Formación de Vehículos Aéreos Introducción Modelo Dinámico del Cuadri-rotor Control de la Formación Control de los Vehículos Prueba de Estabilidad Resultados de Simulación Plataforma experimen- tal Bibliografía Formación de Vehículos Aéreos Por: M. C. Luis Arturo García Delgado Asesor: Dr. Alejandro Enrique Dzul López Instituto Tecnológico de la Laguna 14 de marzo de 2011 1/40
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Formaciónde
VehículosAéreos
Introducción
ModeloDinámicodelCuadri-rotor
Control delaFormación
Control delosVehículos
Prueba deEstabilidad
ResultadosdeSimulación
Plataformaexperimen-tal
Bibliografía
Formación de Vehículos Aéreos
Por: M. C. Luis Arturo García DelgadoAsesor: Dr. Alejandro Enrique Dzul López
Instituto Tecnológico de la Laguna
14 de marzo de 2011
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Formaciónde
VehículosAéreos
Introducción
ModeloDinámicodelCuadri-rotor
Control delaFormación
Control delosVehículos
Prueba deEstabilidad
ResultadosdeSimulación
Plataformaexperimen-tal
Bibliografía
Índice de la Presentación
Introducción
Modelo Dinámico del Cuadri-rotor
Control de la Formación
Control de los Vehículos
Prueba de Estabilidad
Resultados de Simulación
Plataforma experimental
Bibliografía
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Formaciónde
VehículosAéreos
Introducción
ModeloDinámicodelCuadri-rotor
Control delaFormación
Control delosVehículos
Prueba deEstabilidad
ResultadosdeSimulación
Plataformaexperimen-tal
Bibliografía
Introducción
Cooperación entre vehículosEl término de cooperación entre múltiples vehículos se refiere a lacolaboración que realizan dichos vehículos para alcanzar objetivos en común uobjetivos separados, pero de manera más rápida, más precisa o con mayoralcance. Los objetivos pueden ser búsqueda, vigilancia, monitoreo, ataque, etc.
La formación de vehículos es un caso específico de cooperación.
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ModeloDinámicodelCuadri-rotor
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Bibliografía
Introducción
Cooperación entre vehículosEl término de cooperación entre múltiples vehículos se refiere a lacolaboración que realizan dichos vehículos para alcanzar objetivos en común uobjetivos separados, pero de manera más rápida, más precisa o con mayoralcance. Los objetivos pueden ser búsqueda, vigilancia, monitoreo, ataque, etc.
La formación de vehículos es un caso específico de cooperación.
Formación de vehículosEl propósito del movimiento en formación consiste en que los múltiplesvehículos se agrupen en alguna manera específica pre-asignada entre ellos, ytambién que se pueda mantener la formación mientras los vehículos están enmovimiento.
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Introducción
Figura: Formación de vehículos aéreos
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Introducción
Las formas más comunes de abordar el problema de formación es a través de1 Estructura Líder-Seguidor2 Campos Potenciales
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Bibliografía
Introducción
Las formas más comunes de abordar el problema de formación es a través de1 Estructura Líder-Seguidor2 Campos Potenciales
En la Estructura Líder-Seguidor cada vehículo (seguidor) sigue a otro vehículo(líder). Sus características son:
1 Es una estructura jerárquica.2 No hay mucha relación entre algún vehículo y los demás que no sean su
líder o seguidor.3 El control de la formación depende totalmente del modelo del vehículo y
puede resultar en términos muy complejos.4 Presenta una alta velocidad de respuesta para estabilización y
seguimiento.
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Introducción
El método del Campo Potencial consiste en llenar el espacio de trabajo con uncampo potencial artificial en el cual el robot es atraido a su posición deseada yes repelido de los obstáculos [S. S. Ge and Y. J. Cui, 2000].
Las características de este método son1 Es una estructura no-jerárquica.2 Existe relación entre cada vehículo y los demás que estén en su área de
comunicación.3 El control de la formación depende de las fuerzas potenciales calculadas y
no tanto del modelo de los vehículos.4 Presenta una buena respuesta en estabilización.
