1 v j−1+ω2 v j−2+…−ωr v j−r+ω0 jika j=b
v j=ω1 v j−1+ω2 v j−2+…−ωr v j−r−ω j−b jika j=b+1 , b+2 , …, b+s
v j=ω1 v j−1+ω2 v j−2+…−ωr v j−r jika j=¿b+s
Hal ini berarti r buah pembobot respon implus, vb+s , vb+s−1 ,…,vb+s−r+1, merupakan jawaban
awal untuk persamaan diferensi ωr (B ) v j=0 , j>b+s(∎). Pembobot respon impuls untuk
persamaan (∆) yaitu:
1. b buah pertama bernilai 0, v0=v1=…=vb−1=0
2. s−r+1 buah berikutnya, vb , vb+1 , …, vb+ s−r ,tidak mengikuti pola yang tetap
3. r buah selanjutnya, vb+s−r+1 , vb+s−r+2 , …, vb+s adalah pembobot respon impuls sebagai
jawab awal persamaan (∎ )
4. v j , j>b+s jawab persamaan (∎ )
sehingga kesimpulannya,
1. b dicari berdasarkan fakta bahwa v j=0 , j<b danvb ≠ 0
2. r dicari berdasarkan pola dari pembobot respon impuls yang identik dengan mencari
orde k pada identifikasi model ARIMA (k,q,p) univariat melalui fungsi autokorelasi
3. untuk nilai b yang ditetapkan, jika r=0 maka nilai s dengan mudah dapat dicari
berdasarkan fakta, v j=0 , j>b+s sedangkan jika r ≠ 0 maka s dicari berdasarkan
telaahan pola kelambatan pembobot respon impuls dan nilai s adalah perkiraan
dimulainya kelambatan.
Berikut ini model-model fungsi transfer
(b , r , s ) Model Fungsi TransferPola Pembobot
ImpulsKesimpulan
(2,0,0) v ( B ) X t=ω0 X t−2
Fungsi transfer hanya memiliki
pembobot respon impuls yang
berhingga dimulai vb=ω0 dan
diakhiri vb+s=−ωs
(2,0,1) v ( B ) X t=(ω0−ω10−,0akar persamaan polinomeksponensial atau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B ) X t−2
(2,0,2) v ( B ) X t=(ω0−ω10−,0akar persamaan polinom eksponensialatau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA (k , q , p)u B−ω21 0−, 0 akar persamaan polinomeksponensial atau gelombang sinus yang bergantungpada nyakelambatan .fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B2 ) X t−2
(2,1,0) v ( B ) X t=ω0
(1−ω1 B )X t−2
Pembobot respon impuls
membangun pola penurunan
eksponensial dimulai dari vb jika
s=0 , vb+1 jika s=1 dan vb+2 jika
s=2
(2,1,1) v ( B ) X t=(ω0−ω10−, 0akar persamaan polinom eksponensial ataugelombang sinus yangbergantung pada nyakelambatan .fikasi model ARIMA (k , q , p )u B )
(1−ω1 B )X t−2
(2,1,2) v ( B ) X t=(ω0−ω10−, 0akar persamaan polinomeksponensial atau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan .fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B−ω2 1 0−,0 akar persamaan polinom eksponensial ataugelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA(k , q , p)u B2 )
(1−ω1 B )X t−2
(2,2,0) v ( B ) X t=ω0
(1−ω1 B−ω21 0−,0 akar persamaan polinom eksponensialatau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B2)X t−2
Pembobot respon impuls
membangun pola eksponensial
damped atau gelombang sinus
damped yang bergantung pada
sifat dasar dari akar persamaan
polinom
ω2 ( B )=1−ω1 B−ω2 B2=0
Pola eksponensial damped
diperoleh jika akar-akarnya riil
atau jika
(2,2,1) v ( B ) X t=(ω0−ω10−,0akar persamaan polinomeksponensial atau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B )
(1−ω1 B−ω21 0−,0 akar persamaan polinom eksponensialatau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B2)X t−2
(2,2,2)v ( B ) X t=
(ω0−ω10−, 0akar persamaan polinomeksponensial atau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan .fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B−ω2 1 0−, 0 akar persamaan polinom eksponensial ataugelombang sinus yangbergantung pada nyakelambatan .fikasi model ARIMA (k ,q , p )u B2 )(1−ω1 B−ω2 1 0−,0 akar persamaan polinomeksponensial atau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B2 )
X t−2
ω11 0−, 0 akar persamaan polinom eksponensial ataugelombang sinus yangbergantung pada nyakelambatan .fikasi model ARIMA (k ,q , p )u2+4 ω2 10−,0 akar persamaan polinomeksponensial atau gelombang sinus yang b ergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA (k ,q , p)u ≥ 0
dan gelombang sinus damped
jika akar-akarnya bilangan
kompleks atau jika X t dan Y t , t=0 , ± 1, ± 2 ,… dikatakan stasioner gabungan jikaX t dan Y t adalah proses
stasioner dan kovarians silang X t dengan Y t hanya merupakan fungsi atas selisih waktu (t−s)
. Kovarians silang X t dengan Y t didefinisikan oleh γ YX(k )=E ( X t−μx ) ( Y t+k−μy ) dimana μx dan
μy masing-masing rata-rata hitung X t dan Y t , k=0 , ±1 , ± 2,…. Karena γ YX(k ) merupakan
fungsi atas k, maka γ YX(k )=γ YX (k ) dan disebut sebagai fungsi kovarian silang. Jika variansX t
dan Y t masing-masing σ x2 dan σ y
2 maka ρYX (k )=γYX (k )σ x σ y
disebut fungsi korelasi silang yang
merupakan bentuk standarisasi dari fungsi kovarians silang.
