UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS MAESTRÍA EN EDUCACIÓN ANEXOS ANEXO 1. ACTIVIDAD: “EL VOLUMEN MÁXIMO DE UNA CAJA SIN TAPA” En esta actividad los estudiantes tienen acceso a un archivo en CaRMetal, en donde se encuentra la construcción del modelo de la caja. Allí mismo se muestra la medida de las aristas de la caja y el valor del volumen. Exploración previa para la familiarización con el modelo El propósito de esta familiarización es que el estudiante explore el modelo y verifique cada una de las condiciones expuestas en el enunciado del problema. En esta exploración se le presenta al estudiante el modelo con el valor del volumen de la caja y las medidas de la base y la altura de la lámina rectangular de la que se parte para realizar la construcción, como se muestra en la figura 1. Figura 1. Medidas de la lámina rectangular. El estudiante intenta arrastrar todos los vértices y se da cuenta que el único que tiene la posibilidad de arrastre es el vértice A, al arrastrar el vértice el tamaño de la caja se modifica, pero se mantiene las condiciones del problema.
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UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
ANEXOS
ANEXO 1. ACTIVIDAD: “EL VOLUMEN MÁXIMO DE UNA CAJA SIN
TAPA”
En esta actividad los estudiantes tienen acceso a un archivo en CaRMetal, en donde se
encuentra la construcción del modelo de la caja. Allí mismo se muestra la medida de las
aristas de la caja y el valor del volumen.
Exploración previa para la familiarización con el modelo
El propósito de esta familiarización es que el estudiante explore el modelo y verifique cada
una de las condiciones expuestas en el enunciado del problema. En esta exploración se le
presenta al estudiante el modelo con el valor del volumen de la caja y las medidas de la
base y la altura de la lámina rectangular de la que se parte para realizar la construcción,
como se muestra en la figura 1.
Figura 1. Medidas de la lámina rectangular.
El estudiante intenta arrastrar todos los vértices y se da cuenta que el único que tiene la
posibilidad de arrastre es el vértice A, al arrastrar el vértice el tamaño de la caja se
modifica, pero se mantiene las condiciones del problema.
USO DEL SOFTWARE CARMETAL PARA POTENCIAR EL APRENDIZAJE DE LA
NOCIÓN DE DERIVADA AL RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 2016
Si el estudiante no relaciona el modelo con la forma de una caja, el profesor debe sugerirle
que utilice una hoja de papel que cumpla las condiciones de la lámina rectangular de tres
metros de largo por dos metros de ancho y que recordé un cuadrado en cada esquina y lo
doble de tal manera que quede en forma de caja, reconociendo que se trata de una figura
tridimensional y por lo tanto tiene un largo, ancho y alto.
Tarea 1. Encontrar el volumen máximo de la caja utilizando el modelo
Después de verificar que el modelo si corresponde con las condiciones del problema, se les
pide a los estudiantes que si utilicen dicho modelo para resolver el problema. Es posible
que en esta actividad el estudiante no use las estrategias perceptivas para tratar de hallar el
volumen máximo de la caja, dado que en la actividad Nº1 encontró que al hacer zoom y
arrastrar un vértice o aumentar la cantidad decimales en el campo de área siempre
encontraba un área más grande, por lo que al aplicar dicha estrategia en esta actividad
encontrará un volumen más grande. En caso de que los estudiantes a pesar de haber hecho
la actividad Nº1 se queden en lo perceptivo buscando un valor máximo en el campo de
volumen, el profesor debe intervenir mostrando posibles acciones para invalidar la
estrategia (hacer zoom y arrastrar el vértice A y aumentar la cantidad de decimales).
Estrategias del estudiante
El estudiante intentara replicar las etapas propuesta por el profesor en la actividaddel
hexágono, se espera que el estudiante haya interiorisado estas etapas y las use como
estrategias para resolver el problema.
