-
REGLAS BSICAS DE INTEGRACIN
1. = +
2. =+1
+1+
3. 1
= || +
4. = +
5.
2+2=
1
(
) +
6.
22=
1
2ln|
+
| +
7. =
+
8.
22=
1
2 |
+| +
SEGUNDAS FORMULAS BSICA DE INTEGRACIN
1.
22= (
) +
2.
2+2= | + 2 + 2| +
3.
22= | + 2 2| +
4. 2 2 =
22 2 +
2
2 (
) +
5. 2 2 =
22 2
2
2| + 2 2| +
6. 2 + 2 =
22 + 2 +
2
2| + 2 + 2| +
7.
22=
1
(
||
) + ; > 0
NOTA: Las integrales de este tipo se calculan
completando cuadrados.
TERCERAS FORMULAS BSICAS DE INTEGRACIN
1. = +
2. = +
3. = ln|| +
4. = ln|| +
5. = ln| + | +
6. = ln| | +
7. sec2 = +
8. csc2 = +
9. . = +
-
10. . = +
11. =()
+
12. = cos()
+
NOTA: Se resuelven normal y al final recin se aplica la
frmula
CUARTAS FRMULAS BSICAS DE INTEGRACIN
1. senh(u)du = () +
2. cosh(u)du = () +
3. tgh(u)du = |cosh(u)| +
4. ctgh(u)du = |senh(u)| + C
5. 2(u)du = () + C
6. cosech2(u)du = () +
7. sech(u)tghudu = () +
8. cosech(u)ctgh(u)du = +
9. cosh() =()
+ ;
10. () =cosh()
+ ;
11. =
+
12. = +
RECORDAR:
() =
() = +
() =
+
IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS FUNDAMENTALES cosh2(x) senh2(x) =
1
1 2() = 2()
ctgh2 1 = 2()
2() =cosh(2)1
2
2() =cosh(2)+1
2
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS HIPERBLICAS 1. = () =
cosh() .
2. = cosh() = ().
3. = () = 2().
4. = coth() = csc2 () .
5. = sech() = sec() . ().
6. = csch() = csch() . ().
INM
EDIA
TAS
NO
INM
EDIA
TAS
-
RECPROCRAS 1. (). csch() = 1 2. cosh() . sech() = 1 3. (). () =
1
INTEGRACIN POR SUSTITUCIN O CAMBIO DE VARIABLE
: 2
1+23
+ = =
=
=
2
1+23 =
(31
2)2
33 .
32
2=
3
2623+1
4. 2
=3
8(7 24 + ) =
3
8
8
8
3
4.5
5+
3
8.2
2+ (debemos a la variable x)
=3
64(1 + 2)
8
3 3
20(1 + 2)
5
3 +3
16(1 +
2)2
3 +
INTEGRACIN DE FUNCIONES QUE CONTINENE UN TRINOMIO CUADRADO
1.
2++
2.
2++
3. (+)
2++
4. (+)
2++
NOTA: RECORDAR LA COMPLETACIN DE CUADRADOS EN UN TRINOMIO
ECUACIONES DIFERENCIALES BSICAS
= ()()
() = () + ()
Ejemplo: Encontrar la solucin general de la ecuacin
diferencial
= 42 2 + 6
= (42 + 2 + 6)
= ( + + )
-
= 4.3
3+ 2.
2
2+ 6 +
=4
33 + 2 + 6 +
ECUACIN DIFERENCIAL Generalmente al resolver una ecuacin
diferencial viene con una condicin inicial de la forma: (0) =0 con
esta condicin conociendo la solucin general de la ecuacin (2) se
obtiene la solucin particular de la ecuacin (1) por lo tanto la
combinacin.
= (), () = (3)
SOLUCIN PARTICULAR De una ecuacin diferencial con una condicin
inicial es llamado un Problema con condicin inicial. Tambin se le
llama solucin particular de la ecuacin diferencial. OBSERVACIN:
Si tenemos:
=
()
() entonces se debe hacer
() = ()
Se logra que las variables estn separadas por lo que se dice que
estas ecuaciones son Ecuaciones diferenciales Separables y la
solucin se obtiene por integracin directa
h(y)dy =() +
NOTA: No se usa los valores absolutos, usemos ()
MTODO DE INTEGRACIN POR PARTES
= .
(Se escoge a conveniencia quien es u y quien es dv)
Tiene que ser en lo posible una integral inmediata Por defecto,
lnx es una derivada
= =
I Debe ser menos complejo que I
ECUACIN GENERAL
-
MTODO DE INTEGRACIN POR CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCIN
1. SUSTITUCIONES TRIGONOMTRICAS
Nota: u = f(x) En este tipo de integrales aparece mucho:
=.
