Franka Miriam Bruckler - prelog.chem.pmf.hrprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/vektorski.pdf · Vektorski prostori - de nicija i primjeriLinearne kombinacijeBaza, dimenzija, koordinatizacijaSkalarni

Vektorski prostori - definicija i primjeri Linearne kombinacije Baza, dimenzija, koordinatizacija Skalarni produkt Linearni operatori

Vektorski prostori i linearni operatori

Franka Miriam Bruckler


Primjecujete li kakvu slicnost izmedu R, C, V 2, V 3, V 2(O),V 3(O) i Mm,n, Mm,n(C)?

U svim navedenim skupovima znamozbrajati njihove elemente tako da dobijemo element istog skupa, ada pritom zbrajanje ima svojstva komutativnosti, asocijativnosti,posjedovanje neutralnog (

”nul”-)elementa i da svaki element ima

svoj inverzan (suprotan) element.Nadalje, u svim navedenim skupovima znamo elemente mnozitibrojevima (skalarima) tako da dobijemo elemente istog skupa, pricemu u slucaju C i Mm,n(C) kao skalare mozemo koristiti ikompleksne brojeve. Pritom u svim navedenim slucajevimamnozenje skalarom ima svojstva distributivnosti ikvaziasocijativnosti te da mnozenje s 1 ne mijenja element (amnozenje s 0 daje nul-element u skupu).Kazemo: svi navedeni skupovi su vektorski prostori, a njihovielementi mogu se zvati vektorima. Imaju li oni iznos, smjer,orijentaciju?


Primjecujete li kakvu slicnost izmedu R, C, V 2, V 3, V 2(O),V 3(O) i Mm,n, Mm,n(C)? U svim navedenim skupovima znamozbrajati njihove elemente tako da dobijemo element istog skupa, ada pritom zbrajanje ima svojstva komutativnosti, asocijativnosti,posjedovanje neutralnog (


svoj inverzan (suprotan) element.

Nadalje, u svim navedenim skupovima znamo elemente mnozitibrojevima (skalarima) tako da dobijemo elemente istog skupa, pricemu u slucaju C i Mm,n(C) kao skalare mozemo koristiti ikompleksne brojeve. Pritom u svim navedenim slucajevimamnozenje skalarom ima svojstva distributivnosti ikvaziasocijativnosti te da mnozenje s 1 ne mijenja element (amnozenje s 0 daje nul-element u skupu).Kazemo: svi navedeni skupovi su vektorski prostori, a njihovielementi mogu se zvati vektorima. Imaju li oni iznos, smjer,orijentaciju?


Primjecujete li kakvu slicnost izmedu R, C, V 2, V 3, V 2(O),V 3(O) i Mm,n, Mm,n(C)? U svim navedenim skupovima znamozbrajati njihove elemente tako da dobijemo element istog skupa, ada pritom zbrajanje ima svojstva komutativnosti, asocijativnosti,posjedovanje neutralnog (


svoj inverzan (suprotan) element.Nadalje, u svim navedenim skupovima znamo elemente mnozitibrojevima (skalarima) tako da dobijemo elemente istog skupa, pricemu u slucaju C i Mm,n(C) kao skalare mozemo koristiti ikompleksne brojeve. Pritom u svim navedenim slucajevimamnozenje skalarom ima svojstva distributivnosti ikvaziasocijativnosti te da mnozenje s 1 ne mijenja element (amnozenje s 0 daje nul-element u skupu).Kazemo: svi navedeni skupovi su vektorski prostori, a njihovielementi mogu se zvati vektorima. Imaju li oni iznos, smjer,orijentaciju?


Uzmimo da je V neki (naravno: neprazan) skup cije elementezelimo zvati vektorima. Ovisno o kontekstu, to moze biti neki odskupova V 3, V 2, skup Rn ili Cn (za n prirodan broj), neki odskupova Mm,n(R) ili Mm,n(C), neki skup realnih funkcija s istomdomenom, . . .

Nadalje, ovisno o tome kakav vektorski prostortrebamo, potrebno je utvrditi (odluciti se) koju vrstu brojeva cemouzeti za skalare: realne ili kompleksne brojeve.Kako se u daljnjem necemo ograniciti vektore u geometrijskomsmislu, objekte koje u nekom kontekstu gledamo kao vektoreoznacavat cemo jednostavno v ,w , u, . . ..Da bismo V zvali vektorskim prostorom, moraju biti definiranedvije operacije: zbrajanje vektora i mnozenje vektora skalarom.Pritom, one moraju imati sljedeca svojstva: zbroj dva elementa izV (dva vektora) mora opet biti element iz V (tj. vektor), aumnozak elementa iz V (vektora) sa skalarom mora biti element izV (dakle, vektor), a te operacije moraju imati vec isticana

”prirodna” svojstva.


Uzmimo da je V neki (naravno: neprazan) skup cije elementezelimo zvati vektorima. Ovisno o kontekstu, to moze biti neki odskupova V 3, V 2, skup Rn ili Cn (za n prirodan broj), neki odskupova Mm,n(R) ili Mm,n(C), neki skup realnih funkcija s istomdomenom, . . . Nadalje, ovisno o tome kakav vektorski prostortrebamo, potrebno je utvrditi (odluciti se) koju vrstu brojeva cemouzeti za skalare: realne ili kompleksne brojeve.

Kako se u daljnjem necemo ograniciti vektore u geometrijskomsmislu, objekte koje u nekom kontekstu gledamo kao vektoreoznacavat cemo jednostavno v ,w , u, . . ..Da bismo V zvali vektorskim prostorom, moraju biti definiranedvije operacije: zbrajanje vektora i mnozenje vektora skalarom.Pritom, one moraju imati sljedeca svojstva: zbroj dva elementa izV (dva vektora) mora opet biti element iz V (tj. vektor), aumnozak elementa iz V (vektora) sa skalarom mora biti element izV (dakle, vektor), a te operacije moraju imati vec isticana



Uzmimo da je V neki (naravno: neprazan) skup cije elementezelimo zvati vektorima. Ovisno o kontekstu, to moze biti neki odskupova V 3, V 2, skup Rn ili Cn (za n prirodan broj), neki odskupova Mm,n(R) ili Mm,n(C), neki skup realnih funkcija s istomdomenom, . . . Nadalje, ovisno o tome kakav vektorski prostortrebamo, potrebno je utvrditi (odluciti se) koju vrstu brojeva cemouzeti za skalare: realne ili kompleksne brojeve.Kako se u daljnjem necemo ograniciti vektore u geometrijskomsmislu, objekte koje u nekom kontekstu gledamo kao vektoreoznacavat cemo jednostavno v ,w , u, . . ..Da bismo V zvali vektorskim prostorom, moraju biti definiranedvije operacije: zbrajanje vektora i mnozenje vektora skalarom.Pritom, one moraju imati sljedeca svojstva: zbroj dva elementa izV (dva vektora) mora opet biti element iz V (tj. vektor), aumnozak elementa iz V (vektora) sa skalarom mora biti element izV (dakle, vektor), a te operacije moraju imati vec isticana



Definicija (Vektorski prostor)

Odabrani skup V s odabranim skupom skalara (R ili C) zove sevektorski prostor ako su definirane operacije + i · (zbrajanjevektora i mnozenje vektora skalarom) tako da za sve elementev ,w , u iz V i sve skalare α, β vrijedi:

v + w ∈ V αv ∈ Vv + w = w + v 1 · v = v(v + w) + u = v + (w + u) (αβ)v = α(βv)v + 0 = 0 + v = v v + (−v) = (−v) + v = 0α(v + w) = αv + αw (α + β)v = αv + βw

.

Neutralni element za zbrajanje, oznacen s 0 ∈ V , zove senulvektor. Elementi vektorskog prostora zovu se vektori. Vektorskiprostor je realan ako su skalari realni brojevi, a kompleksan ako suskalari kompleksni brojevi.


Zadatak

Cini li skup svih matrica vektorski prostor? Zasto?

Zadatak

Kako biste definirali zbrajanje i mnozenje skalarom V 3, V 2, R, C,Rn, Cn, Mm,n(R), Mm,n(C), skupuneprekidnih/derivabilnih/integrabilnih/svih realnih funkcija s istomdomenom? Koji od tih skupova su tako postali realni ili kompleksnivektorski prostori? Koja je razlika izmedu C kao realnog i kaokompleksnog vektorskog prostora? Koji elementi su nulvektori utim vektorskim prostorima?

Iz definicijskih svojstava mogu se izvesti i druga ocekivana svojstva,primjerice da je 0 · v = 0, −v = (−1) · v , . . . . Preko suprotnogvektora definira se i oduzimanje vektora: v − w = v + (−w).


Zadatak


Zadatak

Kako biste definirali zbrajanje i mnozenje skalarom V 3, V 2, R, C,Rn, Cn, Mm,n(R), Mm,n(C), skupuneprekidnih/derivabilnih/integrabilnih/svih realnih funkcija s istomdomenom?

Koji od tih skupova su tako postali realni ili kompleksnivektorski prostori? Koja je razlika izmedu C kao realnog i kaokompleksnog vektorskog prostora? Koji elementi su nulvektori utim vektorskim prostorima?



Zadatak


Zadatak

Kako biste definirali zbrajanje i mnozenje skalarom V 3, V 2, R, C,Rn, Cn, Mm,n(R), Mm,n(C), skupuneprekidnih/derivabilnih/integrabilnih/svih realnih funkcija s istomdomenom? Koji od tih skupova su tako postali realni ili kompleksnivektorski prostori? Koja je razlika izmedu C kao realnog i kaokompleksnog vektorskog prostora?

Koji elementi su nulvektori utim vektorskim prostorima?



Zadatak


Zadatak




Zadatak


Zadatak




Zadatak

Sjecate li se definicije linearne kombinacije?

Sto bi bila linearnakombinacija dviju derivabilnih funkcija sa zajednickom domenom?Sto bi bila linearna kombinacija jednog kompleksnog broja? Objekti(1, 2, 3, 4, 5), (0, 0, 0, 0, 0), (−1,−2,−3,−4,−5) su iz kojegvektorskog prostora? Imaju li kakva posebna svojstva/odnose? Stobi bila njihova linearna kombinacija? Zapisite opci oblik linearnekombinacije dviju kvadratnih matrica reda 2!

Zadatak

Mozete li koristeci izraz”linearna kombinacija” opisati sto je to

polinom? Linearna jednadzba s n nepoznanica? U kojimvektorskim prostorima su to linearne kombinacije?


Zadatak

Sjecate li se definicije linearne kombinacije? Sto bi bila linearnakombinacija dviju derivabilnih funkcija sa zajednickom domenom?

Sto bi bila linearna kombinacija jednog kompleksnog broja? Objekti(1, 2, 3, 4, 5), (0, 0, 0, 0, 0), (−1,−2,−3,−4,−5) su iz kojegvektorskog prostora? Imaju li kakva posebna svojstva/odnose? Stobi bila njihova linearna kombinacija? Zapisite opci oblik linearnekombinacije dviju kvadratnih matrica reda 2!

Zadatak




Zadatak

Sjecate li se definicije linearne kombinacije? Sto bi bila linearnakombinacija dviju derivabilnih funkcija sa zajednickom domenom?Sto bi bila linearna kombinacija jednog kompleksnog broja?

Objekti(1, 2, 3, 4, 5), (0, 0, 0, 0, 0), (−1,−2,−3,−4,−5) su iz kojegvektorskog prostora? Imaju li kakva posebna svojstva/odnose? Stobi bila njihova linearna kombinacija? Zapisite opci oblik linearnekombinacije dviju kvadratnih matrica reda 2!

Zadatak




Zadatak

Sjecate li se definicije linearne kombinacije? Sto bi bila linearnakombinacija dviju derivabilnih funkcija sa zajednickom domenom?Sto bi bila linearna kombinacija jednog kompleksnog broja? Objekti(1, 2, 3, 4, 5), (0, 0, 0, 0, 0), (−1,−2,−3,−4,−5) su iz kojegvektorskog prostora? Imaju li kakva posebna svojstva/odnose?

Stobi bila njihova linearna kombinacija? Zapisite opci oblik linearnekombinacije dviju kvadratnih matrica reda 2!

Zadatak




Zadatak

Sjecate li se definicije linearne kombinacije? Sto bi bila linearnakombinacija dviju derivabilnih funkcija sa zajednickom domenom?Sto bi bila linearna kombinacija jednog kompleksnog broja? Objekti(1, 2, 3, 4, 5), (0, 0, 0, 0, 0), (−1,−2,−3,−4,−5) su iz kojegvektorskog prostora? Imaju li kakva posebna svojstva/odnose? Stobi bila njihova linearna kombinacija?

Zapisite opci oblik linearnekombinacije dviju kvadratnih matrica reda 2!

Zadatak




Zadatak

Sjecate li se definicije linearne kombinacije? Sto bi bila linearnakombinacija dviju derivabilnih funkcija sa zajednickom domenom?Sto bi bila linearna kombinacija jednog kompleksnog broja? Objekti(1, 2, 3, 4, 5), (0, 0, 0, 0, 0), (−1,−2,−3,−4,−5) su iz kojegvektorskog prostora? Imaju li kakva posebna svojstva/odnose? Stobi bila njihova linearna kombinacija? Zapisite opci oblik linearnekombinacije dviju kvadratnih matrica reda 2!

Zadatak




Zadatak


Zadatak


polinom?

Linearna jednadzba s n nepoznanica? U kojimvektorskim prostorima su to linearne kombinacije?


Zadatak


Zadatak


polinom? Linearna jednadzba s n nepoznanica?

U kojimvektorskim prostorima su to linearne kombinacije?


Zadatak


Zadatak




Primjer

Uz odredena dodefiniranja, koja necemo ovdje razradivati, zaoperacije koje se rade pri izjednacavanju redoks-reakcija prekopolujednadzbi oksidacije i redukcije moze se reci: racuna seodredena linearna kombinacija polujednadzbi oksidacije i redukcije.Slicno, Hessov zakon mozemo formulirati i ovako: ako se nekareakcija moze zapisati kao linearna kombinacija nekih drugihreakcija, onda je reakcijski gradijent bilo koje ekstenzivne velicinestanja (primjerice, reakcijska entalpija ili reakcijska Gibbsovaenergija) jednak linearnoj kombinaciji reakcijskih gradijenata te istevelicine pojedinih reakcija, i to s istim koeficijentima: ako jereakciju R moguce zapisati kao

∑i αiRi , onda je

∆rY =∑

i αi∆r ,iY za Y = H,G , . . ..


Zadatak

Kako definiramo rjesenje sustava linearnih jednadzbi s trinepoznanice?

Rijesite sustav x + y + z = 0, 5x − y + 2z = 0. Imali smisla zbrojiti dva rjesenja tog sustava? A pomnoziti ih realnimbrojem? U kojem se vektorskom prostoru provode spomenuteoperacije? Ako uzmemo linearnu kombinaciju dva rjesenja togsustava, sto cemo dobiti?

Ako podskup S vektorskog prostora V ima svojstvo da su svelinearne kombinacije elemenata iz S elementi iz S (S je

”zatvoren

na linearne kombinacije”), kazemo da je S potprostor od V .

Zadatak

Koja dva potprostora ima svaki vektorski prostor? Navedite pojedan netrivijalni potprostor realnih vektorskih prostora C i M2.


Zadatak

Kako definiramo rjesenje sustava linearnih jednadzbi s trinepoznanice? Rijesite sustav x + y + z = 0, 5x − y + 2z = 0.

Imali smisla zbrojiti dva rjesenja tog sustava? A pomnoziti ih realnimbrojem? U kojem se vektorskom prostoru provode spomenuteoperacije? Ako uzmemo linearnu kombinaciju dva rjesenja togsustava, sto cemo dobiti?


”zatvoren


Zadatak



Zadatak

Kako definiramo rjesenje sustava linearnih jednadzbi s trinepoznanice? Rijesite sustav x + y + z = 0, 5x − y + 2z = 0. Imali smisla zbrojiti dva rjesenja tog sustava? A pomnoziti ih realnimbrojem?

U kojem se vektorskom prostoru provode spomenuteoperacije? Ako uzmemo linearnu kombinaciju dva rjesenja togsustava, sto cemo dobiti?


