FRAZIONI E NUMERI DECIMALI 1 1 Frazioni e numeri decimali Def. I numeri razionali sono quozienti fra due numeri naturali e si rappresentano tramite le frazioni. I numeri razionali possono essere: 1. un numero naturale: 10 5 = 10 ∶ 5 = 2,0 = 2 2. un numero decimale limitato, cioè con un numero finito di cifre decimali: 3 5 = 3 ∶ 5 = 0,6 3. un numero decimale illimitato, cioè con un numero infinito di cifre decimali: 5 3 = 5 ∶ 3 = 1,66666666 … Dalle frazioni ai numeri decimali N.B.: La frazione deve sempre essere RIDOTTA AI MINIMI TERMINI. Senza eseguire l’operazione è possibile stabilire se una frazione da origine ad un decimale limitato Frazione decimale: ha come denominatore una potenza di 10 (10, 100, 1000, …). Si può sempre trasformare in un numero decimale limitato . Esempio: 71 10 = 71: 10 = 7,1 243 100 = 243: 100 = 2,43
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FRAZIONI E NUMERI DECIMALI 1
1
Frazioni e numeri decimali
Def. I numeri razionali sono quozienti fra due numeri naturali e si rappresentano tramite le frazioni. I numeri razionali possono essere:
1. un numero naturale: 10
5= 10 ∶ 5 = 2,0 = 2
2. un numero decimale limitato, cioè con un numero finito di cifre decimali:
3
5= 3 ∶ 5 = 0,6
3. un numero decimale illimitato, cioè con un numero infinito di cifre decimali:
5
3= 5 ∶ 3 = 1,66666666 …
Dalle frazioni ai numeri decimali
N.B.: La frazione deve sempre essere RIDOTTA AI MINIMI TERMINI. Senza eseguire l’operazione è possibile stabilire se una frazione da origine ad un decimale limitato
Frazione decimale: ha come denominatore una potenza di 10 (10, 100, 1000, …). Si può sempre trasformare in un numero decimale limitato.
Esempio: 71
10= 71: 10 = 7,1
243
100= 243: 100 = 2,43
FRAZIONI E NUMERI DECIMALI 2
2
Frazioni ordinarie Regola: Una frazione irriducibile si può trasformare in un numero decimale limitato se il suo DENOMINATORE, scomposto in fattori primi, contiene solo i fattori 2 e 5 o solo uno di essi, con le loro potenze. Esempio: 33
200=
33
23∙52 numero decimale limitato
12
50=
6
25=
6
52 numero decimale limitato
13
400=
13
24∙52 numero decimale limitato
Def: un numero PERIODICO ha un gruppo di cifre decimali che si ripetono.
PERIODICO SEMPLICE: si ripetono tutte le cifre dopo la virgola
Es: 3, 214̅̅ ̅̅ ̅ = 3,214214214214214 ….
PERIODICO MISTO: le prime cifre decimali non si ripetono (ANTIPERIODO), le altre si ripetono (PERIODO)
Es: 4,2174̅̅̅̅ = 4,217474747474 …. 21 è antiperiodo 74 è periodo (la parte che si ripete) Regola 2: Una frazione irriducibile si può trasformare in un numero decimale periodico semplice se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene solo fattori diversi da 2 e da 5.
FRAZIONI E NUMERI DECIMALI 3
3
Esempio: 2
33=
2
11∙3 numero decimale periodico
semplice 25
231=
25
3∙7∙11 numero periodico semplice
Regola 3: Una frazione irriducibile si può trasformare in un numero decimale periodico misto se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene i fattori primi 2 e 5 (entrambi o solo uno) e altri fattori. Esempio: 7
22=
7
2∙11 numero decimale periodico misto
31
75=
31
3∙52 numero decimale periodico misto
FATTORI PRIMI DEL
DENOMIMATORE
TIPO DI NUMERO DECIMALE
2 e 5, oppure 2, oppure 5
con le loro potenze
DECIMALE LIMITATO
Fattori diversi da 2 e 5 DECIMALE PERIODICO SEMPLICE
2 e/o 5 e altri fattori DECIMALE PERIODICO MISTO
FRAZIONI E NUMERI DECIMALI 4
4
Dai numeri decimali alle frazioni
1) DECIMALI LIMITATI
La frazione generatrice di un numero decimale limitato è la frazione che ha:
per numeratore il numero naturale senza la virgola per denominatore la cifra 1 seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero. Esempi:
3,219 =3219
1000 0,063 =
63
1000
11,7105 =117′105
10′000
2) DECIMALI ILLIMITATI
La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice ha: per numeratore il numero naturale senza virgola
per denominatore tanti
Esempi:
13, 025̅̅ ̅̅ ̅ =13025 − 13
999=
13012
999
250, 84̅̅̅̅ =25084 − 250
99=
24834
99=
8278
33
FRAZIONI E NUMERI DECIMALI 5
5
La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto ha: per numeratore il numero naturale senza virgola diminuito della parte che precede il periodo; per denominatore e
Esempi:
12,56̅ =1256 − 125
90=
1131
90=
377
30
0,0613̅̅̅̅ =613 − 6
9900=
607
9900
2,315̅̅̅̅ =2315 − 23
990=
2292
990=
1146
495=
382
165
Espressioni con i numeri decimali
Si deve prima trasformare ogni numero decimale in frazione e dopo si svolgono i calcoli. Es. pag. 24 n. 147
0,5 +2
3− (1 − 0,75) ∙ 0,5 + 5 ∙ (3 −
5
3) ∙ (7 −
23
8) +
1
3− 27,5 + 1,125 =
si trasformano tutti i decimali in frazioni 5
10+
2
3−
25
100∙
5
10+
5
1∙
4
3∙
33
8+
1
3−
275
10+
1125
1000=
1
2+
2
3−
1
4∙
1
2+
5
1∙
1
1∙
11
2+
1
3−
55
2+
9
8=
1
2+
2
3−
1
8+
55
2+
1
3−
55
2+
9
8=
12 + 16 − 3 + 8 + 27
24=
60
24=
5
2
FRAZIONI E NUMERI DECIMALI 6
6
Esempio: (1, 1̅ + 2, 2̅ + 3, 3̅) ∙ 0,6 = Trasformare ogni numero in FRAZIONE
(11 − 1
9+
22 − 2
9+
33 − 3
9) ∙
6
10=
(10
9+
20
9+
30
9) ∙
3
5=
(10 + 20 + 30
9) ∙
3
5=
60
9∙
3
5 =
12
3= 4
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