Gottlob Frege Logikai vizsgldsok
Gottlob Frege Logikai vizsgldsok Vlogatott tanulmnyok Osiris, 1999 Szerkesztette: MT ANDRS A kommentrokat s a bevezetst rta, a fordtst szakmailag ellenrizte: RUZSA IMRE Fordtotta: MT ANDRS (I VIII.) BIMB KATALIN (IX.) ISBN Ruzsa Imre 1980 Mt Andrs, 1980; Bimb Katalin, 1988 Hungarian translations
1
TARTALOM Gottlob Frege I. Fogalomrs, a tiszta gondolkods formulanyelve, az aritmetika nyelvnek mintja szerint II. Fggvny s fogalom III. Fogalom s trgy IV. Jelents s jellet V. Az aritmetika alaptrvnyei, I. ktet VI. Az aritmetika alaptrvnyei, II. ktet VII. Logikai vizsgldsok, I. rsz: A gondolat VIII. Logikai vizsgldsok, II. rsz: A tagads IX. Logikai vizsgldsok, III. rsz: sszetett gondolatok Irodalomjegyzk Frege szakkifejezseinek s szimblumainak fordtsa
2
GOTTLOB FREGE Szz vvel ezeltt, 1879-ben, vkonyka, mindssze 88 oldal terjedelm knyv jelent meg Hallban. Szerzje dr. Gottlob Frege, a jnai egyetem 31 ves magntanra. A knyvecske cme: Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, rviden: Begriffsschrift, magyarul: Fogalomrs. Eltekintve nhny recenzitl, a m a szzadfordulig teljesen szrevtlen maradt, s semmifle hatst nem fejtett ki a tudomny fejldsre. Pedig ez a knyv a 19. szzad utols harmadnak egyik legjelentsebb szellemi alkotst tartalmazza. Ma mr a Begriffsschrift megjelensnek vt tekintik s teljes joggal a modern logika (szimbolikus vagy matematikai logika) szletsi vnek, a knyv szerzjt pedig ugyancsak indokoltan korunk Arisztotelsznek. A logika megjtsnak, egy calculus ratiocinator megalkotsnak gondolata mg Leibniztl szrmazik. A gondolat realizlsa azonban mintegy kt vszzadot vratott magra. A mlt szzad derekn az angol George Boole konstrult egy logikai algebrt, amelyet msok kztk a nmet Ernst Schrder mdostottak s tovbbfejlesztettek. Mdszert s kapacitst tekintve azonban a BooleSchrder-algebra sszehasonlthatatlan Frege mvvel; ez utbbi teljesen elzmny nlkli a logikai s a matematikai irodalomban. Lenygz nagysgt ppen az adja, hogy ennek ellenre szinte tkletes alkots, amelynek alapjaihoz az azta eltelt szz esztend semmit nem tett hozz, legfljebb klsleg mutatsabb s belsleg komfortosabb tette az pletet. Meglep lehet, hogy ez a fiatal tuds 30 ves korra ilyen nagy jelentsg eredmnyhez jutott. Meglepdsnket csak fokozza az a tny, hogy maga el tztt kutatsi programjban egyltaln nem szerepelt a logika megreformlsnak gondolata. Mint filozofikus hajlam matematikus, lnken rdekldtt diszciplnjnak vgs alapjai irnt, s mlysgesen elgedetlen volt a korabeli formalista felfogsokkal. Arra a meggyzdsre jutott, hogy az aritmetika tiszta logikai tudomny, s cljul tzte ki ennek szabatos bebizonytst. E cl fel haladva szlelte, hogy a tradicionlis logika appartusa teljesen alkalmatlan a matematikai defincik s bizonytsok reproduklsra. (Ugyanilyen alkalmatlan a BooleSchrder-fle algebra is, amely az lltsok finomszerkezeti felbontst nem teszi lehetv.) gy a kitztt feladat arra ksztette, hogy olyan logikai appartust alkosson, amelynek keretben a matematikai
3
bizonytsok egzaktul elemezhetk. (Frege azonban kezdettl fogva tisztban volt azzal, hogy logikja nem specilisan a matematika logikja, hanem a szabatos gondolkods ltalban.) Meglep, hogy ennek a mellkfeladatnak a megoldsa egy nekifutsra sikerlt. Frege rmmel regisztrlhatta, hogy Fogalomrsa magban foglalja a tradicionlis logika minden helytll eredmnyt, tudja mindazt, amit Schrder algebrja tud, s ugyanakkor messze tlszrnyalja ezeket. A Begriffsschrift megrsa utn Frege folytatja eredeti programjt. Mikzben filozfiailag tisztzza a termszetes szm fogalmt, szreveszi, hogy a matematikai rekonstrukci megkvnja a fogalomrs, a logikai appartus tovbbfejlesztst. Ezzel prhuzamosan, a matematikai formalizmussal folytatott polmijban kulcskrdsknt jelenik meg a jel s a jel mgtti tartalom kapcsolata. Flismeri, hogy ez a kapcsolat kt komponensre bonthat: egyrszt a jel megjell egy trgyat, ez a denottuma, msrszt ezt meghatrozott mdon jelli, s ez alkotja a jel rtelmt vagy jelentst. Kt jel jellhet egyazon trgyat klnbz mdon, s gy megegyezhet denottumban, de klnbzhet rtelmben. Ez az analzis azrt fontos, mert bizonyos kontextusokban egy jel (pl. nv) nem a denottumra, hanem az rtelmre referl. Ennek az jabb mellkproblmnak a vizsglatval Frege a logikai szemantika megalapozjv s az ltalnos szemantika egyik ttrjv vlik. E tmakrbe tartoz eredmnyei szerves rszt alkotjk a mai szemiotiknak, a jelek ltalnos tudomnynak is. Nem rszletezzk itt Frege munkssgnak jelentsgt; a mltatst elvgzik a ktetnkben tallhat eredeti Fregetanulmnyok s a hozzjuk csatlakoz kommentrok. Elg lesz azt kiemelnnk, hogy Frege tudomnyos munkssgban hrom, egymssal szorosan sszefond komponens mutathat ki: (1) A modern szimbolikus logika megalapozsa. (2) ttr szemantikai vizsglatok. (3) A matematika megalapozsa s a matematika filozfija krbe vg kutatsok. A ktetnkben szerepl, IVII sorszmozs tanulmnyok kzl a logika megalapozsval fleg az I, II, VI alatti munkk foglalkoznak. Szemantikai problmk valamennyi tanulmnyban szerepelnek, kiemelkeden fontosak e tekintetben a II, III, IV s a VII, VIII, IX alatti cikkek. A matematika alapjaival dnten a II, V, VI szm munkk foglalkoznak. Frege ksbbi rsai is meglehetsen rideg fogadtatsra talltak a kortrsak krben. A matematika formalista felfogst brl rsait az akkoriban uralkod irnyzat ppen olyan rosszindulattal tmadta s mellzte, mint Georg Cantor s
4
Richard Dedekind formalizmusellenes megnyilvnulsait. Logikai nzetei pedig mlysgesen ellenkeztek a logikban akkoriban uralkod pszichologista felfogssal. Mveinek sikertelensghez egy klsdleges ok is hozzjrult: az a szokatlan szimblumrendszer, amelyet Frege a Fogalomrsban kialaktott. Az I s a V alatti mveiben gyakran oldalakon keresztl nem fordul el sz, csak a hieroglifkhoz hasonl szimblumok sokasga. Radsul Frege formuli ktdimenzisak: amit a mai jellstechnika szerint egy sorba runk, az az rsmdja szerint csaknem mindig mlysgben is tagoldik, vagyis tbb sort foglal el, s az egyes sorok kztti kapcsolatokat fggleges s vzszintes vonalak reprezentljk. gy pl. azt a smt, amelyet ma gy runk: ~ (A B) (C ~ D), Frege gy jellte: (1.bra klisrl. Szmozs nem kell.) Sok tmads rte Fregt teljesen indokolatlanul e jellstechnika miatt is. Pedig Frege csupn tvitte a logikra azt az elvet, amelyet a korabeli matematikban mr szltben elismertek s alkalmaztak: azt, hogy a tartalom egyrtelm s tmr, ttekinthet kifejezsre a mestersges szimblumok nyelve alkalmasabb, mint a kznyelv. (s itt hozz kell fznnk, hogy a szimblumok szabatos hasznlata tekintetben Frege meghaladta legtbb matematikus kortrst: minden bevezetett jel jelentst pontosan rgzti.) Ami a jelrendszer ktdimenzis formjt illeti, abban sincs semmi tmadhat; teljesen logikus, s egyben-msban mg szemlletesebb is, mint a ma hasznlatos lineris rsmd. (Akikre riasztan hat, azokra a lineris elrendezs sem hat kevsb riasztan.) Valjban kizrlag nyomdatechnikai okok szlnak az egydimenzis, lineris rsmd elnyben rszestse mellett. . Br Frege egy-kt vtizeddel elreszaladt kortrsaihoz kpest, a problmk, amelyeket vizsglt s megoldott, egyltaln nem lgbl kapottak voltak, hanem mlyen gykereztek a kor logikai s matematikai tnyanyagban, vagyis megoldsra rett problmk voltak. Ezt egyrtelmen bizonytja, hogy Freghez kpest nmi ksssel ugyan, de tle teljesen fggetlenl, ms kutatk is eredmnyesen foglalkoztak e problmkkal. gy az amerikaiCharles Sanders Peirce (akinek ilyen trgy rsai akkor nem vltak Eurpban ismertt) a szemiotika, az elemi (kvantifikcimentes) logika, s a matematika filozfija terletn sok helytt rintkezik Frege eredmnyeivel. A szzadfordul veiben az olasz Giuseppe Peano az aritmetika megalapozshoz ugyancsak kidolgoz egy fogalomrst, amelyben mr kvantifikci is szerepel (persze a Fregetl eltr jellsrendszerrel). Az aritmetika megalapozsa s a szmossg ltalnos fogalmnak kidolgozsa tern Cantor s Dedekind munkssga is sok pontban rintkezik Fregevel. Frege vonalvezetshez legkzelebb llt Bertrand Russell, aki a szzadforduln ugyancsak a matematika vgs alapjainak 5
felkutatst tzte ki clul. Megismerve s felhasznlva Peano munkssgt, hozzltott az aritmetika logikai megalapozshoz, s lnyegben megismtelte Frege mvt. Csak ezutn kerltek kezbe Frege rsai, amelyekbl megtudta, hogy Frege csaknem hsz vvel megelzte t. Alighanem volt Frege els olyan olvasja, aki tkletesen megrtette. Br Russell nem titkolta el, hogy (tudtn kvl) Fregt ismtelte, a modern logikt s az aritmetika logikai redukcijt a kzvlemny hossz ideig mgis Peano, Russell s A. N. Whitehead (Russell munkatrsa) alkotsnak tartotta. (A mai jellstechnika tlnyom rszben valban tlk szrmazik.) Frege szmra a szimbolikus logika kezdeti sikerei sem hoztk meg a megrdemelt elismerst. Kt htrltat krlmny is kzrejtszott ebben. Az egyik azoknak a logikai ellentmondsoknak a flfedezse, amelyek mind Cantor halmazelmlett, mind az aritmetika logikai megalapozst sszeomlssal fenyegettk. (Elhrtsukra Russell s Whitehead dolgoztk ki az els vdelmi ksrletet.) A msodik tny az els vilghbor kitrse. A kt vilghbor kztti idszakban Frege logikai munkssga, legalbb a szimbolikus logika mveli krben, mr kezd ismertebb vlni, s kifejezetten az eredeti rendszerre vonatkoz kutatsi eredmnyek is szletnek. A msodik vilghbor utn, a logikai szemantika intenzv kibontakozsa nyomn fedezik fl valjban Fregt, mint e diszciplna atyjt. Valsgos Frege-renesznsz kezddik. jra kiadjk, tovbb szmos idegen nyelvre lefordtjk mveit, folytatjk s tovbbfejlesztik logikai s szemantikai eszmit. Szpen illusztrlja ezt a kvetkez statisztika a Fregrl szl (vilgnyelveken rt) tanulmnyokrl: 1920 s 1944 kztt: 24 cikk. 1945 s 1960 kztt: 82 cikk. 1961 s 1970 kztt: 142 cikk s 3 knyv. A hetvenes vektl , mindenekeltt Michael Dummett els nevezetes Frege-monogrfijnak megjelenstl kezdve (ld. az Irodalomjegyzkben, [52]) Frege letmve egyrtelmen az eurpai filozfiai klasszikus teljestmnyei kztt foglal helyet ; a vele foglalkoz irodalom gyszlvn ttekinthetetlenn vlik. Friedrich Ludwig Gottlob Frege 1848. november 11-n szletett Wismarban. Szlei ott lenyiskolt vezettek. Frege 1869-tl 1871-ig Jnban, majd 1873-ig Gttingenben tanult matematikt, itt is doktorlt. 1874-tl a jnai egyetem magntanra, majd 1879-tl 1917-ig professzora. Az egyetemen ppoly elszigeteltsgben tantott, mint amilyen visszhang nlkl maradtak rsai is: munkssgt az egyetem vezetsge
6
alrendelt jelentsgnek s az egyetem szmra minden klns elnyt nlklznek minstette, s gy nem tette lehetv, hogy asszisztensek, munkatrsak kre csatlakozzk Freghez. 1917-ben visszavonult, s hallig Bad Kleinenben lt. 1925. jlius 26-n halt meg. Wismarban temettk el. KTETNK TARTALMRL Ktetnk rszben a Logika, szemantika, matematika cmmel a Gondolat Kiadnl 1980-ban megjelent s azta elfogyott ktet j kiadsa, de kimaradtak belle Az aritmetika alapjai bl kzlt rszletek, mivel ez a m idkzben teljes egszben megjelent magyarul, viszont kibvtettk a tartalmat Frege Logikai vizsgldsok cm, ksi tanulmnysorozatval, melynek magyar fordtsa ktetben mg nem jelent meg. Ktetnk anyaga Frege letmvnek valamennyi szakaszrl ttekintst nyjt.Az I cikk a plyakezd s egyttal a logika trtnetben j korszakot nyit Begriffsschrift (Fogalomrs) els s msodik fejezetnek fordtsa, kiegsztve a kihagyott utols fejezet tartalmi ismertetsvel. A II, III s IV cikk hrom, csaknem egyidben kszlt tanulmny teljes fordtsa, melyek gy, egyttesen lnyegben teljes kpet adnak Frege kzps alkoti korszakban vallott logikai s szemantikai nzeteirl. Az V s VI cikk Frege f mvbl, Az aritmetika alaptrvnyeibl vlogat nhny rszletet, melyeket a m egsznek tartalmi ismertetsvel egsztnk ki. A VII, VIII s IX cikk Frege vgs llspontjt fejti ki a logika filozfiai alapjairl. A cikkek sorrendje az eredeti megjelens idrendjt kveti. Valamennyi cikket ellttunk kommentrokkal; ezeket az apr bets szeds klnbzteti meg a Frege-szveg fordtstl. A kommentrokat, az eredeti szveg megszaktsval, mindig ott helyeztk el, ahol ppen szksgesnek mutatkoztak. Ezzel az eljrssal azt a clt kvettk, hogy a mai olvas szmra kzvetlenl rthet szveget adjunk. Ugyane clbl flcserltk Frege jellstechnikjt a napjainkban szoksossal, amelyet az olvask nagyobb rsze bizonyra ismer. Ez helyenknt a szvegh fordtstl val eltrseket vont maga utn; a fontosabb eltrseket a kommentrban jelezzk. Nhny szavas magyarzatok a fszvegben is elfordulnak; ezeket szgletes zrjelek kz rva tesszk flismerhetv. A kommentrokhoz szmtjuk a kihagyott rszek tartalmi ismertetst is (ezek is apr betsek). A kommentrokkal nemcsak a szveg megrtshez hajtunk segtsget nyjtani, hanem amennyire az adott keretek kztt lehetsges ahhoz is, hogy az olvas Frege mveit kapcsolatba tudja hozni a logika, a szemantika s a matematika filozfija jelenlegi llsval. Szerkeszti lbjegyzeteket nem alkalmazunk; a lapalji jegyzetek kivtel nlkl Frege jegyzetei. Nhny jelentktelen lbjegyzetet elhagytunk. 7
