Funciones Hiperb ´ olicas Funciones Hiperb ´ olicas Who? Ver ´ onica Brice ˜ no V. When? noviembre 2013
Funciones Hiperbolicas
Funciones Hiperbolicas
Who? Veronica Briceno V.
When? noviembre 2013
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En esta Presentacion veremos:
Definicion de Funciones Hiperbolicas
GraficaIdentidadesEcuacionesDerivadasIntegralesFunciones Hiperbolicas Inversas
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Definicion de Funciones HiperbolicasGrafica
IdentidadesEcuacionesDerivadasIntegralesFunciones Hiperbolicas Inversas
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Definicion de Funciones HiperbolicasGraficaIdentidades
EcuacionesDerivadasIntegralesFunciones Hiperbolicas Inversas
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Funciones Hiperbolicas Inversas
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Definicion de Funciones HiperbolicasGraficaIdentidadesEcuacionesDerivadasIntegralesFunciones Hiperbolicas Inversas
Funciones Hiperbolicas
Sabemos:
FuncionesTrigonometri-
cas
Se definen sobre la circunferencia
Ahora
FuncionesHiperbolicas
Se definen sobre la hierbola.
Nosotros veremos una perspectiva analıtica
Funciones Hiperbolicas
Sabemos:
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Ahora
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Seno HiperbolicoDefinicion
sen h : R −→ R, sen h(x) =ex − e−x
2
Seno HiperbolicoDefinicion
sen h : R −→ R, sen h(x) =ex − e−x
2
Coseno HiperbolicoDefinicion
cos h : R −→ R, cos h(x) =ex + e−x
2
Coseno HiperbolicoDefinicion
cos h : R −→ R, cos h(x) =ex + e−x
2
Tangente Hiperbolica
Definicion
tg h : R −→ R, tg h(x) =sen h(x)cos h(x)
=ex − e−x
ex + e−x
Tangente Hiperbolica
Definicion
tg h : R −→ R, tg h(x) =sen h(x)cos h(x)
=ex − e−x
ex + e−x
Cosecante HiperbolicaDefinicion
cosec h : R− {0} −→ R;
cosec h(x) =1
sen h(x)=
2ex − e−x
Cosecante HiperbolicaDefinicion
cosec h : R− {0} −→ R;
cosec h(x) =1
sen h(x)=
2ex − e−x
Secante Hiperbolica
Definicionsec h : R −→ R;
sec h(x) =1
cos h(x)=
2ex + e−x
Secante Hiperbolica
Definicionsec h : R −→ R;
sec h(x) =1
cos h(x)=
2ex + e−x
Cotangente Hiperbolica
Definicioncotg h : R− {0} −→ R;
cotg h(x) =cos h(x)sen h(x)
=ex + e−x
ex − e−x
Cotangente Hiperbolica
Definicioncotg h : R− {0} −→ R;
cotg h(x) =cos h(x)sen h(x)
=ex + e−x
ex − e−x
Propiedades
1 sen h(0) = 0
2 cos h(0) = 13 sen h es impar4 cos h es par
Propiedades
1 sen h(0) = 02 cos h(0) = 1
3 sen h es impar4 cos h es par
Propiedades
1 sen h(0) = 02 cos h(0) = 13 sen h es impar
4 cos h es par
Propiedades
1 sen h(0) = 02 cos h(0) = 13 sen h es impar4 cos h es par
Identidades Hiperbolicas
∀x ∈ R se verifica:1 cos h2(x)− sen h2(x) = 1
2 1− tg h2(x) = sec h2(x)3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x∀x , y ∈ R se verifica:
1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
Demostrar!!!
Identidades Hiperbolicas
∀x ∈ R se verifica:1 cos h2(x)− sen h2(x) = 12 1− tg h2(x) = sec h2(x)
3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x∀x , y ∈ R se verifica:
1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
Demostrar!!!
Identidades Hiperbolicas
∀x ∈ R se verifica:1 cos h2(x)− sen h2(x) = 12 1− tg h2(x) = sec h2(x)3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx
4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x∀x , y ∈ R se verifica:
1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
Demostrar!!!
Identidades Hiperbolicas
∀x ∈ R se verifica:1 cos h2(x)− sen h2(x) = 12 1− tg h2(x) = sec h2(x)3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x
∀x , y ∈ R se verifica:
1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
Demostrar!!!
Identidades Hiperbolicas
∀x ∈ R se verifica:1 cos h2(x)− sen h2(x) = 12 1− tg h2(x) = sec h2(x)3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x
∀x , y ∈ R se verifica:
1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
Demostrar!!!
Identidades Hiperbolicas
∀x ∈ R se verifica:1 cos h2(x)− sen h2(x) = 12 1− tg h2(x) = sec h2(x)3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x∀x , y ∈ R se verifica:
1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
Demostrar!!!
Identidades Hiperbolicas
∀x ∈ R se verifica:1 cos h2(x)− sen h2(x) = 12 1− tg h2(x) = sec h2(x)3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x∀x , y ∈ R se verifica:
1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)
2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
Demostrar!!!
Identidades Hiperbolicas
∀x ∈ R se verifica:1 cos h2(x)− sen h2(x) = 12 1− tg h2(x) = sec h2(x)3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x∀x , y ∈ R se verifica:
1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
Demostrar!!!
Identidades Hiperbolicas
∀x ∈ R se verifica:1 cos h2(x)− sen h2(x) = 12 1− tg h2(x) = sec h2(x)3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x∀x , y ∈ R se verifica:
1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
Demostrar!!!
Identidades Hiperbolicas
∀x ∈ R se verifica:1 cos h2(x)− sen h2(x) = 12 1− tg h2(x) = sec h2(x)3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x∀x , y ∈ R se verifica:
1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
Demostrar!!!
Ejercicios Propuestos:
Demostrar:tg h(2x) = 2 tg h(x)
1+tg h2(x)
sen h(2x) = 2 tg h(x)1−tg h2(x)
cos h(2x) = 1−tg h2(x)1+tg h2(x)
sen h2(x) = cos h(x)−12
cos h2(x) = cos h(x)+12
Ejercicios Propuestos:
Demostrar:tg h(2x) = 2 tg h(x)
1+tg h2(x)
sen h(2x) = 2 tg h(x)1−tg h2(x)
cos h(2x) = 1−tg h2(x)1+tg h2(x)
sen h2(x) = cos h(x)−12
cos h2(x) = cos h(x)+12
Ejercicios Propuestos:
Demostrar:tg h(2x) = 2 tg h(x)
1+tg h2(x)
sen h(2x) = 2 tg h(x)1−tg h2(x)
cos h(2x) = 1−tg h2(x)1+tg h2(x)
sen h2(x) = cos h(x)−12
cos h2(x) = cos h(x)+12
Ejercicios Propuestos:
Demostrar:tg h(2x) = 2 tg h(x)
1+tg h2(x)
sen h(2x) = 2 tg h(x)1−tg h2(x)
cos h(2x) = 1−tg h2(x)1+tg h2(x)
sen h2(x) = cos h(x)−12
cos h2(x) = cos h(x)+12
Ejercicios Propuestos:
Demostrar:tg h(2x) = 2 tg h(x)
1+tg h2(x)
sen h(2x) = 2 tg h(x)1−tg h2(x)
cos h(2x) = 1−tg h2(x)1+tg h2(x)
sen h2(x) = cos h(x)−12
cos h2(x) = cos h(x)+12
Ecuaciones
En generalResolver una ecuacion significa encontrar el o losvalores que hacen que la igualdad sea verdadera.Ası,
Ejemplos Resolver:
cos h(2x) = cos h2(x)− sen h2(x)tg h(2x) = 1cos h(x) = 2
Ecuaciones
En generalResolver una ecuacion significa encontrar el o losvalores que hacen que la igualdad sea verdadera.Ası,
Ejemplos Resolver:
cos h(2x) = cos h2(x)− sen h2(x)tg h(2x) = 1cos h(x) = 2
Ecuaciones
En generalResolver una ecuacion significa encontrar el o losvalores que hacen que la igualdad sea verdadera.Ası,
Ejemplos Resolver:
cos h(2x) = cos h2(x)− sen h2(x)
tg h(2x) = 1cos h(x) = 2
Ecuaciones
En generalResolver una ecuacion significa encontrar el o losvalores que hacen que la igualdad sea verdadera.Ası,
Ejemplos Resolver:
cos h(2x) = cos h2(x)− sen h2(x)tg h(2x) = 1
cos h(x) = 2
Ecuaciones
En generalResolver una ecuacion significa encontrar el o losvalores que hacen que la igualdad sea verdadera.Ası,
Ejemplos Resolver:
cos h(2x) = cos h2(x)− sen h2(x)tg h(2x) = 1cos h(x) = 2
Ejercicios Propuestos
1 Resolver los sistemas:a)
sen h(x) + cos h(y) = 1
cos h(x) + sen h(y) = 1
b)sen h(x + y) = 2
tg h(x − y) = 0
Ejercicios Propuestos
21 Resolver los sistemas:a)
sen h(x) + cos h(y) = 1
cos h(x) + sen h(y) = 1
b)sen h(x + y) = 2
tg h(x − y) = 0
Derivadas
Las seis funciones hiperbolicas, son combinacionesracionales de las funciones diferenciables ex y e−x
luego son derivables en todo punto donde ellas estendefinidas.
21 ddx (sin h(x)) = cos h(x)
2 ddx (cos h(x)) = sen h(x)
3 ddx (tg h(x)) = sec h2x
4 ddx (cotg h(x)) = − cosec h2(x)
5 ddx (sec h(x)) = − sec h(x) tg h(x)
6 ddx (cosec h(x)) = − cosec h(x) cotg h(x)
Demostrar!!!
Derivadas
Las seis funciones hiperbolicas, son combinacionesracionales de las funciones diferenciables ex y e−x
luego son derivables en todo punto donde ellas estendefinidas.
1 ddx (sin h(x)) = cos h(x)
2 ddx (cos h(x)) = sen h(x)
3 ddx (tg h(x)) = sec h2x
4 ddx (cotg h(x)) = − cosec h2(x)
5 ddx (sec h(x)) = − sec h(x) tg h(x)
6 ddx (cosec h(x)) = − cosec h(x) cotg h(x)
Demostrar!!!
Derivadas
Las seis funciones hiperbolicas, son combinacionesracionales de las funciones diferenciables ex y e−x
luego son derivables en todo punto donde ellas estendefinidas.
1 ddx (sin h(x)) = cos h(x)
2 ddx (cos h(x)) = sen h(x)
3 ddx (tg h(x)) = sec h2x
4 ddx (cotg h(x)) = − cosec h2(x)
5 ddx (sec h(x)) = − sec h(x) tg h(x)
6 ddx (cosec h(x)) = − cosec h(x) cotg h(x)
Demostrar!!!
Derivadas
Las seis funciones hiperbolicas, son combinacionesracionales de las funciones diferenciables ex y e−x
luego son derivables en todo punto donde ellas estendefinidas.
1 ddx (sin h(x)) = cos h(x)
2 ddx (cos h(x)) = sen h(x)
3 ddx (tg h(x)) = sec h2x
4 ddx (cotg h(x)) = − cosec h2(x)
5 ddx (sec h(x)) = − sec h(x) tg h(x)
6 ddx (cosec h(x)) = − cosec h(x) cotg h(x)
Demostrar!!!
Derivadas
Las seis funciones hiperbolicas, son combinacionesracionales de las funciones diferenciables ex y e−x
luego son derivables en todo punto donde ellas estendefinidas.
1 ddx (sin h(x)) = cos h(x)
2 ddx (cos h(x)) = sen h(x)
3 ddx (tg h(x)) = sec h2x
4 ddx (cotg h(x)) = − cosec h2(x)
5 ddx (sec h(x)) = − sec h(x) tg h(x)
6 ddx (cosec h(x)) = − cosec h(x) cotg h(x)
Demostrar!!!
Derivadas
Las seis funciones hiperbolicas, son combinacionesracionales de las funciones diferenciables ex y e−x
luego son derivables en todo punto donde ellas estendefinidas.
1 ddx (sin h(x)) = cos h(x)
2 ddx (cos h(x)) = sen h(x)
3 ddx (tg h(x)) = sec h2x
4 ddx (cotg h(x)) = − cosec h2(x)
5 ddx (sec h(x)) = − sec h(x) tg h(x)
6 ddx (cosec h(x)) = − cosec h(x) cotg h(x)
Demostrar!!!
Derivadas
Las seis funciones hiperbolicas, son combinacionesracionales de las funciones diferenciables ex y e−x
luego son derivables en todo punto donde ellas estendefinidas.
1 ddx (sin h(x)) = cos h(x)
2 ddx (cos h(x)) = sen h(x)
3 ddx (tg h(x)) = sec h2x
4 ddx (cotg h(x)) = − cosec h2(x)
5 ddx (sec h(x)) = − sec h(x) tg h(x)
6 ddx (cosec h(x)) = − cosec h(x) cotg h(x)
Demostrar!!!
Derivadas
Las seis funciones hiperbolicas, son combinacionesracionales de las funciones diferenciables ex y e−x
luego son derivables en todo punto donde ellas estendefinidas.
1 ddx (sin h(x)) = cos h(x)
2 ddx (cos h(x)) = sen h(x)
3 ddx (tg h(x)) = sec h2x
4 ddx (cotg h(x)) = − cosec h2(x)
5 ddx (sec h(x)) = − sec h(x) tg h(x)
6 ddx (cosec h(x)) = − cosec h(x) cotg h(x)
Demostrar!!!
Derivadas
Las seis funciones hiperbolicas, son combinacionesracionales de las funciones diferenciables ex y e−x
luego son derivables en todo punto donde ellas estendefinidas.
1 ddx (sin h(x)) = cos h(x)
2 ddx (cos h(x)) = sen h(x)
3 ddx (tg h(x)) = sec h2x
4 ddx (cotg h(x)) = − cosec h2(x)
5 ddx (sec h(x)) = − sec h(x) tg h(x)
6 ddx (cosec h(x)) = − cosec h(x) cotg h(x)
Demostrar!!!
