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Funes Hiperblicas:Estas funes so parecidas as funes
trigonomtricas e possuem muitas aplicaes como veremos ao longo da
disciplina. Definiremos primeiro as funes seno hiperblico e cosseno
hiperblico:
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Propriedades das Funes Hiperblicas:
Usando a definio, verifique cada uma das propriedades
anteriores.
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Aplicao: Posio de EqulibrioUma das aplicaes importantes das
equaes diferenciais ordinrias para encontrar posio de equilibrio
dos corpos. No seguinte exemplo consideraremos o caso de uma corda
que se encontra entre dois postes.
Problema 1.- Encontrar a posio de equilbrio de um cabo preso no
seus extremos que pasa pelos pontos (0,0) e (0,2). Assuma que a
componente horizontal da tenso do cabo igual a h=1 Newton e o peso
especfico de =1 N/m.
Suporemos que o extremo inicial do cabo est configurado no
origen de coordenadas e que o eixo das abscissas coincide com a
posio inicial do cabo
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Fazendo um diagrama de foras e lembrando que a tenso horizontal
constante e igual a h, temos as seguintes equaes
A primeira equao corresponde ao equilbrio das componentes
horizontais e a segunda o equilbrio das foras verticais. Note que T
segue a direo da reta tangente, portanto teremos que
Onde s o cumprimento de arco da corda. Note que si derivamos uma
vez mais obtemos
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Lembrando que o comprimento de arco verifica
De onde finalmente obtemos y verifica a equao.
Que uma equao diferencial de segunda ordem no linear. Para
resolver esta equao fazemos y'=p. Assim obtemos
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Integrando e fazendo a substituio
Encontramos
Assim temos que
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Para voltar a variavel original, construmos nosso tringulo
retngulo
Assim temos
Resolvendo esta equao segue
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Lembrando que y'=p
Encontramos que
Lembrando as condies de contorno do problema y(0)=y(2)=0 obtemos
que a soluo y do problema dada por:
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Problema de Valor Inicial e de Contorno.Quando resolvemos uma
equao diferencial de primeira ordem obtemos como
soluo uma funo com uma constante arbitraria que aparece pelo
processo de integrao que elaboramos ao calcular a soluo.
De forma anloga quando resolvemos uma equao deferencial de
segunda ordem, aparecem duas constantes de integrao. Isto significa
que teremos infinitas solues. Pois as constantes so arbitrrias.
Assim podemos resolver uma equao diferencial de primeira ordem
inserindo uma condio extra. Por exemplo que a soluo no ponto t=0,
tenha um determinado valor.
Na primeira equao estamos exigindo que a soluo no ponto zero
seja igual a trs. As equaes acima so exemplos de problemas de valor
inicial.
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Exerccio: Encontrar a soluo dos seguintes problemas de valor
inicial
Na primeira equao temos que a soluo geral dada por
Aplicando a condio inicial temos
Logo a soluo dada por
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Para o segundo problema, consideramos o polinmio
caraterstico:
Portanto a soluo geral dada por
Aplicando as condies iniciais obtemos
De onde a soluo dada por
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Exerccio: Encontrar a soluo do seguinte problema de contorno
Como vimos no exerccio anterior a soluo geral dada por
Nosso prximo passo encontrar A e B que verifique a condio de
contorno.
Portanto a soluo dada por
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