FUNGSI TRANSENDEN - eltatialdianisa | Just … · Web viewLogaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak hanya e, dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan

FUNGSI TRANSENDEN

I. Pendahuluan

I.1 Pokok Bahasan

Logaritma

Fungsi Eksponen

I.2 Tujuan

Mengetahui bentuk fungsi transenden dalam kalkulus.

Mengetahui dan memahami bentuk fungsi transeden yaitu logaritma dan

fungsi eksponen serta dalam perhitungannya.

Memahami dan menerapkan bentuk fungsi transeden yaitu logaritma dan

fungsi eksponen menggunakan program Mapel.

II. Landasan Teori

A. Logaritma

Sifat satu kesatu yang mengakibatkan fungsi untuk dan

mempunyai invers, yang dinamakan fungsi logaritma dengan bilangan dasar a, dan

ditulis

berdasarkan sifat invers diperoleh definisi logaritma berikut.

Sesuai dengan daerah asal dan daerah eksponen, untuk berlaku kondisi

dan . Karena grafik fungsi dan inversnya simetri terhadap garis y = x, maka

grafik fungsi logaritma diperoleh dengan mencerminkan kurva f (x) = ax terhadap

garis y = x.

a. Logaritma Natural

Logaritma natural adalah logaritma yang berbasis e, dimana e adalah

2.718281828459... (dan seterusnya). Logaritma natural terdefinisikan untuk semua

bilangan real positif x dan dapat juga didefinisikan untuk bilangan kompleks yang

bukan 0. Aturan pangkat, tidak dapat memberikan fungsi yang antiturunannya adalah

1/x. Tetapi, dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kitadapat mendefinisikan

fungsi melalui integral yang turunannya adalah 1/x.Fungsi ini kita sebut logaritma

natural dari x, ditulis ln x. Dapat dibuktikan, tapi tidak diberikan pada kuliah ini,

bahwa fungsi ini sama dengan fungsi logaritma berbasis e yang telah kita kenal di

SMA. Fungsi logaritma natural didefinisikan sebagai :

Notasi

Ahli matematika biasanya menggunakan "ln(x)" atau "log(x)" untuk

menotasikan loge(x), atau logaritma natural dari x, dan menggunakan "log10(x)"

untuk menotasikan logaritma berbasis 10 dari x.

Insinyur, ahli biologi, dan orang dalam bidang-bidang lain, hanya

menggunakan "ln(x)" atau kadang-kadang (untuk supaya lebih jelas) "loge(x)"

untuk menotasikan logaritma natural dari x, dan "log(x)" digunakan untuk

logaritma berbasis 10, log10(x) atau, dalam konteks teknik komputer, log2(x).

Kebanyakan bahasa komputer, termasuk C, C++, Fortran, dan BASIC, "log"

atau "LOG" berarti logaritma natural.

Pada kalkulator, tombol ln berarti logaritma natural, sedangkan tombol log

adalah untuk logaritma berbasis 10.

Sifat-sifat logaritma natural

Pada contoh sebelumnya telah kita lihat bahwa turunan dari ln5x sama dengan

turunan dari lnx yaitu 1/x. Fakta ini berguna untuk membuktikan teorema berikut.

Teorema

Jika a dan dan r bilangan rasional, maka

B. Ln sebagai invers fungsi eksponensial natural

Fungsi ln adalah invers dari fungsi eksponensial:

untuk semua x yang positif dan

     untuk semua x yang real.

Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak hanya e,

dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel tidak diketahuinya

merupakan pangkat dari variabel lain.

c. Mengapa disebut "natural"

Sekilas, tampaknya yang lebih "natural" tentunya adalah logaritma yang

berbasis 10, karena basis angka yang digunakan umumnya juga 10. Namun, ada dua

alasan mengapa ln(x) disebut logaritma natural: pertama, persamaan-persamaan yang

variable tak diketahuinya merupakan pangkat dari e jauh lebih sering dijumpai

dibanding yang merupakan pangkat dari 10 (karena sifat-sifat "natural" dari fungsi

eksponensial yang dapat menggambarkan growth/pertumbuhan dan

decay/penurunan), dan kedua, karena logaritma natural dapat didefinisikan dengan

mudah menggunakan integral yang dasar atau Deret Taylor (lihat penjelasan di

bawah), dan logaritma berbasis lainnya tidak dapat didefinisikan seperti ini.