Integrales
En forma directa, obtenemos:
1∫
sen h(x)dx = cos h(x) + C2
∫cos h(x)dx = sen h(x) + C
3∫
sec h2(x)dx = tgh(x) + C4
∫cosec h2(x)dx = − cotg h(x) + C
5∫
sec h(x) tg h(x)dx = − sec h(x) + C6
∫cosec h(x) cotg h(x)dx = − cosec h(x) + C
Integrales
En forma directa, obtenemos:
1∫
sen h(x)dx = cos h(x) + C
2∫
cos h(x)dx = sen h(x) + C3
∫sec h2(x)dx = tgh(x) + C
4∫
cosec h2(x)dx = − cotg h(x) + C5
∫sec h(x) tg h(x)dx = − sec h(x) + C
6∫
cosec h(x) cotg h(x)dx = − cosec h(x) + C
Integrales
En forma directa, obtenemos:
1∫
sen h(x)dx = cos h(x) + C2
∫cos h(x)dx = sen h(x) + C
3∫
sec h2(x)dx = tgh(x) + C4
∫cosec h2(x)dx = − cotg h(x) + C
5∫
sec h(x) tg h(x)dx = − sec h(x) + C6
∫cosec h(x) cotg h(x)dx = − cosec h(x) + C
Integrales
En forma directa, obtenemos:
1∫
sen h(x)dx = cos h(x) + C2
∫cos h(x)dx = sen h(x) + C
3∫
sec h2(x)dx = tgh(x) + C
4∫
cosec h2(x)dx = − cotg h(x) + C5
∫sec h(x) tg h(x)dx = − sec h(x) + C
6∫
cosec h(x) cotg h(x)dx = − cosec h(x) + C
Integrales
En forma directa, obtenemos:
1∫
sen h(x)dx = cos h(x) + C2
∫cos h(x)dx = sen h(x) + C
3∫
sec h2(x)dx = tgh(x) + C4
∫cosec h2(x)dx = − cotg h(x) + C
5∫
sec h(x) tg h(x)dx = − sec h(x) + C6
∫cosec h(x) cotg h(x)dx = − cosec h(x) + C
Integrales
En forma directa, obtenemos:
1∫
sen h(x)dx = cos h(x) + C2
∫cos h(x)dx = sen h(x) + C
3∫
sec h2(x)dx = tgh(x) + C4
∫cosec h2(x)dx = − cotg h(x) + C
5∫
sec h(x) tg h(x)dx = − sec h(x) + C
6∫
cosec h(x) cotg h(x)dx = − cosec h(x) + C
Integrales
En forma directa, obtenemos:
1∫
sen h(x)dx = cos h(x) + C2
∫cos h(x)dx = sen h(x) + C
3∫
sec h2(x)dx = tgh(x) + C4
∫cosec h2(x)dx = − cotg h(x) + C
5∫
sec h(x) tg h(x)dx = − sec h(x) + C6
∫cosec h(x) cotg h(x)dx = − cosec h(x) + C
Ejercicios Propuestos
Calcular:ddt (tg h(
√1 + t2))∫
cotg h(5x)dx∫ 10 sen h2(x)dx∫ ln 20 ex sen h(x)dxddx (
ex−e−x
ex+e−x )3
Ejercicios Propuestos
Calcular:Hallar dy
dx en:a) y = 1
4 sen h(2x)− 12
b) y = ln tg h(2x)Si x = senh(t) e y = sen h(pt), pruebe que:
(1 + x2)d2ydx2 + x
dydx
= p2y
Demostrar que:sen h(a+bi) = sen h(a) cos h(b)+ i sen h(b) cos h(a).A partir de esto, calcular: sen h(1 + π
2 i)
Funciones Hiperbolicas Inversas
Recordar:
No todas las funciones hiperbolicas son biyectivas.En algunos casos debemos restringir el dominio ycodominio para poder definir la inversa.
Funciones Hiperbolicas Inversas
Recordar:No todas las funciones hiperbolicas son biyectivas.
En algunos casos debemos restringir el dominio ycodominio para poder definir la inversa.
Funciones Hiperbolicas Inversas
Recordar:No todas las funciones hiperbolicas son biyectivas.En algunos casos debemos restringir el dominio ycodominio para poder definir la inversa.
Inversa de Seno Hiperbolico
Como.... sen h : R −→ R es biyectiva.
Se define... sen h−1 : R −→ R como:arc sen h(x) = sen h−1(x) = ln(x +
√x2 + 1)
Inversa de Seno Hiperbolico
Como.... sen h : R −→ R es biyectiva.
Se define... sen h−1 : R −→ R como:arc sen h(x) = sen h−1(x) = ln(x +
√x2 + 1)
Inversa de Seno Hiperbolico
Como.... sen h : R −→ R es biyectiva.
Se define... sen h−1 : R −→ R como:arc sen h(x) = sen h−1(x) = ln(x +
√x2 + 1)
Inversa de Seno Hiperbolico
Como.... sen h : R −→ R es biyectiva.
Se define... sen h−1 : R −→ R como:arc sen h(x) = sen h−1(x) = ln(x +
√x2 + 1)
Inversa de Seno Hiperbolico
Como.... sen h : R −→ R es biyectiva.
