för matematik och naturvetenskap...skrift i matematik och naturvetenskap. Skriften består av två delar. I nio kapitel i den första delen pre-senteras skrivregler och olika grupper

SVENSK PUNKTSKRIFT

Punktskriftens skrivregler

för matematik

och naturvetenskap

Andra upplagan

I skriftserien Svensk punktskrift har följande titlar utkommit: Fonetik och punktskrift, av Lillemor Andersson och Catharina Johansson (2005) Kortskrift. Nivå 1 och 2 (1997) Kortskrift. Nivå 3 och 4, för anteckningar (1997) Louis Braille – Skapare av ett skriftsystem, av Beatrice Christensen Sköld (andra upplagan, 2011) Punktskriften och dess användning (andra upplagan, 2010) Punktskriftens termer (2001) Redigering och avskrivning (1999) Punktskriftens skrivregler för matematik och naturvetenskap (andra upplagan, 2012) Svenska skrivregler för punktskrift (andra upplagan, 2009) Tactile maps – Guidelines for the production of maps for the visually impaired (2003),

av Yvonne Eriksson, Gunnar Jansson och Monica Strucel Taktila kartor – Handledning i kartframställning (2003),

av Yvonne Eriksson, Gunnar Jansson och Monica Strucel Teckentabell som norm för svensk åttapunktsskrift (1997)

Tidigare utgivning: Handledning i reliefbildframställning på svällpapper (1994),

av Yvonne Eriksson och Monica Strucel A guide to the production of tactile graphics on swellpaper (1995),

av Yvonne Eriksson och Monica Strucel Distribution: Talboks- och punktskriftsbiblioteket Box 5113 121 17 Johanneshov E-post: [email protected] www.punktskriftsnamnden.se www.tpb.se © 2012 Punktskriftsnämnden, Talboks- och punktskriftsbiblioteket Redaktör: Björn Westling Omslag: Helena Lunding Hultqvist, Tecknar nu Tryck: Elanders Sverige AB, 2012 ISBN 978-91-88132-42-0

INNEHÅLL 3

Innehåll

Förord till den andra upplagan 7

Inledning 9

Om denna bok 9

Blanktecken i matematisk punktskrift 10

Aritmetiska operatorer 10

Pilar 10

Streck 10

Jämförelseoperatorer 10

Mängdlära och logik 10

Del 1 TECKEN OCH SKRIVREGLER FÖR MATEMATIK OCH NATURVETENSKAP

1 Speciella punktskriftstecken 13

1.1 Förtecken 13

1.2 Blanktecken 14

1.3 Hjälptecken 14

1.3.1 Avslutnings- och avskiljningstecken 14

1.3.2 Varningstecken 16

1.3.3 Fortsättningstecken 16

1.3.4 Hjälpparentes 16

1.3.5 Bråksammanhållare 16

1.4 Tecken som inte har ett definierat skrivsätt i punktskrift 17

1.5 Regler för radbrytning 17

2 Bokstäver 19

2.1 Latinska bokstäver 19

2.2 Grekiska bokstäver 19

2.3 Enstaka framhävda tecken 22

2.4 Strukna tecken 23

3 Siffror 25

3.1 Arabiska siffror 25

3.1.1 Blanktecken i sifferföljder 25

INNEHÅLL 4

3.1.2 Komma och punkt i sifferföljder 25

3.2 Romerska siffror 26

4 Storheter och enheter 28

4.1 Några särskilda enhetstecken 28

4.2 Övriga enheter 28

5 Aritmetiska operatorer 30

6 Bråk 34

6.1 Tal och variabler i bråkform 34

6.2 Bråk i blandad form 36

6.3 Komplicerade bråk 36

6.4 Bråk med huvudbråkstreck 38

6.5 Bråkliknande uppställningar 39

7 Exponenter, rötter och index 40

7.1 Övre och nedre index 40

7.2 Rotuttryck 45

8 Parenteser, streck och pilar 47

8.1 Parenteser 47

8.2 Parenteser över flera rader 48

8.3 Streck 51

8.4 Vanliga pilar 54

8.5 Övriga pilar 55

9 Övriga operatorer och tecken 57

9.1 Jämförelseoperatorer 57

9.2 Mängdlära och logik 60

9.3 Geometriska tecken 63

9.4 Analys (derivator och integraler) 64

9.5 Övriga tecken 66

9.6 Tecken i datorsammanhang 67

INNEHÅLL 5

Del 2 EXEMPELSAMLING, ÄMNESVIS ORDNAD

10 Matematik 71

10.1 Aritmetik och algebra 71

10.2 Analys 75

10.2.1 Några funktionstyper 75

10.2.2 Intervall och gränser 77

10.2.3 Derivator 78

10.2.4 Integraler 80

10.2.5 Differentialekvationer 80

10.2.6 Exponential- och logaritmfunktioner 81

10.2.7 Gränsvärden, talföljder och serier 81

10.3 Komplexa tal 83

10.4 Mängdlära och logik 84

10.5 Geometri 86

10.6 Trigonometriska funktioner 87

10.7 Sannolikhetslära och statistik 88

11 Fysik och astronomi 90

12 Kemi och biologi 93

12.1 Kemiska beteckningar och formler 93

12.2 Strukturformler 97

13 Programmering och Internet 99

BILAGA – förändringar i den andra upplagan 102

Tecken med nytt utseende i punktskrift 102

Pilar med nytt utseende i punktskrift 105

Nya tecken i punktskrift 106

Borttagna tecken 108

Alfabetiskt register 109

Teckenregister 129

FÖRORD 7

Förord till den andra upplagan

Punktskriftens skrivregler för matematik och naturvetenskap är en samling regler och rekommendationer för hur man skriver mate-matik och andra naturvetenskapliga ämnen i svensk punktskrift. Denna andra reviderade upplaga har tagits fram av Ulf Aldener, Lillemor Andersson, Stig Becker, Fredrik Larsson, Björn Nyqvist, Anders Sennerö och Björn Westling. Den tidigare upplagan utgavs 1997. I den nya utgåvan har bland annat ett nytt förtecken för mate-matiska tecken ï (p12456) införts. En lista över gjorda änd-ringar på teckennivå finns mot slutet av boken. Förändringar har gjorts för att göra det lättare att använda mate-matisk punktskrift. De matematiska tecknens utseenden i punkt-skrift har valts för att vara lättare att minnas än tidigare. Det rekommenderas vidare att större uppmärksamhet ska ges till den matematiska punktskriftens layout, bland annat genom att blank-tecken kan användas för att skapa bättre läsbarhet i en följd av tecken och att varje ekvation i ett ekvationssystem ska skrivas på ny rad. En grundläggande förutsättning för utformningen av den mate-matiska punktskriften är att få så stor överensstämmelse med skrivregler för övrig punktskrift som möjligt. Detta har lyckats i princip fullt ut och kan tjäna som en förebild för konstruktion av motsvarande skrivregler för punktskrift i andra länder. Att till exempel 3×4 m² skrivs på samma sätt i punktskrift i en roman som i en vetenskaplig artikel tycker vi är mycket viktigt för att punktskriften ska vara läsbar och tillgänglig. Johanneshov, augusti 2012 Björn Westling Sekreterare i Punktskriftsnämnden

INLEDNING 9

Inledning

Om denna bok

Punktskriftens skrivregler för matematik och naturvetenskap är en sammanställning av regler med tillhörande exempel för punkt-skrift i matematik och naturvetenskap. Skriften består av två delar. I nio kapitel i den första delen pre-senteras skrivregler och olika grupper av tecken och symboler. I den andra delen ges exempel sorterade i fyra kapitel för olika områden eller ämnen. Skrivreglerna för matematik och naturvetenskap bygger på och är en utvidgning av de skrivregler som finns beskrivna i Svenska skrivregler för punktskrift. Punktskriftens skrivregler för matematik och naturvetenskap täcker behovet av punktskriftstecken till och med gymnasiet och i många fall även högskolenivån. Med ledning av hur punktskrifts-tecknen är utformade går det att vid behov skapa ytterligare punktskriftstecken för att på så sätt även helt täcka behovet för högskolelitteraturen. Svartskriftsböcker har ofta en layout som för ögat ger en snabb överblick över ganska komplicerade samband. Sådan layout kan vara svår att återge i punktskrift och kan ibland bli till mer hinder än hjälp för punktskriftsläsaren. Typiska skrivsätt i svartskrift som är svåra att exakt efterlikna i punktskrift är till exempel uppställningar där man med hjälp av pilar visar ett korsvist flöde, ”trappan” som illustrerar divisions-uträkning samt atom- och molekylstrukturer i kemi. Sådana svartskriftsillustrationer bör kommenteras och kan även kom-pletteras med reliefbilder. Exemplen i Punktskriftens skrivregler för matematik och natur-vetenskap är i huvudsak autentiska och har valts för att illustrera företeelser som inte alltid framgår klart av texten. Notera att exemplen i vissa fall introducerar skrivsätt och tecken som tas upp först senare i boken.

INLEDNING 10

Blanktecken i matematisk punktskrift

I de flesta fall har blanktecken inte någon betydelsebärande funk-tion i matematisk punktskrift utan kan användas för att skapa en bättre läsbarhet åt längre teckenföljder. I vissa fall måste punkt-skriftstecken omges av blanktecken för att undvika missförstånd.

Aritmetiska operatorer

Aritmetiska operatorer (kapitel 5) kan som i svartskrift skrivas med eller utan blanktecken på ömse sidor.

Pilar

Punktskriftstecken för olika pilar presenteras i avsnitt 8.4 och 8.5. De representationer som vanliga pilar (avsnitt 8.4) har i punkt-skrift är tänkta att grafiskt efterlikna de utseenden tecknen har i svartskrift. Denna princip gäller inte för de flesta andra tecken. Samtliga punktskriftstecken som representerar vanliga pilar måste omges av blanktecken. Övriga pilar (avsnitt 8.5) representeras i punktskrift genom att betydelsen av tecknet skrivs inom hjälpparentes – i en förkortad form.

Streck

Streck presenteras i avsnitt 8.3. Två enkla lodstreck intill var-andra bör skiljas av blanktecken för att inte misstolkas som ett dubbelt lodstreck.

Jämförelseoperatorer

Jämförelseoperatorer presenteras i avsnitt 9.1. Det är ofta lämp-ligt och ibland nödvändigt att låta dessa punktskriftstecken omges av blanktecken.

Mängdlära och logik

De tecken och symboler som används i mängdlära och logik pre-senteras i avsnitt 9.2. Även för dem gäller att det ofta är lämpligt att motsvarande punktskriftstecken omges av blanktecken.

Del 1 TECKEN OCH SKRIVREGLER FÖR MATEMATIK

OCH NATURVETENSKAP

1 SPECIELLA PUNKTSKRIFTSSYMBOLER 13

1 Speciella punktskriftstecken

1.1 Förtecken

Förtecken ger det närmast följande punktskriftstecknet eller de närmast följande punktskriftstecknen en särskild betydelse. Betydelsen av förtecknet upphävs av blanktecken, avslutnings- och avskiljningstecken eller annat förtecken om inget annat nämns.

_ Förtecken för versal bokstav. Se avsnitt 2.1.

__ Förtecken för flera versala bokstäver i följd. Se avsnitt 2.1.

___ Förtecken för flera ord med versaler i följd. Se avsnitt 2.1.

" Förtecken för en grekisk gemen bokstav. Se avsnitt 2.2.

"_ Förtecken för en grekisk versal bokstav. Se avsnitt 2.2.

@ Förtecken för enstaka framhävt tecken. Se avsnitt 2.3. Även förtecken för plusminustecken och minusplustecken.

^ Förtecken för struket tecken, ofta med betydelsen inte/ej. Se avsnitt 2.4.

# Förtecken för siffror. Se avsnitt 3.1.

§ Förtecken för exponent eller övre index. Se avsnitt 4.2 och 7.1.

ê Förtecken för nedre index. Se avsnitt 7.1.


§§ Förtecken för centrerat övre index. Se avsnitt 7.1.

êê Förtecken för centrerat nedre index. Se avsnitt 7.1.

ï Förtecken för flera matematiska tecken. Se kapitel 9.

~ Förtecken för några tecken som bland annat före-kommer i datorsammanhang, exempelvis snabel-a, @. Se avsnitt 9.6. Tecknet används även som varningstecken, se avsnitt 1.3.2.

1.2 Blanktecken

Blanktecken liksom radbyte upphäver betydelsen av närmast föregående förtecken om inget annat sägs. Då blanktecken är en del av en sifferföljd upprepas siffertecknet. I sifferföljder grupp-erade med blanktecken får man inte använda . för att återge blanktecken. Se även avsnittet ”Blanktecken i matematisk punktskrift” i inled-ningen till denna bok.

1.3 Hjälptecken

1.3.1 Avslutnings- och avskiljningstecken

Tecknet û används som avskiljningstecken mellan siffra och de gemena bokstäverna a–j för att undvika feltolkning, se även Svenska skrivregler för punktskrift, avsnitt 5.5 Siffror och bok-stäver. Ibland används tecknet även mellan olika gemener för att markera växlingen mellan rak och kursiv stil. Se avsnitt 2.3. Tecknet används också som avslutningstecken för att avsluta komplicerade exponenter, index, rotuttryck, tecken med streck ovanför, samt understrukna tecken som inletts med varnings-tecknet ~. Se kapitel 7.


Ex. 1.1

4a 5B 7ab

#4ûa<<#5_b<<#7ûab<<<<<<<<<<<< Om siffran följs av versal behöver man inte något avskiljnings-tecken. Då citattecken förekommer före fristående latinsk bokstav i matematisk text ska citattecknet följas av û för att undvika förväxling med förtecken för grekisk bokstav (gäller både gemener och versaler).

” "û Avslutnings- och avskiljningstecken efter citattecken, för att undvika förväxling med förtecknen för grekiska bokstäver.

Ex. 1.2

Han sa: ”p är ungefär 3,3”.

_han<sa:<"ûp<är<ungefär<<<<<< #3,3".<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 1.3

π är ungefär 3,14

"p<är<ungefär<#3,14<<<<<<<<<< När bokstaven o kombineras med jämförelseoperatorer där punktskriftstecknet o ingår ska blanktecken användas för att undvika sammanblandning med tecknet för mycket större än. Alternativt kan avskiljningstecknet användas. Det samma gäller när bokstaven ö kombineras med jämförelseoperatorer där punkt-skriftstecknet ö ingår – för att undvika sammanblandning med tecknet för mycket mindre än. Se även avsnitt 9.1.

Ex. 1.4

a o b> ≫

a<#o<o<#oo<b<<<<<<<<<<<<<<<<<


1.3.2 Varningstecken

Varningstecken ~ föregår långa uttryck som behöver hållas ihop. Det kan gälla komplicerade exponenter, index, tecken med streck ovanför, understrukna tecken eller rotuttryck. Varnings-tecken avslutas med û. Se exempel 7.6 och 7.10.

1.3.3 Fortsättningstecken

Om radbrytning måste göras i punktskrift i en teckenföljd som inte får delas i svartskrift måste fortsättningstecken ïï an-vändas. Den radbrytning som då görs i punktskrift ska inte tolkas som blanktecken, därför ska exempelvis ett siffertecken inte upp-repas, se exempel 1.5 nedan.

Ex. 1.5

π är ungefär lika med 3,14159265358979323846264338327950288

_Pi<är<ungefär<lika<med<<<<<< #3,141592653589793238462643ïï 38327950288<<<<<<<<<<<<<<<<<<

1.3.4 Hjälpparentes

Text i en punktskriftsupplaga som inte finns i motsvarande svartskriftsupplaga ska markeras på något sätt, till exempel med

hjälpparentes ~(<~). För att återge tecken som inte har någon representation i punkt-skrift kan man skriva ut betydelsen eller teckennamnet inom hjälpparentes. Se avsnitt 1.4 och exempel 12.1.

1.3.5 Bråksammanhållare

Bråksammanhållare, som består av bråkbörjan é( samt bråkslut é), ska skrivas för att synliggöra början och slut av ett bråk – när det krävs för att den matematiska innebörden ska förmedlas rätt. Se vidare kapitel 6.


1.4 Tecken som inte har ett definierat skrivsätt i punktskrift

När man vill återge ett tecken som saknar representation i punkt-skrift bör man skriva ut betydelsen i klartext alternativt en intuitiv förkortning inom hjälpparentes. Alternativt kan ett tecken ges en tillfällig representation. Att i detta sammanhang använda punktskriftstecken som grafiskt liknar ett tecken i svartskrift rekommenderas inte, sådana avbild-ningar är inte alltid intuitiva utan kan vara svåra att tolka.

Ex. 1.6

I följande exempel har tecknen för hona respektive hane återgivits i klartext inom hjälpparentes.

