FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA S K R I P S I Disusun dalam Rangka Menyelesaikan Studi Strata 1 untuk memperoleh Gelar Sarjana Sains Oleh Nama : Susanto Nim : 4150403010 Program Studi : Matematika S1 Jurusan : Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2007
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA
S K R I P S I
Disusun dalam Rangka Menyelesaikan Studi Strata 1
untuk memperoleh Gelar Sarjana Sains
Oleh
Nama : Susanto
Nim : 4150403010
Program Studi : Matematika S1
Jurusan : Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2007
PENGESAHAN
SKRIPSI
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
Telah dipertahankan dihadapan Sidang Panitia Ujian Skripsi Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang pada:
Susanto. 4150403010. 2007. Fungsi Hiperbolik dan Inversnya. Skripsi. Program Studi Matematika. Jurusan Matematika.
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Negeri Semarang.
Dalam persoalan matematika terapan digunakan banyak sekali
kombinasi tertentu fungsi-fungsi eksponen dan . Sehingga fungsi-fungsi yang memuat kombinasi tersebut diberi nama khusus salah satunya adalah fungsi hiperbolik. Telah banyak buku-buku kalkulus yang menulis tentang fungsi hiperbolik, namun tidak banyak yang menulis tentang penurunan rumus atau formula dari fungsi hiperbolik. Permasalahan yang dikaji dalam penelitian ini adalah bagaimana membangun fungsi hiperbolik dan menentukan invers fungsi hiperbolik dan turunan serta anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya. Pertimbangan lebih jauh dari masalah ini adalah bahwa tidak semua fungsi hiperbolik mempunyai invers pada daerah asalnya. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui rumus atau formula fungsi hiperbolik dan inversnya serta turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya.
xe xe−
Penelitian ini dilakukan melalui tinjauan pustaka terhadap buku-buku atau literatur. Teori-teori yang digunakan sebagai dasar untuk menyelesaikan permasalahan dalam penelitian ini adalah teori tentang fungsi, limit fungsi, turunan dan integral, fungsi invers, fungsi logaritma serta fungsi eksponen. Dari pengertian tersebut, kemudian dibahas materi-materinya secara mendalam.
Hasil dari penelitian ini adalah fungsi hiperbolik dibangun oleh dua
fungsi p dan q dengan +→ RRp : ,2
)(xexp = dan +→ RRq : ,
2)(
xexq−
= .
Selanjutnya dibangun fungsi f dan g yang dinyatakan sebagai jumlah dan selisih dari fungsi p dan q, dengan demikian )()()( xqxpxf += dan
)()()( xqxpxg −= . Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi f dan g memiliki kemiripan dengan sifat-sifat fungsi trigonometri, salah satunya adalah kesamaan dasar fungsi yang memiliki kemiripan dengan sifat
pada fungsi trigonometri. Dengan mengacu pada sifat-sifat tersebut, kemudian dikembangkan suatu ide untuk menyatakan fungsi f dan g sebagai fungsi hiperbolik.
1)()( 22 =− xgxf1sincos 22 =+ xx
Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat sebagai bahan bacaan atau referensi bagi mahasiswa matemetika khususnya dan masyarakat pada umumnya. Kata Kunci : fungsi eksponen, fungsi hiperbolik, turunan, dan invers.
iii
MOTTO DAN PERUNTUKAN
MOTTO
With passion, with terminations, and with hard work we can to reach our dream
come true.
Remember, the problems ahead of you are never as great as the power behind
you.
PERUNTUKAN
Puji syukur kepada Allah swt atas terselesainya skripsi ini.
Kuperuntukan karya ini kepada:
1. Bapak Suyanto dan Ibu Kikis atas doanya
2. Semua Saudara dan Kerabat
3. Guru dan sahabatku
4. All My lovely friends..
iv
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas limpahan
petunjuk dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan
skripsi yang berjudul ”Fungsi Hiperbolik dan Inversnya”.
Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:
1. Drs. Kasmadi Imam S., M.S, Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang.
2. Drs. Supriyono, M.Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri
Semarang.
3. Drs. Moch Chotim, M.S, Pembimbing utama yang telah memberikan
bimbingan dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.
4. Drs. Wuryanto, M.Si, Pembimbing pendamping yang telah memberikan
bimbingan dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.
5. Bapak dan ibu yang senantiasa mendoakan serta memberikan dorongan baik
secara moral maupun spiritual dan segala yang tak ternilai.
6. Semua keluarga yang telah memberikan dukungan dan semangat serta doa
hingga terselesaikanya skripsi ini.
7. Teman-temanku Gandhi, Iwan, Bambang, dan semua angkatan 2003, terima
kasih atas semuanya.