Figura: Campo potencial artificial
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Modelo Dinámico del Cuadri-rotor
Las coordenadas generalizadasson
q = (ξ, η) ∈ R6 (1)
donde ξ = (x , y , z) ∈ R3 es la
posición del centro de masa delX4, relativa al marco inercialI, y η = (φ, θ, ψ) ∈ R
3 es laorientación del X4 en ángulosde Euler.
Figura: Helicóptero cuadri-rotor
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Bibliografía
Modelo Dinámico del Cuadri-rotor
El modelo a utilizar es la aproximación de Euler-Lagrange que aparece en[A. Sánchez et al.]Se considerará que ψ = 0 ∀t > 0, y así
mx = u sin θ cosφmy = −u sinφmz = u cos θ cosφ−mgψ = τψ
θ = τθ
φ = τφ
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Control de la Formación
El objetivo de cada cuadri-rotor es alcanzar la posición deseada.
Suponga que la altitud z se mantiene constante, de manera que la formaciónse realizará en 2D. Ahora, el vector traslational que expresa la posición delvehículo i es
ξi =[
xi yi]T
La distancia entre un vehículo i y su posición deseada es
Lig = ‖ξgi− ξi‖
donde ξgi es la posición deseada del vehículo i .
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Control de la Formación
El objetivo de cada cuadri-rotor es alcanzar la posición deseada.
Suponga que la altitud z se mantiene constante, de manera que la formaciónse realizará en 2D. Ahora, el vector traslational que expresa la posición delvehículo i es
ξi =[
xi yi]T
La distancia entre un vehículo i y su posición deseada es
Lig = ‖ξgi− ξi‖
donde ξgi es la posición deseada del vehículo i .
El error de separación deseado es
Lig = −Lig
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Energía potencial interactiva
La distancia entre un vehículo i y otro j es definida por
Lij = ‖ξj − ξi‖
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Energía potencial interactiva
La distancia entre un vehículo i y otro j es definida por
Lij = ‖ξj − ξi‖
El error de distancia de separación se define como
Lij = Lijd − Lij
donde Lijd es la distancia de separación deseada entre los vehículos i y j.
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Energía potencial interactiva y fuerza atractiva
La energía potencial definida entre los vehículos i y j es la siguiente
Uij =12kf L2
ij ; Uig =12kf L2
ig (2)
donde kf es la ganacia de la formación y es constante.
La energía potencial de la estructura total de todos los vehículos hacia con elvehículo i es
Ui =
n∑j �=i
Uij + Uig (3)
La fuerza atractiva estructural correspondiente que actúa sobre el vehículo i es
Fatt,i = −∇Ui =
n∑j �=i
fij + fig (4)
=
n∑i �=j
kf Lijξj − ξi
Lij+ kf Lig
ξg − ξi
Lig(5)
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Evasión de colisiones
Para evitar colisiones entre vehículos se propone:Cuando la distancia de separación Lij ≤ L0, comienza a actuar la siguientefuerza repulsiva
fr,ij =
{krep
(1
Lij− 1
L0
)ξi−ξj
Lij, Lij ≤ L0
0, Lij > L0
(6)
De manera similar que en las fuerzas atractivas, las fuerzas repulsivas sesuman de la siguiente forma
Frep,i =
n∑j �=i
fr,ij (7)
Entonces, la fuerza total estructural, está dada por
Fi = Fatt,i + Frep,i (8)
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Control de los Vehículos
En esta seccón se presentarán los controladores utilizados para asegurar quelos vehículos serán conducidos por las consignas de fuerzas propuestas. Lospuntos a tratar son
1 Control de altitud y guiñada.
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Control de los Vehículos
En esta seccón se presentarán los controladores utilizados para asegurar quelos vehículos serán conducidos por las consignas de fuerzas propuestas. Lospuntos a tratar son
1 Control de altitud y guiñada.
2 Control de posición: Control por saturaciones anidadas
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Control de altitud y guiñada
El control de posición vertical se obtiene con la entrada de control
ui = [(kpz zi − kvz zi ) + mg]1
cos θi cosφi
con zi = zid − zi como el error de posición en zi . kpz y kvz son constantespositivas. Los ángulos θi , φi se mantendrán acotados en valores pequeños paraevitar singularidades.