~(hona~) hona

~(hane~) hane

∵ ~(alltså~) alltså

∴ ~(därför<att~) därför att Alternativ skrivning i förkortad form:

∵ ~(aå~) alltså

∴ ~(d.a.~) därför att

1.5 Regler för radbrytning

Punktskriftsraderna bör delas där det är naturligt, exempelvis efter plustecken, minustecken, multiplikationstecken, bråkstreck eller före eller efter jämförelseoperatorer, till exempel likhets-tecken. Plustecken, minustecken, plusminustecken, minusplustecken, likhetstecken, multiplikationstecken samt divisionstecken bör upprepas på nästa rad för att underlätta läsbarheten. Se exempel 6.12 och 6.15. Dessa rader bör skrivas med två blankteckens indrag jämfört med den första raden, även detta för att underlätta läsbarheten.


Tecken som i punktskrift består av flera punktskriftstecken får inte delas. Index, exponenter och rotuttryck bör inte heller delas. Man ska om möjligt undvika att dela en ekvation på två rader. När en ekvation måste delas ska man i regel främst söka få vänstra och högra ledet på var sin rad; delningen sker alltså vid likhetstecknet. Om sådan delning inte är möjlig eller lämplig, bör ekvationen delas vid till exempel plustecken, minustecken eller multiplikationstecken. Ett tal, en storhetsbokstav eller ett kort uttryck bör dock inte stå för sig i den ena raden. Ett parentesinnehåll ska om möjligt inte delas. Korta parentes-innehåll, till exempel (A – B), får inte delas. Om radbrytningen i punktskrift måste ske där svartskriften inte får byta rad, där det inte finns en operator, måste fortsättnings-tecken ïï sättas sist på punktskriftsraden. I dessa fall ska inte heller något indrag göras på följande rad.

Ex. 1.7

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )6+ = + + + + + +a b a b a b a b a b a b a b

(a$b)§#6=(a$b)(a$b)(a$b)ïï<<< (a$b)(a$b)(a$b)<<<<<<<<<<<<<<

2 BOKSTÄVER 19

2 Bokstäver

2.1 Latinska bokstäver

Gemena latinska bokstäver skrivs utan förtecken. Versal skrivs med _ före bokstaven. Flera versaler i följd skrivs med _ före varje bokstav eller med __ före den första bokstaven. Versal-tecknen upphävs av blanktecken eller andra ickebokstavstecken. Flera ord med versaler i följd kan skrivas med ___ före den första versalen och avslutningstecknet û efter den sista. För att markera gemener i en lång följd av versaler, kan antingen en versalmarkering upprepas före den sista versalen (se exempel 2.2) eller kan ett avslutningstecken användas efter den sista versalen.

Ex. 2.1

kWh

k_Wh<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 2.2

ABCDEFGHijklm

__ABCDEFG_Hijklm<<<<<<<<<<<<<

Ex. 2.3

E[X + Y] = E[X] + E[Y]

_Eà_X<$<_Yù<=<_Eà_Xù<$<_Eà_Yù

2.2 Grekiska bokstäver

Gemena grekiska bokstäver skrivs med " före bokstaven och versaler med "_ före bokstaven. Förtecknet gäller endast den närmast följande bokstaven.

2 BOKSTÄVER 20

Gemener Versaler

α "a Α "_a alfa

β "b Β "_b beta

γ "g Γ "_g gamma

ξ "d ∆ "_d delta

ε "e Ε "_e epsilon

ζ "z Ζ "_z zeta

η "j Η "_j eta

θ "h Θ "_h teta

ι "i Ι "_i jota

κ "k Κ "_k kappa

λ "l Λ "_l lambda

µ "m Μ "_m my

ν "n Ν "_n ny

ξ "x Ξ "_x xi

ο "o Ο "_o omikron

π "p Π "_p pi

ρ "r Ρ "_r ro

σ "s Σ "_s sigma

τ "t Τ "_t tau

υ "u Υ "_u ypsilon

ϕ "f Φ "_f fi

χ "\ Χ "_\ chi

ψ "y Ψ "_y psi

ω "w Ω "_w omega

2 BOKSTÄVER 21

Ex. 2.4

( ) ( ) ( )x y y x h y x∆ = + −

"_dX(Y)<=<y(x<$<h)<-<y(x)<<<<

Ex. 2.5

1, ( )tη

#1,<"j(t)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 2.6

2 Tω π=

"w<=<#2"p/_T<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 2.7

( )T u v Tu Tvα β α β+ = +

_T("au<$<"bv)<=<"a_Tu<$<"b_Tv

Ex. 2.8

arctan1ϕ = a

"f<=<arctan<#1/a<<<<<<<<<<<<<

Ex. 2.9

(0) ( ) 0aϕ ϕ= =

"f(#0)<=<"f(a)<=<#0<<<<<<<<<<

Ex. 2.10

rαθ

=

r<=<"aü"h<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

2 BOKSTÄVER 22

Ex. 2.11

( | ) ( | )f fψ ϕ ψϕ=

("yf|"f)<=<(f|"y"f)<<<<<<<<<<

2.3 Enstaka framhävda tecken

Enstaka framhävda bokstäver och andra tecken, fetstilta eller kur-siva, föregås av @. Då framhävd bokstav är versal är ordningen mellan förtecknen följande: @_. Förtecknet för framhävt tecken gäller endast närmast följande punktskriftstecken. När man vill återge att ord eller stycken har en viss stilsort, eller i de fall det är viktigt att visa på vilket sätt ett tecken är framhävt, ska reglerna för markering av olika stilsorter användas. Se Svenska skrivregler för punktskrift, avsnitt 3.4. Notera att kursiva bokstäver som beteckning för variabler normalt inte markeras i punktskrift. Vid risk för feltolkning av rak och kursiv stil kan avskiljningstecken û eller blanktecken användas, se exempel 2.12.

Ex. 2.12

Bestäm h så att sin hx = sinh x Kommentar till exemplet:

Lägg märke till att det finns två funktioner i detta exempel: sin = sinus sinh = sinus hyperbolicus

_Bestäm<h<så<att<sin<hx<=<<<< <<=<sinh<x<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Alternativ skrivning i punktskrift: avskiljningstecken i stället för blanktecken.

_Bestäm<h<så<att<sinûhx<=<<<< <<=<sinhûx<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

2 BOKSTÄVER 23

Ex. 2.13

x

@x<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 2.14

Ag = λg

_a@g<=<"l@g<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 2.15

λ0 = 0

"l@#0<=<@#0<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 2.16

AX = 0

_a@_x<=<@#0<<<<<<<<<<<<<<<<<<

2.4 Strukna tecken

För att markera strukna tecken (tecken med streck på eller genom) används ^ före punktskriftstecknet.

Ex. 2.17

3/ (överstruken trea)

^#3<(överstruken<trea)<<<<<<<

Ex. 2.18

(ej lika med, skild från)

^=<(ej<lika<med,<skild<från)<

Ex. 2.19

(överstruket gement b)

^b<(överstruket<gement<b)<<<<

/b

≠

2 BOKSTÄVER 24

Ex. 2.20

(överstruket versalt r)

^_R<(överstruket<versalt<r)<<

Ex. 2.21

λ/

^"l<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< För flera exempel på strukna tecken, se avsnitt 9.1 och 9.2.

/R

3 SIFFROR 25

3 Siffror

3.1 Arabiska siffror

Betydelsen av siffertecknet # upphävs av blanktecken eller andra punktskriftstecken med undantag för komma och punkt.

Ex. 3.1

1 2 3 4 35 148

#1<<#2<<#3<<#4<<#35<<#148<<<<

3.1.1 Blanktecken i sifferföljder

Blanktecken i sifferföljder, för till exempel tusental, återges med blanktecken på samma sätt som i svartskriften. Detta innebär att man upprepar siffertecknet efter varje blanktecken. Notera att man i svartskrift och i punktskrift kan skilja siffror i en uppräk-ning från en talföljd med extra mellanrum (extra blanktecken).

Ex. 3.2

18 305 116 är ungefär 18 miljoner.

#18<#305<#116<är<ungefär<#18< miljoner.<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 18 305 116 är en uppräkning av tre tal.

#18<<#305<<#116<är<en<uppräk-ning<av<tre<tal.<<<<<<<<<<<<<

3.1.2 Komma och punkt i sifferföljder

Komma och punkt i sifferföljder återges på samma sätt som i svartskrift. Siffertecknet upprepas inte efter komma eller punkt. I engelskspråkig litteratur kan decimalpunkten stå först.

3 SIFFROR 26

Ex. 3.3

5,37

#5,37<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 3.4

3.1415926535...

#3.1415926535...<<<<<<<<<<<<<

Ex. 3.5

2, 4, 8, 16, ...

#2,<#4,<#8,<#16,<...<<<<<<<<<

Ex. 3.6

Semikolon används här för att tydligt skilja x- och y-värdet. (0,4; 2)

(#0,4;#2)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 3.7

−.5 = −0.5

-.#5<=<-#0.5<<<<<<<<<<<<<<<<<

3.2 Romerska siffror

Romerska siffror behandlas som motsvarande bokstäver. Detta gäller både gemener och versaler.

Ex. 3.8

I II

_I<__II<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

3 SIFFROR 27

Ex. 3.9

1989 = MDCCCCLXXXVIIII = MCMLXXXIX

#1989<=<__MDCCCCLXXXVIIII<=<< <<=<__MCMLXXXIX<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 3.10

Förordet omfattar sidorna i–xii.

_Förordet<omfattar<sidorna<<< i--xii.<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

4 STORHETER OCH ENHETER 28

4 Storheter och enheter

4.1 Några särskilda enhetstecken

Några enheter m.m. skrivs i svartskrift med särskilda enhets-tecken (inte bokstäver) och har därför också särskild represen-tation i punktskrift:

° ïg gradtecken

′ ' minut, fot

″ " sekund, tum

% ô procent

‰ ôô promille

Ex. 4.1

0°C = +32°F = 273,15K

#0ïg_C<=<$#32ïg_F<=<#273,15_K

Ex. 4.2

29° 15′

#29ïg<#15'<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 4.3

6 % av 7,50 kr = 45 öre

#6<ô<av<#7,50<kr<=<#45<öre<<<

4.2 Övriga enheter

Snedstreck i enhet skrivs med /.

I mätetal används vanligtvis blanktecken mellan storheten och enheten på samma sätt som i svartskrift.

I enheter med exponent används § omedelbart före expo-nenten. Se även avsnitt 7.1.

4 STORHETER OCH ENHETER 29

Ex. 4.4

1 l = 10 dl = 100 cl = 1000 ml

#1<l<=<#10<dl<=<#100<cl<=<<<< <<=<#1000<ml<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 4.5

4,5 m/s = 4,5 · 3600/1000 km/h = 16,2 km/h

#4,5<m/s<=<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<=<#4,5ï.#3600/#1000<km/h<=< <<=<#16,2<km/h<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 4.6

3,9 MW = 3,9 · 106 W

#3,9<__MW<=<#3,9<ï.<#10§#6<_W

Ex. 4.7

6 m

#6<m<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 4.8

50 dB

#50<d_B<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 4.9

8 m²

#8<m§#2<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 4.10

13 kg/dm³

#13<kg/dm§#3<<<<<<<<<<<<<<<<<

5 ARITMETISKA OPERATORER 30

5 Aritmetiska operatorer

Aritmetiska operatorer ska skrivas som i svartskrift, det vill säga antingen med eller utan blanktecken på ömse sidor. Beträffande radbrytning se avsnitt 1.5.

+ $ plustecken, additionstecken

− - minustecken

± @$- plusminustecken

∓ @-$ minusplustecken

· ï. multiplikationstecken (punkt)

i @ï. multiplikationstecken (punkt i fetstil)

× ïx multiplikationstecken (kryss)

* * multiplikationstecken (asterisk)

ü divisionstecken (horisontellt bråkstreck)

/ / divisionstecken (snett bråkstreck)

: : skaltecken (kolon, relationstecken)

∘ ~(fkom~) funktionskomposition

Ex. 5.1

5 12+

#5<$<#12<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 5.2

9,99 0,001+

#9,99$#0,001<<<<<<<<<<<<<<<<<


Ex. 5.3

1 2 1 2+

#1/#2<$<#1/#2<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 5.4

5y x= +

y<=<#5<$<x<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 5.5

613 221−

#613<-<#221<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 5.6

10,1 3,05−

#10,1-#3,05<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 5.7

1 33 1

4 4−

#3#1ü#4<-<#1#3ü#4<<<<<<<<<<<<

Ex. 5.8

0,5 3,4 6 7,5 0,02+ + − −

#0,5<$<#3,4<$<#6<-<#7,5<-<<<< <<-<#0,02<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 5.9

2α π±

"a@$-#2"p<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<


Ex. 5.10

15 · 13

#15<ï.<#13<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 5.11

4.5 1.4⋅

#4.5ï.#1.4<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 5.12

2ab · 2ab · 2ab

#2ûab<ï.<#2ûab<ï.<#2ûab<<<<<<

Ex. 5.13

=i ir n s n

@r<@ï.<@n<=<@s<@ï.<@n<<<<<<<<

Ex. 5.14

LET C=A*B

__LET<_C=_A*_B<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 5.15

24 × 36

#24<ïx<#36<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 5.16

231

7

#231ü#7<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<


Ex. 5.17

0,64

0,08

#0,64ü#0,08<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 5.18

0,2 / 0,004

#0,2/#0,004<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 5.19

Ritningen var i skala 1:100.

_Ritningen<var<i<skala<<<<<<< #1:#100.<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 5.20

Förhållandet mellan triangelns sidor är 2:3:4.

_Förhållandet<mellan<tri-<<<< angelns<sidor<är<#2:#3:#4.<<<

6 BRÅK 34

6 Bråk

6.1 Tal och variabler i bråkform

/ / snett bråkstreck

ü horisontellt bråkstreck

é( bråkbörjan (del av bråksammanhållare)

é) bråkslut (del av bråksammanhållare) Bråksammanhållare, bråkbörjan é( respektive bråkslut é), ska skrivas för att synliggöra början och slut av ett bråk. Bråksammanhållare behövs för att översätta det tvådimensionella skrivsättet i bråkuppställningar till punktskriftens linjära skrivsätt och används när täljaren och/eller nämnaren innehåller mer än ett tal, variabel eller konstant. Detta gäller även bråk i samband med grundläggande funktioner, av typen ln, lg, tan, sin och cos, samt summa ∑ och produkt ∏ (se exempel 6.7 och 6.8).

Ex. 6.1

92

x =

xü#2<=<#9<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 6.2

5 5 1=

#5/#5<=<#1<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Kommentar till ovanstående båda exempel:

Notera att blanktecknen enbart finns där för att öka läsbarheten.

6 BRÅK 35

Ex. 6.3

3 1 9 4 13

4 3 12 12 12+ = + =

#3ü#4<$<#1ü#3<=<<<<<<<<<<<<<< <<=<#9ü#12<$<#4ü#12<=<#13ü#12

Ex. 6.4

( 1)

( 1)

x

x

+−

(x$#1)ü(x-#1)<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 6.5

1

1

x

x

+−

é(x$#1üx-#1é)<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 6.6

22

a a

b b=

#2é(aübé)<=<é(#2ûaübé)<<<<<<< Kommentar till exemplet:

Bråksammanhållare används både i vänster- och högerleden för att tydligare visa de båda bråkens utseenden.

Ex. 6.7

lg0,1lg

10

xx=

é(lg<xü#ajé)<=<#j,a<lg<x<<<<<

Ex. 6.8

lg lg 110

xx= −

lgé(xü#10é)<=<lg<x<-<#1<<<<<<

6 BRÅK 36

6.2 Bråk i blandad form

I bråk i blandad form behöver inte heltal åtskiljas med blanktecken utan bråkdelarna kan skrivas omedelbart efter heltalet. Siffertecknet upprepas i både täljare och nämnare.

Ex. 6.9

1 3 5 3 2 13 1 2 1 1 1

4 4 4 4 4 2− = − = =

#3#1ü#4<-<#1#3ü#4<=<<<<<<<<<< <<=<#2#5ü#4<-<#1#3ü#4<=<<<<<< <<=<#1#2ü#4<=<#1#1ü#2<<<<<<<<

Ex. 6.10

3 1/4 − 1 3/4 = 2 5/4 − 1 3/4 = 1 2/4 = 1 1/2 I svartskrift är det inte ett rekommenderat skrivsätt att använda snedstreck i bråk skrivet i blandad form (heltal och delar). När det ändå förekommer skriver man i punktskrift blanktecken på samma sätt som svartskrift:

#3<#1/#4<-<#1<#3/#4<=<<<<<<<< <<=<#2<#5/#4<-<#1<#3/#4<=<<<< <<=<#1<#2/#4<=<#1<#1/#2<<<<<<

6.3 Komplicerade bråk

I svartskrift är det enkelt att se vad som hör till täljare respektive nämnare, till exempel genom placeringen av ett likhetstecken mitt för ett huvudbråkstreck. Vad som hör till täljare respektive nämnare i punktskriften är inte lika lätt att uppfatta, eftersom den skrivs linjärt, och måste i många fall markeras med bråk-sammanhållare. Då täljaren och/eller nämnaren innehåller mer än ett tal, variabel eller konstant måste bråket omges av bråksammanhållare. Bråk-sammanhållare kan även behövas i bråk med huvudbråkstreck, se avsnitt 6.4. En bråkuppställning med enbart text behandlas på samma sätt som komplicerade bråk. (Se exempel 6.14.)