Fungsi korelasi silang merupakan formulasi umum dari fungsi autokorelasi karena
γ YX(k )=γ YX (k ). Akan tetapi, fungsi autokorelasi merupakan bentuk simetris, ρX
(k)=ρX(−k ),
sedangkan fungsi korelasi silang tidak simetris, ρXX(k)≠ ρXX(−k). Jika nilai fungsi autokorelasi
sebagai ukuran kekuatan hubungan antar pengamatan maka nilai CCF selain sebagai ukuran
kekuatan hubungan antar variabel maka nilai fungsi korelasi silang sebagai ukuran kekuatan
hubungan antar variabel dan ukuran arah hubungan. Contohnya:
Perhatikan model AR(1) berikut
(1−ϕB ) X t=Z t
|ϕ|<1, Z t : kekeliruan dengan rata-rata 0 dan varians konstan σ 2serta saling bebas, B: operator
backshift
Karena (1−ϕB ) ≠ 0 maka X t=Zt
1−ϕB=Zt +φ Z t−1+φ2 Z t−2+…
Untuk t=t+k maka X t+ k=Z t+k
1−ϕB=Z t+k+φ Z t+k−1+φ2 Z t+k−2+… sehingga kovarians silang Z t
dan X t sama dengan
γ ZX (k )=E (Z t−μZ) ( X t+k−μX )=E ( Z t−E Z t ) ( X t+k−E X t+ k )=E ( Z t X t+k )=E (Z t1
1−ϕBZ t+k )= 1
1−φ2 E (Z t Z t+ k )={( 1−φ2) φk σZ2
1−φ2=φk σZ
2 jika k ≥ 0
0 jika k<0
Karena var (X ¿¿ t )=σ X2=
σZ2
1−φ2 ¿, maka korelasi silang Z t dan X t sama dengan
ρZX ( k )=γ ZX (k )σZ σ K
=√1−φ2
σ Z2 γ ZX (k )={φk √1−φ2 jika k ≥0
0 jika k<0
Dari cara di atas, dapat pula ditunjukkan bahwa korelasi silang Z t dan X t untuk model ARMA
(k,p) univariat merupakan bentuk khusus model fungsi transfer tanpa kekeliruan (noise)
karena Z t dan X t masing-masing deret masukan dan deret keluaran. Model ARMA (k,p)
univariat sebagai berikut X t=ψ p (B )ϕk ( B )
Z t
dimanaψ p (B )=1−ψB−…−ψ p BP ϕk (B )=1−ϕB−…−ϕk Bk
Perhatikan persamaan (**) berikut
Y t=v 0 X t +v1 X t−1+v2 X t−2+…+ηt
untuk t=t+k
Y t+k=v0 X t+k+v1 X t+k −1+v2 X t+ k−2+…+ηt+k
dikalikan X t dengan asumsi μX=μY=0
X t Y t+ k=v 0 X t X t+k+v1 X t X t+ k−1+v2 X t X t+k−2+…+ X t ηt+k
diekspetasikan
E ( X t Y t+k )=v0 E ( X t X t+k )+v1 E ( X t X t+k−1 )+v2 E ( X t X t+k−2 )+…+ E ( X t ηt+ k)
sehingga diperoleh kovarian silang X t dan Y t
γ XY (k )=v0 γ XX (k )+v1 γ XX (k−1 )+v2 γ XX (k−2 )+…
karena var (X )=σ X2 dan var (Y )=σ Y
2 maka korelasi silangnya
ρXY (k )=σ X
σ Y(v0 ρX (k )+v1 ρX (k−1 )+v2 ρX ( k−2 )+… )(ℶ )
Dari persamaan (ℶ)terlihat bahwa ρXY (k )dan v i (nilai fungsi respon impuls) terkotaminasi oleh
struktur autokorelasi dari deret masukan ( X t ) sehingga jika fungsi transfer v ( B )=ωs (B ) Bb
ωr ( B )
dengan r=0 dan hanya memiliki pembobot respon implus yang banyak berhingga maka
penaksir v iberdasarkan formula persamaan (ℶ) menjadi sulit karena varians-kovarians sampel
untuk menaksir ρXY (k ) juga terkontaminasi oleh struktur autokorelasi dari deret masukan ( X t )
sehingga pengujian keberartian ρXY (k ) dan vk juga menjadi sulit. Jika deret masukan ( X t )
adalah kekeliruan (noise) berarti ρX ( k )=0 untuk k ≠ 0 maka persamaan (ℶ) dapat direduksi
menjadi vk=σY
σ X
ρXY (k ) sehingga pembobot respon impuls, vk , merupakan proporsi langsung
dari korelasi silang ρXY (k ).
Jika sampel data deret waktu bivariat ( x t , y t ) , t=1,2 , …, n maka untuk membangun
model fungsi transfer sampel sebagai berikut:
1. Hitung rata-rata masing-masing variat x=1n∑t=1
n
x t , y=1n∑t=1
n
y t
2. Hitung kovarians silang sampel γ xy (k )={ 1n∑t=1
n−k
( x t−x ) ( y t+ k− y ) , k ≥ 0
1n∑
t=1−k
n
( x t−x ) ( y t+k− y ) , k<0
3. Hitung korelasi sampel ρ xy (k )=γ xy ( k )
√ γ xx (0 ) γ xx (0 )
4. Uji signifikansi korelasi silang berdasarkan rumusan hipotesis H 0 : ρ xy ( k )=0vs
H 1: ρxy (k )≠ 0, yang membandingkan ρ xy (k ) dengan sρxy(k ) (kekeliruan baku). Dengan