A ktet vgn Irodalomjegyzk tallhat. Itt adjuk meg elszr is a ktetnkben szerepl fordtsok eredetijnek bibliogrfiai adatait, majd Frege csaknem sszes munkinak jegyzkt, s vgl az (akr a fszvegben, akr a kommentrban) idzett egyb mvek jegyzkt. Az irodalomjegyzk utn Frege kulcskifejezseinek sztra s fogalomrsa jelrendszernek a mai jellstechnika szerinti fordtsa tallhat. A hivatkozsok sorn az idzett mveket az Irodalomjegyzkben szerepl, szgletes zrjelek kz rt sorszmukkal nevezzk meg. A ktetnkben szerepl mvekre a rmai szmos [I][IX] kdokkal utalunk, a tbbi munka arab sorszmot visel. Frege gyakran hivatkozik sajt mveire; ha az idzett m fordtsa ktetnkben szerepel, akkor a hivatkozsban a ktetbeli (rmai szmos) kdot tntetjk fl. Ruzsa Imre
8
(2. bra, szmozs nlkl, alrssal:) A Begriffsschrift egy lapja
9
I FOGALOMRS A TISZTA GONDOLKODS FORMULANYELVE, AZ ARITMETIKA NYELVNEK MINTJA SZERINT (1879) ELSZ Egy tudomnyos igazsg felismerse rendszerint a bizonyossg tbb fokn halad t. Az ltalnos ttel, melyet elszr taln elgtelen szm egyedi eset alapjn gondoltak ki, fokozatosan megszilrdul oly mdon, hogy kvetkeztetsek rvn ms igazsgokkal kerl kapcsolatba, akr gy, hogy olyan kvetkezmnyeket vezetnek le belle, amelyeket ms mdon mr igazoltak, akr megfordtva gy, hogy mr elfogadott ttelek kvetkezmnynek bizonyul. Ezrt flvethet egyrszt az a krds, hogy milyen ton lehet fokozatosan eljutni egy ttelhez, msrszt az, hogy milyen mdon lehet a ttelt vgezetl legbiztosabban megalapozni. Az els krdst klnbz emberek vonatkozsban esetleg klnbzkppen kell megvlaszolni; a msodik hatrozottabb, s megvlaszolsa a trgyalt ttel bens lnyegvel fgg ssze. A legbiztosabb nyilvnvalan a tisztn logikai bizonytsi md, amely eltekint a dolgok klns termszettl, s gy kizrlag azokra a trvnyekre tmaszkodik, amelyeken minden megismers nyugszik. Ezrt az olyan igazsgokat, amelyek megalapozst ignyelnek, kt tpusba soroljuk: az egyik tpusban a bizonyts tisztn logikailag lehetsges, a msikban viszont tapasztalati tnyekre kell tmaszkodnia. Elfordulhat azonban, hogy egy ttel az els fajthoz tartozik, m rzki tevkenysg nlkl mgsem juthat soha emberi szellem a tudatra.1 Teht nem a pszicholgiai keletkezsi md, hanem a bizonyts legtkletesebb mdja szolgl a feloszts alapjul. Amikor azt a krdst tettem fel magamnak, hogy az aritmetikai tletek melyik tpusba tartoznak e kett kzl, elszr azt kellett megvizsglnom, hogy mennyire lehet jutni pusztn kvetkeztetsekkel az aritmetikban, csakis a gondolkods Mivel a szmunkra ismeretes lnyeknl nem lehetsges rzki tevkenysg nlkl szellemi fejlds, minden tletre az utbbi rvnyes.1
10
minden klnssg fl emelkedett trvnyeire tmaszkodva. Eljrsom az volt, hogy elszr megksreltem a sorozaton belli elrendezettsg fogalmt a logikai kvetkeztetsre visszavezetni, hogy innen a szmfogalomhoz lphessek tovbb. Hogy itt ne furakodjk be szrevtlenl valami szemlletes, azt teljesen a kvetkeztetslncok hzagtalansgnak kellett biztostania. Mikzben ezt a kvetelmnyt a legszigorbban kielgteni igyekeztem, akadlyba tkztem a nyelv elgtelensgben, amely, a kifejezs minden add nehzkessge mellett, annl kevsb engedte elrnem azt a szabatossgot, amelyet clom megkvnt, minl bonyolultabb vltak az sszefggsek. Ebbl a szksgletbl keletkezett a jelen Fogalomrs gondolata. E fogalomrs teht elszr is arra szolgl, hogy egy kvetkeztetslnc helyessgt a legbiztosabb mdon ellenrizzk s minden szrevtlen belopdz elfeltevst kimutassunk, miltal az utbbiak eredetk szerint megvizsglhatakk vlnak. Ezrt minden olyan dolognak a kifejezstl eltekintnk, amelynek a kvetkeztets szempontjbl nincs jelentsge. Azt, ami szmomra kizrlag fontos, a 3. -ban fogalmi tartalomnak nevezem. Ezt a magyarzatot mindig figyelembe kell vennnk, ha formulanyelvem lnyegt helyesen akarjuk felfogni. Innen addott a fogalomrs elnevezs is. Mivel elszr is olyan sszefggsek kifejezsre szortkoztam, amelyek a dolgok klns tulajdonsgaitl fggetlenek, hasznlhattam a tiszta gondolkods formulanyelve kifejezst is. Az aritmetika formulanyelvnek mintul vtele, amire a cmben utaltam, inkbb az alapgondolatokra vonatkozik, mintsem az egyes rszletekre. Olyan trekvsek, hogy a fogalomnak ismertetjegyei sszegeknt val felfogsval teremtsek egy mesterklt hasonlsgot, ppensggel tvol lltak tlem. Legkzvetlenebbl a betk hasznlati mdjban rintkezik formulanyelvem az aritmetikval. Fogalomrsomnak az let nyelvhez val viszonyt, gy vlem, azzal vilgthatom meg legjobban, ha a mikroszkpnak a szemhez val viszonyval vetem ssze. Utbbi, alkalmazhatsgnak terjedelme s azon mozgkonysga rvn, mellyel a legklnbzbb krlmnyekhez alkalmazkodni kpes, nagy flnyben van a mikroszkppal szemben. Optikai kszlkknt tekintve persze sok fogyatkossgot mutat, amelyek csak a szellemi lettel val bens kapcsolata kvetkeztben maradnak rendszerint figyelmen kvl. Amikor azonban tudomnyos clok nagy kvetelmnyeket tmasztanak a megklnbztets lessgvel szemben, a szem elgtelennek bizonyul. A mikroszkp viszont ilyen clokra a legtkletesebben megfelel, de ppen ezltal minden msra hasznavehetetlen.
11
Hasonlkppen a jelen fogalomrs is egy meghatrozott tudomnyos clokra kigondolt segdeszkz, amelyet nem szabad amiatt eltlni, hogy msra nem alkalmas. Ha ezeknek a cloknak bizonyos mrtkben meg is felel, mindazonltal hinyolhatk rsomban az j igazsgok. Emiatt azzal a tudattal vigasztalhatom magamat, hogy a mdszerek tovbbfejlesztse is elmozdtja a tudomnyt. Nem tartja-e Bacon is jelentsebbnek egy olyan eszkz flfedezst, mellyel minden knnyen megtallhat, mint egyes dolgokt, s nem leli-e az jabb kor sszes nagy tudomnyos elrehaladsa a mdszerek javtsban eredett? Leibniz is felismerte egy clszer jellsi md elnyeit, taln tl is becslte. Az gondolata az egyetemes karakterisztikrl, a calculus philosophicus vagy ratiocinatorrl2 tl hatalmas volt ahhoz, hogy a megvalstsra tett ksrlet tljuthasson a puszta elkszleteken. A lelkeseds, mely szerzjt elragadta annak mrlegelsekor, hogy az emberisg szellemi energiinak milyen megsokszorozdsa szrmazhatna egy, a dolgok lnyegt tall jellsmdbl, lebecsltette vele a nehzsgeket, amelyek egy ilyen vllalkozs eltt tornyosulnak. De ha ez a magasztos cl egy nekiiramodssal nem is rhet el, nem kell ktelkednnk a lass, lpsenknti megkzeltsben. Ha egy feladat teljes ltalnossgban megoldhatatlannak tnik, idlegesen korltozzuk magunkat; gy taln, fokozatos kiterjesztssel, sikerlni fog a lekzdse. A leibnizi gondolat egyes terletekre vonatkoz megvalsulst lthatjuk az aritmetikai, geometriai, kmiai jelekben. Az itt javasolt fogalomrs ezekhez egy jabbat fz, spedig a kzppontban llt, amely az sszes tbbit rinti. Innen kiindulva ksrelhet meg a siker legjobb kiltsaival a meglev formulanyelvek hzagainak kitltse, mindeddig elvlasztott terleteiknek egyetlen tartomnny val sszekapcsolsa, s a kiterjeszts olyan terletekre, ahol eddig az ilyen nyelv hinyzott. Mindenekeltt ott vrom fogalomrsom eredmnyes hasznlatt, ahol a bizonyts helyessgt klnsen fontosnak kell tartani, mint a differencil- s integrlszmts megalapozsban. Mg knnyebbnek ltszik szmomra e formulanyelv hatskrnek kiterjesztse a geometrira. Mindssze az itt elfordul szemlletes viszonyok szmra kell nhny jelet hozzkapcsolni. Ezen a mdon egyfajta analysis situst kapnnk. Ehhez csatlakozhatna a tiszta mozgstanra, majd a mechanikra s a fizikra val tmenet. Az utbbi kt terleten, ahol a gondolati szksgszersg mellett a termszeti is Lsd errl Trendelenburg: Historische Beitrage zur Philosophie. 3. Band.2
12
rvnyesl, a leginkbb elrelthat a jellsmd tovbbfejdse a megismers elrehaladsval. De ez nem ok arra, hogy addig vrjunk, amg az ilyen talakulsok lehetsge kizrtnak nem tnik. Ha a filozfinak feladata, hogy megtrje a sz uralmt az emberi szellem felett, amennyiben fnyt dert azokra a tvedsekre, amelyek a nyelvhasznlat kvetkeztben a fogalmak sszefggsei tekintetben gyakran csaknem elkerlhetetlenl keletkeznek, amennyiben a gondolatokat megszabadtja attl, amivel ket egyedl a nyelvi kifejezeszkzk termszete terheli, gy fogalomrsom, ezekre a clokra tovbbfejlesztve, hasznos eszkzz vlhat a filozfusok szmra. Persze, ahogyan ez egy kls brzol eszkz esetn nem is lehet msknt, ez sem adja vissza tisztn a gondolatokat; azonban egyrszt ezek az eltrsek az elkerlhetetlenre s rtalmatlanra korltozhatk, msrszt mr azltal, hogy ezek egszen msflk, mint amilyenek a nyelvre jellemzek, vdelem addik ezen kifejezsi eszkzk egyiknek egyoldal befolysa ellen. gy vlem, hogy a logikt mr ezen fogalomrs feltallsa is elmozdtotta. Remlem, hogy a logikusok, ha nem riadnak vissza az idegenszersg els benyomstl, nem tagadjk majd meg egyetrtsket azoktl az jtsoktl, amelyekre engem a trgyban bennerejl szksgszersg ksztetett. Ezek az eltrsek a megszokottl abban lelik igazolsukat, hogy a logika mindeddig mg tl szorosan kapcsoldott a nyelvhez s a nyelvtanhoz. Klnsen a szubjektum s a prediktum fogalmnak az argumentum, ill. a fggvny fogalmval val helyettestst vlem maradandnak. Knny felismerni, hogy a tartalomnak egy argumentum fggvnyeknt val felfogsa mily fogalomalkotan hat. Figyelmet rdemelhet mg a ha, s, nem, vagy, van, nmely, minden szavak jelentse kztti sszefggsek kimutatsa is. Kln emltst rdemel mg a kvetkez. A 6. -ban bevezetett korltozst egyetlen kvetkeztetsmdra az teszi indokoltt, hogy egy ilyen fogalomrs megalapozsakor az salkotrszeket olyan egyszereknek kell flvenni, amennyire csak lehetsges, ha ttekinthetsget s rendet akarunk biztostani. Ez nem zrja ki, hogy ksbb, a rvidsg rdekben, kzvetlenn tegynk olyan tmeneteket tbb tlettl egy jhoz, melyek az egyetlen kvetkeztetsmd rvn csak kzvetett ton lehetsgesek. Ez valban ajnlatos lehet ksbbi alkalmazsok esetn. Ezltal tovbbi kvetkeztetsmdok keletkeznnek.
13
Utlag vettem szre, hogy a (31) s a (41) formulk sszevonhatk az egyetlen | (~ ~ a = a) formulba, s ezzel mg nhny tovbbi egyszersts lehetsgess vlik. Mint az elejn megjegyeztem, az aritmetika volt a kiindulpontja annak a gondolatmenetnek, amely engem a fogalomrshoz vezetett. Erre a tudomnyra szeretnm elszr alkalmazni is, megksrelvn fogalmainak tovbbi elemzst s tteleinek mlyebb megalapozst. Egyelre a harmadik rszben tallhat egy s ms, amely ebbe az irnyba mutat. A jelzett t tovbbi kvetse, a szm, a mennyisg stb. fogalmnak megvilgtsa tovbbi vizsgldsok trgyt kpezi, mlyekkel kzvetlenl ezen rs utn fogok jelentkezni. Jna, 1878. december 18-n.Az elsz vgn grt m a Fogalomrsban megkezdett t folytatsa az 1884-ben megjelent Az aritmetika alapjai c. monogrfia ([9], magyarul [51]).