8. Kelurga Besar ” Pandawa Kost ” Bapak Sodri sekeluarga, Rudi, Eko Budi,
dan Mas Arief yang tiada henti memotivasi penulis agar segera
menyelesaikan skripsi ini.
v
9. Orang-orang yang tanpa sengaja memberikan inspirasi, motivasi, dan
semangat agar cepat diselesaikannya skripsi ini.
Akhirnya penulis berharap skripsi ini bermanfaat dan dibaca.
Semarang, Agustus 2007
Penulis,
vi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i
HALAMAN PENGESAHAN........................................................................ ii
ABSTRAK ...................................................................................................... iii
MOTTO DAN PERUNTUKAN ................................................................... iv
KATA PENGANTAR.................................................................................... v
DAFTAR ISI................................................................................................... vii
DAFTAR GAMBAR...................................................................................... ix
BAB I PENDAHULUAN............................................................................ 1
A. Latar belakang .............................................................................. 1
B. Permasalahan................................................................................ 2
C. Tujuan penelitian.......................................................................... 2
D. Manfaat penelitian........................................................................ 2
E. Sistematika penulisn skripsi ......................................................... 3
BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................... 5
A. Fungsi ........................................................................................... 5
B. Limit Fungsi ................................................................................. 6
C. Kekontinuan Fungsi ..................................................................... 7
D. Turunan ........................................................................................ 9
E. Integral.......................................................................................... 14
F. Fungsi Invers, Logaritma, dan Eksponen..................................... 20
BAB III METODE PENELITIAN ............................................................... 32
A. Menentukan masalah.................................................................... 32
B. Merumuskan masalah................................................................... 32
C. Studi pustaka ................................................................................ 32
D. Analisis dan pemecahan masalah ................................................. 33
E. Penarikan simpulan ...................................................................... 33
vii
BAB IV PEMBAHASAN............................................................................... 34
A. Fungsi Hiperbolik......................................................................... 34
B. Turunan Fungsi Hiperbolik .......................................................... 42
C. Invers Fungsi Hiperbolik.............................................................. 46
D. Turunan Invers Fungsi Hiperbolik ............................................... 59
E. Anti Turunan Invers Fungsi Hiperbolik ....................................... 63
BAB V PENUTUP........................................................................................ 64
A. Simpulan....................................................................................... 64
B. Saran............................................................................................. 66
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 67
viii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1 Diagram fungsi ................................................. 1 RDf →:
Gambar 2 Grafik fungsi f kontinu di titik a.......................................... 8
Gambar 3 Grafik fungsi +→ RRp : ,2
)(xexp = ................................ 34
Gambar 4 Grafik fungsi +→ RRq : ,2
)(xexq
−
= ............................... 35
Gambar 5 Grafik fungsi ),0[: ∞→Rf , )()()( xqxpxf += ............. 35
Gambar 6 Grafik fungsi , RRg →: )()()( xqxpxg −= .................... 36
Gambar 7 Grafik fungsi )1,1(: −→Rf , xxf tanh)( = ..................... 41
Gambar 8 Grafik fungsi ),1()1,(: ∞∪−−∞→Rf , ..... 41 xxf coth)( =
Gambar 9 Grafik fungsi , ]1,0(: →Rf hxxf sec)( = ........................ 42
Gambar 10 Grafik fungsi , ......................... 48 RRf →: xxf 1sinh)( −=
Gambar 11 Grafik fungsi ),1[),0[: ∞→∞f , xxf cosh)( = ................ 49
Gambar 12 Grafik fungsi ),0[),1[: ∞→∞f , ............. 50 xxf 1cosh)( −=
Gambar 13 Grafik fungsi ),()1,1(: ∞−∞→−f , ......... 53 xxf 1tanh)( −=
Sifat-sifat dari fungsi f dan g yang diberikan pada sifat 4.1
memperlihatkan adanya kemiripan dengan sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi
trigonometri. Hal ini memberikan suatu ide untuk mendefinisikan fungsi f dan
g sebagai fungsi hiperbolik sebagai berikut.
Sifat 4.2
(1) Dipunyai RRf →: , fungsi sinus hiperbolik didefinisikan sebagai
2sinh
xx eex−−
= ,
(2) Dipunyai ),1[: ∞→Rf , fungsi cosinus hiperbolik didefinisikan sebagai
2cosh
xx eex−+
= ,
(3) Dipunyai )1,1(: −→Rf , fungsi tangen hiperbolik didefinisikan sebagai
xx
xx
eeee
xxx −
−
+−
==coshsinhtanh ,
(4) Dipunyai )1,(: −−∞→Rf ),1( ∞∪ , fungsi cotangen hiperbolik
didefinisikan sebagai
xx
xx
eeee
xxx −
−
−+
==sinhcoshcoth , dan
(5) Dipunyai ]1,0(: →Rf , fungsi secan hiperbolik didefinisikan sebagai
xx eexhx −+
==2
cosh1sec .