Se define... sen h−1 : R −→ R como:arc sen h(x) = sen h−1(x) = ln(x +
√x2 + 1)
Inversa: Coseno Hiperbolico
Como... cos h : [0,+∞[−→ [1,+∞[ es biyectiva
Se define... cos h−1 : [1,+∞[−→ [0,+∞[ como:arc cos h(x) = cos h−1(x) = ln(x +
√x2 − 1)
Inversa: Coseno Hiperbolico
Como... cos h : [0,+∞[−→ [1,+∞[ es biyectiva
Se define... cos h−1 : [1,+∞[−→ [0,+∞[ como:arc cos h(x) = cos h−1(x) = ln(x +
√x2 − 1)
Inversa: Coseno Hiperbolico
Como... cos h : [0,+∞[−→ [1,+∞[ es biyectiva
Se define... cos h−1 : [1,+∞[−→ [0,+∞[ como:arc cos h(x) = cos h−1(x) = ln(x +
√x2 − 1)
Inversa: Coseno Hiperbolico
Como... cos h : [0,+∞[−→ [1,+∞[ es biyectiva
Se define... cos h−1 : [1,+∞[−→ [0,+∞[ como:arc cos h(x) = cos h−1(x) = ln(x +
√x2 − 1)
Inversa: Coseno Hiperbolico
Como... cos h : [0,+∞[−→ [1,+∞[ es biyectiva
Se define... cos h−1 : [1,+∞[−→ [0,+∞[ como:arc cos h(x) = cos h−1(x) = ln(x +
√x2 − 1)
Notar que:
√x2 − 1 > 0, pues x > 1
Como x +√
x2 − 1 > 1 entonces cosh−1(x) > 0
Notar que:
√x2 − 1 > 0, pues x > 1
Como x +√
x2 − 1 > 1 entonces cosh−1(x) > 0
Inversa: Tangente HiperbolicaComo... tg h : R −→]− 1,1[ es biyectiva
Se define... tg h−1 :]− 1,1[−→ R como:arc tg h(x) = tg h−1(x) = 1
2 ln(1+x1−x )
Inversa: Tangente HiperbolicaComo... tg h : R −→]− 1,1[ es biyectiva
Se define... tg h−1 :]− 1,1[−→ R como:arc tg h(x) = tg h−1(x) = 1
2 ln(1+x1−x )
Inversa: Tangente HiperbolicaComo... tg h : R −→]− 1,1[ es biyectiva
Se define... tg h−1 :]− 1,1[−→ R como:arc tg h(x) = tg h−1(x) = 1
2 ln(1+x1−x )
Inversa: Tangente HiperbolicaComo... tg h : R −→]− 1,1[ es biyectiva
Se define... tg h−1 :]− 1,1[−→ R como:arc tg h(x) = tg h−1(x) = 1
2 ln(1+x1−x )
Inversa: Tangente HiperbolicaComo... tg h : R −→]− 1,1[ es biyectiva
Se define... tg h−1 :]− 1,1[−→ R como:arc tg h(x) = tg h−1(x) = 1
2 ln(1+x1−x )
Notar que:
tgh(x) 6= ±1, ∀x ∈ R
Mas aun, −1 < tgh(x) < 1,∀x ∈ RAdemas, 1+x
1−x > 0 ssi x ∈]− 1,1[
Demostrar!
Notar que:
tgh(x) 6= ±1, ∀x ∈ RMas aun, −1 < tgh(x) < 1,∀x ∈ R
Ademas, 1+x1−x > 0 ssi x ∈]− 1,1[
Demostrar!
Notar que:
tgh(x) 6= ±1, ∀x ∈ RMas aun, −1 < tgh(x) < 1,∀x ∈ RAdemas, 1+x
1−x > 0 ssi x ∈]− 1,1[
Demostrar!
Notar que:
tgh(x) 6= ±1, ∀x ∈ RMas aun, −1 < tgh(x) < 1,∀x ∈ RAdemas, 1+x
1−x > 0 ssi x ∈]− 1,1[
Demostrar!
Notar que:
tgh(x) 6= ±1, ∀x ∈ RMas aun, −1 < tgh(x) < 1,∀x ∈ RAdemas, 1+x
1−x > 0 ssi x ∈]− 1,1[
Demostrar!
Inversa: Cosecante HiperbolicaComo... cosec h :]0,+∞[−→]0,+∞[ es biyectiva
Se define... cosec h−1 :]0,+∞[−→]0,+∞[ como:
arc cosec h(x) = cosec h−1(x) = ln(1+√
x2+1x )
Inversa: Cosecante HiperbolicaComo... cosec h :]0,+∞[−→]0,+∞[ es biyectiva
Se define... cosec h−1 :]0,+∞[−→]0,+∞[ como:
arc cosec h(x) = cosec h−1(x) = ln(1+√
x2+1x )
Inversa: Cosecante HiperbolicaComo... cosec h :]0,+∞[−→]0,+∞[ es biyectiva
Se define... cosec h−1 :]0,+∞[−→]0,+∞[ como:
arc cosec h(x) = cosec h−1(x) = ln(1+√
x2+1x )
Inversa: Cosecante HiperbolicaComo... cosec h :]0,+∞[−→]0,+∞[ es biyectiva
Se define... cosec h−1 :]0,+∞[−→]0,+∞[ como:
arc cosec h(x) = cosec h−1(x) = ln(1+√
x2+1x )
Inversa: Cosecante HiperbolicaComo... cosec h :]0,+∞[−→]0,+∞[ es biyectiva
Se define... cosec h−1 :]0,+∞[−→]0,+∞[ como:
arc cosec h(x) = cosec h−1(x) = ln(1+√
x2+1x )
Notar que:
1 + x2 ≥ 0 ssi x ∈ R
1 +√
1 + x2 > 0,∀x ∈ R
Por tanto, 1+√
1+x2
x solo si x > 0
Demostrar!