I. A JELLSEK MAGYARZATA 1. . Az ltalnos mennyisgtanban hasznlatos jelek kt tpusba sorolhatk. Az elsbe tartoznak a betk, amelyek mindegyike vagy egy hatrozatlanul hagyott szmot, vagy egy hatrozatlanul hagyott fggvnyt kpvisel. Ez a hatrozatlansg lehetv teszi, hogy a betkkel olyan ttelek ltalnosan rvnyes voltt juttassuk kifejezsre, mint (a+b)c = ac+bc. A msik tpus olyan jeleket foglal magba, mint +, , , 0,1, 2; ezek mindegyiknek sajt jelentse van. A jelek kt tpusa megklnbztetsnek ezt az alapgondolatt, melyet sajnos a mennyisgtanban nem visznek tisztn keresztl,3 folytatom tovbb, hogy a tiszta gondolkods tfogbb terletn ltalnosan hasznlhatv tegyem. Az sszes alkalmazott jelet felosztom teht egyrszt olyanokra, melyeket klnbzkppen lehet rteni, msrszt olyanokra, melyeknek teljesen meghatrozott rtelmk van. Az elsk a betk, s ezek3
Gondoljunk az 1, log, sin, lim jelekre. 14
rendszerint az ltalnossg kifejezsre szolglnak. Minden hatrozatlansg mellett is ragaszkodnunk kell azonban ahhoz, hogy ha egy betnek egyszer jelentst adunk, akkor jelentst az adott sszefggsben mindig megtartja.A szoksos kifejezseket hasznlva, e -ban Frege a vltozk s a konstansok les elhatrolsra trekszik. A Fogalomrs formulanyelvben a konstansok sohasem betk, hanem specilis szimblumok. A formulanyelv vltoziknt Frege latin s gt kisbetket hasznl; magyarzatukra a megfelel helyen visszatrnk. Latin s grg nagybetket hasznl a jelen I. rszben, alapveten azzal a cllal, hogy a formulanyelv konstansainak jelentst s hasznlati mdjt elmagyarzza. Ezek a betk teht nem tartoznak a formulanyelvhez. A kvetkez 4. lbjegyzete szerint az olvas tetszleges rtelmet tulajdonthat nekik, bizonyos korltozsokon bell, amelyek ksbb kvetkeznek.
AZ TLET 2. . tletet mindig a |
jel segtsgvel fejeznk ki, mely az tlet tartalmt megad jeltl vagy jelsorozattl balra ll. Ha a vzszintes vonal bal szln lev kis fggleges vonalat elhagyjuk, ez az tletet puszta kpzetkapcsolatt vltoztatja, melyrl lerja nem nyilvntja ki, hogy igaznak tekinti-e, vagy sem. Pldul ha | A4 azt az tletet jelenti, hogy a klnbz nem mgneses plusok vonzzk egymst, gy A nem ezt az tletet jelenti, hanem pusztn a klnbz nem mgneses plusok klcsns vonzsnak kpzett hivatott az olvasban felidzni, esetleg azrt, hogy kvetkeztetseket vonjon le belle s ezzel ellenrizze a gondolat igazsgt. Ebben az esetben olyan krlrst hasznlunk, mint az a krlmny, hogy vagy az a mondat, hogy. Nem minden tartalmat lehet a jele el helyezett | jellel tlett tenni, gy pl. a hz kpzett sem. Megklnbztetnk ezrt megtlhet s nem megtlhet tartalmakat.5 A latin nagybetket rvidtsekknt hasznlom, melyeknek, ha ms magyarzatot nem adok, az olvas tetszleges rtelmet tulajdonthat. 5 Ezzel szemben az a krlmny, hogy hzak vannak (vagy hogy van hz), mr megtlhet tartalom (v. 12). Utbbinak azonban a hz kpzet csak egy rsze. A Priamus hza fbl4
15
A | jelben a vzszintes vonal a re kvetkez jeleket egy egssz foglalja ssze, s erre az egszre vonatkozik az az llts, amit a vzszintes vonal bal vgn a fggleges kifejez. A vzszintes vonalat tartalomvonalnak, a fgglegest tletvonalnak nevezhetnnk. A tartalomvonal ms esetben is arra szolglhat, hogy valamilyen jelnek a rkvetkez jelek egszre val vonatkozst fejezze ki. Ami a tartalomvonalra kvetkezik, annak mindig megtlhet tartalommal kell brnia.A megtlhet tartalom kifejezsre a kznyelvben a kijelent mondatok szolglnak. Ksbbi rsaiban (lsd pl. [IV], [VII]) Frege a megtlhet tartalmat gondolatnak nevezi. Az imnti fejtegetsekben lnyeges a megtlhet tartalom (a gondolat) s az tlet megklnbztetse: az tlet a gondolat igazsgnak felismerse vagy elfogadsa. A tradicionlis logikban ez az les megklnbztets hinyzott: hol a gondolati tartalmat, hol a gondolat igazsgnak elismerst tekintettk tletnek. Napjainkban a megtlhet gondolati tartalmat tbbnyire lltsnak vagy kijelentsnek nevezik a szimbolikus logikban. A | jelben a vzszintes vonal (), amelyet Frege itt tartalomvonalnak nevez, akkor jut szerephez, ha a megtlend tartalom jele sszetett kifejezs: ekkor a tartalomvonal kapcsolja ssze a rszeket egyetlen egssz (hogy miknt, azt ksbb ltni fogjuk). Ktetnkben azonban eltrnk Frege eredeti jellsmdjtl, s ha a megtlend tartalom jele sszetett kifejezs, akkor zrjelekkel fogjuk ssze egyetlen egssz. gy a vzszintes vonalra mint nll jelre nem lesz szksgnk. Ezrt a tovbbiakban a | jelet mint egszet hasznljuk az tls jeleknt, s nem tulajdontunk kln jelentst a vzszintes rsznek. Megjegyezzk, hogy Frege ksbbi rsaiban (lsd [II]) a vzszintes vonal nll szimblumknt, egy bizonyos fggvny jeleknt lp fl.
3. . A szubjektum s a prediktum megklnbztetsnek nincs helye tletbrzolsomban. Ennek igazolshoz megjegyzem, hogy kt tlet tartalma ktflekppen klnbzhet: elszr gy, hogy azok a kvetkezmnyek, amelyek az egyikbl bizonyos ms tletekkel sszekapcsolva kvetkeznek, folynak a msikbl is ugyanazokkal a ms tletekkel sszekapcsolva; s msodszor gy, hogy ez nem ll fenn. Az a kt mondat, hogy Platanl a grgk legyztk a perzskat s Platanl a perzsk veresget szenvedtek a grgktl az els mdon klnbzik. Br nmi klnbsget rznk rtelmkben, a megegyezs van tlslyban. A tartalomnak azt a rszt, amely mindkettben ugyanaz, fogalmi tartalomnak nevezem. Mivel a fogalomrs szempontjbl csak ennek van jelentsge, nem kell klnbsget tennnk kt olyan mondat kztt, amelynek fogalmi tartalma megegyezik. Ha azt mondjk, hogy szubjektum az a fogalom, amelyrl az tlet volt mondatban nem lehet a hz helyre az a krlmny, hogy hz ltezik-et helyettesteni. 16
szl, ez ppgy illik a trgyra is. Ezrt csak azt lehetne mondani, hogy szubjektum az a fogalom, amelyrl az tlet fkppen szl. A szubjektum szrendbeli helye kitntetett hely, ahov azt tesszk, amire klnsen r akarjuk irnytani a hallgat figyelmt. (Lsd a 9. -t is.) Ennek pldul olyan clja lehet, hogy megvilgtsa az tletnek ms tletekkel val sszefggst, s ezzel megknnytse a hallgat szmra a teljes sszefggs felfogst. Az olyan nyelvi jelensgeknek teht, amelyek csak a beszl s a hallgat klcsnhatsbl szrmaznak, amennyiben pldul a beszl tekintetbe veszi a hallgat elvrsait s azokat mr a mondat kimondsa eltt helyes irnyba akarja terelni, formlis nyelvemben nincs megfeleljk, mert az tletekbl itt csak az jn szmtsba, ami befolysolja a lehetsges kvetkezmnyeket. Minden, ami egy helyes kvetkeztetshez szksges, teljes mrtkben kifejezsre jut; ami azonban nem szksges, azt tbbnyire nem is jelezzk; semmit sem hagyunk a tallgatsra. Ebben teljesen a matematikai formulanyelv pldjt kvetem, amelyben szubjektumot s prediktumot ugyancsak legfeljebb erszakkal lehet megklnbztetni. Elkpzelhet olyan nyelv, amelyben az a mondat, hogy Arkhimdsz lett vesztette Szirakza bevtelekor a kvetkezkppen fejezhet ki: Arkhimdsz erszakos halla Szirakza bevtelekor tny. Itt megklnbztethetnk, ha akarunk, szubjektumot s prediktumot, de a szubjektum foglalja magban az egsz tartalmat, s a prediktumnak csak az a clja, hogy ezt tlett tegye. Az ilyen nyelvben az sszes tlet szmra csak egyetlen prediktum lenne, nevezetesen a tny. Lthat, hogy itt a szoksos rtelemben vett szubjektumrl s prediktumrl nem lehet sz. Ilyen nyelv a fogalomrs, s a | jel az sszes tlet kzs prediktuma. Formulanyelvem els vzlataiban a nyelv pldja arra csbtott, hogy az tleteket szubjektumbl s prediktumbl lltsam ssze. De hamar meggyzdtem arrl, hogy ez sajtos clomnak htrnyra van, s csak haszontalan terjengssgekhez vezet. 4. . A kvetkez megjegyzsek az tletekre vonatkoz megklnbztetsek jelentsgt hajtjk cljaink szempontjbl megvilgtani. Megklnbztetnek ltalnos s klns tleteket: ez tulajdonkppen nem az tletek, hanem a tartalmak klnbsge. Azt kellene inkbb mondani, hogy ltalnos tartalm tlet, klns tartalm tlet. Ezek a tulajdonsgok ugyanis akkor is megilletik a tartalmat, ha nem tletknt, hanem mondatknt szerepel. (Lsd a 2. -t.)
17
Ugyanez rvnyes a tagadsra is. Pl. indirekt bizonytsban ezt mondjk: feltve, hogy az AB s a CD szakaszok nem egyenlk. Itt az a tartalom, mely szerint AB s CD nem egyenl szakaszok, tagadst foglal magban, de ezt a tartalmat, br megtlhet, nem lltjk tletknt. A tagads teht a tartalomhoz tartozik, akr fellp a tartalom tletknt, akr nem. Ezrt teht clszerbbnek tartom a tagadst a megtlhet tartalom jegynek tekinteni. A kategorikus, hipotetikus s diszjunktv tletek megklnbztetsnek, nzetem szerint, csak nyelvtani jelentsge van.6 Az apodiktikus tlet abban klnbzik az asszertorikustl, hogy benne kifejezsre jut olyan ltalnosabb tletek fennllsa, amelyekbl a ttel levezethet, mg az asszertorikusban hinyzik az ilyen jelzs. Ha egy ttelt szksgszernek mondok, gy jelzem az tletem alapjt. Mivel azonban ez nem rinti az tlet fogalmi tartalmt, az apodiktikus tlet formjnak szmunkra nincs jelentsge. Ha egy ttelt lehetsgesnek tntetnek fel, akkor a beszl vagy tartzkodik az tlettl, amennyiben jelzi, hogy nem ismer olyan trvnyt, amelybl a ttel tagadsa kvetkezne, vagy azt mondja, hogy ltalnosan tagadni a ttelt hamis lenne. Az utbbi esetben a szoksos elnevezs szerint rszleges llt tlettel7 van dolgunk. Plda az els esetre: Lehetsges, hogy a Fld egyszer sszetkzik egy ms gitesttel; a msodikra pedig: A meghlsnek hall lehet a kvetkezmnye.A 4. -ban Frege nem utastja el a tradicionlis logikai kategrikat, csupn megvilgtja, hogy ezek egy rsze nem az tletekre, hanem tartalmukra vonatkozik. A megfelel helyeken e megjegyzsekre mg visszatrnk. A modlis szavakat (szksgszer, lehetsges) tartalmaz lltsok trgyalsa ktsgtelenl elnagyolt. Mivel a Fogalomrs megalkotsnak f motivcija az aritmetika logikai alapjainak tisztzsa volt, a modlis lltsok elemzsnek problmjt, mint e szempontbl rdektelent, Frege itt flretolhatta. Ksbbi rsaiban azonban trgyal olyan problmkat, amelyek egyebek kztt a modlis logika szempontjbl is nagy jelentsgek. (Lsd [IV].) Explicit formban azonban sohasem foglalkozott a modalitsok problmival.