41
Gambar grafik fungsi tangen hiperbolik, cotangen hiperbolik, dan secan
hiperbolik masing-masing diberikan pada Gambar 7, Gambar 8, dan
Gambar 9.
Gambar 7. Grafik fungsi xxf tanh)( =
Gambar 8. Grafik fungsi xxf coth)( =
42
Gambar 9. Grafik fungsi hxxf sec)( =
B. TURUNAN FUGSI HIPERBOLIK
Berdasarkan sifat 4.2, diperoleh:
Teorema 4.1
(1) xdx
xd cosh)(sinh=
(2) xdx
xd sinh)(cosh=
(3) xhdx
xd 2sec)(tanh=
(4) xhdx
xd 2csc)(coth−=
(5) hxxdx
hxd sec.tanh)(sec−= .
Bukti:
(1) Dipunyai 2
sinhxx eex
−−= .
43
Jelas dx
eed
dxxd
xx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
=
−
2)(sinh
dxeed xx )(
21 −−
=
)(21 xx ee −+=
xcosh= .
Jadi xdx
xd cosh)(sinh= .
(2) Dipunyai 2
coshxx ee −+
= .
Jelas dx
eed
dxxd
xx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
=
−
2)(cosh
dxeed xx )(
21 −+
=
)(21 xx ee −−=
xsinh= .
Jadi xdx
xd sinh)(cosh= .
(3) Dipunyai 2
sinhxx eex
−−= dan
2cosh
xx ee −+= .
Jelas dx
xxd
dxxd
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= coshsinh
)(tanh
44
dxeeeed xx
xx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=−
−
2)(
)()()()(xx
xxxx
xxxx
eedx
eedeedx
eedee−
−−
−−
+
+−−
−+
=
2)())(())((
xx
xxxxxxxx
eeeeeeeeee
−
−−−−
+−−−++
=
2
22
)()()(
xx
xxxx
eeeeee
−
−−
+−−+
=
2
2
)()(1 xx
xx
eeee−
−
+−
−=
2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−= −
−
xx
xx
eeee
x2tanh1−=
xh2sec= .
Jadi xhdx
xd 2sec)(tanh= .
(4) Dipunyai 2
sinhxx eex
−−= dan
2cosh
xx ee −+= .
Jelas dx
xxd
dxxd
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= sinhcosh
)(coth
dxeeeed xx
xx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
=−
−
45
2)(
)()()()(xx
xxxx
xxxx
eedx
eedeedx
eedee−
−−
−−
−
−+−
+−
=
2)())(())((
xx
xxxxxxxx
eeeeeeeeee
−
−−−−
−++−−−
=
2
22
)()()(
xx
xxxx
eeeeee
−
−−
−+−−
=
2
2
)()(1 xx
xx
eeee−
−
−+
−=
2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
−= −
−
xx
xx
eeee
x2coth1−=
xh 2csc−= .
Jadi xhdx
xd 2csc)(coth−= .
(5) Dipunyai 2
coshxx ee −+
= .
Jelas dx
xd
dxhxd
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= cosh1
)(sec
dxee
d xx ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+=−
2
2)(
)(2)2()(xx
xxxx
eedx
eeddx
dee−
−−
+
+−+
=
2)()(2
xx
xx
eeee
−
−
+−−
=
46
)(2
)()(
xxxx
xx
eeeeee
−−
−
++−
−=
hxx sec.tanh−= .
Jadi hxxdx
hxd sec.tanh)(sec−= .
C. INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Fungsi invers sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik, tangen hiperbolik,
cotangen hiperbolik, dan secan hiperbolik, masing-masing dinyatakan dengan
1sinh − , 1cosh − , 1tanh − , 1coth − , dan 1sec −h , didefinisikan sebagai
(1) yxxy sinhsinh 1 =⇔= − ,
(2) yxxy coshcosh 1 =⇔= − ,
(3) yxxy tanhtanh 1 =⇔= − ,
(4) yxxy cothcoth 1 =⇔= − , dan
(5) hyxxhy secsec 1 =⇔= − .
Lebih jauhnya tentang invers fungsi hiperbolik disajikan dalam uraian
berikut.
(1) Invers Fungsi Sinus Hiperbolik
Dipunyai RRf →: , xxf sinh)( = .
Ambil sembarang 2121 ,, xxRxx ≠∈ .