El control de ángulo de guiñada es
τψi = −kpψψi − kvψψi
donde kpψ y kvψ denotan las constantes proporcional y derivativa.
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Partiendo del modelo
mx = u sin θ cosφmy = −u sinφmz = u cos θ cosφ−mgψ = τψ
θ = τθ
φ = τφ
Cuando los estados, zi , zi , ψi y ψi → 0, el modelo del cuadri-rotor se reduce a
xi = g tan θi
yi = −g tanφi
cos θiθi = τθi
φi = τφi
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Control de posición
Si se impone una cota muy pequeña sobre θi y φi , de tal manera quetan(θi) ≈ θi y de igual forma con φi , el modelo de un cuadri-rotor i se reduce a
xi = gθiyi = −gφi
θi = τθi
φi = τφi
Agrupando lo anterior como ξi = [xi yi ]T ∈ R
2, G = {g para xi y −g parayi} ∈ R
1, ηi = [θi φi ]T ∈ R
2 y τ i = [τθi τφi ]T ∈ R
2. E introduciendo un errorcon respecto a la posición meta y demás vehículosξi =∑n
i �=j Lijξj−ξi
Lij+ Lig
ξg−ξiLig
, tenemos
˙ξi = −nξi
ξi = Gηi
ηi = ηi
ηi = τ i
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Control por Saturaciones Anidadas
Se realiza un cambio de variables de la forma z = Cq como sigue⎡⎢⎣ z1iz2iz3iz4i
Los términos zn y σbn (·) son del mismo signo sólo si knzn + σb(n−1)(·) es del
mismo signo que zn. Habiendo seleccionado bn−1 <12 bn, se puede ver que
Vn < 0 para toda zn ∈ Qn = {zn : |knzn| ≤ 12 bn}. Si se inicia fuera de Qn, la
trayectoria de zn entra eventualmente en Qn en un tiempo finito.
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Prueba de EstabilidadControlador por Saturaciones Anidadas
Ya que zn ha entrado en Qn, σbn (·) opera en su región lineal porque elargumento de σbn (·) está acotado por
|knzn + σb(n−1)(·)| < 1
2 bn + bn−1 < bn (17)
La ecuación para la evolución de zn−1 ahora es dada por
zn−1 = −σbn−1(kn−1z(n−1) + σbn−2(·)) (18)
que es similar a la expresión para zn. De manera similar que para zn, zn−1entra a un conjunto Qn−1 en un tiempo finito y permanece en Qn−1 en losucesivo. Este proceso continúa cumpliéndose hasta V2 y z2, porque z1depende de la fuerza potencial con respecto a otros vehículos.
De acuerdo a [Johnson and Kannan(2003)], durante el periodo en que elúltimo elemento saturado es σb1(k1z1), los polos del sistema lineal en lazocerrado resultante se encuentran en {−k4, −k3, −k2, 0}, lo cual da un sistemaestable. Entonces, el argumento de la saturación k1z1 decrece por debajo de lacota b1, y comienza otro análisis de estabilidad.
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Prueba de EstabilidadSistema no interconectado
n = 1.
Después de quedar el controlador por debajo de la última saturación, elsistema lineal que queda es de la forma x = Ax, y cuando n = 1 se tiene
Igualando (21) con (22) encontramos kf 1 = B(CD−gB)
A1D2 .
Por lo que, el sistema será estable si kf < kf 1.