6 BRÅK 37

Ex. 6.11

13 7

2

⋅

é(#13<ï.<#7ü#2é)<<<<<<<<<<<<<

Ex. 6.12

55 ( 18) 2 ( 63)

( 3) ( 7)

+ − ⋅ − −− − −

é(#55$(-#18)<ï.<#2-(-#63)<ü<< <<ü<(-#3)-(-#7)é)<<<<<<<<<<<<

Ex. 6.13

( 1) ... ( 1)

!

n n n k

k

− − +

é(n(n-#1)<...<(n-k$#1)ük!é)<<

Ex. 6.14

( )

Number of outcomes in AP A

Total number of outcomes=

_P(_A)<=<é(_Number<of<out-<<< <<comes<in<_A<ü<_Total<number <<of<outcomesé)<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 6.15

10

21

2 ... n

n

ab

ab

ab

b

++

+ +

bê#0<$<é(aê#1übê#1<$<é(aê#2ü< <<übê#2<$<...<$<aênübêné)é)<<

6 BRÅK 38

6.4 Bråk med huvudbråkstreck

Då ett bråk består av bråk i täljare och/eller nämnare kan det vara nödvändigt att särskilt ange vilket av bråkstrecken som är huvudbråkstreck. Detta återges av dubbeltecknade raka eller sneda bråkstreck. I svartskrift är huvudbråkstrecket ofta längre än övriga bråkstreck eller anges genom att ett likhetstecken står mitt för det.

üü horisontellt huvudbråkstreck

/ // snett huvudbråkstreck

Ex. 6.16

−+= −+

7 65 87 68 5

x yx y

zx yy x

z<=<é(#7x-#6yü#5x$#8yé)<üü<<< <<üü<é(#7x-#6yü#8y$#5xé)<<<<<

Ex. 6.17

−++= −

+

7 61

5 87 68 5

x yx y

zx yy x

z=é(#1$é(#7x-#6yü#5x$#8yé)<üü <<üü<é(#7x-#6yü#8y$#5xé)é)<<<

Ex. 6.18

+ + = 16 2 3

x y x yx x

é(x$yü#6xé)//é(x$yü#2xé)<=<<< <<=<#1ü#3<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

6 BRÅK 39

Ex. 6.19

99 6 1,596 , 3 och betecknar talet

63 3 3

é(#9ü#6üü#3é),<é(#9ü#6//#3é)< och<é(#9/#6üü#3é)<betecknar<< talet<#1,5ü#3<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 6.20

α β

α β

++ = −−

tan2

tan2

a b

a b

é(a$büa-bé)<=<<<<<<<<<<<<<<<< <<=<é(tané("a$"bü#2é)<üü<<<<< <<üü<tané("a-"bü#2é)é)<<<<<<<

6.5 Bråkliknande uppställningar

~ü osynligt bråkstreck I matematiken förekommer skrivsätt där symboler står ovanför varandra liknande bråkuppställningar, fast utan bråkstreck. I punktskriften används då ett så kallat osynligt bråkstreck ~ü (se exempel 6.21 nedan och exempel 10.74).

Ex. 6.21

( )!

! !

= −

n n

k n k k

(n~ük)<=<é(n!ü(n-k)!k!é)<<<<<

7 EXPONENTER, RÖTTER OCH INDEX 40

7 Exponenter, rötter och index

7.1 Övre och nedre index

För att visa att ett huvudtecken har ett övre index används §. För att visa att ett huvudtecken har ett nedre index används ê. Nedre index skrivs före övre index. Index till vänster om huvud-tecknet skrivs före och index till höger om huvudtecknet skrivs efter detta. Se exempel 7.11–7.13. Centrerade index skrivs efter huvudtecken och före eventuella högerställda index. Notera att detta skiljer sig från hur diakriter skrivs. För bokstäver med diakritiska tecken, se Svenska skrivregler för punktskrift, avsnitt 4.1. Normalt anger man inte i punktskrift att index är högerställda eller centrerade, men ibland behöver man ändå markera att vissa index skrivs rakt ovanför/nedanför huvudtecken. Ett sådant exempel är när både centrerade och högerställda index före-kommer i samma sammanhang. I dessa fall ska följande index-förtecken användas (se även exempel 12.11 och exempel 12.16):

êê rakt nedanför (centrerat nedre index)

§§ rakt ovanför (centrerat övre index) Ett index inleds av ett indexförtecken och slutar efter närmast följande tal, konstant, variabel eller symbol. För alla övriga (längre) index inleder man med varningstecknet ~ före index-förtecknet och avslutar indexet med û. För att undvika förväxling då ett huvudtecken med ett högerställt index följs av ett huvudtecken med ett vänsterställt index an-vänds blanktecken alternativt û som avskiljningstecken för att skilja dem åt och underlätta tolkningen. Se exempel 7.31. Om ett index är rakt ovanför eller rakt nedanför flera huvud-tecken måste varningstecken skrivas före och avslutningstecken efter huvudtecknen (se exempel 7.21–7.23).


Här följer några konstruktioner som använder ovanstående regler:

§§- streck (rakt ovanför huvudtecken)

~ §§: tilde (rakt ovanför huvudtecken)

^ §§! toppvärde (tak) (rakt ovanför huvudtecken)

_ êê- streck (rakt nedanför huvudtecken)

ˇ êê= bottenvärde (bock) (rakt nedanför huvudtecken)

êê= dubbla streck (rakt nedanför huvudtecken)

§§:o vektorpil

§§- vektor Exempel 7.24 nedan ger en översikt av tillämpningarna av reg-lerna för skrivning av index.

Ex. 7.1 5 3 15(2 ) 2=

(#2§#5)§#3<=<#2§#15<<<<<<<<<<

Ex. 7.2 2 3 2x y x y⋅

x§#2y<ï.<x§#3y§#2<<<<<<<<<<<<

Ex. 7.3 (2 1)mf −

f§(#2m-#1)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 7.4 1210−

#10§-#12<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<


Ex. 7.5

( )n i n n inz re r eθ θ= =

z§n<=<(re~§i"hû)§n<=<<<<<<<<< <<=<r§ne~§in"hû<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 7.6

( 2 ) ln 22

n ie

π− + π +

e~§-("pü#2$#2n"p)<$<iln#2û<<<

Ex. 7.7 122

n−

#2§#2~§n-#1û<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 7.8

log log loga a ax y xy+ =

§alog<x<$<§alog<y<=<§alog<xy<

Ex. 7.9 2 2 2-x /4 /4 /4e a y b z c− −

e~§-x§#2/#4ûa-y§#2/#4ûb-<<<<< <<-z§#2/#4ûcû<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 7.10

1 2 1, , ..., mx x x −

xê#1,<xê#2,<...,<x~êm-#1û<<<<

Ex. 7.11 23892U

ê#92§#238_U<<<<<<<<<<<<<<<<<<


Ex. 7.12 24SO −

__SOê#4~§#2-û<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 7.13 1 +1 1H

ê#1§#1_Hê#1§$<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 7.14

lim lim | | 0→∞ →∞

→∞

⇔ − =n m nn mn

a existerar a a

lim~êên:o#éû<aên<existerar<<< <<ö=o<lim~êêm:o#éû<ïï<<<<<<<< <<~êên:o#éû<|aêm-aên|<=<#0<<<

Ex. 7.15 −ba

a§-b<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 7.16

ab

ab§§-<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 7.17

=ɶy y

y§§:<=<y<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 7.18

v = v

vêê=<=<vêê-<<<<<<<<<<<<<<<<<<


Ex. 7.19 2ˆ s=2σ

"s§§!§#2<=<s§#2<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 7.20

2 =ωK

M

~"w§§-û§#2<=<_Kü_M<<<<<<<<<<<

Ex. 7.21

* *b a a b=

b*a=~a*bû§§-<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 7.22 AB

~__ABû§§:o<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 7.23

ˆ ˆ+ = +x y x y

~x$yû§§!<=<x§§!$y§§!<<<<<<<<<

Ex. 7.24

Detta exempel har konstruerats endast för att visa på ordningen mellan olika index, exemplet betyder alltså inte något i sig. Huvudtecknet är en bokstav x med tecknen för bottenvärde och toppvärde under respektive ovanför, samt fyra index, två stycken före och två efter, nedre respektive övre index.

ˇ

2

1

b

ax^

ê#1§#2xêê=§§+êa§b<<<<<<<<<<<<


Indexen skrivs i följande ordning:

Nedre vänsterställt index (1).

Övre vänsterställt index (2).

Huvudtecknet x. Centrerat index under huvudtecknet ( ˇ ).

Centrerat index över huvudtecknet (^).

Nedre högerställt index (a).

Övre högerställt index (b).

7.2 Rotuttryck

î rottecken, kvadratrot

Rottecknet skrivs omedelbart före det uttryck som roten om-fattar. Punktskriftens rottecken gäller endast närmast följande tal, konstant eller variabel (eller det av parentes eller absolutbelopp sammanhållna uttrycket).

För övriga längre rotuttryck inleder man med varningstecknet ~ före rotuttrycket och avslutar med û. Då rottecknet har ett övre index, exempelvis en trea för kubik-rot, skrivs indexet före rottecknet. Se även avsnitt 7.1 och exempel 7.31 och 7.32.

Ex. 7.25

25 5=

î#25<=<#5<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 7.26

1,5

î#1,5<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 7.27

5 nc

î|#5ûcên|<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<


Kommentar till exemplet:

Notera att û används som avskiljningstecken för att skilja siffran 5 från bokstaven c (se även exempel 1.1).

Ex. 7.28

2 2 =

a a

~î1ü#2û=î(1ü#2)<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 7.29

50 22 5

4 5

ar

+=

r<=<aü#4îé(#50$#22î#5<ü<#5é)< Kommentar till exemplet:

Notera att blanktecknen enbart finns här för att öka läsbarheten.

Ex. 7.30

2

1a

as bc c

b

= − +

sêa<=<~îbcà#1<-<(aüb$c)§#2ùû<

Ex. 7.31 3 27 3=

§#3î#27<=<#3<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 7.32

mn m nn ma a a +=

§nîaû§mîa<=<~§mnûîa~§m$nû<<<< Kommentar till exemplet:

Notera att û används som avskiljningstecken för att inte m ska tolkas som ett övre index till a i det första rotuttrycket.

8 PARENTESER, STRECK OCH PILAR 47

8 Parenteser, streck och pilar

8.1 Parenteser

( ( vänster rundparentes

) ) höger rundparentes

[ à vänster hakparentes

] ù höger hakparentes

_à vänster klammerparentes, vänster spetsparentes

_ù höger klammerparentes, höger spetsparentes

⟨ _( vänster vinkelparentes

⟩ _) höger vinkelparentes

~( vänster hjälpparentes

~) höger hjälpparentes

Ex. 8.1

( , ) ( , )a b c d=

(a,b)<=<(c,d)<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 8.2

( ( (0)))s s s

s(s(s(#0)))<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 8.3 3 2

3 2

p qD

= +

_D<=<(pü#3)§#3<$<(qü#2)§#2<<<


Ex. 8.4

0, 1=S

_S<=<_à#0,<#1_ù<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 8.5

[(4 4) - (4 3)] [4 4 - 4 - 3] 1x x x x+ + = + =

à(#4x$#4)<-<(#4x$#3)ù<=<<<<<< <<=<à#4x$#4-#4x-#3ù<=<<<<<<<< <<=<#1<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 8.6

a a=

_(a_)<=<a§-<<<<<<<<<<<<<<<<<<

8.2 Parenteser över flera rader

Parenteser som omfattar flera rader i svartskrift (enkelsidiga och dubbelsidiga) består i punktskrift av ett parentestecken i början och avslutas alltid med û. Exempelvis inleds ensidig vänsterklammer, som används i ekva-tionssystem, med ï_à och avslutas med û. Ensidig höger-klammer inleds med ï_ù och avslutas med û. Notera att dubbelsidiga parenteser i punktskrift inleds med båda parentestecknen och avslutas med û (trots att högerparentesen i svartskrift avslutar uttrycket och står till höger).

( ï( û

ensidig vänster rundparentes över flera rader

) ï) û

ensidig höger rundparentes över flera rader


( ) ï(ï) û

dubbelsidig rundparentes över flera rader

[ ïà û

ensidig vänster hakparentes över flera rader

] ïù û

ensidig höger hakparentes över flera rader

[ ] ïàïù û

dubbelsidig hakparentes över flera rader

ï_à û

ensidig vänsterklammer (ensidig vänster spetsparentes) över flera rader

ï_ù û

ensidig högerklammer (ensidig höger spetsparentes) över flera rader

ï_àï_ù û

dubbelsidig klammerparentes (dubbel-sidig spetsparentes) över flera rader

⟨ ï_( û

ensidig vänster vinkelparentes över flera rader

⟩ ï_) û

ensidig höger vinkelparentes över flera rader

⟨ ⟩ ï_(ï_) û

dubbelsidig vinkelparentes över flera rader


För samtliga ovanstående tecken gäller att de ska skrivas en-samma på en rad, det samma gäller det tillhörande avslutnings-tecknet. De rader som omfattas av en parentes över flera rader ska skrivas med två teckens indrag jämfört med raden med parentesen.

Ex. 8.7

3 (1)

2 3 8 (2)

+ = + =

x y

x y

ï_à<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< (#1)<x<$<y<=<#3<<<<<<<<<<<<<< (#2)<#2x<$<#3y<=<#8<<<<<<<<<< û<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Varje ny ekvation i ett ekvationssystem ska skrivas på ny rad. När en ekvation inte ryms på en rad i punktskrift byter man rad enligt reglerna för radbrytning. Se exempel 10.5. Några skillnader mellan lösning av ekvationssystem med svart-skrift och med punktskrift:

• I punktskrift skrivs ekvationernas nummer före respektive ekvation, i svartskrift skrivs de vanligtvis efter.

• Ekvationerna i punktskrift skrivs i vänsterkant på ny rad, medan övriga uträkningar och mellanled skrivs med två blankteckens indrag.

• Före varje ekvationssystem skrivs ï_à på en egen rad. Punktskriftstecknet betyder ”vänster klammerparentes över flera rader”.

• Efter varje ekvationssystem skrivs avslutningstecknet û på en egen rad. Det anger här att omfattningen av vänster klammerparentes, det vill säga ekvationssystemet, avslutas.

Ex. 8.8

0 0

10

W F s

F N W Nm

s m

= ⋅ = ==


Notera att här används en uppställning som liknar ett ekvations-system fast med högerklammer över flera rader.


ï_ù<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< _W<=<_F<ï.<s<<<<<<<<<<<<<<<<< _f<=<#0<_N<<<<<<<<<<<<<<<<<<< s<=<#10<m<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< û<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< _W<=<#0<_Nm<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 8.9

1 0

10 1

2 1

A

=

_A=<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< ï(ï)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<#1<<<#0<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<#10<<#1<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<#2<<<#1<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< û<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

8.3 Streck

/ / snedstreck

| | lodstreck, delare, mängdbyggare, ”sådana att”, vänster och höger absolutbelopp, determinant

|| ï|ï| û

dubbelsidigt lodstreck över flera rader

|/ ^| ej delare till

|| || dubbelt lodstreck; norm


\ ~/ omvänt snedstreck, backstreck, backslash, differens (vid mängder)

– ':, enkelstreck (enkelbindning)

"=; dubbelstreck (dubbelbindning)

≡ |él trippelstreck (trippelbindning)

Punktskriftstecknen för dubbelsidigt lodstreck över flera rader skrivs på egen rad i början av uttrycket. Detta avslutas alltid med û, likaså på egen rad. Se ex. 8.12 nedan. För jämförelse med parenteser över flera rader, som skrivs enligt samma principer, se avsnitt 8.2. För enkelstreck, dubbelstreck och trippelstreck, se även avsnitt 12.2.

Ex. 8.10

A är jämtx x= ∈ N

_A<=<_àx<ï_t<@_N<|<x<är<<<<<< <<jämnt_ù<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 8.11

A\B

_A~/_B<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 8.12

11 1

1

n

m mn

a a

A

a a

…= …

…


Dubbelsidigt lodstreck över flera rader skrivs enligt samma principer som parenteser över flera rader, se avsnitt 8.2.


_A<=<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< ï|ï|<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<aê#11<<<...<a~ê#1nû<<<<<<<< <<<<<<<<<<...<<<<<<<<<<<<<<<< <<a~êm#1û<...<a~êmnû<<<<<<<<< û<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 8.13

5 2 25 4 29i+ = + =

|#5<$<#2ûi|<=<~î#25<$<#4û<=<< <<=<î#29<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 8.14

x y


Multiplikation av två absolutbelopp ska i punktskrift skrivas med mellanrum så att de båda enkla lodstrecken inte misstolkas som ett dubbelt lodstreck, alternativt med multiplikationstecken emellan.

|x|<|y|<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 8.15

x y x y− ≥ −

|x-y|<#o=<|<|x|-|y|<|<<<<<<<<

Ex. 8.16

0.495y y

y

−=

ɶ

||y§§:<-<y||<ü<||y||<=<#0.495


8.4 Vanliga pilar

Före och efter följande tecken ska blanktecken användas.