Jelas 2121 sinhsinh)()( xxxfxf −=−
22
2211 xxxx eeee −− −−
−=
47
02
)()( 1221
≠−+−
=−− xxxx eeee .
Jadi fungsi f satu-satu.
Berikutnya ditunjukan f fungsi pada.
Ambil sembarang Rx∈ .
Tulis yx sinh= , untuk suatu Ry∈ .
Jelas 2
yy eex−−
=
yy eex −−=⇔ 2
)(2 yyyy eeexe −−=⇔
12 2 −=⇔ yy exe
0122 =−−⇔ xee yy
[ ] 0)1(2)( 222 =+−+−⇔ xxxee yy
( ) 01)(2
22 =+−−⇔ xxe y
22 11 xxexxe yy ++=∨+−=⇔ .
Jelas )1ln(1 22 xxyxxe y ++=⇔++= .
Jadi )()1ln( 2 yfxRxxyRx =∋∈++=∃∈∀ .
Jadi f suatu fungsi pada.
Jadi RRf →: , xxf sinh)( = memiliki invers.
Jelas yxxy sinhsinh 1 =⇔= −
Jadi )1ln(sinh 21 xxx ++=− .
48
Gambar grafik fungsi RRf →: , xxf 1sinh)( −= diberikan pada
Gambar 10.
Gambar 10. Grafik fungsi xxf 1sinh)( −=
(2) Invers Fungsi Cosinus Hiperbolik
Dipunyai ),1[: ∞→Rf , xxf cosh)( = .
Ambil Rxx ∈=−= 1,1 21 .
Jelas 21 xx ≠ .
akan tetapi )()1(2
)1()( 2
1
1 xffeefxf ==+
=−=−
.
Jadi f bukan fungsi satu-satu.
Jadi fungsi ),1[: ∞→Rf , xxf cosh)( = tidak memiliki invers.
Agar f memiliki invers maka kita definisikan f sebagai
),1[),0[: ∞→∞f , xxf cosh)( = .
49
Grafik fungsi ),1[),0[: ∞→∞f , xxf cosh)( = diberikan pada
Gambar 11.
Gambar 11. Grafik fungsi ),1[),0[: ∞→∞f
xxf cosh)( =
Jelas 0)(' >xf ),0[ ∞∈∀ x .
Jadi f monoton naik pada daerah asalnya.
Jadi fungsi ),1[),0[: ∞→∞f , xxf cosh)( = memiliki invers.
Ambil sembarang ),0[ ∞∈x .
Tulis yx cosh= , untuk suatu ),1[ ∞∈y .
Jelas 2
yy eex−+
=
yy eex −+=⇔ 2
)(2 yyyy eeexe −+=⇔
50
12 2 +=⇔ yy exe
0122 =+−⇔ xee yy
[ ] 0)1(2)( 222 =−−+−⇔ xxxee yy
( ) 01)(2
22 =−−−⇔ xxe y
11 22 −+=∨−−=⇔ xxexxe yy .
Jelas )1ln(1 22 −+=⇔−+= xxyxxe y .
Jadi )(),1[)1ln(),0[ 2 yfxxxyx =∋∞∈−+=∃∞∈∀ .
Jelas yxxy coshcosh 1 =⇔= − .
Jadi )1ln(cosh 21 −+=− xxx .
Gambar grafik fungsi ),0[),1[: ∞→∞f , xxf 1cosh)( −= diberikan
pada Gambar 12.
Gambar 12. Grafik fungsi xxf 1cosh)( −=
51
(3) Invers Fungsi Tangen Hiperbolik
Dipunyai fungsi )1,1(: −→Rf , xxf tanh)( = .
Ambil sembarang 2121 ,, xxRxx ≠∈ .
Jelas 2121 tanhtanh)()( xxxfxf −=−
22
22
11
11
xx
xx
xx
xx
eeee
eeee
−
−
−
−
+−
−+−
=
))(())(())((
2211
11222211
xxxx
xxxxxxxx
eeeeeeeeeeee
−−
−−−−
+++−−+−
=
0≠ .
Jadi fungsi f satu-satu.
Selanjutnya ditunjukan f suatu fungsi pada.
Ambil sembarang Rx∈ .
Tulis yx tanh= , untuk suatu )1,1(−∈y .
Jelas yy
yy
eeeex −
−
+−
=
yyyy eeeex −− −=+⇔ )(
)()( yyyyyy eeeeexe −− −=+⇔
1)1( 22 −=+⇔ yy eex
0)1(1 22 =+−−⇔ yy exe
0122 =−−−⇔ xxee yy
0)1()()( 22 =+−−⇔ xexe yy
1))(1( 2 +=−⇔ xex y
52
xxe y
−+
=⇔1
1)( 2
xxe y
−+
=⇔11ln)ln( 2
xxey
−+
=⇔11lnln..2
xxy
−+
=⇔11ln.2
xxy
−+
=⇔11ln
21 .