A FELTTELESSG 5. . Ha A s B megtlhet tartalmakat8 jelentenek, a kvetkez ngy eset lehetsges:6 7 8
Az indokols az rs egszbl fog kiderlni. Lsd 12. . 2. . 18
(1) A-t lltjuk s B-t lltjuk; (2) A-t lltjuk s B-t tagadjuk; (3) A-t tagadjuk s B-t lltjuk; (4) A-t tagadjuk s B-t tagadjuk. | (B A) azt az tletet jelenti, hogy ezek kzl a lehetsgek kzl a harmadik nem ll fenn, hanem a tbbi hrom kzl valamelyik. Ha teht (B A)-t tagadjuk, ez azt jelenti, hogy a harmadik lehetsg ll fenn, azaz hogy A-t tagadjuk s B-t lltjuk. Azon esetek kzl, amelyekben (B A)-t lltjuk, kiemeljk a kvetkezket: (1) A felttlenl lltand. Ekkor B tartalma teljesen kzmbs. Jelentse pl. | A azt, hogy 3 7 = 21, B jelentse azt a krlmnyt, hogy a Nap st. Most a fenti ngy eset kzl csak az els kett lehetsges. Nem szksges, hogy a kt tartalom kztt oksgi sszefggs lljon fenn. (2) B tagadand. Ekkor A tartalma kzmbs. Jelentse pl. B azt a krlmnyt, hogy a perpetuum mobile lehetsges, A pedig azt, hogy a vilg vgtelen. Oksgi kapcsolatnak A s B kztt nem kell fennllnia. (3) Felllthat a | (B A) tlet anlkl is, hogy tudnnk, A s B lltand-e vagy tagadand. Jelentse pl. B azt a krlmnyt, hogy a Hold els vagy utols negyedben van, A pedig azt, hogy flkrnek ltszik. Ebben az esetben | (B A) a ha ktsz segtsgvel fordthat: ha a Hold els vagy utols negyedben van, flkrnek ltszik. De jellsnk nem fejezi ki azt az oksgi kapcsolatot, amely a ha szban rejlik, habr ilyen tlet csak oksgi alapon llthat fl. Ugyanis ez a kapcsolat valami ltalnos, ami azonban itt mg nem jut kifejezsre. (Lsd a 12. t.) A jelet, amely a kt tartalmat sszekapcsolja, nevezzk feltteljelnek. Az tlet jeltl jobbra es kifejezst zrjelekkel fogjuk ssze egyetlen egssz, gy az tlet a kifejezs egsz tartalmra vonatkozik.Frege | (B A) helyett a kvetkez jellst alkalmazza
(3. bra, szmozs nlkl)Ennek megfelelen az utols bekezds helyett tnylegesen a kvetkez szveg szerepel: A kt vzszintes vonalat sszekt fgglegest nevezzk felttelvonalnak. A fels vzszintesnek a felttelvonaltl balra es rsze a
(4. bra, szmozs nlkl)jelkapcsolat imnt megadott jelentsnek tartalomvonala; ezen kell minden olyan jelet elhelyezni, amely a kifejezs egsz tartalmra vonatkozik. A
19
vzszintes vonalnak az A s a felttelvonal kztti rsze A tartalomvonala. A Btl balra es vzszintes pedig B tartalomvonala." Itt mr kivilglik a vzszintes vonal szerepe, melyre a 2. -hoz fztt kommentrban utaltunk: az sszetett kifejezs alkatrszeit vonalak kapcsoljk ssze, s e vonalak rendszert vgl egy vzszintes vonaldarab kti az tls fggleges vonalhoz. A mai jellsmdban a tartalom behatrolst, egysgbe foglalst a zrjelek jelzik, s gy nincs szksg kln tartalomvonalakra. Megjegyezzk, hogy ha kln sorban szerepel egy tlet, akkor a tartalmat behatrol zrjelpr el is hagyhat, a flrerts veszlye nlkl.
Ezek utn knny felismerni, hogy | (C (B A)) tagadja azt az esetet, amikor A tagadand, B s C pedig lltand. Ezt ugyangy kell gondolatban sszelltanunk (B A)-bl s C-bl, mint (B A)-t B-bl s Abl. Ezrt teht elszr is tagadjuk azt az esetet, amikor (B A)-t tagadjk s C-t lltjk. (B A) tagadsa azonban azt jelenti, hogy A-t tagadjuk s B-t lltjuk. Innen addik a fentebbi megllapts. Ha oksgi kapcsolat ll fenn, gy is lehet mondani: A szksgszer kvetkezmnye B-nek s C-nek; vagy: Ha a B s a C krlmnyek fllpnek, gy A is fllp. Nem kevsb flismerhet, hogy | ((B A) C) azt az esetet tagadja, amikor (B A)-t lltjk s C-t tagadjk. Ha A s B kztt oksgi kapcsolatot tteleznk fl, gy fordthatjuk: abbl, hogy A szksgszer kvetkezmnye B-nek, arra lehet kvetkeztetni, hogy C fennll.Az eredeti szvegben a formult kvet sorban amikor (B A)-t lltjk s C-t tagadjk helyett amikor B-t lltjk, A-t s C-t pedig tagadjk szerepel. Ez nyilvnval tveds; a formula msodik magyarzata a helyes. E tvedst elszr E. Schrder emlti a knyvrl rott recenzijban (1880). Az e -ban bevezetett (B A) kifejezst ma kondicionlisnak mondjuk, melynek eltagja B, uttagja pedig A. A kondicionlisnak akr az uttagja, akr az eltagja lehet kondicionlis; ezt illusztrlja Frege kt pldja. A zrjelekkel val takarkoskods rdekben megllapodunk abban, hogy a kondicionlis uttagjban fllp kondicionlist nem tesszk zrjelek kz; teht pl. (C (B A)) helyett (C B A)-t runk. Az eltagban fllp kondicionlist azonban zrjelekkel hatroljuk; gy ((B A) C) eredeti formjt megtartjuk. Ez j sszhangban van Frege eredeti jellsvel is:
(5. bra, szmozs nlkl)Bertrand Russell materilis implikcinak nevezte a kondicionlist, s ez az alapjban helytelen elnevezs ma is elgg elterjedt. Frege sohasem hasznlta ezt a kifejezst. E knyvben Frege mg nem hivatkozik igazsgrtkekre, s ezrt fogalmazsa a kondicionlis jelentsnek kifejtsekor kiss nehzkes.
20
Igazsgrtkekre hivatkozva, tmren gy fogalmazhatunk: (B A) hamis llts, ha B igaz, A pedig hamis llts; minden ms esetben (B A) igaz llts. Mint ltjuk, Frege igaz helyett az lltjuk vagy lltand, hamis helyett a tagadjuk vagy tagadand kifejezseket hasznlja. Az igazsgrtkek bevezetsre a [II] munkban kerl sor.
6. . Az 5. -ban adott magyarzatbl addik, hogy a | (B A) s a | B tletekbl egy j tlet, az | A kvetkezik. A ngy fentebb felsorolt esetbl a harmadik | (B A) kvetkeztben, a msodik s a negyedik pedig | B kvetkeztben kizrt, gy teht csak az els marad fenn. Ezt a kvetkeztetst ilyenflekppen lehetne felrni: | (B A), | B | A. Ha A s B helyn hossz kifejezsek llnnak, ez krlmnyes lenne, mert mindegyiket ktszer kellene rni. Ezrt a kvetkez rvidtst hasznlom. Minden olyan tletet, amely egy bizonyts sorn elfordul, szmmal jellk meg, melyet ott, ahol ez az tlet elszr fordul el, tle jobbra helyezek el. Jellje pldul (x) a | (B A) tletet, vagy egy olyat, amely ezt klns esetknt tartalmazza. Ekkor a kvetkeztetst gy rom: (x) : | B | A Itt az olvasra bzom, hogy | B-bl s | A-bl a | (B A) tletet sszelltsa magnak s ellenrizze, hogy megegyezik-e az emltett (x) tlettel. Ha pldul a | B tletet (xx) jelli, ugyanezt a kvetkeztetst gy is rom: | (B A) :: (xx) | A A kettztt kettspont itt arra utal, hogy most a fentitl klnbz mdon kell a kt krt tletbl az (xx) segtsgvel jelzett | B tletet kpezni. Ha pldul mg a | C tletet (xxx) jelli, akkor az albbi ktlpses kvetkeztetst: | (C B A) :: (xxx) | (B A) :: (xx) | A mg rvidebben gy rom: | (C B A) :: (xxx), (xx) | A 21
A logikban Arisztotelsz nyomn kvetkeztetsi mdok egsz sort szoktk emlteni; n csak ezt az egyet hasznlom legalbbis minden olyan esetben, amikor egynl tbb tletbl vezetek le egy jat. Ugyanis azt az igazsgot, amely valamely ms kvetkeztetsi mdban foglaltatik, ki lehet fejezni tlettel ilyen formban: Ha N s M fennll, akkor A is fennll, jelekkel: | (N M A). Ebbl, valamint az | N s az | M tletekbl aztn kvetkezik | A, mint fent. gy lehet visszavezetni a tetszleges kvetkeztetsi md szerinti kvetkeztetseket a mi esetnkre. Mivel ezek szerint lehetsges egyetlen kvetkeztetsi mddal clt rni, az ttekinthetsg azt tancsolja, hogy gy is jrjunk el. Ehhez jrul mg, hogy klnben sem volna semmi ok arra, hogy meglljunk az arisztotelszi kvetkeztetsi mdoknl, hiszen mindig jabbakat tehetnnk hozz a vgtelensgig: a 13. -tl a 22. -ig a formulkkal kifejezett tletek mindegyikbl megalkothat lenne egy-egy kvetkeztetsi md. Az egyetlen kvetkeztetsi mdra val ezen korltozdssal azonban nem valamilyen pszicholgiai ttelt mondunk ki, hanem csupn egy formai krdst dntnk el a legnagyobb clszersgnek megfelelen. Azon tletek kzl, amelyek az arisztotelszi kvetkeztetsi mdok helyre lpnek, nhny szerepelni fog a 22. -ban az 59, 62, 65 sorszmok alatt.E -ban Frege bevezeti azt az egyetlen kvetkeztetsi mdot, amelyre mr az Elszban felhvta a figyelmet: a levlasztsi szablyt (tradicionlis elnevezssel: modus ponens). Emeljk ki, hogy e szablyt Frege nem pusztn deklarlja, hanem szemantikailag bizonytja, visszavezetvn helyessgt a kondicionlis jelentsre (igazsgfelttelre). A szably alkalmazsakor a vzszintes vonal fl rjuk elszr (balrl jobbra haladva) a | (B A) alak f premisszt, msodszor a f premisszban szerepl kondicionlis eltagjt llt | B tletet, vgl a vzszintes vonal al kerl a | A konklzi, a f premisszban szerepl kondicionlis uttagjt llt tlet. (Ha a kt premissza nem fr ki egy sorban, az elbbi sorrendet az egyms al rs esetn is tartjuk.) Egy bizonyts sorn valamely premissza helyett a hivatkozsi szma is szerepelhet (ha azt mr korbban bizonytjuk). Ragaszkodva a fenti sorrendhez, a szably alkalmazsa sorn nem keletkezhet flrerts; valjban a kettspont s a kettztt kettspont alkalmazsa flsleges. (Frege eredeti jellsmdjban azonban volt funkcija.) Valjban Frege egyb kvetkeztetsi mdokat is hasznl a Fogalomrsban, de ezeket csupn szablyoknak nevezi. Ugyanis ezek egypremisszs kvetkeztetsek. E tekintetben Frege kveti a tradicionlis logika hagyomnyt, amely szerint egy kvetkeztetsben kt premissznak kell lennie. (A modern logika nem alkalmaz ilyen korltozst.) A krdses szablyokra elfordulsuk helyn visszatrnk.
22
A TAGADS 7. . Ha egy megtlhet tartalom jele el hullmvonalat (~) runk, ezzel azt a krlmnyt fejezzk ki, hogy a tartalom nem ll fenn. gy pl. | ~A
azt jelenti, hogy A nem ll fenn. A hullmvonalat tagadsjelnek nevezem.Az eredeti Frege-szveg h fordtsa a kvetkez: Ha a tartalomvonal als rszn egy kis fggleges vonalat helyeznk el, ezzel azt a krlmnyt fejezzk ki, hogy a tartalom nem ll fenn. gy pl.
(6. bra, szmozs nlkl)azt jelenti, hogy A nem ll fenn. Ezt a kis fggleges vonalat tagadsvonalnak nevezem. A vzszintes vonalnak a tagadsvonaltl jobbra lev rsze A tartalomvonala, a tagadsvonaltl balra tallhat rsz viszont A tagadsnak tartalomvonala. sszhangban az eddigiekkel, a tartalomvonalakat tagadsjel fllpse esetn sem jelljk.
tletvonal nlkl ppgy nem llthat fel most sem tlet, mint mskor a fogalomrsban. ~ A csak annak a kpzetnek a megalkotsra szlt fl, hogy A nem ll fenn, annak kifejezse nlkl, hogy ez az elgondols igaz-e. Most nhny olyan esetet trgyalunk, amelyekben a felttelessg s a tagads jelei sszekapcsoldnak. | (B ~ A)
ezt jelenti: az az eset, amelyben B lltand s A tagadsa tagadand, nem ll fenn; ms szavakkal: az a lehetsg, hogy mindkettt, A-t s B-t is lltsuk, nem ll fenn; vagy: A s B kizrjk egymst. Teht csak a kvetkez hrom eset marad: A-t lltjuk s B-t tagadjuk; A-t tagadjuk s B-t lltjuk; A-t tagadjuk s B-t tagadjuk. | (~ B A)
ezt jelenti: Az az eset, amelyben A tagadand s B tagadsa lltand, nem ll fenn; avagy: nem lehet egytt A-t is, B-t is tagadni. Csak a kvetkez lehetsgek maradnak fenn: A-t lltjuk s B-t lltjuk; 23
A-t lltjuk s B-t tagadjuk; A-t tagadjuk s B-t lltjuk. A s B egyttesen kitltik az sszes lehetsget. A vagy s vagy-vagy kifejezsek ktfle mdon hasznlatosak: A vagy B els jelentse ugyanaz, mint amit (~ B A) jelent, teht az, hogy semmi nem gondolhat el A-n s B-n kvl. Pl.: ha egy gztmeg flmelegszik, megnvekszik a trfogata vagy a nyomsa. A msodik esetben azonban az A vagy B kijelents egyesti (B ~ A) s (~ B A) jelentst, azaz hogy elszr is A-n s B-n kvl nem lehetsges harmadik, msodszor pedig A s B kizrjk egymst. A ngy lehetsg kzl ez esetben a kvetkez kett marad fenn: A-t tagadjuk s B-t lltjuk; A-t lltjuk s B-t tagadjuk. Az A vagy B kifejezs kt hasznlati mdja kzl az elbbi, amely nem zrja ki A s B egyttes fennllst, a fontosabbik, s a vagy szt mi ebben a jelentsben fogjuk hasznlni. Taln alkalmas dolog a vagy s a vagy-vagy jelentse kztt azt a megklnbztetst tenni, hogy csak az utbbi tartalmazza mellkjelentsknt a klcsns kizrst. Ez esetben (~ B A) mint A vagy B fordthat. Hasonlkppen, (~ C ~ B A) jelentse: A vagy B vagy C. | ~ (B ~ A) azt jelenti, hogy tagadjuk (B ~ A)-t, vagyis fellp az az eset, amelyben A is, B is lltand. Az a hrom lehetsg, amely (B ~ A) esetn fennll, most teht kizrt. Ezek szerint | ~ (B ~ A) gy fordthat: A is, B is tny. Knnyen lthat az is, hogy ~ (C B ~ A) mint A s B s C adhat vissza. Ha vagy A, vagy B-t a kizrssal, mint mellkjelentssel egytt akarjuk brzolni, gy (B ~ A) s (~ B A) az, amit ki kell fejezni. A megolds: ~ ((~ B A) ~ (B ~ A)) vagy ~ ((B ~ A) ~ (~ B A)). Itt az s-t a felttelessg s a tagads jelnek segtsgvel fejeztk ki, de tehetnnk fordtva is: a felttelessget is lehet az s valamilyen jelvel s a tagads jelvel brzolni. Be lehetne vezetni pldul C & D-t C s D egyttes tartalmnak jellsre, s akkor (B A)-t a ~ (B & ~ A) kifejezs adn vissza. A msik utat vlasztottam, mert gy tnt szmomra, hogy a kvetkeztets gy egyszerbben fejezhet ki. Az s s de 24
kztti klnbsg olyan jelleg, hogy ebben a fogalomrsban ez nem fejezdik ki. A beszl de-t hasznl, ha azt akarja jelezni, hogy ami kvetkezik, eltr attl, amit sejteni lehetne. | ~ (B A)
ezt jelenti: a ngy lehetsg kzl a harmadik lp fel, nevezetesen az, hogy A tagadand s B lltand. Teht gy fordthat: B fennll s (de) A nem. Ugyangy lehet a | ~ (~ A ~ B) jelkapcsolatot lefordtani. | ~ (~ A B)
ezt jelenti: az az eset lp fel, amikor A-t is, B-t is tagadjuk. Teht gy fordthat: sem A, sem B nem tny. A vagy, s, sem-sem szavak, magtl rtetden, itt csak annyiban jnnek szmtsba, amennyiben megtlhet tartalmakat ktnek ssze.Ebben a -ban Frege bevezeti a negci (tagads) mvelett, tovbb elemzi a kondicionlis s a negci egyszerbb kombinciit. Mint a kondicionlis bevezetsekor, itt is igazsgfelttelekkel definilja ~ A jelentst, nem pedig nyelvi kifejezsi forma segtsgvel (noha explicite nem hivatkozik igazsgrtkekre). A negci s a kondicionlis felsorolt kombincii, a mai logikai jellsekkel, gy fejezhetk ki: (a) (~ B A) mint (A B) (olv.: A vagy B), alternci; annak kifejezsre, hogy A, B egyike, esetleg mindkett, igaz. (b) (B ~ A) mint (~ A ~ B). (c) ~ (B ~ A) mint (A & B) (olv.: A s B), konjunkci. (d) ~ ((~ B A) ~ (B ~ A)) mint (A B) (olv.: vagy A, vagy B), diszjunkci, a vagy kizr rtelmnek kifejezsre. (e) ~ (B A) mint (B & ~ A). (f) ~ (~ A B) mint (A | | B) (olv.: sem A, sem B). Kifejezhet (~ A & ~ B) alakban is. sszefggsek: (a) negcija (f), (b) negcija (c). Megjegyezzk, hogy (d) negcija annak, amit A akkor, de csak akkor, ha B nyelvi formban szoks kifejezni; ezt (A B)-vel jelljk, s bikondicionlisnak mondjuk, mert ((A B) & (B A)) alakban is kifejezhet. A konjunkci, az alternci, a diszjunkci s a bikondicionlis kommutatv formk: bennk a tagok sorrendje flcserlhet (a tartalom s az igazsgrtk megvltozsa nlkl). A kondicionlis viszont nem kommutatv: (A B) s (B A) egyike lehet igaz, mikzben a msik hamis.