→ :o enkel högerriktad pil

← ö: enkel vänsterriktad pil

↔ ö:o enkel dubbelriktad pil

:oö: enkel högerriktad pil ovanför enkel vänsterriktad pil

ö::o enkel vänsterriktad pil ovanför enkel högerriktad pil

⇒ =o dubbel högerriktad pil (implicerar, medför)

⇐ ö= dubbel vänsterriktad pil (nödvändig för)

⇔ ö=o dubbel dubbelriktad pil (ekvivalent med)

֏ |:o högerpil med tvärstreck (”funktionspil”)

Ex. 8.17

A + B → AB

_A<$<_B<:o<_A_B<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 8.18

1 mol NaCl ↔ 1 mol Cl

#1<mol<_Na_Cl<ö:o<#1<mol<_Cl<


Ex. 8.19 2- - -3 2 3CO + H O HCO + OH

__Coê#3~§#2-û<$<_Hê#2_O<:oö:< <<__HCOê#3§-<$<__OH§-<<<<<<<< Kommentar till exemplet:

Här är det för läsbarhetens skull lämpligt att omge plustecknen med blanktecken, de kemiska beteckningarna framträder bättre.

Ex. 8.20 22 4x x= ⇒ =

x<=<#2<=o<x§#2<=<#4<<<<<<<<<<

Ex. 8.21

0C κ⇔ ≡

_C<ö=o<"k<==<#0<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 8.22 2x x x+֏

x<|:o<x§#2<$<x<<<<<<<<<<<<<<<

8.5 Övriga pilar

Följande pilar återges (inom hjälpparentes) med förkortningar av teckennamnen. Versalt p i pil betyder här att pilen är dubbel.

ր ~(nopil~) nordostpil (pekar mot nordost)

տ ~(nvpil~) nordvästpil (pekar mot nordväst)

ւ ~(svpil~) sydvästpil (pekar mot sydväst)

ց ~(sopil~) sydostpil (pekar mot sydost)


↑ ~(upil~) pil uppåt

↓ ~(npil~) pil nedåt

~(vharpun~) vänsterriktad harpun

~(hharpun~) högerriktad harpun

~(vhharpun~) vänsterriktad harpun ovanför högerriktad harpun

~(hvharpun~) högerriktad harpun ovanför vänsterriktad harpun

~(avbildas< på~)

enkel böjd högerriktad pil (avbildas på)

Alternativ kortform:

~(avb~)

⇑ ~(u_pil~) dubbel uppåtriktad pil

⇓ ~(n_pil~) dubbel nedåtriktad pil

Ex. 8.23

P Q Q P↑ ⇔ ↑

_P<~(upil~)<_Q<ö=o<_Q<<<<<<<< <<~(upil~)<_P<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 8.24 - -

2A + H O HA + OH

_A§-<$<_Hê#2_O<~(hvharpun~)<< <<__HA<$<__OH§-<<<<<<<<<<<<<<

9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN 57

9 Övriga operatorer och tecken

9.1 Jämförelseoperatorer

De här listade operatorerna inkluderar långtifrån alla de tecken som förekommer i svartskrift, det finns därför behov av att kunna konstruera egna tecken. Se avsnitt 1.4 för hur man hanterar tecken och symboler som inte har någon representation i punkt-skrift. Det är ofta lämpligt att omge jämförelseoperatorerna med blank-tecken för att göra punktskriften tydligare. Det är dessutom ibland nödvändigt, se avsnitt ”Blanktecken i matematisk punktskrift” i bokens inledning.

= = lika med (likhetstecken)

≠ ^= ej lika med, skild från

¬ :$ negationen av

≡ == identisk med

≡/ ^== ej identisk med

∼ (eller)∝ ~: proportionell mot, likformig med

/∼ ^~: ej likformig med

≃ ~:- likformig eller lika med

/≃ ^~:- ej likformig eller lika med

≅ ~:= kongruent med

≅/ ^~:= ej kongruent med

≈ ~:: ungefär lika med

> #o större än (större än-tecken)

>/ ^#o ej större än

≥ #o= större än eller lika med

≥/ ^#o= ej större än eller lika med


≫ #oo mycket större än

< #ö mindre än (mindre än-tecken)

</ ^#ö ej mindre än

≤ #ö= mindre än eller lika med

≤/ ^#ö= ej mindre än eller lika med

≪ #öö mycket mindre än

≷ #oö större eller mindre än

≶ #öo mindre eller större än

|| parallell med

^|| ej parallell med

Ex. 9.1

3 4 7+ =

#3<$<#4<=<#7<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 9.2

5 3 8 15 8 23⋅ + = + =

#5<ï.<#3<$<#8<=<#15<$<#8<=<<< <<=<#23<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 9.3

5 3 23≠⋅

#5<ï.<#3<^=<#23<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 9.4

P P¬ ¬ ⇔

:$<:$<_P<ö=o<_P<<<<<<<<<<<<<<


Ex. 9.5

P Q∼

_P<~:<_Q<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 9.6

0

ε εa a

a a≈

"eêaüa<~::<"eêaüaê#0<<<<<<<<<

Ex. 9.7

3π >

"p#o#3<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 9.8

a b≥

a#o=b<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 9.9

x y≥/

x<^#o=<y<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 9.10

0 5b< ≤

#0<#ö<b<#ö=<#5<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 9.11

CT T≪

_T<#öö<_Tê_c<<<<<<<<<<<<<<<<<


Ex. 9.12

a o b> ≫

a<#o<o<#oo<b<<<<<<<<<<<<<<<<< Alternativ skrivning i punktskrift: avskiljningstecken i stället för blanktecken.

a#oûo#oob<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Kommentar till exemplet:

Blanktecken eller avskiljningstecknet û ska användas de gånger bokstaven o eller ö kombineras med vissa jämförelseoperatorer. Detta för att undvika sammanblandning med tecknen för mycket större än respektive mycket mindre än. Se även avsnitt 1.3.1.

9.2 Mängdlära och logik

Se även avsnitt 10.4. Det är ofta lämpligt att omge följande tecken med blanktecken – det är inte nödvändigt men gör punktskriften tydligare.

∅ ô tomma mängden

∈ ï_t tillhör

∉ ^ï_t tillhör inte

∋ ïi innehåller

∋ ^ïi innehåller inte

⊆ ï_ö= innehålls i

⊆/ ^ï_ö= innehålls inte i

⊂ ï_ö innehålls strängt i

⊃ ï_o innehåller (som äkta delmängd)

⊇ ï_o= innehåller (som delmängd)

⊇/ ^ï_o= innehåller inte (som delmängd)


\ ~/ differens (även backstreck, omvänt snedstreck, backslash)

∪ ïu union

∩ ïs snitt

∧ ïo och

∨ ïe eller

⊻ ~(xor~) XOR-tecken

∨ ~(nor~) NOR-tecken

⊼ ~(nand~) NAND-tecken

⊢ ïa assertion

⊣ ^ïa spegelvänd assertion

∞ #é oändligheten

∀ ï_a allkvantor

∁ ï_k komplement

∃ ï_e existenskvantor

⇒ =o implicerar, medför (dubbel högerriktad pil)

⇐ ö= nödvändig för (dubbel vänsterriktad pil)

⇔ ö=o ekvivalent med (dubbel dubbelriktad pil)

⊖ ï-c cirkel med minus

⊕ ï$c cirkel med plus

Ex. 9.13

→∵

P Q

Q

é(_P<:o<_Q<ü<~(aå~)<_Qé)<<<<<


Ex. 9.14

∀∵

( ) ( )( )

x P x

P a

é((ï_ax)_P(x)<ü<<<<<<<<<<<<<< <<ü<~(aå~)<_P(a)é)<<<<<<<<<<<

Ex. 9.15

∃( ) ( )x P x

(ï_ex)_P(x)<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 9.16

∈a A

a<ï_t<_A<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 9.17

∩ ∪ = ∩ ∪ ∩( ) ( ) ( )A B C A B A C

_A<ïs<(_B<ïu<_C)<=<<<<<<<<<<< <<=<(_A<ïs<_B)<ïu<(_A<ïs<_C)<

Ex. 9.18

⊂A B

_A<ï_ö<_B<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 9.19

⊆ ⇒ ⊇B A A B

_B<ï_ö=<_A<=o<_A<ï_o=<_B<<<<<

Ex. 9.20

∅ ⊂ B

ô<ï_ö<_B<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<


Ex. 9.21

− ∞ ∞] , [ (obegränsat intervall)

ù-#é,<#éà<(obegränsat<inter-< vall)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 9.22

\=∁A G A

ï_k_A<=<_G~/_A<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 9.23

( )A B A B B= ⊕i ⊖

_A<@ï.<_B<=<(_A<ï$c<_B)<<<<<< <<ï-c<_B<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

9.3 Geometriska tecken

I representationen i punktskrift av alla geometriska tecken används förtecknet ï följt av en bokstav. Se även avsnitt 10.5.

⊥ ïn normal mot, vinkelrät mot

∅ ïd diameter

ïc cirkel

ït triangel

∧ ïv vinkel

ïk kvadrat

ïr rektangel

Ex. 9.24

∆ ∼ ∆DAE CAB

ït<__DAE<~:<ït<__CAB<<<<<<<<<


Ex. 9.25

⊥AB CD

__AB<ïn<__CD<<<<<<<<<<<<<<<<<

9.4 Analys (derivator och integraler)

Se även avsnitt 10.2.3 och 10.2.4.

′ ' prim (även fot, minut)

″ ''

biss (notera att tum och sekund har ett likartat utseende i svartskrift, men skrivs annorlunda i punktskrift)

′′′ ''' triss, trippelprim

˙ §. tidsderivata (punkt ovanför bokstav)

¨ §; tidsderivata (dubbelpunkt ovanför bokstav, trema ovanför bokstav)

… §;. tidsderivata (trippelpunkt ovanför bokstav)

ï"_d Laplace delta

∂ ï"d partiell derivata

∇ ï_n nabla (gradient)

∫ è integral

∫∫ èè dubbelintegral

∫∫∫ èèè trippelintegral

∫ ïè cirkelintegral, konturintegral

Det nedre av en integrals gränsvärden ska skrivas före det övre (i likhet med hur index skrivs).


Ex. 9.26

( )d

r rd x

′′ ′′′=

düd(x)<r''<=<r'''<<<<<<<<<<<<

Ex. 9.27

= =ɺ ɺɺa v r

a<=<§.v<=<§;r<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 9.28

−=−ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ

r vtn

r vt

n<=<é(§;r<-<§.vt<ü<<<<<<<<<<< <<ü<|§;r<-<§.vt|é)<<<<<<<<<<<

Ex. 9.29

( )fg f g g f∇ = ∇ + ∇

ï_n(fg)=fï_ng<$<gï_nf<<<<<<<<

Ex. 9.30

∫ ( )b

a

f x dx

èêa§b<f(x)<dx<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 9.31

=∫ ( ) 0C

f z dz

ïèê_C<f(z)dz<=<#0<<<<<<<<<<<<


Ex. 9.32

π⋅ =∫∫ 3dS

r S

èèê@_S<@r<ï.<d@_S<=<#3"p<<<<<

9.5 Övriga tecken

∑ "_s summatecken

∏ "_p produkttecken

! ! fakultetstecken

⊨ ïm modulo

ℵ ï~a alef

ï~b bet ב

ï~d dalet ד

ï~g gimel ג

⊙ ï.c cirkel med punkt

⊗ ïxc cirkel med kryss

Ex. 9.33

=∑

1

n

ii

x

"_s~êi=#1û§n<xêi<<<<<<<<<<<<<

Ex. 9.34

=

=∏ 1 21

...n

nkk

x x x x

"_p~êk=#1û§n<xêk<=<xê#1xê#2<< <<...<xên<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<


Ex. 9.35

→∞=

+ =∏1

lim (1 )n

knk

a p

lim~ên<:o<#éû<"_p~êk=#1û§n<<< <<(#1<$<aêk)<=<p<<<<<<<<<<<<<

Ex. 9.36

= − ⋅! ( 1)...2 1n n n

n!<=<n(n-#1)<...<#2<ï.<#1<<<<

Ex. 9.37

1 2

!! !... !r

n

k k k

é(n!ükê#1!<kê#2!<...<kêr!é)<<

Ex. 9.38

P F Q F⇔⊨ ⊨

_P<ïm<_F<ö=o<_Q<ïm<_F<<<<<<<<

9.6 Tecken i datorsammanhang

Se även kapitel 13. Några tecken som förekommer i datorsammanhang:

” " citattecken (varianter på citattecken, t.ex. raka citattecken, har samma utseende i punktskrift)

~ ~: fristående tilde (äv. likformig med)

` ~? fristående grav accent

´ ~* fristående akut accent

_ ~- fristående understreck


^ ~! fristående cirkumflex

# ~# nummertecken, ”fyrkant”

@ ~à snabel-a, at-tecken

< #ö mindre än (mindre än-tecken) (se även avsnitt 9.1)

> #o större än (större än-tecken) (se även avsnitt 9.1)

\ ~/ backstreck, omvänt snedstreck, backslash (se även avsnitt 9.2)

Observera att teckensträngar (med citattecken eller apostrof runt) inte bör delas på två rader. Det kan, om uttrycket är långt, trots allt bli nödvändigt i punktskrift och i sådana fall sätts fort-sättningstecken ïï ut sist på punktskriftsraden för att göra läsaren uppmärksam på att uttrycket fortsätter på nästa rad. Detta gäller även kommentarer i programkod. Lägg märke till att det i punktskrift framgår tydligt var blank-tecken finns, i svartskrift däremot kan det vara svårt att se be-roende på teckensnitt. Blanktecken markeras därför i svartskrift ibland med ett överstruket b eller ett tecken som liknar en liggande/undre hakparentes. I punktskrift kan man använda ^b respektive ~.

Del 2 EXEMPELSAMLING,

ÄMNESVIS ORDNAD

10 MATEMATIK 71

10 Matematik

10.1 Aritmetik och algebra

Ex. 10.1

15 (7 4) 15 3 45⋅ − = ⋅ =

#15ï.(#7-#4)=#15ï.#3=#45<<<<<

Ex. 10.2 2 2 2 2 22 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 4 2a b a a a b b b a ab b a ab b⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + + = + +

#2ï.(a$b)§#2<=<<<<<<<<<<<<<<< =<#2ï.(aï.a$#2ï.aï.b$bï.b)<=< =<#2ï.(a§#2$#2ûa2$b§#2)<=<<<< =<#2ûa§#2$#4ûab$#2ûb§#2<<<<<< Kommentar till exemplet:

För att undvika att göra radbrytning i parentesuttryck har inte indrag gjorts vid raderna 2–4.

Ex. 10.3 2 2( )( )a b a b a b− + = −

(a<-<b)(a<$<b)<=<a§#2<-<b§#2<

Ex. 10.4 2 26 9 ( 3)x x x− + = −

x§#2<-<#6x<$<#9<=<(x<-<#3)§#2

10 MATEMATIK 72

Ex. 10.5


Ekvationer separeras från löpande text med blankrad före text-rader. Se även exempel 8.7.

2 3

4 5 8

8 3 6 14

(1)

(2)

(3)

x - y -

x - y z -

x - y z

= + = + =

( )( )

( ) ( ) ( )

1 ger

2 3 4

4 insatt i 2 och 3 ger

y x= +

( )( )

4 5 2 3 8 (5)

8 3 2 3 6 14 (6)

x x z -

x x z

− + + =

− + + =

4 10 15 8 (7)

8 6 9 6 14 (8)

x x z

x x z

− − + = − − − + =

6 7 (9)

2 6 23 (10)

x z

x z

− + = + =

( )

( )

( )( )

(9)+3 (10) ger

6 6 18 7 69 11

19z 76

z 76 19

z 4

z 4 insatt i 9 ger

6x 4 7

6x 3

x 3 6

x 0 5

x 0 5 insatt i 4 ger

y 2 0 5 3

y 2

x z x z

/

/

,

,

,

⋅− + + + = +

====

− + =− =

= −= −= −

= − +=

Svar:

0 5

2

4

x ,

y

z

= − = =

10 MATEMATIK 73

ï_à<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< (#1)<#2x-y=-#3<<<<<<<<<<<<<<< (#2)<#4x-#5y$z=-#8<<<<<<<<<<< (#3)<#8x-#3y$#6z=#14<<<<<<<<< û<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< (#1)<ger<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< (#4)<y=#2x$#3<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< (#4)<insatt<i<(#2)<och<(#3)<< <<ger<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< ï_à<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< (#5)<#4x-#5(#2x$#3)$z=-#8<<<< (#6)<#8x-#3(#2x$#3)$#6z=#14<< û<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< ï_à<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< (#7)<#4x-#10x-#15$z=-#8<<<<<< (#8)<#8x-#6x-#9$#6z=#14<<<<<< û<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< ï_à<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< (#9)<-#6x$z=#7<<<<<<<<<<<<<<< (#10)<#2x$#6z=#23<<<<<<<<<<<< û<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< (#9)$#3ï.(#10)<ger<<<<<<<<<<< (#11)<-#6x$z$#6x$#18z=#7$#69< <<#19z=#76<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<z=#76/#19<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<z=#4<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

10 MATEMATIK 74

<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< z=#4<insatt<i<(#9)<ger<<<<<<< <<-#6x$#4=#7<<<<<<<<<<<<<<<<< <<-#6x=#3<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<x=#3/-#6<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<x=-#0,5<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< x=-#0,5<insatt<i<(#4)<ger<<<< <<y=#2(-#0,5)$#3<<<<<<<<<<<<< <<y=#2<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< _Svar:<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< ï_à<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< x=-#0,5<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< y=#2<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< z=#4<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< û<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.6 2

2

0

2 2

x px q

p px q

+ + =

= − ± −

x§#2<$<px<$<q<=<#0<<<<<<<<<<< x<=<-pü#2<@$-<<<<<<<<<<<<<<<< <<@$-<~î(pü#2)§#2<-<qû<<<<<<<

10 MATEMATIK 75

Ex. 10.7

( ) 1 2 2

3 3

( 1)

1! 2!( 1)( 2)

...3!

n n n n

n n

n n na b a a b a b

n n na b b

− −

−

−+ = + + +

− −+ + +

(a$b)§n=a§n$nü#1!a~§n-#1ûb$<< $é(n(n-#1)ü#2!é)a~§n-#2ûb§#2$ $é(n(n-#1)(n-#2)ü#3!é)ïï<<<<< a~§n-#3ûb§#3$...$b§n<<<<<<<<< Kommentar till exemplet:

För att undvika att använda flera fortsättningstecken har inte indrag gjorts vid raderna 2–4.

Ex. 10.8

1

0

( 1)! !

!

kn

nk

D n n ek

−

=

−= ∑ ≃

_Dên<=<n!<"_s~êk=#0û§nïï<<<<< (-#1)§kük!<~:-<n!e§-#1<<<<<<<

10.2 Analys

10.2.1 Några funktionstyper

Ex. 10.9 32 2 2 2= ⋅ ⋅

#2§#3<=<#2<ï.<#2<ï.<#2<<<<<<<

Ex. 10.10

33

1 12

2 8− = =

#2§-#3<=<#1ü#2§#3<=<#1ü#8<<<<

10 MATEMATIK 76

Ex. 10.11

( ) eller , y ( )x f x x y f x=֏ ֏

x<|:o<f(x)<eller<x<|:o<y,<<<< y<=<f(x)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.12 2, 0 , 0y x x x y y= ≥ ⇔ = ≥

y<=<x§#2,<x<#o=<#0<ö=o<x<=<<< <<=<îy,<y<#o=<#0<<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.13 2 , 0y ax bx c a= + + ≠

y<=<ax§#2<$<bx<$<c,<a<^=<#0<<

Ex. 10.14 2 1

1 ... ( ), ( ) , 0 1, .1! 2! ! ( 1)!

n nx x

n n

x x x xe R x R x e x R

n nθ θ

+

= + + + + + = ≤ ≤ ∈+

e§x<=<#1<$<xü#1!<$<x§#2ü#2!<$ <<$<...<$<x§nün!<$<_Rên(x),<< <<_Rên(x)<=<é(x~§n$#1ûü<<<<<< <<ü(n$#1)!é)<e~§"hxû,<<<<<<<< <<#0<#ö=<"h<#ö=<#1,<xï_t_R.<< Kommentar till exemplet:

I detta fall används bråksammanhållare eftersom raden bryts mitt i bråket, det skulle dock inte ha behövts för bråkets matematiska tolkning. Ett alternativ hade varit att inte göra indrag på raderna 2–4 och att använda fortsättningstecken

10 MATEMATIK 77

10.2.2 Intervall och gränser

Ex. 10.15

( ) då f x A x a→ →

f(x)<:o<_A<då<x<:o<a<<<<<<<<<

Ex. 10.16

, , , x a x a x a x a< > ≤ ≥

x<#ö<a,<x<#o<a,<x<#ö=<a,<<<<< <<x<#o=<a<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.17

| ( ) | ε− <f x A

|f(x)<-<_A|<#ö<"e<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.18

| |

1lim 0x x→∞

=

lim~ê|x|<:o<#éû<#1üx<=<#0<<<<

Ex. 10.19

= ∈ ≤ <[ , [ : är det halvöppna intervallet mellan a och ba b x R a x b

àa,<bà<=<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<=<_àxï_t_r:<a<#ö=<x<#ö<b_ù< <<är<det<halvöppna<inter-<<<< <<vallet<mellan<a<och<b<<<<<<

Ex. 10.20 2

2lim 4x

x→

=

lim~êx:o#2û<x§#2<=<#4<<<<<<<<

10 MATEMATIK 78

Ex. 10.21 3

31

2 1lim

2x

x x

x→

− ++

lim~êx:o#1û<é(x§#3<-<#2x<$<<< <<$<#1üx§#3<$<#2é)<<<<<<<<<<<

Ex. 10.22

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x< ⇒ ≤

xê#1<#ö<xê#2<=o<f(xê#1)<#ö=<< <<f(xê#2)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.23

2

1( ) , 0= ≠f x x

x

f(x)<=<#1üx§#2,<x<^=<#0<<<<<<

Ex. 10.24

1/

1( ) , 0

1 2= ≠

+ xf x x

f(x)<=<é(#1ü#1<$<#2~§#1/xûé), <<x<^=<#0<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

10.2.3 Derivator

Ex. 10.25

= =ɺ ɺɺa v r

a<=<§.v<=<§;r<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.26 2

2

d y

dx

d§#2yüdx§#2<<<<<<<<<<<<<<<<<<

10 MATEMATIK 79

Ex. 10.27

0

( ) ( )limh

f x h f x

h→

+ −

lim~êh:o#0û<é(f(x<$<h)<-<<<<< <<-<f(x)ühé)<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.28 2 1

( 1)( ) (0) (0) (0) ... (0)1! 2! ( 1)!

nn

n

x x xf x f f f f R

n

−−′ ′′= + + + + +

−

f(x)<=<f(#0)<$<xü#1!<f'(#0)<$ <<$<x§#2ü#2!<f’’(#0)<$<...<$< <<$<x~§n-#1ûü(n<-<#1)!ïï<<<<< <<f§(n-#1)(#0)<$<_Rên<<<<<<<<

Ex. 10.29

] [( ) ( ) för något 0,1!

= Θ Θ∈n

nn

xR f x

n

_Rên<=<x§nün!<f§(n)("_hx)<för något<"_h<ï_t<ù#0,<#1à<<<<<<<

Ex. 10.30

∂ ∂ = = = ∂ ∂ x x

y

f ff D f

x x

fêx=_Dêxf=é(ï"dfüï"dxé)<=<<<< <<=<(é(ï"dfüï"dxé))êy<<<<<<<<

10 MATEMATIK 80

10.2.4 Integraler

Ex. 10.31 33 3 2

2

2 2

( 3 4) 3 43 2

+ − = + −

∫

x xx x dx x

èê#2§#3<(x§#2<$<#3x<-<#4)dx<= <<=àx§#3ü#3<$<#3é(x§#2ü#2é)<- <<-<#4xùê#2§#3<<<<<<<<<<<<<<< Kommentar till exemplet:

Bråksammanhållare é(<é) används för att visa att siffran 3 inte står i täljaren. Notera också att utan bråksammanhållare blir det samma matematiska betydelse.

Ex. 10.32

∂ ∂+ = − ∂ ∂

∫ ∫ ∫C D

Q PP dx Q dy dxdy

x y

ïèê_c<_P<dx<$<_Q<dy<=<èèê_Dïï <<(é(ï"d_Qüï"dxé)<-<<<<<<<<<< <<-<é(ï"d_Pü<ï"dyé))<dxdy<<<<

10.2.5 Differentialekvationer

Ex. 10.33

( )= +∫y f x dx C

y<=<è<f(x)dx<$<_C<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.34

( )′′ ′+ + =y ay by R x

y''<$<ay'<$<by<=<_R(x)<<<<<<<

10 MATEMATIK 81

10.2.6 Exponential- och logaritmfunktioner

Ex. 10.35

lg lg 110

xx= −

lgé(xü#10é)<=<lg<x<-<#1<<<<<<

Ex. 10.36 +⋅ =x y x ya a a

a§x<ï.<a§y<=<a~§x$yû<<<<<<<<<

Ex. 10.37

30,4

2

+>x x

#0,4§x<#o<é(x<$<#3ü#2é)<<<<<<

Ex. 10.38

1

ln = ∫x dt

xt

lnx<=<èê#1§x<é(dtüté)<<<<<<<<

10.2.7 Gränsvärden, talföljder och serier

Ex. 10.39

11

1 3 5 81 och 1 ger talföljden 1,2, , , ,...

2 3 5−

= = +nn

a aa

aê#1<=<#1<och<aên<=<#1<$<<<<< <<$<#1üa~ên-#1û<ger<talfölj-< <<den<#1,<#2,<#3ü#2,<#5ü#3,<< <<#8ü#5,<...<<<<<<<<<<<<<<<<<

10 MATEMATIK 82

Ex. 10.40

2 3lim 2

5→∞

− =+n

n

n

lim~ên:o#éû<é(#2n<-<#3ün<$<<< <<$<#5é)<=<#2<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.41

1 2lim lim( ... )→∞ →∞

= + + +n nn n

s a a a

lim~ên:o#éû<sên<=<<<<<<<<<<<< <<=<lim~ên:o#éû<(aê#1<$<<<<<< <<$<aê#2<$<...<$<aên)<<<<<<<<

Ex. 10.42

11

21 ,

11

2

− = ⋅ ∈−

ℕ

n

ns n

sên<=<#1<ï.<é(#1-(#1ü#2)§nüü< <<üü#1<-<#1ü#2é),<n<ï_t<_n<<<

Ex. 10.43

1

∞na

_àaên_ùê#1§#é<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.44

lim 0!→∞

=n

n

a

n

lim~ên:o#éûaênün!<=<#0<<<<<<<

10 MATEMATIK 83

10.3 Komplexa tal

Ex. 10.45

1 i− = ,2 1i = −

i = den imaginära enheten

î-#1<=<i,<i§#2<=<-#1<<<<<<<<< i<=<den<imaginära<enheten<<<<

Ex. 10.46

2 2z x iy x y= + = +

|z|<=<|x<$<iy|<=<|~îx§#2<$<<< <<$<y§#2û|<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.47

( )cos sin , z r i r zϕ ϕ= + =

z<=<r<(cos"f<$<isin"f),<r<=<< <<=<|z|<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.48

( ) ( )cos sin cos sinϕ ϕ ϕ ϕ = + = + nn nz r i r n i n

z§n<=<àr(cos"f<$<isin"f)ù§n<= <<=<r§n(cosn"f<$<isinn"f)<<<<

Ex. 10.49

( 2 ) ln 2log(2 )(2 )n ii i ii e e

π− + π +2= =

(#2ûi)§i<=<e~§ilog(#2ûi)û<=<< <<=<e~§-("pü#2$#2n"p)$iln#2û<

10 MATEMATIK 84

Ex. 10.50

cos sin

cos2

sin2

−

−

= +

+=

−=

iy

iy iy

iy iy

e y i y

e ey

e ey

i

e~§iyû<=<cosy<$<isiny<<<<<<<< cosy<=<é(e~§iyû<$<e~§-iyû<ü<< <<ü#2é)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< siny<=<é(e~§iyû<-<e~§-iyû<ü<< <<ü#2ûié)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

10.4 Mängdlära och logik

Ex. 10.51

P(Ø) = 0

_P(ô)<=<#0<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.52

A B=Ø∩

_A<ïs<_B<=<ô<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.53

a A∈

a<ï_t<_A<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.54

e A∉

e^ï_t_A<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

10 MATEMATIK 85

Ex. 10.55

2,4,6 0,2,4,6,...⊆

_à#2,<#4,<#6_ù<ï_ö=<_à#0,<#2, <<#4,<#6,<..._ù<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.56

⊆B A , ⊆A A , ⊂Ø B , ∉0 B

_B<ï_ö=<_A,<_A<ï_ö=<_A,<<<<<< <<ô<ï_ö<_B,<#0<^ï_t<_B<<<<<<

Ex. 10.57

A = | är jämntx x∈N

_A<=<_àx<ï_t<@_N<|<x<är<<<<<< <<jämnt_ù<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.58

P Q (P Q)⇔ ¬ ∨↓

_P<~(npil~)<_Q<ö=o<<<<<<<<<<< <<:$<(_P<ïe<_Q)<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.59

( )( A B)∀ ∈ ⇒ ∈x x x

(ï_ax)(x<ï_t<_A<=o<x<ï_t<_B)<

Ex. 10.60

0=c(Q)ℵ

ï~aê#0<=<c(_Q)<<<<<<<<<<<<<<<

10 MATEMATIK 86

Ex. 10.61

1 2 n 1 2 nP(A A ... A ) = P(A )P(A ) · ... · P(A ) ∩ ∩ ∩

_P(_Aê#1<ïs<_Aê#2<ïs<...ïï<<< ïs_Aên)<=<_P(_Aê#1)ïï<<<<<<<< _P(_Aê#2)<ï.<...<ï._P(_Aên)<<

Ex. 10.62 2 2( , ) : 5+ =x y x y

_à(x,<y)<:<x§#2<$<y§#2<=<#5_ù

10.5 Geometri

Ex. 10.63

AN : NB = AP : PH = 1 : 1 NP BE NP AC NP NL⊥ ⊥∵ ∵ ∵

__AN<:<__NB<=<__AP<:<__PH<=<< <<=<#1<:<#1<~(aå~)<<<<<<<<<<< <<__NP<||<__BE<~(aå~)<<<<<<<< <<__NP<ïn<__AC<~(aå~)<<<<<<<< <<__NP<ïn<__NL<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.64

120ABC BCA∧ = ° − ∧

ïv__abc<=<#120ïg<-<ïv__bca<<<

Ex. 10.65

+ = +2 2 2 21 2Parallellogram: 2 2d d a b

_Parallellogram:<dê#1§#2<$<<< <<$<dê#2§#2<=<#2ûa§#2<$<<<<<< <<$<#2ûb§#2<<<<<<<<<<<<<<<<<<

10 MATEMATIK 87

Ex. 10.66

+= ( )Arean i parallelltrapets

2a b

A h

_Arean<i<parallelltrapets<<<< <<_A<=<hé((a<$<b)ü#2é)<<<<<<<

Ex. 10.67

2O rπ= 2A rπ=

_O<=<#2"pr<<_A<=<"pr§#2<<<<<<

10.6 Trigonometriska funktioner

Ex. 10.68

sin( 2 ) sint tπ+ =

sin(t<$<#2"p)<=<sin<t<<<<<<<<

Ex. 10.69

1 0.017453 180

rad radπ= ≈°

#1ïg<=<"pü#180<rad<~::<<<<<<< <<#0.01745c<rad<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.70

2cos 0.6667

3v = ≈

cos<v<=<#2ü#3<~::<#0.6667<<<<

Ex. 10.71

2(cos70 , sin 70 )=OP ° °

§:o~__OPû<=<#2<(cos<#70ïg,<<< <<sin<#70ïg)<<<<<<<<<<<<<<<<<

10 MATEMATIK 88

Ex. 10.72

arctan , 01 2arctan

arctan , 02

π

π

− >= − − <

x x

xx x

arctan<#1üx<=<<<<<<<<<<<<<<<< ï_à<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<"pü#2<-<arctan<x,<x<#o<#0<< <<-"pü#2<-<arctan<x,<x<#ö<#0< û<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.73 1 1

2

1arcsin

1 1 1

n nx xx dx

n n x

+ +

−+ + −∫

é(x~§n$#1ûün<$<#1é)<ïï<<<<<<< <<arcsin<x<-<é(#1ün<$<#1é)<ïï è<é(x~§n$#1ûü~î#1<-<<<<<<<<<< <<-<x§#2ûé)<dx<<<<<<<<<<<<<<< Kommentar till exemplet:

Vid radbrytning vid implicit multiplikationstecken måste fort-sättningstecken användas. Se även exempel 1.5, 1.7 och 10.7.