Jadi )()1,1(11ln
21 yfx
xxyRx =∋−∈
−+
=∃∈∀ .
Jadi f suatu fungsi pada.
Jadi fungsi )11(: −→Rf , xxf tanh)( = memiliki invers.
Jelas yxxy tanhtanh 1 =⇔= − .
Jadi xxx
−+
=−
11ln
21tanh 1 .
Gambar grafik fungsi ),()1,1(: ∞−∞→−f , xxf 1tanh)( −=
diberikan pada Gambar 13.
53
Gambar 13. Grafik fungsi xxf 1tanh)( −=
(4) Invers Fungsi Cotangen Hiperbolik
Dipunyai )1,(: −−∞→Rf ),1( ∞∪ , xxf coth)( = .
Ambil sembarang 2121 ,, xxRxx ≠∈ .
Jelas 2121 cothcoth)()( xxxfxf −=−
22
22
11
11
xx
xx
xx
xx
eeee
eeee
−
−
−
−
−+
−−+
=
))(())(())((
2211
11222211
xxxx
xxxxxxxx
eeeeeeeeeeee
−−
−−−−
−−−+−−+
=
0≠ .
Jadi fungsi f satu-satu.
Selanjutnya ditunjukan f suatu fungsi pada.
Ambil sembarang Rx∈ .
Tulis yx coth= , untuk suatu )1,( −−∞∈y ),1( ∞∪ .
54
Jelas yy
yy
eeeex −
−
−+
=
yyyy eeeex −− +=−⇔ )(
)()( yyyyyy eeeeexe −− +=−⇔
1)1( 22 +=−⇔ yy eex
0)1(1 22 =−−+⇔ yy exe
0122 =++−⇔ xxee yy
0)1()()( 22 =++−⇔ xexe yy
)1())(1( 2 +−=−⇔ xex y
xxe y
−−−
=⇔1
1)( 2
11)( 2
+−−−
=⇔xxe y
11)( 2
−+
=⇔xxe y
11ln)ln( 2
−+
=⇔xxe y
11lnln..2
−+
=⇔xxey
11ln.2
−+
=⇔xxy
11ln
21
−+
=⇔xxy .
Jadi )1,(11ln
21
−−∞∈−+
=∃∈∀xxyRx )(),1( yfx =∋∞∪ .
Jadi f suatu fungsi pada.
55
Jadi fungsi )1,(: −−∞→Rf ),1( ∞∪ , xxf coth)( = memiliki invers.
Jelas yxxy cothcoth 1 =⇔= − .
Jadi xxx
−+
=−
11ln
21coth 1 .
Gambar grafik fungsi ),(),1()1,(: ∞−∞→∞∪−−∞f ,
xxf 1coth)( −= diberikan pada Gambar 14.
Gambar 14. Grafik fungsi xxf 1coth)( −=
(5) Invers Fungsi Secan Hiperbolik
Dipunyai ]1,0(: →Rf , hxxf sec)( = .
Ambil Rxx ∈=−= 1,1 21 .
Jelas 21 xx ≠ .
akan tetapi )()1(2)1()( 211 xffee
fxf ==+
=−= − .
56
Jadi f bukan fungsi satu-satu.
Jadi fungsi ]1,0(: →Rf , hxxf sec)( = tidak memiliki invers.
Agar f memiliki invers maka kita definisikan f sebagai
]1,0(),0[: →∞f , hxxf sec)( = .
Grafik fungsi ]1,0(),0[: →∞f , hxxf sec)( = diberikan pada
Gambar 15.
Gambar 15. Grafik fungsi ]1,0(),0[: →∞f
hxxf sec)( =
Jelas 0)(' <xf ),0[ ∞∈∀ x .
Jadi f monoton turun pada daerah asalnya.
Jadi fungsi ]1,0(),0[: →∞f , hxxf sec)( = memiliki invers.
Ambil sembarang ),0[ ∞∈x .
Tulis hxy sec= , untuk suatu ]1,0(∈y .
57
Jelas yy eex −+=
2
2)( =+⇔ − yy eex
yyyy eeexe 2)( =+⇔ −
yy eex 22 2)1( =+⇔
02 22 =−+⇔ yy exxe
02)( 2 =+−⇔ xeex yy
xxxe y
2.442
12−±
=⇔
xxe y
2442 2
12−±
=⇔
xx
e y
2)1(42 2
12
−±=⇔
xx
e y
2)1(22 2
12
−±=⇔
xx
e y )1(1 2
12
−±=⇔
xxe y
2
111 −+
=⇔ atau x
xe y2
211 −−
= .