”zatvoren


Zadatak



Zadatak

Kako definiramo rjesenje sustava linearnih jednadzbi s trinepoznanice? Rijesite sustav x + y + z = 0, 5x − y + 2z = 0. Imali smisla zbrojiti dva rjesenja tog sustava? A pomnoziti ih realnimbrojem? U kojem se vektorskom prostoru provode spomenuteoperacije?

Ako uzmemo linearnu kombinaciju dva rjesenja togsustava, sto cemo dobiti?


”zatvoren


Zadatak



Zadatak

Kako definiramo rjesenje sustava linearnih jednadzbi s trinepoznanice? Rijesite sustav x + y + z = 0, 5x − y + 2z = 0. Imali smisla zbrojiti dva rjesenja tog sustava? A pomnoziti ih realnimbrojem? U kojem se vektorskom prostoru provode spomenuteoperacije? Ako uzmemo linearnu kombinaciju dva rjesenja togsustava, sto cemo dobiti?


”zatvoren


Zadatak



Zadatak



”zatvoren


Zadatak

Koja dva potprostora ima svaki vektorski prostor?

Navedite pojedan netrivijalni potprostor realnih vektorskih prostora C i M2.


Zadatak



”zatvoren


Zadatak



Zadatak

Dokazite: linearna kombinacija dva rjesenja homogenog sustavalinearnih jednadzbi s n nepoznanica je rjesenje tog istoghomogenog sustava. Zakljucite koje svojstvo imaju skupovirjesenja homogenih sustava linearnih jednadzbi. Imaju li istosvojstvo i nehomogeni sustavi?

Zadatak

Ako imamo diferencijalnu jednadzbu tipa y ′ + a(x)y = 0, provjeriteda su linearne kombinacije njenih rjesenja takoder njena rjesenja!Skup svih rjesenja diferencijalne jednadzbe tipa y ′ + a(x)y = 0 jevektorski prostor — potprostor skupa svih derivabilnih funkcijajedne varijable.


Zadatak


Zadatak

Ako imamo diferencijalnu jednadzbu tipa y ′ + a(x)y = 0, provjeriteda su linearne kombinacije njenih rjesenja takoder njena rjesenja!

Skup svih rjesenja diferencijalne jednadzbe tipa y ′ + a(x)y = 0 jevektorski prostor — potprostor skupa svih derivabilnih funkcijajedne varijable.


Zadatak


Zadatak

Ako imamo diferencijalnu jednadzbu tipa y ′ + a(x)y = 0, provjeriteda su linearne kombinacije njenih rjesenja takoder njena rjesenja!Skup svih rjesenja diferencijalne jednadzbe tipa y ′ + a(x)y = 0 jevektorski prostor — potprostor skupa svih derivabilnih funkcijajedne varijable.


Odaberite neki od spominjanih vektorskih prostora i neki brojvektora iz tog prostora. Sto je nulvektor u prostoru kojeg steodabrali?

Mozete li i ako da, s kojim koeficijentima, taj nulvektorzapisati kao linearnu kombinaciju odabranih vektora?

Definicija (Linearna (ne)zavisnost)

Konacan skup vektora je linearno zavisan ako se (bar) jedan odvektora tog skupa moze zapisati kao linearna kombinacija ostalihvektora (odnosno: ako se nulvektor moze zapisati kao njihovalinearna kombinacija na netrivijalan nacin). Skup vektora koji nijelinearno zavisan zove se linearno nezavisan skup.

Zadatak

Moze li skup vektora u nekom vektorskom prostoru u koji sadrzinulvektor biti linearno nezavisan? Zasto?


Odaberite neki od spominjanih vektorskih prostora i neki brojvektora iz tog prostora. Sto je nulvektor u prostoru kojeg steodabrali? Mozete li i ako da, s kojim koeficijentima, taj nulvektorzapisati kao linearnu kombinaciju odabranih vektora?



Zadatak



Odaberite neki od spominjanih vektorskih prostora i neki brojvektora iz tog prostora. Sto je nulvektor u prostoru kojeg steodabrali? Mozete li i ako da, s kojim koeficijentima, taj nulvektorzapisati kao linearnu kombinaciju odabranih vektora?



Zadatak



Zadatak

Uz koji uvjet je jednoclani skup vektora linearno nezavisan?

Advoclani?

Zadatak

Postoji li u M2 cetveroclani linearno nezavisan skup? Apeteroclani? Postoji li u C kao realnom vektorskom prostorudvoclani linearno nezavisan skup? A troclani? Postoji li u Rn

n-clani linearno nezavisan skup? A (n + 1)-clani?

Zadatak

Jesu li dvije eksponencijalne funkcije s razlicitim bazama linearnonezavisne?

Maksimalan broj elemenata kojeg moze imati linearno nezavisanskup u nekom vektorskom prostoru zove se njegovom dimenzijom,a svaki linearno nezavisan skup koji ima elemenata kolika jedimenzija prostora je baza prostora.

Zadatak

Nadite po jednu bazu za V 2, C (kao realni i kao kompleksniprostor), M2,3, R6, {2x , 3x , ex}, za skup svih polinoma trecegstupnja te za skup rjesenja sustava x + y + z = 0, 5x − y + 2z = 0.Koje su dimenzije tih prostora? A sto je s prostorom svihneprekidnih realnih funkcija sa zajednickom domenom?


Zadatak

Uz koji uvjet je jednoclani skup vektora linearno nezavisan? Advoclani?

Zadatak



Zadatak



Zadatak



Zadatak


Zadatak

Postoji li u M2 cetveroclani linearno nezavisan skup? Apeteroclani?

Postoji li u C kao realnom vektorskom prostorudvoclani linearno nezavisan skup? A troclani? Postoji li u Rn


Zadatak



Zadatak



Zadatak


Zadatak

Postoji li u M2 cetveroclani linearno nezavisan skup? Apeteroclani? Postoji li u C kao realnom vektorskom prostorudvoclani linearno nezavisan skup? A troclani?

Postoji li u Rn


Zadatak



Zadatak



Zadatak


Zadatak



Zadatak



Zadatak



Zadatak


Zadatak



Zadatak



Zadatak



Kanonska baza za Rn odnosno Cn je skup {e1, e2, . . . , en} vektoraiz tog prostora koji su oblika: ei na i-toj poziciji ima broj 1, a nasvim ostalim nule. Da je to baza vidi se po tome sto je prikaz

(x1, x2, . . . , xn) = x1(1, 0, 0, . . . , 0, 0) + x2(0, 1, 0, . . . , 0, 0) + . . .

. . .+ xn(0, 0, 0, . . . , 0, 1) =

= x1e1 + x2e2 + . . .+ xnen

moguc i jedinstven za svaki vektor (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn odnosno(x1, x2, . . . , xn) ∈ Cn.

Kolika je dimenzija vektorskog prostora Mm,n? Matrice Eij ∈ Mm,n

koje na svim pozicijama osim (i , j) imaju nule, a na toj pozicijiimaju 1, cine kanonsku bazu od Mm,n.



(x1, x2, . . . , xn) = x1(1, 0, 0, . . . , 0, 0) + x2(0, 1, 0, . . . , 0, 0) + . . .

. . .+ xn(0, 0, 0, . . . , 0, 1) =

= x1e1 + x2e2 + . . .+ xnen

moguc i jedinstven za svaki vektor (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn odnosno(x1, x2, . . . , xn) ∈ Cn.Kolika je dimenzija vektorskog prostora Mm,n?

Matrice Eij ∈ Mm,n




(x1, x2, . . . , xn) = x1(1, 0, 0, . . . , 0, 0) + x2(0, 1, 0, . . . , 0, 0) + . . .

. . .+ xn(0, 0, 0, . . . , 0, 1) =

= x1e1 + x2e2 + . . .+ xnen

moguc i jedinstven za svaki vektor (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn odnosno(x1, x2, . . . , xn) ∈ Cn.Kolika je dimenzija vektorskog prostora Mm,n? Matrice Eij ∈ Mm,n



Koordinate vektora obzirom na neku bazu su

koeficijenti u prikazutog vektora kao linearne kombinacije vektora baze.Za vektore iz Rn odnosno Cn te iz Mm,n i Mm,n(C) se njihovekoordinate obzirom na kanonsku bazu podudaraju s njihovimclanovima/elementima (npr. (1, 2, 3, 4) obzirom na kanonsku bazu

od Rn ima koordinate redom 1, 2, 3 i 4, a matrica

(1 2 34 5 6

)obzirom na kanonsku bazu od M2,3 ima koordinate redom 1, 2, 3,4, 5, 6).