Sebagai contoh, lihat turunan dibawah ini:

Jika basis b adalah e maka turunan yang didapat adalah 1/x dan jika x=1, kemiringan

kurva adalah 1.

d. Logaritma Umum

Sifat-sifat logaritma :1.

2.

3.

4.

5.

6.

e. Turunan logaritma natural

Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kita peroleh bahwa

Secara umum, dengan menggunakan Dalil Rantai kita peroleh bahwa:

B. Eksponen

a. Fungsi Eksponensial Natural

Fungsi eksponensial natural, y=exp(x), adalah inverse dari logaritma

natural.x=exp(y) y=ln x. Bilangan basis fungsi ini, ditulis e=exp(1) sehingga ln

e=1. Ekspansi desimal bilangan iniadalah e≈2,71828182845…

Dengan demikian,

Dari definisi langsung diperoleh bahwa

1. exp(ln x)=x, bila x>0.

2. ln(exp(x)) =x.

Perlu dicatat, bahwa e adalah bilangan transenden (dibuktikan oleh Euler),

yaitu tidak ada polinom p(x) sehingga p(e)=0. Kita dapat mengkonfirmasikan (saat ini

untuk bilangan rasional r), bahwa y=exp(x) adalah sebuah fungsi eksponesial.

er=exp(ln er)= exp(rln e)= exp(r) Sejauh ini kita telah mendefinisikan bilangan

pangkat dengan pangkat rasional. Untuk x irrasional, kita kembali pada definisi

fungsi eksponesial, yaitu

Jadi, untuk selanjutnya.

1. , untuk x>0.

2. , untuk tiap x.

b. Turunan dari exp(x)

Misalkan y=ex. Karena ln x dan exp(x) saling inverse, maka x=ln y. Apabila

kedua sisi didiferensialkan, dengan menggunakan Aturan Rantai, diperoleh bahwa

1=(1/y)Dxy atau Dxy =y .

Teorema

Sebagai akibat kita peroleh

Teorema

c. Fungsi Logaritma dan Eksponesial Umum

Kita telah berhasil mendefinisikan untuk tiap bilangan real x, termasuk .

Namun bagaimana dengan ? Kita akan memanfaatkan hubungan x=exp(ln x).

DefinisiJika dan adalah sebarang bilangan real, maka

Dengan demikian, kita peroleh bahwa

Catatan: definisi di atas memungkin kita untuk memperluas aturan

yang sebelumnya hanya berlakuuntuk r rasional.

d. Sifat-sifat

Sifat-sifat Fungsi Eksponen Diberikan dan sebarang bilangan real.

1.

2.

3.

4.

5.

Teorema fungsi eksponensial

e. Fungsi

Pada bagian ini kita akan membangun fungsi logaritma berbasis bilangan

positif a≠1, logax. Fungsi ini didefinisikan sebagai inverse dari fungsi eksponensial

.

Definisi

Misalkan , maka

Catatan: Hubungannya dengan logaritma biasa dapat diperoleh secara

berikut. Misalkan sehingga .

sehingga

Penerapan dalama maple

Logaritma

Eksponen

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. Fungsi Invers. http://bebas.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor Pendamping/Praweda/Matematika/0375%20Mat%201-4e.htm

Anonim. Matriks. http://id.wikipedia.org/wiki/Matriks_(matematika)

Anonim. Invers dan Matriks. http://grid.ui.ac.id/files/manual-portal/node10.html

Anonim. Mencari Fungsi Invers dan Matriks dengan Maple. http://ns1.cic.ac.id/~ebook/ebook/adm/myebook/0011.pdf

Dale Varberg, Edwin J.Purcell, I Nyoman Susila ; 2001; Kalkulus jilid 1; Batam; Penerbit Interaksara.