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Prueba de EstabilidadSistema Interconectado
Para un sistema en formación (más de un vehículo), la fuerza atractiva es
Fatt,i =
n∑i �=j
kf Lijξj − ξi
Lij+ kf Lig
ξg − ξi
Lig
su derivada temporal es
Fatt,i = −kf
[n∑
i �=j
(ξj − ξi)− (ξi)
]= −kf
n∑i �=j
(ξj) + nkf ξi (23)
Por lo que, cuando el número de vehículos n > 1, se debe plantear como unsistema interconectado, de acuerdo a la Ec. (23).
⎡⎢⎣ Fixxi
θiθi
⎤⎥⎦=⎡⎢⎣ 0 −nkf 0 0
0 0 g 00 0 0 1−An −B −C −D
⎤⎥⎦⎡⎢⎣ Fix
xiθiθi
⎤⎥⎦+⎡⎢⎣ kf∑n
i �=j xj
000
⎤⎥⎦ (24)
conAn = −k1k2k3k4
gn (25)
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Prueba de EstabilidadSistema Interconectado
Entonces podemos definir la matriz An de dinámica de un vehículo como
An =
⎡⎢⎣ 0 −nkf 0 00 0 g 00 0 0 1−An −B −C −D
⎤⎥⎦ ∈ R4×4 (26)
y la matriz I de interconección
I =
⎡⎢⎣ 0 −kf 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
⎤⎥⎦ ∈ R4×4 (27)
y el vector de estados
x i =[
Fix xi θi θi]T ∈ R
4 (28)Así, un sistema de n vehículos queda⎡⎢⎢⎣
x1x2...
xn
⎤⎥⎥⎦ =
⎡⎢⎢⎣An I · · · II An · · · I...
.... . .
...I I · · · An
⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣
x1x2...
xn
⎤⎥⎥⎦ ∈ R4n (29)
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Prueba de EstabilidadSistema Interconectado
Teorema (Estabilidad para sistema interconectado)
En un sistema interconectado de la forma (29), el valor de la ganancia kf quehace al sistema críticamete estable es
kfn =nB(CD − gB)(n + 1)A1D2 =
B(CD − gB)(n + 1)AnD2 (30)
Teorema (Ganancia críticamente estable mínima)
En un sistema interconectado de la forma (29), el valor mínimo de la gananciakf que hace al sistema críticamente estable es
kf 2 =103 = 3.33333 (31)
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Resultados de Simulación
Las simulaciones se realizaron con cuadri-rotores con idénticos parámetros delmodelo.
Tipo Parámetro ValorModelo del m 1 Kgvehículo g 9.81 m/s2
Constantes de la Formación kf 2k1 1k2 1k3 1k4 1
Cotas del b1 0.075controlador b2 0.2
b3 0.4b4 0.8
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Resultados de SimulaciónSimulación de 3 Cuadri-rotores
Empezando con condiciones iniciales
ξ01 = [−6 0]T
ξ02 = [−4 5]T
ξ03 = [−3 − 4]T
Se desea llegar a las siguientes posiciones
ξg1= [10 0]T
ξg2= ξg1
+ L12d [− cos(π/6) sin(π/6)]T
ξg3= ξg1
+ L13d [− cos(π/6) − sin(π/6)]T
L12d = 3.5m.
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Resultados de SimulaciónSimulación de 3 Cuadri-rotores
−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−6
−4
−2
0
2
4
6
x [m]y
[m]
0 20 40 60 80 100−16
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
Time [s]
Dis
tanc
e er
ror
[m]
L1gd
− L1g
L2gd
− L2g
L3gd
− L3g
L12d
− L12
L13d
− L13
L23d
− L23
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Resultados de SimulaciónSimulación de 6 Cuadri-rotores con evasión de colisiones
Empezando con condiciones iniciales ξ01 = [0 6]T , ξ0
2 = [1 −2]T , ξ03 = [5 0]T ,
ξ04 = [3 3]T , ξ0
5 = [−2 −5]T , ξ06 = [−1 4]T . En este caso L0 = 3.