Zadatak

Koja je dimenzija prostora rjesenja sustava x + y + z = 0,5x − y + 2z = 0? Nadite jednu bazu za taj prostor. Koje sukoordinate rjesenja (−3,−3, 6) tog sustava obzirom na bazu kojuste odabrali?


Koordinate vektora obzirom na neku bazu su koeficijenti u prikazutog vektora kao linearne kombinacije vektora baze.Za vektore iz Rn odnosno Cn te iz Mm,n i Mm,n(C) se njihovekoordinate obzirom na kanonsku bazu podudaraju s njihovimclanovima/elementima (npr. (1, 2, 3, 4) obzirom na kanonsku bazu

od Rn ima koordinate redom 1, 2, 3 i 4, a matrica

(1 2 34 5 6

)obzirom na kanonsku bazu od M2,3 ima koordinate redom 1, 2, 3,4, 5, 6).

Zadatak

Koja je dimenzija prostora rjesenja sustava x + y + z = 0,5x − y + 2z = 0? Nadite jednu bazu za taj prostor. Koje sukoordinate rjesenja (−3,−3, 6) tog sustava obzirom na bazu kojuste odabrali?


Zadatak

Uz koje uvjete je skup {−→a ,−→a +−→b } baza za V 2?

Primjer

U matrici A =

(2 1 30 −1 2

)mozemo njene retke shvatiti kao

dva vektora (2, 1, 3) i (0,−1, 2) u R3, a njene stupce kao trivektora (2, 0), (1,−1) i (3, 2) u R2.

Definicija (Rang matrice)

Ako retke matrice (ili njene stupce) shvatimo kao vektore, rangmatrice je broj linearno nezavisnih redaka (odnosno stupaca) tematrice.

Napomena

Nije ocito, ali moze se dokazati da cemo istu vrijednost rangadobiti ako u gornjoj definiciji uzimamo retke ili stupce.


Zadatak

Uz koje uvjete je skup {−→a ,−→a +−→b } baza za V 2?

Primjer

U matrici A =

(2 1 30 −1 2

)mozemo njene retke shvatiti kao

dva vektora (2, 1, 3) i (0,−1, 2) u R3, a njene stupce kao trivektora (2, 0), (1,−1) i (3, 2) u R2.

Definicija (Rang matrice)

Ako retke matrice (ili njene stupce) shvatimo kao vektore, rangmatrice je broj linearno nezavisnih redaka (odnosno stupaca) tematrice.

Napomena

Nije ocito, ali moze se dokazati da cemo istu vrijednost rangadobiti ako u gornjoj definiciji uzimamo retke ili stupce.


Zadatak

Ako je matrica tipa 3× 3 koliki je njen najveci moguci rang? A akoje tipa m × n?

Zadatak

Jesu li vektori koji obzirom na neku bazu prostora R4 imajukoordinate (1, 2, 3, 4), (−2, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0) i (0, 0, 1, 1) linearnonezavisni, tj. mogu li posluziti kao druga baza tog prostora?

Zelimo li za neke vektore utvrditi jesu li linearno zavisni ili ne,ukoliko su dani u koordinatnom obliku, dovoljno je zapisati ih kaostupce matrice i odrediti joj rang.Rang matrice odredujemo tako da matricu podvrgnemoelementarnim transformacijama (moze i na stupcima!) sve dok nepostignemo da su u njoj svi elementi nule osim eventualno nadijagonalnim mjestima. Broj nenul elemenata na dijagonali je rangmatrice.


Zadatak

Ako je matrica tipa 3× 3 koliki je njen najveci moguci rang? A akoje tipa m × n?

Zadatak

Jesu li vektori koji obzirom na neku bazu prostora R4 imajukoordinate (1, 2, 3, 4), (−2, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0) i (0, 0, 1, 1) linearnonezavisni, tj. mogu li posluziti kao druga baza tog prostora?

Zelimo li za neke vektore utvrditi jesu li linearno zavisni ili ne,ukoliko su dani u koordinatnom obliku, dovoljno je zapisati ih kaostupce matrice i odrediti joj rang.Rang matrice odredujemo tako da matricu podvrgnemoelementarnim transformacijama (moze i na stupcima!) sve dok nepostignemo da su u njoj svi elementi nule osim eventualno nadijagonalnim mjestima. Broj nenul elemenata na dijagonali je rangmatrice.


Zadatak

Ispitajte cine li vektori (2,−1, 0, 1), (1, 2, 3, 4), (1, 1, 1, 0) i(0, 1, 0, 0) bazu prostora R4.

Prikazite vektor (1, 0, 0, 0) teproizvoljni vektor (x , y , z ,w) u toj bazi!

Zadatak

Koliko elemenata moze imati vektorski prostor?

Dva vektorska prostora su izomorfna ako do na smisao/vrstuvektora i operacija s njima nema razlika medu njima. Smisao jeslican kemijskom: izomorfnost znaci jednakost struktura, alidopusta razlicitost sadrzaja.


Zadatak

Ispitajte cine li vektori (2,−1, 0, 1), (1, 2, 3, 4), (1, 1, 1, 0) i(0, 1, 0, 0) bazu prostora R4. Prikazite vektor (1, 0, 0, 0) teproizvoljni vektor (x , y , z ,w) u toj bazi!

Zadatak




Zadatak

Ispitajte cine li vektori (2,−1, 0, 1), (1, 2, 3, 4), (1, 1, 1, 0) i(0, 1, 0, 0) bazu prostora R4. Prikazite vektor (1, 0, 0, 0) teproizvoljni vektor (x , y , z ,w) u toj bazi!

Zadatak




Primjer

Vektorski prostori R3, M3,1(R), V 3 i V 3(0) su izomorfni. Prva dvasu izomorfni jer iako su elementi prvog oblika (x , y , z), a elementi

drugog oblika

xyz

, operacije se izvode po istim

pravilima — razlika je samo u stilu zapisa. Putem koordinatizacijeV 3 odnosno V 3(0) moze se provjeriti da su i oni izomorfni s R3.

Opcenito, vektorski prostori Rn i Mn,1(R) odnosno Cn i Mn,1(C)su izomorfni. Zapravo: svi realni vektorski prostori iste (konacne)dimenzije su izomorfni pa stoga prostore Rn ili Mn,1(R) (ovisno otom s kojim nam je trenutno jednostavnije raditi) mozemosmatrati prototipovima realnih n-dimenzionalnih prostora.


Primjer

Svaki Mm,n je izomorfan s Rmn — to se vidi tako da matricushvatimo kao (m · n)-torku jednostavnim nabrajanjem njenih

elemenata po retcima. Primjerice, matrice

(a bc d

)mozemo

shvatiti i kao uredene cetvorke (a, b, c , d) bez da ima bitnihpromjena u zbrajanju i mnozenju skalarom (zbroju dviju matricaodgovara zbroj odgovarajucih cetvorki, a produktu matriceskalarom odgovara produkt odgovarajuce cetvorke s tim skalarom),pa su M2 i R4 izomorfni.

Ako nas zanima jesu li matrice

(0 1−1 2

),

(5 110 0

),(

1 00 0

)linearno zavisne, zbog izomorfnosti M2 s R4, treba

ispitati linearnu nezavisnost cetvorki (0, 1,−1, 2), (5, 11, 0, 0) i(1, 0, 0, 0).


Definicija (Unitarni prostori)

Vektorski prostor V je unitaran ako je na njemu definirana josjedna operacija (skalarni produkt vektora, u oznaci 〈v ,w〉 ili v · w)sa svojstvima

〈v , v〉 ≥ 0; 〈v , v〉 = 0⇔ v = 0,

〈v ,w〉 = 〈w , v〉,

〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉,

〈v , α · w〉 = α〈v ,w〉.

(za sve vektore v ,w , u ∈ V i skalare α).

Za realne vektorske prostore drugo svojstvo svodi se nakomutativnost skalarnog produkta: 〈v ,w〉 = 〈w , v〉. Iz drugog icetvrtog svojstva za kompleksne unitarne prostore vidimo da vrijedi〈αv , ·w〉 = α〈v ,w〉.