Etapa 1. Observación del movimiento de un punto P21que relacione la variación del
segmento S3 y el volumen de la caja
El estudiante ha identificado una variación en el tamaño de la caja y en el volumen. Se
espera que recuerde que para poder obtener en una sola vista todas esas variaciones del
volumen, puede determinar un punto P21 que represente el volumen para cada longitud
deS3.En caso que no las recuerde, el profesor debe intervenir proponiendo construir un
punto que relacione la longitud de una arista de la caja con el valor del volumen.El punto
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P21tiene coordenadas (x (A); E1) siendo x (A)1 la abscisa de A que representa la longitud
de S3 y E1 es la ordenada que representa el volumen de la caja.
Etapa 2. Utilizar la traza para observar las distintas posiciones del punto P21
Construido el punto P21 el estudiante quien ha interiorizado las etapas propuestas por el
profesor en la actividad Nº1 selecciona la traza del punto y mueve el vértice A obteniendo
una curva como se muestra en la figura 2.
Figura 2. Traza del punto P21 que representa la variación del volumen dela caja
Si el estudiante no recuerda como activar la traza, el profesor debe intervenir mostrando
cómo usar esta herramienta. Una estrategia perceptiva que puede utilizar el estudiante es
ubicar el punto P21 en la parte más alta de la curva que describe la huella e indicar que ese
es el volumen máximo de la caja; sin embargo, una retroacción del software es que al hacer
zoom o al mover la construcción, la traza desaparece impidiendo verificar si éste es o no el
punto máximo.
1Si el estudiante presente dificultad frente a la interpretación que se le da a la ordenada (x (A)), el profesor debe proponerle usar la macro
abscisapunto.
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NOCIÓN DE DERIVADA AL RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 2016
Por otro lado, el estudiante al observar la huella que deja el puntoP21 puede inferir que la
gráfica que modela el volumen de la caja tiene forma de parábola. Si asume que la huella
que deja la traza tiene dicha forma, puede notar que la traza corta en las coordenadas (0,0) y
(1,0), lo que le permite calcular el punto medio entre estas dos coordenadas con el fin de
aplicar la estrategia de simetría de la parábola presentada en la actividad Nº1; no obstante,
al observar dicho punto medio, concluye que la curva no es simétrica como se muestra en la
figura 3.
Figura 3. Invalidación de la estrategia de la simetría de la parábola
Etapa 3. Construir la gráfica de la función a partir de una ecuación
El estudiante expresa la necesidad de construir la gráfica de la función de tal manera que no
desaparezca al hacer zoom o mover la construcción, entonces el profesor le propone la
siguiente tarea:
Tarea 2. Determinar la expresión algebraica para obtener la gráfica de la función
En esta tarea el profesor sugiere al estudiante identificar las dimensiones de la caja (largo,
ancho y alto), revisando nuevamente las condiciones del problema, buscando que
reconozca que S1 representa los 3 metros de largo y S2 representa los 2 metros de ancho;
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por lo tanto, S3 representa el alto de la caja. Como el volumen de la caja se obtiene a partir
del producto de sus dimensiones:
𝐿𝑎𝑟𝑔𝑜 ∗ 𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 ∗ 𝐴𝑙𝑡𝑜
Por lo anterior, es posible que el estudiante indique que el volumen de la caja se obtiene al
multiplicar: S1* S2* S3
Si el estudiante realiza dicha acción, es necesario que el profesor intervenga recordándole
que en la actividad Nº1 el área del hexágono se determinó a partir de una sola variable, por
lo cual el volumen de la caja se debe expresar teniendo en cuenta la variación del segmento
S3 y en su caso está utilizando tres variables.
A partir de esta observación el estudiante debe identificar que se debe restar dos veces S3 en
la base de la lámina rectangular y dos veces en la altura, llegando a establecer la siguiente
fórmula que representa el volumen de la caja cuando el segmento S3varía.: