Franka Miriam Brucklerprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat1-tjedan14.pdfTo cke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru Analiti cka geometrija prostora Franka Miriam Bruckler

Tocke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru

Analiticka geometrija prostora

Franka Miriam Bruckler


U analitickog geometriji u ravnini se pomocu koordinata (uredenihparova realnih brojeva) proucavaju tocke ravnine i njihovijednodimenzionalni skupovi: pravci, krivulje drugog reda, . . . Utrodimenzionalnom prostoru pojavljuju se i dvodimenzionalnipodskupovi — plohe. Najvaznije plohe u prostoru zovu se ravnine.Objekti u prostoru opisuju se s jednom ili vise jednadzbi s trinepoznanice, koje predstavljaju koordinate tocaka tog objekta.Da bismo se mogli baviti analitickom geometrijom prostora,potrebno je prvo odabrati koordinatni sustav. Ako je kao bazaodabrana desna ortonormirana baza govorimo o Kartezijevomkoordinatnom sustavu u prostoru.Koordinatne osi su brojevni pravci kroz O kojima se smjerovi redompodudaraju sa smjerovima vektora odabrane baze. Koordinatneravnine su ravnine odredene s po dvije koordinatne osi.


Udaljenost dviju tocaka i poloviste duzine

Za dvije tocke T (x , y , z) i T ′(x ′y ′, z ′) njihova udaljenost jednaka

je duljini vektora−−→TT ′, a ona je prema prethodnom jednaka√

−−→TT ′ ·

−−→TT ′. Ako je odabrana baza ortonormirana slijedi formula

za udaljenost dvije tocke u Kartezijevom koordinatnom sustavu:

d(T ,T ′) =√

(x ′ − x)2 + (y ′ − y)2 + (z ′ − z)2.

Zadatak

Kako biste u opcem kristalografskom sustavu izracunali udaljenostdviju tocaka?

Poloviste duzine TT ′ dano je koordinatama(x+x ′

2 , y+y ′

2 , z+z ′

2

).


Udaljenost dviju tocaka i poloviste duzine

Za dvije tocke T (x , y , z) i T ′(x ′y ′, z ′) njihova udaljenost jednaka

je duljini vektora−−→TT ′, a ona je prema prethodnom jednaka√

−−→TT ′ ·

−−→TT ′. Ako je odabrana baza ortonormirana slijedi formula

za udaljenost dvije tocke u Kartezijevom koordinatnom sustavu:

d(T ,T ′) =√

(x ′ − x)2 + (y ′ − y)2 + (z ′ − z)2.

Zadatak

Kako biste u opcem kristalografskom sustavu izracunali udaljenostdviju tocaka?

Poloviste duzine TT ′ dano je koordinatama(x+x ′

2 , y+y ′

2 , z+z ′

2

).


Sto predstavlja jednadzba x = 0. . .

. . . u ravnini?

. . . u prostoru?Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0? x = −2? x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4! Kakav objekt ta jednadzba predstavlja?



. . . u ravnini? . . . u prostoru?Sto prestavljaju jednadzbe y = 0?

z = 0? x = −2? x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4! Kakav objekt ta jednadzba predstavlja?



. . . u ravnini? . . . u prostoru?Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0?

x = −2? x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4! Kakav objekt ta jednadzba predstavlja?



. . . u ravnini? . . . u prostoru?Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0? x = −2?

x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4! Kakav objekt ta jednadzba predstavlja?



. . . u ravnini? . . . u prostoru?Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0? x = −2? x + 2y = 0?

Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4! Kakav objekt ta jednadzba predstavlja?



. . . u ravnini? . . . u prostoru?Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0? x = −2? x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4!

Kakav objekt ta jednadzba predstavlja?



. . . u ravnini? . . . u prostoru?Sto prestavljaju jednadzbe y = 0? z = 0? x = −2? x + 2y = 0?Dajte primjere tocaka prostora koje zadovoljavaju jednadzbux + 2y = 4! Kakav objekt ta jednadzba predstavlja?


Svaka linearna jednadzba

Ax + By + Cz = D

s tri nepoznanice opisuje neku ravninu u prostoru, kao sto svakalinearna jednadzba s dvije nepoznanice opisuje neki pravac uravnini.Takva jednadzba zove se opca jednadzba ravnine.U ravnini se nalaze tocno one tocke cije su koordinate (x , y , z)povezane jednadzbom ravnine. Sve jednadzbe koje se iz jednadzberavnine mogu dobiti njenim mnozenjem s brojem razlicitim od nulepredstavljaju istu ravninu.

Koeficijenti A, B i C govore nam o nagibu ravnine premakoordinatnim osima, a D o udaljenosti ravnine od ishodista.


Svaka linearna jednadzba

Ax + By + Cz = D

s tri nepoznanice opisuje neku ravninu u prostoru, kao sto svakalinearna jednadzba s dvije nepoznanice opisuje neki pravac uravnini.Takva jednadzba zove se opca jednadzba ravnine.U ravnini se nalaze tocno one tocke cije su koordinate (x , y , z)povezane jednadzbom ravnine. Sve jednadzbe koje se iz jednadzberavnine mogu dobiti njenim mnozenjem s brojem razlicitim od nulepredstavljaju istu ravninu.Koeficijenti A, B i C govore nam o nagibu ravnine premakoordinatnim osima, a D o udaljenosti ravnine od ishodista.


Zadatak

Jednadzbom x + y − 2z = 5 zadana je ravnina. Lezi li u njojishodiste?

A tocka (1, 8, 2)?

Zadatak

Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C , D u opcojjednadzbi ravnine da bi se radilo o opcoj ravnini koja prolazi krozishodiste? O opcoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata? O opcojravnini koja je paralelna s (x , z)-ravninom? Ovise li vasi odgovori otipu koordinatnog sustava?

Neka je dana ravnina s jednadzbom Ax + By + Cz = D. Kako izjednadzbe dobiti jedan njezin vektor normale?


Zadatak

Jednadzbom x + y − 2z = 5 zadana je ravnina. Lezi li u njojishodiste? A tocka (1, 8, 2)?

Zadatak




Zadatak


Zadatak

Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C , D u opcojjednadzbi ravnine da bi se radilo o opcoj ravnini koja prolazi krozishodiste?

O opcoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata? O opcojravnini koja je paralelna s (x , z)-ravninom? Ovise li vasi odgovori otipu koordinatnog sustava?



Zadatak


Zadatak

Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C , D u opcojjednadzbi ravnine da bi se radilo o opcoj ravnini koja prolazi krozishodiste? O opcoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata?

O opcojravnini koja je paralelna s (x , z)-ravninom? Ovise li vasi odgovori otipu koordinatnog sustava?



Zadatak


Zadatak

Koji uvjet moraju zadovoljavati koeficijenti A, B, C , D u opcojjednadzbi ravnine da bi se radilo o opcoj ravnini koja prolazi krozishodiste? O opcoj ravnini koja je paralelna s osi ordinata? O opcojravnini koja je paralelna s (x , z)-ravninom?

Ovise li vasi odgovori otipu koordinatnog sustava?



Zadatak


Zadatak




Zadatak


Zadatak




Smjer normale

Skalarni produkt vektora −→r = [u, v ,w ] u direktnom prostoru ivektora −→r ∗ = [h, k , l ]∗ u reciprocnom prostoru iznosi

−→r · −→r ∗ = uh + vk + wl .

Ravnina Ax + By + Cz = D sijece koordinatne osi u tockamaP = (D/A, 0, 0), Q = (0,D/B, 0), R = (0, 0,D/C ). Stoga su−→PQ = [−D/A,D/B, 0] i

−→PR = [−D/A, 0,D/C ] u ravnini.

Vrijedi: −→PQ · [A,B,C ]∗ =

−→PR · [A,B,C ]∗ = 0.

Dakle, [A,B,C ]∗ je okomit na dva pravca ravnineAx + By + Cz = D, tj.

Teorem

Jedan od vektora normale na ravninu zadanu jednadzbom

Ax + By + Cz = D je −→n = A−→a ∗ + B−→b ∗ + C−→c ∗ = [A,B,C ]∗.


Smjer normale


−→r · −→r ∗ = uh + vk + wl .

Ravnina Ax + By + Cz = D sijece koordinatne osi u tockamaP = (D/A, 0, 0), Q = (0,D/B, 0), R = (0, 0,D/C ).

Stoga su−→PQ = [−D/A,D/B, 0] i



−→PR · [A,B,C ]∗ = 0.


Teorem




Smjer normale


−→r · −→r ∗ = uh + vk + wl .




−→PR · [A,B,C ]∗ = 0.


Teorem




Smjer normale


−→r · −→r ∗ = uh + vk + wl .




−→PR · [A,B,C ]∗ = 0.


Teorem




Posebno, u Kartezijevom koordinatnom sustavu je −→n = [A,B,C ]vektor normale na smjer ravnine.

Jedan nacin zadavanja ravnine je trojkom [A,B,C ] (tj. s−→n = [A,B,C ]∗) i jednom tockom T0 = (x0, y0, z0):

A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.

Zadatak

Odredite jednadzbu ravnine kojoj vektor normale ima smjer[2, 3, 4]∗ i koja sadrzi tocku (1, 1, 1).

Ravninu mozemo zadati i jednom tockom (x0, y0, z0) te s dva njojparalelna vektora −→v = [v1, v2, v3] i −→w = [w1,w2,w3]. Kako bistetada odredili vektor normale te ravnine?Ravnina mozemo zadati i trima tockama Ti = (xi , yi , zi ),i = 1, 2, 3. Kako biste joj odredili jednadzbu? Ovisi li ona o tipukoordinatnog sustava?


Posebno, u Kartezijevom koordinatnom sustavu je −→n = [A,B,C ]vektor normale na smjer ravnine.Jedan nacin zadavanja ravnine je trojkom [A,B,C ] (tj. s−→n = [A,B,C ]∗) i jednom tockom T0 = (x0, y0, z0):

A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.

Zadatak





A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.

Zadatak


Ravninu mozemo zadati i jednom tockom (x0, y0, z0) te s dva njojparalelna vektora −→v = [v1, v2, v3] i −→w = [w1,w2,w3]. Kako bistetada odredili vektor normale te ravnine?

Ravnina mozemo zadati i trima tockama Ti = (xi , yi , zi ),i = 1, 2, 3. Kako biste joj odredili jednadzbu? Ovisi li ona o tipukoordinatnog sustava?



A(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.

Zadatak




Paralelnost i okomitost ravnina

Ako su jednadzbe ravnina Ax + By + Cz + D = 0 iA′x + B ′y + C ′z + D ′ = 0, uvjet paralelnosti ravnina je da su imvektori normala kolinearni, tj.

A : A′ = B : B ′ = C : C ′.

Uvjet okomitosti ravnina je uvjet okomitosti njihovih vektoranormala, tj.

−→n ·−→n′ = 0.

Ako je koordinatni sustav Kartezijev to se svodi na formulu

AA′ + BB ′ + CC ′ = 0.


Paralelnost i okomitost ravnina

Ako su jednadzbe ravnina Ax + By + Cz + D = 0 iA′x + B ′y + C ′z + D ′ = 0, uvjet paralelnosti ravnina je da su imvektori normala kolinearni, tj.

A : A′ = B : B ′ = C : C ′.

Uvjet okomitosti ravnina je uvjet okomitosti njihovih vektoranormala, tj.

−→n ·−→n′ = 0.

Ako je koordinatni sustav Kartezijev to se svodi na formulu

AA′ + BB ′ + CC ′ = 0.


Primjer

Odabran je Kartezijev koordinatni sustav. Nadimo ravninu okomituna ravnine x + y + z = 1 i x − y + z = 2 koja prolazi ishodistem.

Kako znamo jednu tocku, (0, 0, 0), radi se o ravnini s jednadzbomoblika Ax + By + Cz = 0. Da bismo odredili koordinate vektoranormale, iskoristimo uvjete okomitosti: 1A + 1B + 1C = 0(okomitost na x + y + z = 1) i 1A− 1B + 1C = 0 (okomitost nax − y + z = 2). Tako smo dobili sustav A + B + C = 0,A−B + C = 0. Zbrajanjem jednadzbi sustava i zatim dijeljenjem sdva vidimo da mora vrijediti C = −A. Iz prve jednadzbe je ondaA + B − A = 0 tj. B = 0. Dakle, vektori normale imaju koordinateoblika [A, 0,−A] s proizvoljnim A 6= 0. Odaberimo jedan takavvektor, recimo s A = 1. Imamo vektor normale [1, 0,−1] te jetrazena jednadzba ravnine x − z = 0.


Primjer

Odabran je Kartezijev koordinatni sustav. Nadimo ravninu okomituna ravnine x + y + z = 1 i x − y + z = 2 koja prolazi ishodistem.Kako znamo jednu tocku, (0, 0, 0), radi se o ravnini s jednadzbomoblika Ax + By + Cz = 0.