10.7 Sannolikhetslära och statistik

Ex. 10.74

( ) ( ) 1 , 0, 1, 2..., n kkn

P k p p k nk

− = − ∈

_P(k)<=<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<=<(n~ük)p§k<(#1<-<p)~§n-kû, <<k<ï_t<_à#0,<#1,<#2...,<n_ù<

10 MATEMATIK 89

Ex. 10.75

1

( ) ( ) ( )n

i ii

E Y P u g u=

= ⋅∑

_E(_Y)<=<"_s~êi=#1û§n<ïï<<<<< _P(uêi)<ï.<g(uêi)<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.76

0

(0 ) ( ) , 0 1515

s sP x s f t dt s≤ < = = < ≤∫

_P(#0<#ö=<x<#ö<s)<=<<<<<<<<<< <<=<èê#0§s<f(t)dt<=<sü#15,<<< <<#0<#ö<s<#ö=<#15<<<<<<<<<<<<

Ex. 10.77 2 2 2( ) ( ) ( )σ µ µ

Ω

= − = − ∫E X x f x dx

"s§#2<=<_Eà(_X-"m)§#2ù<=<<<<< <<=<èê"_w<(x-"m)§#2<f(x)dx<<<

11 FYSIK OCH ASTRONOMI 90

11 Fysik och astronomi

Ex. 11.1 2

0E m c= ⋅

_Eê#0<=<m<ï.<c§#2<<<<<<<<<<<<

Ex. 11.2 2

2 2E

1

mc

v c=

−

_E<=<é(mc§#2<ü<<<<<<<<<<<<<<< <<ü<~î#1<-<v§#2/c§#2ûé)<<<<<<

Ex. 11.3

iU E R I= − ⋅

_U<=<_E<-<_Rêi<ï.<_I<<<<<<<<<

Ex. 11.4

ω⋅

⇒ ⋅

2

2

vmF ra = = a = rm m

a<=<_Füm<=<<<<<<<<<<<<<<<<<<< =<é(m<ï.<v§#2ür<üü<mé)<=o<a<= =<r<ï.<"w§#2<<<<<<<<<<<<<<<<< Kommentar till exemplet:

Radbrytning har gjorts vid likhetstecknet för att slippa göras inuti bråksammanhållaren.


Ex. 11.5

ˆ ˆ; ˆ ˆω ⋅ ⋅ ⋅L R = L i = R iu u

u§§!ê_L<=<"w<ï.<_L<ï.<i§§!;<< u§§!ê_R<=<_R<ï.<i§§!<<<<<<<<<

Ex. 11.6

µ Cephei Position (2000.0) 21h 43,5 min + 58o 57′ magn 3,4 – 5,1 period 730 dygn

"m<_Cephei<_Position<<<<<<<<< <<(#2000.0)<#21<h<#43,5<min<< <<$#58ïg<#57'<<<<<<<<<<<<<<<< <<magn<#3,4--#5,1<<<<<<<<<<<< <<period<#730<dygn<<<<<<<<<<<

Ex. 11.7

arc =

360 2

α απ

°

°

"aïgü#360ïg<=<é(arc"aü#2"pé)<

Ex. 11.8 10 log 2,512 0,4≈

§#10log<#2,512<~::<#0,4<<<<<<

Ex. 11.9

* 2 *[sin( ) sin( )]λ α α= + ± −m d I I

m*"l<=<#2ûd*àsin(_I$"a)<@$-<< <<@$-<sin(_I-"a)ù<<<<<<<<<<<<


Ex. 11.10

PTZ = [(N - N)/(N * N * R)]′ ′∑

__PTZ<=<"_s<à(_N'<-<_N)/<<<<< <</(_N<*<_N'<*<_R)ù<<<<<<<<<<

12 KEMI OCH BIOLOGI 93

12 Kemi och biologi

För olika typer av kemiska bindningar se avsnitt 8.3. För olika typer av pilar, se avsnitt 8.4 och 8.5. Nedre index skrivs före övre index. Index till vänster om huvudsymbolen skrivs före och index till höger om huvud-symbolen skrivs efter denna. Se även avsnitt 7.1.

12.1 Kemiska beteckningar och formler

Ex. 12.1

EPK = erytrocytpartikelkoncentration; 3,7–5,0 × 1012/l 4,0–5,5 × 1012/l Kommentar till exemplet:

Notera att här har tecknen för hona respektive hane återgivits i klartext inom hjälpparentes. Se avsnitt 1.4 för hur man kan åter-ge tecken och symboler som saknar representation i punktskrift.

__EPK<=<erytrocytpartikel-<<< <<koncentration;<<<<<<<<<<<<< <<~(hona~)<#3,7--#5,0<ïx<<<<< <<<<#10§#12/l<<<<<<<<<<<<<<<< <<~(hane~)<#4,0--#5,5<ïx<<<<< <<<<#10§#12/l<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 12.2

2 2 2H C O kallas glyoxal

_Hê#2_Cê#2_Oê#2<kallas<<<<<<< glyoxal<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<


Ex. 12.3

NaCl

_Na_Cl<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 12.4

XNO

_N_Oê_x<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 12.5 + + - 3+Na , K , Cl , Fe

_Na§$,<_K§$,<_Cl§-,<_Fe~§#3$û

Ex. 12.6 11 1H+

ê#1§#1_Hê#1§$<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 12.7

3 2 2 2 22NH +CO NH — CO — NH +H O→

#2__NHê#3<$<__COê#2<:o<<<<<<< <<__Nhê#2':,__CO':,__NHê#2<$< <<$<_Hê#2_O<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 12.8 2+ - 2 = [Mg ] [OH ]⋅P

@_P<=<à_Mg~§#2$ûù<ï.<<<<<<<<< <<ï.<à__OH§-ù§#2<<<<<<<<<<<<<

Ex. 12.9

6 10 4 n(C H O )

(_Cê#6_Hê#10_Oê#4)ên<<<<<<<<<


Ex. 12.10 2+ +

2Na Z(s) + Ca (aq) CaZ(s) + 2Na (aq)

_Naê#2_Z(s)<$<_Ca~§#2$û(aq)<< <<~(hharpun<ovanför<<<<<<<<<< <<vharpun~)<_Ca_Z(s)<$<<<<<<< <<$<#2_Na§$(aq)<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 12.11

H2O NaOH(s) >Na+(aq) + OH−(aq) Kommentar till exemplet:

Här står H2O på raden ovanför pilen i svartskriftsförlagan. I punktskriften omsluts H2O av varningstecken ~ och avslutningstecken û samt föregås av två §§ för att visa att texten befinner sig rakt ovanför pilen. Se även avsnitt 7.1.

_Na_O_H(s)<:o~§§_Hê#2_Oû<<<<< <<_Na§$(aq)<$<_O_H§-(aq)<<<<<

Ex. 12.12

2 2 3N +3H 2NH H < 0∆

_Nê#2<$<#3_Hê#2<:oö:<<<<<<<<< <<#2__NHê#3<"_d_H<#ö<#0<<<<<<

Ex. 12.13 + -

2 2 2 3 3CO + H O H CO H + HCO

__Coê#2<$<_Hê#2_O<:oö:<<<<<<< <<_Hê#2__COê#3<:oö:<_H§$<$<<< <<$<__HCOê#3§-<<<<<<<<<<<<<<<


Ex. 12.14 3+ 2+ +

2Al + H O Al(OH) + H→

_Al~§#3$û<$<_Hê#2_O<:o<<<<<<< <<_Al(__OH)~§#2$û<$<_H§$<<<<<

Ex 12.15 2

3 3

3 3

NH NH

Cu

NH NH

+

ïàïù<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<__NHê#3<__NHê#3<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<_Cu<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<__Nhê#3<__NHê#3<<<<<<<<<<<< û<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< ~§#2$û<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Kommentar till exemplet:

Alternativt kan detta exempel återges taktilt med en reliefbild, på svällpapper eller på ritmuff.

Ex. 12.16

solljus 6CO2 + 6H2O > C6H12O6 + 6O2 klorofyll (glukos) Kommentar till exemplet:

Fotosyntesen är återgiven på tre rader. Orden ”solljus” står ovan-för och ”klorofyll” står under reaktionspilen. Ordet ”glukos” står inom parentes rakt under formeln. Exemplet återges med hjälp av tecknen för ”rakt nedanför” êê respektive ”rakt ovanför” §§ (se avsnitt 7.1), samt varningstecken ~ och avslutnings-tecken û.


#6__COê#2<$<#6_Hê#2_O<<<<<<<< <<:o~êêKlorofyllû~§§Solljusû< <<<_Cê#6_Hê#12_Oê#6<<<<<<<<<< <<êê(Glukos)<$<#6_Oê#2<<<<<<<

12.2 Strukturformler

Komplicerade strukturformler bör illustreras med taktil bild.

Ex. 12.17

HC≡CH

__h3|él__ch<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 12.18

H H

| |

C C

| |

H H

=

Här återges hur strukturformeln skulle kunna se ut på en taktil bild, förslagsvis en svällpappersbild.


Ex. 12.19

HC≡CH Här återges hur strukturformeln skulle kunna se ut på en taktil bild, förslagsvis en svällpappersbild.

Ex. 12.20

H HCH H

<<<<<_H<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<|<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< _H':,_C':,_H<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<|<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<_H<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

13 PROGRAMMERING OCH INTERNET 99

13 Programmering och Internet

När programkod ska skrivas i punktskrift ska blanktecken återges exakt som i förlagan. Indrag ska användas enligt förlaga för att tydliggöra struktur. Notera att fortsättningstecken ïï ska användas när man i punktskrift är tvungen att byta rad (p.g.a. punktskriftens kortare radlängd) – bindestreck får då inte användas. Detta gäller skriv-ning av Internetadresser, e-postadresser och vid skrivning av programkod. Se avsnitt 9.6 för ytterligare tecken som förekommer vid programmering och Internetanvändning.

Ex. 13.1

C:\>

_C:~/#o<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 13.2

Internetadressen http://www.punktskriftsnamnden.se/

_Internetadressen<http://ïï<< www.punktskriftsnamnden.se/<<

Ex. 13.3

E-postadressen [email protected]

_E-postadressen<anna-maria.ïï johansson~àcomhem.se<<<<<<<<<


Ex. 13.4

PROCEDURE A (i:Integer); BEGIN IF i > 0 THEN BEGIN d(i-1); x := x-h; Plotta; a(i-1); y := y - h; Plotta; a(i-1); x := x + h; Plotta; b(i-1); END; END;

__PROCEDURE<_a<(i:_Integer);< __BEGIN<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<__IF<i<#o<#0<__THEN<__BEGIN <<<<d(i-#1);<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<x<:=<x-h;<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<_Plotta;<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<a(i-#1);<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<y<:=<y<-<h;<<<<<<<<<<<<<< <<<<_Plotta;<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<a(i-#1);<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<x<:=<x<$<h;<<<<<<<<<<<<<< <<<<_Plotta;<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<b(i-#1);<<<<<<<<<<<<<<<<< <<__END;<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< __END;<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Ex. 13.5 $ cat > script.ksh #! /bin/ksh

^s<cat<#o<script.ksh<<<<<<<<< ~#!</bin/ksh<<<<<<<<<<<<<<<<<


Ex. 13.6 #include <sys/stat.h> int chmod(path, mode) char *path; mode_t mode;

~#include<#ösys/stat.h#o<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< int<chmod(path,<mode)<<<<<<<< char<*path;<<<<<<<<<<<<<<<<<< mode~-t<mode;<<<<<<<<<<<<<<<<

BILAGA – FÖRÄNDRINGAR I DEN ANDRA UPPLAGAN 102

BILAGA – förändringar i den andra upplagan

Nedan är de viktigaste förändringarna och nyheterna i den andra upplagan av Punktskriftens skrivregler för matematik och natur-vetenskap listade:

• Användningen av förtecknet ï (p12456) har ändrats till att bli ett generellt förtecken för matematiska tecken. För att göra det lättare att komma ihåg olika representationer i punktskrift har detta förtecken i många fall kombinerats med punktskriftstecknen för de bokstäver som är den första bokstaven i olika teckennamn. Ett exempel på det är ïu för ”union”. Även kombinationer med detta förtecken och andra förtecken som versaltecken har använts, exempelvis ï_k för ”komplement”.

• Varje ny ekvation i ett ekvationssystem ska skrivas på ny rad. Se exempel 8.6.

Tecken med nytt utseende i punktskrift

Tecken Nytt utseende Tidigare utseende Teckennamn ïg ^) gradtecken

· ï. . multiplikationstecken (punkt)

× ïx x multiplikationstecken (kryss)

⊥ ïn #. normal, vinkelrät mot

⊢ ïa |: assertion

⊣ ^ïa :l spegelvänd assertion

% ô @) procent

‰ ôô @)) promille


Tecken Nytt utseende Tidigare utseende Teckennamn

⊙ ï.c ï.û cirkel med punkt

⊖ ï-c ï-û cirkel med minus

⊕ ï$c ï$û cirkel med plus

⊗ ïxc ïxû cirkel med kryss

ï"_d \"d Laplace delta

∂ ï"d \d partiell derivata

∇ ï_n \n nabla (gradient)

ℵ ï~a \a alef

∅ ïd ï/o diameter (cirkel med snedstreck)

ïc ïû cirkel

∆ ït ï! triangel

∧ ïv ïö vinkel

ïk ï= kvadrat

ïr ïé rektangel

∪ ïu ~î, union

∩ ïs ~§, snitt

∼ eller ∝ ~: ë"a proportionell mot, likformig med

ï_à û

@_à<@û

ensidig vänster-klammer (ensidig vänster spetsparentes) över flera rader

ï_ù û

@é<@_ù

ensidig högerklammer (ensidig höger spets-parentes) över flera rader

(…) ï(ï) û

@(<@) dubbelsidig rund-parentes över flera rader

[…] ïàïù û

@à<@ù dubbelsidig hak-parentes över flera rader



… ï_àï_ù û

@_à<@_ù

dubbelsidig klam-merparentes (dub-belsidig spetsparen-tes) över flera rader

|| ï|ï| û

@|<@| dubbelsidigt lod-streck över flera rader

″ '' " biss

′′′ ''' "' triss, trippelprim

∈ ï_t \e tillhör

∉ ^ï_t ^\e tillhör inte

⊆ ï_ö= ~ö= innehålls i

⊂ ï_ö ~ö. innehålls strängt i

⊃ ï_o ~o, innehåller (som äkta delmängd)

⊇ ï_o= ~o= innehåller (som delmängd)

∧ ïo §, och

∨ ïe î, eller

∪ ïu ~î, union

∩ ïs ~§, snitt

⊻ ~(xor~) ê-î, XOR-tecken

∨ ~(nor~) §-î, NOR-tecken

⊼ ~(nand~) §-§, NAND-tecken

∀ ï_a \, allkvantor

∁ ï_k \c komplement



∃ ï_e \? existenskvantor

∟ ~(rvinkel~) ï) rät vinkel

⊨ ïm |= modulo

Förutom de båda följande tecknen har ytterligare tio tecken av samma typ fått nytt utseende i punktskrift efter samma princip – till exempel ”ej större än”. Se avsnitt 9.1 Jämförelseoperatorer.

> #o ~o, större än (större än-tecken)

< #ö ~ö. mindre än (mindre än-tecken)

Ett hjälptecken har också fått nytt utseende i punktskrift:

ïï ~ fortsättningstecken

Pilar med nytt utseende i punktskrift

Följande pilar återges i punktskrift genom att en variant av teckennamnet skrivs inom hjälpparentes.