Se desea llegar a las siguientes posiciones
ξg1= [0 0]T
ξg2= ξg1
+ L12d [0 1]T
ξg3= ξg1
+ L13d [sin(2π/5) cos(2π/5)]T
ξg4= ξg1
+ L14d [sin(2π/10) − cos(2π/10)]T
ξg5= ξg1
+ L15d [− sin(2π/10) − cos(2π/10)]T
ξg6= ξg1
+ L16d [− sin(2π/5) cos(2π/5)]T
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Resultados de SimulaciónSimulación de 6 Cuadri-rotores con evasión de colisiones
−4 −2 0 2 4 6−6
−4
−2
0
2
4
6
x [m]
y [m
]
Interchange of goal positions
Figura: Formación de 6 vehículos, con evasión de colisiones.
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Resultados de SimulaciónSimulación de 6 Cuadri-rotores - Múltiples formaciones
Tomando en cuenta los datos de la simulación anterior se realiza la primeraformación.
Los valores finales de la primerformación serán ahora los valoresiniciales para la segunda, y lasposiciones deseadas ahora serán
ξg1= [12 0]T
ξg2= ξg1
+ L12d [0 1]T
ξg3= ξg1
+ L13d [0 − 1]T
ξg4= ξg1
+ L14d [−1 1]T
ξg5= ξg1
+ L15d [−1 − 1]T
ξg6= ξg1
+ L16d [−1 0]T
Después de terminar la segundaformación, para realizar una tercerformación se darán las siguientesconsignas
ξg1= [20 0]T
ξg2= ξg1
+ L12d [−1 0]T
ξg3= ξg1
+ L13d
[sin(π
6 ) − cos(π6 )]T
ξg4 = ξg1+ L14d
[− sin(
π
6 ) cos(π6 )]T
ξg5 = ξg3+ L35d [−1 0]T
ξg6= ξg5 + L56d [−1 0]T
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Resultados de SimulaciónSimulación de 6 Cuadri-rotores - Múltiples formaciones
0 50 100 1500
5
10
15
20
25
30
Time [sec]
Nor
m o
f the
goa
l err
ors
[m]
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Plataforma experimental
Se está desarrollando un modelo virtual lo más parecido al real en SolidWorks, con el propósito de determinar las inercias.
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Plataforma experimental
Uno de los aspectos más importantes en el desarrollo de la plataforma es lamedición de la posición.
Para lograr medir posición en un plano, se montó una cámara desde el techo,la cual apunta hacia el suelo, como se muestra en la imagen.
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Plataforma experimentalInterfaz de medición de posición
Para lograr medir la posición a través de la PC, se está desarrollando unainterfaz en Visual C++ 2005, con la cual podemos tomar medidas enimágenes que cambian a razón de 30 a 32 cuadros por segundo y quedistingue tres colores diferentes.
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Plataforma experimental
Para poder tener lecturas adecuadas de posición, a pesar de la gran distorsiónradial que presenta esta cámara, se recurrió al uso de una sencilla redneuronal, que se entrenó mapeando algunos puntos de la imagen obtenida ysu posición en centímetros en el mundo real.
El área que se mide es aproximadamente de 3.7 x 1.6 mts.
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Plataforma experimental
Se tomaros 8 mediciones en los cuatro cuadrantes y el centro, obteniendo lossiguientes valores
S. S. Ge and Y. J. Cui.“New Potential Functions for Mobile Robot Path Planning”IEEE Transactions on Robotics and Automation, Vol. 16, No. 5, October2000.A. Sánchez, P. Garcia, P. Castillo and R. Lozano.“Simple Real-time Stabilization of a VTOL aircraft with BoundedSignals”AIAA Journal of Guidance, Control and Dynamics, Vol. 31, No. 4, pp.1166-1176. ISSN 0731-5090, 2008.
Johnson, E. N. and Kannan, S. K. (2003).Nested saturation with guaranteed real poles.Proceedings of the American Control Conference. Denver, Colorado, pp.497-502, June 4-6.