25
Frege mesterien mutatja ki, hogy bizonyos logikai ktszavak (s, vagy stb.) hogyan fejezhetk ki a kt alapjel (, ~) segtsgvel. Persze, a kt alapjelre szortkozs egyes esetekben nehezti az ttekinthetsget. Ezrt a logika alkalmazsai sorn napjainkban rendszeresen hasznljuk (a kt alapjel mellett) az & , , szimblumokat is. Egybknt ma mr azt is tudjuk, hogy az emltett kt alapjel (, ~) egyre reduklhat: az (f) alatti | | segtsgvel ugyanis mindkett kifejezhet. Tovbb: Nevezzk igazsgfggvnyeknek lltsok (megtlhet tartalmak) minden olyan sszekapcsolst, amelyekben az sszettel igazsgrtkt (igaz vagy hamis voltt) egyrtelmen meghatrozza a komponensek igazsgrtke. Kimutattk, hogy minden igazsgfggvny kifejezhet a negci s a kondicionlis (vagy akr az egyetlen | | ) segtsgvel. E kt mvelet n. bzist alkot az igazsgfggvnyek szmra. Ugyanilyen alkalmas bzis persze a negci-konjunkci pr is. A logikai nyelv s a termszetes nyelvek kztti kapcsolat szempontjbl szemlletesebb lenne az & vlasztsa a helyett, hiszen (A & B) meglehetsen egyrtelmen fordthat mint A s B (mg (A B)-hez ilyen egyrtelm s tmr fordts nem adhat.) Frege a kvetkeztets egyszerbb kifejezsi lehetsgvel indokolja a vlasztst. Ez a motivci helyes. Ha a helyett az &-re ptennk a logikt, a levlasztsi szably helyett a kvetkez, kevsb tltsz szablyt kellene flvenni: | ~ (A & B), | | ~B A
Ezen kvl megsznne az egyb lehetsges kvetkeztetsi mdok tlett val talaktsnak az az egyszer formja, amelyet a 6. utols bekezdsben emlt Frege. Tovbbi rveket nem sorolva, a logikai elmlet flptse kevsb egyszer s elegns lenne az &-re, mint a -ra alapozva. Terminolgiai s jellstechnikai megjegyzsek. Mr emltettk, hogy a kondicionlist gyakran (materilis) implikcinak mondjk, ugyangy a bikondicionlist (materilis) ekvivalencinak is nevezik. Amit (a) alatt alterncinak neveztnk, azt egyesek (helytelenl) diszjunkcinak mondjk, s a (d) alatti mveletet ers vagy szigor diszjunkcinak nevezik. A ~, &, , szimblumok helyett rendre a , , jeleket is hasznljk. A logikai , mveletek, kapcsolatok stb. megnevezsre tbbnyire latin eredet szavakat hasznlunk. Ezt indokolhatnnk azzal is, hogy a modern logikban szinte vilgszerte ezt a gyakorlatot kvetik. Tnylegesen azonban azzal indokoljuk, hogy a latin eredet elnevezsek magyar fordtsa klnsen a kezd szmra a kznyelvi jelents flrevezet asszocicii rvn inkbb nehezten, mintsem knnyten a sz egzakt szakmai jelentsnek megrtst. Ezrt mondunk pl. kondicionlist feltteles llts helyett. (A Frege-szveg fordtsban azonban a negci s a kondicionlis elnevezst kivveragaszkodtunk ahhoz, hogy a szerz nmet kifejezseit magyar kifejezsekkel adjuk vissza.)
A TARTALOMAZONOSSG
26
8. . A tartalomazonossg annyiban klnbzik a felttelessgtl s a tagadstl, hogy nem tartalmakra, hanem nevekre vonatkozik. Egyb esetekben a jelek csupn tartalmuk kpviseli, gyhogy minden kapcsolat, amelybe valamivel lpnek, csak tartalmuk valamilyen vonatkozst fejezi ki. Ha viszont a tartalomazonossg jelvel ktjk ssze a jeleket, rgtn sajt maguk lpnek eltrbe; ugyanis ezzel azt a tnyt fogjuk jellni, hogy kt nvnek ugyanaz a tartalma. gy teht a tartalomazonossg jelnek bevezetsvel kettssg addik minden jel jelentsben, amennyiben azok hol tartalmukat, hol sajt magukat jelentik. Ez elszr azt a ltszatot kelti, mintha itt olyasvalamirl lenne sz, ami csak a kifejezshez, nem pedig a gondolathoz tartozik, s hogy ugyanazon tartalomhoz nincs is szksg klnbz jelekre, s gy a tartalomazonossg jele is flsleges. Hogy ennek a ltszatnak a semmissgt megvilgtsam, a kvetkez geometriai pldt vlasztom: Fekdjk a rgztett A pont egy krvonalon, s forogjon krltte egy sugr. Amikor az utbbi tmrt kpez, nevezzk annak Aval ellenttes vgt az ehhez a helyzethez tartoz B pontnak. Ezutn nevezzk a sugr mindenkori helyzethez tartoz B pontnak a kr s a sugr azon metszspontjt, amelyik abbl a szablybl addik, hogy a sugr folytonos helyzetvltozsainak a B pont folytonos helyzetvltozsai feleljenek meg. A B nv teht mindaddig valami hatrozatlant jell, amg a sugr hozz tartoz helyzett meg nem adjuk. Feltehet a krds: melyik pont felel meg a sugr azon helyzetnek, amelyben az tmrre merlegesen ll? A vlasz ez lesz: az A pont. A B nvnek teht ez esetben ugyanaz a tartalma, mint az A-nak; mgsem lehetett volna elejtl kezdve csak egy nevet hasznlni, mivel ezt csak a vlasz igazolta. Ugyanazt a pontot kt mdon hatroztuk meg: (1) kzvetlenl a szemllet ltal, (2) mint azt a B pontot, amely az tmrre merleges sugrhoz tartozik. Mindkt meghatrozsi mdnak kln nv felel meg. A tartalomazonossg jelnek szksgessge teht a kvetkezkn alapszik: ugyanazt a tartalmat klnflekppen is teljesen meg lehet hatrozni; az azonban, hogy egy klns esetben kt meghatrozsi mddal valban ugyanazt adjuk meg, mr egy tlet tartalma. Mieltt ehhez eljutnnk, a kt meghatrozsi mdnak megfelelen kt klnbz nevet kell adnunk annak, amit gy meghatroztunk. Az tlet kifejezshez viszont szksg van a tartalomazonossg jelre, amely a kt nevet sszekti. Innen kvetkezik, hogy ugyanazon tartalom klnbz nevei nem mindig valami kzmbs formt jelentenek, hanem ha klnbz meghatrozsi mdokkal fggenek ssze, a dolog lnyegt illetik. Ebben az esetben az az tlet, melynek trgya a
27
tartalomazonossg, kanti rtelemben szintetikus. Egy klssgesebb ok a tartalomazonossg-jel bevezetsre az, hogy idnknt clszer egy-egy hosszadalmas kifejezs helyre rvidtst bevezetni. Ilyenkor ki kell fejezni az eredeti forma s a rvidts tartalmi azonossgt. Jellje teht | (A = B) azt, hogy az A s a B jel fogalmi tartalma ugyanaz, gyhogy A helyre mindig B-t lehet helyettesteni s megfordtva.Frege pldjt az albbi bra szemllteti:
(7. bra, szmozs nlkl)Az A pont krl forog egy sugr (egyenes), melynek pillanatnyi helyzeteit az s0, s1, s2 sugarak, a krrel val msik metszspontjukat pedig a B0, B1, B2 pontok szemlltetik. Az s-sel jellt sugr merleges a kr O kzppontjn thalad s0-ra. Legyen a forgsirny pl. a nylnak megfelel. Amikor a forg sugr az s helyzetbe r, a B0, B1, B2, pontoknak megfelel B pont a krrel val msik metszspont azonos lesz az A ponttal. A plda a tartalomazonossg fogalmnak szksgessgt szemllteti. A B pont meghatrozsa ms, mint az A pont, noha a kt meghatrozs tartalma egybees, azonos. Klnbz meghatrozsok tartalma nha klnbzik, nha azonos, s annak eldntse, hogy a kt eset melyike ll fenn, ltalban munkt ignyel. Ezrt A = B tartalmas llts, ha A s B klnbz meghatrozshoz kapcsold nevek. Persze, A = A trivilis (noha szksgszeren igaz). Ha gy vlnnk, hogy az azonossg a nevek (jelek) mgtti tartalmakra vonatkoz relci, akkor furcsa paradoxonhoz jutnnk abban az esetben, amikor kt (klnbz) nv tartalma azonos. Nevezetesen: ha A = B igaz, akkor ugyanazt fejezi ki, mint a trivilis A = A, hiszen mindkett egyazon tartalomrl mondja, hogy azonos nmagval. Mrpedig a megismers, az informcitartalom szempontjbl lnyeges klnbsg van pl. a Madrid = Madrid s a Madrid = Spanyolorszg fvrosa azonossgok kztt; ti. az els informcitartalma nulla, a msodik viszont informatv (azok szmra, akik a benne kifejezett tnyt nem ismerik). Ezt a paradoxont Frege itt gy kerli el, hogy az azonossgot nevek kztti relcinak tekinti. Ezzel a megoldssal azonban furcsa diszharmnia lp fl a Fogalomrs logikai elmletben, hiszen az elmletben bevezetett minden ms sszefggs szigoran s hangslyozottan nem a jelekre, hanem a mgttk lev tartalomra vonatkozik. A fregei elmlet lnyeges tovbbfejlesztse ennek a diszharmninak a megszntetse a tartalom ktdimenzis voltnak flfedezsvel: a jel jelletnek (denottumnak) s jelentsnek megklnbztetsvel. (Lsd [II] s [IV].) A tartalomazonossg jellsre e knyvben Frege tnylegesen a szimblumot hasznlja, ksbbi rsaiban azonban visszatr a szoksos = jelhez. Az egyntetsg kedvrt mr itt is a = jelet hasznljuk, klns tekintettel arra, hogy a a bikondicionlis jellsre is szolgl. (Lsd a 7. vghez csatlakoz kommentrt.)