Zadatak

Predlozite kako biste definirali skalarne produkte na V 2, V 2(O),V 3, V 3(O), R, C, R3, C2, te na prostoru svih integrabilnihfunkcija s [a, b] u R.

V 2, V 2(O), V 3, V 3(O) su unutarni prostori ako skalarniprodukt definiramo s 〈−→v ,−→w 〉 = |−→v ||−→w | cos∠(−→v ,−→w ).

Rn su unitarni prostori ako skalarni produkt definiramo s〈(x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)〉 = x1y1 + . . .+ xnyn.

Cn su unitarni prostori ako skalarni produkt definiramo s〈(x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)〉 = x1y1 + . . .+ xnyn.

Vektorski prostor realnih funkcija integrabilnih na intervalu Ije unitaran ako skalarni produkt definiramo s〈f , g〉 =

∫I f (x)g(x) dx .

Vektorski prostor kompleksnih funkcija integrabilnih na skupuI je unitaran ako skalarni produkt definiramo s〈f , g〉 =

∫I f ∗(x)g(x) dx .


Zadatak

Predlozite kako biste definirali skalarne produkte na V 2, V 2(O),V 3, V 3(O), R, C, R3, C2, te na prostoru svih integrabilnihfunkcija s [a, b] u R.

V 2, V 2(O), V 3, V 3(O) su unutarni prostori ako skalarniprodukt definiramo s 〈−→v ,−→w 〉 = |−→v ||−→w | cos∠(−→v ,−→w ).

Rn su unitarni prostori ako skalarni produkt definiramo s〈(x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)〉 = x1y1 + . . .+ xnyn.

Cn su unitarni prostori ako skalarni produkt definiramo s〈(x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)〉 = x1y1 + . . .+ xnyn.

Vektorski prostor realnih funkcija integrabilnih na intervalu Ije unitaran ako skalarni produkt definiramo s〈f , g〉 =

∫I f (x)g(x) dx .

Vektorski prostor kompleksnih funkcija integrabilnih na skupuI je unitaran ako skalarni produkt definiramo s〈f , g〉 =

∫I f ∗(x)g(x) dx .


Zadatak

Ako je a = (1, 2, 3, 4) i f : R4 → R, f (x) = 〈a, x〉, koliko iznosif (−1, 2,−3, 4)?

Funkcije f : Rn → R, f (x) = 〈a, x〉, zovu se linearnim realnimfunkcijama s n varijabli.

Zadatak

Raspisite formulu linearne funkcije!

Zadatak

Mozete li linearnu jednadzbu 2x − 6y + 7z + 8u = 4 zapisatikoristeci skalarni produkt? U kojem unitarnom prostoru?

Linearna jednadzba s n nepoznanica se uz standardni skalarniprodukt u Rn moze zapisati u obliku 〈a, x〉 = b, gdje je b ∈ R,a, x ∈ Rn. Drugim rijecima, linearne jednadzbe s n nepoznanicamogu se shvatiti kao linearne jednadzbe s jednom nepoznanicom uRn.


Zadatak



Zadatak


Zadatak




Zadatak



Zadatak


Zadatak




Zadatak



Zadatak


Zadatak




U svakom unitarnom prostoru moze se definirati norma (iznos,duljina) vektora preko jednakosti:

||v || =√〈v , v〉.

Zadatak

Kako biste izracunali normu elementa (1, 2, 3, 4) u R4?

Akompleksne ili realne funkcije integrabilne na nekom intervalu?

Dva vektora unitarnog prostora zovu se ortogonalnim ako im jeskalarni produkt nula. Svaki skup vektora unitarnog prostora ukojem su svaka dva vektora ortogonalna je linearno nezavisan.

Zadatak

Provjerite ortogonalnost vektora (1,−1, 2, 0, 3) i (0, 2, 1, 4, 0) u R5.Nadite par medusobno ortogonalnih (nenul)vektora u R6. Nadite ipar medusobno ortogonalnih integrabilnih (nenul)funkcijaf , g : [−a, a]→ R (a odaberite po volji).



||v || =√〈v , v〉.

Zadatak

Kako biste izracunali normu elementa (1, 2, 3, 4) u R4? Akompleksne ili realne funkcije integrabilne na nekom intervalu?


Zadatak

Provjerite ortogonalnost vektora (1,−1, 2, 0, 3) i (0, 2, 1, 4, 0) u R5.

Nadite par medusobno ortogonalnih (nenul)vektora u R6. Nadite ipar medusobno ortogonalnih integrabilnih (nenul)funkcijaf , g : [−a, a]→ R (a odaberite po volji).



||v || =√〈v , v〉.

Zadatak



Zadatak

Provjerite ortogonalnost vektora (1,−1, 2, 0, 3) i (0, 2, 1, 4, 0) u R5.Nadite par medusobno ortogonalnih (nenul)vektora u R6.

Nadite ipar medusobno ortogonalnih integrabilnih (nenul)funkcijaf , g : [−a, a]→ R (a odaberite po volji).



||v || =√〈v , v〉.

Zadatak



Zadatak

Provjerite ortogonalnost vektora (1,−1, 2, 0, 3) i (0, 2, 1, 4, 0) u R5.Nadite par medusobno ortogonalnih (nenul)vektora u R6. Nadite ipar medusobno ortogonalnih integrabilnih (nenul)funkcijaf , g : [−a, a]→ R (a odaberite po volji).


Vodikova 1s- i 2s-orbitala:

ψ1s =

√1

πa30

e−r/a0 , ψ2s =1

π

√1

8πa30

(2− r

a0

)e−r/(2a0).

Pritom su formule za obje valne funkcije dane u sfernimkoordinatama. Njihov skalarni produkt je zapravo trostrukiintegral, no kako s-orbitale ovise samo o udaljenosti r do jezgre(”sferno-simetricne su”), uvjet ortogonalnosti tih valnih funkcija se

pojednostavljuje na oblik

∫ +∞

04πr 2ψ1,0,0(r)ψ2,0,0(r) dr = 0.

Dovoljno je provjeriti (zasto?) da je∫ +∞0 r 2e−r/a0

(2− r

a0

)e−r/(2a0) dr = 0.

∫ +∞0 r 2

(2− r

a0

)e−3r/(2a0) dr = 2

∫ +∞0 r 2e−3r/(2a0) dr −

1a0

∫ +∞0 r 3e−3r/(2a0) dr = 2 · 2!

(3/(2a0))3 − 1a0· 3!

(3/(2a0))4 = 0. Tu smo

koristili formulu∫ +∞

0 rne−ar dr = n!an+1 .


Vodikova 1s- i 2s-orbitala:

ψ1s =

√1

πa30

e−r/a0 , ψ2s =1

π

√1

8πa30

(2− r

a0

)e−r/(2a0).

Pritom su formule za obje valne funkcije dane u sfernimkoordinatama. Njihov skalarni produkt je zapravo trostrukiintegral, no kako s-orbitale ovise samo o udaljenosti r do jezgre(”sferno-simetricne su”), uvjet ortogonalnosti tih valnih funkcija se

pojednostavljuje na oblik

∫ +∞

04πr 2ψ1,0,0(r)ψ2,0,0(r) dr = 0.

Dovoljno je provjeriti (zasto?) da je∫ +∞0 r 2e−r/a0

(2− r

a0

)e−r/(2a0) dr = 0.∫ +∞

0 r 2(

2− ra0

)e−3r/(2a0) dr = 2

∫ +∞0 r 2e−3r/(2a0) dr −

1a0

∫ +∞0 r 3e−3r/(2a0) dr = 2 · 2!

(3/(2a0))3 − 1a0· 3!

(3/(2a0))4 = 0. Tu smo

koristili formulu∫ +∞

0 rne−ar dr = n!an+1 .


Kvadratnu matricu iz Mn zovemo ortogonalnom ako su joj svakadva razlicita retka/stupca, shvaceni kao vektori u Rn, ortogonalni,a norma svakog retka/stupca je 1. Kompleksna kvadratna matricase uz iste uvjete naziva unitarnom.

Zadatak

Osmislite dva primjera ortogonalnih matrica u M3.

Baza unitarnog prostora zove se ortonormirana baza ako su svivektori u njoj norme 1 i medusobno ortogonalni. Kanonske baze zaRn i Cn su ortonormirane. Stupci (retci) ortogonalne/unitarnematrice reda n cine ortonormiranu bazu za Rn/Cn.U unitarnim prostorima vrijedi nejednakost1 |〈v ,w〉| ≤ ||v || · ||w ||.Provjerite ju za prostore geometrijskih vektora! Jednakost vrijediako i samo ako su vektori v i w proporcionalni.

1Nejednakost Cauchy-Schwarz-Bunjakovskog.



Zadatak


Baza unitarnog prostora zove se ortonormirana baza ako su svivektori u njoj norme 1 i medusobno ortogonalni. Kanonske baze zaRn i Cn su ortonormirane. Stupci (retci) ortogonalne/unitarnematrice reda n cine ortonormiranu bazu za Rn/Cn.

U unitarnim prostorima vrijedi nejednakost1 |〈v ,w〉| ≤ ||v || · ||w ||.Provjerite ju za prostore geometrijskih vektora! Jednakost vrijediako i samo ako su vektori v i w proporcionalni.




Zadatak


Baza unitarnog prostora zove se ortonormirana baza ako su svivektori u njoj norme 1 i medusobno ortogonalni. Kanonske baze zaRn i Cn su ortonormirane. Stupci (retci) ortogonalne/unitarnematrice reda n cine ortonormiranu bazu za Rn/Cn.U unitarnim prostorima vrijedi nejednakost1 |〈v ,w〉| ≤ ||v || · ||w ||.Provjerite ju za prostore geometrijskih vektora! Jednakost vrijediako i samo ako su vektori v i w proporcionalni.



Koje su dvije osnovne operacije na svakom vektorskom prostoru?

Kako se funkcija f : R→ R, f (x) = −5x , ponasa obzirom nazbrajanje i mnozenje (skalarom)? A funkcija f : R4 → R,f (x) = 〈(1, 2, 3, 4), x〉 = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4? A funkcijef : M2 → M2, f (A) = 5A? A funkcija zrcaljenja vektora u V 2(0)obzirom na neki pravac kroz O?Funkcije A kojima su domena i kodomena vektorski prostori zovuse linearni operatori ako su aditivne i homogene:

A(v + w) = A(v) + A(w) (aditivnost),

A(λv) = λA(v) (homogenost)

(za sve v ,w ∈ V i skalare λ)Smije li domena linearnog operatora biti realan, a kodomenakompleksan vektorski prostor (ili obrnuto)? Zasto?Ako je kodomena linearnog operatora jednodimenzionalna, zovemoga linearnim funkcionalom.Kod linearnih operatora nije uobicajeno pisati A(v) vec se pise Av .


Koje su dvije osnovne operacije na svakom vektorskom prostoru?Kako se funkcija f : R→ R, f (x) = −5x , ponasa obzirom nazbrajanje i mnozenje (skalarom)?

A funkcija f : R4 → R,f (x) = 〈(1, 2, 3, 4), x〉 = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4? A funkcijef : M2 → M2, f (A) = 5A? A funkcija zrcaljenja vektora u V 2(0)obzirom na neki pravac kroz O?Funkcije A kojima su domena i kodomena vektorski prostori zovuse linearni operatori ako su aditivne i homogene:





Koje su dvije osnovne operacije na svakom vektorskom prostoru?Kako se funkcija f : R→ R, f (x) = −5x , ponasa obzirom nazbrajanje i mnozenje (skalarom)? A funkcija f : R4 → R,f (x) = 〈(1, 2, 3, 4), x〉 = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4?

A funkcijef : M2 → M2, f (A) = 5A? A funkcija zrcaljenja vektora u V 2(0)obzirom na neki pravac kroz O?Funkcije A kojima su domena i kodomena vektorski prostori zovuse linearni operatori ako su aditivne i homogene:





Koje su dvije osnovne operacije na svakom vektorskom prostoru?Kako se funkcija f : R→ R, f (x) = −5x , ponasa obzirom nazbrajanje i mnozenje (skalarom)? A funkcija f : R4 → R,f (x) = 〈(1, 2, 3, 4), x〉 = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4? A funkcijef : M2 → M2, f (A) = 5A?

A funkcija zrcaljenja vektora u V 2(0)obzirom na neki pravac kroz O?Funkcije A kojima su domena i kodomena vektorski prostori zovuse linearni operatori ako su aditivne i homogene:





Koje su dvije osnovne operacije na svakom vektorskom prostoru?Kako se funkcija f : R→ R, f (x) = −5x , ponasa obzirom nazbrajanje i mnozenje (skalarom)? A funkcija f : R4 → R,f (x) = 〈(1, 2, 3, 4), x〉 = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4? A funkcijef : M2 → M2, f (A) = 5A? A funkcija zrcaljenja vektora u V 2(0)obzirom na neki pravac kroz O?

Funkcije A kojima su domena i kodomena vektorski prostori zovuse linearni operatori ako su aditivne i homogene:





Koje su dvije osnovne operacije na svakom vektorskom prostoru?Kako se funkcija f : R→ R, f (x) = −5x , ponasa obzirom nazbrajanje i mnozenje (skalarom)? A funkcija f : R4 → R,f (x) = 〈(1, 2, 3, 4), x〉 = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4? A funkcijef : M2 → M2, f (A) = 5A? A funkcija zrcaljenja vektora u V 2(0)obzirom na neki pravac kroz O?Funkcije A kojima su domena i kodomena vektorski prostori zovuse linearni operatori ako su aditivne i homogene:



(za sve v ,w ∈ V i skalare λ)Smije li domena linearnog operatora biti realan, a kodomenakompleksan vektorski prostor (ili obrnuto)? Zasto?

Ako je kodomena linearnog operatora jednodimenzionalna, zovemoga linearnim funkcionalom.Kod linearnih operatora nije uobicajeno pisati A(v) vec se pise Av .


Koje su dvije osnovne operacije na svakom vektorskom prostoru?Kako se funkcija f : R→ R, f (x) = −5x , ponasa obzirom nazbrajanje i mnozenje (skalarom)? A funkcija f : R4 → R,f (x) = 〈(1, 2, 3, 4), x〉 = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4? A funkcijef : M2 → M2, f (A) = 5A? A funkcija zrcaljenja vektora u V 2(0)obzirom na neki pravac kroz O?Funkcije A kojima su domena i kodomena vektorski prostori zovuse linearni operatori ako su aditivne i homogene:





Za kvadratne matrice definira se njihov trag: zbroj elemenata nadijagonali. Ako trag zelimo promatrati kao funkciju, sto mu jedomena? Kodomena?

Je li trag linearan operator? Funkcional?Osmislite po jedan primjer linearnih funkcionala na prostorimaderivabilnih odnosno integrabilnih realnih funkcija (definiranih nanekom intervalu I )! Osmislite i po jedan primjer linearnih operatorana tim prostorima kojima se kodomena podudara s domenom.Ako je V proizvoljan vektorski prostor, osmislite dva primjerafunkcija A : V → V koje su sigurno linearni operatori.

Jedinicni operator: I : V → V , I (v) = v

Nuloperator: 0 : V → V , 0(v) = 0

Nulfunkcional: 0 : V → R, 0(v) = 0.

Zadatak

Kamo I preslikava nulvektor? A 0? A operator zrcaljenja u V 2(0)obzirom na pravac kroz ishodiste? Zakljucite: ako je A : V →Wlinearan operator, kamo A moze preslikati nulvektor prostora V ?


Za kvadratne matrice definira se njihov trag: zbroj elemenata nadijagonali. Ako trag zelimo promatrati kao funkciju, sto mu jedomena? Kodomena? Je li trag linearan operator? Funkcional?

Osmislite po jedan primjer linearnih funkcionala na prostorimaderivabilnih odnosno integrabilnih realnih funkcija (definiranih nanekom intervalu I )! Osmislite i po jedan primjer linearnih operatorana tim prostorima kojima se kodomena podudara s domenom.Ako je V proizvoljan vektorski prostor, osmislite dva primjerafunkcija A : V → V koje su sigurno linearni operatori.