+( + )
+
=+
=
A) Para el clculo de las integrales de la forma: , xdx
Se presentan dos casos: CASO 1: Cuando n es un nmero entero
positivo par se usan las identidades siguientes:
2 = 12
2, 2 =
1+2
2
CASO 2: Cuando n es un nmero entero positivo impar a las
integrales de esta forma las expresaremos de esta forma: = 1 = 1
Luego se usa la identidad trigonomtrica:
2 + 2 =1 NOTA: aparecen muchas veces las siguientes integrales
inmediatas:
() = cos()
+
() = sen()
+
: En forma prctica se pueden integrar las siguientes
funciones:
() () = +()
(+) +C
-
()() = +()
(+) +C
B) Para el clculo de las integrales de la forma:
,
Se presentan los siguientes casos: CASO 1: Si n es un nmero
entero par positivo, a las integrales dadas se les reduce as:
=
= CASO 2: Si n es un nmero entero positivo impar, a las
integrales dadas se expresan en la forma:
= = ()
=
= ()
Para ambos casos se usan las identidades trigonomtricas
pitagricas: 1+ 2=2 ; 1+ 2=2
C) Para el clculo de las integrales de la forma:
.
CASO 1: m es impar y n es cualquier nmero entonces la integral
la expresamos as:
. =. . .
Luego se usa la identidad: + = CASO 2: n es impar y m es
cualquier numero entonces la integral la expresamos as:
. = . . .
Luego se usa la identidad: + = CASO 3: Si m y n son nmeros
enteros positivos pares, se usan las identidades:
= +
; =
D) Para el clculo de integrales de la forma: . ; .
-
CASO 1: Cuando n es un nmero entero positivo impar y m es
cualquier nmero entero, las integrales las escribimos as:
. = 1. . 1.
. = 1. . 1.
Usamos: 1+ = ; 1+ = CASO 2: Cuando m es un nmero positivo par y
n es cualquier nmero, entonces las integrales se escriben as:
. = . 2. 2
. = . 2. 2
Usamos: 1+ = ; 1+ = OBSERVACIN:
a) Cuando n es un nmero entero positivo impar y m es un nmero
entero positivo par, se puede aplicar cualquiera de los dos
casos.
b) Si n es par y m es impar se aplica el CASO 1.
INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES
I) Clculo de integrales de la forma:
+
2++dx
Mtodo: i) se completa cuadrados en el denominador
2 + + = ( +
2)2 (
2)2 +
ii) Se hace: = +
2 =
Se debe de llegar a integrales de la forma:
2+2 =
1
arctg(
) + C
22 =
1
2 ln|
+| + C
II) Clculo de integrales de la forma:
+
2++dx
Mtodo: i) se completa cuadrados en el denominador (raz )
2 + + = ( +
2)2 (
2)2+
ii) Se hace: = +
2 =
Se debe de llegar a integrales de la forma:
2+2 = ln| + 2 + 2| + , 0
-
22= (
) +
SUMATORIAS
PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS 1. =1 = kn 2. = = (n-m+1)k 3. ()=1
= ()
=1
4. (()=1 ()) = ()=1 ()
=1
5. ()= = ( )+=+
6. ()= = ( + )=
7. [() ( 1)]=1 = f(n) f(0) Primera regla telescpica 8. [() (
1)]= = f(n) f(k-1) Primera regla telescpica generalizada 9. [( + 1)
( 1)]=1 = f(n+1)+ f(n) f(1) f(0) Segunda regla telescpica 10. [( +
1) ( 1)]= = f(n+1)+ f(n) f(k) f(k-1) Segunda regla telescpica
generalizada FRMULAS DE SUMATORIAS
1. =1 = (+1)
2
2. 2=1 = (+1)(2+1)
6
3. 3=1 = ((+1)
2)2
4. 4=1 = (+1)(63+92+1)
30
CLCULO DEL REA DE UNA REGION PLANA POR
SUMATORIAS A ( R ) =
()=
Donde: =
y = a + i
CAMBIO DE VARIABLE EN UNA INTEGRAL
DEFINIDA Teorema: Supongamos que se da la integral:
()
Donde la funcin f(x) es continua en el intervalo [a, b].
Introduzcamos una nueva variable t, mediante la frmula: x = () y ()
= a y ()= b, entonces se cumple que :
()
= (
(t))()
NOTA: Si hace se hace un cambio de variable en la integral
definida se debe hacer los cambios de valores lmites para la nueva
integral.