28
A FGGVNY 9. . Gondoljuk el, hogy formulanyelvnkn kifejeztk azt a krlmnyt, miszerint a hidrogngz knnyebb, mint a sznsavgz; ekkor a hidrogngz jelnek helyre az oxign- vagy a nitrogngz jelt helyettesthetjk. Ezzel az rtelem olyan mdon vltozik meg, hogy az oxigngz, illetve a nitrogngz lp azokba a kapcsolatokba, amelyekben elzleg a hidrogngz volt. Ha egy kifejezst ilyen mdon megvltoztathatnak gondolunk el, az sztbomlik egy maradand alkotrszre, amely a kapcsolatok sszessgt brzolja, s arra a jelre, amelyet mssal helyettesthetnek gondolunk, s amely azt a trgyat jelli, amelyre ezek a kapcsolatok vonatkoznak. Az elbbi alkotrszt nevezem fggvnynek, az utbbit az argumentumnak. Ennek a megklnbztetsnek nincs kze a fogalmi tartalomhoz, hanem csak felfogs krdse. Amg az elbb jelzett trgyalsmdban hidrogngz volt az argumentum s a sznsavgznl knnyebbnek lenni a fggvny, ugyanazt a fogalmi tartalmat oly mdon is felfoghatnnk, hogy sznsavgz az argumentum, s a hidrogngznl nehezebbnek lenni a fggvny. Ekkor a sznsavgz-t ms fogalmakkal pl. ssavgz, ammniagz helyettesthetknek kell gondolnunk. Az a krlmny, hogy a sznsavgz nehezebb, mint a hidrogngz s az a krlmny, hogy a sznsavgz nehezebb, mint az oxigngz ugyanaz a fggvny klnbz argumentumokkal, ha a hidrogngz-t s az oxigngz-t tekintjk argumentumoknak; azonban ha a sznsavgz-t tekintjk argumentumnak, akkor ugyanazon argumentum klnbz fggvnyei. Szolgljon mg pldaknt az a krlmny, hogy ha csak a Naprendszer bels eri hatnak, a Naprendszer tmegkzppontja nem gyorsul. Itt a Naprendszer kt helyen fordul el. Ezt teht klnbzkppen tekinthetjk a Naprendszer argumentum fggvnynek, aszerint, hogy a Naprendszer-t az els, a msodik, avagy mindkt helyen mssal az utols esetben viszont mindktszer ugyanazzal helyettesthetnek tekintjk. Ez a hrom fggvny teljesen klnbz. Ugyanezt mutatja az a mondat is, hogy Cato meglte Catt. Ha itt Cat-t az els helyen helyettesthetnek tekintjk, a fggvny: Cato gyilkosnak lenni; ha gy tekintjk, hogy a msodik helyen helyettesthet, akkor Cato lsnek ldozatul esni; ha vgl
29
gy tekintjk, hogy Cato mindkt helyen helyettesthet, akkor pedig ngyilkosnak lenni. Most ltalnosan kimondjuk a dolgot: Ha egy kifejezsben, melynek tartalma nem felttlenl megtlhet, egy egyszer vagy sszetett jel egy vagy tbb helyen elfordul, s ezt a jelet az sszes vagy nhny helyen mssal, azonban mindentt ugyanazzal helyettesthetnek tekintjk, akkor a kifejezs vltozatlanul marad rszt fggvnynek, a helyettesthett a fggvny argumentumnak tekintjk. Mivel ezek szerint elfordulhat valami egyszerre argumentumknt s olyan helyeken is, ahol nem tekintjk helyettesthetnek, a fggvnyben megklnbztetjk az argumentumhelyeket a tbbitl.A dltbets meghatrozs szerint a fggvnyek specilis nyelvi kifejezsek. A megelz pldkbl viszont gy tnik, hogy a fggvnyek fogalmi jelleg valamik, tartalmak, de persze nem megtlhet tartalmak. Tnylegesen ez felel meg Frege llspontjnak. A kifejezs vltozatlanul marad rsze ami a fenti meghatrozsban szerepel nem maga a fggvny, hanem a fggvny neve, a fggvny az a valami, amit ez a kifejezs jell. Annak tisztzshoz, hogy mifle dolgok a fggvnyek, a ksbbi Frege-mvek visznek kzelebb.
Itt figyelmeztethetnk egy tvedsre, amelyre a nyelvhasznlat knnyen indthat. Hasonltsuk ssze ezt a kt mondatot: a 20 szm elllthat ngy ngyzetszm sszegeknt, s minden pozitv egsz szm elllthat ngy ngyzetszm sszegeknt. gy tnhet, hogy a ngy ngyzetszm sszegeknt elllthatnak lenni kifejezs olyan fggvnyknt foghat fel, amelynek egyszer a 20 szm, mskor pedig a minden pozitv egsz szm az argumentuma. Ennek a felfogsnak a tvessgt gy ismerhetjk fel, ha megjegyezzk, hogy a 20 szm s a minden pozitv egsz szm nem egyenrang fogalmak. Amit a 20 szmrl mondunk, azt nem lehet ugyanabban az rtelemben mondani a minden pozitv egsz szm-rl, habr esetleg mondhat minden egyes pozitv egsz szmrl. A minden pozitv egsz szm kifejezs nem ad gy, mint a 20 szm nmagban nll kpzetet, hanem csak a mondat sszefggsben jut rtelemhez.Frege csak ksbbi munkiban dolgozta ki szabatosan azt a megklnbztetst, amire itt utal. E szerint a 20 szm egy trgy neve, mg a minden pozitv egsz szm egy msodfok fogalom neve. E krdst rszletesebben taglaljuk [II]-ben s a ksbbiekben.
30
Azoknak a klnbz mdoknak, ahogyan ugyanaz a fogalmi tartalom egyik vagy msik argumentum fggvnyeknt felfoghat, nincs fontossga szmunkra mindaddig, amg fggvny s argumentum teljesen meghatrozottak. Ha azonban az argumentum hatrozatlan, mint az a ngy ngyzetszm sszegeknt elllthatnak lenni argumentumnak tetszleges pozitv egsz szmot vehetsz, az llts mindig helyes marad tletben, akkor a fggvny s az argumentum megklnbztetsnek tartalmi jelentsge van. Megfordtva, lehet az argumentum hatrozott s a fggvny hatrozatlan. Az egsznek a hatrozott s a hatrozatlan, vagy az inkbb s kevsb meghatrozott ellentte rvn val felbontsa fggvnny s argumentumm mindkt esetben tartalom s nem csak felfogs szerinti felbonts.Teht a fggvnynek s argumentumnak megklnbztetse akkor lnyeges, ha valamelyikk hatrozatlan. Ez a megllapts, amely itt mg homlyosnak tnik, a 11. -ban vilgosodik meg.
Ha egy fggvnyben valamilyen, addig nem helyettesthetnek tekintett jelet9 nhny, vagy minden olyan helyen, ahol elfordul, helyettesthetnek tekintnk, ezzel a felfogssal olyan fggvnyt kapunk, amelynek az eddigieken kvl mg egy argumentuma van. gy pl. az az a krlmny, hogy a hidrogngz knnyebb, mint a sznsavgz, a hidrogngz s a sznsavgz argumentumpr fggvnyeknt is felfoghat. A beszl szerint tbbnyire az alany a legfontosabb argumentum; a fontossgban kvetkez gyakran trgyknt jelenik meg. A nyelvnek megvan az a szabadsga, hogy szavak s formk, mint cselekv szenved nehezebb knnyebb adni kapni megvlasztsval tetszs szerint a mondatnak ezt vagy azt a rszt jelentesse meg legfontosabb argumentumknt, br ezt a szabadsgot korltozza a szavak hinya. 10. . Az A argumentum egy meghatrozatlan fggvnyt gy fejezzk ki, hogy valamilyen bet utn zrjelek kz rjuk A-t, pl.: (A). Lehetsges az is, hogy egy mr korbban helvettesthetnek tekintett jelet olyan helyeken, ahol eddig maradandnak tekintettk, most szintn helyettesthetnek fogunk fel.9
31
Ehhez hasonlan, az A, B argumentumpr egy kzelebbrl meg nem hatrozott fggvnyt (A, B) jellheti. Itt A s B helye a zrjelek kztt azokat a helyeket kpviseli, amelyeket A s B a fggvnyben elfoglal, fggetlenl attl, hogy ilyen egy-egy van, vagy pedig A s B szmra tbb is. Ezrt (A, B) s (B, A) ltalban klnbzek. Ennek megfelelen fejeznk ki tbb argumentum hatrozatlan fggvnyeket is. | (A) gy olvashat: A rendelkezik a tulajdonsggal. | (A, B) pedig gy fordthat: B a vonatkozsban ll Aval, vagy a eljrsnak az A trgyra val alkalmazsa B-t eredmnyezi.Az utols bekezdsben ajnlott kiolvassok persze csak akkor alkalmazhatk, ha (A), ill. (A, B) megtlhet tartalmat fejez ki. Hatrozatlanul hagyott fggvnyek jellsre Frege vastag (latin s grg) nagybetket hasznl; ezt vltozatlanul kvetjk.
Mivel a (A) kifejezsben a jel elfordul egy helyen, s mivel ms jelekkel X helyettesthetnek gondolhatjuk miltal , az A argumentum ms fggvnyeit fejezzk ki , (A)-t fel lehet fogni, mint a argumentum fggvnyt. Ebbl klnsen vilgosan lthat, hogy az analzis fggvnyfogalma, amelyhez ltalnossgban kapcsoldtam, sokkal korltozottabb, mint az itt kialaktott.A tovbbfejlesztett fregei elmletben (A) msodfok fggvny, fltve, hogy A hatrozott, pedig hatrozatlan. E fggvny argumentumhelyt jelli, ez az argumentumhely elsfok fggvnyekkel tlthet ki. Elsfok fggvnyek pedig azok, amelyek argumentuma(i) trgy(ak) lehet(nek). Vgl: trgy mindaz, ami nem fggvny. E fogalmak taglalsra mg visszatrnk. Emeljk ki, hogy ~ A felfoghat mint a ~ fggvny alkalmazsa az A argumentumra, (B A) pedig mint a fggvny alkalmazsa a B, A argumentumprra. ltalnosabban: a Fogalomrs minden konstans szimbluma (lsd a kommentrt az 1. vgn) kivve az tlet | jelt egy-egy fggvny jele (neve). Ez a szemlletmd alapvet jelentsg a fregei m megrtse szempontjbl.
AZ LTALNOSSG 32
11. . Egy tlet kifejezsben a | jeltl jobbra es jelsorozat mindig tekinthet valamely benne elfordul jel fggvnynek. Helyettestsk ezt az argumentumot egy latin kisbetvel, s a | jel utn iktassuk be az ltalnossg szimblumaknt az jelet, melyet kvessen ugyanazon bet, amellyel az argumentumot helyettestettk; pl.: | a (a). Ez azt az tletet jelli, hogy a benne szerepl fggvny tny, brmit tekintnk is argumentumnak.A Helyettestsk kezdet mondat h fordtsa a kvetkez: Helyettestsk ezt az argumentumot egy gt betvel, s kpezznk a tartalomvonalban egy bemlyedst, melybe ugyanazt a bett rjuk, pl.:
(8.bra, szmozs nlkl)
Frege eredeti jellst itt is a ma szoksos jellssel helyettestettk. A gt betk helyett latin kisbetket hasznlunk. A jellstechnika okozta szvegmdostsokat a tovbbiakban nem emltjk. Illusztrci. Induljunk ki a kvetkez tletbl: (a) Ha Rr l, akkor Rr pats. Az tletben szerepl mondatot tekintsk a Rr mindkt elfordulsa fggvnynek. Frege fnti elrst kvetve kpezhetjk a kvetkez tletet: (b) a (ha a l, akkor a pats). Frege magyarzata szerint ez azt az tletet jelli, hogy brmi legyen is a, tny, hogy ha a l, akkor a pats. Ez persze tmrebben fejezhet ki a kznyelvben gy: (c) Minden, ami l, az pats. Vagy mg egyszerbben: Minden l pats. Trtnetesen (d) helytll tlet, hiszen a benne szerepl mondat igaz lltst fejez ki. Vele egytt (b) s (c) is helytllak, hiszen csak stilrisan klnbznek (d)-tl. Mieltt elhamarkodottan magasztalnnk (d)-t tmrsgrt s krhoztatnnk (b)-t mesterkltsge miatt, vegyk figyelembe (b) azon elnyt, hogy belle szemmel lthatan kvetkezik (a): hiszen ami igaz, brmi legyen is a, az abban a konkrt esetben is igaz, amikor a Rrt jelli. Az viszont kevsb tltsz, hogy (d)-nek kvetkezmnye (a). Mivel a logika tudomnynak egyik alapvet feladata ppen a megtmadhatatlanul helyes kvetkeztets ltalnos fogalmnak megalkotsa s trvnyeinek fltrsa, rthet, hogy a logikai grammatika e feladat megoldsnak, nem pedig valamely nemzeti nyelv sajtsgainak lehet alrendelt. rthet, de Frege eltt legfeljebb Leibniz brndozott ilyen logikai grammatikrl. A (b) s (d) kz iktatott tmeneti (c) forma segt szrevenni, hogy (b)-ben az a bet valjban nvmsptl. A nvmsptl betket Leibniz ta vltozknak nevezik (nem ppen szerencss elnevezs). A latin kisbetk a
33
Fogalomrs grammatikjnak bels vltozi (szemben a latin s grg nagybetkkel, amelyek az rtelemszer korltozsokon bell tetszleges tartalommal helyettesthetk, s amelyek csak a jelek magyarzataihoz szksges segdeszkzk). Kzlk az f, g, h betk a fggvnyek szmra fenntartott fggvnyvltozk, a tbbiek pedig Frege ksbbi terminolgija szerint trgyvltozk. Utbbiak bizonyos helyzetekben (de nem mindig) csak megtlhet tartalomra utalhatnak. Az szimblum az univerzlis kvantor jele, elfordulst mindig kveti egy vltoz: a kvantor vltozja. Ezutn kvetkezik egy rendszerint zrjelekkel kzrefogott kifejezs, melyben a kvantor vltozja (hatsos alkalmazs esetn) szerepel, ez a kifejezs a kvantor hatkre. (Zrjelek hjn a kvantor hatkre a kvantort kvet legrvidebb olyan kifejezs, amelyre a kvantor rtelemszeren alkalmazhat.) Egy kifejezsben (amely lehet egy nagyobb kifejezs rsze is) egy vltoz valamely elfordulst ktttnek mondjuk, ha kzvetlenl kveti -t, vagy ha a kifejezsen bell egy vele egyez vltozj kvantor hatkrbe esik; a vltoz egyb elfordulst szabadnak mondjuk. Szabad elforduls vltoz mindig behelyettesthet (megfelel tpus) nvvel. A kvantorral lekttt vltozk viszont nem helyettesthetk nevekkel. (Grammatikailag rtelmetlen lenne pl. (b)-ben az a vltoz helyre tulajdonnevet rni.)