Tecken Nytt utseende Tidigare utseende

Teckennamn

↑ ~(upil~) §o pil uppåt (upil)

↓ ~(npil~) êo pil nedåt (npil)

~(vharpun~) ,: vänsterriktad harpun (vharpun)

~(hharpun~) :' högerriktad harpun (hharpun)


Tecken Nytt utseende Tidigare utseende

Teckennamn

~(vhharpun~) ,::'

vänsterriktad harpun ovanför högerriktad harpun (vharpun ovanför hharpun)

~(hvharpun~) :',:

högerriktad harpun ovanför vänsterriktad harpun (vharpun ovanför hharpun)

~(avbildas< på~)

?o

enkel böjd högerriktad pil (avbildas på)


~(avb~)

Nya tecken i punktskrift

Tecken i svartskrift

Punktskrift Teckennamn

[Ingen motsv.] êê rakt nedanför

[Ingen motsv.] §§ rakt ovanför

[Ingen motsv.] é(<é) bråksammanhållare

[Ingen motsv.] é( bråkbörjan

[Ingen motsv.] é) bråkslut

i @ï. multiplikationstecken (punkt i fetstil)

ï~b bet ב

ï~d dalet ד

ï~g gimel ג


Tecken i svartskrift

Punktskrift Teckennamn

⟨ ï_( û

ensidig vänster vinkel-parentes över flera rader

⟩ ï_) û

ensidig höger vinkel-parentes över flera rader

⟨ ⟩ ï_(ï_) û

dubbelsidig vinkel-parentes över flera rader

( ï( û

ensidig vänster rund-parentes över flera rader

) ï) û

ensidig höger rund-parentes över flera rader

[ ïà û

ensidig vänster hak-parentes över flera rader

] ïù û

ensidig höger hak-parentes över flera rader

∋ ïi innehåller

∋ ^ïi innehåller inte

⊆/ ^ï_ö= innehålls inte i

⊇/ ^ï_o= innehåller inte (som delmängd)

ր ~(nopil~) nordostpil

տ ~(nvpil~) nordvästpil

ւ ~(svpil~) sydvästpil

ց ~(sopil~) sydostpil

⇑ ~(u_pil~) dubbel uppåtriktad pil

⇓ ~(n_pil~) dubbel nedåtriktad pil


Borttagna tecken

Tecken i svartskrift Punktskrift Teckennamn

∵ ^/ alltså

∴ /. därför att

:: :: identisk med

÷ :* delbar med, avgår

\ förtecken för vissa matematiska tecken

ALFABETISKT REGISTER 109

Alfabetiskt register

A

absolutbelopp vänster och höger, lodstreck, delare, mängdbyggare, ”sådana att”, determinant

| | (8.3)

accent fristående akut ~* (9.6)

accent fristående grav ~? (9.6)

additionstecken, plus-tecken

+ $ (5)

akut accent fristående ~* (9.6)

alef (första bokstaven i det hebreiska alfabetet)

ℵ ï~a (9.5)

allkvantor ∀ ï_a (9.2)

apostrof; minut, fot ′ ' (4.1)

assertion ⊢ ïa (9.2)

assertion spegelvänd ⊣ ^ïa (9.2)

asterisk, multiplikations-tecken

* * (5)

at-tecken, snabel-a @ ~à (9.6)

avbildas på (enkel böjd högerriktad pil) ~(avbildas

på~) (8.5)


~(avb~)

avskiljningstecken, avslutningstecken û (1.3)

avslutningstecken, avskiljningstecken û (1.3)


B

backslash, backstreck, omvänt snedstreck \ ~/ (8.3, 9.6)

backstreck, omvänt snedstreck, backslash

\ ~/ (8.3, 9.6)

bet ב ï~b (9.5)

biss ″ '' (9.4) bindestreck i vanlig text, minustecken, subtraktionstecken

− - (5)

blanktecken < (1.2)

bock (bottenvärde) (rakt nedanför huvudtecken) ˇ êê= (7.1)

bråkstreck horisontellt, horisontellt divisions-tecken

ü (5, 6.1)

bråkstreck osynligt ~ü (6.5, 10.7)

bråkstreck, horisontellt huvudbråkstreck

üü (6.1, 6.4)

bråkstreck snett, sned-streck, divisionstecken / /

(4.2, 5, 6.1, 8.3)

bråkstreck, snett huvudbråkstreck

/ // (6.4)

C

centrerat nedre index (index rakt nedanför)

êê (7.1)

centrerat övre index (index rakt ovanför)

§§ (7.1)

cirkel ïc (9.3)

cirkel med kryss ⊗ ïxc (9.5)

cirkel med minus ⊖ ï-c (9.2)

cirkel med plus ⊕ ï$c (9.2)

cirkel med punkt ⊙ ï.c (9.5) cirkelintegral, konturintegral ∫ ïè (9.4)


cirkumflex fristående ^ ~! (9.6)

citattecken ” " (1.3, 9.6)

D

dalet ד ï~d (9.5)

divisionstecken horisontellt, horisontellt bråkstreck

ü (5, 6.1)

divisionstecken, snett bråkstreck, snedstreck

/ / (4.2, 5, 6.1, 8.3)

dubbel dubbelriktad pil (ekvivalent med)

⇔ ö=o (8.4, 9.2)

dubbel högerriktad pil (implicerar, medför)

⇒ =o (8.4, 9.2)

dubbel nedåtriktad pil ⇓ ~(n_pil~) (8.5)

dubbel uppåtriktad pil ⇑ ~(u_pil~) (8.5)

dubbel vänsterriktad pil (nödvändig för)

⇐ ö= (8.4, 9.2)

dubbelbindning (dubbelstreck)

"=; (8.3, 12.2)

dubbelintegral ∫∫ èè (9.4) dubbelpunkt ovanför bokstav (tidsderivata, trema ovanför bokstav)

¨ §; (9.4)

dubbelsidig hakparentes över flera rader

[ ] ïàïù û

(8.2)

dubbelsidig klammerparentes (dubbelsidig spetsparentes) över flera rader

ï_àï_ù û

(8.2)

dubbelsidig rundparentes över flera rader

( ) ï(ï) û

(8.2)

dubbelsidig vinkel-parentes över flera rader

⟨ ⟩ ï_(ï_) û

(8.2)


dubbelsidigt lodstreck över flera rader

|| ï|ï| û

(8.3)

dubbelstreck (dubbelbindning)

"=; (8.3, 12.2)

dubbelt lodstreck, norm || || (8.3) dubbla streck (rakt nedanför huvudtecken)

êê= (7.1)

E

ej delare till |/ ^| (8.3)

ej identisk med ≡/ ^== (9.1)

ej kongruent med ≅/ ^~:= (9.1)

ej lika med, skild från ≠ ^= (2.4, 9.1) ej likformig eller lika med

/≃ ^~:- (9.1)

ej likformig med /∼ ^~: (9.1)

ej mindre än </ ^#ö (9.1) ej mindre än eller lika med

≤/ ^#ö= (9.1)

ej parallell med ^|| (9.1)

ej större än >/ ^#o (9.1)

ej större än eller lika med

≥/ ^#o= (9.1)

ekvivalent med (dubbel dubbelriktad pil)

⇔ ö=o (8.4, 9.2)

eller ∨ ïe (9.2)

enkel böjd högerriktad pil (avbildas på) ~(avbildas

på~) (8.5)


~(avb~)

enkel dubbelriktad pil ↔ ö:o (8.4)

enkel högerriktad pil → :o (8.4)


enkel högerriktad pil ovanför enkel vänsterriktad pil

:oö: (8.4)

enkel vänsterriktad pil ← ö: (8.4)

enkel vänsterriktad pil ovanför enkel höger-riktad pil

ö::o (8.4)

enkelstreck (enkelbindning)

– ':, (8.3, 12.2)

enkelbindning (enkelstreck)

– ':, (8.3, 12.2)

ensidig höger hak-parentes över flera rader

] ïù û

(8.2)

ensidig höger rund-parentes över flera rader

) ï) û

(8.2)

ensidig höger vinkel-parentes över flera rader

⟩ ï_) û

(8.2)

ensidig högerklammer (ensidig höger spets-parentes) över flera rader

ï_ù û

(8.2)

ensidig vänster hak-parentes över flera rader

[ Ïà û

(8.2)

ensidig vänster rundparentes över flera rader

( ï( û

(8.2)

ensidig vänster vinkel-parentes över flera rader

⟨ ï_( û

(8.2)

ensidig vänsterklammer (ensidig vänster spetsparentes) över flera rader

ï_à û

(8.2)

existenskvantor ∃ ï_e (9.2)


F

fakultetstecken (utrops-tecken) ! ! (9.5)

fortsättningstecken (markerar vid punkt-skriftsradens slut att svart-skriftsraden fortsätter)

ïï (1.3, 1.5, 9.6, 10.6, 13)

fot, apostrof; minut ′ ' (4.1)

fristående akut accent ~* (9.6)

fristående cirkumflex ^ ~! (9.6)

fristående grav accent ~? (9.6)

fristående tilde ~ ~: (9.6)

fristående understreck _ ~- (9.6)

funktionskomposition ∘ ~(fkom~) (5)

”funktionspil” (högerpil med tvärstreck) ֏ |:o (8.4)

”fyrkant” (nummertecken)

# ~# (9.6)

förtecken för enstaka framhävt tecken (gäller endast det närmast följande tecknet)

@ (1.1, 2.3)

förtecken för exponent eller övre index(även paragraftecken §)

§ (1.1, 4.2, 7.1)

förtecken för flera ord med versaler i följd

___ Û

(1.1, 2.1)

förtecken för flera versala bokstäver i följd

__ (1.1, 2.1)

förtecken för gemen grekisk bokstav

" (1.1, 2.2)

förtecken för grekisk versal bokstav

"_ (1.1, 2.2)

förtecken för nedre index

ê (1.1, 7.1)


förtecken för några tecken som bland annat förekommer i datorsammanhang

~ (1.1, 9.6)

förtecken för siffror # (1.1, 3.1)

förtecken för struket tecken, ofta med betydelsen inte/ej

^ (1.1, 2.4)

förtecken för versal bokstav

_ (1.1, 2.1)

förtecken för flera matematiska tecken

ï (1.1, 9.2, 9.3, 9.4)

G

gimel ג ï~g (9.5)

gradient (nabla) ∇ ï_n (9.4) gradtecken ïg (4.1) grav accent fristående ~? (9.6)

H

hakparentes ensidig höger över flera rader

] ïù û

(8.2)

hakparentes ensidig vänster över flera rader

[ ïà û

(8.2)

hakparentes höger ] ù (8.1)

hakparentes vänster [ à (8.1)

harpun (högerriktad) ~(hharpun~) (8.5)

harpun (högerriktad ovanför vänsterriktad)

~(hvharpun~) (8.5)

harpun (vänsterriktad) ~(vharpun~) (8.5)


harpun (vänsterriktad ovanför högerriktad)

~(vhharpun~) (8.5)

hjälpparentes vänster ~( (1.3.4, 1.4, 8.1)

hjälpparentes höger ~) (1.3.4, 1.4, 8.1)

horisontellt bråkstreck, horisontellt divisionstecken

ü (5, 6.1)

horisontellt huvudbråkstreck

üü (6.1, 6.4)

huvudbråkstreck horisontellt

üü (6.1, 6.4)

huvudbråkstreck snett ⁄ // (6.1, 6.4)

höger hakparentes ] ù (8.1)

höger ensidig hak-parentes över flera rader

] ïù û

(8.2)

höger hjälpparentes ~) (1.3.4, 1.4, 8.1)

höger klammerparentes, höger spetsparentes

_ù (8.1)

höger rundparentes ) ) (8.1)

höger rundparentes, ensidig över flera rader

) ï) û

(8.2)

höger spetsparentes, höger klammerparentes

_ù (8.1)

höger vinkelparentes ⟩ _) (8.1)

högerklammer ensidig (höger spetsparentes) över flera rader

ï_ù û

(8.2)

högerpil med tvärstreck (”funktionspil”) ֏ |:o (8.4)

högerriktad enkel pil → :o (8.4)

högerriktad harpun ~(hharpun~) (8.5)


högerriktad harpun ovanför vänsterriktad harpun

~(hvharpun~ (8.5)

högerriktad enkel pil ovanför enkel vänsterriktad pil

:oö: (8.4)

I

identisk med ≡ == (9.1)

implicerar, medför (dubbel högerriktad pil)

⇒ =o (8.4, 9.2)

index = förtecken för nedre index

ê (1.1, 7.1)

index = rakt nedanför (centrerat nedre index)

êê (7.1)

index = rakt ovanför (centrerat övre index)

§§ (7.1)

innehåller ∋ ïi (9.2)

innehåller (som delmängd)

⊇ ï_o= (9.2)

innehåller (som äkta delmängd) ⊃ ï_o (9.2)

innehåller inte ∋ ^ïi (9.2)

innehåller inte (som delmängd)

⊇/ ^ï_o= (9.2)

innehålls i ⊆ ï_ö= (9.2)

innehålls inte i ⊆/ ^ï_ö= (9.2)

innehålls strängt i ⊂ ï_ö (9.2)

inte/ej, förtecken för struket tecken, ofta med betydelsen inte/ej

^ (1.1, 2.4)

integral ∫ è (9.4)

integral (cirkelintegral, konturintegral) ∫ ïè (9.4)


integral (dubbelintegral) ∫∫ èè (9.4)

integral (trippelintegral) ∫∫∫ èèè (9.4)

K

klammer ensidig höger (ensidig höger spetspar-entes) över flera rader

ï_ù û

(8.2)

klammer ensidig vänster (ensidig vänster spets-parentes) över flera rader

ï_à û

(8.2)

klammerparentes dubbel-sidig (dubbelsidig spetsparentes) över flera rader

ï_àï_ù û

(8.2)

klammerparentes höger, höger spetsparentes

_ù (8.1)

klammerparentes vänster, vänster spetsparentes

_à (8.1)

kolon, skaltecken, relationstecken

: : (5)

komma , , (3.1.2)

komplement ∁ ï_k (9.2)

kongruent med ≅ ~:= (9.1)

konturintegral, cirkelintegral ∫ ïè (9.4)

kryss, multiplikationstecken

× ïx (5)

kvadrat ïk (9.3)

kvadratrot, rottecken î (7.2)


L

Laplace delta ï"_d (9.4)

lika med (likhetstecken) = = (9.1)

likformig eller lika med ≃ ~:- (9.1)

likformig med, propor-tionell mot

~ eller ∝ ~: (9.1)

likhetstecken, lika med = = (9.1)

lodstreck dubbelsidigt över flera rader

|| ï|ï| û

(8.3)

lodstreck dubbelt, norm || || (8.3)

lodstreck, delare, mängd-byggare, ”sådana att”, vänster och höger abso-lutbelopp, determinant

| | (8.3)

M

medför, implicerar (dubbel högerriktad pil)

⇒ =o (8.4, 9.2)

mindre eller större än ≶ #öo (9.1)

mindre än (mindre än-tecken) < #ö (9.1, 9.6)

mindre än eller lika med ≤ #ö= (9.1)

minustecken, bindestreck i vanlig text, subtrak-tionstecken

− - (5)

minusplustecken ∓ @-$ (5)

minut, apostrof; fot ′ ' (4.1)

modulo ⊨ ïm (9.5)

multiplikationstecken (asterisk)

* * (5)


multiplikationstecken (kryss)

× ïx (5)

multiplikationstecken (punkt)

· ï. (5)

multiplikationstecken (punkt i fetstil) i @ï. (5)

mycket mindre än ≪ #öö (9.1)

mycket större än ≫ #oo (9.1)

mängdbyggare, lodstreck, delare, ”sådana att”, vän-ster och höger absolut-belopp, determinant

| | (8.3)

N

nabla (gradient) ∇ ï_n (9.4)

NAND-tecken ⊼ ~(nand~) (9.2)

nedåt pil ↓ ~(npil~) (8.5)

nedåtriktad pil dubbel ⇓ ~(n_pil~) (8.5)

negationen av ¬ :$ (9.1)

nordostpil ր ~(nopil~) (8.5)

nordvästpil տ ~(nvpil~) (8.5)

norm, dubbelt lodstreck || || (8.3)

normal, vinkelrät mot ⊥ ïn (9.3)

NOR-tecken ∨ ~(nor~) (9.2)

nummertecken, ”fyrkant” # ~# (9.6)

nödvändig för (dubbel vänsterriktad pil)

⇐ ö= (8.4, 9.2)


O

och ∧ ïo (9.2) omvänt snedstreck, backslash, backstreck

\ ~/ (8.3, 9.6)

osynligt bråkstreck ~ü (6.5, 10.7) oändligheten (observera att den fulla cellen är en del av symbolen)

∞ #é (9.2)

P

parallell med || || (9.1)

partiell derivata ∂ ï"d (9.4)

pil dubbel dubbelriktad (ekvivalent med)

⇔ ö=o (8.4, 9.2)

pil dubbel högerriktad (implicerar, medför)

⇒ =o (8.4, 9.2)

pil dubbel nedåtriktad ⇓ ~(n_pil~) (8.5)

pil dubbel uppåtriktad ⇑ ~(u_pil~) (8.5)

pil dubbel vänsterriktad (nödvändig för)

⇐ ö= (8.4, 9.2)

pil enkel böjd högerriktad (avbildas på) ~(avbild

as<på~)

(8.5)


~(avb~)

pil enkel dubbelriktad ↔ ö:o (8.4)

pil enkel högerriktad → :o (8.4)

pil enkel högerriktad ovanför enkel vänsterriktad pil

:oö: (8.4)

pil enkel vänsterriktad ← ö: (8.4)


pil enkel vänsterriktad ovanför enkel högerriktad pil

ö::o (8.4)

pil nedåt ↓ ~(npil~) (8.5)

pil uppåt ↑ ~(upil~) (8.5)

plustecken, additionstecken

+ $ (5)

plusminustecken ± @$- (5)

prim ′ ' (9.4)

procent % ô (4.1)

produkttecken ∏ "_p (9.5)

promille ‰ ôô (4.1)

proportionell mot, likformig med

~ eller ∝ ~: (9.1)

punkt . . (3.1.2)

punkt, multiplikationstecken

· ï. (5)

punkt ovanför bokstav (tidsderivata)

˙ §. (9.4)

R

rakt nedanför (centrerat nedre index)

êê (7.1)

rakt ovanför (centrerat övre index)

§§ (7.1)

rektangel ïr (9.3)

relationstecken, kolon, skaltecken

: : (5)

rottecken, kvadratrot î (7.2)

rundparentes höger ) ) (8.1)

rundparentes vänster ( ( (8.1)


rundparentes dubbelsidig över flera rader

( ) ï(ï) û

(8.2)

rundparentes ensidig höger över flera rader

) ï) û

(8.2)

rundparentes ensidig vänster över flera rader

( ï( û

(8.2)