Notar que:
1 + x2 ≥ 0 ssi x ∈ R1 +√
1 + x2 > 0,∀x ∈ R
Por tanto, 1+√
1+x2
x solo si x > 0
Demostrar!
Notar que:
1 + x2 ≥ 0 ssi x ∈ R1 +√
1 + x2 > 0,∀x ∈ R
Por tanto, 1+√
1+x2
x solo si x > 0
Demostrar!
Notar que:
1 + x2 ≥ 0 ssi x ∈ R1 +√
1 + x2 > 0,∀x ∈ R
Por tanto, 1+√
1+x2
x solo si x > 0
Demostrar!
Notar que:
1 + x2 ≥ 0 ssi x ∈ R1 +√
1 + x2 > 0,∀x ∈ R
Por tanto, 1+√
1+x2
x solo si x > 0
Demostrar!
Inversa: Secante Hiperbolica
Como... sec h : [0,+∞[−→]0,1] es biyectiva
Se define... sec h−1 :]0,1] −→ [0,+∞[ como:
arc sec h(x) = sec h−1(x) = ln(1+√
1−x2
x )
Inversa: Secante Hiperbolica
Como... sec h : [0,+∞[−→]0,1] es biyectiva
Se define... sec h−1 :]0,1] −→ [0,+∞[ como:
arc sec h(x) = sec h−1(x) = ln(1+√
1−x2
x )
Inversa: Secante Hiperbolica
Como... sec h : [0,+∞[−→]0,1] es biyectiva
Se define... sec h−1 :]0,1] −→ [0,+∞[ como:
arc sec h(x) = sec h−1(x) = ln(1+√
1−x2
x )
Inversa: Secante Hiperbolica
Como... sec h : [0,+∞[−→]0,1] es biyectiva
Se define... sec h−1 :]0,1] −→ [0,+∞[ como:
arc sec h(x) = sec h−1(x) = ln(1+√
1−x2
x )
Inversa: Secante Hiperbolica
Como... sec h : [0,+∞[−→]0,1] es biyectiva
Se define... sec h−1 :]0,1] −→ [0,+∞[ como:
arc sec h(x) = sec h−1(x) = ln(1+√
1−x2
x )
Notar que:
1− x2 ≥ 0 ssi x ∈ [−1,1]
1 +√
1− x2 > 0,∀x ∈ [−1,1]
Por tanto, 1+√
1−x2
x solo si x ∈]0,1]
Demostrar!
Notar que:
1− x2 ≥ 0 ssi x ∈ [−1,1]1 +√
1− x2 > 0,∀x ∈ [−1,1]
Por tanto, 1+√
1−x2
x solo si x ∈]0,1]
Demostrar!
Notar que:
1− x2 ≥ 0 ssi x ∈ [−1,1]1 +√
1− x2 > 0,∀x ∈ [−1,1]
Por tanto, 1+√
1−x2
x solo si x ∈]0,1]
Demostrar!
Notar que:
1− x2 ≥ 0 ssi x ∈ [−1,1]1 +√
1− x2 > 0,∀x ∈ [−1,1]
Por tanto, 1+√
1−x2
x solo si x ∈]0,1]
Demostrar!
Notar que:
1− x2 ≥ 0 ssi x ∈ [−1,1]1 +√
1− x2 > 0,∀x ∈ [−1,1]
Por tanto, 1+√
1−x2
x solo si x ∈]0,1]
Demostrar!
Inversa: Cotangente Hiperbolica
Como... cotg h : R− {0} −→]−∞,−1[∪]1,+∞[ es biyectiva
Se define... cotg h−1 :]−∞,−1[∪]1,+∞[−→]R− {0} como:arc cotg h(x) = cotg h−1(x) = 1
2 ln( x+1x−1)
Inversa: Cotangente Hiperbolica
Como... cotg h : R− {0} −→]−∞,−1[∪]1,+∞[ es biyectiva
Se define... cotg h−1 :]−∞,−1[∪]1,+∞[−→]R− {0} como:arc cotg h(x) = cotg h−1(x) = 1
2 ln( x+1x−1)
Inversa: Cotangente Hiperbolica
Como... cotg h : R− {0} −→]−∞,−1[∪]1,+∞[ es biyectiva
Se define... cotg h−1 :]−∞,−1[∪]1,+∞[−→]R− {0} como:arc cotg h(x) = cotg h−1(x) = 1
2 ln(x+1x−1)
Inversa: Cotangente Hiperbolica
Como... cotg h : R− {0} −→]−∞,−1[∪]1,+∞[ es biyectiva
Se define... cotg h−1 :]−∞,−1[∪]1,+∞[−→]R− {0} como:arc cotg h(x) = cotg h−1(x) = 1
2 ln(x+1x−1)
Inversa: Cotangente Hiperbolica
Como... cotg h : R− {0} −→]−∞,−1[∪]1,+∞[ es biyectiva
Se define... cotg h−1 :]−∞,−1[∪]1,+∞[−→]R− {0} como:arc cotg h(x) = cotg h−1(x) = 1
2 ln(x+1x−1)
Notar que:
cotg h(x) 6= ±1, ∀x ∈ R
Ademas, x+1x−1 > 0 ssi x ∈]−∞,−1[∪]1,+∞[
Demostrar!
Notar que:
cotg h(x) 6= ±1, ∀x ∈ RAdemas, x+1
x−1 > 0 ssi x ∈]−∞,−1[∪]1,+∞[
Demostrar!
Notar que:
cotg h(x) 6= ±1, ∀x ∈ RAdemas, x+1
x−1 > 0 ssi x ∈]−∞,−1[∪]1,+∞[
Demostrar!
Notar que:
cotg h(x) 6= ±1, ∀x ∈ RAdemas, x+1
x−1 > 0 ssi x ∈]−∞,−1[∪]1,+∞[
Demostrar!
Ejercicios PropuestosObtener, sin utilizar calculadora ,cotgh(2x), siendosenh(x) = 1
2√
6
Determinar x ∈ R tal quesenh4(x)− 2 cos h2(x)− 1 = 0Resolver:
2ln(sen h(x))+ln(cos h(x)) = 4ln(√
e)
Resolver los sistemas:a)
arc sen h(x) = 2arc sen h(y)
3 ln(x) = 2 ln(y)
b)cos h(x) + cos h(y) = a
sen h(x) + sen h(y) = b
Ejercicios PropuestosObtener, sin utilizar calculadora ,cotgh(2x), siendosenh(x) = 1
2√
6Determinar x ∈ R tal quesenh4(x)− 2 cos h2(x)− 1 = 0
Resolver:
2ln(sen h(x))+ln(cos h(x)) = 4ln(√
e)
Resolver los sistemas:a)
arc sen h(x) = 2arc sen h(y)
3 ln(x) = 2 ln(y)
b)cos h(x) + cos h(y) = a
sen h(x) + sen h(y) = b
Ejercicios PropuestosObtener, sin utilizar calculadora ,cotgh(2x), siendosenh(x) = 1
2√
6Determinar x ∈ R tal quesenh4(x)− 2 cos h2(x)− 1 = 0Resolver:
2ln(sen h(x))+ln(cos h(x)) = 4ln(√
e)
Resolver los sistemas:a)
arc sen h(x) = 2arc sen h(y)
3 ln(x) = 2 ln(y)
b)cos h(x) + cos h(y) = a
sen h(x) + sen h(y) = b
Ejercicios PropuestosObtener, sin utilizar calculadora ,cotgh(2x), siendosenh(x) = 1
2√
6Determinar x ∈ R tal quesenh4(x)− 2 cos h2(x)− 1 = 0Resolver:
2ln(sen h(x))+ln(cos h(x)) = 4ln(√
e)
Resolver los sistemas:a)
arc sen h(x) = 2arc sen h(y)
3 ln(x) = 2 ln(y)
b)cos h(x) + cos h(y) = a
sen h(x) + sen h(y) = b
Ejercicios Propuestos
Demostrar:a) y = a cos h(x
a ) verifica y ′′ = 1a
√1 + y ′2
b) Si y = A cos h(bx) + B sen h(x) se verificay ′′ = b2y (A;B; b ctes)
Ejercicios Propuestos
Demostrar:a) y = a cos h(x
a ) verifica y ′′ = 1a
√1 + y ′2
b) Si y = A cos h(bx) + B sen h(x) se verificay ′′ = b2y (A;B; b ctes)
Ejercicios Propuestos
Demostrar:a) y = a cos h(x
a ) verifica y ′′ = 1a
√1 + y ′2
b) Si y = A cos h(bx) + B sen h(x) se verificay ′′ = b2y (A;B; b ctes)
Integrales
En relacion a las funciones hiperbolicas inversastenemos:
1∫ dx√
a2+x2= arc sen h(x
a ) + C,a > 0
2∫ dx√
a2−x2= arc sen h(x
a ) + C, x > a > 0
3∫ dx
a2−x2 = 1aarc tg h(x
a ) + C, x2 < a2
4∫ dx
a2−x2 = 1aarc cotg h(x
a ) + C, x2 > a2
5∫ dx
x√
a2−x2= −1
aarc sec h(xa ) + C,0 < x < a
6∫ dx
x√
a2+x2= −1
aarc cosec h(xa ) + C, x 6= 0,a > 0
Demostrar!!!
Integrales
En relacion a las funciones hiperbolicas inversastenemos:
1∫ dx√
a2+x2= arc sen h(x
a ) + C,a > 0
2∫ dx√
a2−x2= arc sen h(x
a ) + C, x > a > 0
3∫ dx
a2−x2 = 1aarc tg h(x
a ) + C, x2 < a2
4∫ dx
a2−x2 = 1aarc cotg h(x
a ) + C, x2 > a2
5∫ dx
x√
a2−x2= −1
aarc sec h(xa ) + C,0 < x < a
6∫ dx
x√
a2+x2= −1
aarc cosec h(xa ) + C, x 6= 0,a > 0
Demostrar!!!
Integrales
En relacion a las funciones hiperbolicas inversastenemos:
1∫ dx√
a2+x2= arc sen h(x
a ) + C,a > 0
2∫ dx√
a2−x2= arc sen h(x
a ) + C, x > a > 0
3∫ dx
a2−x2 = 1aarc tg h(x
a ) + C, x2 < a2
4∫ dx
a2−x2 = 1aarc cotg h(x
a ) + C, x2 > a2
5∫ dx
x√
a2−x2= −1
aarc sec h(xa ) + C,0 < x < a
6∫ dx
x√
a2+x2= −1
aarc cosec h(xa ) + C, x 6= 0,a > 0
Demostrar!!!
Integrales
En relacion a las funciones hiperbolicas inversastenemos:
1∫ dx√
a2+x2= arc sen h(x
a ) + C,a > 0
2∫ dx√
a2−x2= arc sen h(x
a ) + C, x > a > 0
3∫ dx
a2−x2 = 1aarc tg h(x
a ) + C, x2 < a2
4∫ dx
a2−x2 = 1aarc cotg h(x
a ) + C, x2 > a2
5∫ dx
x√
a2−x2= −1
aarc sec h(xa ) + C,0 < x < a
6∫ dx
x√
a2+x2= −1
aarc cosec h(xa ) + C, x 6= 0,a > 0
Demostrar!!!
Integrales
En relacion a las funciones hiperbolicas inversastenemos:
1∫ dx√
a2+x2= arc sen h(x
a ) + C,a > 0
2∫ dx√
a2−x2= arc sen h(x
a ) + C, x > a > 0
3∫ dx
a2−x2 = 1aarc tg h(x
a ) + C, x2 < a2
4∫ dx
a2−x2 = 1aarc cotg h(x
a ) + C, x2 > a2
5∫ dx
x√
a2−x2= −1
aarc sec h(xa ) + C,0 < x < a
6∫ dx
x√
a2+x2= −1
aarc cosec h(xa ) + C, x 6= 0,a > 0
Demostrar!!!
Integrales
En relacion a las funciones hiperbolicas inversastenemos:
1∫ dx√
a2+x2= arc sen h(x
a ) + C,a > 0
2∫ dx√
a2−x2= arc sen h(x
a ) + C, x > a > 0
3∫ dx
a2−x2 = 1aarc tg h(x
a ) + C, x2 < a2
4∫ dx
a2−x2 = 1aarc cotg h(x
a ) + C, x2 > a2
5∫ dx
x√
a2−x2= −1
aarc sec h(xa ) + C,0 < x < a
6∫ dx
x√
a2+x2= −1
aarc cosec h(xa ) + C, x 6= 0,a > 0
Demostrar!!!
Integrales
En relacion a las funciones hiperbolicas inversastenemos:
1∫ dx√
a2+x2= arc sen h(x
a ) + C,a > 0
2∫ dx√
a2−x2= arc sen h(x
a ) + C, x > a > 0
3∫ dx
a2−x2 = 1aarc tg h(x
a ) + C, x2 < a2
4∫ dx
a2−x2 = 1aarc cotg h(x
a ) + C, x2 > a2
5∫ dx
x√
a2−x2= −1
aarc sec h(xa ) + C,0 < x < a
6∫ dx
x√
a2+x2= −1
aarc cosec h(xa ) + C, x 6= 0,a > 0
Demostrar!!!
Ejercicios Propuestos
Calcular:∫ dx(x+1)
√x2+2x+2
∫ 10 x√
x2 − 2x + 2dx∫ 1−cos( x3 )
sen x2
dx
Ejercicios Propuestos
Calcular:∫ dx(x+1)
√x2+2x+2∫ 1
0 x√
x2 − 2x + 2dx
∫ 1−cos( x3 )
sen x2
dx
Ejercicios Propuestos
Calcular:∫ dx(x+1)
√x2+2x+2∫ 1
0 x√
x2 − 2x + 2dx∫ 1−cos( x3 )
sen x2
dx