Mivel egy fggvnyjelknt hasznlt bet, mint (A)-ban , maga is tekinthet egy fggvny argumentumnak, ennek helyre is lphet latin kisbet, a fent meghatrozott rtelemben. Egy latin kisbet jelentse csak annak a magtl rtetd korltozsnak van alvetve, hogy az tletjel utn kvetkez jelsorozat megtlhetsgnek ( 2.) rintetlenl kell maradnia, s ha a latin kisbet fggvnyjelknt lp fel, szmot kell vetnnk ezzel a krlmnnyel. Minden tovbbi felttel, amelynek al kell vetni azt, ami a latin kisbet helyre helyettesthet, felveend az tletbe. Ilyen tletbl ennlfogva tetszleges szm kevsb ltalnos tartalm tlet vezethet le gy, hogy a latin kisbet helyre minden alkalommal mst helyettestnk, mikzben aztn az jel az t kvet betvel jra eltnik. Abbl, amit korbban az tletvonal jelentsrl mondtunk, knnyen lthat, mit jelent egy olyanfle kifejezs, mint aX(a). Ez elfordulhat olyan tletek rszeknt, mint | ~ aX(a) vagy | (aX(a) A). Vilgos, hogy ezekbl az tletekbl nem lehet kevsb ltalnos tleteket levezetni oly mdon, hogy a-t valami meghatrozottal helyettestjk, ellenttben a | a(a) tpus tletekkel. | ~ aX(a) ugyanis tagadja, hogy X(a) mindig tny, brmit helyettestnk is a helyre. Ezzel egyltaln nem tagadjuk, hogy a-nak lehet olyan a jelentst adni, hogy X(a) tny legyen. | (aX(a) A) azt jelenti, hogy az az eset, amikor aX(a)-t lltjuk, A-t pedig tagadjuk, nem lp fl. Ezzel azonban egyltaln nem tagadjuk, hogy fellphet az az eset, amikor X(a)t lltjuk, s A-t tagadjuk; hiszen, mint imnt lttuk, lehet X(a)-t lltani, s aX(a)-t mgis tagadni. Itt sem lehet teht az tlet 34
helyessgnek veszlyeztetse nlkl brmit helyettesteni a helyre. Ez megvilgtja, mirt szksges az ltalnossg jele s az azt kvet kisbet utn egyrtelmen kijellni (esetleg zrjel hasznlatval) azt a hatskrt, amelyre a betvel jellt ltalnossg vonatkozik. Az alkalmazott kisbet csak ezen a hatskrn bell tartja meg jelentst; az tletben ugyanaz a kisbet klnbz hatskrkben is elfordulhat, anlkl, hogy azt a jelentst, amelyet az egyikben tulajdontunk neki, magval vinn a tbbibe is. Lehetsges, hogy egy kisbet hatskre magban foglalja egy msik kisbet hatskrt, mint a a(eB(a, e) A(a)) plda mutatja. Ebben az esetben a kisbetket klnbzeknek kell vlasztanunk; nem szabad e helyett a-t rni. Termszetesen megengedett, hogy egy kisbett a hatskrben mindentt egy meghatrozott msikkal helyettestsnk, hacsak azokra a helyekre, ahol elzleg klnbz betk voltak, tovbbra is klnbzek kerlnek. Ez nem befolysolja a tartalmat. Ms helyettests csak akkor megengedett, ha az ltalnossg hatskre lefdi az tlet egsz tartalmt. Mivel ez az eset kitntetett, a kvetkez rvidtst vezetem be jellsre. Ha az ltalnossg jele () az tlet teljes tartalmra vonatkozik, akkor az t kvet kisbetvel egytt elhagyhat, s a megmarad kifejezsben ez a kisbet mindig helyettesthet brmely msikkal, ha az utbbi az tletben nem fordul el. Fordtva is: Ha egy tletben szerepel egy olyan kisbet, mely az tleten bell sehol sem szerepel az jel utn, akkor ez a bet helyettesthet olyan msikkal, amely az tletben nem szerepel, s ltalnossga kifejezhet az tlet egsz tartalmra vonatkoz jellel, melyet az utbbi bet kvet. gy pl. | X(a) helyettesthet | bX(b)-vel, fltve, hogy X(a)-ban a csak az argumentumhelyeken fordul el.A jellstechnika modernizlsa miatt itt lnyegesen el kellett trnnk az eredeti szvegtl (noha a mondanival tartalmt egyltaln nem mdostottuk). A legutbbi kommentrt figyelembe vve, a mondanival lnyege a kvetkez. Evidens, hogy egy tletben egyetlen vltoznak sem lehet szabad elfordulsa, hiszen a kvantorral le nem kttt vltoz a hatrozatlan tartalom szimbluma, az tletnek azonban egyrtelm, meghatrozott tartalommal kell brnia. De mr az 1. -ban emlti Frege, hogy a betk rendszerint az ltalnossg kifejezsre szolglnak, s ez valban si hagyomny a matematikai jellstechnikban. E hagyomny szellemben Frege megengedi a vltozk szabad elfordulsait tletekben is, azzal, hogy ez mindig gy rtend, hogy e vltozkat az tlet teljes tartalmra vonatkoz univerzlis kvantor kti le. gy | (a) nem ms, mint | a(a) rvidtse, termszetesen az a vltoz helyes (az rtelmet nem mdost) megvlasztsra vonatkoz kiktsek betartsa mellett. Emltettk, hogy
35
Frege gt betket hasznlt kvantifiklt vltozkknt. Most hozzfzzk, hogy az tletekben szerepl szabad elforduls vltozkknt latin kisbetket hasznlt. Mi mindkt clra latin kisbetket hasznlunk, mivel ez semmi zavart nem okoz. (Knyvben Frege nem hasznlja a vltoz kifejezst, hanem mindig betkrl beszl.)
Az is vilgos, hogy ha A olyan kifejezs, amelyben a nem fordul el, s (a)-ban csak az argumentumhelyeken szerepel a, akkor | -bl levezethet | (A a(a)). (A (a))
Ha a(a)-t tagadjuk, akkor meg kell tudnunk adni a szmra egy olyan jelentst, amely mellett (a)-t tagadjuk. Ha teht a(a)-t tagadnnk s A-t lltannk, meg kellene tudnunk adni a szmra egy olyan jelentst, amely mellett A-t lltjuk s (a)-t tagadjuk. Ez azonban | (A (a))
miatt nem lehetsges; mivel utbbi ppen azt jelenti, hogy akrmi is legyen a, ki van zrva az az eset, hogy (a)-t tagadjuk s A-t lltjuk. Ezrt teht nem lehet a(a)-t tagadni s A-t lltani: azaz: | (A a(a)).
Ha A-ban s B-ben a nem fordul el, tovbb (a) csak az argumentumhelyeken tartalmazza a-t, akkor ugyangy lehet | -bl | (B A a(a)) (B A (a))
-ra kvetkeztetni. Ez az eset visszavezethet az elzre, mivel | helyre | (~ (B ~ A) (a)) 36 (B A (a))
-t helyettesthetnk, s | -t jra | B A a(a)) (~ (B ~ A) a(a))
-v vltoztathatjuk. Hasonl rvnyes, ha mg tbb felttel szerepel.E pldnkban elg azt kiktni, hogy a-nak ne legyen szabad elfordulsa Aban (s B-ben). A msodik plda tmaszkodik arra, hogy (B C) s (~ (B ~ A) C) szinonimk. Ugyanis az 5. -ban mr tisztzdott, hogy | (B A C) tagadja azt az esetet, melyben B s A fnnll. C pedig nem, gy a 7. -ban mondottak szerint (lsd a hozzfztt kommentrt is) ugyanazt mondja, mint | ((B & A) C). Utbbiban pedig (B & A) helyett ~ (B ~ A) rhat. Lsd mg a II. fejezet 14. -hoz csatlakoz kommentrt is, ahol a flcserlhetsget formlisan levezetjk. E -ban Frege a kvetkez kt szablyt vezeti be: (1) | a (a) s | (a) flcserlhetk (szinonim tletek). (2) Ha A-ban a nem szerepel szabadon, akkor | (A (a))-bl levezethet | (A a (a)). Ezekre a szablyokra utaltunk a 6. -t kvet kommentrban.
12. . Most nhny jelkapcsolatot trgyalunk. | ~ aX(a) azt jelenti, hogy tallhat valami, pl. , amelyre X()-t tagadjuk. Ez teht gy fordthat: van nhny dolog, amely nem X tulajdonsg. | a ~ X(a) rtelme eltr ettl. Utbbi azt jelenti, hogy akrmi is lehet a, X(a)-t mindig tagadjuk, vagy: nincs semmi olyan, ami X tulajdonsg lenne, vagy, ha azokat a dolgokat, amelyek X tulajdonsgak, X-eknek nevezzk: nincsenek X-ek. a ~ L(a) tagadst gy fejezzk ki: | ~ a ~ L(a). Ezt teht gy lehet fordtani: lteznek L-ek.10 | a(X(a) P(a)) ezt jelenti: akrmit helyettestsnk is a helyre, az az eset, hogy P(a)-t tagadni s X(a)-t lltani kellene, nem fordul el. gy teht lehetsges, hogy a nmely jelentse mellett P(a)-t lltjuk s X(a)-t lltjuk, msok mellett P(a)-t lltjuk s X(a)-t tagadjuk, ismt msok mellett Ez gy rtend, hogy magban foglalja a ltezik L esetet. Ha pl. L(x) azt a krlmnyt jelenti, hogy x hz, akkor ~ a ~ L(a) ezt jelenti: lteznek hzak, vagy legalbb egy hz. Lsd a 2. 5. lbjegyzett.10
37
P(a)-t tagadjuk s X(a)-t tagadjuk. Teht gy fordthatjuk: ha valami X tulajdonsg, akkor P tulajdonsg is, vagyis minden X P. Ezen a mdon fejezhetk ki oksgi kapcsolatok. | a( (a) ~ P(a)) ezt jelenti: a-nak nem adhat olyan jelents, amely mellett P(a)-t is, (a)-t is lltjuk. gy fordthat teht: ami tulajdonsg, az nem P tulajdonsg, vagyis egyetlen sem P. | ~ a(L(a) P(a)) tagadja a(L(a) P(a))-t, teht mint nmely L nem P adhat vissza. | ~ a(M(a) ~ P(a)) tagadja, hogy egyetlen M sem P, s ezrt azt jelenti, hogy nhny MP11), vagy: lehetsges, hogy valamely M egyben P. A fentiek alapjn a logikai ellenttek tblzata a kvetkez: (9. bra, szmozs nlkl)E -ban Frege megadja a tradicionlis logika n. kategorikus tleteinek brzolsi mdjt a fogalomrsban, s ezzel befejezi annak kimutatst, hogy a fogalomrs hrom alapjele (, ~, ) segtsgvel a hasznlatos logikai kt- s mdost szavak mind kifejezhetk (ahogyan ezt mr az elszban jelezte). (A negyedik alapjel az azonossg '=' jele fkpp az aritmetika logikai megalapozsa szempontjbl jelents.) Klnsen fontos a 'van legalbb egy' kifejezse az univerzlis kvantor (plusz negci) segtsgvel. A modern logikban a a kifejezst hasznljuk ~ a ~ rvidtsre, teht pl. ~ a ~ (a) helyett a(a)-t runk [kiolvassa: van olyan a, hogy (a)). Az szimblumot egzisztencilis kvantornak nevezzk. Felhasznlsval a fenti logikai ngyszg szubkontrrius smi gy rhatk: a(X(a) & P(a)), ill. a(X(a) & ~ P(a)).
II. A TISZTA GONDOLKODS NHNY TLETNEK KIFEJTSE S LEVEZETSE 13. . A gondolkods nhny alapttelt mr az els fejezetben felhasznltuk, jeleink alkalmazsnak szablyaiv alaktva ket. Ezen szablyok, s azok a trvnyek, amelyeknek kpmsai, azrt nem fejezhetk ki a fogalomrsban, mert annak alapjt alkotjk. Ebben a szakaszban a tiszta gondolkods nhny olyan tlett brzoljuk jelekkel, amelyek esetben ez lehetsges. Kzenfekv, hogy ezen tletek kzl az A nhny sz itt mindig gy rtend, hogy az egy esetet is magban foglalja. Hosszadalmasabban gy mondhatnnk: nhny, vagy legalbb egy.11
38
sszetettebbeket az egyszerbbekbl vezessk le, nem azrt, hogy bizonyosabb tegyk ket ami legtbbszr szksgtelen lenne , hanem hogy napvilgra hozzuk az tletek egyms kzti kapcsolatait. Nyilvnvalan nem ugyanaz, ha csupn a trvnyeket tudjuk, mint ha azt is, hogy hogyan lehet nmelyeket mr msok kimondsval megadni. Ilyen mdon eljuthatunk a trvnyeknek egy olyan kis csoportjhoz, amelyben ha a szablyokban rejl trvnyeket is hozzvesszk az sszesnek a tartalma, habr mg kibontatlanul, benne foglaltatik. s ez is a levezetses kifejtsi md elnyei kz tartozik, mivelhogy megismertet bennnket a trvnyek magvval. Mivel a felllthat trvnyek ttekinthetetlen halmazt nem lehet teljessgben flsorolni, a teljessg nem rhet el mskpp, mint azoknak a flkutatsval, amelyek erejknl fogva az sszeset magukban foglaljk. Persze, meg kell hagynunk, hogy a visszavezets nem csak ezen az egy mdon rhet el. Ezrt egy ilyen kifejtsi md nem teszi vilgoss a gondolkods trvnyeinek sszes kapcsolatt. Taln van ms olyan tletsorozat is, amelybl ugyangy, a szablyokban rejlk hozzvtelvel, minden gondolkodsi trvny levezethet. Mindazonltal az itt megadott visszavezetsi mddal a kapcsolatok olyan sokasga trul fel, hogy ez nagyon megknnyt minden ms levezetst. Azon ttelek szma, melyek a kvetkez kifejts magvt kpezik, kilenc. Ezek kzl hromnak, az (1), a (2) s a (8) szm formulnak a kifejezshez, a betktl eltekintve, csak a felttelessg jelre van szksg; hromban, a (28), a (31) s a (41) szmban a tagads jelt is hasznljuk; kettben, az (52) s az (54) szm formulban a tartalomazonossg, egy formulban, az (58)-asban pedig az ltalnossg jelt is alkalmazzuk. Ha az olvas a kvetkez levezetst minden rszletben kvetni kvnja, akkor frasztnak tallhatja; clja csak az, hogy elksztse a vlaszt minden olyan krdsre, amely egy trvny elrendezsre vonatkozik.A kvetkez szakaszokban Frege ismertet 9 alapttelt (aximt), s ezekbl az I. fejezetben megfogalmazott szablyok segtsgvel tovbbi tteleket vezet le. A ksbbi kutatsok sorn kiderlt, hogy a levezetsekhez szksges alapttelek szma hatra cskkenthet. A ttelekben az ltalnossgra utal latin kisbetk szerepelnek (lsd a 11. -ban), amelyek univerzlis kvantorral lektttnek gondolhatk. A levezets flhasznlt szablyai a kvetkezk: (1) Egy formulban (amely lehet alapttel vagy mr korbban levezetett ttel) a latin kisbetk helyettestse sszetett kifejezsekkel vagy ms betkkel (pl. a helyettestse (b c d)-vel vagy b-vel). E szablyra kiss homlyosan utal a 11. azon megllaptsa, amely szerint egy ltalnos tartalm tletbl tetszleges szm kevsb ltalnos tartalm tlet vezethet le gy, hogy a latin kisbet helyre minden alkalommal mst helyettestnk. (2) Ha | (B A) s | B mr
39
levezetett formulk, ezekbl a levlasztsi szably (6. ) segtsgvel kapjuk a | A formult. Megjegyezzk, hogy ez a szably bet szerint nem azonos a 6. -ban bevezetett levlasztsi szabllyal, mert ott A s B lltsok, itt pedig smk, amelyekbl a betk kvantifiklsval lennnek lltsok. De persze az itt alkalmazott levlaszts is helyes: Ha B A s B olyan smk, melyekbl a bennk szerepl latin kisbetk minden (megengedett) helyettestsvel igaz llts keletkezik, akkor A is ilyen sma. E -ban Frege megkockztatta azt a mersz lltst, hogy abbl a bizonyos mag-bl, melyet alapsmi s levezetsi szablyai alkotnak, a tiszta gondolkods sszes trvnye levezethet. Meglep, hogy e sejts az sszes egy meghatrozott (s gy persze korltozott) rtelmben a ksbbi kutatsok fnyben bizonytott ttell lett. Errl a II. fejezet vgn szlunk rszletesebben. Az e fejezetben levezetett ttelek nem csupn igazak, hanem logikai trvnyek. Ez mindenekeltt azt jelenti, hogy igazsguk logikailag megalapozott: kizrlag a bennk szerepl logikai szimblumok (, ~ stb.) jelentsbl kvetkezik, s fggetlen a betk kpviselte tartalomtl. Ebbl folyik e ttelek ltalnossga: az, hogy a bennk szerepl betk minden szablyos behelyettestsvel igaz llts keletkezik bellk. gy e fejezetben (s a kvetkezben is) a | nem egyszeren tlst, hanem bizonytott vagy levezetett logikai trvnyt jelez. Ilyen rtelemben hasznlja e jelet a mai logikai irodalom is. Frege eredetileg (a 2. -ban) ugyan tgabb jelentst ad a | jelnek, de e fejezetben (s ksbbi rsaiban is csaknem mindentt) e szkebb rtelemben hasznlja.