Da bismo odredili koordinate vektoranormale, iskoristimo uvjete okomitosti: 1A + 1B + 1C = 0(okomitost na x + y + z = 1) i 1A− 1B + 1C = 0 (okomitost nax − y + z = 2). Tako smo dobili sustav A + B + C = 0,A−B + C = 0. Zbrajanjem jednadzbi sustava i zatim dijeljenjem sdva vidimo da mora vrijediti C = −A. Iz prve jednadzbe je ondaA + B − A = 0 tj. B = 0. Dakle, vektori normale imaju koordinateoblika [A, 0,−A] s proizvoljnim A 6= 0. Odaberimo jedan takavvektor, recimo s A = 1. Imamo vektor normale [1, 0,−1] te jetrazena jednadzba ravnine x − z = 0.


Primjer

Odabran je Kartezijev koordinatni sustav. Nadimo ravninu okomituna ravnine x + y + z = 1 i x − y + z = 2 koja prolazi ishodistem.Kako znamo jednu tocku, (0, 0, 0), radi se o ravnini s jednadzbomoblika Ax + By + Cz = 0. Da bismo odredili koordinate vektoranormale, iskoristimo uvjete okomitosti: 1A + 1B + 1C = 0(okomitost na x + y + z = 1) i 1A− 1B + 1C = 0 (okomitost nax − y + z = 2).

Tako smo dobili sustav A + B + C = 0,A−B + C = 0. Zbrajanjem jednadzbi sustava i zatim dijeljenjem sdva vidimo da mora vrijediti C = −A. Iz prve jednadzbe je ondaA + B − A = 0 tj. B = 0. Dakle, vektori normale imaju koordinateoblika [A, 0,−A] s proizvoljnim A 6= 0. Odaberimo jedan takavvektor, recimo s A = 1. Imamo vektor normale [1, 0,−1] te jetrazena jednadzba ravnine x − z = 0.


Primjer

Odabran je Kartezijev koordinatni sustav. Nadimo ravninu okomituna ravnine x + y + z = 1 i x − y + z = 2 koja prolazi ishodistem.Kako znamo jednu tocku, (0, 0, 0), radi se o ravnini s jednadzbomoblika Ax + By + Cz = 0. Da bismo odredili koordinate vektoranormale, iskoristimo uvjete okomitosti: 1A + 1B + 1C = 0(okomitost na x + y + z = 1) i 1A− 1B + 1C = 0 (okomitost nax − y + z = 2). Tako smo dobili sustav A + B + C = 0,A−B + C = 0. Zbrajanjem jednadzbi sustava i zatim dijeljenjem sdva vidimo da mora vrijediti C = −A. Iz prve jednadzbe je ondaA + B − A = 0 tj. B = 0. Dakle, vektori normale imaju koordinateoblika [A, 0,−A] s proizvoljnim A 6= 0.

Odaberimo jedan takavvektor, recimo s A = 1. Imamo vektor normale [1, 0,−1] te jetrazena jednadzba ravnine x − z = 0.


Primjer

Odabran je Kartezijev koordinatni sustav. Nadimo ravninu okomituna ravnine x + y + z = 1 i x − y + z = 2 koja prolazi ishodistem.Kako znamo jednu tocku, (0, 0, 0), radi se o ravnini s jednadzbomoblika Ax + By + Cz = 0. Da bismo odredili koordinate vektoranormale, iskoristimo uvjete okomitosti: 1A + 1B + 1C = 0(okomitost na x + y + z = 1) i 1A− 1B + 1C = 0 (okomitost nax − y + z = 2). Tako smo dobili sustav A + B + C = 0,A−B + C = 0. Zbrajanjem jednadzbi sustava i zatim dijeljenjem sdva vidimo da mora vrijediti C = −A. Iz prve jednadzbe je ondaA + B − A = 0 tj. B = 0. Dakle, vektori normale imaju koordinateoblika [A, 0,−A] s proizvoljnim A 6= 0. Odaberimo jedan takavvektor, recimo s A = 1. Imamo vektor normale [1, 0,−1] te jetrazena jednadzba ravnine x − z = 0.


Kut izmedu ravnina

Kut izmedu ravnina definira se kao kut izmedu njihovih normala, tj.

cosϕ =−→n ·−→n′

|−→n | · |−→n′ |.

Pritom se bira ϕ ∈ [0, π〉.

Primjer

Kut izmedu ravnina x − y − z = 0 i x − y -ravnine z = 0, uz uvjetda je odabrani koordinatni sustav Kartezijev, dan je s

cosϕ =1 · 0− 1 · 0− 1 · 1√

12 + (−1)2 + (−1)2 ·√

0 + 0 + 12=−1√

3,

te je ϕ ≈ 125, 264◦.


Segmentni oblik jednadzbe ravnine

Cesto se koristi i segmentni oblik jednadzbe ravnine. Radi se oposebnom slucaju opceg oblika jednadzbe ravnine iz kojeg sedirektno vide probodista koordinatnih osi s ravninom (odsjecci).

Primjer

Zadana je ravnina 2x + 5y − 4z = 8. Odsjecci na osima su redom

4, 8/5 i −2. Podijelimo li pak jednadzbu ravnine s D = 8 dobijemo

x

4+

y

8/5+

z

−2= 1

sto je jednadzba iste ravnine.

Segmentni oblik jednadzbe ravnine je oblik u kojem slobodni claniznosi 1:

x

m+

y

n+

z

p= 1.

Brojevi m, n, p su redom odsjecci ravnine na koordinatnim osima.




Primjer

Zadana je ravnina 2x + 5y − 4z = 8. Odsjecci na osima su redom4,

8/5 i −2. Podijelimo li pak jednadzbu ravnine s D = 8 dobijemo

x

4+

y

8/5+

z

−2= 1



x

m+

y

n+

z

p= 1.





Primjer

Zadana je ravnina 2x + 5y − 4z = 8. Odsjecci na osima su redom4, 8/5 i

−2. Podijelimo li pak jednadzbu ravnine s D = 8 dobijemo

x

4+

y

8/5+

z

−2= 1



x

m+

y

n+

z

p= 1.





Primjer

Zadana je ravnina 2x + 5y − 4z = 8. Odsjecci na osima su redom4, 8/5 i −2. Podijelimo li pak jednadzbu ravnine s D = 8 dobijemo

x

4+

y

8/5+

z

−2= 1



x

m+

y

n+

z

p= 1.





Primjer

Zadana je ravnina 2x + 5y − 4z = 8. Odsjecci na osima su redom4, 8/5 i −2. Podijelimo li pak jednadzbu ravnine s D = 8 dobijemo

x

4+

y

8/5+

z

−2= 1



x

m+

y

n+

z

p= 1.



Ravnina na slici desno ima segmentni oblikx2 + y

3 + z4 = 1. Istu ravninu mogli smo zadati

i jednadzbom 6x + 4y + 3z = 12.

Zadatak

Kako oblik Ax + By + Cz = D svodimo na segmentni?

Segmentni oblik jednadzbe se ne koristi za ravnine koje prolazekroz ishodiste. Takod, u matematici se taj oblik ne koristi ako jeravnina paralelna nekoj od koordinatnih osi, no uz malumodifikaciju koristit cemo ga i za te slucajeve.


Ravnina na slici desno ima segmentni oblikx2 + y

3 + z4 = 1. Istu ravninu mogli smo zadati

i jednadzbom 6x + 4y + 3z = 12.

Zadatak

Kako oblik Ax + By + Cz = D svodimo na segmentni?

Segmentni oblik jednadzbe se ne koristi za ravnine koje prolazekroz ishodiste. Takod, u matematici se taj oblik ne koristi ako jeravnina paralelna nekoj od koordinatnih osi, no uz malumodifikaciju koristit cemo ga i za te slucajeve.


Zadatak

Koliko iznose stvarni odsjecci ravnine 2x − 5y + 3z = 15 nakoordinatnim osima, ako je a = 1 m, b = 2 m i c = 4 m,α = β = γ = 90◦?

Stvarne duljine odsjecaka ravnine

x

m+

y

n+

z

p= 1

na osima jednake su ma, nb odnosno pc.Na ove teme vratit cemo se u poglavlju o primjenama analitickegeometrije prostora u kristalografiji.


Zadatak

Koliko iznose stvarni odsjecci ravnine 2x − 5y + 3z = 15 nakoordinatnim osima, ako je a = 1 m, b = 2 m i c = 4 m,α = β = γ = 90◦?

Stvarne duljine odsjecaka ravnine

x

m+

y

n+

z

p= 1

na osima jednake su ma, nb odnosno pc.Na ove teme vratit cemo se u poglavlju o primjenama analitickegeometrije prostora u kristalografiji.


Kako biste opisali x-os pomocu jedne ili vise jednadzbi?

y -os?z-os?Kako biste opisali pravac kroz ishodiste koji lezi u(y , z)-koordinatnoj ravnini?Kakve su koordinate tocaka na pravcu koji ide kroz ishodiste izatvara jednake kutove prema svim trima koordinatnim osima (uKks-u)?


Kako biste opisali x-os pomocu jedne ili vise jednadzbi? y -os?z-os?

Kako biste opisali pravac kroz ishodiste koji lezi u(y , z)-koordinatnoj ravnini?Kakve su koordinate tocaka na pravcu koji ide kroz ishodiste izatvara jednake kutove prema svim trima koordinatnim osima (uKks-u)?


Kako biste opisali x-os pomocu jedne ili vise jednadzbi? y -os?z-os?Kako biste opisali pravac kroz ishodiste koji lezi u(y , z)-koordinatnoj ravnini?

Kakve su koordinate tocaka na pravcu koji ide kroz ishodiste izatvara jednake kutove prema svim trima koordinatnim osima (uKks-u)?


Kako biste opisali x-os pomocu jedne ili vise jednadzbi? y -os?z-os?Kako biste opisali pravac kroz ishodiste koji lezi u(y , z)-koordinatnoj ravnini?Kakve su koordinate tocaka na pravcu koji ide kroz ishodiste izatvara jednake kutove prema svim trima koordinatnim osima (uKks-u)?


Pravci u prostoru

Pravac u prostoru odreden je svojim smjerom (tj. bilo kojim njemuparalelnim vektorom smjera) i jednom tockom. Alternativno,pravac mozemo zadati kao presjek dvije neparalelne ravnine.Parametarske jednadzbe pravca s vektorom smjera −→s = [u, v ,w ]koji prolazi tockom (x0, y0, z0) su oblika

x = x0 + ut,

y = y0 + vt,

z = z0 + wt,

t ∈ R.

Umjesto tockom i vektorom smjera, pravac moze biti zadan i sdvije tocke. U tom slucaju mu je vektor smjera vektor koji spaja tedvije tocke, a bilo koju od njih uzmemo kao (x0, y0, z0).


Skraceni zapis parametarskih jednadzbi pravca, koji bismo dobilitako da iz svake od tri jednadzbe izrazimo parametar t i onda ihizjednacimo zove se kanonski oblik jednadzbe pravca u prostoru:

x − x0

u=

y − y0

v=

z − z0

w.

Oprez s tim oblikom!Pravac moze biti zadan i kao presjek dvije (neparalelne) ravnine, tj.sustavom

Ax + By + Cz + D = 0,

A′x + B ′y + C ′z + D ′ = 0.

Zadatak

Odredite parametarski i kanonski oblik jednadzbi pravca zadanogkao presjek ravnina x + y + z = 1 i 2x − y = 5.


Paralelnost i mimosmjernost pravaca

Pravci u prostoru mogu se ne sjeci bez da su paralelni. Uvjetparalelnosti pravaca je kolinearnost njihovih vektora smjera: ako su−→s = [u, v ,w ] i

−→s ′ = [u′, v ′,w ′] vektori smjera dva pravca, oni su

paralelni ako je u : u′ = v : v ′ = w : w ′. Pravci u prostoru koji sene sijeku i nisu paralelni zovu se mimoilazni (mimosmjerni) pravci.

Zadatak

Odredite sjeciste pravaca x0 = y+1

2 = z−32 i x−1

1 = y−21 = z−3

1 .

Zadatak

Kako rjesavanjem sustava odredenog jednadzbama dvaju pravacamozemo zakljuciti u kakvom su medusobnom polozaju ti pravci?


Paralelnost i mimosmjernost pravaca

Pravci u prostoru mogu se ne sjeci bez da su paralelni. Uvjetparalelnosti pravaca je kolinearnost njihovih vektora smjera: ako su−→s = [u, v ,w ] i

−→s ′ = [u′, v ′,w ′] vektori smjera dva pravca, oni su

paralelni ako je u : u′ = v : v ′ = w : w ′. Pravci u prostoru koji sene sijeku i nisu paralelni zovu se mimoilazni (mimosmjerni) pravci.

Zadatak

Odredite sjeciste pravaca x0 = y+1

2 = z−32 i x−1

1 = y−21 = z−3

1 .

Zadatak

Kako rjesavanjem sustava odredenog jednadzbama dvaju pravacamozemo zakljuciti u kakvom su medusobnom polozaju ti pravci?


Zadatak

Kako iz kanonskog oblika jednadzbi pravca vidimo je li on paralelanosi aplikata?

Opcenito, kut dvaju pravaca definira se kao kut njihovih vektorasmjera.Posebno, uvjet okomitosti pravaca je

−→s ·−→s ′ = 0.

U slucaju Kartezijevog koordinatnog sustava to se svodi na

uu′ + vv ′ + ww ′ = 0.

Zadatak

Nadite pravac (pravce) koji prolazi kroz ishodiste, okomit je nax-os i sa z-osi zatvara kut od 45◦, ako su parametri koordinatnogsustava a = 5 cm, b = 3 cm, c = 4 cm, α = β = γ = 90◦.


Zadatak

Kako iz kanonskog oblika jednadzbi pravca vidimo je li on paralelanosi aplikata?

Opcenito, kut dvaju pravaca definira se kao kut njihovih vektorasmjera.Posebno, uvjet okomitosti pravaca je

−→s ·−→s ′ = 0.

U slucaju Kartezijevog koordinatnog sustava to se svodi na

uu′ + vv ′ + ww ′ = 0.

Zadatak

Nadite pravac (pravce) koji prolazi kroz ishodiste, okomit je nax-os i sa z-osi zatvara kut od 45◦, ako su parametri koordinatnogsustava a = 5 cm, b = 3 cm, c = 4 cm, α = β = γ = 90◦.


Okomitost pravca na ravninu i paralelnost pravca sravninom

Pravac s vektorom smjera −→s = [u, v ,w ] je okomit na ravninu svektorom normale −→n = [A,B,C ]∗ ako su ti vektori paralelni, apravac je paralelan ravnini ako mu je vektor smjera okomit nanjezin vektor normale.

Stoga je uvjet okomitosti pravca na ravninu da je ~s × ~n = ~0, dakleu Kks da su koordinate od −→s i −→n proporcionalne,a uvjetparalelnosti pravca s ravninom je −→s · −→n = 0. Zbog vec pokazaneformule −→r · −→r ∗ = uh + vk + wl uvjet okomitosti pravca i ravnineiskazan je formulom

uA + vB + wC = 0.

Zadatak

Odredite uvjet paralelnosti opceg pravca s (y , z)-ravninom i uvjetparalelnosti opce ravnine s x-osi.



Pravac s vektorom smjera −→s = [u, v ,w ] je okomit na ravninu svektorom normale −→n = [A,B,C ]∗ ako su ti vektori paralelni, apravac je paralelan ravnini ako mu je vektor smjera okomit nanjezin vektor normale.Stoga je uvjet okomitosti pravca na ravninu da je ~s × ~n = ~0, dakleu Kks da su koordinate od −→s i −→n proporcionalne,

a uvjetparalelnosti pravca s ravninom je −→s · −→n = 0. Zbog vec pokazaneformule −→r · −→r ∗ = uh + vk + wl uvjet okomitosti pravca i ravnineiskazan je formulom

uA + vB + wC = 0.

Zadatak




Pravac s vektorom smjera −→s = [u, v ,w ] je okomit na ravninu svektorom normale −→n = [A,B,C ]∗ ako su ti vektori paralelni, apravac je paralelan ravnini ako mu je vektor smjera okomit nanjezin vektor normale.Stoga je uvjet okomitosti pravca na ravninu da je ~s × ~n = ~0, dakleu Kks da su koordinate od −→s i −→n proporcionalne,a uvjetparalelnosti pravca s ravninom je −→s · −→n = 0. Zbog vec pokazaneformule −→r · −→r ∗ = uh + vk + wl uvjet okomitosti pravca i ravnineiskazan je formulom

uA + vB + wC = 0.

Zadatak




Pravac s vektorom smjera −→s = [u, v ,w ] je okomit na ravninu svektorom normale −→n = [A,B,C ]∗ ako su ti vektori paralelni, apravac je paralelan ravnini ako mu je vektor smjera okomit nanjezin vektor normale.Stoga je uvjet okomitosti pravca na ravninu da je ~s × ~n = ~0, dakleu Kks da su koordinate od −→s i −→n proporcionalne,a uvjetparalelnosti pravca s ravninom je −→s · −→n = 0. Zbog vec pokazaneformule −→r · −→r ∗ = uh + vk + wl uvjet okomitosti pravca i ravnineiskazan je formulom

uA + vB + wC = 0.

Zadatak



Ako pravac nije paralelan ravnini, on ju sijece u jednoj tocki koja sezove probodiste pravca i ravnine.