S

sekund, tum " " (4.1)

semikolon ; ; (3.1.2)

skaltecken, kolon, relationstecken

: : (5)

snabel-a, at-tecken @ ~à (9.6)

snedstreck omvänt, backslash, backstreck

\ ~/ (8.3, 9.6)

snedstreck, snett bråk-streck, divisionstecken

/ / (4.2, 5, 6.1, 8.3)

snett bråkstreck, sned-streck, divisionstecken

/ / (4.2, 5, 6.1, 8.3)

snett huvudbråkstreck / // (6.1, 6.4)

snitt ∩ ïs (9.2)

spegelvänd assertion ⊣ ^ïa (9.2)

spetsparentes dubbelsidig (dubbelsidig klammer-parentes) över flera rader

ï_àï_ù û

(8.2)

spetsparentes ensidig höger (ensidig höger klammer) över flera rader

ï_ù û

(8.2)


spetsparentes ensidig vänster (ensidig vänster klammer) över flera rader

ï_à û

(8.2)

spetsparentes höger, höger klammerparentes

_ù (8.1)

spetsparentes vänster, vänster klammerparentes

_à (8.1)

streck dubbla (rakt nedanför huvudtecken)

êê= (7.1)

streck (rakt nedanför huvudtecken)

_ êê- (7.1)

streck (rakt ovanför huvudtecken)

¯ §§- (7.1)

struket tecken = förtecken för struket tecken, ofta med betydelsen inte/ej

^ (1.1, 2.4)

större eller mindre än ≷ #oö (9.1)

subtraktionstecken, minustecken, bindestreck i vanlig text

− - (5)

större än eller lika med ≥ #o= (9.1)

större än (större än-tecken) > #o (9.1, 9.6)

summatecken ∑ "_s (9.5)

sydostpil ց ~(sopil~) (8.5)

sydvästpil ւ ~(svpil~) (8.5)


T

tak, toppvärde (rakt ovanför huvudtecken)

^ §§! (7.1)

tidsderivata (dubbel-punkt ovanför bokstav, trema ovanför bokstav)

¨ §; (9.4)

tidsderivata (punkt ovanför bokstav) ˙ §. (9.4)

tidsderivata (trippelpunkt ovanför bokstav)

… §;. (9.4)

tilde (rakt ovanför huvudtecken) ~ §§: (7.1)

tilde fristående ~ ~: (9.6)

tillhör ∈ ï_t (9.2)

tillhör inte ∉ ^ï_t (9.2)

tomma mängden ∅ ô (9.2)

toppvärde (tak) (rakt ovanför huvudtecken)

^ §§! (7.1)

trema ovanför bokstav (tidsderivata, dubbel-punkt ovanför bokstav)

¨ §; (9.4)

triangel ∆ ït (9.3)

trippelbindning (trippelstreck)

≡ |él (8.3, 12.2)

trippelintegral ∫∫∫ èèè (9.4)

trippelprim, triss ′′′ ''' (9.4)

trippelpunkt ovanför bokstav (tidsderivata)

… §;. (9.4)

trippelstreck (trippelbindning)

≡ |él (8.3, 12.2)

triss, trippelprim ′′′ ''' (9.4)

tum, sekund " " (4.1)


U

understreck fristående _ ~- (9.6)

ungefär lika med ≈ ~:: (9.1)

union ∪ ïu (9.2)

uppåt pil ↑ ~(upil~) (8.5)

uppåtriktad dubbel pil ⇑ ~(u_pil~) (8.5)

utropstecken, fakultetstecken

! ! (9.5)

V

varningstecken ~ (1.3.2)

vektor §§- (7.1)

vektorpil

§§:o (7.1)

versalt pi ∏ "_p (2.2)

versalt sigma ∑ "_s (2.2)

vinkel ∧ ïv (9.3)

vinkelparentes dubbel-sidig över flera rader

⟨ ⟩ ï_(ï_) û

(8.2)

vinkelparentes ensidig höger över flera rader

⟩ ï_) û

(8.2)

vinkelparentes ensidig vänster över flera rader

⟨ ï_( û

(8.2)

vinkelparentes höger ⟩ _) (8.1)

vinkelparentes vänster ⟨ _( (8.1)

vinkelrät mot, normal ⊥ ïn (9.3)

vänster hakparentes [ à (8.1)


vänster hakparentes ensidig över flera rader

[ ïà û

(8.2)

vänster hjälpparentes ~( (1.3.4, 1.4, 8.1)

vänster klammer ensidig (ensidig vänster spets-parentes) över flera rader

ï_à û

(8.2)

vänster klammer-parentes, vänster spetsparentes

_à (8.1)

vänster rundparentes ( ( (8.1)

vänster rundparentes ensidig över flera rader

( ï( û

(8.2)

vänster vinkelparentes ⟨ _( (8.1)

vänster vinkelparentes ensidig över flera rader

⟨ ï_( û

(8.2)

vänsterriktad dubbel pil (nödvändig för)

⇐ ö= (8.4, 9.2)

vänsterriktad enkel pil ← ö: (8.4)

vänsterriktad enkel pil ovanför enkel högerriktad pil

ö::o (8.4)

vänsterriktad harpun ~(vharpun~) (8.5)

vänsterriktad harpun ovanför högerriktad

~(vhharpun~) (8.5)

X

XOR-tecken ⊻ ~(xor~) (9.2)

TECKENREGISTER 129

Teckenregister

Sorteringen i teckenregistret är gjord efter antal punkter i punktskriftstecknen från en till sex. Punktskriftstecken med samma antal punkter är sorterade efter den inbördes nummer-ordningen. Tecken som i punktskrift återges med flera punkt-skriftstecken har sorterats först efter det första punktskrifts-tecknet, därefter det andra o.s.v.

^~: /∼ ej likformig med (9.1)

^~:- /≃ ej likformig eller lika med (9.1)

^~:= ≅/ ej kongruent med (9.1)

ô ∅ tomma mängden (9.2)

^| |/ ej delare till (8.3)

^|| ej parallell med (9.1)

^= ≠ ej lika med, skild från (2.4, 9.1)

^== ≡/ ej identisk med (9.1)

^#o >/ ej större än (9.1)

^#o= ≥/ ej större än eller lika med (9.1)

^#ö </ ej mindre än (9.1)

^#ö= ≤/ ej mindre än eller lika med (9.1)

^ïa ⊣ spegelvänd assertion (9.2)

^ï_o= ⊇/ innehåller inte (som delmängd) (9.2)

^ï_ö= ⊆/ innehålls inte i (9.2)

^ï_t ∉ tillhör inte (9.2)

^ïi ∋ innehåller inte (9.2)

' ′ apostrof; minut, fot (4.1): prim (9.4)

'' ″ biss (9.4)

TECKENREGISTER 130

''' ′′′ triss, trippelprim (9.4)

':, – enkelstreck (enkelbindning) (8.3, 12.2)

_ förtecken för versal bokstav (1.1, 2.1)

__ förtecken för flera versala bokstäver i följd (1.1, 2.1)

___ û

förtecken för flera ord med versaler i följd (1.1, 2.1)

_( ⟨ vänster vinkelparentes (8.1)

_) ⟩ höger vinkelparentes (8.1)

_à vänster klammerparentes, vänster spetsparentes (8.1)

_ù höger klammerparentes, höger spetsparentes (8.1)

; ; semikolon (3.1.2)

: : kolon, skaltecken, relationstecken (5)

:o → enkel högerriktad pil (8.4)

:oö: enkel högerriktad pil ovanför enkel vänsterriktad pil (8.4)

:$ ¬ negationen av (9.1)

/ / snedstreck, snett bråkstreck, divisionstecken (4.2, 5, 6.1, 8.3)

// / snett huvudbråkstreck (6.1, 6.4)

* * multiplikationstecken (asterisk) (5)

- − minustecken, subtraktionstecken,

bindestreck i vanlig text (5)

~ varningstecken (1.3); förtecken för bl.a. några tecken som förekommer i datorsammanhang (1.1, 9.6)

~: ~ fristående tilde (9.6)

~: ~ eller ∝

proportionell mot, likformig med (9.1)

TECKENREGISTER 131

~:: ≈ ungefär lika med (9.1)

~:- ≃ likformig eller lika med (9.1)

~:= ≅ kongruent med (9.1)

~? fristående grav accent (9.6)

~/ \ backstreck, omvänt snedstreck, backslash (8.3, 9.6); differens (vid mängder)(9.2)

~* fristående akut accent (9.6)

~- _ fristående understreck (9.6)

~! ^ fristående cirkumflex (9.6)

~( vänster hjälpparentes (1.3.4, 1.4, 8.1)

~(avbildas<på~) enkel böjd högerriktad pil (avbildas på) (8.5)

~(fkom~) ∘ funktionskomposition (5)

~(hharpun~) högerriktad harpun (8.5)

~(hvharpun~) högerriktad harpun ovanför vänsterriktad harpun (8.5)

~(u_pil~) ⇑ dubbel uppåtriktad pil (8.5)

~(upil~) ↑ pil uppåt (8.5)

~(sopil~) ց sydostpil (8.5)

~(svpil~) ւ sydvästpil (8.5)

~(vharpun~) vänsterriktad harpun (8.5)

~(vhharpun~) vänsterriktad harpun ovanför högerriktad harpun (8.5)

~(nand~) ⊼ NAND-tecken (9.2)

~(n_pil~) ⇓ dubbel nedåtriktad pil (8.5)

~(nopil~) ր nordostpil (8.5)

~(nor~) ∨ NOR-tecken (9.2)

TECKENREGISTER 132

~(npil~) ↓ pil nedåt (8.5)

~(nvpil~) տ nordvästpil (8.5)

~(xor~) ⊻ XOR-tecken (9.2)

~) höger hjälpparentes (1.3.4, 1.4, 8.1)

~ü osynligt bråkstreck (6.5, 10.7)

~# # nummertecken, ”fyrkant” (9.6)

~à @ snabel-a, at-tecken (9.6)

@ förtecken för enstaka framhävt tecken (gäller endast det närmast följande tecknet) (1.1, 2.3)

@-$ ∓ minusplustecken (5)

@$- ± plusminustecken (5)

@ï. i multiplikationstecken (punkt i fetstil) (5)

" citattecken (1.3, 9.6); sekund, tum (4.1); förtecken för gemen grekisk bokstav (1.1, 2.2)

"_ förtecken för grekisk versal bokstav (1.1, 2.2)

"_s ∑ summatecken (9.5); versalt sigma

(2.2)

"_p ∏ produkttecken (9.5); versalt pi (2.2)

"=; dubbelstreck (dubbelbindning) (8.3,

12.2)

ê förtecken för nedre index (1.1, 7.1)

êê rakt nedanför (centrerat nedre index) (7.1)

êê- _ streck (rakt nedanför huvudtecken) (7.1)

êê= ˇ bottenvärde (bock) (rakt nedanför huvudtecken) (7.1)

êê= dubbla streck (rakt nedanför huvudtecken) (7.1)

TECKENREGISTER 133

î rottecken, kvadratrot (7.2)

û avslutningstecken, avskiljningstecken (1.3)

! ! fakultetstecken (utropstecken) (9.5)

( ( vänster rundparentes (8.1)

ö: ← enkel vänsterriktad pil (8.4)

ö::o enkel vänsterriktad pil ovanför enkel högerriktad pil (8.4)

ö:o ↔ enkel dubbelriktad pil (8.4)

ö= ⇐ dubbel vänsterriktad pil (nödvändig för) (8.4, 9.2)

ö=o ⇔ dubbel dubbelriktad pil (ekvivalent med) (8.4, 9.2)

$ + additionstecken, plustecken (5)

§ förtecken för exponent eller övre index (1.1, 4.2, 7.1) (även paragraftecken §)

§. ˙ tidsderivata (punkt ovanför bokstav) (9.4)

§; ¨ tidsderivata (dubbelpunkt ovanför bokstav, trema ovanför bokstav) (9.4)

§;. … tidsderivata (trippelpunkt ovanför bokstav) (9.4)

§§ rakt ovanför (centrerat övre index) (7.1)

§§: ~ tilde (rakt ovanför huvudtecken) (7.1)

§§:o

vektorpil (7.1)

§§- streck (rakt ovanför huvudtecken) (7.1)

§§- vektor (7.1)

§§! ^ toppvärde (tak) (rakt ovanför huvudtecken) (7.1)

TECKENREGISTER 134

) ) höger rundparentes (8.1)

| | lodstreck, delare, mängdbyggare, ”sådana att”, vänster och höger absolutbelopp, determinant (8.3)

|:o ֏ högerpil med tvärstreck (”funktionspil”) (8.4)

§§- vektor (7.1)

|| || dubbelt lodstreck, norm (8.3); parallell med (9.1)

|él ≡ trippelstreck (trippelbindning) (8.3,

12.2)

ü horisontellt bråkstreck, horisontellt

divisionstecken (5, 6.1)

üü horisontellt huvudbråkstreck (6.1,

6.4)

ô % procent (4.1)

ôô ‰ promille (4.1)

è ∫ integral (9.4)

èè ∫∫ dubbelintegral (9.4)

èèè ∫∫∫ trippelintegral (9.4)

= = lika med (likhetstecken) (9.1)

=o ⇒ dubbel högerriktad pil (implicerar, medför) (8.4, 9.2)

== ≡ identisk med (9.1)

# förtecken för siffror (1.1, 3.1)

#o > större än (större än-tecken) (9.1, 9.6)

#oo ≫ mycket större än (9.1)

#oö ≷ större eller mindre än (9.1)

#o= ≥ större än eller lika med (9.1)

#ö < mindre än (mindre än-tecken) (9.1, 9.6)

TECKENREGISTER 135

#öo ≶ mindre eller större än (9.1)

#öö ≪ mycket mindre än (9.1)

#ö= ≤ mindre än eller lika med (9.1)

#é ∞ oändligheten (observera att den fulla

cellen är en del av symbolen)(9.2)

À [ vänster hakparentes (8.1)

Ï förtecken för flera matematiska tecken (1.1, 9.2, 9.3, 9.4)

Ïa ⊢ assertion (9.2)

ï. · multiplikationstecken (punkt) (5)

ï_a ∀ allkvantor (9.2)

ï_k ∁ komplement (9.2)

ï.c ⊙ cirkel med punkt (9.5)

ï_e ∃ existenskvantor (9.2)

ï_o ⊃ innehåller (som äkta delmängd) (9.2)

ï_o= ⊇ innehåller (som delmängd) (9.2)

ï_( û

⟨ ensidig vänster vinkelparentes över flera rader (8.2)

ï_(ï_) û

⟨ ⟩ dubbelsidig vinkelparentes över flera rader (8.2)

ï_ö ⊂ innehålls strängt i (9.2)

ï_ö= ⊆ innehålls i (9.2)

ï_) û

⟩ ensidig höger vinkelparentes över flera rader (8.2)

ï_n ∇ nabla (gradient) (9.4)

TECKENREGISTER 136

ï_t ∈ tillhör (9.2)

ï_à û

ensidig vänsterklammer (ensidig vänster spetsparentes) över flera rader (8.2)

ï_àï_ù û

dubbelsidig klammerparentes (dubbelsidig spetsparentes) över flera rader (8.2)

ï_ù û

ensidig högerklammer (ensidig höger spetsparentes) över flera rader (8.2)

ïk kvadrat (9.3)

ïc cirkel (9.3)

ïe ∨ eller (9.2)

ïi ∋ innehåller (9.2)

ï-c ⊖ cirkel med minus (9.2)

ï~a ℵ alef (första bokstaven i det hebreiska alfabetet) (9.5)

ï~g ג gimel (9.5)

ï"_d Laplace delta (9.4)

ï~b ב bet (9.5)

ï~d ד dalet (9.5)

ï"d ∂ partiell derivata (9.4)

ïm ⊨ modulo (9.5)

ïo ∧ och (9.2)

ïu ∪ union (9.2)

ïd ∅ diameter (9.3)

ïs ∩ snitt (9.2)

ï( û

( ensidig vänster rundparentes över flera rader (8.2)

TECKENREGISTER 137

ï(ï) û

( ) dubbelsidig rundparentes över flera rader (8.2)

ï$c ⊕ cirkel med plus (9.2)

ï) û

) ensidig höger rundparentes över flera rader (8.2)

ï|ï| û

|| dubbelsidigt lodstreck över flera rader (8.3)

Ïr rektangel (9.3)

Ïv ∧ vinkel (9.3)

Ïg gradtecken (4.1)

Ïn ⊥ normal, vinkelrät mot (9.3)

Ïx × multiplikationstecken (kryss) (5)

Ïxc ⊗ cirkel med kryss (9.5)

Ït ∆ triangel (9.3)

Ïè ∫ cirkelintegral, konturintegral (9.4)

Ïà Û

[ ensidig vänster hakparentes över flera rader (8.2)

Ïàïù Û

[ ] dubbelsidig hakparentes över flera rader (8.2)

Ïï

fortsättningstecken (markerar vid punktskriftsradens slut att svart-skriftsraden fortsätter) (1.3, 1.5, 9.6, 10.6, 13)

Ïù Û

] ensidig höger hakparentes över flera rader (8.2)

Ù ] höger hakparentes (8.1)

é( bråkbörjan (1.3.5, 6.1)

TECKENREGISTER 138

é(<é) bråksammanhållare (1.3.5, 6.1)

é) bråkslut (1.3.5, 6.1)

för matematik och naturvetenskap...skrift i matematik och naturvetenskap. Skriften består av två delar. I nio kapitel i den första delen pre-senteras skrivregler och olika grupper

Documents