Zadatak



Za kvadratne matrice definira se njihov trag: zbroj elemenata nadijagonali. Ako trag zelimo promatrati kao funkciju, sto mu jedomena? Kodomena? Je li trag linearan operator? Funkcional?Osmislite po jedan primjer linearnih funkcionala na prostorimaderivabilnih odnosno integrabilnih realnih funkcija (definiranih nanekom intervalu I )!

Osmislite i po jedan primjer linearnih operatorana tim prostorima kojima se kodomena podudara s domenom.Ako je V proizvoljan vektorski prostor, osmislite dva primjerafunkcija A : V → V koje su sigurno linearni operatori.




Zadatak



Za kvadratne matrice definira se njihov trag: zbroj elemenata nadijagonali. Ako trag zelimo promatrati kao funkciju, sto mu jedomena? Kodomena? Je li trag linearan operator? Funkcional?Osmislite po jedan primjer linearnih funkcionala na prostorimaderivabilnih odnosno integrabilnih realnih funkcija (definiranih nanekom intervalu I )! Osmislite i po jedan primjer linearnih operatorana tim prostorima kojima se kodomena podudara s domenom.

Ako je V proizvoljan vektorski prostor, osmislite dva primjerafunkcija A : V → V koje su sigurno linearni operatori.




Zadatak



Za kvadratne matrice definira se njihov trag: zbroj elemenata nadijagonali. Ako trag zelimo promatrati kao funkciju, sto mu jedomena? Kodomena? Je li trag linearan operator? Funkcional?Osmislite po jedan primjer linearnih funkcionala na prostorimaderivabilnih odnosno integrabilnih realnih funkcija (definiranih nanekom intervalu I )! Osmislite i po jedan primjer linearnih operatorana tim prostorima kojima se kodomena podudara s domenom.Ako je V proizvoljan vektorski prostor, osmislite dva primjerafunkcija A : V → V koje su sigurno linearni operatori.




Zadatak







Zadatak

Kamo I preslikava nulvektor?

A 0? A operator zrcaljenja u V 2(0)obzirom na pravac kroz ishodiste? Zakljucite: ako je A : V →Wlinearan operator, kamo A moze preslikati nulvektor prostora V ?






Zadatak

Kamo I preslikava nulvektor? A 0?

A operator zrcaljenja u V 2(0)obzirom na pravac kroz ishodiste? Zakljucite: ako je A : V →Wlinearan operator, kamo A moze preslikati nulvektor prostora V ?






Zadatak

Kamo I preslikava nulvektor? A 0? A operator zrcaljenja u V 2(0)obzirom na pravac kroz ishodiste?

Zakljucite: ako je A : V →Wlinearan operator, kamo A moze preslikati nulvektor prostora V ?






Zadatak



Operatori simetrija su linearni operatori A : R3 → R3 za kojevrijedi dodatno svojstvo da neki dio prostora preslikavaju na samogsebe. Kad se koriste operatori simetrija, prirodno se poistovjecujuradij-vektori tocaka sa samim tockama prostora.Najvazniji operatori simetrija su I , centralna simetrija (inverzija)koja svakom vektoru pridruzuje suprotni (ι(v) = −v), zrcaljenje σobzirom na neku ravninu/pravac i rotacija ρ za neki kut oko nekogpravca/tocke. Argumentirajte zasto su to linearni operatori!

Zadatak

Neka je u prostoru odabran koordinatni sustav. Kakav efekt imazrcaljenje obzirom na (x , y)-ravninu na tocku s koordinatama(x , y , z)? Ovisi li to o tome je li odabrani koordinatni sustavKartezijev?

Zadatak

Translacija je preslikavanje na vektorskom prostoru koje svimvektorima pribraja isti vektor. Je li translacija linearan operator?



Zadatak


Zadatak




Zadatak


Zadatak



Primjer

Ako je A : V 2(O)→ V 2(O) linearan operator, kamo on preslikavapravce koji prolaze kroz ishodiste?

Slika pravca kroz ishodiste putem linearnog operatora moze bitisamo neki pravac kroz ishodiste ili eventualno nulvektor.

Zadatak

Ako je A : V 3(O)→ V 3(O) linearan operator, kamo on preslikavaravnine koji prolaze kroz ishodiste?


Primjer

Ako je A : V 2(O)→ V 2(O) linearan operator, kamo on preslikavapravce koji prolaze kroz ishodiste?Slika pravca kroz ishodiste putem linearnog operatora moze bitisamo neki pravac kroz ishodiste ili eventualno nulvektor.

Zadatak



Primjer

Ako je A : V 2(O)→ V 2(O) linearan operator, kamo on preslikavapravce koji prolaze kroz ishodiste?Slika pravca kroz ishodiste putem linearnog operatora moze bitisamo neki pravac kroz ishodiste ili eventualno nulvektor.

Zadatak



Primjer

Promotrimo operator R rotacije oko O za 30◦ na V 2(O).Baza za V 2(O) sastoji se od bilo koja dva nekolinearna vektora;

uzmimo ovdje da je ortonormiranja: {−→i ,−→j }.Svaki vektor −→v u V 2(O) ima jednoznacne koordinate [x , y ]obzirom na odabranu bazu. Rotacijom iz njega dobijemo

R−→v = R[x , y ] = R(x−→i + y

−→j ) =

(linearnost)

= xR−→i + yR

−→j .

Vidimo: da bismo znali preslikati proizvoljni vektor operatorom Rsve sto uz sam vektor (tj. njegove koordinate) trebamo znati je stoR cini s vektorima baze.Ovdje: R

−→i =

√3

2

−→i + 1

2

−→j , R

−→j = −1

2

−→i +

√3

2

−→j


Vazno!

Analogno kao u prethodnom primjeru lako je uvidjeti da za svakilinearan operator A ako zelimo odrediti kamo preslikava vektoredomene, ukoliko smo u domeni odabrali bazu, sve sto uzkoordinate varijabli (vektora domene) trebamo znati je kako Apreslikava vektore baze.

Zadatak

Neka je u ravnini odabran koordinatni sustav. Kakav efekt na tocku skoordinatama (x , y) ima rotacija oko ishodista za kut od 60◦ upozitivnom smjeru? Ovisi li to o tome je li odabrani koordinatni sustavKartezijev?

Zadatak

Neka je u prostoru odabran koordinatni sustav. Kakav efekt na tocku skoordinatama (x , y , z) ima rotacija oko z-osi za kut α u pozitivnomsmjeru? Ovisi li to o tome je li odabrani koordinatni sustav Kartezijev?


Vazno!

Analogno kao u prethodnom primjeru lako je uvidjeti da za svakilinearan operator A ako zelimo odrediti kamo preslikava vektoredomene, ukoliko smo u domeni odabrali bazu, sve sto uzkoordinate varijabli (vektora domene) trebamo znati je kako Apreslikava vektore baze.

Zadatak

Neka je u ravnini odabran koordinatni sustav. Kakav efekt na tocku skoordinatama (x , y) ima rotacija oko ishodista za kut od 60◦ upozitivnom smjeru? Ovisi li to o tome je li odabrani koordinatni sustavKartezijev?

Zadatak

Neka je u prostoru odabran koordinatni sustav. Kakav efekt na tocku skoordinatama (x , y , z) ima rotacija oko z-osi za kut α u pozitivnomsmjeru? Ovisi li to o tome je li odabrani koordinatni sustav Kartezijev?


Zadatak

Ako je u ravnini odabran koordinatni sustav, osmislite (nejedinican!) linearan operator na V 2(O) koji tocke s cjelobrojnimkoordinatama preslikava u tocke s cjelobrojnim koordinatama (takoda budu pogodene sve)!

S parnim u tocke s parnim!

Zadatak

Ako je u prostoru odabran koordinatni sustav, osmislite (nejedinican!) linearan operator na V 3(O) koji ne mice tocku skoordinatama (1, 1, 0)!


Zadatak

Ako je u ravnini odabran koordinatni sustav, osmislite (nejedinican!) linearan operator na V 2(O) koji tocke s cjelobrojnimkoordinatama preslikava u tocke s cjelobrojnim koordinatama (takoda budu pogodene sve)! S parnim u tocke s parnim!

Zadatak

Ako je u prostoru odabran koordinatni sustav, osmislite (nejedinican!) linearan operator na V 3(O) koji ne mice tocku skoordinatama (1, 1, 0)!