14. . (1)
|
(a b a)
jelentse: kizrt az az eset, hogy a-t tagadjuk, b-t lltjuk s a-t lltjuk. Ez vilgos, mivel nem lehet a-t egyszerre tagadni s lltani. Az tletet gy is ki lehet szavakban fejezni: ha egy a ttel rvnyes, gy akkor is rvnyes, ha egy tetszleges b ttel rvnyes. Jelentse pl.: a azt a ttelt, hogy az ABC hromszgben a szgek sszege kt derkszg; b azt a ttelt, hogy az ABC szg derkszg. Ekkor a kvetkez tletet kapjuk: ha az ABC hromszgben a szgek sszege kt derkszg, gy ez arra az esetre is rvnyes, ha az ABC szg derkszg. Az | (a b a)-tl jobbra ll (1) a formula szma.A vltozk szabad elfordulsrl a 11. -ban mondottak szerint az (1) formula tulajdonkppen ezt rvidti:
| ab (a b a).Hozzgondolva mg, hogy a jelentse itt: Minden a lltsra (s hasonlan b- is), ez a formula valban tlet. Egyszerbb, s napjainkban elterjedtebb felfogs: (1) nem tlet, hanem sma, melybl helytll tlet
40
keletkezik, ha a benne szerepl a, b betket tetszleges lltsokkal (megtlhet tartalmakkal) helyettestjk. Ugyanez ll rtelemszeren az ezutn kvetkez szmozott formulkra is.
jelentse:
| (2)
((c b a) (c b) c a
Nem ll fenn az az eset, amelyben (c b) c a-t tagadjuk s c b a-t lltjuk. De c b a azt a krlmnyt jelenti, hogy kizrt az az eset, amelyben a-t tagadjuk, b-t lltjuk s c-t lltjuk. Tovbb (c b) c a tagadsa azt jelenti, hogy c a-t tagadjuk s c bt lltjuk. c a tagadsa azonban azt jelenti, hogy a-t tagadjuk s c-t lltjuk. (c b) c a tagadsa teht azt jelenti, hogy a-t tagadjuk, c-t lltjuk s c b-t lltjuk. c s c b lltsa azonban maga utn vonja b lltst. Teht (c b) c a tagadsnak kvetkezmnye a tagadsa s mind b-nek, mind cnek lltsa. c b a lltsa viszont ppen ezt az esetet zrja ki. Teht az az eset, hogy (c b) c a-t tagadjuk s c b a-t lltjuk, nem llhat fenn, s ez igazolja a | ((c b a) (c b) c a)
tletet. Abban az esetben, ha oksgi kapcsolatok llnak fenn, ezt gy is ki lehet fejezni: ha egy ttel (a) kt ttel (b s c) szksgszer kvetkezmnye (c b a), s utbbiak egyike (b) szintn szksgszer kvetkezmnye a msiknak (c-nek), akkor a ttel (a) szksgszer kvetkezmnye az utoljra emltettnek (cnek). Jelentse pl. c azt, hogy egy Z szmsorozatban minden tag nagyobb, mint az t megelz; b azt, hogy az M tag nagyobb, mint L; a azt, hogy az N tag nagyobb, mint L.Akkor a kvetkez tletet kapjuk: ha abbl a ttelbl, hogy a Z szmsorozatban minden tag nagyobb, mint az t megelz, s abbl, hogy az M tag nagyobb, mint L, kvetkeztethetnk arra, hogy az N tag nagyobb, mint L, s ha abbl a ttelbl, hogy a Z szmsorozatban minden tag nagyobb, mint az t megelz, kvetkezik, hogy M nagyobb, mint L, akkor arra, hogy N nagyobb, mint L, kvetkeztethetnk
41
abbl, hogy a Z szmsorozatban minden tag nagyobb, mint az t megelz.Az e -ban szerepl (1) s (2) formulk alaptrvnyek, amelyek helyessgt Frege kzvetlenl a jelnek az 5. -ban bevezetett jelentsre (igazsgfelttelre) vezeti vissza. A kvetkez -ban mr formlis levezetssel (a levlasztsi szably alkalmazsval) lltja el e kt alaptrvnybl a (3)(7) trvnyeket. Ma mr tudjuk, hogy e kt alaptrvnybl (pusztn a levlasztsi szabllyal) minden olyan logikai trvny levezethet, amelyben a betkn kvl csak a kondicionlis jele () szerepel.
15. . (1): (c b a) (c b) c a b b a a | ((c b a) (c b) c a) | ((b a) (c b a) (c b) c a) (2) (3)
E kvetkeztets f premisszja az (1) ttel (| (a b a)) azon esete, melyben a helyn (c b a) (c b) c a, b helyn pedig b a szerepel. Ezt a helyettestst fejezi ki az (1): (c b a) (c b) c a b b a a jellsforma, amelyet fent alkalmaztunk. Egybknt a 6. -ban lert rvidtett jellst hasznltuk. A kvetkeztets teljes rszletessggel a kvetkez lenne:
42
| ([(c b a) (c b) c a] (b a) (c b a) (c b) c a) | ((c b a) (c b) c a) | ((b a) (c b a) (c b) c a) Kvetkezik a (4) ttel levezetse: (2): a (c b) c a b c b a c b a | ((b a) (c b a) (c b) c a) (3)
(1) (2) (3)
| ([(b a) c b a] (b a) (c b) c a)
(4)
A (2): jeltl jobbra lev helyettestseket vgrehajtva a | ((c b a) (c b) c a) ttelben, a kvetkezt kapjuk: | ([(b a) (c b a) (c b) c a] [(b a) c b a] (b a) (c b) c a). Knnyen lthat, hogy hogyan kvetkezik ebbl s (3)-bl (4). Az (5) ttel levezetse: | ([(b a) c b a] (b a) (c b) c a) (1) : a b : a b c | ((b a) (c b) c a) (4) (2)
(5)
A kettztt kettspont jelentst a 6. -ban megmagyarztuk. Plda (5)-hz: Legyen a az a krlmny, hogy az E vasdarab mgnesess vlik; b az a krlmny, hogy a D huzalon galvanikus ram folyik; 43
c az a krlmny, hogy a T kapcsolt lenyomjuk. Ekkor a kvetkez tletet kapjuk: ha ll az a ttel, hogy E mgnesess vlik, hacsak D-n galvanikus ram folyik t; ha tovbb ll az a ttel, hogy D-n galvanikus ram folyik t, hacsak T-t lenyomjuk; akkor E mgnesess vlik, ha T-t lenyomjuk. Ha oksgi kapcsolatokat tteleznk fl, (5)-t gy fogalmazhatjuk: Ha b elegend felttele a-nak, s ha c elegend felttele bnek, akkor c elegend felttele a-nak. A kvetkez levezetsben mindkt premissza az (5) formula egy-egy specilis esete: (5): a (d b) d a b b a | ((b a) (d b) d a) | ((c b a) c (d b) d a) A (7) ttel levezetse: (6): a c a b c b c b a | ((b a) (c b) c a) | ((b a) (d c b) d c a) (5) (7)
(5): c d (6)
Ez a ttel csak annyiban klnbzik (5)-tl, hogy az egyetlen c felttel helyett kett, c s d, szerepel benne. Plda (7)-hez: Jelentse: d azt a krlmnyt, hogy egy lgszivatty K dugattyja bal szls helyzetbl jobb szls helyzetbe kerl; c azt a krlmnyt, hogy a H csap az I helyzetben van; b azt, hogy a leveg D srsge a lgszivatty recipiensben a felre cskken; a azt, hogy a recipiens belsejvel sszekttetsben lev nyomsmr H higanyszintje a felre sllyed. Ekkor a kvetkez tletet kapjuk:
44
Ha rvnyes az a ttel, hogy a nyomsmr H higanyszintje a felre sllyed, hacsak a leveg D srsge a felre cskken; ha tovbb rvnyes az a ttel, hogy a D levegsrsg a felre cskken, hacsak a K dugatty a bal szls helyzetbl a jobb szls helyzetbe kerl, s a H csap az I llsban van; akkor az kvetkezik, hogy a baromter H higanyszintje a felre sllyed, ha a K dugattyt bal szls helyzetbl jobb szls helyzetbe visszk, mikzben a H csap az I llsban van. | ((d b a) b d a) (8) d b a azt jelenti, hogy az az eset, amelyben a-t tagadjuk, viszont b-t s d-t lltjuk, nem ll fenn; b d a ugyanezt jelenti, s (8) azt lltja, hogy kizrt az az eset, melyben b d a-t tagadjuk, d b a-t pedig lltjuk. Ezt gy is lehet mondani: ha egy ttel kt felttel kvetkezmnye, akkor a felttelek sorrendje kzmbs.Mint ltjuk, Frege a (8) formult alapttelknt szerepelteti: nem vezeti le a mr levezetett formulkbl, hanem szemantikailag bizonytja. Tnylegesen (8) levezethet az (1), (2) alapttelekbl. A levezets azonban meglehetsen hosszadalmas, ezrt nem ismertetjk.
16. .
A (9) ttel levezetse: (8): a c a b c b d b | a ((b a) (c b) (5) (9)
c a) | ((c b) (b a) c a)
Ez a ttel nem klnbzik lnyegesen (5)-tl. A (10) ttel levezetse: (9): b e d b c d e b 45
| ((d e b) e d b) | ([(e d b) a] (d e b) a) A (11) ttel levezetse: (9): b c b c b | (b c b)
(8): a b, b e (10)
| ([(c b) a] b a)
(1): a b, b c (11)
Ez a formula gy fordthat: ha az a ttel, hogy b fennll vagy c nem ll fenn, elegend felttele a-nak, akkor b egyedl is elegend felttele a-nak. A (12) ttel levezetse: (5): a b c d b c b a e d | ((c b a) b c a)
(8): d c | ((d c b a) d b (12) c a) A (12)(17), (22) ttelek azt mutatjk, hogy tbb felttel esetn a sorrend megvltoztathat. A (15) ttel levezetse ((13) s (14) kzbeiktatsval): (12) a c a : c d d d c b a | ((d c b a) d b c a) | ((d c b a) b d c a) (5) : a b d c a (12) (13)
46
b d c b a c e | ((e d c b a) e b d c a) (12): a d c a c e d e d c b (14)
(13) (14)
a | ((e d c b a) b e d c a)
(15)
A htralev rszben a ttelek levezetsnek jellst egyszerstjk. Az j ttel sorszmt pl. (m)-et a ttel el rjuk, a ttel utn pedig szgletes zrjelek kztt (n) (m) = (k) alak magyarzatot helyeznk el, ami azt jelli, hogy a (k) sorszm ttelben olyan kondicionlis szerepel, melynek eltagja az (n) szm ttel tartalma, uttagja pedig az (m) szm ttel tartalma; gy (m) levlasztssal kvetkezik (k)-bl s (n)-bl. Ha valamelyik idzett ttelben behelyettests szksges, ennek sztrt utlag megadjuk. Egyszerbb behelyettestseket kzvetlenl a szgletes zrjelek kztt adunk meg.
(16) | ((e d c b a) e d b c a) (5): a d b c a b d c b a c e (17) | ((d c b a) c b d a) (8): a b a b c
[(12) (16) = (5)]
[(8) (17) = (16)] d c e d c b a [(5) (18) (16)]
(16): c d (18) | ((c b a) (d c) b d a) (5): a b a b c c d
d d c e c b
47
a (19) | ((d c b) (b a) d c a) (18): a c a b b a c c b (20) | ((e d c b) (b a) e d c a) (18): a d c a b b a c d c b d e (21) | ([(d b) a] (d c) (c b) a) (9): a b b c c d (19) b d : b c c b d d c
[(9) (19) = (18)]
[(19) (20) = (18)]
[(9) (21) = (19)]
(22) | ((f e d c b a) f e d b c a) (5): a e d b c a b e d c b a c f (23) | ((d c b a) (e d) c b e a) (18): a b a b c c d d e (22): c d e f
[(16) (22) = (5)]
[(18) (23) = (22)]
e c e d d c b a
48
(24) | ((c a) c b a) (1): a c a (12): b c c b d c a
[(1) (24) = (12)]
(25) | ((d c a) d c b a)
[(24) (25) = (5)]
49
(5): a c b a b c a c d (26) | (b a a) (27) | (a a) [(1) (26) = (8): d a] [(1) (27) = (26): b a b a]
Nem lehet (egyszerre) a-t lltani s a-t tagadni. 17. . | ((b a) ~ a ~ b) (28)
jelentse: Nem ll fenn az az eset, amelyben ~ a ~ b-t tagadjuk s b a-t lltjuk. ~ a ~ b tagadsa azt jelenti, hogy ~ a-t lltjuk s ~ b-t tagadjuk; azaz hogy a-t tagadjuk s b-t lltjuk. Ezt az esetet b a kizrja. Ez az tlet alapozza meg az tmenetet a modus ponensrl a modus tollensre. Jelentse pl. b azt a ttelt, hogy az M ember l, a azt, hogy M llegzik. Ekkor a kvetkez tletet kapjuk: Ha abbl a krlmnybl, hogy M l, kvetkeztetni lehet a llegzsre, akkor abbl a krlmnybl, hogy nem llegzik, kvetkeztetni lehet a hallra.A (28) ttel ugyancsak alapttel, melyet a , ~ szimblumok rtelmezse alapjn bizonyt Frege. Modus tollens: kvetkeztets A B s ~ B igazsgbl ~ A igazsgra.
