Función exponencial

Introducción

Una hora mas tarde a su vez sus tres amigos cuentan la noticia a otros tres

A la mañana un alumno cuenta una noticia a sus tres amigos

Una hora después estos también contaron la noticia a tres personasY así sucesivamente

Este creciente es EXPONENCIAL

es la función que a cada x Tiempo le asigna la

cantidad de persona que se entera de la noticia en

ese momento

TEMARIO• Definición• Características de la gráfica de una función exponenci

al de base • Características de la gráfica de una función exponenci

al de base • Pasos para la obtención de la Gráfica sin tabla• Características de la gráfica al modificar el coeficiente

principal• Características de la gráfica al modificar el término i

ndependiente • Material de consulta sugerido

Funciones exponenciales

• Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el exponente, la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, sociología, administración, economía, química, física e ingeniería.

• La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno(a>0 y a≠1).

TEMARIO

FUNCIÓN EXPONENCIALLa función exponencial es del tipo

Siendo a un número real positivo en este ejemplo

𝑥 𝑓 (𝑥 )=2𝑥EJEMPLO

FunciónDominio = R(el exponente de una Potencia puede tomar cualquier valor Real) Para Pero para

En consecuencia • tiene asíntota horizontal en • es creciente• Imagen (0 ,

Dominio = R

Para

Para

𝐴𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑦=0

Imagen =

TEMARIO

EJEMPLO

𝑥 𝑓 (𝑥 )=( 12 )𝑥

FunciónDominio = R(el exponente de una Potencia puede tomar cualquier valor Real) Para Pero para

En consecuencia • tiene asíntota horizontal en • es decreciente• Imagen = ( 0, +

Dominio = R

Para

Para

𝐴𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑦=0

Imagen =

FUNCIÓN EXPONENCIALCon

TEMARIO

FUNCIÓN EXPONECIAL Y SUS PARÁMETROS

• Dados los siguientes gráfica desígnale la fórmula que le corresponde

• El valor del parámetro a modifica la concavidad

• Para valores de a + la concavidad es hacia arriba

• Para valores de a - la concavidad es hacia abajo

𝒇 (𝒙 )=3𝒙

𝒇 (𝒙 )=𝟏𝟐 𝟑𝒙

𝒇 (𝒙 )=−𝟏𝟐𝟑𝒙

TEMARIO

FUNCIÓN EXPONECIAL Y SUS PARÁMETROS

• Elije la gráfica que le corresponde a cada una de las funciones

• El valor del parámetro e traslada la gráfica ↑↓• Determina la ecuación de la asintota hotizontal

𝑦=¿TEMARIO

𝑒

𝑒

Graficar sin tablaEjemplo1 - 4 •Dominio:•Asíntota horizontal

•Ordenada al origen

•Raíces

R

𝑓 (0 )=− 72

= 4

𝑥=3

TEMARIOhttp://www.geogebra.org/m/2510049

Crecimiento de poblaciones.El crecimiento vegetativo de una población viene dado por la diferencia entre nacimientos y defunciones.

Si inicialmente partimos de una población P0, que tiene un índice decrecimiento i (considerado en tanto por 1), al cabo de t años se habrá convertido en :

P(t) = P0 · (1+i)t

VOLVER

Ejemplo.

Un pueblo tiene 600 habitantes y su población crece anualmente un 3%.

• ¿Cuántos habitantes habrá al cabode 8 años? Datos:P0 = 600i = 3 / 100t = 8 añosP = 600 . ( 1 + 3/100)8

P = 600 . 1,266 ≈ 760Luego de 8 años la población será de 760 habitantes.

http://www.geogebra.org/m/2509969

Interés compuestoEn el interés compuesto los intereses producidos por un capital, C0 se van acumulando a éste, de tiempo entiempo, para producir nuevos intereses.Los intervalos de tiempo, al cabo de los cuales los intereses se acumulan al capital,se llaman periodos de capitalización o de acumulación. Si son t años, r es el rédito anual (interés anual en %), el capital finalobtenido viene dado por la fórmula:CF = CO . ( 1 + r/100 )t

Si se consideran n periodos de tiempo, (n=12 meses , n = 4 trimestres, n=365 días,...)la fórmula anterior queda:

CF = CO . ( 1 + r/ n . 100 )nt

https://www.geogebra.org/apps/?id=2505953

EjemploSe colocan 5000 $ al 6% anual.¿En cuánto se convertirán al cabode 5 años?

• Si los intereses se acumulan anualmenteCF = 5000 . 1,065 = 6691,13 $

• Si los intereses se acumulan mensualmenteCF = 5000 . ( 1 + 6/1200)12.5 =CF = 5000 . 1,00560 =CF = 6744,25 $

• Si los intereses se acumulan trimestralmenteCF = 5000 . ( 1 + 6/400)4.5 =CF = 5000 . 1,01520 =CF = 6734,27 $ VOLVER

Desintegración radiactivaLas sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo. La cantidad de una cierta sustancia que va quedando a lo largo del tiempo viene dada por:

M = M0·at

M0 masa inicial

0 < a < 1 es una constante que depende de lasustancia y de la unidad de tiempo que tomemos.

La rapidez de desintegración de las sustancias radiactivas se mide por el “periodo de desintegración” que es el tiempo en que tarda en reducirse a la mitad.

Ejemplo

Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 28 años, si en el año 2000 teníamos 18gr y tomamos como origen de tiempo el año 2000.

• La función es:M(x) = 18 0,5⋅ x/28 = 18 0,9755⋅ x

• En el año 2053 quedará:M = 18 0,9755⋅ 53 = 4,85 gr

VOLVER

MATERIAL sobre la función exponencial

• http://www.geogebra.org/m/2342901 • https://sites.google.com/site/674matematica6

74/funcion-e

• https://sites.google.com/site/674matematica674/funcion-exponencial-2

• http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_exp_log_app/fn_app.html TEMARIO