Zadatak

Neka je s x oznacen operator koji funkciji pridruzuje njen produkt snjenom varijablom x. Ako je A = x + d

dx , argumentirajte da seradi o linearnom operatoru koji djeluje na nekom prostoruderivabilnih funkcija i izracunajte A(exp).

Primjer

U kvantnoj mehanici se dinamicke velicine klasicne mehanikepredstavljaju linearnim operatorima koji djeluju na vektorskomprostoru valnih funkcija. Osobito vazan medu kvantnomehanickimlinearnim operatorima je Hamiltonijan H, kvantnomehanickaverzija ukupne energije). Kvantna kolicina gibanja za gibanje pox-osi je linearan operator px = −i~ d

dx ). Potencijalnoj energiji V u

kvantnoj mehanici odgovara operator V koji na valnu funkcijudjeluje tako da jednostavno pomnozimo potencijalnu energiju svalnom funkcijom: Vψ(x) = V (x) · ψ(x).


Kako je svaki vektorski prostor konacne dimenzije izomorfan nekomRn (odnosno Cn), pri cemu se ta izomorfnost ocituje odabirombaze, vidimo da je (sto se tice konacnodimenzionalnih prostora)dovoljno proucavati linearne operatore medu prostorima tipa Rn

(odnosno Cn), uzimajuci u obzir efekte promjene odabira baze nakoordinate vektora.Ako smo odabrali bazu za V , koje koordinate vektori te baze imajuobzirom na nju samu?

Dakle, nakon odabira baze smo vektorskiprostor sveli na Rn (odnosno Cn) s kanonskom bazom.

Primjer

Neka A : R3 → R3 opisuje zrcaljenje prostora obzirom na neku

ravninu, a baza {−→a ,−→b ,−→c } prostora je odabrana tako da je ta

ravnina (y , z)-ravnina. Kamo A preslikava vektore kanonske baze

od R3? Kamo A preslikava proizvoljan vektor x−→a + y−→b + z−→c ?



(odnosno Cn), uzimajuci u obzir efekte promjene odabira baze nakoordinate vektora.Ako smo odabrali bazu za V , koje koordinate vektori te baze imajuobzirom na nju samu? Dakle, nakon odabira baze smo vektorskiprostor sveli na Rn (odnosno Cn) s kanonskom bazom.

Primjer




od R3?

Kamo A preslikava proizvoljan vektor x−→a + y−→b + z−→c ?



(odnosno Cn), uzimajuci u obzir efekte promjene odabira baze nakoordinate vektora.Ako smo odabrali bazu za V , koje koordinate vektori te baze imajuobzirom na nju samu? Dakle, nakon odabira baze smo vektorskiprostor sveli na Rn (odnosno Cn) s kanonskom bazom.

Primjer




od R3? Kamo A preslikava proizvoljan vektor x−→a + y−→b + z−→c ?


Djelovanje linearnog operatora A uvijek je dovoljno zadati navektorima baze domene. Pripadni rezultati su linearne kombinacijeelemenata odabrane baze kodomene.

Ako uzmemo koeficijente tihlinearnih kombinacija i zapisemo ih kao stupce neke matrice, dobilismo matricu operatora A (obzirom na odabrane baze).

Napomena

Ako je A operator s n- u m-dimenzionalni prostor, kolikokoordinata ima element domene? Kodomene? Dakle, matricaoperatora A imat ce m redaka i n stupaca.

Ako su domena i kodomena linearnog operatora jednake,uobicajeno je uzeti istu bazu u domeni i kodomeni, pa cemo to udaljnjemu pretpostavljati.

Zadatak

Kako izgledaju matrice od I i 0? Ovise li one o bazi prostora?Osmislite primjer jos nekog operatora kojemu su matrice isteobzirom na sve baze!


Djelovanje linearnog operatora A uvijek je dovoljno zadati navektorima baze domene. Pripadni rezultati su linearne kombinacijeelemenata odabrane baze kodomene. Ako uzmemo koeficijente tihlinearnih kombinacija i zapisemo ih kao stupce neke matrice, dobilismo matricu operatora A (obzirom na odabrane baze).

Napomena

Ako je A operator s n- u m-dimenzionalni prostor, kolikokoordinata ima element domene? Kodomene?

Dakle, matricaoperatora A imat ce m redaka i n stupaca.


Zadatak




Napomena



Zadatak

Kako izgledaju matrice od I i 0? Ovise li one o bazi prostora?

Osmislite primjer jos nekog operatora kojemu su matrice isteobzirom na sve baze!



Napomena



Zadatak



Ovisnost matrice operatora o bazama

Zadatak

Neka je ι : V 2(O)→ V2(O) inverzija obzirom na ishodiste. Kamo

ι preslikava vektore proizvoljne baze {−→a ,−→b } od V2(O)?

Kamo ι

preslikava proizvoljan vektor x−→a + y−→b ? Kako izgleda matrica

operatora ι? Ovisi li ona o odabiru baze?

Zadatak

Linearan operator A : R4 → R4 zadan je kao tzv. pomak ulijevo:(x1, x2, x3, x4) 7→ (x2, x3, x4, 0). Odredite njegove matrice obziromna kanonsku bazu i obzirom na bazu (4, 0, 3, 0), (−2, 1, 0, 0),(0, 0,−1, 1) i (0, 1, 0, 2).



Zadatak


ι preslikava vektore proizvoljne baze {−→a ,−→b } od V2(O)? Kamo ι



Zadatak




Zadatak


ι preslikava vektore proizvoljne baze {−→a ,−→b } od V2(O)? Kamo ι



Zadatak



Definicija

Operatori oblika A : V → V , Av = cv za konstantan skalar c zovuse skalarni operatori.

Ovisi li matrica skalarnog operatora o odabiru baze?

Zadatak

Odredite matricu operatora projekcije koji svakoj tocki prostorapridruzuje njenu ortogonalnu projekciju na (x , y)-ravninu.

Korisno je napomenuti: linearni operatori nabeskonacnodimenzionalnim prostorima ne mogu se opisatimatricama. S druge strane, sve matrice operatora simetrije na R3

su ortogonalne.


Koja korist od matrice operatora?

Primjer

Linearan operator rotacije ρy prostora oko y-osi ima (obzirom nabazu koja odreduje osi koordinatnog sustava, uz uvjet da jeortogonalna i da su prvi i treci vektor jednako dugi) matricu

Ry =

cosα 0 − sinα0 1 0

sinα 0 cosα

Kako vidimo da je to odgovarajuca matrica?


Nastavak primjera

Ako nas zanima na koju poziciju se zarotira neka tocka prostora T ,uzmimo njen radij-vektor −→r . On ima neke koordinate [x , y , z ]obzirom na odabranu bazu. Kako je ρy linearan operator, znamo

ρy−→r = x ρy

−→a + y ρy−→b + z ρy

−→c (zasto?).

Stoga je prva/druga/trecakoordinata od ρy

−→r = (X ,Y ,Z ) jednaka skalarnom produktu (uR3) prvog/drugog/treceg retka matrice Ry s (x , y , z). Pisemo

Ry ·

xyz

=

XYZ

.

Primijetimo i da je kompozicija linearnih operatora uvijek linearanoperator, a inverz linearnog operatora koji je bijekcija je takoderlinearan operator. To ce nam biti vazno u nastavku . . .


Nastavak primjera


ρy−→r = x ρy


−→c (zasto?).Stoga je prva/druga/trecakoordinata od ρy

−→r = (X ,Y ,Z ) jednaka skalarnom produktu (uR3) prvog/drugog/treceg retka matrice Ry s (x , y , z).

Pisemo

Ry ·

xyz

=

XYZ

.



Nastavak primjera


ρy−→r = x ρy


−→c (zasto?).Stoga je prva/druga/trecakoordinata od ρy

−→r = (X ,Y ,Z ) jednaka skalarnom produktu (uR3) prvog/drugog/treceg retka matrice Ry s (x , y , z). Pisemo

Ry ·

xyz

=

XYZ

.


Franka Miriam Bruckler - prelog.chem.pmf.hrprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/vektorski.pdf · Vektorski prostori - de nicija i primjeriLinearne kombinacijeBaza, dimenzija, koordinatizacijaSkalarni

Documents