-
MTODOS NUMERICOS DE INTEGRACIN
1. REGLA DEL TRAPECIO
=
; = + , para i = 0, 1, ., n
=
[f() + () + () ++
2f()+ f()] 2. REGLA DE SIMPSON
=
= + , para i = 0, 1, ., n
=
[() + () + () +
+() + +() + + () ++() + ()] Propiedades de las integrales
definidas
- Si a > b y ()
= ()
Teorema de valor medio
- ()
= (). ( )
El valor promedio
- V.P = () = ()
()
AREAS DE FIGURAS PLANAS
CASO 1
() = ()
, () = ()
CASO 2
() = (() ())
,()
()
-
OBSERVACIN
() = (() ())
,()
() OBSERVACIN
() = ()
,()
VOLUMENES
I. Mtodo del Disco Circular
Eje de revolucin es el eje X (Rota alrededor del eje X)
= (())
dx
Eje de revolucin es el Y (Rota alrededor del eje Y)
= (())
dy
II. Mtodo Del Anillo Circular (Dos Funciones)
= [(()) (())
]
OBSERVACIN: Las recta verticales x= a, x=b, gira
alrededor de la recta y = c, donde g(x) c, entonces
el volumen del solido de revolucin generado al
rotar la regin R alrededor de la recta y = c, es
expresado por la frmula:
= [(() ) (() )
]
-
NOTA: () () =
()
Observacin: Las recta verticales x= a, x=b, gira
alrededor de la recta y = c, donde g(x) c, entonces
el volumen del solido de revolucin generado al
rotar la regin R alrededor de la recta y = c, es
expresado por la frmula:
= [(() ) (() )
]
Nota: () () =
()
OBSERVACIN: 1 Si la regin R limitada por las
curvas x =f(y), x=g(y) manera que f(y) () y las
recta verticales y = c, y = d, gira alrededor del EJE Y
= [(()) (())
]
2 las recta verticales y = c, y = d, gira alrededor de la recta
x = k, donde g(y) k, entonces el volumen del solido de revolucin
generado al rotar la regin R alrededor de la recta x = k, es
expresado por la frmula:
= [(() ) (() )]
NOTA: () () =
()
3 las recta verticales y = c, y = d, gira alrededor de la recta
x = k, donde g(y) k, entonces el volumen del solido de revolucin
generado al rotar la regin R alrededor de la recta x = k, es
expresado por la frmula:
-
= [(() ) (() )]
LONGITUD DE ARCO
Teorema
= + (
)
OBSERVACIN
= + (
)
Si una curva est definida por curvas paramtricas
: { = () = ()
[, ]
= (
)
+ (
)
AREAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCIN - Alrededor del eje X, del
arco de la curva y=f(x)
entre los puntos x=a y x=b
() = 2 1 + (
)2
OBSERVACIN: Si la curva se hace rotar alrededor de la recta y=c
se obtiene una superficie de revolucin cuya rea es dada por la
frmula:
() = 2 | |1 + (
)2
- Alrededor del eje Y, del arco de la curva x=f(y)
entre los puntos c=a e y=d
() = 2 1 + (
)2
OBSERVACIN: Si la curva se hace rotar alrededor de la recta x=k
se obtiene una superficie de revolucin cuya rea es dada por la
frmula:
-
() = 2 | |1 + (
)2
AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIN CUANDO LA CURVA ES DADA EN
FORMA PARAMTRICA Teorema: Sea una curva dada por las ecuaciones
paramtricas
Tal que:
,
son continuas en
ENTONCES: - Alrededor del eje X
() = 2 ()(
)2
+ (
)2
- Alrededor del eje Y
() = 2 ()(
)2
+ (
)2
= () = ()
-
DERIVADAS
1. () = 0 ; =
2. (()) = 1
3. () = 1 ; =
4. [(). ()] = [()]() + ()[(()]
5. [] = ()
6. [()
()] =
[()][()]
[()]2
7. [(())] = [(())](())
8. () =1
.
9. (ln ) = (ln ). () = ()1.1
10. () = .
11. = (); =(())
2()
12. = ln|()| ; =[()]
()
13. = [()]; = [()]1. ()
14. () =
15. (cosx) =
16. () = sec2
17. () = csc2
18. (sec ) = .
19. () = .
RAZONES TRIGONOMTRICAS 1. 2 + cos2 = 1 2. 1 + 2 = sec2 3. 1 + 2
= csc2
4. =
=
5. 2 =12
2
6. cos2 =1+2
2
7. . = 1 8. . = 1 9. . = 1
10. 2 = 2. 11. 2 = cos2 2 12. 2 = 2 cos2 1 13. 2 = 1 22
14. 2 =2
12
15. cos( ) = 16. ( ) =
17.
= 18. + = (. )
19. = (
)