Jelas ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=⇔
−+=
xxy
xxe y
22 11ln11 .
Jadi ]1,0(11ln),0[2
∈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=∃∞∈∀
xxyx )(yfx =∋ .
Jelas hyxxhy secsec 1 =⇔= − .
58
Jadi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=−
xxxh
21 11lnsec .
Gambar grafik fungsi ),0[]1,0(: ∞→f , xhxf 1sec)( −= diberikan
pada Gambar 16.
Gambar 16. Grafik fungsi xhxf 1sec)( −=
Perolehan tersebut disajikan dalam suatu teorema berikut.
Teorema 4.2
(1) ( )21 1lnsinh xxx ++=− , ∞<<∞− x ,
(2) ( )1lncosh 21 −+=− xxx , 1≥x ,
(3) xxx
−+
=−
11ln
21tanh 1 , 11 <<− x ,
59
(4) 11ln
21coth 1
−+
=−
xxx , 1>x , dan
(5) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=−
xxxh
21 11lnsec , 10 ≤< x .
D. TURUNAN INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Teorema 4.3
(1) 2
1
1
1)(sinh
xdxxd
+=
−
,
(2) 1
1)(cosh2
1
−=
−
xdxxd ,
(3) 2
1
11)(tanhxdx
xd−
=−
1<x ,
(4) 2
1
11)(cothxdx
xd−
=−
1>x , dan
(5) 2
1
11)(sec
xxdxxhd
−−=
−
.
Bukti:
(1) Dipunyai ( )21 1lnsinh xxx ++=− .
Jelas dx
xxd
dxxd
21 1ln()(sinh ++
=−
( )dx
xxdxxd
xxd 2
2
21.
)1(
1ln( ++
++
++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
++=
22 11.
11
xx
xx
60
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
++
++=
2
2
2 11
11
xxx
xx
( ) 22
2
111
xxxxx+++
++=
211
x+= .
(2) Dipunyai ( )1lncosh 21 −+=− xxx .
Jelas ( )
dx
xxd
dxxd 1ln)(cosh
21 −+
=−
( )( )
( )dx
xxdxxd
xxd 1.1
1ln 2
2
2−+
−+
−+=
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
−+=
11.
11
22 xx
xx
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
+−
−+=
11
11
2
2
2 xxx
xx
( )( ) 11
122
2
−−+
−+=
xxxxx
112 −
=x
.
(3) Dipunyai xxx
−+
=−
11ln
21tanh 1 .
Jelas dx
xxd
dxxd
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
=− 1
1ln21
)(tanh 1
61
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−+=
dxxxd ))1ln()1ln((
21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
+=
dxxd
dxxd )1ln()1ln(
21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
−−
++
+=
dxxd
xdxd
dxxd
xdxd )1(.
)1()1ln()1(.
)1()1ln(
21
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−+
+=
xx 11
11
21
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−++−
= 2111
21
xxx
22 11
12.
21
xx −=
−= .
(4) Dipunyai 11ln
21coth 1
−+
=−
xxx .
Jelas 11ln
21coth 1
−+
=−
xxx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−+=
dxxxd ))1ln()1ln((
21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
+=
dxxd
dxxd )1ln()1ln(
21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
−−
++
+=
dxxd
xdxd
dxxd
xdxd )1(.
)1()1ln()1(.
)1()1ln(
21
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−
+=
11
11
21
xx
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−+−−
=1
)1()1(21
2xxx
62
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−
=1
2.21
2x
22 11
11
xx −=
−−= .
(5) Dipunyai ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=−
xxxh
21 11lnsec .
Jelas dx
xxd
dxxhd ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
=−
2
1
11ln)(sec
dx
xdxd ln11ln( 2 −−+=
dxxd
dxxd
xd
xd )(ln)11(.)11(
)11ln( 2
2
2
−−+
−+
−+=
xxx
x1
1111
22−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−+=
( )( ) xxxx 1
111 22−
−−+−=
)1(1()1(1
22
222
xxxxxx
−+−
−+−−−=
)11(111
22
2
xxxx−−−
−−−=
211
xx −−= .
63
E. ANTI TURUNAN INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Teorema 4.3 menyatakan bahwa 21
1x+
merupakan suatu anti
turunan x1sinh − dan 1
12 −x
, 1≠x suatu anti turunan x1cosh − . Akibatnya
dapat dimunculkan teorema 4.4 berikut.
Teorema 4.4
(1) ∫ +=+
− Cxx
dx 1
2sinh
1,
(2) ∫ +=−
− Cxxdx 1
2cosh
1,
(3) ∫⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
<+=
− −
−
1,coth
1,tanh
1 1
1
2
xCx
xCx
xdx , dan
(4) Cxhxx
dx+−=
−∫ −1
2sec
1.
64
F. CONTOH PENERAPAN TEORI DIFERENSI DAN INTEGRASI PADA
FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA
Berikut diberikan beberapa penerapan teori diferensi dan integrasi dan
penyelesaianya pada fungsi hiperbolik dan inversnya.
1. Tentukan dxdy dari masing-masing fungsi yang diberikan berikut.
(a) )cosh( 4xy = (e) )(sec 2xehy = (i) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= −
xy 1sinh 1
(b) )84sinh( −= xy (f) xhy sec= (j) xy 1coth −=
(c) )2ln(tanh xy = (g) )1(cosh 1 xy −= −
(d) )coth(ln xy = (h) )(sec 71 xhy −=
2. Tentukan integral dari masing-masing fungsi yang diberikan berikut.
(a) ∫ − dxx )32cosh( (e) ∫− 259 2x
dx
(b) ∫ xdxx coshsinh 6 (f) ∫+− 222 xx
dx
(c) ∫ xdxhx 2sectanh (g) ∫− 22x
dx
(d) ∫+ 291 xdx
Penyelesaian:
1. (a) Dipunyai )cosh( 4xy = .
Jelas dx
xddxdy )][cosh( 4
=
65
dxxd
xdxd )(.)(
)][cosh( 4
4
4
=
34 4).sinh( xx=
)sinh(4 43 xx= .
(b) Dipunyai )84sinh( −= xy .
Jelas dx
xddxdy )]84[sinh( −
=
dxxd
xdxd )84(.
)84()]84[sinh( −
−−
=
4).84cosh( −= x
)84cosh(4 −= x .
(c) Dipunyai )2ln(tanh xy = .
Jelas dx
xddxdy )]2[ln(tanh
=
dxxd
xdxd
xdxd )2(.
)2()2(tanh.
)2(tanh)]2[ln(tanh
=
2.2sec.2tanh
1 2 xhx
=
xxh
2tanh2sec2 2
= .
(d) Dipunyai )coth(ln xy = .
Jelas dx
xddxdy )][coth(ln
=
dxxd
xdxd )(ln.
)(ln)][coth(ln
=
66
xxh 1).(lncsc 2−=
xxh )(lncsc 2
−= .
(e) Dipunyai )(sec 2xehy = .
Jelas dx
ehddxdy x )]([sec 2
=
dxxd
xded
edehd x
x
x )2(.)2()(.
)()]([sec 2
2
2
=
2.).(sec).tanh( 222 xxx eehe−=
)(sec).tanh(2 222 xxx ehee−= .
(f) Dipunyai xhy sec= .
Jelas dx
xhddxdy ][sec
=
dxxd
xdxhd )(.
)(][sec
=
xxhx
21.sec.tanh−=
xxhx
2sec.tanh
−= .
(g) Dipunyai )1(cosh 1 xy −= − .
Jelas dx
xddxdy )]1([cosh 1 −
=−
dxxd
xdxd )1(.
)1()]1([cosh 1 −
−−
=−
67
)1.(1)1(
12
−−−
=x
1)1(1
2 −−−=
x.
(h) Dipunyai )(sec 71 xhy −= .
Jelas dx
xhddxdy )]([sec 71−
=
dxxd
xdxhd )(.
)()]([sec 7
7
71−
=
6
2777.
)(11 x
xx −−=
277
6
)(17
xxx−
−= .
(i) Dipunyai ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= −
xy 1sinh 1 .
Jelas dx
xd
dxdy
]1[sinh 1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
−
dxx
d
xd
xd ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
− 1
.1
]1[sinh 1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
= 22
1.11
1x
x
68
22 11
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
−=
xx
.
(j) Dipunyai xy 1coth −= .
Jelas dx
xddxdy ]coth[ 1−
=
dxxd
xdxd )(coth.)(coth)coth( 1
1
1 −
−
−
=
21 11.
coth21
xx −=
−
xx 12 coth)1(21
−−=
2. (a) ∫ − dxx )32cosh(
Jelas ∫∫ −−=− )32()32cosh(21)32cosh( xdxdxx
Cx +−= )32sinh(21 .
(b) ∫ xdxx coshsinh 6
Tulis xu sinh= .
Jelas xdxdu cosh=
Jelas ∫∫ = duuxdxx 66 coshsinh
Cu += 7
71
Cx += 7sinh71 .
69
(c) ∫ xdxhx 2sectanh
Tulis xu tanh= .
Jelas xdxhdu 2sec=
Jelas ∫ ∫= duuxdxhx .sec.tanh 2
Cu += 23
32
Cuu += .32
Cxx += tanhtanh32 .
(d) ∫+ 291 xdx
Jelas ∫∫+
=+ 22 )3(1
)3(31
91 xxd
xdx
Cx += − 3sinh31 1 .
(e) ∫− 259 2x
dx
Jelas ∫∫−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=−
15
3
53
35
259 22 x
xd
xdx
Cx+= −
53cosh
35 1 .
(f) ∫+− 222 xx
dx
70
Jelas ∫∫+−+
+−=
+− 22 )1(1)1(
22 xxd
xxdx
Cx ++−= − )1(sinh 1 .
(g) ∫− 22x
dx
Jelas ∫∫−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=−
12
222 22
x
xd
x
dx
Cx+= −
2cosh2 1 .
BAB V
PENUTUP
A. SIMPULAN
Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya dapat diambil kesimpulan
sebagai berikut.
1. Fungsi hiperbolik dibangun oleh dua fungsi p dan q dengan +→ RRp : ,
2)(
xexp = dan +→ RRq : , 2
)(xexq
−
= . Selanjutnya dibangun fungsi f
dan g yang dinyatakan sebagai jumlah dan selisih dari fungsi p dan q,
dengan demikian )()()( xqxpxf += dan )()()( xqxpxg −= , dimana
fungsi f dan g memiliki kemiripan sifat dengan sifat-sifat yang dimiliki
oleh fungsi trigonometri. Berdasarkan sifat tersebut diturunakn formula
fungsi hiperbolik.
2. Berdasarkan point (1) diperoleh formula fungsi hiperbolik sebagai berikut
(a) 2
sinhxx eex
−−= (d)
xxx
sinhcoshcoth =
(b) 2
coshxx eex
−+= (e)
xhx
cosh1sec =
(c) xxx
coshsinhtanh =
3. Formula turunan fungsi hiperbolik
(a) xdx
xd cosh)(sinh= ,
64
65
(b) xdx
xd sinh)(cosh= ,
(c) xhdx
xd 2sec)(tanh= ,
(d) xhdx
xd 2csc)(coth−= , dan
(e) hxxdx
hxd sec.tanh)(sec−= .
4. Invers fungsi hiperbolik
(a) ( )21 1lnsinh xxx ++=− ∞<<∞− x
(b) ( )1lncosh 21 −+=− xxx 1≥x
(c) xxx
−+
=−
11ln
21tanh 1 11 <<− x
(d) 11ln
21coth 1
−+
=−
xxx 1>x
(e) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=−
xxxh
21 11lnsec 10 ≤< x .
5. Formula turunan invers fungsi hiperbolik
(a) 2
1
11)(sinh
xdxxd
+=
−
(b) 1
1)(cosh2
1
−=
−
xdxxd
(c) 2
1
11)(tanhxdx
xd−
=−
1<x
(d) 2
1
11)(cothxdx
xd−
=−
1>x
66
(e) 2
1
11)(sec
xxdxxhd
−−=
−
.
6. Formula anti turunan invers fungsi hiperbolik
(a) ∫ +=+
− Cxx
dx 1
2sinh
1
(b) ∫ +=−
− Cxxdx 1
2cosh
1
(c) ∫⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
<+=
− −
−
1,coth
1,tanh
1 1
1
2
xCx
xCx
xdx
(d) Cxhxx
dx+−=
−∫ −1
2sec
1.
B. SARAN
Dalam skripsi ini, penulis menentukan penurunan rumus fungsi
hiperbolik dan invers serta turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan
inversnya pada fungsi hiperbolik bernilai real. Bagi pembaca yang beminat
dapat mengembangkannya untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks.
67
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1980. Calculus With Analytic Geometry. New York: John Wiley And
Sons. Berkey, D. Dennis. 1988. Calculus, 2nd Edition. New York: Sounders Collage
Publishing. Chotim, M. 2004. Kalkulus 2. Semarang: Penerbit FMIPA Universitas Negeri
Semarang. Leithold, L. 1993. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Jilid 2, Edisi Kelima
(diterjemahkan oleh Hutahean, Widianti Santoso, dan Koko Martono). Jakarta: Erlangga.
Purcell, E. J. & Varberg, D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitik Jilid 1 (diterjemahkan oleh I Nyoman Susila, Bana Kartasasmita, dan Rawuh). Jakarta: Erlangga.
Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. 2003. Kalkulus Jilid 1, Edisi kedelapan (diterjemahkan oleh I Nyoman Susila). Jakarta: Erlangga.
Thomas, George. B. 1962. Calculus, 2nd. Tokyo: Japan Publications Trading Company, LTD.