Zadatak

Odredite probodiste pravca x2 = y−1

0 = z+23 i ravnine

2x + 3y + 4z = 1.

Kako biste definirali udaljenost tocke do ravnine? Udaljenost tockedo ravnine definira se kao udaljenost tocke do njezine ortogonalneprojekcije na ravninu, odnosno do probodista pravca koji je okomitna ravninu i prolazi zadanom tockom.



Zadatak


0 = z+23 i ravnine

2x + 3y + 4z = 1.

Kako biste definirali udaljenost tocke do ravnine?

Udaljenost tockedo ravnine definira se kao udaljenost tocke do njezine ortogonalneprojekcije na ravninu, odnosno do probodista pravca koji je okomitna ravninu i prolazi zadanom tockom.



Zadatak


0 = z+23 i ravnine

2x + 3y + 4z = 1.

Kako biste definirali udaljenost tocke do ravnine? Udaljenost tockedo ravnine definira se kao udaljenost tocke do njezine ortogonalneprojekcije na ravninu, odnosno do probodista pravca koji je okomitna ravninu i prolazi zadanom tockom.


Neka je dana tocka T = (x0, y0, z0) i ravnina Π jednadzbeAx + By + Cz = D. Vektor normale te ravnine je −→n = [A,B,C ]∗.

Neka je P sjeciste ravnine s x-osi (ako je ravnina paralelna s x-osiza P uzimamo sjeciste s jednom od druge dvije koordinatne osi).

Tada je P =(DA , 0, 0

). Duljina projekcije vektora

−→TP na −→n je

tocno trazena udaljenost tocke T do ravnine, pa iz poglavlja oskalarnom produktu zakljucujemo

d(T ,Π) =

∣∣∣∣ [A,B,C ]∗ · [D/A− x0,−y0,−z0]

|−→n |

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣Ax0 + By0 + Cz0 − D

|−→n |

∣∣∣∣ .Ako je koordinatni sustav Kartezijev, dobijemo:

d(T ,Π) =|Ax0 + By0 + Cz0 − D|√

A2 + B2 + C 2.


Neka je dana tocka T = (x0, y0, z0) i ravnina Π jednadzbeAx + By + Cz = D. Vektor normale te ravnine je −→n = [A,B,C ]∗.Neka je P sjeciste ravnine s x-osi (ako je ravnina paralelna s x-osiza P uzimamo sjeciste s jednom od druge dvije koordinatne osi).





d(T ,Π) =

∣∣∣∣ [A,B,C ]∗ · [D/A− x0,−y0,−z0]

|−→n |

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣Ax0 + By0 + Cz0 − D

|−→n |


d(T ,Π) =|Ax0 + By0 + Cz0 − D|√

A2 + B2 + C 2.




).

Duljina projekcije vektora−→TP na −→n je


d(T ,Π) =

∣∣∣∣ [A,B,C ]∗ · [D/A− x0,−y0,−z0]

|−→n |

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣Ax0 + By0 + Cz0 − D

|−→n |


d(T ,Π) =|Ax0 + By0 + Cz0 − D|√

A2 + B2 + C 2.






tocno trazena udaljenost tocke T do ravnine,

pa iz poglavlja oskalarnom produktu zakljucujemo

d(T ,Π) =

∣∣∣∣ [A,B,C ]∗ · [D/A− x0,−y0,−z0]

|−→n |

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣Ax0 + By0 + Cz0 − D

|−→n |


d(T ,Π) =|Ax0 + By0 + Cz0 − D|√

A2 + B2 + C 2.







d(T ,Π) =

∣∣∣∣ [A,B,C ]∗ · [D/A− x0,−y0,−z0]

|−→n |

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣Ax0 + By0 + Cz0 − D

|−→n |

∣∣∣∣ .

Ako je koordinatni sustav Kartezijev, dobijemo:

d(T ,Π) =|Ax0 + By0 + Cz0 − D|√

A2 + B2 + C 2.







d(T ,Π) =

∣∣∣∣ [A,B,C ]∗ · [D/A− x0,−y0,−z0]

|−→n |

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣Ax0 + By0 + Cz0 − D

|−→n |


d(T ,Π) =|Ax0 + By0 + Cz0 − D|√

A2 + B2 + C 2.

Franka Miriam Brucklerprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat1-tjedan14.pdfTo cke u prostoru Ravnine u prostoru Pravci u prostoru Analiti cka geometrija prostora Franka Miriam Bruckler

Documents